BÖLME-BÖLÜNEBİLME

KONU ANLATIMI

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLME

A, B, C ve K birer doğal sayı olma üzere ve B 0′dan farklı olmak üzere;

A: BölünenB: Bölen C: Bölüm K: Kalan olarak adlandırılır.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLME

ÖZELLİKLERİ A= B.C + K ‘dır.

Bir bölme işleminde kalan bölenden daima küçük olmak zorundadır. Bölme işleminde kalan sıfır olabilir ki buna tam bölünebilme denir. Ancak kalan negatif olmaz.

Bölme işleminde kalan bölümden küçük ise bölen ile bölüm yer değiştirebilmektedir.

Yani ise B ile C yer değiştirse dahi kalan değişmez.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

1 ile Bölünebilme: Her sayı 1 ile tam bölünmektedir.

2 ile Bölünebilme: Çift olan her sayı 2 ile tam bölünür.

Bir sayının 2 ile bölümünden kalan 0 ya da 1′dir.

106, 1024, 3338 gibi sayılar 2 ile tam bölünür.

105, 1027, 3339 gibi sayıların 2 ile bölümünden kalan 1′dir.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

3 ile Bölünebilme: Rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya 3′ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünmektedir.

Buradan bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir mantığı ortaya çıkmaktadır.

Örnek: 627 = 6+2+7=15

Burada 15, 3 ile tam bölünebilmektedir ve kalan 0′dır. Dolayısıyla 627 sayısı 3 ile tam bölünmektedir.

329= 3+2+9=14

Burada ise 14′ün 3′e bölümünden kalan 2′dir ve 329 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2′dir deriz.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME4 ile Bölünebilme: Bir sayının son 2 basamağı 00 ya da 4′ün katı veya katları ise o sayı 4 ile tam bölünür.

Örnek: 100, 9876 , 632, 1020 gibi sayıların son iki basamağı 4 ile tam bölünebildiği için bu sayılar da 4 ile tam bölünebilmektedir.

5 ile Bölünebilme: Son rakamı 0 veya 5 olan sayıların hepsi 5 ile tam bölünmektedir.

Örnek: 95, 480, 2635 gibi sayıların son hanesi 0 ya da 5′ten oluştuğu için 5 ile tam bölünmektedir.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

6 ile Bölünebilme: Bir sayı hem 2′ye hem de 3′e aynı anda tam olarak bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile tam bölünebilir.

Buradaki mantık 6′nın çarpanlarıdır. Eğer 6′nın çarpanlarını oluşturan sayılara bölünebiliyorsa (2.3) 6′ya da bölünmektedir.

Örnek: 18, 1026, 990 gibi sayılar aynı anda hem 2 hem de 3′e tam bölünebildiği için 6′ya tam bölünebilmektedir.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

7 ile Bölünebilme:

Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının (...a5 a4 a3 a2 a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ...işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7kolmalıdır.

Örnek: Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

8 ile Bölünebilme: Bir sayının son üç rakamı 000 ya da 8′in katı ise bu sayı 8 ile tam bölünür.

Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

Örnek: 1000, 29000, 6048 gibi sayıların son 3 hanesi 000 ya da 8′e bölünebilir olduğundan bu sayılar da 8′e tam bölünür.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 ya da 9′un katları ise bu sayı 9 ile tam bölünür. 3 ile bölünebilme mantığıyla aynıdır. Bir sayının 9 ile tam bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.Örnek: 2655=2+6+5+5=18Burada 18, 9 ile tam bölündüğünden 2655 sayısı da 9′a tam bölünür.Örnek: 3620=3+6+2+0=12 Burada 12′nin 9 ile bölümünden kalan 3′tür. Dolayısıyla 3620 sayısının 9 ile bölümünden kalan da 3′tür.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

10 ile Bölünebilme: Son rakamı 0 olan tüm sayılar 10 ile tam bölünür.

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan ise birler basamağındaki rakamdır.

Örnek: 180,2030 gibi sayılar 10 ile tam bölünür.

1923 sayısının 10 ile bölümünden kalanı son rakamı olduğu gibi 3′tür.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

11 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağından başlayarak her bir rakam sağdan sola sırasıyla ˝+ – + – + -…˝ işaretleriyle işaretlenir. Daha sonra (+) işaretliler toplanır ve (-) işaretliler toplanır ve aralarındaki farka bakılır. Bu fark 0 ya da 11′in katı ise o sayı 11 ile tam bölünür.

Örnek: 468534 =4+5+6-3-8-4= 11-11 = o olacağından 468534 sayısı 11 ile tam bölünür.

539=9+5-3=11 olduğundan 439 sayısı 11 ile tam bölünür.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLME

Aralarında Asal Çarpanlara Ayırarak Bölünebilme Kuralları

Herhangi bir sayı, başka bir sayıya tam bölünüyorsa bunların aralarında asal çarpanlarına da ayrı ayrı tam bölünür.

6 ile bölünebilme kuralında olduğu gibidir.

Örnek

12 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 4 ile tam bölünür. (4.3=12)

15 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 5 ile tam bölünür. (5.3=15)

30 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 10 ile tam bölünür (10.3=30)

45 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 9 ile tam bölünür. (9.5=45)

55 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 11 ile tam bölünür. (11.5=55)

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLMEBölen Kalan İlişkisiA, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,A nın C ile bölümünden kalan K1 veB nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.Buna göre,A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.AE nin C ile bölümünden kalan (K1)

E dir.Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLMEBir Tam Sayının Tam Bölenleri• Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde

yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

• a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.• Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,• (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam

bölenidir.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLMEBir Tam Sayının Tam Bölenleri• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,

2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

BÖLME-BÖLÜNEBİLMEBÖLÜNEBİLMEBir Tam Sayının Tam Bölenleri A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,

– (a + b + c) dir. A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal

sayıların sayısı,

A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: