Bo de Luyen Thi Lop 10 Toan 2013 Co Dap an 9199

L Quc Bo B LUYN THI LP 10 MN TON

https://www.facebook.com/quocbao153 Page 1

S 1 Cu 1: a) Cho bit a = 2 3 v b = 2 3 . Tnh gi tr biu thc: P = a + b ab.

b) Gii h phng trnh: 3x + y = 5x - 2y = - 3

.

Cu 2: Cho biu thc P = 1 1 x:x - x x 1 x - 2 x 1

(vi x > 0, x 1)

a) Rt gn biu thc P.

b) Tm cc gi tr ca x P > 12

.

Cu 3: Cho phng trnh: x2 5x + m = 0 (m l tham s). a) Gii phng trnh trn khi m = 6. b) Tm m phng trnh trn c hai nghim x1, x2 tha mn:

1 2x x 3 .

Cu 4: Cho ng trn tm O ng knh AB. V dy cung CD vung gc vi AB ti I (I nm gia A v O ). Ly im E trn cung nh BC ( E khc B v C ), AE ct CD ti F. Chng minh:

a) BEFI l t gic ni tip ng trn. b) AE.AF = AC2.

c) Khi E chy trn cung nh BC th tm ng trn ngoi tip CEF lun thuc mt ng thng c nh. Cu 5: Cho hai s dng a, b tha mn: a + b 2 2 . Tm gi tr nh nht

ca biu thc: P = 1 1a b .

S 2

Cu 1: a) Rt gn biu thc: 1 13 7 3 7

.

b) Gii phng trnh: x2 7x + 3 = 0. Cu 2: a) Tm ta giao im ca ng thng d: y = - x + 2 v Parabol (P): y = x2.

b) Cho h phng trnh: 4x + ay = bx - by = a

.

Tm a v b h cho c nghim duy nht ( x;y ) = ( 2; - 1).



Cu 3: Mt xe la cn vn chuyn mt lng hng. Ngi li xe tnh rng nu xp mi toa 15 tn hng th cn tha li 5 tn, cn nu xp mi toa 16 tn th c th ch thm 3 tn na. Hi xe la c my toa v phi ch bao nhiu tn hng. Cu 4: T mt im A nm ngoi ng trn (O;R) ta v hai tip tuyn AB, AC vi ng trn (B, C l tip im). Trn cung nh BC ly mt im M, v MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chng minh: AIMK l t gic ni tip ng trn.

b) V MPBC (PBC). Chng minh: MPK MBC . c) Xc nh v tr ca im M trn cung nh BC tch MI.MK.MP t gi tr ln nht.

Cu 5: Gii phng trnh:y - 2010 1x - 2009 1 z - 2011 1 3

x - 2009 y - 2010 z - 2011 4

S 3 Cu 1: Gii phng trnh v h phng trnh sau:

a) x4 + 3x2 4 = 0

b) 2x + y = 13x + 4y = -1

Cu 2: Rt gn cc biu thc:

a) A = 3 6 2 81 2 1 2

b) B = 1 1 x + 2 x.x 4 x + 4 x 4 x

( vi x > 0, x 4 ).

Cu 3: a) V th cc hm s y = - x2 v y = x 2 trn cng mt h trc ta . b) Tm ta giao im ca cc th v trn bng php tnh. Cu 4: Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip trong ng trn (O;R). Cc ng cao BE v CF ct nhau ti H. a) Chng minh: AEHF v BCEF l cc t gic ni tip ng trn. b) Gi M v N th t l giao im th hai ca ng trn (O;R) vi BE v CF. Chng minh: MN // EF. c) Chng minh rng OA EF.



Cu 5: Tm gi tr nh nht ca biu thc:

P = 2x - x y + x + y - y + 1

S 4

Cu 1: a) Trc cn thc mu ca cc biu thc sau: 43

; 55 1

.

b) Trong h trc ta Oxy, bit th hm s y = ax2 i qua im

M (- 2; 14

). Tm h s a.

Cu 2: Gii phng trnh v h phng trnh sau: a) 2x + 1 = 7 - x

b) 2x + 3y = 2

1x - y = 6

Cu 3: Cho phng trnh n x: x2 2mx + 4 = 0 (1) a) Gii phng trnh cho khi m = 3. b) Tm gi tr ca m phng trnh (1) c hai nghim x1, x2 tha mn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2. Cu 4: Cho hnh vung ABCD c hai ng cho ct nhau ti E. Ly I

thuc cnh AB, M thuc cnh BC sao cho: 0IEM 90 (I v M khng trng vi cc nh ca hnh vung ).

a) Chng minh rng BIEM l t gic ni tip ng trn.

b) Tnh s o ca gc IME c) Gi N l giao im ca tia AM v tia DC; K l giao im ca BN v

tia EM. Chng minh CK BN. Cu 5: Cho a, b, c l di 3 cnh ca mt tam gic. Chng minh: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ).

S 5



Cu 1: a) Thc hin php tnh: 3 2 . 62 3

b) Trong h trc ta Oxy, bit ng thng y = ax + b i qua im A( 2; 3 ) v im B(-2;1) Tm cc h s a v b. Cu 2: Gii cc phng trnh sau: a) x2 3x + 1 = 0

b) 2x - 2 4 + =

x - 1 x + 1 x - 1

Cu 3: Hai t khi hnh cng mt lc trn qung ng t A n B di 120 km. Mi gi t th nht chy nhanh hn t th hai l 10 km nn n B trc t th hai l 0,4 gi. Tnh vn tc ca mi t. Cu 4: Cho ng trn (O;R); AB v CD l hai ng knh khc nhau ca ng trn. Tip tuyn ti B ca ng trn (O;R) ct cc ng thng AC, AD th t ti E v F. a) Chng minh t gic ACBD l hnh ch nht. b) Chng minh ACD ~ CBE c) Chng minh t gic CDFE ni tip c ng trn. d) Gi S, S1, S2 th t l din tch ca AEF, BCE v BDF. Chng minh: 1 2S S S .

Cu 5: Gii phng trnh: 3 210 x + 1 = 3 x + 2

S 6 Cu 1: Rt gn cc biu thc sau:

a) A = 3 3 3 32 . 23 1 3 1

b) B = b a - . a b - b aa - ab ab - b

( vi a > 0, b > 0, a b)

Cu 2: a) Gii h phng trnh:

x - y = - 1 12 3 + = 2 2x y

b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh: x2 x 3 = 0. Tnh gi tr biu thc: P = x12 + x22. Cu 3:



a) Bit ng thng y = ax + b i qua im M ( 2; 12

) v song song vi

ng thng 2x + y = 3. Tm cc h s a v b. b) Tnh cc kch thc ca mt hnh ch nht c din tch bng 40 cm2, bit rng nu tng mi kch thc thm 3 cm th din tch tng thm 48 cm2. Cu 4: Cho tam gic ABC vung ti A, M l mt im thuc cnh AC (M khc A v C ). ng trn ng knh MC ct BC ti N v ct tia BM ti I. Chng minh rng:

a) ABNM v ABCI l cc t gic ni tip ng trn.

b) NM l tia phn gic ca gc ANI . c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.

Cu 5: Cho biu thc A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 . Hi A c gi tr nh nht hay khng? V sao?

S 7

Cu 1: a) Tm iu kin ca x biu thc sau c ngha: A = x - 1 + 3 - x

b) Tnh: 1 13 5 5 1

Cu 2: Gii phng trnh v bt phng trnh sau: a) ( x 3 )2 = 4

b) x - 1 1 < 2x + 1 2

Cu 3: Cho phng trnh n x: x2 2mx - 1 = 0 (1) a) Chng minh rng phng trnh cho lun c hai nghim phn bit x1 v x2. b) Tm cc gi tr ca m : x12 + x22 x1x2 = 7. Cu 4: Cho ng trn (O;R) c ng knh AB. V dy cung CD vung gc vi AB (CD khng i qua tm O). Trn tia i ca tia BA ly im S; SC ct (O; R) ti im th hai l M.

a) Chng minh SMA ng dng vi SBC. b) Gi H l giao im ca MA v BC; K l giao im ca MD v AB. Chng minh BMHK l t gic ni tip v HK // CD.

c) Chng minh: OK.OS = R2.



Cu 5: Gii h phng trnh: 3

3

x + 1 = 2yy + 1 = 2x

.

S 8

Cu 1: a) Gii h phng trnh: 2x + y = 5x - 3y = - 1

b) Gi x1,x2 l hai nghim ca phng trnh:3x2 x 2 = 0. Tnh gi

tr biu thc: P = 1 2

1 1 + x x

.

Cu 2: Cho biu thc A = a a a 1:a - 1a 1 a - a

vi a > 0, a 1

a) Rt gn biu thc A. b) Tm cc gi tr ca a A < 0.

Cu 3: Cho phng trnh n x: x2 x + 1 + m = 0 (1) a) Gii phng trnh cho vi m = 0. b) Tm cc gi tr ca m phng trnh (1) c hai nghim x1, x2 tha mn: x1x2.( x1x2 2 ) = 3( x1 + x2 ). Cu 4: Cho na ng trn tm O ng knh AB = 2R v tia tip tuyn Ax cng pha vi na ng trn i vi AB. T im M trn Ax k tip tuyn th hai MC vi na ng trn (C l tip im). AC ct OM ti E; MB ct na ng trn (O) ti D (D khc B). a) Chng minh: AMCO v AMDE l cc t gic ni tip ng trn.

b) Chng minh ADE ACO . c) V CH vung gc vi AB (H AB). Chng minh rng MB i qua trung im ca CH. Cu 5: Cho cc s a, b, c 0 ; 1 . Chng minh rng: a + b2 + c3 ab bc ca 1.

S 9

Cu 1: a) Cho hm s y = 3 2 x + 1. Tnh gi tr ca hm s khi x = 3 2 .

b) Tm m ng thng y = 2x 1 v ng thng y = 3x + m ct nhau ti mt im nm trn trc honh.



Cu 2: a) Rt gn biu thc: A = 3 x 6 x x - 9:x - 4 x 2 x 3

vi

x 0, x 4, x 9 .

b) Gii phng trnh:

2x - 3x + 5 1x + 2 x - 3 x - 3

Cu 3: Cho h phng trnh: 3x - y = 2m - 1x + 2y = 3m + 2

(1)

a) Gii h phng trnh cho khi m = 1. b) Tm m h (1) c nghim (x; y) tha mn: x2 + y2 = 10. Cu 4: Cho na ng trn tm O ng knh AB. Ly im M thuc on thng OA, im N thuc na ng trn (O). T A v B v cc tip tuyn Ax v By. ng thng qua N v vung gc vi NM ct Ax, By th t ti C v D. a) Chng minh ACNM v BDNM l cc t gic ni tip ng trn. b) Chng minh ANB ng dng vi CMD. c) Gi I l giao im ca AN v CM, K l giao im ca BN v DM. Chng minh IK //AB.

Cu 5: Chng minh rng:

a + b 12a 3a + b b 3b + a

vi a, b l cc s

dng.

S 10 Cu 1: Rt gn cc biu thc:

a) A = 23 8 50 2 1

b) B = 2

2

2 x - 2x + 1.x - 1 4x

, vi 0 < x < 1

Cu 2:Gii h phng trnh v phng trnh sau:

a) 2 x - 1 y = 3

x - 3y = - 8

.

b) x + 3 x 4 0



Cu 3: Mt x nghip sn xut c 120 sn phm loi I v 120 sn phm loi II trong thi gian 7 gi. Mi gi sn xut c s sn phm loi I t hn s sn phm loi II l 10 sn phm. Hi mi gi x nghip sn xut c bao nhiu sn phm mi loi. Cu 4: Cho hai ng trn (O) v (O ) ct nhau ti A v B. V AC, AD th t l ng knh ca hai ng trn (O) v (O ) . a) Chng minh ba im C, B, D thng hng. b) ng thng AC ct ng trn (O ) ti E; ng thng AD ct ng trn (O) ti F (E, F khc A). Chng minh 4 im C, D, E, F cng nm trn mt ng trn. c) Mt ng thng d thay i lun i qua A ct (O) v (O ) th t ti M v N. Xc nh v tr ca d CM + DN t gi tr ln nht. Cu 5: Cho hai s x, y tha mn ng thc:

2 2x + x 2011 y + y 2011 2011 Tnh: x + y

S 11

Cu 1: 1) Rt gn biu thc:

2

1 - a a 1 - aA a1 - a1 - a

vi a 0 v a 1.

2) Gii phng trnh: 2x2 - 5x + 3 = 0 Cu 2: 1) Vi gi tr no ca k, hm s y = (3 - k) x + 2 nghch bin trn R. 2) Gii h phng trnh:

4x + y = 53x - 2y = - 12

Cu 3: Cho phng trnh x2 - 6x + m = 0. 1) Vi gi tr no ca m th phng trnh c 2 nghim tri du. 2) Tm m phng trnh c 2 nghim x1, x2 tho mn iu kin x1 - x2 = 4.

Cu 4: Cho ng trn (O; R), ng knh AB. Dy BC = R. T B k tip tuyn Bx vi ng trn. Tia AC ct Bx ti M. Gi E l trung im ca AC. 1) Chng minh t gic OBME ni tip ng trn. 2) Gi I l giao im ca BE vi OM. Chng minh: IB.IE = IM.IO.



Cu 5: Cho x > 0, y > 0 v x + y 6. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P = 3x + 2y + 6 8 + x y

.

S 12

Cu 1: Tnh gn biu thc: 1) A = 20 - 45 + 3 18 + 72 .

2) B = a + a a - a1 + 1 + a + 1 1- a

vi a 0, a 1.

Cu 2: 1) Cho hm s y = ax2, bit th hm s i qua im A (- 2 ; -12). Tm a. 2) Cho phng trnh: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1) a. Gii phng trnh vi m = 5 b. Tm m phng trnh (1) c 2 nghim phn bit, trong c 1 nghim bng - 2. Cu 3: Mt tha rung hnh ch nht, nu tng chiu di thm 2m, chiu rng thm 3m th din tch tng thm 100m2. Nu gim c chiu di v chiu rng i 2m th din tch gim i 68m2. Tnh din tch tha rung . Cu 4: Cho tam gic ABC vung A. Trn cnh AC ly 1 im M, dng ng trn tm (O) c ng knh MC. ng thng BM ct ng trn tm (O) ti D, ng thng AD ct ng trn tm (O) ti S. 1) Chng minh t gic ABCD l t gic ni tip v CA l tia phn gic ca gc BCS. 2) Gi E l giao im ca BC vi ng trn (O). Chng minh cc ng thng BA, EM, CD ng quy. 3) Chng minh M l tm ng trn ni tip tam gic ADE. Cu 5: Gii phng trnh.

2 2x - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x + 2x - 3

S 13

Cu 1: Cho biu thc: P = a a - 1 a a + 1 a +2 - : a - 2a - a a + a

vi a > 0, a 1, a 2.

1) Rt gn P. 2) Tm gi tr nguyn ca a P c gi tr nguyn.



Cu 2: 1) Cho ng thng d c phng trnh: ax + (2a - 1) y + 3 = 0 Tm a ng thng d i qua im M (1, -1). Khi , hy tm h s gc ca ng thng d. 2) Cho phng trnh bc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. a) Tm m, bit phng trnh c nghim x = 0. b) Xc nh gi tr ca m phng trnh c tch 2 nghim bng 5, t hy tnh tng 2 nghim ca phng trnh. Cu 3: Gii h phng trnh:

4x + 7y = 18

3x - y = 1

Cu 4: Cho ABC cn ti A, I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip gc A, O l trung im ca IK. 1) Chng minh 4 im B, I, C, K cng thuc mt ng trn tm O. 2) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn tm (O). 3) Tnh bn knh ca ng trn (O), bit AB = AC = 20cm, BC = 24cm. Cu 5: Gii phng trnh: x2 + x + 2010 = 2010.

S 14 Cu 1: Cho biu thc

P = x + 1 2 x 2 + 5 x + + 4 - xx - 2 x + 2

vi x 0, x 4.

1) Rt gn P. 2) Tm x P = 2.

Cu 2: Trong mt phng, vi h ta Oxy, cho ng thng d c phng trnh: y m 1 x n( ) . 1) Vi gi tr no ca m v n th d song song vi trc Ox. 2) Xc nh phng trnh ca d, bit d i qua im A(1; - 1) v c h s gc bng -3. Cu 3: Cho phng trnh: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)

1) Gii phng trnh vi m = -3 2) Tm m phng trnh (1) c 2 nghim tho mn h thc 2 21 2x + x = 10. 3) Tm h thc lin h gia cc nghim khng ph thuc gi tr ca m.

Cu 4: Cho tam gic ABC vung A (AB > AC), ng cao AH. Trn na mt phng b BC cha im A, v na ng trn ng knh BH ct AB ti E, na ng trn ng knh HC ct AC ti F. Chng minh: 1) T gic AFHE l hnh ch nht.



2) T gic BEFC l t gic ni tip ng trn. 3) EF l tip tuyn chung ca 2 na ng trn ng knh BH v HC.

Cu 5: Cc s thc x, a, b, c thay i, tha mn h:

2 2 2 2

x + a + b + c = 7 (1)x + a + b + c = 13 (2)

Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca x.

S 15

Cu 1: Cho M = x 1 1 2 - : + x - 1x - 1 x - x x 1

vi x 0, x 1 .

a) Rt gn M. b) Tm x sao cho M > 0.

Cu 2: Cho phng trnh x2 - 2mx - 1 = 0 (m l tham s) a) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim phn bit. b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh trn. Tm m 2 21 2x + x - x1x2 = 7

Cu 3: Mt on xe ch 480 tn hng. Khi sp khi hnh c thm 3 xe na nn mi xe ch t hn 8 tn. Hi lc u on xe c bao nhiu chic, bit rng cc xe ch khi lng hng bng nhau.

Cu 4: Cho ng trn (O) ng kinh AB = 2R. im M thuc ng trn sao cho MA < MB. Tip tuyn ti B v M ct nhau N, MN ct AB ti K, tia MO ct tia NB ti H. a) T gic OAMN l hnh g ? b) Chng minh KH // MB.

Cu 5: Tm x, y tho mn 5x - 2 x (2 + y) + y2 + 1 = 0.

S 16

Cu 1: Cho biu thc: K = x 2x - x - x - 1 x - x

vi x >0 v x 1

1) Rt gn biu thc K 2) Tm gi tr ca biu thc K ti x = 4 + 2 3

Cu 2: 1) Trong mt phng ta Oxy, ng thng y = ax + b i qua im M (-1; 2) v song song vi ng thng y = 3x + 1. Tm h s a v b.



2) Gii h phng trnh: 3x 2y 6x - 3y 2

Cu 3: Mt i xe nhn vn chuyn 96 tn hng. Nhng khi sp khi hnh c thm 3 xe na, nn mi xe ch t hn lc u 1,6 tn hng. Hi lc u i xe c bao nhiu chic. Cu 4: Cho ng trn (O) vi dy BC c nh v mt im A thay i trn cung ln BC sao cho AC > AB v AC> BC. Gi D l im chnh gia ca cung nh BC. Cc tip tuyn ca (O) ti D v C ct nhau ti E. Gi P, Q ln lt l giao im ca cc cp ng thng AB vi CD; AD vi CE.

1) Chng minh rng: DE//BC 2) Chng minh t gic PACQ ni tip ng trn. 3) Gi giao im ca cc dy AD v BC l F. Chng minh h thc:

1CE

= 1CQ

+ 1CF

Cu 5: Cho cc s dng a, b, c. Chng minh rng:

a b c1 + + 2a + b b + c c + a

S 17

Cu 1: Cho x1 = 3 + 5 v x2 = 3 - 5

Hy tnh: A = x1 . x2; B = 2 21 2x + x Cu 2: Cho phng trnh n x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0

a) Gii phng trnh vi m = -2. b) Tm m phng trnh c hai nghim sao cho tch cc nghim

bng 6. Cu 3: Cho hai ng thng (d): y = - x + m + 2 v (d): y = (m2 - 2) x + 1 a) Khi m = -2, hy tm to giao im ca chng. b) Tm m (d) song song vi (d) Cu 4: Cho 3 im A, B, C thng hng (B nm gia A v C). V ng trn tm O ng knh BC; AT l tip tuyn v t A. T tip im T v ng thng vung gc vi BC, ng thng ny ct BC ti H v ct ng trn ti K (K T). t OB = R.

a) Chng minh OH.OA = R2. b) Chng minh TB l phn gic ca gc ATH.



c) T B v ng thng song song vi TC. Gi D, E ln lt l giao im ca ng thng va v vi TK v TA. Chng minh rng TED cn.

d) Chng minh HB AB = HC AC

Cu 5: Cho x, y l hai s thc tho mn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0 Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca biu thc A = x + y + 1

S 18

Cu 1: Rt gn cc biu thc: 1) 45 20 5 .

2) x x x 4x x 2

vi x > 0.

Cu 2: Mt tha vn hnh ch nht c chu vi bng 72m. Nu tng chiu rng ln gp i v chiu di ln gp ba th chu vi ca tha vn mi l 194m. Hy tm din tch ca tha vn cho lc ban u.

Cu 3: Cho phng trnh: x2- 4x + m +1 = 0 (1) 1) Gii phng trnh (1) khi m = 2. 2) Tm gi tr ca m phng trnh (1) c 2 nghim x1, x2 tha

mn ng thc 2 21 2x + x = 5 (x1 + x2)

Cu 4: Cho 2 ng trn (O) v (O ) ct nhau ti hai im A, B phn bit. ng thng OA ct (O), (O ) ln lt ti im th hai C, D. ng thng OA ct (O), (O ) ln lt ti im th hai E, F.

1. Chng minh 3 ng thng AB, CE v DF ng quy ti mt im I. 2. Chng minh t gic BEIF ni tip c trong mt ng trn. 3. Cho PQ l tip tuyn chung ca (O) v (O ) (P (O), Q (O ) ). Chng minh ng thng AB i qua trung im ca on thng PQ.

Cu 5: Gii phng trnh: 1x

+ 2

12 x

= 2

S 19

Cu 1: Cho cc biu thc A = 5 7 5 11 11 5B 55 1 11 5 55

, :

a) Rt gn biu thc A. b) Chng minh: A - B = 7.



Cu 2: Cho h phng trnh 3x + my = 5mx - y = 1

a) Gii h khi m = 2 b) Chng minh h c nghim duy nht vi mi m. Cu 3: Mt tam gic vung c cnh huyn di 10m. Hai cnh gc vung hn km nhau 2m. Tnh cc cnh gc vung. Cu 4: Cho na ng trn (O) ng knh AB. im M thuc na ng trn, im C thuc on OA. Trn na mt phng b l ng thng AB cha im M v tip tuyn Ax, By. ng thng qua M vung gc vi MC ct Ax, By ln lt ti P v Q; AM ct CP ti E, BM ct CQ ti F. a) Chng minh t gic APMC ni tip ng trn.

b) Chng minh gc PCQ = 900. c) Chng minh AB // EF.

Cu 5: Tm gi tr nh nht ca biu thc: P = 4 2

2

x + 2x + 2x + 1

.

S 20

Cu 1: Rt gn cc biu thc :

a) A = 2 2 - 5 - 2 5 + 2

b) B = 1 x - 1 1 - xx - : + x x x + x

vi x 0, x 1.

Cu 2: Cho phng trnh x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Gii phng trnh vi m = 1 b) Tm cc gi tr ca m phng trnh (1) c mt nghim x = - 2 c) Tm cc gi tr ca m phng trnh (1) c nghim x1, x2 tho mn 2 21 2 1 2x x + x x = 24

Cu 3: Mt phng hp c 360 ch ngi v c chia thnh cc dy c s ch ngi bng nhau. nu thm cho mi dy 4 ch ngi v bt i 3 dy th s ch ngi trong phng khng thay i. Hi ban u s ch ngi trong phng hp c chia thnh bao nhiu dy.

Cu 4: Cho ng trn (O,R) v mt im S ngoi ng trn. V hai tip tuyn SA, SB ( A, B l cc tip im). V ng thng a i qua S v ct ng trn (O) ti M v N, vi M nm gia S v N (ng thng a khng i qua tm O).



a) Chng minh: SO AB b) Gi H l giao im ca SO v AB; gi I l trung im ca MN. Hai ng thng OI v AB ct nhau ti E. Chng minh rng IHSE l t gic ni tip ng trn. c) Chng minh OI.OE = R2.

Cu 5: Tm m phng trnh n x sau y c ba nghim phn bit: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).

S 21

Cu 1. 1) Trc cn thc mu s 25 1

.

2) Gii h phng trnh : 4

2 3 0x y

x

.

Cu 2. Cho hai hm s: 2xy v 2 xy 1) V th ca hai hm s ny trn cng mt h trc Oxy. 2) Tm to cc giao im M, N ca hai th trn bng php tnh.

Cu 3. Cho phng trnh 01122 2 mxmx vi m l tham s. 1) Gii phng trnh khi 2m .

2) Tm m phng trnh c hai nghim 21 , xx tho mn

2 21 1 2 24 2 4 1x x x x .

Cu 4. Cho ng trn (O) c ng knh AB v im C thuc ng trn (C khc A , B ). Ly im D thuc dy BC (D khc B, C). Tia AD ct cung nh BC ti im E, tia AC ct tia BE ti im F. 1) Chng minh rng FCDE l t gic ni tip ng trn. 2) Chng minh rng DA.DE = DB.DC. 3) Gi I l tm ng trn ngoi tip t gic FCDE, chng minh rng IC l tip tuyn ca ng trn (O) .

Cu 5. Tm nghim dng ca phng trnh : 28

9477 2 xxx .



S 22 Cu 1: 1) Gii phng trnh: x2 - 2x - 15 = 0

2) Trong h trc to Oxy, bit ng thng y = ax - 1 i qua im M (- 1; 1). Tm h s a.

Cu 2: Cho biu thc: P =

1121

2 aaa

aaa

aa vi a > 0, a 1

1) Rt gn biu thc P 2) Tm a P > - 2

Cu 3: Thng ging hai t sn xut c 900 chi tit my; thng hai do ci tin k thut t I vt mc 15% v t II vt mc 10% so vi thng ging, v vy hai t sn xut c 1010 chi tit my. Hi thng ging mi t sn xut c bao nhiu chi tit my? Cu 4: Cho im C thuc on thng AB. Trn cng mt na mp b AB v hai tia Ax, By vung gc vi AB. Trn tia Ax ly mt im I, tia vung gc vi CI ti C ct tia By ti K . ng trn ng knh IC ct IK ti P.

1) Chng minh t gic CPKB ni tip ng trn. 2) Chng minh rng AI.BK = AC.BC.

3) Tnh APB . Cu 5: Tm nghim nguyn ca phng trnh x2 + px + q = 0 bit p + q = 198.

S 23 Cu 1. 1) Tnh gi tr ca A = 5.805320 . 2) Gii phng trnh 0274 24 xx . Cu 2.

1) Tm m ng thng 63 xy v ng thng 1225

mxy ct

nhau ti mt im nm trn trc honh. 2) Mt mnh t hnh ch nht c di ng cho l 13m v

chiu di ln hn chiu rng 7m. Tnh din tch ca hnh ch nht . Cu 3. Cho phng trnh 0322 mxx vi m l tham s.

1) Gii phng trnh khi 3m . 2) Tm gi tr ca m phng trnh trn c hai nghim phn bit

21 , xx tho mn iu kin: 122 21221 xxxx .



Cu 4. Cho hai ng trn (O, R) v (O, R) vi R > R ct nhau ti A v B. K tip tuyn chung DE ca hai ng trn vi D (O) v E (O) sao cho B gn tip tuyn hn so vi A.

1) Chng minh rng DAB BDE . 2) Tia AB ct DE ti M. Chng minh M l trung im ca DE. 3) ng thng EB ct DA ti P, ng thng DB ct AE ti Q. Chng minh rng PQ song song vi AB.

Cu 5. Tm cc gi tr x 134

2

xx l s nguyn m.

S 24

Cu 1. Rt gn:

1) A = 5 5(1 5) .2 5

2) B = 1 11 1x x x x

x x

vi 0 1x .

Cu 2. Cho phng trnh 05232 mxmx vi m l tham s. 1) Chng minh rng vi mi gi tr ca m phng trnh lun c

nghim 2x . 2) Tm gi tr ca m phng trnh trn c nghim 225x . Cu 3. Mt xe t cn chy qung ng 80km trong thi gian d nh. V tri ma nn mt phn t qung ng u xe phi chy chm hn vn tc d nh l 15km/h nn qung ng cn li xe phi chy nhanh hn vn tc d nh l 10km/h. Tnh thi gian d nh ca xe t . Cu 4. Cho na ng trn tm O ng knh AB. Ly im C thuc na ng trn v im D nm trn on OA. V cc tip tuyn Ax, By ca na ng trn. ng thng qua C, vung gc vi CD ct ct tip tuyn Ax, By ln lt ti M v N. 1) Chng minh cc t gic ADCM v BDCN ni tip c ng trn.

2) Chng mnh rng 090MDN . 3) Gi P l giao im ca AC v DM, Q l giao im ca BC v DN. Chng minh rng PQ song song vi AB. Cu 5. Cho cc s dng a, b, c. Chng minh bt ng thc:

4a b b c c a a b cc a b b c c a a b

.



S 25

Cu 1. Cho biu thc A = 1 1 2:11 1

xxx x x x

vi a > 0, a 1

1) Rt gn biu thc A.

2) Tnh gi tr ca A khi 2 2 3x . Cu 2. Cho phng trnh 2 1 0x ax b vi ba, l tham s. 1) Gii phng trnh khi 3a v 5b . 2) Tm gi tr ca ba, phng trnh trn c hai nghim phn bit

21 , xx tho mn iu kin:

9

332

31

21

xxxx

.

Cu 3. Mt chic thuyn chy xui dng t bn sng A n bn sng B cch nhau 24km. Cng lc , t A mt chic b tri v B vi vn tc dng nc l 4 km/h. Khi v n B th chic thuyn quay li ngay v gp chic b ti a im C cch A l 8km. Tnh vn tc thc ca chic thuyn. Cu 4. Cho ng trong (O, R) v ng thng d khng qua O ct ng trn ti hai im A, B. Ly mt im M trn tia i ca tia BA k hai tip tuyn MC, MD vi ng trn (C, D l cc tip im). Gi H l trung im ca AB. 1) Chng minh rng cc im M, D, O, H cng nm trn mt ng trn. 2) on OM ct ng trn ti I. Chng minh rng I l tm ng trn ni tip tam gic MCD. 3) ng thng qua O, vung gc vi OM ct cc tia MC, MD th t ti P v Q. Tm v tr ca im M trn d sao cho din tch tam gic MPQ b nht.

Cu 5. Cho cc s thc dng a, b, c tho mn 1a b cabc

.

Tm gi tr nh nht ca biu thc P = a b a c .

S 26

Cu 1: 1) Rt gn biu thc: 1 12 5 2 5

.

2) Gii h phng trnh: 3x + y = 9x - 2y = - 4

.



Cu 2: Cho biu thc P = 1 1 x:x + x x 1 x + 2 x 1

vi x > 0.

1) Rt gn biu thc P.

2) Tm cc gi tr ca x P > 12

.

Cu 3: Cho phng trnh n x: x2 x + m = 0 (1) 1) Gii phng trnh cho vi m = 1. 2) Tm cc gi tr ca m phng trnh (1) c hai nghim x1, x2 tha mn: (x1x2 1)2 = 9( x1 + x2 ). Cu 4: Cho t gic ABCD c hai nh B v C trn na ng trn ng knh AD, tm O. Hai ng cho AC v BD ct nhau ti E. Gi H l hnh chiu vung gc ca E xung AD v I l trung im ca DE. Chng minh rng: 1) Cc t gic ABEH, DCEH ni tip c ng trn. 2) E l tm ng trn ni tip tam gic BCH. 2) Nm im B, C, I, O, H cng thuc mt ng trn.

Cu 5: Gii phng trnh: 2x + 8 x + 3 x 11x + 24 1 5 .

S 27 Cu 1: Rt gn cc biu thc sau:

1) A = 1 220 80 452 3

2) B = 5 5 5 52 . 25 1 5 1

Cu 2: 1) Gii h phng trnh: 2x - y = 1 - 2y 3x + y = 3 - x

2) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh: x2 x 3 = 0.

Tnh gi tr biu thc P = 1 2

1 1x x

.

Cu 3. Mt xe la i t Hu ra H Ni. Sau 1 gi 40 pht, mt xe la khc i t H Ni vo Hu vi vn tc ln hn vn tc ca xe la th nht l 5 km/h. Hai xe gp nhau ti mt ga cch H Ni 300 km. Tm vn tc ca mi xe, gi thit rng qung ng st Hu-H Ni di 645km. Cu 4. Cho na ng trn tm O ng knh AB. C l mt im nm gia O v A. ng thng vung gc vi AB ti C ct na ng trn trn ti I.



K l mt im bt k nm trn on thng CI (K khc C v I), tia AK ct na ng trn (O) ti M, tia BM ct tia CI ti D. Chng minh: 1) ACMD l t gic ni tip ng trn. 2) ABD ~ MBC 3) Tm ng trn ngoi tip tam gic AKD nm trn mt ng thng c nh khi K di ng trn on thng CI. Cu 5: Cho hai s dng x, y tha mn iu kin x + y = 1.

Hy tm gi tr nh nht ca biu thc: A = 2 21 1

x y xy

S 28

Cu 1: 1) Gii h phng trnh: 2x + y = 7x - 3y = - 7

2) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh: 3x2 x 2 = 0. Tnh gi tr biu thc P = x12 + x22.

Cu 2: Cho biu thc A = a a a 1:a - 1a 1 a + a

vi a > 0, a 1.

1) Rt gn biu thc A. 2) Tm cc gi tr ca a A < 0. Cu 3: Cho phng trnh n x: x2 2mx - 1 = 0 (1) 1) Chng minh rng phng trnh cho lun c hai nghim phn bit x1 v x2. 2) Tm cc gi tr ca m : x12 + x22 x1x2 = 7. Cu 4: Cho na ng trn tm O ng knh AB = 2R v tia tip tuyn Ax cng pha vi na ng trn i vi AB. T im M trn Ax k tip tuyn th hai MC vi na ng trn (C l tip im). AC ct OM ti E; MB ct na ng trn (O) ti D (D khc B).

1) Chng minh: AMDE l t gic ni tip ng trn. 2) MA2 = MD.MB 3) V CH vung gc vi AB (H AB). Chng minh rng MB i qua trung im ca CH.

Cu 5: Gii phng trnh: 4 1 5x - x + 2x - x x x



S 29

Cu 1: a) Cho ng thng d c phng trnh: y mx 2m 4 . Tm m th hm s i qua gc ta .

b) Vi nhng gi tr no ca m th th hm s 2 2y m m x( ) i qua im A(-1; 2).

Cu 2: Cho biu thc P =

aaa31

31

31 vi a > 0 v a 9.

a) Rt gn biu thc P

b) Tm cc gi tr ca a P > 21 .

Cu 3: Hai ngi cng lm chung mt cng vic th hon thnh trong 4 gi. Nu mi ngi lm ring, hon thnh cng vic th thi gian ngi th nht t hn thi gian ngi th hai l 6 gi. Hi nu lm ring th mi ngi phi lm trong bao lu hon thnh cng vic. Cu 4: Cho na ng trn ng knh BC = 2R. T im A trn na ng trn v AH BC. Na ng trn ng knh BH, CH ln lt c tm O1; O2 ct AB, AC th t ti D v E.

a) Chng minh t gic ADHE l hnh ch nht, t tnh DE bit R = 25 v BH = 10

b) Chng minh t gic BDEC ni tip ng trn. c) Xc nh v tr im A din tch t gic DEO1O2 t gi tr ln

nht. Tnh gi tr .

Cu 5: Gii phng trnh: x3 + x2 - x = - 13

.

S 30

Cu 1. 1) Gii phng trnh: 0753 x .

2) Gii h phng trnh

42123

yxyx

.

Cu 2. Cho phng trnh 032 2 mxmx (1) vi m l tham s. 1) Gii phng trnh khi 2m .



2) Chng t phng trnh (1) c nghim vi mi gi tr ca m. Gi 21 , xx l cc nghim ca phng trnh (1). Tm gi tr nh nht ca biu

thc sau: A = 21 xx . Cu 3.

1) Rt gn biu thc P = 3

2

9 25 42

a a aa a

vi 0a .

2) Khong cch gia hai bn sng A v B l 48 km. Mt can xui dng t bn A n bn B, ri quay li bn A. Thi gian c i v v l 5 gi (khng tnh thi gian ngh). Tnh vn tc ca can trong nc yn lng, bit rng vn tc ca dng nc l 4 km/h. Cu 4. Cho tam gic vung ABC ni tip trong ng trn tm O ng knh AB. Trn tia i ca tia CA ly im D sao cho CD = AC. 1) Chng minh tam gic ABD cn. 2) ng thng vung gc vi AC ti A ct ng trn (O) ti E (E A). Tn tia i ca tia EA ly im F sao cho EF = AE. Chng minh rng ba im D, B, F cng nm trn mt ng thng. 3) Chng minh rng ng trn i qua ba im A, D, F tip xc vi ng trn (O). Cu 5. Cho cc s dng cba ,, . Chng minh bt ng thc:

2

ba

cac

bcb

a .

S 31

Cu 1: Tnh:

a) A 20 3 18 45 72 .

b) B 4 7 4 7 .

c) C x 2 x 1 x 2 x 1 vi x > 1 Cu 2: Cho hm s y = (2m - 1)x - m + 2

a) Tm m hm s nghch bin trn R. b) Tm m th hm s i qua A (1; 2)

Cu 3: Hai ngi th cng lm cng vic trong 16 gi th xong. Nu ngi

th nht lm 3 gi, ngi th hai lm 6 gi th h lm c 41 cng vic.

Hi mi ngi lm mt mnh th trong bao lu lm xong cng vic?



Cu 4: Cho ba im A, B, C c nh thng hng theo th t . V ng trn (O; R) bt k i qua B v C (BC 2R). T A k cc tip tuyn AM, AN n (O) (M, N l tip im). Gi I, K ln lt l trung im ca BC v MN; MN ct BC ti D. Chng minh:

a) AM2 = AB.AC b) AMON; AMOI l cc t gic ni tip ng trn. c) Khi ng trn (O) thay i, tm ng trn ngoi tip OID lun

thuc mt ng thng c nh. Cu 5: Tm cc s nguyn x, y tha mn phng trnh: (2x +1)y = x +1.

S 32

Cu 1: 1) Rt gn biu thc: P = ( 7 3 2)( 7 3 2) .

2) Trong mp to Oxy, tm m ng thng (d): 2y m 1 x 1( )

song song vi ng thng d y 3x m 1( ) : .

Cu 2: Cho phng trnh x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1)

a) Gii phng trnh (1) khi m = 1

b) Tm m phng trnh (1) c 2 nghim m.

Cu 3: Cho a, b l cc s dng tho mn ab = 1. Tm gi tr nh nht ca

biu thc: A = (a + b + 1)(a2 + b2) + ba

4 .

Cu 4: Qua im A cho trc nm ngoi ng trn (O) v 2 tip tuyn AB, AC (B, C l cc tip im), ly im M trn cung nh BC, v MH BC; MI AC; MK AB.

a) Chng minh cc t gic: BHMK, CHMI ni tip ng trn.

b) Chng minh MH2 = MI.MK

c) Qua M v tip tuyn vi ng trn (O) ct AB, AC ti P, Q. Chng minh chu viAPQ khng ph thuc vo v tr im M.

Cu 5: Chng minh nu a 2 th h phng trnh: 5

2 2

x 2y a (1)x y 1 (2)

v

nghim.



S 33

Cu 1: a) Gii h phng trnh: x 3y 10

2x y 1

.

b) Vi gi tr no ca m th hm s y = (m + 2) x - 3 ng bin trn tp xc nh.

Cu 2: Cho biu thc A =

12

11:

121

aaaaa

aaa vi

a > 0, a 1 a) Rt gn biu thc A. b) Tnh gi tr ca A khi a = 2011 - 2 2010 .

Cu 3: Cho phng trnh: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.

a) Gii phng trnh vi k = - 21 .

b) Chng minh rng phng trnh lun c nghim vi mi gi tr ca k. Cu 4: Cho hai ng trn (O; R) v (O; R) tip xc ngoi ti A. V tip tuyn chung ngoi BC (B, C th t l cc tip im thuc (O; R) v (O; R)).

a) Chng minh BAC = 900 . b) Tnh BC theo R, R. c) Gi D l giao im ca ng thng AC v ng trn (O) (D A),

v tip tuyn DE vi ng trn (O) (E (O)). Chng minh BD = DE. Cu 5: Cho hai phng trnh: x2 + a1x + b1 = 0 (1) , x2 + a2x + b2 = 0 (2) Cho bit a1a2 > 2 (b1 + b2) . Chng minh t nht mt trong hai phng trnh cho c nghim.

S 34

Cu 1: Rt gn biu thc: P = 22 )11()11( aa vi a > 1

Cu 2: Cho biu thc: Q =

11

11

21

2

2

xx

xx

xx .

1) Tm tt c cc gi tr ca x Q c ngha. Rt gn Q.

2) Tm tt c cc gi tr ca x Q = - 3 x - 3.

Cu 3: Cho phng trnh x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 vi m l tham s.

Tm tt c cc gi tr ca m phng trnh c ng 2 nghim phn bit.



Cu 4: Gii phng trnh: 2621963 22 xxxx = 8 - x2 + 2x . Cu 5: Cho ng trn (O), ng knh AB, d1, d2 l cc cc ng thng ln lt qua A, B v cng vung gc vi ng thng AB. M, N l cc im ln lt thuc d1, d2 sao cho MON = 900.

1) Chng minh ng thng MN l tip tuyn ca ng trn (O).

2) Chng minh AM . AN = 4

2AB .

3) Xc nh v tr ca M, N din tch tam gic MON t gi tr nh nht.

S 35

Cu 1: Rt gn A = 3

962

xxx vi x 3 .

Cu 2: a) Gii phng trnh 2x 2x 4 2 . b) Vit phng trnh ng thng (d) i qua 2 im A(1; 2) v B(2; 0).

Cu 3: Cho phng trnh: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1) a) Gii phng trnh khi m = 2. b) Tm m phng trnh c ng 2 nghim phn bit.

Cu 4: T im M ngoi ng trn (O; R) v hai tip tuyn MA, MB (tip im A; B) v ct tuyn ct ng trn ti 2 im C v D khng i qua O. Gi I l trung im ca CD. a) Chng minh 5 im M, A, I, O, B cng thuc mt ng trn.

b) Chng minh IM l phn gic ca AIB .

Cu 5: Gii h phng trnh: 4 4

3 3 2 2

x y 1x y x y

.

S 36

Cu 1: a) Tnh 2 2(1 5) (1 5) . b) Gii phng trnh: x2 + 2x - 24 = 0.

Cu 2: Cho biu thc: P = a

aaa

aa

973

31

32 vi a > 0, a 9.

a) Rt gn. b) Tm a P < 1.



Cu 3: Cho phng trnh: x4 - 5x2 + m = 0 (1) a) Gii phng trnh khi m = 4. b) Tm m phng trnh (1) c ng 2 nghim phn bit.

Cu 4: Cho ng trn (O), t im A ngoi ng trn v ng thng AO ct ng trn (O) ti B, C (AB < AC). Qua A v ng thng khng i qua (O) ct ng trn (O) ti D; E (AD < AE). ng thng vung gc vi AB ti A ct ng thng CE ti F.

a) Chng minh t gic ABEF ni tip ng trn. b) Gi M l giao im th hai ca FB vi ng trn (O), chng minh

DM AC. c) Chng minh: CE . CF + AD . AE = AC2.

Cu 5: Tm gi tr nh nht ca hm s: y = xx1

12

, vi 0 < x < 1

S 37

Cu 1: Cho biu thc: M = 111

22

xxx

xxxx

xx

Rt gn biu thc M vi x 0.

Cu 2: a) Gii h phng trnh: 3x 5y 18x 2y 5

b) Trong mt phng to Oxy, vi gi tr no ca a, b th ng thng (d): y = ax + 2 - b v ng thng (d): y = (3 - a)x + b song song vi nhau. Cu 3: Cho phng trnh: x2 - 2x + m = 0 (1)

a) Gii phng trnh khi m = - 3.

b) Tm m phng trnh (1) c 2 nghim x1, x2 tho mn: 22

21

11xx

= 1.

Cu 4: ChoABC c 3 gc nhn, trc tm l H v ni tip ng trn (O). V ng knh AK.

a) Chng minh t gic BHCK l hnh hnh hnh. b) V OM BC (M BC). Chng minh H, M, K thng hng v

AH = 2.OM. c) Gi A, B, C l chn cc ng cao thuc cc cnh BC, CA, AB

caABC. Khi BC c nh hy xc nh v tr im A tng S = AB + BC + CA t gi tr ln nht.

Cu 5: Tm gi tr nh nht ca biu thc: y = 2

2

x x 1x 2x 2

.



S 38

Cu 1: Cho biu thc: P = x

xxxx

xx

211

2

vi x > 0.

a) Rt gi biu thc P. b) Tm x P = 0.

Cu 2: a) Gii phng trnh: x + 11 2 x

b) Gii h phng trnh: 6x 6y 5xy

.4 3 1x y

Cu 3: Cho phng trnh: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0. (1) a) Gii phng trnh khi m = - 1.

b) Tm m phng trnh (1) c 2 nghim x1, x2 tho mn 41

2

2

1 xx

xx .

Cu 4: ABC cn ti A. V ng trn (O; R) tip xc vi AB, AC ti B, C. ng thng qua im M trn BC vung gc vi OM ct tia AB, AC ti D, E.

a) Chng minh 4 im O, B, D, M cng thuc mt ng trn. b) MD = ME.

Cu 5: Gii phng trnh: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 12 x

S 39 Cu 1:

1) Tnh: 48 - 2 75 + 108

2) Rt gn biu thc: P= 1 1 1 - . 1 - 1 - x 1 + x x

vi x 1 v x >0

Cu 2: 1) Trn h trc ta Oxy, ng thng y = ax + b i qua 2 im M (3; 2) v N (4; -1).

Tm h s a v b.

2) Gii h phng trnh: 2x + 5y = 73x - y = 2

Cu 3: Cho phng trnh: x2 - 2mx - 6m = 0 (1) 1). Gii phng trnh (1) khi m = 2 2) Tm m phng trnh (1) c 1 nghim gp 2 ln nghim kia.



Cu 4: Cho ng trn (O), ng knh AB c nh, im I nm gia A v O

sao cho AI = 23

AO. K dy MN vung gc vi AB ti I, gi C l im ty thuc cung ln MN sao cho C khng trng vi M, N v B. Ni AC ct MN ti E.

1) Chng minh t gic IECB ni tip . 2) Chng minh h thc: AM2 = AE.AC. 3) Hy xc nh v tr ca im C sao cho khong cch t N n tm ng trn ngoi tip tam gic CME l nh nht.

Cu 5: Cho x v y l hai s tha mn ng thi : x 0 , y 0, 2x + 3y 6 v 2x + y 4. Tm gi tr nh nht v gi tr ln nht ca biu thc K = x 2 - 2x y.

S 40

Cu 1. Trong h trc ta Oxy, cho ng thng d c phng trnh: 3x + 4y = 2. a) Tm h s gc ca ng thng d. b) Vi gi tr no ca tham s m th ng thng d1: y = (m2 -1)x + m song song vi ng thng d.

Cu 2. Tm a, b bit h phng trnh ax by 3bx ay 11

c nghim

x 3y 1

.

Cu 3. Cho phng trnh: 2(1 3)x 2x 1 3 0 (1) a) Chng t phng trnh (1) lun c 2 nghim phn bit. b) Gi 2 nghim ca phng trnh (1) l 1 2x , x . Lp mt phng trnh

bc 2 c 2 nghim l 1

1x

v 2

1x

.

Cu 4. Bn trong hnh vung ABCD v tam gic u ABE . V tia Bx thuc na mt phng cha im E, c b l ng thng AB sao cho Bx vung gc vi BE. Trn tia Bx ly im F sao cho BF = BE. a) Tnh s o cc gc ca tam gic ADE. b) Chng minh 3 im: D, E, F thng hng. c) ng trn tm O ngoi tip tam gic AEB ct AD ti M. Chng minh ME // BF.

Cu 5. Hai s thc x, y tho mn h iu kin : 3 2

2 2 2

x 2y 4y 3 0 (1)x x y 2y 0 (2)

.

Tnh gi tr biu thc P = 2 2x y .



II - N THI TUYN SINH LP 10 CHUYN TON

S 1 Cu 1: Gii cc phng trnh:

a) 2 24 2x 4 x - 9 0x x

b) 2x + 5 x + 2 1 x 7x + 10 3 Cu 2: a) Cho 3 s a, b, c khc 0 tha mn: abc = 1 v

3 3 3

3 3 3

a b c b c ab c a a b c

.

Chng minh rng trong 3 s a, b, c lun tn ti mt s l lp phng ca mt trong hai s cn li.

b) Cho x = 3 384 841 19 9

. Chng minh x c gi tr l mt s nguyn.

Cu 3: Cho cc s dng x, y, z tha mn: x + y + z 3.Tm gi tr ln nht ca biu thc:

A = 2 2 21 x 1 y 1 z 2 x y z . Cu 4: Cho ng trn ( O; R ) v im A nm ngoi ng trn sao cho OA = R 2 . T A v cc tip tuyn AB, AC vi ng trn (B, C l cc tip im). Ly D thuc AB; E thuc AC sao cho chu vi ca tam gic ADE bng 2R. a) Chng minh t gic ABOC l hnh vung. b) Chng minh DE l tip tuyn ca ng trn (O; R). c) Tm gi tr ln nht ca din tch ADE. Cu 5: Trn mt phng cho 99 im phn bit sao cho t 3 im bt k trong s chng u tm c 2 im c khong cch nh hn 1. Chng minh rng tn ti mt hnh trn c bn knh bng 1 cha khng t hn 50 im.

S 2

Cu 1: a) Tm cc s hu t x, y tha mn ng thc:

x ( 3 32011 2010) y( 2011 2010) 2011 2010



b) Tm tt c cc s nguyn x > y > z > 0 tho mn: xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2011.

Cu 2: a) Gii phng trnh: 2(x2 + 2) = 5 13 x . b) Cho a, b, c [0; 2] v a + b + c = 3. Chng minh a2 + b2 + c2 < 5.

Cu 3: Tm tt c cc s hu t x sao cho gi tr ca biu thc x2 + x + 6 l mt s chnh phng. Cu 4: Cho ng trn (O) ngoi tip ABC c H l trc tm. Trn cung nh BC ly im M. Gi N, I, K ln lt l hnh chiu ca M trn BC, CA, AB. Chng minh:

a) Ba im K, N, I thng hng.

b) MNBC

MIAC

MKAB

.

c) NK i qua trung im ca HM. Cu 5: Tm GTLN v GTNN ca biu thc: P = 2x2 - xy - y2 vi x, y tho mn iu kin sau: x2 + 2xy + 3y2 = 4.

S 3

Cu 1: a) Cho a, b, c l 3 s tng i mt khc nhau v tho mn:

a b c + + = 0b - c c - a a - b

Chng minh rng: 2 2 2a b c + + = 0

(b - c) (c - a) (a - b)

b) Tnh gi tr ca biu thc:

A = 2

24 4

4 4

2 11 + + 20102010 - 2010 1 + 2010 2010 + -

1 - 2010 2010 1 + 2010

Cu 2: a) Cho a, b, c l di 3 cnh tam gic, chng minh:

2 2 21 1 1 a + b + c + +

a + bc b + ac c + ab 2abc .

b) Cho biu thc: A = x - 2 xy +3y - 2 x + 1 . Tm gi tr nh nht ca A.



Cu 3: a) Gii phng trnh: 2 x - 1 + 3 5 - x = 2 13 . b) Cho hm s y = f(x) vi f(x) l mt biu thc i s xc nh vi mi s thc x khc

khng. Bit rng: f(x) + 3f 1x

= x2 x 0. Tnh gi tr ca f(2).

Cu 4: Cho lc gic u ABCDEF. Gi M l trung im ca EF, K l trung im ca BD. Chng minh tam gic AMK l tam gic u. Cu 5: Cho t gic li ABCD c din tch S v im O nm trong t gic sao cho:OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chng minh ABCD l hnh vung c tm l im O.

S 4

Cu 1: a) Cho x v y l 2 s thc tho mn x2 + y2 = 4. Tm gi tr ln nht

ca biu thc : A = xyx + y + 2

.

b) Cho x, y, z l 3 s thc dng tho mn x2 + y2 + z2 = 2. Chng minh:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 x + y + z + + + 3x + y y + z z + x 2 xyz

.

Cu 2: a) Gii phng trnh: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 .

b) Tm x, y tho mn: 2 2 2

2 3

x y - 2x + y = 02x - 4x + 3 = - y

.

Cu 3: a) Chng minh rng nu: 2 4 2 2 2 43 3x + x y + y + x y = a th 3 2 2 3 23x + y = a .

b) Chng minh rng nu phng trnh x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0 c nghim th 5(a2 + b2) 4.

Cu 4: Cho na ng trn tm (O) ng knh AB = 2R v bn knh OC vung gc vi AB. Tm im M trn na ng trn sao cho 2MA2 = 15MK2, trong K l chn ng vung gc h t M xung OC.

Cu 5: Cho hnh thang ABCD (AB//CD). Gi E v F ln lt l trung im ca BD v AC. Gi G l giao im ca ng thng i qua F vung gc vi AD vi ng thng i qua E vung gc vi BC. So snh GD v GC.



S 5

Cu 1: 1) Gii phng trnh: x2 + 2

2

81x = 40(x + 9)

.

2) Gii phng trnh:

x2 - 2x + 3(x - 3) x + 1x - 3

= 7.

Cu 2: 1) Tm gi tr nh nht biu thc: A = 2

5 - 3x1 - x

.

2) Cho a, b, c l di 3 cnh ca tam gic. Chng minh:

2 2 2 2 2 2 a + b + b + c + c + a 2 (a + b + c).


2 2

y - xy + 1 = 0 (1)x + 2x + y + 2y + 1 = 0 (2)

Cu 4: Cho hnh thang ABCD c 2 y BC v AD (BC AD). Gi M, N l 2

im ln lt trn 2 cnh AB v DC sao cho AM CN = AB CD

. ng thng MN

ct AC v BD tng ng vi E v F. Chng minh EM = FN. Cu 5: Cho ng trn tm (O) v dy AB, im M chuyn ng trn ng trn. T M k MH vung gc vi AB (H AB). Gi E, F ln lt l hnh chiu vung gc ca H trn MA, MB. Qua M k ng thng vung gc vi EF ct AB ti D.

1) Chng minh ng thng MD lun i qua 1 im c nh khi M thay i trn ng trn.

2) Chng minh: 2

2

MA AH AD = MB BD BH

.

S 6

Cu 1: Tnh gi tr biu thc: A =

1 1 1 + + + 1 + 2 2 + 3 24 + 25

.



Cu 2: a) Cho cc s khc khng a, b, c. Tnh gi tr ca biu thc: M = x2011 + y2011 + z2011

Bit x, y, z tho mn iu kin: 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x + y + z x y z = + + a + b + c a b c

b) Chng minh rng vi a > 18

th s sau y l mt s nguyn dng.

x = 3 3a + 1 8a - 1 a + 1 8a - 1a + + a - .3 3 3 3

Cu 3: a) Cho a, b, c > 0 tho mn: 1 35 4c + 1 + a 35 + 2b 4c + 57

. Tm gi

tr nh nht ca A = a.b.c. b) Gi s a, b, c, d, A, B, C, D l nhng s dng v

a b c d = = = A B C D

. Chng minh rng:

aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D)

Cu 4: Cho tam gic ABC c ba gc nhn. Gi M, N, P, Q l bn nh ca mt hnh ch nht (M v N nm trn cnh BC, P nm trn cnh AC v Q nm trn cnh AB).

a) Chng minh rng: Din tch hnh ch nht MNPQ c gi tr ln nht khi PQ i qua trung im ca ng cao AH.

b) Gi s AH = BC. Chng minh rng, mi hnh ch nht MNPQ u c chu vi bng nhau. Cu 5: Cho tam gic ABC vung cn A, ng trung tuyn BM. Gi D l hnh chiu ca C trn tia BM, H l hnh chiu ca D trn AC. Chng minh rng AH = 3HD.



B - PHN LI GII

I - LP 10 THPT

S 1 Cu 1: a) Ta c: a + b = ( 2 3 ) + ( 2 3 ) = 4

a.b = ( 2 3 )( 2 3 = 1. Suy ra P = 3.

3x + y = 5 6x + 2y = 10 7x = 7 x = 1b)

x - 2y = - 3 x - 2y = - 3 y = 5 - 3x y = 2

.

Cu 2:

1 1 xa) P = :x - x x 1 x - 2 x 1

2x 11 x .xx x 1 x x 1

2x 1 x 1 x 11 x x - 1.xx x. xx x 1

b) Vi x > 0, x 1 th x - 1 1 2 x - 1 xx 2

x > 2 .

Vy vi x > 2 th P > 12

.

Cu 3: a) Vi m = 6, ta c phng trnh: x2 5x + 6 = 0 = 25 4.6 = 1 . Suy ra phng trnh c hai nghim: x1 = 3; x2 = 2. b) Ta c: = 25 4.m

phng trnh cho c nghim th 0 25m4

(*)

Theo h thc Vi-t, ta c x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).

Mt khc theo bi ra th 1 2x x 3 (3). T (1) v (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoc x1 = 1; x2 = 4 (4) T (2) v (4) suy ra: m = 4. Th li th tho mn.



Cu 4: a) T gic BEFI c: 0BIF 90 (gt) (gt) 0BEF BEA 90 (gc ni tip chn na ng trn) Suy ra t gic BEFI ni tip ng trn ng knh BF

b) V AB CD nn AC AD , suy ra ACF AEC . Xt ACF v AEC c gc A chung v ACF AEC . Suy ra: ACF ~ vi AEC AC AE

AF AC

2AE.AF = AC

F

E

I O

D

C

BA

c) Theo cu b) ta c ACF AEC , suy ra AC l tip tuyn ca ng trn ngoi tip CEF (1).

Mt khc 0ACB 90 (gc ni tip chn na ng trn), suy ra ACCB (2). T (1) v (2) suy ra CB cha ng knh ca ng trn ngoi tip CEF, m CB c nh nn tm ca ng trn ngoi tip CEF thuc CB c nh khi E thay i trn cung nh BC. Cu 5: Ta c (a + b)2 4ab = (a - b)2 0 (a + b)2 4ab

a + b 4 1 1 4ab a + b b a a + b

4Pa + b

, m a + b 2 2

4 4

a + b 2 2 P 2 . Du = xy ra

2a - b 0a = b = 2

a + b = 2 2

. Vy: min P = 2 .

Li bnh: Cu IIb

Cc bn tham kho thm mt li gii sau 1) Ta c a = 1. = 25 4m. Gi x1, x2 l cc nghim nu c ca phng trnh.

T cng thc 1,2 2bx

a

1 2| | | |x x

a

. Vy nn phng trnh c

hai nghim x1, x2 tho mn |x1 x2| = 3 1 2| | 3| |x x

a

1a

= 9 25 4m = 9 m = 4 .



2) C th bn dang bn khon khng thy iu kin 0. Xin ng, bi |x1 x2| = 3 = 9. iu bn khon y cng lm ni bt u im ca li gii trn. Li gii gim thiu ti a cc php ton, iu y ng hnh gim bt nguy s sai st. Cu IVb chng minh mt ng thc ca tch cc on thng ngi ta thng gn cc on thng y vo mt cp tam gic ng dng. Mt th thut d nhn ra cp tam gic ng dng l chuyn "hnh thc" ng thc on thng dng tch v dng thng. Khi mi tam gic c xt s c cnh hoc l nm cng mt v, hoc cng nm t thc, hoc cng nm mu thc.

Trong bi ton trn AE.AF = AC2 AC AEAF AC

. ng thc mch bo

ta xt cc cp tam gic ng dng ACF (c cnh nm v tri) v ACE (c cnh nm v phi). Khi mt on thng l trung bnh nhn ca hai on thng cn li, chng hn AE.AF = AC2 th AC l cnh chung ca hai tam gic, cn AE v AF khng cng nm trong mt tam gic cn xt. Trong bi ton trn AC l cnh chung ca hai tam gic ACE v ACF Cu IVc

Nu () l ng thng c nh cha tm ca ng trn bin thin c cc c im sau: + Nu ng trn c hai im c nh th () l trung trc ca on thng ni hai im c nh y. + Nu ng trn c mt im c nh th () l ng thng i qua im v hoc l () ('), hoc l () // ('), hoc l () to vi (') mt gc khng i (trong (') l mt ng thng c nh c sn). Trong bi ton trn, ng trn ngoi tip CEF ch c mt im C l c nh. Li thy CB CA m CA c nh nn phn on c th CB l ng thng phi tm. l iu dn dt li gii trn.



Cu V

Vic tm GTNN ca biu thc P bao gi cng vn hnh theo s "b dn": P B, (trong ti liu ny chng ti s dng B - ch ci u ca ch b hn).

1) Gi thit a + b 2 2 ang ngc vi s "b dn" nn ta phi

chuyn ho a + b 2 2 1 12 2a b

.

T m li gii nh gi P theo 1a b

.

2) 1 1 4a b a b

vi a > 0, b > 0 l mt bt ng thc ng nh. Tuy

l mt h qu ca bt ng C-si, nhng n c vn dng rt nhiu. Chng ta cn gp li n

trong mt s sau. 3) Cc bn tham kho li gii khc ca bi ton nh l mt cch

chng minh bt ng thc trn. Vi hai s a > 0, b > 0 ta c

1 1 2 2.2 4 4 22 2

Co si Co siP

a b a b a bab

. Du ng thc c khi a

= b = 2 . Vy minP = 2 .

S 2

Cu 1: a) 3 7 3 71 1 2 7 7

23 7 3 7 3 7 3 7

b) = 49 4.3 = 37; phng trnh c 2 nghim phn bit:

1 27 37 7 37x ;x

2 2

.

Cu 2: a) Honh giao im ca ng thng (d) v Parabol (P) l nghim ca phng trnh: - x + 2 = x2 x2 + x 2 = 0. Phng trnh ny c tng cc h s bng 0 nn c 2 nghim l 1 v 2.

+ Vi x = 1 th y = 1, ta c giao im th nht l (1;1) + Vi x = - 2 th y = 4, ta c giao im th hai l (- 2; 4) Vy (d) giao vi (P) ti 2 im c ta l (1;1) v (- 2; 4)



b) Thay x = 2 v y = -1 vo h cho ta c:

a = 2 + b8 - a = b a = 58 - 2 + b b2 + b = a b = 3

.

Th li : Thay a = 5 v b = 3 vo h cho th h c nghim duy nht (2; - 1). Vy a = 5; b = 3 th h cho c nghim duy nht (2; - 1). Cu 3: Gi x l s toa xe la v y l s tn hng phi ch iu kin: x N*, y > 0.

Theo bi ra ta c h phng trnh: 15x = y - 516x = y + 3

. Gii ra ta c: x = 8, y =

125 (tha mn) Vy xe la c 8 toa v cn phi ch 125 tn hng. Cu 4: a) Ta c: 0AIM AKM 90 (gt), suy ra t gic AIMK ni tip ng trn ng knh AM. b) T gic CPMK c 0MPC MKC 90 (gt). Do CPMK l t gic ni tip MPK MCK (1). V KC l tip tuyn ca (O) nn ta c: MCK MBC (cng chn MC ) (2). T (1) v (2) suy ra MPK MBC (3) c) Chng minh tng t cu b ta c BPMI l t gic ni tip. Suy ra: MIP MBP (4). T (3) v (4) suy ra MPK MIP . Tng t ta chng minh c MKP MPI . Suy ra: MPK ~ MIP MP MI

MK MP

MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3. Do MI.MK.MP ln nht khi v ch khi MP ln nht (4) - Gi H l hnh chiu ca O trn BC, suy ra OH l hng s (do BC c nh). Li c: MP + OH OM = R MP R OH. Do MP ln nht bng R OH khi v ch khi O, H, M thng hng hay M nm chnh gia cung nh BC (5). T (4) v (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R OH )3 M nm chnh gia cung nh BC.

H

O

P

K

IM

CB

A



Cu 5: t x - 2009 a; y - 2010 b; z - 2011 c (vi a, b, c > 0). Khi phng trnh cho tr thnh:

2 2 2

a - 1 b - 1 c - 1 3a b c 4

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 04 a a 4 b b 4 c c

2 2 21 1 1 1 1 1 02 a 2 b 2 c

a = b = c = 2

Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015. Li bnh: Cu IVc

Li bnh sau s 1 cho thy: Nu c AE.AF.AC = AC3 AE.AF = AC2 th thng AC l cnh chung ca hai tam gic ACE v ACF.

Quan st hnh v ta thy MP l cnh chung ca hai tam gic MPI v MPK, nn ta phn on MI.MK.MP= MP3.

Nu phn on y l ng th GTLN ca MI.MK.MP chnh l GTLN ca MP. l iu dn dt li gii trn. Cu IIa Li nhn

Honh giao im ca hai th (d): y = kx + b v (P) : y = ax2 l nghim ca phng trnh ax2 = kx + b (1). S nghim ca phng trnh (1) bng s giao im ca th hai hm s trn. Cu V

1) Vic t a, b, c thay cho cc cn thc l cch lm d nhn bi ton, Vi mi s dng a, b, c ta lun c

2 2 21 1 1 3

4a b ca b c

. (1)

Thay v t cu hi khi no th du ng thc xy ra, ngi ta t bi ton gii phng trnh

2 2 21 1 1 3

4a b ca b c

. (2)

Vai tr ca a, b, c u bnh ng nn trong (1) ta ngh n nh gi

2

1 14

aa

.



Tht vy 21 1

4aa

21 1 0

4aa

2

2

( 2) 0aa

. Du ng thc

c khi v ch khi a = 2. Tng t ta cng c 21 1

4bb

, 21 1

4cc

. Du

ng thc c khi v ch khi b = 2, c = 2. 2) Mi gi tr ca bin cn bng bt ng thc c gi l im

ri ca bt ng thc y. Theo , bt ng thc (1) cc bin a, b, c u c chung mt im

ri l a = b = c = 2. Khi vai tr ca cc bin trong bi ton chng minh bt ng thc

bnh ng vi nhau th cc bin y c chung mt im ri. Phng trnh din t du bng trong bt ng thc c gi l

"phng trnh im ri". 3) Phng trnh (2) thuc dng "phng trnh im ri"

Ti im ri a = b = c = 2 ta c 2 2 21 1 1 1

4a b ca b c

.

iu ct ngha im mu cht ca li gii l tch 3 1 1 14 4 4 4 :

(2) 2 2 21 1 1 1 1 1 0

4 4 4a b ca b c

.

4) Phn ln cc phng trnh cha hai bin tr ln trong chng trnh THCS u l "phng trnh im ri".

S 3

Cu 1: a) t x2 = y, y 0. Khi phng trnh cho c dng: y2 + 3y 4 = 0 (1). Phng trnh (1) c tng cc h s bng 0 nn (1) c hai nghim y1 = 1; y2 = - 4. Do y 0 nn ch c y1 = 1 tha mn. Vi y1 = 1 ta tnh c x = 1. Vy phng trnh c nghim l x = 1.

b) 2x + y = 1 8x + 4y = 4 5x = 5 x = 13x + 4y = -1 3x + 4y = -1 2x + y = 1 y = - 1

Cu 2: 3 1 2 2 1 23 6 2 8 a) A = 3 2

1 2 1 2 1 2 1 2



1 1 x + 2 xb) B = .x 4 x + 4 x 4 x

21 1 x ( x + 2)= .

( x 2) xx 2 x 2

x 2 x 21 1 4=

x - 4 x - 4x 2 x 2

Cu 3: a) V th cc hm s y = - x2 v y = x 2. b) Honh giao im ca ng thng y = x 2 v parabol y = - x2 l nghim ca phng trnh:- x2 = x 2 x2 + x 2 = 0 Suy ra cc giao im cn tm l: L( 1; -1 ) v K ( - 2; - 4 ) (xem hnh v).

O

Cu 4:

a) T gic AEHF c: 0AEH AFH 90 (gt). Suy ra AEHFl t gic ni tip. - T gic BCEF c: 0BEC BFC 90 (gt). Suy ra BCEF l t gic ni tip. b) T gic BCEF ni tip suy ra: BEF BCF (1). Mt khc BMN BCN = BCF (gc ni tip cng chn BN ) (2). T (1) v (2) suy ra: BEF BMN MN // EF. c) Ta c: ABM ACN ( do BCEF ni tip) AM AN AM = AN, li c OM = ON nn suy ra OA l ng trung trc ca MN OA MN , m MN song song vi EF nn suy ra OA EF . Cu 5: K: y > 0 ; x R. Ta c: P =

2x - x y + x + y - y + 1 22 y 1 y3y 3= x - x( y - 1) + + - +

4 4 2 4

2 2y 1 3 1 2 2x - y2 4 3 3 3

. Du = xy ra

- 1x = 3

1y = 9

.

Suy ra: 2Min P = 3

.



S 4

Cu 1:

a) 2

4 4 3 4 333 3

;

5 5 15

5 1 5 1 5 1

=

25 5 5 5

45 1

.

b) Thay x = - 2 v y = 14

vo hm s y = ax2 ta c:

21 1 1a.(-2) 4a = a = 4 4 16 .

Cu 2:

2 27 - x 0 x 7 (1)

a) 2x + 1 = 7 - xx 16x + 48 = 02x + 1 = 7 - x

Gii phng trnh: x2 16x + 48 = 0 ta c hai nghim l 4 v 12. i chiu vi iu kin (1) th ch c x = 4 l nghim ca phng trnh cho.

b)

12x + 3y = 2 10x = 5 x = 4x + 6y = 4 21 1 16x - 6y = 1x - y = y = x - y = 6 6 3

.

Cu 3: a) Vi m = 3 ta c phng trnh: x2 6x + 4 = 0. Gii ra ta c hai nghim: x1 = 23 5; x 3 5 . b) Ta c: / = m2 4

Phng trnh (1) c nghim /m 2

0m -2

(*).

Theo h thc Vi-t ta c: x1 + x2 = 2m v x1x2 = 4. Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2 x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0 (x1 + x2)2 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 8 + 4m = 0

m2 + m 2 = 0 1

2

m 1

m 2

.

i chiu vi iu kin (*) ta thy ch c nghim m2 = - 2 tha mn. Vy m = - 2 l gi tr cn tm. Cu 4:

a) T gic BIEM c: 0IBM IEM 90 (gt); suy ra t gic BIEM ni tip ng trn ng knh IM.



b) T gic BIEM ni tip suy ra: 0IME IBE 45 (do ABCD l hnh vung). c) EBI v ECM

c: 0IBE MCE 45 , BE = CE , BEI CEM ( do 0IEM BEC 90 ) EBI = ECM (g-c-g) MC = IB; suy ra MB = IA V CN // BA nn theo nh l Thalet,

ta c: MA MBMN MC

= IAIB

. Suy ra IM

song song vi BN (nh l Thalet o) 0BKE IME 45 (2). Li c

0BCE 45 (do ABCD l hnh vung).

Suy ra BKE BCE BKCE l t gic ni tip.

Suy ra: 0BKC BEC 180 m 0BEC 90 ; suy ra 0BKC 90 ; hay CK BN .

I

E

M

N

B C

A D

K

Cu 5: Ta c: 2 2 2a - b b - c c - a 0 2 2 22 a b c 2 ab + bc + ca 2 2 2a b c ab + bc + ca (1). V a, b, c l di 3 cnh ca mt tam gic nn ta c: a2 < a.(b+ c) a2 < ab + ac. Tng t: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2). T (1) v (2) suy ra iu phi chng minh.

S 5

Cu 1: a) 3 2 3 2 3 2. 6 . 6 . 6 .6 .6 3 2 12 3 2 3 2 3



b) V ng thng y = ax + b i qua im A(2; 3) nn thay x = 2 v y = 3 vo phng trnh ng thng ta c: 3 = 2a + b (1). Tng t: 1 = -2a + b (2). T ta c h:

12a + b = 3 2b = 4 a = 2

- 2a + b = 1 2a + b = 3 b = 2

.

Cu 2: a) Gii phng trnh: x2 3x + 1 = 0. Ta c: = 9 4 = 5

Phng trnh c hai nghim: x1 = 3 5

2 ; x2 =

3 52 .

b) iu kin: x 1.

2 2 2 2

x x + 1 - 2 x - 1x - 2 4 4 + = + = x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1

x(x + 1) 2(x 1) = 4 x2 x 2 = 0 1

2

x 1

x 2

.

i chiu vi iu kin suy ra phng trnh cho c nghim duy nht x = 2. Cu 3: Gi vn tc ca t th nht l x (km/h). Suy ra vn tc ca t th hai l: x 10 (km/h) (k: x > 10). Thi gian t th nht v t th hai chy t A n B ln lt l 120

x(h) v 120

x - 10(h).

Theo bi ra ta c phng trnh: 120 120 0, 4x x - 10

Gii ra ta c x = 60 (tha mn).Vy vn tc ca t th nht l 60 km/h v t th hai l 50 km/h. Cu 4: a) T gic ACBD c hai ng cho AB v CD bng nhau v ct nhau ti trung im ca mi ng, suy ra ACBD l hnh ch nht b) T gic ACBD l hnh ch nht suy ra:

FE

OD

C

B

A

0CAD BCE 90 (1). Li c 1CBE

2 sBC (gc to bi tip tuyn v dy

cung); 1ACD2

sAD (gc ni tip), m BC AD (do BC =

AD) CBE ACD (2). T (1) v (2) suy ra ACD ~ CBE .



c) V ACBD l hnh ch nht nn CB song song vi AF, suy ra: CBE DFE (3). T (2) v (3) suy ra ACD DFE do t gic CDFE ni tip c ng trn.

d) Do CB // AF nn CBE ~ AFE, suy ra: 2

12

S EBS EF

1S EBS EF

. Tng t ta c 2S BFS EF

. T suy ra:

1 2S S 1S S

1 2S S S .

Cu 5: k: x3 + 1 0 x -1 (1). t: a = x + 1 ; b = 2x - x + 1 ,( a 0; b>0) (2) a2 + b2 = x2 + 2. Khi phng trnh cho tr thnh: 10.ab = 3.(a2 + b2)

a - 3b 3a - b 0 a = 3b hoc b = 3a. +) Nu a = 3b th t (2) suy ra: x + 1 = 3 2x - x + 1 9x2 10x + 8 = 0 (v nghim). +) Nu b = 3a th t (2) suy ra: 3 x + 1 = 2x - x + 1 9x + 9 = x2 x + 1 x2 10x 8 = 0. Phng trnh c hai nghim x1 = 5 33 ; x2 = 5 33 (tha mn (1)). Vy phng trnh cho c hai nghim x1 = 5 33 v x2 = 5 33 . Li bnh: Cu IV

1) chng minh ng thc (*) v din tch cc tam gic (chng

hn 1 2S S S (*)) Bn c th ngh n mt trong ba cch sau : Nu ba tam gic tng ng c mt cnh bng nhau th bin i (*)

v ng thc cc ng cao tng ng h1, h2, h chng minh (chng hn(*) h1 + h2 = h).

Nu ba tam gic tng ng c mt ng cao bng nhau th bin i (*) v ng thc cc cnh tng ng a1, a2, a chng minh (chng hn(*) a1 + a2 = a).

Nu hai trng hp trn khng xy ra th bin i (*) v ng thc

t s din tch chng minh (chng hn(*) 1 2 1S SS S

). Thng

ng thc v t s din tch tam gic l ng thc v t s cc cnh tng ng trong cc cp tam gic ng dng.



2) Trong bi ton trn, hai kh nng u khng xy ra. iu dn chng ta n li gii vi cc cp tam gic ng dng. Cu V cc bn c cch nhn khi qut, chng ti khai trin bi ton trn mt bnh din mi. Vit li 310 1x = 3(x2 + 2) 210 ( 1)( 1)x x x = 3[(x + 1) + x2 x + 1) (1) Phng trnh (1) c dng .P(x) + .Q(x) + . ( ) ( )P x Q x = 0 ( 0, 0, 0) (2) (phng trnh ng cp i vi P(x) v Q(x)). t ( ) . ( )Q x t P x , (3) phng trnh (1) c a v t2 + t + = 0. (4) Sau khi tm c t t (4), th vo (3) tm x.

S 6

Cu 1:

3 3 1 3 3 13 3 3 3 a) A = 2 . 2 2 23 1 3 1 3 1 3 1

2 3 2 3 1.

b a b ab) - . a b - b a - . ab a - ba - ab ab - b a a b b a b

b. ab a. ab b - a. a > 0, b > 0, a ba b

Cu 2: a) k: x 0 v y 0. (*) Rt y t phng trnh (1) ri th vo phng trnh (2) ta c:

22 3 2 2x 3x - 2 = 0x x + 1

x 21x2

.

+ Vi x = 2, suy ra y = x + 1 = 3 (tho mn (*))

+ Vi x = 12

, suy ra y = x +1 = 12

(tho mn (*))

Vy h cho c hai nghim: (2; 3) v 1 1;2 2

.



b) Phng trnh x2 x 3 = 0 c cc h s a, c tri du nn c hai nghim phn bit x1; x2. p dng h thc Vi-t, ta c: x1 + x2 = 1 v x1x2 = - 3. Do : P = x1

2 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = 1 + 6 = 7. Cu 3: a) Vit ng thng 2x + y = 3 v dng y = - 2x + 3. V ng thng y = ax + b song song vi ng thng trn, suy ra a = - 2 (1)

V ng thng y = ax + b i qua im M (2; 12

) nn ta c: 1 2a + b2 (2).

T (1) v (2) suy ra a = - 2 v b = 92

.

b) Gi cc kch thc ca hnh ch nht l x (cm) v y (cm) ( x; y > 0). Theo bi ra ta c h phng trnh:

xy = 40 xy = 40x + 3 y + 3 xy + 48 x + y = 13

.

Suy ra x, y l hai nghim ca phng trnh: t2 13t + 40 = 0 (1). Gii phng trnh (1) ta c hai nghim l 8 v 5. Vy cc kch thc ca hnh ch nht l 8 cm v 5 cm. Cu 4: a) Ta c: 0MAB 90 (gt)(1). 0MNC 90 (gc ni tip chn na ng trn) 0MNB 90 (2) T (1) v (2) suy ra ABNM l t gic ni tip.

Tng t, t gic ABCI c: 0BAC BIC 90

ABCI l t gic ni tip ng trn.

I

N

MC

B

A

b) T gic ABNM ni tip suy ra MNA MBA (gc ni tip cng chn cung AM) (3).

T gic MNCI ni tip suy ra MNI MCI (gc ni tip cng chn cung MI) (4). T gic ABCI ni tip suy ra MBA MCI (gc ni tip cng chn cung AI) (5). T (3),(4),(5) suy ra MNI MNA NM l tia phn gic ca ANI . c) BNM v BIC c chung gc B v 0BNM BIC 90 BNM ~ BIC (g.g) BN BI

BM BC BM.BI = BN . BC .



Tng t ta c: CM.CA = CN.CB. Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6). p dng nh l Pitago cho tam gic ABC vung ti A ta c: BC2 = AB2 + AC2 (7). T (6) v (7) suy ra iu phi chng minh.

Cu 5: A = 2 - 2 - 2 3 x xy y x .

Trc ht ta thy biu thc A c ngha khi v ch khi: 00

xxy

(1).

T (1) ta thy nu x = 0 th y nhn mi gi tr ty thuc R (2). Mt khc, khi x = 0 th A = y + 3 m y c th nh ty nn A cng c th nh ty . Vy biu thc A khng c gi tr nh nht. Li bnh: Cu IVc

a) Bit bao k c a v khi bt gp ng thc BM . BI + CM . CA = AB2 + AC2. (1)

Phi chng 2

2

. (2)

. (3)BM BI ABCM CA AC

T cng theo tng v c (1).

Nu c (1) th AB phi l cnh chung mt cp tam gic ng dng. Tic rng iu y khng ng. Tng t cng khng c (2).

AB2 + AC2 = BC2 vy nn (1) BM.BI + CM.CA = BC2 (3)

Kh nng 2

2

. .

. (1 )BM BI k BCCM CA k BC

(vi 0 < k < 1), t cng theo tng v

c (1) cng khng xy ra v BC khng phi l cnh chung ca mt cp tam gic ng dng.

BN + NC = BC vy nn (1) BM.BI + CM.CA = BC(BN + NC)

BM.BI + CM.CA = BC.BN + BC.NC (4) iu y dn dt chng ta n li gii trn. b) Mong thi gian ng lng qun phn tch : PQ2 = PQ(PK + KQ) l mt cch chng minh ng thc dng : PX.PY + QM.QN = PQ2. ( y K l mt im thuc on thng PQ).



Cu V Cnh bo. Cc bn cng theo di mt li gii sau :

Biu thc A c ngha khi v ch khi 00

xy

. Bin i

2 21 2A x y x . Suy ra minA = 2, t c khi x = y = 1 (!).

Kt qu bi ton sai th r. Nhng ci sai v t duy mi ng bn hn. 1) iu kin xc nh ca P(x; y) cha ng thi x v xy l

0 00

x xD

y y

Do vy tm GTLN, GTNN P(x; y) cn phi xt c lp hai trng hp 0x

y

v 00

xy

2) Khng th gp chung 0 0

0x xy y

thnh 00

xy

3) Do cho rng iu kin xc nh ca P(x; y) l 000y

xD

y

(b st

0

00y

xD

y

)

Vy nn A = 2 l GNNN ca A trn 0yD , cha kt lun l GTNN ca A trn D. 4) Nhn y lin tng n phng trnh ( ) ( ) 0P x Q x . (1)

Bin i ng (1) ( ) 0

( ) 0( ) 0

Q xQ xP x

. Cch bin i sau l sai (1)

( ) 0( ) 0

Q xP x

.

S 7

Cu 1: a) Biu thc A c ngha - 1 0

1 33 - 0

xx

x.



b)

1 1 3 5 5 13 5 5 1 3 5 3 5 5 1 5 1

= 3 5 5 13 5 5 1 1

9 5 5 1 4

.

Cu 2: a) ( x 3 )2 = 4 x 3 = 2 5 1

xx

.

Vy phng trnh c 2 nghim x = 5; x = 1

b) k: 1x2

.

- 1 1 - 1 1 (2 - 2) - (2 1) - 0 02 1 2 2 1 2 2(2 1)

x x x xx x x

3 10 2x + 1 > 0 x > -

2 2x + 1 2

.

Cu 3: a) Ta c / = m2 + 1 > 0, m R. Do phng trnh (1) lun c hai nghim phn bit. b) Theo nh l Vi-t th: x1 + x2 = 2m v x1.x2 = - 1. Ta c: x12 + x22 x1x2 = 7 (x1 + x2)2 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7 m2 = 1 m = 1. Cu 4: a) SBC v SMA c: BSC MSA , SCB SAM (gc ni tip cng chn MB ).

SBC SMA ~ . b) V AB CD nn AC AD . Suy ra MHB MKB (v cng bng 1 (sdAD sdMB)

2 t

gic BMHK ni tip c ng

trn 0HMB HKB 180 (1). Li c: 0HMB AMB 90 (2) (gc ni tip chn na ng trn).

T (1) v (2) suy ra 0HKB 90 , do HK // CD (cng vung gc vi AB). c) V ng knh MN, suy ra MB AN .



Ta c: 1OSM ASC2

(sAC - sBM ); 1OMK NMD2

sND =

12

(sAD - sAN );

m AC AD v MB AN nn suy ra OSM OMK

OSM OMK ~ (g.g) 2 2OS OM OK.OS = OM ROM OK

.


3

1 2 (1) 1 2 (2)

x yy x

Ly pt (1) tr pt (2) ta c: x3 y3 = 2(y x) (x y)(x2 xy + y2 + 2) = 0 x y = 0 x = y.

( do x2 xy + y2 + 2 = 2 2y 3yx - 2 0

2 4

)

Vi x = y ta c phng trnh: x3 2x + 1 = 0

(x 1)(x2 + x 1) = 0 -1+ 5 -1- 5x = 1; x = ; x=

2 2.

Vy h cho c 3 nghim l:

1 5 1 5 1 5 1 51;1 , ; , ;2 2 2 2

.

S 8

Cu 1: 2 5 6 3 15 7 14 2

a) - 3 - 1 - 3 - 1 5 - 2 1

x y x y x xx y x y y x y

b) Phng trnh 3x2 x 2 = 0 c cc h s a v c tri du nn lun c hai nghim phn bit x1v x2.

Theo h thc Vi-t ta c: x1 + x2 = 13

v x1.x2 = 23

.

Do P = 2 1

1 2 1 2

1 1 1 2 1:3 3 2

x xx x x x

.

Cu 2:

a a a 1 a 1 a) A = : . a 1 a 1a 1 a( a - 1) ( a - 1)( a 1) a 1 ( a - 1)



b) A < 0 a > 0, a 1

0 a < 1a 1

.

Cu 3: a) Vi m = 0 ta c phng trnh x2 x + 1 = 0 V = - 3 < 0 nn phng trnh trn v nghim. b) Ta c: = 1 4(1 + m) = -3 4m.

phng trnh c nghim th 0 - 3 4m 0 4m - 33 m4

(1).

Theo h thc Vi-t ta c: x1 + x2 = 1 v x1.x2 = 1 + m Thay vo ng thc: x1x2.( x1x2 2 ) = 3( x1 + x2 ), ta c: (1 + m)(1 + m 2) = 3 m2 = 4 m = 2. i chiu vi iu kin (1) suy ra ch c m = -2 tha mn. Cu 4: a) V MA, MC l tip tuyn nn: 0MAO MCO 90 AMCO l t gic ni tip ng trn ng knh MO. 0ADB 90 (gc ni tip chn na ng trn) 0ADM 90 (1) Li c: OA = OC = R; MA = MC (tnh cht tip tuyn). Suy ra OM l ng trung trc ca AC 0AEM 90 (2).

x

N

I

H

E

DM

C

O BA

T (1) v (2) suy ra MADE l t gic ni tip ng trn ng knh MA.

b) T gic AMDE ni tip suy ra: ADE AME AMO (gc ni tip cng chn cung AE) (3)

T gic AMCO ni tip suy ra: AMO ACO (gc ni tip cng chn cung AO) (4). T (3) v (4) suy ra ADE ACO c) Tia BC ct Ax ti N. Ta c 0ACB 90 (gc ni tip chn na ng trn) 0ACN 90 , suy ra ACN vung ti C. Li c MC = MA nn suy ra

c MC = MN, do MA = MN (5). Mt khc ta c CH // NA (cng vung gc vi AB) nn theo nh l Ta-lt

th IC IH BIMN MA BM

(6).

T (5) v (6) suy ra IC = IH hay MB i qua trung im ca CH.



Cu 5: V b, c 0;1 nn suy ra 2 3b b; c c . Do : a + b2 + c3 ab bc ca a + b + c ab bc ca (1). Li c: a + b + c ab bc ca = (a 1)(b 1)(c 1) abc + 1 (2) V a, b, c 0 ; 1 nn (a 1)(b 1)(c 1) 0 ; abc 0 Do t (2) suy ra a + b + c ab bc ca 1 (3). T (1) v (3) suy ra a + b2 + c3 ab bc ca 1.

S 9

Cu 1: a) Thay x = 3 2 vo hm s ta c:

y = 2 23 2 3 2 1 3 2 1 0 . b) ng thng y = 2x 1 ct trc honh ti im c honh x = 1

2; cn

ng thng y = 3x + m ct trc honh ti im c honh x = m3

. Suy

ra hai ng thng ct nhau ti mt im trn trc honh m 1 -3m = 3 2 2

.

Cu 2: a) A = 3 x 6 x x - 9:x - 4 x 2 x 3

x 3 x 33( x 2) x :

x 2 x 3x 2 x 2

3 x 1 1.x 2 x 3 x 2

, vi x 0, x 4, x 9 .

b) iu kin: x 3 v x - 2 (1). 2 2

2x 3x 5 1 x 3x 5 x 2(1) x 3x 5 x 2(x 2)(x 3) x 3 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)

x2 4x + 3 = 0. Gii ra ta c: x1 = 1 (tha mn); x2 = 3 (loi do (1)). Vy phng trnh cho c nghim duy nht x = 1. Cu 3: a) Thay m = 1 vo h cho ta c:

3x - y = 1 6x - 2y = 2 7x = 7 x = 1x + 2y = 5 x + 2y = 5 x + 2y = 5 y = 2

.

Vy phng trnh c nghim (1; 2).



b) Gii h cho theo m ta c: 3x - y = 2m - 1 6x - 2y = 4m - 2 7x = 7m x = mx + 2y = 3m + 2 x + 2y = 3m + 2 x + 2y = 3m + 2 y = m + 1

Nghim ca h cho tha mn x2 + y2 = 10 m2 + (m + 1)2 = 10 2m2 + 2m 9 = 0.

Gii ra ta c: 1 21 19 1 19m ;m

2 2

.

Cu 4:

a) T gic ACNM c: 0MNC 90 (gt) 0MAC 90 ( tnhcht tip tuyn). ACNM l t gic ni tip ng trn ng knh MC. Tng t t gic BDNM ni tip ng trn ng knh MD. b) ANB v CMD c: ABN CDM (do t gic BDNM ni tip) BAN DCM (do t gic ACNM ni tip) ANB ~ CMD (g.g)

c) ANB ~ CMD CMD ANB = 900 (do ANB l gc ni tip chn na ng trn (O)).

Suy ra 0IMK INK 90 IMKN l t gic ni tip ng trn ng knh

IK IKN IMN (1). T gic ACNM ni tip IMN NAC (gc ni tip cng

chn cung NC) (2).

KI

yxD

C N

M O BA

Li c: 1NAC ABN (2

sAN ) (3).

T (1), (2), (3) suy ra IKN ABN IK // AB (pcm).

Cu 5: Ta c:

a + b 2(a + b) (1)a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a

p dng bt ng thc C-si cho cc s dng ta c:



4a + (3a + b) 7a + b4a 3a + b 22 2

4b + (3b + a) 7b + a4b 3b + a 32 2

T (2) v (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4 T (1) v (4) suy ra:

a + b 2(a + b) 1

4a + 4b 2a 3a + b b 3b + a

. Du bng xy ra khi v ch khi a = b.

Li nhn Cu V

Cc bn c s dng bt ng thc C-si lm ton nh mt nh l (khng phi chng minh)

Bt ng thc C-si ch p dng cho cc s khng m. C th l :

+ Vi hai s a 0, b 0 ta c 2

a b ab , du ng thc c khi v

ch khi a = b.

+ Vi ba s a 0, b 0, c 0 ta c 33

a b c abc , du ng thc

c khi v ch khi a = b = c.

S 10 Cu 1:

2 a) A = 3 8 50 2 1 6 2 5 2 2 1 = 2 2 1 1

b) 22

2 2 2

x - 1 x - 12 x - 2x + 1 2 2B = . .x - 1 4x x - 1 2 x x - 1 2 x

V 0 < x < 1 nn x - 1 x - 1 ; x x

- 2 x - 1 1B = 2x x - 1 x

.

Cu 2: a) 2 x - 1 y = 3 2x y = 5 2x y = 5 x = 1

2x - 6y = - 16 7y = 21 y = 3x - 3y = - 8

b) x + 3 x 4 0

t x = t (t 0) (1)



Khi phng trnh cho tr thnh: t2 + 3t 4 = 0 (2) Phng trnh (2) c tng cc h s bng 0; suy ra (2) c hai nghim: t1 = 1 (tha mn (1)); t2 = - 4 (loi do (1)). Thay t1 = 1 vo (1) suy ra x = 1 l nghim ca phng trnh cho. Cu 3: Gi x l s sn phm loi I m x nghip sn xut c trong 1 gi(x > 0). Suy ra s sn phm loi II sn xut c trong mt gi l x + 10.

Thi gian sn xut 120 sn phm loi I l 120x

(gi)

Thi gian sn xut 120 sn phm loi II l 120x + 10

(gi)

Theo bi ra ta c phng trnh: 120 120 7x x + 10

(1)

Gii phng trnh (1) ta c x1 = 30 (tha mn); x2 = 407 (loi).

Vy mi gi x nghip sn xut c 30 sn phm loi I v 40 sn phm loi II. Cu 4:

c) Ta c 0CMA DNA 90 (gc ni tip chn na ng trn); suy ra CM // DN hay CMND l hnh thang. Gi I, K th t l trung im ca MN v CD. Khi IK l ng trung bnh ca hnh thang CMND. Suy ra IK // CM // DN (1) v CM + DN = 2.IK (2) T (1) suy ra IK MN IK KA (3) (KA l hng s do A v K c nh).

a) Ta c ABC v ABD ln lt l cc gc ni tip chn na ng trn (O) v (O/) 0ABC ABD 90

Suy ra C, B, D thng hng. b) Xt t gic CDEF c: 0CFD CFA 90 (gc ni tip chn na ng trn (O)) 0CED AED 90 (gc ni tip chn na ng trn (O/) 0CFD CED 90 suy ra

CDEF l t gic ni tip.

d

K

I

N

M

F E

O/O

CD

B

A



T (2) v (3) suy ra: CM + DN 2KA. Du = xy ra khi v ch khi IK = AK d AK ti A. Vy khi ng thng d vung gc AK ti A th (CM + DN) t gi tr ln nht bng 2KA. Cu 5: Ta c:

2 2x + x 2011 y + y 2011 2011 (1) (gt) 2 2x + x 2011 x - x 2011 2011 (2) 2 2y + y 2011 y - y 2011 2011 (3) T (1) v (2) suy ra:

2 2y + y 2011 x - x 2011 (4) T (1) v (3) suy ra:

2 2x + x 2011 y - y 2011 (5) Cng (4) v (5) theo tng v v rt gn ta c: x + y = - (x + y) 2(x + y) = 0 x + y = 0.

S 11 Cu 1: 1) Rt gn

A =

21 - a 1 + a + a 1 - a + a

1 - a 1 - a 1 + a

=

2

2 21 11 + 2 a + a . = 1 + a . = 1.

1 + a 1 + a

2) Gii phng trnh: 2x2 - 5x + 3 = 0 Phng trnh c tng cc h s bng 0 nn phng trnh c 2 nghim phn

bit x1 = 1, x2 = 32

.

Cu 2: 1) Hm s nghch bin khi trn R khi v ch khi 3 - k < 0 k > 3 2) Gii h:

2x = 4x + y = 5 8x +2y = 10 11x = - 2 11 3x - 2y = - 12 3x - 2y = -12 4x + y = 5 63y =

11



I

E

x

M

O

C

B

A

Cu 3: 1) Phng trnh c 2 nghim tri du khi: m < 0 2) Phng trnh c 2 nghim x1, x2 = 9 - m 0 m 9

Theo h thcVit ta c 1 21 2

x + x = 6 (1)x . x = m (2)

Theo yu cu ca bi ra x1 - x2 = 4 (3) T (1) v (3) x1 = 5, thay vo (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (tho mn) Vy m = 5 l gi tr cn tm. Cu 4: a) Ta c E l trung im ca AC OE AC hay OEM = 900. Ta c Bx AB ABx =900. nn t gic CBME ni tip. b) V t gic OEMB ni tip OMB = OEB (cung chn OB ), EOM = EBM (cng chn cung EM)

EIO ~ MIB (g.g) IB.IE = M.IO

Cu 5: Ta c : P = 3x + 2y + 6 8 3 3 3 6 y 8 + = ( x + y) + ( x + ) + ( + )x y 2 2 2 x 2 y

Do 3 3 3 3x + y = x + y . 6 = 9.2 2 2 2

3x 6 3x 6 + 2 . = 62 x 2 x

, y 8 y 8 + 2 . = 42 y 2 y

Suy ra P 9 + 6 + 4 = 19

Du bng xy ra khi

x + y = 6x = 23x 6 = y = 42 x

y 8 = 2 y

Vy min P = 19.



Li bnh: Cu V

Vic tm GTNN ca biu thc P bao gi cng vn hnh theo s "b dn": P B, (trong ti liu ny chng ti s dng B - ch ci u ca ch b hn).

1) Do gi thit cho x + y 6, thun theo s "b dn": P B, iu y mch bo ta biu th P theo (x + y). thc hin c iu y ta

phi kh 6x

v 8y

.

Do c x > 0; y > 0 nn vic kh c thc hin d dng bng cch

p dng bt ng thc C-si cho cc tng cp s Ax v 6x

, By v 8y

.

Bi l m li gii "kho lo" tch 3 332 2

x x x ,

3 122 2

y y y .

2) Tuy nhin mu cht li gii nm s "kho lo" ni trn. Cc s 32

, 12

c ngh ra bng cch no?

Vi mi s thc a < 2, ta c

6 83 2P x yx y

= 6 8( ) (3 ) (2 )a x y a x a yx y

(1)

6 2 6(3 ) 2 8(2 )P a a a (2)

Ta c 6(3 ) 2 6(3 )a x ax

, du ng thc c khi 63

xa

; (3)

8(2 ) 2 8(2 )a y ay

, du ng thc c khi 82

ya

. ; (4)

(2) tr thnh ng thc buc phi c x + y = 6 6 8 6

3 2a a

(5)

Thy rng 32

a l mt nghim ca (5). Thay 32

a vo (2) ta c s

phn tch nh li gii trnh by. Cc s 32

, 12

c ngh ra nh th .

3) Phng trnh (3) l phng trnh "kt im ri". Ngi ta khng cn bit phng trnh "kt im ri" c bao nhiu nghim. Ch cn bit (c th l



on) c mt nghim ca n l cho li gii thnh cng. (Vic gii phng trnh "kt im ri" nhiu khi phc tp v cng khng cn thit.)

S 12

Cu 1: Rt gn biu thc 1) A = 20 - 45 + 3 18 + 72 = 5 . 4 - 9 . 5 + 3 9 . 2 + 36 . 2 = 2 5 - 3 5 + 9 2 + 6 2 = 15 2 - 5

2) B = a + a a - a1 + 1 + a + 1 1 - a

vi a 0, a 1

= a ( a + 1) a ( a - 1)1 + 1 - a + 1 a - 1

= (1 + a ) (1 - a ) = 1 - a

Cu 2: 1) th hm s i qua im M (- 2; -12) nn ta c: - 12 = a . (- 2)2 4a = -12 a = - 3. Khi hm s l y = - 3x2. 2) a) Vi m = 5 ta c phng trnh: x2 + 12x + 25 =0. = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11 b) Phng trnh c 2 nghim phn bit khi:

> 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > - 12

(*)

Phng trnh c nghim x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0

m2 - 4m = 0 m = 0m = 4

(tho mn iu kin (*))

Vy m = 0 hoc m = 4 l cc gi tr cn tm. Cu 3:

Gi chiu di ca tha rung l x, chiu rng l y. (x, y > 0, x tnh bng m) Din tch tha rung l x.y Nu tng chiu di thm 2m, chiu rng thm 3 m th din tch tha

rung lc ny l: (x + 2) (y + 3) Nu gim c chiu di v chiu rng 2m th din tch tha rung cn li l

(x-2) (y-2). Theo bi ra ta c h phng trnh:

(x + 2) (y + 3) = xy + 100(x - 2) (y - 2) = xy - 68



O

k

s

e

m

d

cb

a

xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100

xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68

3x + 2y = 94 x = 22 x = 22

2x + 2y = 72 x + y = 36 y = 14

.

Vy din tch tha rung l: S = 22 .14= 308 (m2). Cu 4: 1) Ta c 0BAC = 90 (gt) 0MDC = 90 (gc ni tip chn na ng

trn) A, D nhn BC di gc 900, t gic

ABCD ni tip V t gic ABCD ni tip. ADB = ACB

(cng chn cung AB). (1) Ta c t gic DMCS ni tip ADB = ACS

(cng b vi MDS). (2) T (1) v (2) BCA = ACS . 2) Gi s BA ct CD ti K. Ta c BD CK, CA BK.

M l trc tm KBC. Mt khc MEC = 900 (gc ni tip chn na ng trn) K, M, E thng hng, hay BA, EM, CD ng quy ti K. 3) V t gic ABCD ni tip DAC = DBC (cng chn DC ). (3) Mt khc t gic BAME ni tip MAE = MBE (cng chn ME ). (4) T (3) v (4) DAM = MAE hay AM l tia phn gic DAE . Chng minh tng t: ADM = MDE hay DM l tia phn gic ADE . Vy M l tm ng trn ni tip ADE. Cu 5: Ta c: x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2), x2 + 2x - 3 = (x - 1) (x + 3) iu kin: x 2 (*) Phng trnh cho (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + 3 - x - 2 = 0

x - 1 ( x - 2 - x + 3) - ( x - 2 - x + 3) = 0

x - 2 - x + 3 x - 1 - 1 = 0 x - 2 = x + 3 (VN)

2x - 1 - 1 = 0

x (tho mn k (*))

Vy phng trnh cho c nghim duy nht l x = 2.



Li bnh: Cu IVb

chng minh ba ng thng ng quy, mt phng php thng dng l chng minh ba ng thng y hoc l ba ng cao, hoc l ba ng trung tuyn, hoc l ba ng phn gic ca mt tam gic.

S 13 Cu 1: 1) iu kin: a 0, a 1, a 2

Ta c:

a - 1 a + a + 1 a + 1 a - a + 1 a + 2P = - :

a - 2a a - 1 a a + 1

a + a + 1 - a + a - 1 a + 2 = : a - 2a

2 (a - 2)= a + 2

2) Ta c: P = 2a - 4 2a + 4 - 8 8 = = 2 - a + 2 a + 2 a + 2

P nhn gi tr nguyn khi v ch khi 8 (a + 2) a + 2 = 1 a = - 1; a = - 3a + 2 = 2 a = 0 ; a = - 4

a + 2 = 4 a = 2 ; a = - 6a + 2 = 8 a = 6 ; a = - 10

Cu 2: 1) ng thng i qua im M (1; -1) khi a + (2a - 1) . (- 1) + 3 = 0 a - 2a + 4 = 0 a = 4 Suy ra ng thng l 4x + 7y + 3 = 0

- 4 3 7y = - 4x - 3 y = x - 7 7

nn h s gc ca ng thng l 47

2) a) Phng trnh c nghim x = 0 nn: m + 1 = 0 m 1 . b) Phng trnh c 2 nghim khi: = m2 - (m - 1) (m + 1) 0 m2 - m2 + 1 0, ng m.

Ta c x1.x2 = 5 m + 1m - 1

= 5 m + 1 = 5m - 5 3 4m = 6 m = 2

.

Vi m = 32

ta c phng trnh : 12

x2 - 3x + 5 = 0 2

x2 - 6x + 5 = 0

Khi x1 + x2 = - b = 6a



Cu 3: H cho 4x + 7y = 18 25x = 25 x = 1

21x - 7y = 7 3x - y = 1 y = 2

.

Cu 4: 1) Theo gi thit ta c: 1 2 3 4B = B , B = B M 01 2 3 4B + B + B + B = 180 0

2 3B B 90

Tng t 02 3C + C = 90 Xt t gic BICK c

0B + C = 180

4 im B, I, C, K thuc ng trn tm O ng knh IK. 2) Ni CK ta c OI = OC = OK (v ICK vung ti C) IOC cn ti O OIC = ICO. (1) Ta li c 1 2C = C (gt). Gi H l giao im ca AI vi BC.

21

23

44

1

3

K

I

HB C

A

O

Ta c AH BC. (V ABC cn ti A).

Trong IHC c 0 0HIC + ICH = 90 OCI + ICA = 90 . Hay 0ACO = 90 hay AC l tip tuyn ca ng trn tm (O). 3) Ta c BH = CH = 12 (cm). Trong vung ACH c AH2 = AC2 - CH2 = 202 - 122 = 256 AH = 16 Trong tam gic ACH, CI l phn gic gc C ta c: IA AC AH - IH AC 20 5 = = = = IH CH IH CH 12 3

(16 - IH) . 3 = 5 . IH IH = 6

Trong vung ICH c IC2 = IH2 + HC2 = 62 + 122 = 180 Trong vung ICK c IC2 = IH . IK

2IC 180 IK = = = 30IH 6

, OI = OK = OC = 15 (cm)

Cu 5:

Ta c 2x + x + 2010 = 2010 (1) iu kin: x - 2010

(1) 2 1 1 x + x + - x - 2010 + x + 2010 - = 04 4



2 21 1 x + - x +2010 - = 02 2

1 1x + = x + 2010 - . (2)2 2 1 1x + = - x + 2010 + . (3)2 2

Gii (2) : (2) 2x 1 0(x 1) x 2010 (4)

(4) (x + 1)2 = x + 2010 x2 + x - 2009 = 0 = 1 + 4 . 2009 = 8037

1 2- 1 + 8037 -1 - 8037 x = ; x =

2 2 (loi)

Gii (3): (3) 22010 x 0

x x 2010x x 2010 (5)

(5) 2x x 2010 0 . = 1 + 4 . 2010 = 8041,

1 21 + 8041 1 - 8041 x = ; x =

2 2 (loi nghim x1)

Vy phng tnh c 2 nghim: 1 8037 1 8041x ; x2 2

.

Li bnh: Cu V

Bng cch thm bt 1( )4

x , s nhy cm y trnh by li gii ngn

gn. Khng cn mt s kho lo no c, bn cng c mt li gii trn tru theo cch sau :

t 2010x y , y 0 bi ton c a v gii h 2

2

20102010

x yy x

.

y l h phng trnh h i xng kiu 2 quen thuc bit cch gii. Ch : Phng trnh cho c dng (ax + b)2 = ' 'p a x b + qx + r , (a 0, a' 0, p 0)

t :' ' , khi ' 0;

' ' , khi ' 0.

a x b ay b pa

a x b ay b pa

Thng phng trnh tr thnh h i xng kiu 2.



S 14

Cu 1: 1) Ta c : x + 1 2 x 2 + 5 xP = + - x - 4x - 2 x +2

P = ( x +1) ( x +2) + 2 x ( x - 2) - 2 - 5 x( x - 2) ( x + 2)

=

= x + 3 x +2 + 2x - 4 x - 2 - 5 x( x +2) ( x - 2)

= 3x - 6 x 3 x ( x 2) 3 x = = ( x + 2) ( x - 2) ( x + 2) ( x - 2) x +2

2) P = 2 khi 3 x = 2 3 x = 2 x +4 x = 4 x = 16x +2

Cu 2: 1) d song song vi trc Ox khi v ch khi m 1 0 m 1n 0 n 0

.

2) T gi thit, ta c: m 1 3 m 2

1 m 1 n n 2

.

Vy ng thng d c phng trnh: y 3x 2 Cu 3: 1) Vi m = - 3 ta c phng trnh: x2 + 8x = 0 x (x + 8

Bo de Luyen Thi Lop 10 Toan 2013 Co Dap an 9199

Documents

Transcript of Bo de Luyen Thi Lop 10 Toan 2013 Co Dap an 9199