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[ ] [ ]∑=
−=M
0kk knxbny
M.A.
F.I.R.
( ) ∑=
−=M
0k
kkzbzH
[ ] [ ]∑=
−δ=M
0kk knbnh
[ ] [ ] [ ]nxknyanyN
1kk +−= ∑
=
A.R.
I.I.R.
( ) ∑∑ =
−
=
− −=
−
=N
1k1
k
kN
1k
kk
zd1
A
za1
1zH
[ ] [ ]∑=
=N
1k
nkk nudAnh
[ ] [ ] [ ]∑∑==
−+−=M
0kk
N
1kk knxbknyany
A.R.M.A.
I.I.R. (En general)( ) ∑∑
∑
∑ −
=
−
=−
=
−
=
−
+−
=
−
=NM
0k
kk
N
1k1
k
kN
1k
kk
M
0k
kk
zBzd1
A
za1
zb
zH
[ ] [ ] [ ]∑∑−
==
−δ+=NM
0kk
N
1k
nkk knBnudAnh
SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS
y[n]
z-1
z-1
z-1
b0
b1
bM-1
bM
x[n]
x[n-1]
x[n-2]
x[n-M]
x[n]
z-1
z-1
z-1
a1
aN-1
aN
y[n]
y[n-1]
y[n-2]
y[n-N]
( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
Mk
1 kk 0
0 1 M
H z b z M.A.
y n b x n b x n 1 b x n M
−
=
=
= + − + + −
∑
L
( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 Nk
kk 1
1 N
1H z A.R.
1 a z
y n x n a y n 1 a y n N
−
=
=
−
= + − + + −
∑
L
DIAGRAMAS DE BLOQUES (I)
1
DIAGRAMAS DE BLOQUES (I)
FORMA DIRECTA I
z-1
z-1
z-1
b0
b1
bM-1
bM
x[n]
x[n-1]
x[n-2]
x[n-M]
z-1
z-1
z-1
a1
aN-1
aN
y[n]
y[n-1]
y[n-2]
y[n-N]
( )M
kk N
kk 0k
k 1
1H z b z
1 a z
−
−=
=
= ⋅
−∑
∑
x[n]
z-1
z-1
z-1
b0
b1
bM-1
bM
y[n]
z-1
z-1
z-1
a1
aN-1
aN
FORMA DIRECTA II ( CANÓNICA DIRECTA )
( ) ( ) ( )M
k2 1 kN
k k 0k
k 1
1H z H z H z b z
1 a z
−
− =
=
= ⋅ = ⋅
−∑
∑
DIAGRAMAS DE BLOQUES (II)
2
VARIABLE RAMA QUE UNE BLOQUES NUDO
DIAGRAMA DE BLOQUES DIAGRAMA DE FLUJO
SUMADOR
MULTIPLICADOR –
RETARDO
x1[n]
x2[n]
x1[n] + x2[n] x1[n]
x2[n]
x1[n] + x2[n]
x[n] x[n-1]
z-1z-1
x[n] x[n-1]
DIAGRAMA DE BLOQUES vs DIAGRAMAS DE FLUJO
Bloque Sumador Nudo al que llegan dos ó mas ramas
Bloque con gananciaconstante o z-1.
Rama que une dos nudos sobrela que se indica la transmitancia(ganancia) correspondiente.
FORMA DIRECTA I FORMA DIRECTA II
DIAGRAMAS DE FLUJO: ESTRUCTURAS
N = MN ≠ MN = MN ≠M
3 N + 1
2 N + 1
2 N
4 N + 1
2 N + 1
2 N
M + 1 + N + max(M,N)REGISTROS2M +1 + 2N
N + M +1 PRODUCTOSN + M + 1
N + MSUMASN + M
y[n]b0
b1
bM-1
a1
aN-1
z-1
z-1
bMaN
z-1
w[n]x[n]
a2 b2
x[n]b0
b1
bM-1
bM
v[n]y[n]
a1
aN-1
z-1
z-1
aN
z-1
z-1
z-1
z-1
b2 a2
3
FORMA DIRECTA I: ORDEN DE OPERACIONES
DIAGRAMAS DE FLUJO: ESTRUCTURAS
b0
b1
bM-1
bM
v[n]
a1
aN-1
aN
x[n]
z-1
z-1
z-1
x[n-1]
x[n-2]
x[n-M+1]
x[n-M]
z-1
y[n]
z-1
z-1
y[n-1]
y[n-2]
y[n-N+1]
y[n-N]
b2 a2
ACTUALIZAR REGISTROS DE ABAJO HACIA ARRIBA
y[n]
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
s
M MM1 1 1k
k k kkk 0 k 1 k 1
N N Nk 1
1 2N0k 1k 2
1 1k k k k
k 1 k 1 k
k1 2
k 1 1k 2
1
k
1 g z 1 h z 1 h zb zH z A
1 a z 1 c z 1 d z 1 d z
b b z b z
1 a z a z
− −
− −
− −=
∗ −−
= = =
− − − ∗ −
= = =
− − −
= = =
−
+ +
−−
−− −
∑ ∏ ∏
∑ ∏ ∏∏
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]nyny
N,...,2,1k2nwb1nwbnwbny
N,...,2,1kny2nwa1nwanw
nxny
sN
skk2kk1kk0k
s1kkk2kk1k
0
=
=∀−+−+=
=∀+−+−=
=
−
ESTRUCTURAS: CONEXIÓN EN CASCADA (I)
b01
b11
b21
a11
a21
b02
b12
b22
a12
a22
b0Ns
b1Ns
b2Ns
a1Ns
a2Ns
x[n] w1[n] w2[n] wNs[n]
y[n]
y1[n] y2[n] yNs[n]
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
4
ESTRUCTURAS: CONEXIÓN EN CASCADA (II)
ss 2
s
s
N ! emparejamientos de polos y cerosN secciones
(N !) ESTRUCTURAS DIFERENTES de segundo orden
N ! ordenaciones de las secciones
⇒ ⇒
Nº de operaciones: M = N (PAR) ⇒ Ns = N/2
( )1 2Ns
0k 1k 2k1 2
k 1 1k 2k
b b z b zH z
1 a z a z
− −
− −=
+ += →
− −∏
b0k
b1k
b2k
a1k
a2k
z-1
z-1
s
N5 N = 5 Productos
2→
( )s 1 2N
1k 2k0 1 2k 1 1k 2k
1 b z b zH z b
1 a z a z
− −
− −=
+ += →
− −∏
% %
1
a1k
a2k
z-1
z-1
s4 N +1 = 2N+1 Productos→
s4 N = 2N Sumas→
s4 N = 2N Sumas→
b%b%
%1kb
%2kb
ESTRUCTURAS:CONEXIÓN EN PARALELO (I)
( )
( )( ) ( )
p s
p 1 2
Mk
kk 0
Nk
kk 1
N 1N Nk kk
N 1Nk 0k 1k
k 1 2k 0 k 1 1k
kk 1 1 1
k 0 k 1 k 1k
2k
k k
b zH z
1 a z
B
e e
1 e zAC z
1 c z 1
zC z
1 a z a z
d z 1 d z
−−
− −
−
=
−
=
−
−
− − ∗ −= = =
= =
= =
−
−= + + =
− − −
=+
+− −
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ x[n]
w1[n] e01
e11a11
a21
z-1
z-1
e0Ns
e1Nsa1Ns
a2Ns
z-1
z-1
z-1C0
z-1CM-N
y[n]
wNs[n]
y1[n]
yNs[n]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
p sN N
k 1k k 2k k s
k kk 0 k 1k 0k k 1k k s
w n a w n 1 a w n 2 x n k 1,2,...,Ny n C x n k y n
y n e w n e w n 1 k 1,2,...,N = =
= − + − + ∀ = = − +
= + − ∀ = ∑ ∑
5
ESTRUCTURAS: REALIMENTACIÓN (I)
SISTEMA IIR ⇒ ESTRUCTURA RECURSIVA: CON LAZOS DE REALIMENTACIÓN
SISTEMA FIR ⇒ ESTRUCTURA NO RECURSIVA
a
z-1x[n] y[n]
-a2a
z-1
z-1
x[n] y[n]
a
z-1x[n]
y[n]
- ESTRUCTURA RECURSIVA
[ ] [ ] [ ]y n x n a x n 1= + − [ ] [ ] [ ]y n x n a x n 1= + −
[ ] [ ]nh n a u n=
[ ] [ ] [ ]h n n a n 1= δ + δ −
ESTRUCTURAS: REALIMENTACIÓN (II)
ESTRUCTURAS NO COMPUTABLES: LAZO SIN RETARDO
x[n]
a
y[n]
[ ] [ ] [ ]y n x n a y n= +
SISTEMA REALIZABLE: [ ] [ ]1
y n x n1 a
=−
x[n] y[n]1
1 a−
6
ESTRUCTURAS: FORMAS TRANSPUESTAS (I)
b0
b1
b2
a1
a2
w[n]y[n]
z-1
z-1
x[n]b0
b1
b2
a1
a2
z-1
z-1
y[n] x[n]
y[n]b0
b1
b2
a1
a2
z-1
z-1
x[n]
ESTRUCTURA ORIGINAL
ESTRUCTURA o FORMA TRANSPUESTA
ESTRUCTURAS: FORMAS TRANSPUESTAS (II)
x[n]b0
b1
bM-1
bM
y[n]
a1
aN-1
z-1
z-1
aN
z-1
z-1
z-1
z-1
b2a2
y[n]b0
b1
bM-1
a1
aN-1
z-1
z-1
bM aN
z-1
x[n]
a2b2
FORMA DIRECTA ITRANSPUESTA
FORMA DIRECTA IITRANSPUESTA
7
ESTRUCTURAS PARA FILTROS FIR
h[1]
z-1x[n]
y[n]h[2]
z-1
h[M-1]
z-1
h[M]
z-1
h[0]
FILTRO TRANSVERSAL
h[1]
z-1
x[n]
y[n]
h[2]
z-1
h[M-1]
z-1
h[M]
z-1
h[0]
FORMA TRANSPUESTA
y[n]
z-1 z-1x[n]
z-1 z-1c d
( ) 1 2 3 4H z 1 cz d z cz z− − − −= + + + +
ESTRUCTURAS ESPECIALES PARA FILTROS FIR DE FASE LINEAL
8
( )1 -2 -3
1 -2 -3
0,5+0,845z +0,5915z +0,1715zH z
0,5 0,845z +0,5915z 0,1715z
−
−=
− −
0.7
CEROS: 0.4950 + 0.4949 j 0,7 2,3562
0.4950 - 0.4949 j 0,7 2,3562
0.7
POLOS: 0.4950 +0.4949 j 0,7 0,7853
0.4950 - 0.4949 j 0,7 0,7853
−
− ≡
− ≡ −
≡
≡ −-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
Diagrama de polos y ceros original
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (I)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
5
10
15
20
25
30Modulo de la Respuesta en Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0Fase de la Respuesta en Frecuencia
( )1 -2 -3
C 1 -2 -3
0,5+ 0,84375z +0,59375z + 0,171875zH z
0,5 0,84375z +0,59375z 0,171875z
−
−=
− −
0.6875
CEROS : 0.5 + 0.5 j 0.7071 2,3562
0.5 -0.5 j 0.7071 2,3562
0.6875
POLOS : 0.5 + 0.5 j 0.7071 0,7854
0.5 -0.5 j 0.7071 0,7854
−
− ≡
− ≡ −
≡
≡ − -1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
Diagrama de polos y ceros codificado 7+1 bits
( )1 -2 -3
C 1 -2 -3
0,5+0,875z +0,625z +0,125zH z
0,5 0,875z +0,625z 0,125z
−
−=
− −
0.3120
CEROS: 0.7190 +0.5333 j 0,8952 2,5034
0.7190 -0.5333 j 0,8952 2,5034
0.3120
POLOS: 0.7190 +0.5333 j 0,8952 0,6382
0.7190 -0.5333 j
−
− ≡
− ≡ −
≡
0,8952 0,6382
≡ −-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
Diagrama de polos y ceros codificado 3+1 bits
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (II)
CUANTIFICACIÓN CON 7 + 1 BITS
CUANTIFICACIÓN CON 3 + 1 BITS
9
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0FASE DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: AZUL = ORIGINAL ; ROJA = CODIF. 4 BITS ; VERDE = CODIF. 8 BITS
PULSACIÓN
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
10
20
30
40
MÓDULO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: AZUL = ORIGINAL ; ROJA = CODIF. 4 BITS ; VERDE = CODIF. 8 BITS
PULSACIÓN
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (III)
2rcos θ
-r2
x[n]
z-1
z-1
y[n]
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA: CUANTIFICACIÓN DE COEFICIENTES (III)
( )( ) 1 2 2
1H z
1 2rcos z r z− −=
− θ +
z-1
r cos θ
y[n]r cos θ
-r sen θ r sen θ
z-1
x[n]
( )( )
( )
1
1 2 2
r sen zH z
1 2rcos z r z
−
− −
θ=
− θ +
1
1
Codificación : 3+1 Bits
10
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (I)
- RUIDO DE REDONDEO:
CUANTIFICADORwi[n] ŵi[n] ⇔ wi[n] ŵi[n]
ei[n]
-Analizar el efecto del ruido producido por cada cuantificador sobre la salida.
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (II)
- OSCILACIONES PARÁSITAS o CICLOS LÍMITE:
-OVERFLOW:* Desbordamiento de los Registros.* De Gran Amplitud.* Se pueden evitar utilizando Limitación por Saturación.
-GRANULARES:* Debidas a los Lazos de Realimentación.* De Pequeña Amplitud.* Ejemplo: y[n] = a y[n-1] + x[n]
11
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]8
1
8
1
2
1Q3y5n
8
1
8
1
2
1Q4y4n
8
1
4
1
2
1Q3y3n
4
1
2
1
2
1Q2y2n
2
1
8
7
2
1Q1y1n
8
70y0n
−=
⋅
−=⇒=
=
−⋅
−=⇒=
−=
⋅
−=⇒=
=
−⋅
−=⇒=
−=
⋅
−=⇒=
=⇒= ŷ[n]7/8
1/4
1/8 1/8 1/8
-1/8-1/8-1/8-1/8
-1/2
n0
1
2
9 …
-1
7/80.1111.001-7/8
6/80.1101.010-6/8
5/80.1011.011-5/8
4/80.1001.100-4/8
3/80.0111.101-3/8
2/80.0101.110-2/8
1/80.0011.111-1/8
00.0001.000-8/8
[ ] [ ][ ] [ ]nunyaQny +−= 1ˆˆ
Ejemplo de Ciclo Límite:
[ ] [ ] [ ]1−+= naynuny-1
1
a= -½
u[n] y[n]
z
� Registros (1+3) bits
� Redondeo
� [ ]n8
7]n[u δ=
ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA:CUANTIFICACIÓN DEL RESULTADO DE LAS OPERACIONES (II)
12