65

BÖLÜM-9 SİSTEM HASSASİYETİ

Parametre Değişimlerinin Hassasiyeti

Belirsiz sistem elemanlarının davranışı

o Parametre değerlerinin hatalı bilgileri

o Çevrenin değişimi

o Yaşlanma vb nedenlerle bozulma

Kapalı döngülü kontrol:

o İşlem çıkışında hissedici değişimleri

o Doğru çıkışlar için girişimler

o Değişim için azalan hassasiyet

Hassasiyeti ölçmek gereklidir

Hassasiyet

Fonksiyon değişim yüzdesi ile onun parametrelerindeki değişim yüzdesi oranıdır.

0 küçük artımlı değişimler için;

Sistem Hassasiyeti

Sistem transfer fonksiyonundaki değişim ile işlem transfer fonksiyonundaki değişim oranıdır.

66

G(s)H(s) değerinin artması işlem değişimleri için sistem hassasiyetini azaltır.

Geri bildirim olmaksızın (H(s)=0), G(s) deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S1).

Geri Bildirim Hassasiyeti

G(s)H(s) arttığında H(s)’deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S~1).

Geri bildirim elemanları değişmemelidir.

işlem Parametresinin Hassasiyeti

Zincir kuralını kullanın:

Daha güvenilir olanı:

0 nominal parametre değeri etrafında hassasiyet konusunda endişe duyulabilir.

0 ‘daki hassasiyeti değerlendirin.

Kütle konum kontrol sistemi

Oransal kontrol:

e(t)=r(t)-y(t)

x(t)=kce(t)

67

Sistem transfer fonksiyonu

Yay sabiti k’nın hassasiyeti

Nominal M, k, c değerlendirin.

kc arttığında hassasiyet azalır.

Hassasiyet s’nin bir fonksiyonudur!

Hassasiyet (daha sonra) giriş frekansı (sj)’nın bir fonksiyonu olarak gösterilmelidir.

68

Geri bildirim sistemleri birliğindeki hatalar

Geri bildirim birliği: H(s)=1

Kararlı durum hatası

Birim giriş adımı için:

G(0) DC kazancıdır

G(0) >>>1 ise ess çok küçüktür. (yüksek kazanç)

Termal işlem kontrolünde hata

69

Kararlı durum termal kontrol hatası

BÖLÜM-10 SİSTEM CEVABI

Kontrol Sistemlerin Performansı

Spesifikasyonlar (zaman alanı)

Tasarımda kullanılan standart giriş sinyalleri

Bilinmeyen gerçek sinyaller

Standart test sinyalleri:

Adım, rampa, parabol, etki, vb. sinüs eğrisi (daha sonra frekans cevabı işlenecek)

Geçiş cevabı

Kararlı durum cevabı

Kutuplar ve sıfırların konumları ile ilgilidir.

70

S-düzlemi

S-düzlemi: Karmaşık Kök

S-düzlemi: Karmaşık eşlenik kökler

71

S-düzlemi: Büyüklük ve alternatif açı

A genliğinin giriş adımı

A eğiminin rampa fonksiyonu

72

A direncinin giriş etkisi

Giriş etkisi

A alanının geniş genlikli, dar enli darbeli bir sistem yaklaşık deneysel olarak göz önüne

alınabilir.

Bir sistem cevabı için giriş etkisi sistemin basitçe transfer fonksiyonu olarak tanımlanabilir.

1.Dereceden Sistem Modeli

Zaman sabiti , kazanç K ile karakterize edilir.

Transfer fonksiyonu:

Kutup (paydanın kökü)

73

1.Dereceden Sistem Cevabı

1.Dereceden Sistem Rampa Cevabı

1.Dereceden sistem etki cevabı

74

1.Derece sistem kutup yerleşimi

2.Derece sistem modeli

2.Dereceden sistem adım cevabı

75

Adım cevabı ölçümleri

Yükselme zamanı (geçtiğimiz komutu yükselten zaman)

Tepe(pik) zamanı (ilk tepe için geçen zaman)

Aşma yüzdesi

Yerleşme zamanı (sınır içine yerleşme zamanı)

Anahtar faktörler

Cevap (tepki) hızı (yükselme zamanı, tepe zamanı)

İstenen cevabın yakınlığı (taşma yüzdesi, yerleşme zamanı)

Genellikle tasarımda uzlaşmaya ihtiyaç duyulur.

Yükselme zamanı, Tr

%10-%90 yükselme zamanı, Tr’

76

Tepe (pik) zamanı, Tp

Aşma yüzdesi, %

Oturma zamanı, Ts

77

2.Dereceden sistem rampa cevabı

2.Dereceden sistem etki cevabı

S-düzlemi: İki gerçek kök

78

S-düzlemi: karmaşık eşlenik kökler

S-düzlemi: Sabit sönümleme çizgileri

S-düzlemi: Sabit d çizgileri

79

S-düzlemi: Sabit n daireleri

BÖLÜM-11 KARARLI DURUM HATASI

Kararlı durum hatasının önemi

Kararlı durum şartları (değişimsiz)

Kontrol sistemlerinin düzenlemesi:

Ayar noktasından sapma (kumanda)

Daha hassas düzenleme için küçük hataları

Servo kontrol sistemleri:

Yeni kumanda sonrasında geçiş hatası

Rampa kumandasını takip eden hata

Sistem “tipi”:

Şayet kararlı durum sıfır ise sonlu olduğunu gösterir.

Tekli geri besleme sistemlerinde hata

80

Tekli olmayan geri besleme sistemlerinde hata

Sistem tip numarası

Bir sistemin tip numarası s=0’da G(s) H(s) kutbunun derecesine işaret eder.

Diğer bir deyişle tip numarası G(s) H(s) paydasında (S+0)N=sN denklemindeki N gücüdür.

81

0 sistem tipi: Birim adım cevabı

0 sistem tipi: Birim rampa cevabı

1 sistem tipi: Birim adım cevabı

82

1 sistem tipi: Birim rampa cevabı

Kararlı durum hatası-tip numarası

DC motor-yükseltici sistemi

Motor konum kontrol sistemi

Motor-yükseltici modeli

83

Oransal konum kontrolü

Giriş ölçekleme değişimi

Eşdeğer birlik geri bildirim sistemi

Motor konumu: Birim adım cevabı

84

Motor konumu: Birim adım cevabı

Oransal motor kontrolü: adım girişi

Oransal motor kontrolü: rampa girişi

85

Entegral motor kontrol sistemi?

Entegral+sıfır motor kontrol sistemi

86

BÖLÜM-12 KÖKLERİN S-DÜZLEMİNE YERLEŞİMLERİ

S Düzlemine Kök Yerleşimlerinin Önemi

Geçici cevap, köklerin yerleşimi ile yakından ilgilidir. (kutuplar ve sıfırlar)

Kök yerleşimlerinin grafiksel gösterimi:

Kutuplar ve sıfırlar arasındaki ilişkiler

Etkin ve önemsiz kökler

Kararlılık

Tasarım aletleri ve yöntemleri:

Kök-yer eğrisi (parametrelere karşılık kök değişimleri)

Kök yerleşimi değişimi için ödünler

Adım Cevabı-S Düzlemi Yerleşimi

1.Dereceden sistemler için bir kutup ekleme

Bir kutup ile transfer fonksiyonu:

İlave kutup ile transfer fonksiyonu:

87

İlave Kutuplar ile Adım Cevabı

Etkin ve Önemsiz Kutuplar

Gerçek parçalar şiddet derecesinden farklı ise transfer fonksiyonları önemsiz kutuplar (ve

sıfırlar) silinerek basitleştirilebilir.

2. Dereceden sistemler için bir kutup ekleme

İki kutup ile transfer fonksiyonu:

(sönümlenmemiş)

İlave kutup ile transfer fonksiyonu:

88

İlave Kutuplar ile Adım Cevabı

Etkin ve Önemsiz Kutuplar

S-Düzlemi Üzerindeki Özellikler

89

Aşırı Sönümlenmiş Sistem “Özellikleri”

Aşırı Sönümlenmiş Sistem “İç Özellik”

3. Dereceden Sistem “İç Özellik”

90

3.Dereceden Sistem “Dış Özellik”

4.Dereceden Sistem “İç Özellik”

4.Dereceden Sistem “Dış Özellik”

91

BÖLÜM-13 KARARLILIK

Kararlılık Etkileri

Kararsız bir sistem şunları sergiler:

Düzensiz, güvensiz davranış

Muhtemel yıkıcı davranış

(Geçiş cevabı kontrolsüzdür)

Bir kararlı sistem şunları sergiler:

Yakınsak, güvenli davranış

(Geçiş cevabı kontrollüdür)

Tanımlama: Kararlı bir sistem sınırlı bir giriş için kontrollü bir cevaba sahiptir.

Kararlı ve Kararsız Sistemler

Kararlı ve Kararsız Sistemler

1.Dereceden sistemin etki cevabı

92

Kutup: -a

a>0: üstel azalmalar 0 için (kararlı)

a<0: üstel büyümeler için (kararsız)

Etki Cevabı

Kararlılık Kriteri

Sistem transfer fonksiyonu:

Kutuplar (paydanın kökleri):

Mutlak kararlılık için:

Sistem karakteristik eşitliği

Sistem transfer fonksiyonu:

93

Karakteristik eşitlik:

(paydayı sıfıra ayarlayın =0)

• Kutuplar karakteristik eşitliğin kökleridir.

(Sistemin kararlı olabilmesi için tüp kutuplar negatif gerçek eksende olmalıdır.)

Sınırlı Kararlılık

Kutuplardan biri s=0 olduğunda sistem sınırlı kararlıdır. (Diğer kutup kararlı olsa da)

S-Düzleminde Kararlılık

Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri

Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir.

Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında

açıklanmıştır.

Bu yöntem 1800’lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu.

Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır.

94

Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri

Dizaynı yapılan bir sistem her zaman diliminde aynı ve istenilen performansı gösteriyorsa bu sistem kararlıdır. Routh-Hurwitz kararlılık kriteri; doğrusal, zamanla değişmeyen, sabit katsayılı karakteristik denklemlerin kararlılığı hakkında bilgi sağlayan cebirsel bir yöntemdir. Kriter, karakteristik denklem köklerinden herhangi birinin sağ yan s-düzleminde yer alıp almadığını belirler. Ayrıca jw- ekseni üzerindeki ve sağ yan s-düzleminde bulunan köklerin sayısını da verir. Routh-Hurwitz kriteri, sabit katsayılı polinom sıfırlarını, sağ ve sol yarı s-düzlemine göre, denklemi çözmeden belirleyen bir yöntemdir. Doğrusal zamanla değişmeyen, tek giriş, tek çıkışlı bir sistemin karakteristik denklemi, tüm katsayılar gerçek olmak üzere

şeklinde verildiğinde denklemin pozitif gerçek kısımlı kökleri olmaması için aşağıdaki gerek ve yeter şartları sağlaması gerekir. 1. Denklem katsayılarının tümü aynı işaretli olmalı. 2. Katsayıların hiçbiri sıfır olmamalı.

Bu matematiksel kurallara dayandırılan koşullar yukarıdaki denklemin katsayıları cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

Buna göre köklerin pozitif gerçek kısımları olmadığı sürece bu oranların tümü sıfırdan farklı ve pozitif olmalıdır. Denklemin sağ yarı s-düzleminde bulunmamalı koşulu denklemler incelenerek belirlenebilir. Ancak bu koşullar yeterli değildir, sabit katsayılı bir denklemde katsayıların tümü sıfırdan farklı ve aynı işaretli olabilir. Buna rağmen köklerin tümü sol yarı s-düzleminde bulunmayabilir.

95

Çözüm aşamaları:

96

97

Örnek:

Örnek:

98

Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek;

Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek;

99

Konu ile ilgili örnekler:

Örnek-1:

100

Örnek-2:

Örnek-3:

101

BÖLÜM-14 KÖK YERİ YÖNTEMİ

Kutup Yerleşiminin Önemi

Bir kutup yerleşimi işlevinin performansı

Geçiş cevabı

Mutlak kararlılık (kararlı veya değil?)

Bağıl kararlılık (nasıl kararlı?)

Kontrol parametrelerindeki değişime bağlı kutup yer değişimi

Kontrol kazançları, sıfırları ve köklerinin işlevi

Hangi değerler “iyi” yerleşimi sağlar?

Kök yeri (kutupların yeri) kullanılarak tasarım

Geçiş Cevabı

Mutlak Kararlılık

102

Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri

Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir.

Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında

açıklanmıştır.

Bu yöntem 1800’lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu.

Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır.

Bu noktada onu yüksek seviyede gözden geçireceğiz.

Karakteristik Denklem

Karakteristik Denklemin İşaretleri

Karakteristik denklemin tüm katsayıları:

Benzer işarete sahip olmak zorundadır

Sıfır olmamak zorundadır

Mutlak kararlılık için şart (fakat yeterli değildir) gereklidir (Routh’s Kriteri)

Örnekler:

Bağıl Kararlılık

Bir sistem nasıl kararlı olabilir?

Bir diğer sistem ile karşılaştırılarak

“kararsızlık” sınırlarına olan mesafesi ile

Bağıl kararlılık ölçütleri

Her kök ile ilişkili sönümleme

Köklerin gerçek kısımları

Kazanç ve faz payları (frekans cevap kavramı: daha sonra açıklanacaktır)

103

Bağıl kararlılık

Sistem 1 ve 2’nin adım cevabı

Kök Yeri

Tanımlama: Kök yeri, karakteristik denklemin köklerinin s-düzlemine, sistem parametreleri

değişimine bağlı olarak çizilmesi yöntemidir.

Tasarım: Parametre değerini, s-düzleminde “iyi” alana yerleşecek şekilde seçin. (burada

dinamik gereksinimler geçerlidir)

Tekrarlama: Şayet s-düzleminde “iyi” alana yerleştirilecek kök yeri kısmı yoksa kontrolün

yapısını değiştirmek üzere kökü değiştirin. Sonra parametre değerini değiştirin.

Kök eğrilerinin temel özellikleri ve sistematik çizilişi ilk kez W. R. Evans tarafından geliştirilmiştir. Kök eğrilerinin kullanımı kontrol sistemlerinin incelenmesiyle sınırlı değildir. Genelde yöntem değişken parametreli matematiksel denklemlerin köklerini incelemede de kullanılabilir. Genel kök eğrisi problemi, karmaşık s değişkenine bağlı olarak aşağıdaki matematiksel denklemle ifade edilebilir. F(s) = P(s) + KQ(s) = 0

Burada P(s)

104

şeklinde n’inci mertebeden, Q(s) ise

Şeklinde m’inci mertebeden s’e bağlı bir polinom, n ve m ise pozitif iki tam sayıdır. Başlangıçta n ve m’nin karşılıklı göreli değerleri ile ilgili herhangi bir sınırlandırma getirilmemektedir. F(s) denkleminde K gerçek sabiti -? ile +? arasında değişebilir. Ancak a0,a1,……,an-1 ile b0,b1,……,bm-1 sabitlerinin gerçek ve belirli oldukları varsayılır. Çok parametre değişkenli kök eğrileri her seferinde bir parametre değiştirilerek incelenebilir. Bu eğrilere kök çevreleri adı verilir. Benzer şekilde P(s) ve Q(s) ilişkilerinde s yerine z yazmak suretiyle doğrusal ayrık verili sistemlere ilişkin karakteristik denklemlerin de kök eğrileri oluşturulabilir. K’nın işaretine ve değişken sayısına bağlı olarak aşağıdaki kök eğri türleri tanımlanır. PKE (Pozitif kök eğrisi) : Pozitif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; 0 ? K < +? NKE (Negatif kök eğrisi) : Negatif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; -? < K ? 0 KÇ (Kök çevreleri) : Birden fazla parametrenin değiştiği kök eğrileri KE (Kök eğrisi) : Toplam KE= PKE+NKE kök eğrisini ifade eder. -? <K< ? Kök Eğrilerinin Temel Özellikleri

Transfer fonksiyonu yukarıdaki gibi olan bir kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi payda polinomu sıfıra eşitlenerek elde edilir. Buna göre karakteristik denklem kökleri 1 + G(s).H(s) = 0 ilişkisini sağlamalıdır. G(s).H(s) ifadesinde değişken parametre olarak K çarpanının bulunduğunu, P(s) ve Q(s) polinomlarının aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim.

Buna göre çevrim transfer fonksiyonun da aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim.

Bu durumda 1 + G(s).H(s) = 0 denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

Bu denklemin pay polinomu F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 denklemine eşdeğerdir. Öyleyse G(s).H(s) açık çevrim transfer fonksiyonu KQ(s) / P(s) biçiminde ifade edilebildiği sürece, sistemin kök yer eğrisi, genel kök eğrisi problemi ile özdeşleşmiş olur. Eğer değişken K parametresi G(s).H(s)’ nin bir çarpanı olarak düzenlenmezse fonksiyon her zaman F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 ifadesine eşit olur. Genlik Koşulu:

Açı Koşulları: i= 0 , ±1 , ±2 , …..şeklinde herhangi bir tamsayı olmak üzere;

105

G1(s).H1(s) = (2i +1).3,14 , K ? 0 için = tek sayıda 3,14 radyan ya da 180°’ nin katı G1(s).H1(s) = 2i 3.14 , K ? 0 için = çift sayıda 3,14 radyan ya da 180°’ nin katı s-düzleminde kök eğrilerine ilişkin noktalar yukarıdaki açı koşullarından yararlanılarak belirlenir. Kök eğrisi bir kez çizildikten sonra eğriye ilişkin K değerleri genlik koşulundan değiştirilir. Kök eğrilerinin çizimi için, bazı özellikler matematiksel olarak türetilse de genellikle grafiksel bir temele dayanır. Kök eğrilerini grafiksel çizmek için G(s).H(s) fonksiyonunun kutup ve sıfırlarını bilmek gerekir. Bu nedenle G(s).H(s)’ nin sıfır ve kutupları öncelikle aşağıdaki denklemle ifade edilmelidir.

Eğer bu denkleme yukarıdaki genlik ve açı koşulları uygulanırsa;

şeklinde ifade edilebilir ve bir kez kök eğrisi çizildikten sonra, kök eğrisi boyunca K değerleri ilişkisi aşağıdaki gibi hesaplanır.

106

Yer Kök Eğrisi

Kök Yerlerinin Çiziminde Sıra İle İzlenmesi Gereken Kurallar

107

108

3. Dereceden Kök Yeri

=0.707 için k’nın seçimi

k=3.5 için birim adım cevabı

109

BÖLÜM-15 KÖK YERİ YÖNTEMİ KULLANILARAK TASARIM

Kök Yeri Yönteminin Kullanımı

Aşağıdakiler kapalı döngülü bir sistemin karakteristik denkleminin kök yerleşimleri ile

doğrudan ilişkilidir:

Geçiş cevabı

Bağıl kararlılık

Uygun kök yerleşimleri alabilmek için sistem parametrelerini ayarlamak gereklidir (uygun

geçiş cevabı, kararlılık,…)

Değişik parametreleri ve tasarımı kullanarak kök yerlerini çizin (seçilmiş değerleri kullanın)

Kök yeri çizim prosedürü (MATLab kullanılarak)

1. Karakteristik denklemi şu şekilde yazın: Buradaki k parametresi ilginçtir.

2. (“x”) pi kutuplarını ve (“0”) zj sıfırlarını çizin.

3. k değeri sıfırdan sonsuza kadar artırılarak karakteristik denklemin köklerini çizin.

3.Dereceden sistemlerin kök yeri

3.Dereceden sistemlerin kök yeri

110

3.Dereceden sistemlerin kök yeri

111

112

2.Dereceden sistemlerin kök yeri

3.Dereceden sistemlerin kök yeri

113

kc’nin fonksiyonu olarak kutup yeri

kc’nin seçimi

Kök yeri tasarım prosedürü

S-düzleminde istenen baskın kök yerlerini belirleyin.

İsteğe uygun sx kök yerlerini seçin. (Şayet yoksa sistemi veya karakteristikleri değiştirin)

sx’e bağlı k değerlerini bulun.

114

Beklentileri karşılayan k ve diğer yerleşimler için kökleri kontrol edin.

2.Dereceden sistemlerin kök yeri

k kazancının belirlenmesi

115

kc’nin belirlenmesi (kp=1)

Sıfır ile kök yerleşimi (s+10)

Sıfır ile kök yerleşimi (s+5)

116

Sıfır ile kök yerleşimi (s+3)

Sıfır ile kök yerleşimi (s+2)