June 2013

Outline傳統 BLDC 六步方波驅動磁場導向控制 (FOC) 簡介Park 變換Clarke 變換FOC 電流控制流程

2

傳統 BLDC 六步方波驅動下圖為 BLDC 的六步方波驅動示意圖，之所以稱為六步方

波是因為該驅動方法共有 6 種驅動電壓情形。

VA

VB

VC

A

BC

1 2 3 4 5 6

定子線圈磁場各相線圈的電壓可以為正、負或零，當電壓為正時，電壓

可在定子線圈的軸心上產生正方向的磁場。

VA

VB

VC

A

BC

定子線圈磁場當電壓為負時，電壓可在定子線圈的軸心上產生反方向的

磁場。

VA

VB

VC

A

BC

定子線圈磁場當電壓為零時，線圈沒通電就只是不具磁場的一圈圈電線

而已。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第一步在第一步中 A 相線圈電壓 VA 為正， B 相線圈電壓 VB 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 A 、 B 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第二步在第二步中 A 相線圈電壓 VA 為正， C 相線圈電壓 VC 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 A 、 C 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第三步在第三步中 B 相線圈電壓 VB 為正， C 相線圈電壓 VC 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 B 、 C 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第四步在第四步中 B 相線圈電壓 VB 為正， A 相線圈電壓 VA 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 B 、 A 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第五步在第五步中 C 相線圈電壓 VC 為正， A 相線圈電壓 VA 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 C 、 A 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

六步方波 – 第六步在第六步中 C 相線圈電壓 VC 為正， B 相線圈電壓 VB 為

負，在此情況下橘色虛線箭頭可表示 C 、 B 兩相線圈的磁場合力方向。

VA

VB

VC

A

BC

驅動馬達旋轉當馬達三相線圈依照第一步 ~ 第六步或是第六步 ~ 第一步

的順序換相時，則會產生步階 60 ° 的旋轉磁場。

13

A

BC

1 2

3

45

6

驅動馬達旋轉只要得知馬達轉子角度就可利用六步方波驅動，產生超前

或落後馬達轉子磁場的合力磁場向量，進而帶動馬達轉子旋轉。

14

A

BC

1 2

馬達轉矩漣波在六步方波中線圈電壓是瞬間從零切換到正或負的，合力

向量也是瞬間跳動 60 ° ，如此一來就會讓磁力作用在馬達轉子上的轉矩產生一定幅度的突變，造成所謂的馬達轉矩漣波。

15

A

BC

1 2

3

45

6

磁場導向控制馬達轉子的旋轉在空間中是連續的，所以如果要得到更穩

定且更高效率的輸出，驅動電壓產生的合力磁場也應該是趨近連續變化的。

磁場導向控制 (Field Oriented Control) 簡稱 FOC ， FOC 中先假定一角度與磁場合力向量角度相同的電壓向量，以該向量為導向改變三相定子線圈的電壓。

16

電壓向量 Vs

Vs 為磁場導向的電壓向量， Vs 的角度即為合力磁場的角度， Vs 向量的長度可以決定合力磁場的強度大小。

17c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

三軸向量磁場導向將 Vs 投影至 a 、 b 、 c 三軸的

分量作為三相定子線圈的電壓向量 Va 、 Vb 、 Vc 即可達到磁場導向的目的。

18c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

定子線圈電壓當下圖中 Vs 向量開始隨轉子旋轉時， Vs 投影至

a 、 b 、 c 各軸的分量 (Va 、 Vb 、 Vc) 則為時間軸上的弦波函數。

Vs

a

19

整流 / 變頻技術產生弦波電壓的技術最早是由直流電轉交流電的整流技術

而來，一般使用在馬達上的整流 / 變頻技術有 SPWM、SVPWM。

Vs

a

20

二維正交座標在 FOC 中先以馬達轉子的旋轉平面來定義絕對座標 α –β ，

再定義一個隨馬達轉子旋轉的座標 d-q ，而 θ 表示轉子角度。

21

α

dβ

θ

q

向量投影計算任一向量投影在任一座標軸上之分量，可透過該向量

對該軸之單位向量的向量內積求得。以下即為 Vs 投影在 d 軸上分量的算法

sincos

sin

cos

VV

d

dVV

dVV sd

1d

22

Vs

Vα

Vβ

Vd

Vq θ

Park 變換α-β 座標轉至 d-q 座標稱

為 Park 變換。

sincos

sin

cos

ii

VV

dVV sd

23

Vs

Vα

Vβ

Vd

Vq

cossin

cos

sin

)90sin(

)90cos(

ii

VV

VV

qVV sq

θ

Park 變換α-β 座標轉至 d-q 座標稱

為 Park 變換。

sincos VVdVV sd

cossin VVqVV sq

V

V

V

V

q

d

cossin

sincos

24

Vs

Vα

Vβ

Vd

Vq θ

Park 逆變換d-q 座標轉換至 α-β 座標稱

為 Park 逆變換。

cossin

sincos

cos

sin

sin

cos

qd

qd

qd

qd

VV

VV

VV

qVdV

qVdVV

VV qds

25

Vs

Vα

Vβ

Vd

Vq

θ

Park 逆變換d-q 座標轉換至 α-β 座標稱

為 Park 逆變換。

cossin

sincos

qd

qd

s VV

VV

V

VV

q

d

V

V

V

V

cossin

sincos

26

Vs

Vα

Vβ

Vd

Vq

θ

Clarke 逆變換α-β 座標轉至 a-b-c 座標稱為

Clarke 逆變換。

V

V

V

V

aVV sa

010sin0cos

V

V

V

V

bVV sb

23

21

120sin120cos

V

V

V

V

cVV sc

23

21

240sin240cos

27c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

Clarke 逆變換α-β 座標轉至 a-b-c 座標稱為

Clarke 逆變換。

V

VVa 01

V

VVb 2

321

V

VVc 2

321

28c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

V

V

V

V

V

c

b

a

23

21

23

21

01

Clarke 變換a-b-c 座標轉至 α-β 座標稱為

Clarke 變換，可將 Clarke 逆轉換矩陣擴充成 3X3 矩陣，由其反矩陣求得。

00

23

21

23

21

01

V

V

CV

V

K

K

K

V

V

V

c

b

a

KKK

C

31

31

31

31

31

0

31

31

32

1

29c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

Clarke 變換a-b-c 座標轉至 α-β 座標稱為

Clarke 變換，可將 Clarke 逆轉換矩陣擴充成 3X3 矩陣，由其反矩陣求得。

c

b

a

c

b

a

V

V

V

KKK

V

V

V

CV

V

31

31

31

31

31

0

31

31

32

0

1

c

b

a

V

V

V

V

V

31

31

0

31

31

32

30c

b

a

Vc

Vb

Va

Vs

馬達相電流相電流的定義為流進或流

出馬達線圈的電流，流進線圈為正流出為負，根據克希荷夫定律可以得知 I

a

Ib

Ic

31

baccba IIIIII 0

Clarke 變換三相線圈電流 ( 電壓 ) 具有相

加等於零的關係，所以 Clarke 變換可再進一步簡化。

b

a

ba

b

a

I

I

II

I

I

I

I

)131

(31

)131

(0

)131

(31

)131

(32

31

31

0

31

31

32

baccba IIIIII 0

b

a

I

I

I

I

32

31

01

32

馬達狀態方程式a-b-c 軸座標狀態方程式

33

)32

sin(

)32

sin(

sin

00

00

00

00

00

00

e

c

b

a

c

b

a

c

b

a

K

idtd

idtd

idtd

L

L

L

i

i

i

R

R

R

V

V

V

ccc

bbb

aaa

c

b

a

eidtd

LRi

eidtd

LRi

eidtd

LRi

V

V

V Vn = 0

馬達狀態方程式透過 Clarke 變換可將狀態方程式從 a-b-c 座標轉換至 α–

β 座標

TC 即為 Clarke 變換矩陣

34

0

23

21

23

21

01

V

V

K

K

K

V

V

V

c

b

a

0

23

21

23

21

01

i

i

K

K

K

i

i

i

c

b

a

c

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a

CCC

e

e

e

i

i

T

L

L

L

dtd

i

i

T

R

R

R

V

V

T

000

00

00

000

00

00

0

馬達狀態方程式將馬達方程式前乘 TC 的反矩陣可進行矩陣對角化

35

c

b

a

e

e

e

K

K

K

i

i

L

L

L

dtd

i

i

R

R

R

V

V

1

23

21

23

21

01

000

00

00

000

00

00

0

c

b

a

CCCCCCC

e

e

e

Ti

i

T

L

L

L

Tdtd

i

i

T

R

R

R

TV

V

TT 1111

000

00

00

000

00

00

0

馬達狀態方程式α–β 座標的狀態方程式

36

0

cos

sin

)32

sin(

)32

sin(

sin

31

31

0

31

31

32

23

21

23

21

01

1

e

e

e

e

c

b

a

K

K

K

K

KKKe

e

e

K

K

K

0

cos

sin

000

00

00

000

00

00

0

eKi

i

L

L

L

dtd

i

i

R

R

R

V

V

cos

sin

0

0

0

0eKi

i

L

L

dtd

i

i

R

R

V

V

馬達狀態方程式透過 Park 逆變換可再將 α–β 座標的狀態方程式轉換至

d-q 座標狀態方程式

TP 即為 Park 逆變換矩陣

37

q

d

q

d

i

i

i

i

V

V

V

V

cossin

sincos

cossin

sincos

cos

sin

0

0

0

0e

q

d

p

q

d

p

q

d

p Ki

iT

dtd

L

L

i

iT

R

R

V

VT

馬達狀態方程式由於 Park 逆變換矩陣不像 Clarke 變換矩陣只有常數項，

而是有時間項 θ ，所以 d-q 軸方程式的電感項無法像之前一樣對完全對角化。

38

q

d

P

q

d

P

q

d

P

idtd

idtd

Ti

iT

dtd

i

iT

dtd

)(

cos

sin

0

0

0

0e

q

d

p

q

d

p

q

d

p Ki

iT

dtd

L

L

i

iT

R

R

V

VT

馬達狀態方程式將原本的微分項拆成兩項

再跟之前一樣前乘 TP 的反矩陣對角化大部分的矩陣

39

cos

sin

0

0)(

0

0

0

0e

q

d

p

q

d

p

q

d

p

q

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p Ki

dtd

idtd

TL

L

i

iT

dtd

L

L

i

iT

R

R

V

VT

cos

sin

0

0)(

0

0

0

011

e

e

P

q

d

q

d

pP

q

d

q

d

K

KT

idtd

idtd

L

L

i

iT

dtd

L

LT

i

i

R

R

V

V

馬達狀態方程式再計算出沒有被對角化的部分

40

ee

e

e

e

P KK

K

K

KT

0

cos

sin

cossin

sincos

cos

sin1

q

d

q

d

pP i

i

L

L

i

iT

dtd

L

LT

sincos

cossin

0

0

cossin

sincos)(

0

01

1

q

d

q

d

pP i

i

L

L

i

iT

dtd

L

LT

0

0)(

0

01

馬達狀態方程式d–q 座標的狀態方程式

將電力方程式轉換至 d-q 軸座標後，反電動勢項目中的 θ就被去除了，再假設馬達穩定旋轉則 ω 為常數，一般 FOC 中的控制理論都是在此座標軸中進行。

41

eq

d

q

d

q

d

q

d

Ki

i

L

L

dtd

i

i

L

L

i

i

R

R

V

V 0

0

0

0

0

0

0

馬達 d-q 座標的轉移函數把微分子寫作符號 p

想求得 d-q 各軸獨立的電壓 V 對電流 i 的轉移函數的話，方程式中似乎多了些東西。

42

eq

d

q

d

q

d

q

d

Ki

i

pL

pL

i

i

L

L

i

i

R

R

V

V 0

0

0

0

0

0

0

eq

d

q

d

Ki

i

RpLL

LRpL

V

V 0

方程式線性化在 d-q 座標中如果要讓方程式能應用線性控制理論分析，

則需要再更進一步線性化，在此是透過將 id 、 iq 的耦合項以及反電動勢項用變數替換的方式代入電壓項，產生新的電壓向量 V’ 。

43

ed

q

q

d

q

d

KLi

Li

i

i

RpL

RpL

V

V

0

0

eq

d

q

d

Ki

i

RpLL

LRpL

V

V 0

q

d

q

d

q

d

edq

qd

i

i

RpL

RpL

V

V

i

i

RpL

RpL

KLiV

LiV

0

0

0

0|

|

方程式線性化新的電壓項 V’ 與電流項 i 是呈現線性關係，若以 V’ 與 i 建立控制模型就能使用線性的控制理論進行分析。

44

q

d

q

d

i

i

RpL

RpL

V

V

0

0|

|

RLssV

si

RLssVsi

q

q

d

d

1

)(

)(1)()(

||

FOC 電流控制流程

45

α, β

Position Estimator

ControllerInverter

Motor

Controllera, b, c

Va

Vb

Vc

電流命令Iq 與 Id 為控制器的輸入項，為了得到最大效率， d-q 座

標上的電流向量與轉子磁場向量角度差為 ±90° ，故 Id 為零。

46

控制器控制器的部分可以是各種線性或非線性控制器，以 PID 控

制器為例

47

)(

2

RLssKsKsK IPD

Id

feedback

qdd LiVV |V’dVd

)(

2

RLssKsKsK IPD

Iq

feedback

edqq KLiVV |V’qVq

-

-

獲得三相電壓向量從控制器得到 d-q 座標的電壓向量，再經過 Park 變

換、 Clarke 逆變換後轉換成馬達三相電壓向量 Va 、 Vb 、

Vc 。

48

θ

逆變器與馬達以三相電壓向量 Va 、 Vb 、 Vc 為依據可決定逆變器

(Inver-ter) 所要產生的弦波電壓大小及相位，再透過逆變器輸出電流至馬達線圈。

49

相電流向量轉換三相電流可經由 Clarke 變換轉換至 α –β 座標， iα 與 iβ

可再轉換至 d-q 座標回饋至控制器，亦可用於推估轉子角度。

50

轉子角度之估測以下為馬達在 α-β 座標上的電力方程式

當馬達沒有位置感應器時，將控制過程中感測到的電流以及三相線圈電壓的值代入馬達方程式是可以藉此估算馬達轉子角度的。

51

cos

sin

0

0

0

0eK

idtd

idtd

L

L

i

i

R

R

V

V

轉子角度之估測以下為轉子角度的求解方式

52

idtd

idtd

L

L

i

i

R

R

V

V

K

K

e

e

0

0

0

0

cos

sin

tan

cossin

e

e

KK

)cossin

(tan 1

e

e

KK

轉子角度之估測雖然透過馬達方程式可以得到轉子角度，但是從式中可以看得出來當馬達從靜止開始旋轉時，該解法並不適用，原本的公式也是建立在馬達已經平穩運轉時的情形，因此無感測馬達控制需要額外的啟動程序。

相關啟動程序有興趣的話可以參考其他的無感測馬達控制文章。

53

)cossin

(tan 1

e

e

KK

電流向量轉換至旋轉座標 d-q將轉子角度代入

Park 變換即可得到電流 Iq 、 Id ，將其回饋至控制器即完成了整個閉迴路控制架構。

54

55