Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme...

7
Mukavemet I Bitirme Sınavı İnşaat Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı 26.12.2018 · 14.00 15.30 · 90 dakika · D601 · D602 · D611 Soru 1: Şekil 3’teki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine göre: (a) Tarafsız eksenin konumunu hesaplayınız. (10 puan) (b) Kesitte oluşan en büyük ve en küçük gerilmeleri hesaplayınız. (10 puan) (c) Gerilme dağılımını çiziniz. (10 puan) Kesit atalet momentleri: 5 4 5 4 5 4 24.6 10 6.15 10 9 10 x y xy I mm I mm I mm Soru 2: AC yatay şaftı, C noktasında bir ankastre mesnete bağlanmıştır ve gösterilen burulma momentine maruzdur. Şaftın BC kısmı bir bileşik çubuktur. 1 numaralı malzemenin kayma modülü G 1 =70 MPa, 2 numaralı malzemenin ise G 2 =50 MPa’dır: (a) BC kısmındaki gerilmeleri hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını çiziniz. (10 puan) (b) AB kısmındaki en büyük gerilme değerini hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını çiziniz . (10 puan) (c) B kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz. (10 puan) (d) A kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz. (10 puan) Kutupsal atalet momentleri: 6 4 1 4 2 6 4 1.27 10 79521 1.19 10 AB BC BC I mm I mm I mm Soru 3: Şekildeki bağlantıda perçinlerin çapı 10 mm, perçinlerin emniyetle taşıyabileceği normal gerilme 550 MPa, kayma gerilmesi ise 190 MPa’dır. Çubuk elemanın ve düğüm levhasının kalınlıkları 10 mm, emniyetle taşıyabilecekleri normal gerilme 390 MPa, kayma gerilmesi ise 130 MPa’dır. Buna göre; (a) Levha deliği kenarlarında kayma hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan) (b) Bulon gövdesi ve delik kenarında ezilme olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan) (c) Elemanlarda yırtılma olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan) (d) Perçinlerde kesme hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan) (e) Sistemin emniyetle taşıyabileceği en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (10 puan) Başarılar dilerim Dr. Öğr. Üyesi Rasim Temür

Transcript of Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme...

Page 1: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Mukavemet I Bitirme Sınavı

İnşaat Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı

26.12.2018 · 14.00 – 15.30 · 90 dakika · D601 · D602 · D611

Soru 1: Şekil 3’teki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine göre:

(a) Tarafsız eksenin konumunu hesaplayınız. (10 puan) (b) Kesitte oluşan en büyük ve en küçük gerilmeleri

hesaplayınız. (10 puan) (c) Gerilme dağılımını çiziniz. (10 puan)

Kesit atalet momentleri: 5 4

5 4

5 4

24.6 10

6.15 10

9 10

x

y

xy

I mm

I mm

I mm

Soru 2: AC yatay şaftı, C noktasında bir ankastre mesnete bağlanmıştır ve gösterilen burulma momentine maruzdur. Şaftın BC kısmı bir bileşik çubuktur. 1 numaralı malzemenin kayma modülü G1=70 MPa, 2 numaralı malzemenin ise G2=50 MPa’dır:

(a) BC kısmındaki gerilmeleri hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını çiziniz. (10 puan)

(b) AB kısmındaki en büyük gerilme değerini hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını çiziniz . (10 puan)

(c) B kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz. (10 puan) (d) A kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz. (10 puan)

Kutupsal atalet momentleri: 6 4

1 4

2 6 4

1.27 10

79521

1.19 10

AB

BC

BC

I mm

I mm

I mm

Soru 3: Şekildeki bağlantıda perçinlerin çapı 10 mm, perçinlerin emniyetle taşıyabileceği normal gerilme 550 MPa, kayma gerilmesi ise 190 MPa’dır. Çubuk elemanın ve düğüm levhasının kalınlıkları 10 mm, emniyetle taşıyabilecekleri normal gerilme 390 MPa, kayma gerilmesi ise 130 MPa’dır. Buna göre;

(a) Levha deliği kenarlarında kayma hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan)

(b) Bulon gövdesi ve delik kenarında ezilme olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan)

(c) Elemanlarda yırtılma olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan)

(d) Perçinlerde kesme hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (5 puan)

(e) Sistemin emniyetle taşıyabileceği en büyük P kuvvetini hesaplayınız. (10 puan)

Başarılar dilerim

Dr. Öğr. Üyesi Rasim Temür

Page 2: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1

Mukavemet I · Bitirme Sınavı

Soru 1

Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine göre:

a. Tarafsız eksenin konumunu hesaplayınız. (10 puan) b. Kesitte oluşan en büyük ve en küçük gerilmeleri hesaplayınız. (10 puan) c. Gerilme dağılımını çiziniz. (10 puan)

Kesit atalet momentleri:

5 4

5 4

5 4

24.6 10

6.15 10

9 10

x

y

xy

I mm

I mm

I mm

Çözüm

A noktasındaki basınç kuvvetinin

oluşturduğu moment

Tarafsız eksenin konumu

a. Tarafsız eksenin konumu Kesitteki yükleme durumuna göre, A noktası y ekseni üzerinde ve x eksenine negatif yönde 50 mm uzaklıktadır. Buna göre;

0

50

x

y

e mm

e mm

olmaktadır. A noktasına uygulanan eksenel kuvvet aynı zamanda kesitin ağırlık merkezi de olan koordinat ekseninin merkezine taşındığında kesitte oluşan momentler;

10000 50x yM P e ⇒ 500000xM Nmm

10000 0y xM P e ⇒ 0yM Nmm

olarak hesaplanır. Normal kuvvetin dış merkezli olması durumunda kesitteki gerilme dağılımı;

2

x y xy y xy x

z

x y xy

M I y I x M I y I xP

A I I I

denklemiyle hesaplanabilir. Tarafsız eksen üzerinde, gerilme değeri sıfır olduğundan, gerilme denklemi sıfıra eşitlenerek tarafsız eksenin koordinat eksenlerini kestiği noktalar elde edilebilir. Buna göre kesitin alanı;

2 50 10 80 10A ⇒ 21800A mm

olarak hesaplanır. Eldeki verilerin gerilme denkleminde yerine konması durumunda tarafsız eksen denklemi;

5 5

25 5 5

500000 6.15 10 9 10100000

1800 24.6 10 6.15 10 9 10

y x

5 5

25 5 5

500000 6.15 10 9 1010000

1800 24.6 10 6.15 10 9 10

y x

30.75 45 390.5 0y x

olarak elde edilir. Tarafsız eksen denkleminde x değeri yerine sıfır verildiğinde tarafsız eksenin y eksenini kestiği noktanın koordinatı yt, y değeri yerine sıfır verildiğinde ise tarafsız eksenin x eksenini kestiği noktanın koordinatı xt elde edilebilir.

0x ⇒ 12.7ty mm

0y ⇒ 8.7tx mm

Page 3: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 2

b. Kesitte oluşan en büyük ve en küçük gerilmeler

Eğilme etkisi altındaki kesitlerdeki en küçük ve en büyük gerilmeler, kesitin tarafsız eksene en yakın ve en uzak olan noktalarındaoluşur. Kesitte tarafsız eksene en yakın ve en uzak noktalar sırasıyla B ve C noktalarıdır. Bu noktaların x ve y eksenlerine göre koordinatları sırasıyla B(5;-50) ve C(-5;50) olarak elde edilebilir. Bu koordinatların gerilme denklemine yerine konmasıyla, B veC noktalarındaki gerilme değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.

2

x y B xy B y xy B x B

B

x y xy

M I y I x M I y I xP

A I I I

5 5

25 5 5

500000 6.15 10 50 9 10 510000

1800 24.6 10 6.15 10 9 10B

5.56 25.07B

30.63 MPaB

2

x y C xy C y xy C x C

C

x y xy

M I y I x M I y I xP

A I I I

5 5

25 5 5

500000 6.15 10 50 9 10 510000

1800 24.6 10 6.15 10 9 10C

5.56 25.07C

19.51C MPa

Buna göre C noktasında en büyük, B noktasında ise en küçük gerilme değerleri oluşur:

19.51mak MPa

min 30.63 MPa

c. Kesitte oluşan gerilme dağılımı

Yukarıdaki hesaplardan elde edilen, tarafsız eksen ve gerilme değerleri kullanılarak, kesitte oluşan gerilme dağılımı aşağıdaki gibi çizilebilir.

Kesitte oluşan gerilme dağılımı

Page 4: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1

Mukavemet I · Bitirme Sınavı

Soru 2

AC yatay şaftı, C noktasında bir ankastre mesnete bağlanmıştır ve gösterilen burulma momentine maruzdur. Şaftın BC kısmı bir bileşik çubuktur. 1 numaralı malzemenin kayma modülü G1=50 MPa, 2 numaralı malzemenin ise G2=70 MPa’dır:

a. BC kısmındaki gerilmeleri hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını çiziniz. b. AB kısmındaki en büyük gerilme değerini hesaplayınız, kesitte gerilme dağılımını

çiziniz. c. B kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz. d. A kesitindeki bağıl dönme açısını belirleyiniz.

Kutupsal atalet momentleri:

6 4

1 4

2 6 4

1.27 10

79521

1.19 10

AB

BC

BC

I mm

I mm

I mm

Çözüm

a. BC kısmındaki gerilmeler ve kesitteki gerilme dağılımı

Serbest cisim diyagramı

Burulma momenti diyagramı

BC kısmındaki kesite ait gerilme dağılımı

AC şaftına etkiyen burulma momenti işaret notasyonu gereği pozitif. Bu sebeple şaft, uzunluğu boyunca Mb=2000 Nm’lik bir burulma momentine maruz kalır. Buna göre bileşik silindirik kesitte oluşan gerilmeler aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

2 1/ 30 /15R r r ⇒ 2R

6

11 4 3 4 3

1 2 1

2 2 10 502

1 50 2 1 70 15

b

R

M G

G G r

⇒ 1 17.1 MPa

6

22 4 3 4 3

1 2 1

2 2 10 702

1 50 2 1 70 15

b

R

M G

G G r

⇒ 2 24 MPa

6

2 23 4 4 4 4

1 2 1

2 2 10 70 302

1 50 2 1 70 15

b

R

M G r

G G r

⇒ 3 48 MPa

b. AB kısmındaki gerilmeler ve kesitteki gerilme dağılımı

AB kısmındaki kesite ait gerilme dağılımı

AB kısmında bir daire kesit bulunmaktadır. Buna göre daire kesitteki en büyük kayma gerilmesi değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

6

2 6

2 1030

1.27 10

bmak

AB

Mr

I

⇒ 47.2mak MPa

c. B kesitindeki bağıl dönme açısı

Bileşik kesite etkiyen burulma momentinin dağılımı

B kesiti ile mesnet arasında yükleme ve kesit özellikleri sabittir. Ancak şaftın öz konusu kısmında bulunan farklı malzemelerden oluşan bir kesit bileşik silindirik kesittir. Kesite etkiyen burulma momentini her iki malzeme birlikte taşır. Denge koşulundan moment dağılımı;

1 2bM M M

Bu malzemeler birlikte çalıştıkları için birim dönme açıları ve bağıl dönme açıları birbirine eşittir.

1 2

1 2BC BC

Page 5: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 2

Bağıl dönme açılarının hesaplandığı denklemler eşitlenerek M1 ve M2 momentleri arasındaki ilişkiyi ifade eden ikinci bir denklem elde edilir.

1 2

1 2

1 2

BC BC

BC BC

M L M L

G I G I

2 6

22

1

1 1

70 1.19 10 500

50 79521 500

BC BC

BC BC

G I LM

M G I L

⇒ 2

1

20.95M

M

Denge denklemiyle birlikte çözüldüğünde moment dağılımı

1 91116M MPa

2 1908884M MPa

olarak elde edilir. Bu değerler kesitteki bağıl dönme açısı denklemlerine eklendiğinde, B kesitinin C noktasına göre bağıl dönme açısı elde edilir.

1

111

91116 500

50 79521

BCBC

BC

M L

G I

111.46BC rad

2

2 622

1908884 500

70 1.19 10

BCBC

BC

M L

G I

211.46BC rad

d. A kesitindeki bağıl dönme açısı

A kesitinin C noktasına göre bağıl dönme açısı, BC parçası ve AB parçasının bağıl dönme açılarının toplamına eşittir. Buna göre A kesitinin bağıl dönme açısı;

AC AB BC

6

6

2

2 10 20011.46

70 1.27 10

b ABAC BC

AB

M L

G I

⇒ 15.96AC rad

olarak hesaplanır.

Page 6: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1

Mukavemet I · Bitirme Sınavı

Soru 3

Şekildeki bağlantıda perçinlerin çapı 10 mm, perçinlerin emniyetle taşıyabileceği normal gerilme 550 MPa, kayma gerilmesi ise 190 MPa’dır. Çubuk elemanın ve düğüm levhasının kalınlıkları 10 mm, emniyetle taşıyabilecekleri normal gerilme 390 MPa, kayma gerilmesi ise 130 MPa’dır. Buna göre;

a. Levha deliği kenarlarında kayma hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

b. Bulon gövdesi ve delik kenarında ezilme olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

c. Elemanlarda yırtılma olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

d. Perçinlerde kesme hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

e. Sistemin emniyetle taşıyabileceği en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

Çözüm

a. Levha deliği kenarlarında kayma hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti

Levha deliği kenarlarındaki kayma hasarını incelemek için yandaki şekilde kırmızı renkle gösterilen eşit alana sahip dört yüzeyin toplamı kullanılmalıdır. Levha deliği kenarlarında kayma hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti;

1 2 34 em çubukP e e e t

4 100 100 50 10 130P

1300000P N

b. Bulon gövdesi ve delik kenarında ezilme olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti

Levha ve çubuk elemanın kalınlıkları eşit olduğundan, perçini ezilmeye zorlayacak en küçük levha kalınlığı tmin söz konusu elemanların kalınlıkları olan 10 mm’dir. Buna bağlı olarak ezilmeye çalışan kesit alanı;

min 10 10A d t ⇒ 2100A mm

olarak hesaplanır. Ezilmeye çalışan 6 perçin ve onların temas ettiği 6 delik kenarı olduğuna göre, ezilme olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti aşağıdaki gibi hesaplanır.

min 6 ;6em emperçin çubukP A A

min 6 100 550;6 100 390 min 330000;234000P

234000P N

c. Elemanlarda yırtılma olmadan taşınabilecek en büyük P kuvvetini hesaplayınız.

Şekildeki sistemde çubuk elemanı ve düğüm levhasının kalınlıkları eşittir ve aynı malzemelerden yapılmışlardır. Düğüm levhasının genişliği belirtilmemekle birlikte şekle göre çubuk elemandan daha büyük olduğundan, sistemin zayıf kesiti çubuk elemanda oluşacaktır. Çubuk elemanda yırtılma olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti yandaki şekilde kırmızı renkle belirtilen alana göre aşağıdaki gibi hesaplanır.

2 em çubukP b d t

120 2 10 10 390P

390000P N

d. Perçinlerde kesme hasarı olmadan taşınabilecek en büyük P kuvveti e. Sistemin emniyetle taşıyabileceği en büyük P kuvveti

Altı adet perçinin kesme hasarı oluşmadan taşıyabileceği en büyük P kuvveti, perçinlerin toplam kesit alanlarının kayma emniyet gerilmesine çarpımı ile hesaplanabilir.

2 210

6 6 1904 4

em perçin

dP ⇒ 89535P N

Yukarıdaki tahkiklerden elde edilen en küçük P kuvveti, sistemin güvenle taşıyabileceği en büyük kuvvettir. Bu tahkiklerde en küçük P kuvveti perçinlerin kesme kapasitesi tahkikinden elde edilmesi sebebiyle,

89535emP N olmaktadır.

Page 7: Bitirme Sınavı - Cevap Anahtarı...Dr. Rasim Temür Bitirme Sınavı 1 Mukavemet I · Bitirme Sınavı Soru 1 Şekildeki kesitin A noktasına 10 kN’luk bir basınç kuvveti etkidiğine

Dr. Rasim Temür

Mukavemet I Bitirme Sınavı Formül Kağıdı

İnşaat Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı

Kesit tesirleri işaret kuralı:

Basit eğilme bağıntıları :

Gerilme Tarafsız eksen

2

x y xy y xy x

z

x y xy

M I y I x M I y I x

I I I

xy x x y

y x xy y

I M I Mytg

x I M I M

Normal kuvvette dış merkezlik bağıntıları:

Gerilme Tarafsız eksen ve çekirdek

x yM P e ; y xM P e

2

x y xy y xy x

z

x y xy

M I y I x M I y I xP

A I I I

2

y

x

t

ie

x

2

xy

t

ie

y

2 xx

Ii

A 2 y

y

Ii

A

Kesme kuvveti bağıntıları:

Ortalama kayma gerilmesi: ort

T

A Tek etkili perçin ⇒

21

4emP d

Çift etkili perçin ⇒ 21

24

emP d

Kesmeli eğilme bağıntıları:

y x

zy

x

T S

I b

⇒ 0, 0xy S

y x

zy

x

T S

I b

⇒ 0, 0xy S

Burulma bağıntıları:

Kayma gerilmesi: zG r

Kayma gerilmesi:0

bMr

I

Birim dönme açısı: 0

bz

M

G I

Bağıl dönme açısı: 0

bz

M L

G I

İki parçalı bileşik silindirik çubuktaki kayma gerilmeleri:

1

1 4 3

1 2 1

2

1

b

R

M G

G G r

;

22 4 3

1 2 1

2

1

b

R

M G

G G r

;

2 23 4 4

1 2 1

2

1

b

R

M G r

G G r

2 1/R r r

Bileşik silindirik çubuklardaki bağıl dönme açısı:

1 0

nb ii

z

i i i

M L

G I