296

birgalikda ta’sir etayotgan balka deformatsiyasining shartli sxemasi tasvirlangan.

11.10-rasm. σ va b orasidagi bog‘lanish diagrammasi.

11.11-rasm. Balka deformatsiyasining shartli sxemasi:

a) egilish va siqilish deformatsiyasi; b) moment ta’siridagi egilish.

Egilish deformatsiyasidan balka o‘qi Δ solqilikka ega bo‘ladi va u P1 siquvchi kuchdagi qo‘shimcha moment paydo bo‘lishiga sabab bo‘ladi. Qo‘shimcha moment PΔ ga teng. Agar qo‘shimcha moment

kattaligi 2Рl

ga teng (a sxema) va P1Δ ga teng (b sxema) asosiy moment

kattaligi bilan bir xil bo‘lsa, u holda sterjen bikrligi kichik deyiladi. Bunday sterjenlar hisobi uchun kuchlar ta’sirini mustaqillik qonunini qo‘llash mumkin emas va u «Materiallar qarshiligi» kursida ko‘rilmaydigan boshqa alohida usullar bilan hisoblanadi.

4- §. Markaziy bo‘lmagan cho‘zilish va siqilish

Qo‘yilish nuqtasi sterjen ko‘ndalang kesimi og‘irlik markazidan

o‘tmaydigan cho‘zuvchi yoki siquvchi bo‘ylama kuch ta’sirida markaziy bo‘lmagan cho‘zilish yoki siqilish paydo bo‘ladi (11.12-rasm).

297

11.12-rasm. Markaziy bo‘lmagan cho‘zilish va siqilish.

Bo‘ylama kuch qo‘yilgan (A) nuqta qutb deyiladi. Qutbning xryr

o‘qlar sistemasidagi (kesim bosh markaziy inersiya o‘qlari) koordinatalari kuch qo‘yilgan nuqtasining ekssentrisitetlari deb ataladi va ba’zan ух ее , orqali belgilanadi. Nazariy mexanika qoidalaridan foydalanib kuchni kesim og‘irlik markaziga ko‘chiramiz (11.13-rasm).

11.13-rasm. Qo‘yilgan kuchni markazga keltirish.

Bu holda sterjen bo‘ylama kuch va yelkasi OA bo‘lgan juft kuch

ta’sirida bo‘ladi. Bo‘ylama N kuch bo‘ylab cho‘zishni juft kuch esa – momenti P(OA) ga teng momenti sof egilishni hosil qiladi. Agar OA chiziq koordinata o‘qlari hech biri bilan mos tushmasa, juft kuch sof qiyshiq egilish hosil qiladi. Shunday qilib, umumiy holda markaziy bo‘lmagan cho‘zilish yoki siqilishni sof qiyshiq egilish va o‘q bo‘ylab cho‘zilish yoki siqilish birgalikda ta’siriga keltirish mumkin. Kuchlar ta’sirining mustaqillik qonuniga asosan sterjen ko‘ndalang kesimlarida hosil bo‘luvchi to‘la kuchlanishni cho‘zilishdagi (siqilishdagi) Nσ kuchlanish va qiyshiq egilishdagi σ

xM +σyM kuchlanish yig‘indisi

sifatida aniqlash mumkin. σ = σN + σ

xM + σyM = N/F + MxY/Ix + MyX/Iy (11.11)

298

(11.11) ifoda egilish va cho‘zilish (siqilish) birgalikda ta’sir etgandagi kuchlanishni aniqlash (11.7) ifodasi bilan bir xilligi ko‘rinib turibdi. Odatda (11.11) ifodani quyidagicha o‘zgartiriladi: Mx=N·yP, My=N·xP ritamiz.

;/ FIi xx = FIi yy /= masalan to‘g‘ri to‘rtburchak uchun (11.14a-rasm)

;29,012

3

hbh

bhix == bbhhbiу 29,0

12

3

==

Doira uchun (11.14b-rasm) dddii ух 25,08,0/05,0 24 ===

11.14-rasm. Sterjenning ko‘ndalang kesimlari:

a) to‘g‘ri to‘rtburchakli; b) doirasimon.

Prokat profillar uchun bosh markaziy inersiya o‘qlariga nisbatan inersiya raduslari sortament jadvalidan (ilovadan) olinadi: ,/2 FIi xх =

,/2 FIi yу = va bularni (11.11) ifodaga qo‘ysak, quyidagini olamiz:

)1(ó

P

õ

P

IxÕ

IóÓ

FN ++=σ (11.12)

yoki

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++±=

y

р

x

р

iхХ

iуУ

FN

221σ (11.13)

(11.13) ifodaga har bir ko‘ndalang kesim uchun o‘zgarmas bo‘lgan kattaliklar – P tashqi bo‘ylama kuchga teng bo‘lgan N bo‘ylama ichki kuch, ko‘ndalang kesim yuzasi F, kesim bosh inersiya o‘qiga nisbatan inersiya raiduslari kvadratlari 22 , yx ii , shu sistemadagi P kuch qo‘yilish

299

nuqtasining koordinatalari xP, yP lar kiradi. x va y lar kuchlanishi aniqlanayotgan nuqta koordinatalari bo‘lgani uchun o‘zgaruvchi kattalik hisoblanadi. N kuch oldidagi ishora uni siquvchi (–) yoki cho‘zuvchi (+) ekanligini anglatadi.

N kuchi ishorasi orqali markaziy bo‘lmagan cho‘zilish va siqilish bir–biridan farq qiladi, shu sababli kelgusida markaziy bo‘lmagan cho‘zilish-siqilish so‘zi o‘rniga “markaziy bo‘lmagan siqilish” so‘zini ishlatamiz. Chunki markaziy bo‘lmagan siqilish o‘q bo‘ylab siqish va sof qiyshiq egilish birgalikda ta’sirini ifodalagani uchun hisoblash natijalari ixtiyoriy ko‘ndalang kesimlar uchun, ularda simmetriya o‘qlari bor – yo‘qligidan qat’iy nazar o‘rinli bo‘ladi.

Egilish va cho‘zilish-siqilish birgalikda ta’siridagi kabi markaziy bo‘lmagan siqilishda ham ko‘ndalang kesim tekisligiga bo‘ylab normal kuchlanishlar taqsimoti epyurasi bo‘ylab kuch ishorasi bilan mos kelib bir xil yoki turlicha bo‘lishi mumkin. Epyura ko‘rinishi kuch kattaligiga bog‘liq bo‘lmay, kuch qo‘yilish nuqtasi holatidan aniqlanadi. To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi ko‘ndalang kesim bo‘ylab normal kuchlanishlar taqsimlanishi epyurasini P kuchining 2 nuqtaga ta’sir etgan hollari uchun ko‘raylik (11.15-rasm).

300

11.15-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchakli kesimning turli nuqtalariga P kuch qo‘yilgandagi normal kuchlanish (σ) epyuralari.

Ko‘ndalang kesim geometrik xarakteristkalarini topamiz. F=12·10=120 sm2, xI =103·12/12=1000sm4, Iy=123·10/12=1440sm4,

ix2=1000/120=8,3sm2, 2

yi =1440/120=12sm2 eng katta kuchlanishlar miqdor jihatidan x,y koordinatalar eng katta qiymatga erishadigan burchak nuqtalarda bo‘lishi (11.13) ifodadan ma’lum. Undan tashqari (11.13) ifoda σ=f(x,y) funksiyani ifodalaydi va x hamda y unga birinchi darajada kiradi. Bundan bu bog‘lanish grafigi, ya’ni kuchlanishlar taqsimoti epyurasi to‘g‘ri chiziqli ekanligi, uni qurish uchun 1–2–3–4 burchak nuqtalarida kuchlanishlar qiymatlarini aniqlash kifoyaligi kelib chiqadi. “a” sxema uchun xP=5 sm, yP=4 sm.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−=3,8

41251

120yxРσ

1-nuqta x1=6 sm, y1=5 sm, σ1=-0,049P 2-nuqta x2=6 sm, y2=-5 sm, σ 2=-0,092P 3-nuqta x3=-6 sm, y3=-5 sm, σ 3=-0,032P 4-nuqta x4=-6 sm, y4=5 sm, σ 4=-0,0075P

“b” sxema uchun xP=2 sm, yP=1 sm.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+−=

3,85,0

1211

120yxРσ

1-nuqta x1=6 sm, y1=5 sm, σ 1=0,015P 2-nuqta x2=6 sm, y2=-5 sm, σ 2=0,01P

3-nuqta x3=-6 sm, y3=-5 sm, σ 3=0,002P 4-nuqta x4=-6 sm, y4=5 sm, σ4=-0,0066P

Nuqtalardagi qiymatlari asosida σ epyurasini quramiz. Ko‘rinib turibdiki “a” sxemadagi σ epyurasi 2 xil ishorali, ya’ni

sterjen ko‘ndalang kesimi yuzasi neytral o‘q bilan bo‘lingan siqilgan va cho‘zilgan sohaga ajralgan. Neytral o‘q tenglamasini topish uchun (11.13) ifodada kuchlanishni nolga tenglaymiz.

01 22 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++±

у

р

х

р

i

уУ

i

хХFN

0≠FN bo‘lgani uchun

301

221у

р

х

р

iуУ

iхХ++ =0 (11.14)

(11.14) ifoda neytral o‘q tenglamasi hisoblanadi. Ko‘rinib turibdiki, neytral o‘q tenglamasi to‘g‘ri chiziqdan iborat va kesim og‘irlik markazidan o‘tmaydi.

Neytral o‘qni qurish uchun uning x,y o‘qlari bilan kesishish nuqtalari koordinatlarini topish qulayroq. x o‘qi bilan kesishganda y koordinata, y o‘qi bilan kesishganda esa x koordinata nolga teng bo‘ladi.

(11.14) tenglamadan x0,y0 koordinata o‘qlaridan neytral o‘q kesgan uchastka mos ravishda

,2

p

yo x

ix −= ,2

р

xo у

iy −= (11.15)

ga teng. (11.15) ifodadagi (–) ishora x0,y0 koordinatalari kuch qo‘yilgan nuqta koordinatalariga qarama-qarshi, ya’ni neytral o‘q ko‘ndalang kesim qutb joylashganga qarama-qarshi tomonida birinchi choragidan o‘tishini anglatadi. Misol tariqasida 11.15-rasmda keltirilgan kesim neytral o‘q holatini aniqlashni ko‘raylik.

x0 = -12/6 = -2 sm, y0 = -8,3/5 = -1,65 sm, Neytral o‘q holati 11.16-rasmda keltirilgan

11.16-rasm. Neytral o‘q holati.

Neytral o‘qni qurishda 11.15-rasmda ko‘rsatilganidek σ epyurasini aksonometriyasini qurish shart emas. Eng katta kuchlanishlar neytral o‘qdan eng uzoq joylashgan burchak nuqtalar - 1 va 3 da hosil bo‘ladi. σ epyurasini qurish uchun shu nuqtalardan neytral o‘qga parallel chiziqlar o‘tkazib, shu chiziqlarga tik qilib σ epyurasi quriladi. Bu epyurada eng

302

katta cho‘zuvchi va siquvchi kuchlanishlar mikdorini aniqlash mumkin (11.17-rasm) .

11.17-rasm. Eng katta cho‘zuvchi va siquvchi kuchlanishlar epyuralari.

Bu kuchlanishlar ruxsat etilgandan kichik bo‘lishi kerak:

[ ]chу

р

х

рch

iуУ

iхХ

FN σσ ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= 22max 1 (11.16 a)

[ ]sу

р

х

рs

iуy

iхx

FN σσ ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−= 22max 1 (11.16 b)

(11.16a) va (11.16b) ifodalar markaziy bo‘lmagan siqilishdagi mustahkamlik shartlari deb ataladi.

(11.15) ifodadan aniqlangan neytral chiziq holati kesim tashqarisidan o‘tganda kesimda bir xil ishorali kuchlanishlar hosil bo‘ladi. Bu holda bitta mustahkamlik sharti ishlatiladi.

Materiallar qarshiligining boshqa masalalari kabi markaziy bo‘lmagan siqilishda ham sterjen ko‘ndalang kesim kerakli o‘lchamlarini topish mumkin. Masalan 11.18-rasmda sxemasi keltirilgan cho‘yan sterjen kerakli o‘lchamlarini aniqlash talab etilsin.

303

11.18-rasm. Berilgan cho‘yan sterjen uchun ko‘ndalang kesim o‘lchamlarini aniqlash.

(11.13) ifodadan foydalanib sterjen ko‘ndalang kesimida hosil

bo‘luvchi eng katta kuchlanishlarni aniqlaymiz.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= 221

y

P

x

P

iуy

iхx

FNσ

N = - 10000 kg

F = π d2 / 4 = 0,8 d2, xP= 0,4 d, yP=0. [ ]sσ =1200 kg/sm2

[ ]chσ = 500 kg/sm2 (1.1-jadvaldan) ix=iy=0,25d

ix2=iy

2=0,0625d2 y0=0 neytral o‘q holatini aniqlaymiz: y0= -0,0625d2/0 = ∞

Demak, neytral o‘q x o‘qiga perpendikulyar. x0= -0,0625d2 = -0,16d Eng katta siquvchi kuchlanishlar B nuqtada (xB=0,5d), eng katta

cho‘zuvchi kuchlanishlar C nuqtada (xC= -0,5d) yuzaga keladi.

304

222maxd

52500d0625,0

)d5,0)(d4,0(1d8,0

10000−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

=sσ

222maxd

27500d0625,0

)d5,0)(d4,0(1d8,0

10000=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−=chσ

Bu kuchlanishlarni ruxsat etilgancha tenglab, d ning kerakli qiymatini aniqlaymiz.

1. Siqilishdagi mustahkamlik shartidan 52500/ d2=1200 → d2=43,75 sm2, d=6,7 sm

2. Cho‘zilishdagi mustahkamlik shartidan 27500/ d2=500→ d2=55 sm2, d=7,5 sm.

Aniqlangan diametr ikkala qiymatidan kattasi 7,5 sm=75 mm ni qabul qilamiz.

Markaziy bo‘lmagan siqilishda ko‘ndalang kesim o‘lchamlarini aniqlash egilish va siqilish birgalikda ta’siridagidan farq kilishi ko‘rinib turibdi, bu holda uchinchi darajali tenglama yechilmaydi.

Markaziy bo‘lmagan kuch qo‘yilgan, A qutb bosh inersiya o‘qlari birida, masalan y o‘qida yotgan, kesim to‘g‘ri to‘rtburchakdan iborat bo‘lgan xususiy holni batafsil ko‘rib chiqaylik (11.19-rasm).

11.19-rasm. Kuch simmetriya o‘qlarining birida yotgan xususiy hol.

Geometrik xarakteristikalarni F = bh, ix2=h2/12, N=P e’tiborga

olsak, (11.13) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += 2

121

hуу

bhN Рσ

kesim 1–2 qirrasi bo‘ylab ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = dahy р 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

hy

bhN Ðch 61maxσ ga teng

bo‘lgan eng katta cho‘zuvchi kuchlanishlar, 3–4 qirrasi bo‘ylab

305

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

hy

bhN Ðs 61

maxσ ga teng eng katta siquvchi kuchlanishlar hosil

bo‘ladi. Ko‘ndalang kesim har bir nuqtasidagi kuchlanish kattaligi yP

ordinata orqali aniqlanuvchi A qutb holatiga bog‘lik ekanligi ko‘rinib

turibdi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2hy р bo‘lganda 1–2 qirrada hNP 6/4max =σ , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2hy р

bo‘lganda 3–4 qirrada bhN

x

s

ma2

=σ . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2hy р bo‘lganda A qutb kesim

og‘irlik markazi bilan ustma-ust tushadi va P kuch kuchlanishi bhN ga

teng bo‘lgan o‘q bo‘ylab cho‘zilish hosil qiladi. A holatiga bog‘liq ravishda taqsimot epyurasi 11.20-rasmda

keltirilgan.

11.20-rasm. Kuchlarni kesim yadrosiga qo‘yilishida kuchlanishlarning

o‘zgarishi: a) kuch markaziy qo‘yilgan; b) kuch kesim yadrosi ichiga qo‘yilgan; d) kuch kesim

yadrosi chegarasiga qo‘yilgan; e) kuch kesim yadrosidan tashqariga qo‘yilgan.

306

Mo‘rt materiallar (beton, g‘isht devor) juda kichik cho‘zuvchi kuchlanishlarni qabul qila oladi, boshqalari esa (masalan, grunt) cho‘zilishga umuman qarshilik ko‘rsata olmaydi. Bunday materiallar cho‘zuvchi kuchlanishlar hosil bo‘lmaydigan konstruksiya elementlaridagina qo‘llaniladi.

Markaziy siqiluvchi elementlarda cho‘zuvchi kuchlanishlar hosil bo‘lmaydi, shu sababli ular yuqorida ko‘rsatilgan materiallardan tayyorlanishi mumkin. Bunday materiallarni markaziy bo‘lmagan siqiluvchi elementlarda ham qo‘llash mumkin, agar ularda cho‘zuvchi kuchlanishlar hosil bo‘lmasa. Buning uchun siquvchi kuch qo‘yilish nuqtasi kesim yadrosi deb ataluvchi ko‘ndalang kesim biror markaziy sohasida yoki shu soha chegarasida joylashgan bo‘lishi kerak. Kesim yadrosi deb, uning shunday bir markaziy sohasiga aytiladiki, uning ixtiyoriy nuqtasiga qo‘yilgan kuch brus ko‘ndalang kesimi barcha nuqtalarida kuch ishorasi bilan bir xil kuchlanish hosil qiladi.

Agar kuch kesim yadrosidan tashqariga qo‘yilgan bo‘lsa, u holda ko‘ndalang kesimda siqiluvchi va cho‘ziluvchi kuchlanishlar hosil bo‘ladi (11.20-rasm). Agar kuch kesim yadrosi chegarasiga qo‘yilgan bo‘lsa, u holda neytral o‘q kesim konturiga urinadi (nuqtada yoki chiziq bo‘ylab), urinish nuqtasida normal kuchlanishlar nolga teng bo‘ladi (11.20d-rasm).

Cho‘zuvchi kuchlanishlarni yomon qabul qiladigan materiallardan tayyorlangan elementlarni markaziy bo‘lmagan siqilishga hisoblashda kesim yadrosining shakli va o‘lchamlarini bilish muhimdir. Bu narsa kuchlanishlarni hisoblamasdan siquvchi kuch ekssentrisiteti asosida ko‘ndalang kesimda cho‘zuvchi kuchlanishlar paydo bo‘lishi yoki bo‘lmasligini aniqlashga imkon beradi.

Kesim yadrosini quyidagi tartibda qurish tavsiya etiladi: 1. Og‘irlik markaziy holati, y,z bosh markaziy inersiya o‘qlari

holati Iy, Iz – bosh inersiya momentlari qiymatlari va 2,

2

zóii – inersiya

radiusi kvadratlari aniqlanadi. 2. Agar kesim ko‘pburchak ko‘rinishida bo‘lsa, u holda buning

burchaklari uchlarini qutb deb olib, har bir qutb uchun neytral o‘q holati aniqlanadi. Neytral o‘qlari bilan chegaralangan kontur kesim yadrosi chegarasi bo‘ladi.

3. Agar ko‘pburchakli kesim ichki burchaklarga ega bo‘lsa (11.21-rasm), u holda ko‘pburchak uchlarini ko‘rayotgan qutb sifatida

307

ko‘rilmaydi, chunki neytral o‘q B qutb nuqta bo‘lganda undan o‘ta olmaydi, sababi bu holda kesimni kesib o‘tishga to‘g‘ri keladi.

11.21-rasm. Ichki burchakli ko‘pburchak kesim.

To‘g‘ri to‘rt burchak kesim yadrosini ko‘raylik (11.22-rasm) to‘g‘ri to‘rtburchak A1 uchini qutb deb qabul qilamiz. (koordinatalri y=yP=-h/2, x=xP=-v/2)

(11.15) ifodadan foydalanib koordinata o‘qlaridan a1 a1 neytral o‘q kesgan bu qutbga mos kesimni aniqlaymiz.

.6)2/(

12/32

01h

hbhbh

yiy

ð

x =−

−=−=

.6)2/(

12/32

01b

bbhbh

xi

xð

y =−

−=−=

11.22-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchak uchun kesim yadrosini qurish.

Bu kesim qiymatlari asosida a1 a1 neytral o‘qni quramiz (11.22-rasm).

308

Qutb nuqtani ketma-ket A2,A3,A4 nuqtalarga ko‘chirib, har bir qutbga mos keluvchi neytral chiziqlarni quramiz va kesim og‘irlik markazi atrofida kesim yadrosiga mos sohani hosil qilamiz. To‘g‘ri

to‘rtburchak uchun kesim yadrosi diagonallari 33hvah ga teng bo‘lgan

rombdan iborat (11.22-rasm). Agar kesimda doira shaklidagi markaziy teshik mavjud bo‘lsa, u holda kesim yadrosi shakli o‘zgarmaydi, faqat uning o‘lchamlari o‘zgaradi. Olingan natijalarni 11.20-rasmdagi epyuralar bilan solishtirsak, 11.20d-rasmda qutb nuqta kesim yadrosi chegarasida joylashgan diametri d ga teng bo‘lgan doirasimon kesim uchun kesim yadrosi ham diametri d/n bo‘lgan doiradan iborat bo‘ladi.

5- §. Egilish va buralishning birgalikda ta’siri

Tashqi yuk ta’sirida sterjen ko‘ndalang kesimlarida bir vaqtning o‘zida ichki kuchlar eguvchi va burovchi momentlari hosil bo‘lgan holga egilish va buralishning birgalikda ta’siri deyiladi. Yuqorida (11.1) da ko‘rsatib o‘tilganidek, murakkab qarshilikning bu turi o‘ziga xos jihati ko‘ndalang kesimda eguvchi moment ta’siridan σ normal kuchlanishlar, burovchi moment ta’siridan τ urinma kuchlanishlar hosil bo‘lishidir. 11.23-rasmda doirasimon sterjen ko‘ndalang kesimlarida kuchlanishlar taqsimoti keltirilgan.

11.23-rasm. Doirasimon sterjen ko‘ndalang kesimlarida kuchlanishlar

taqsimoti.

Ko‘ndalang kesimi doirasimon bo‘lmagan sterjenlarda kuchlanishlar taqsimoti epyurasi murakkabroq ko‘rinishga ega. Ikkala holda ham normal va urinma kuchlanishlar material A nuqtasi atrofida tekis kuchlanish holatini paydo qiladi. Bu holda material