Biometrika - Fungsi

M. K. Biometrika I Program Studi Agroteknologi – Fakultas Pertanian Universitas Padjadjaran

Biometrika I - Fungsi Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Aturan Fungsi Fungsi Khusus

Tugas

Fungsi

Fungsi

Suatu hubungan pada A x B disebut fungsi jika dan hanya jika (x, y) H dan (y, z) H y = z.

Misalkan A dan B dua gugus tak kosong. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memadankan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B.

http://ilmutanah.unpad.ac.id/




Tugas

Fungsi

Gambaran Suatu Fungsi

Fungsi

Daerah asal (wilayah)

Daerah nilai (jelajah)

Peubah bebas (independent variable)

Peubah tak bebas (dependent variable)

A B

Aturan padanan

Y = f(x)





Tugas

Fungsi

Aturan Suatu Fungsi

Suatu fungsi harus memiliki 3 hal : Daerah asal fungsi (wilayah; berupa peubah bebas). Daerah nilai fungsi (jelajah; berupa peubah tak bebas). Suatu aturan padanan.

(Aturan padanan tersebut dapat berupa rumus atau suatu daftar nilai-nilai yang sepadan atau bentuk lain yang memadai).

Kesepakatan Bersama Elemen-elemen dalam daerah asal atau daerah nilai ini tidak

perlu bilangan-bilangan, akan tetapi apabila elemen-elemen tersebut adalah bilangan, maka telah menjadi kesepakatan bersama bilangan tersebut adalah bilangan Nyata (Real), kecuali kalau ada ketentuan lain.

Fungsi





Tugas

Fungsi

Proyeksi Grafik

Proyeksi grafik pada sebuah garis adalah himpunan proyeksi titik-titik grafik pada garis tersebut. Himpunan titik-titik yang demikian disebut grafik fungsi.

Daerah asal (wilayah) (Df) sebuah fungsi adalah proyeksi grafik Cartesian fungsi pada sumbu x (sumbu horizontal).

Daerah nilai (jelajah) (Wf; Rf) adalah proyeksi grafik Cartesian pada sumbu y (sumbu vertikal).

Oleh karena tiap elemen daerah asal suatu fungsi sepadan dengan hanya satu elemen dari daerah nilainya, maka tidak ada garis vertikal yang memotong grafik Cartesian sebuah fungsi pada lebih dari dua titik.





Tugas

Fungsi

Contoh 1 dan 2

Fungsi f(x) = x disebut fungsi identitas dengan daerah dan wilayahnya ialah gugus bilangan nyata, Df = Wf = R. Jadi misalnya f(1) = 1, f(-3) = -3, f(1/2) = ½, f(2/x) = 2/x.

Fungsi g(x) = k, sedangkan k adalah konstanta, disebut fungsi konstan. Daerah dan wilayah fungsi ini ialah Dg = R dan Wg = {k}. Kalau k = 2, maka g(0) = 2, g(-3) = 2, g(7) = 2, g(1/5) = 2, dan seterusnya.

Proyeksi Grafik





Tugas

Fungsi

Grafik Teladan 1 dan 2

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

f(x) = x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5

g(x) =2

Fungsi Identitas Fungsi Konstan

Proyeksi Grafik





Tugas

Fungsi

Teladan 3 dan 4

Fungsi h(x) = ׀x׀ disebut fungsi nilai mutlak. Daerah dan wilayahnya ialah Dh = (- , ) dan Wh = [0, ). Menurut definisi nilai mutlak, maka fungsi ini dapat diucapkan sebagai h(x) = -x, untuk x < 0 dan h(x) = x, untuk x 0.

Fungsi f(x) = [x], sedangkan [x] melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, disebut fungsi tangga. Jadi *x+ = n, n ≤ x < n + 1, sedangkan n adalah bilangan bulat; misalnya [0] = 0, [1.00001] = 1, [0.999999] = 0, [-2.5] = -3, dan [-5] = -5.

Oleh karena itu daerah fungsi ini ialah selang (- , ) dan wilayahnya adalah gugus bilangan bulat; Df = (- , ) dan Wf = ,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …-. Fungsi ini konstan dalam setiap anakselang dengan lebar satu satuan pada daerah fungsi atau disebut pula konstan bagian per bagian.





Tugas

Fungsi

Grafik Teladan 3 dan 4 9

Fungsi Nilai Mutlak Fungsi Tangga

h(x) = ׀x׀ f(x) = [x]





Tugas

Fungsi

Fungsi-fungsi Khusus

1. Fungsi Konstan f(x) = k

2. Fungsi Identitas f(x) = x

3. Fungsi Polinom f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

4. Fungsi Nol f(x) = 0

5. Fungsi Linier f(x) = ax + b

6. Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + bx + c

7. Fungsi Rasional Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an / b0xm + … + bm

8. Fungsi Akar Kuadrat f(x) = x

9. Fungsi Aljabar p0(x)yn + p1(x)yn-1 + pn-1(x)y + pn(x) = 0

10. Fungsi Transenden (Fungsi Trigonometri, Logaritma, dan Eksponen).

11. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar f(x) = [x ]

12. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x|





Tugas

Fungsi

Pengerjaan Pada Fungsi

Jika f dan g fungsi daerah asal Df dan Dg, maka jumlah, selisih, hasilkali, hasilbagi dan komposit (majemuk) didefinisikan sbb : (f + g)(x) = f(x) + g(x).

(f – g)(x) = f(x) – g(x).

(f . g)(x) = f(x) . g(x).

(f/g)(x) = f(x)/g(x).

(f o g)(x) = f(g(x))

Dalam tiap hal, daerah asal terdiri atas semua x yang merupakan elemen Df dan Dg, jadi : Df+g = Df-g = Df.g = Df/g = Df Dg,

Khusus untuk Df/g tidak mengandung nilai x yang membuat g(x) = 0.





Tugas

Fungsi

Teladan 5

Jika f(x) = √x dan g(x) = 3x, tentukanlah f + g, f.g, dan f/g.

Jawab : Daerah dan wilayah fungsi f ialah selang [0, ), sedangkan

daerah dan wilayah fungsi g ialah selang (-,). Oleh karena itu menurut definisinya diperoleh : (f+g)(x) = f(x) + g(x) = √x + 3x, dan

(f.g)(x) = f(x) . g(x) = (√x)(3x) = 3x√x, sedangkan Df+g = Dfg = [0, ), Wf+g = Wf.g = [0, ).

Disamping itu:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = √x/3x, dengan Df/g = Wf/g = (0, ).





Tugas

Fungsi

Teladan 6

Jika f(x) = √x dan g(x) = x2 + 1, tentukanlah fungsi majemuk h = fo g dan k = go f, serta periksa apakah fungsi h = k.

Jawab :

Karena Df = Wf = [0, ), Dg = R, dan Wg = [1, ), maka mudah diperiksa bahwa Df ∩ Wg = [1,) dan Dg ∩ Wf = [0,). Jadi kedua fungsi majemuk itu terdefinisi. Oleh karena itu diperoleh :

h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = f (x2 + 1) = √(x2 + 1), dan

k(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(√x ) = (√x )2 + 1 = x + 1, dengan daerah dan wilayahnya ialah :

Dh = (-, ), Wh = [1,) dan Dk = [1, ).





Tugas

Fungsi

Fungsi Injektif

Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif jika:

x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) untuk sembarang x1 dan x2 Df.

Fungsi f bersifat injektif jika dan hanya jika:

f(x1) = f(x2) x1 = x2 untuk sembarang x1 dan x2 Df.





Tugas

Fungsi

Fungsi Kebalikan

Jika f adalah fungsi injektif, maka fungsi f -1 yang didefinisikan oleh x = f -1(y) jika dan hanya jika y = f(x) disebut fungsi kebalikan dari f. Daerah fungsi f -1 adalah wilayah fungsi f, sedangkan wilayah fungsi f -1 adalah daerah fungsi f.

Jika fungsi f mempunyai fungsi kebalikan, f -1, maka f dan f -1 merupakan fungsi injektif dan berlaku : (f -1o f) (x) = x, untuk x Df dan

(fo f -1)(y) = y, untuk y Df-1.

Misalkan fungsi f dan g mempunyai fungsi kebalikan, f -1 dan g -1. Jika fungsi majemuk h = fo g terdefinisi, maka ada fungsi kebalikan dari h yang dirumuskan dalam bentuk h -1 = (fo g) -1 = g -1

o f -1.





Tugas

Fungsi

Teladan 7 dan 8

Tentukanlah jika ada, fungsi kebalikan dari f(x) = x2. Jawab :

Karena f(-1) = f(1) = 1, maka fungsi ini bukan fungsi injektif, sehingga akibatnya tidak mempunyai fungsi kebalikan.

Jika f(x) = x3 dan g(x) = 1 + x, tentukanlah jika ada, fungsi majemuk (f o g)-1 (x).

Jawab : Mudah diperiksa bahwa fungsi f dan g tersebut injektif sehingga

berakibat fungsi kebalikannya terdefinisi, masing-masing ialah f -1(x) = 3 √ x dan g-1(x) = x - 1. Oleh karena itu menurut teorema di atas (f o g)-

1(x) terdefinisi dan dirumuskan dalam bentuk (f o g)-1(x) = (g-1 o f -1)(x) = g -1(f -1(x)) = g-1(3 √ x) = 3√(x-1).





Tugas

Fungsi

Fungsi Rekursif

Adakalanya suatu fungsi didefinisikan dengan beracuan kepada fungsi itu sendiri. Fungsi semacam ini disebut Fungsi Rekursif.

Fungsi rekursif mempunyai ciri sbb : Ada kaidah pembangkitan, yang menjelaskan proses komputasi

dengan beracuan kepada nilai fungsi sebelumnya. Dalam teladan di bawah : f(n) = f(n – 1) + t/100 . f(n – 1)

Ada kriteria berhenti atau kondisi awal yang menjelas-kan keadaan akhir dari proses pembangkitan. Dalam teladan berikut ialah f(0).





Tugas

Fungsi

Teladan 9

Nilai investasi setelah n tahun, f(n), biasanya diungkapkan sebagai nilai investasi pada tahun sebelumnya ditambah dengan laju pertambahan nilainya, katakanlah dalam bentuk : f(n) = f(n – 1) + t/100 . f(n – 1) = (1 + t/100) (f(n – 1),

t adalah persentase laju pertambahan nilainya.

Seandainya nilai investasi awalnya f(0) = 50 milyar rupiah dan laju pertambahannya 10 %, maka nilai investasi setelah 3 tahun dapat diperoleh dengan cara beruntun sbb : f(3) = (1 + 0.1)f(2) = (1 + 0.1){(1 + 0.1)f(1)}

= (1 + 0.1){(1 + 0.1){(1 + 0.1)f(0)}}

= (1 + 0.1){(1 + 0.1)55} = (1 + 0.1)60.5 = 66.55.

Dengan demikian nilai f(3) dapat diperoleh setelah terlebih dahulu menghitung nilai-nilai f(2) dan f(1). Dalam hal ini nilai investasi setelah 3 tahun ialah sebesar 66.55 milyar rupiah.





Tugas

Fungsi

Fungsi Surjektif dan Bijektif

Fungsi f: A → B dikatakan surjektif jika Wf = B.

Fungsi f yang sekaligus surjektif dan injektif disebut fungsi bijektif.

Misalnya : Fungsi f: ,1, 2, 3,4,5- → {0,1} yang didefinisikan sebagai f(x) = 0,

untuk x < 3 dan f(x) = 1 untuk x 3 merupakan fungsi surjektif.

Sedangkan fungsi bijektif salah satu contohnya adalah fungsi identitas.





Tugas

Fungsi

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap apabila:

f(x) = f(-x) untuk setiap xDf.

Fungsi y = f(x) disebut fungsi ganjil apabila:

f(x) = -f(-x) untuk setiap x Df.

Jelas kiranya fungsi yang memenuhi definisi tersebut akan menyebabkan –x Df untuk setiap x Df.





Tugas

Fungsi

TUGAS

Periksalah apakah hubungan H pada gugus R di bawah ini merupakan fungsi, dan gambarkanlah grafiknya : {(0,1), (1,3), (3, 5), (4,3), (0,0)}.

{(2,1), (1,2), (2,3), (0,4), (-5,0)}.

{(-1,1), (1,1), (0,1), (5,1), (7,1)}.

{(x,y) ׀x2 + y2 = 1, x 0}.

{(x,y)2 ׀x2 = y, x ≤ 0}.

{(x,y) ׀y2 – x = 0, y ≤ 0}.

{(x,y) ׀y2 – x = 0}.

{(x,y)3 ׀x + 2y – 2 = 0, y ≤ 0}.





Tugas

Fungsi

2. Daftar Tabel sbb :

Isikanlah nilai y pada daftar di atas ! Gambarkan grafik fungsinya !

3. Persamaan fungsi y = x2, -2 ≤ x ≤ 2, meletakkan pemadanan antara bilangan-bilangan x interval tertutup [-2, 2] dan bilangan-bilangan y interval tertutup [0, 4] sehingga pada tiap x [-2, 2] terkaitkan tepat satu bilangan y [0, 4]. Gambarkan grafik fungsi dari pemadanan tersebut!

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y = 2x + 1





Tugas

Fungsi

4. Suatu fungsi G didefinisikan oleh :

(t) = 16 – t2 , DG = {t -4 ≤ t ≤ 4-, tentukan nilai G di :

a. -1

b. 2

c. 0

d. -3/2

e. 4

f. Gambarkan grafik fungsinya !





Tugas

Fungsi

5. Diketahui f(x) = x2 - 1 dan g(x) = 2/x.

Tulislah persamaan yang mendefinisikan :

a. f + g

b. f – g

c. f . g

d. f/g





Tugas

Fungsi

6. Jika f dan g fungsi-fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = x dan g(x) = 3x – 4, tentukan F(x) dengan F = f o g. Apakah daerah asal F ?

7. Andaikan f fungsi satu-satu yang didefinisikan oleh f(x) = 2x – 5. Tentukan fungsi kebalikan f dan gambarkan grafiknya !





Tugas

Fungsi

26



Biometrika - Fungsi

Documents

Transcript of Biometrika - Fungsi