UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL

FFRRAANNCCIISSCCOO DDEE MMIIRRAANNDDAA

ÁÁRREEAA CCIIEENNCCIIAASS DDEELL AAGGRROO YY MMAARR

PPRROOGGRRAAMMAA DDEE CCIIEENNCCIIAASS VVEETTEERRIINNAARRIIAASS

UUNNIIDDAADD CCUURRRRIICCUULLAARR:: BBIIOOEESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA

AAuuttoorr::

PPrrooff .. MM..VV.. JJoosséé LLuuiiss TT.. VVaall lleess RR..

SSaannttaa AAnnaa ddee CCoorroo,, NNoovviieemmbbrree ddee 22000088

UUnniiddaadd 22.. PPrroobbaabbii ll iiddaadd.. TTeeoorrííaa yy CCáállccuulloo

11.. IInnttrroodduucccciióónn

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser

predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de

los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos

sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos

que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos

permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades

de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer

con certeza los eventos futuros.

Imágenes tomadas de CD de Imágenes 2008

Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta

utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El

desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y

encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente

se continuó con el estudio de nuevas metodologías que permiten maximizar el

uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de

este modo, los márgenes de error en los cálculos.

Se considera que las probabilidades:

1. Ejercitan el razonamiento y los cálculos matemáticos tradicionales

(combinatoria).

2. Muestran cómo pueden tratarse situaciones inciertas, llegando a

resultados no exactos pero representativos para las necesidades

prácticas.

3. Ayudan a comprender el grado de equitatividad en los juegos de azar y

en los seguros.

4. Introduce la idea de correlación de variables.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la

probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o

menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido

común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras

creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que

intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La

probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y

más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y

confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas.

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un

experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la

probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática,

la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de

sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

La teoría de la probabilidad es una de las ramas de la matemática con

varias aplicaciones en nuestra actualidad. Por medio de ésta se abordan el

cálculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronósticos

económicos, políticos y del tiempo.

Las probabilidades se usan para:

� Minimizar los riesgos.

� Reducir la falta de certeza.

Las probabilidades son la esencia de la inferencia inductiva y de la

toma de decisiones . Ambos procesos son elementos esenciales de la

Medicina Veterinaria actual.

Antes, los veterinarios tomaban decisiones basados en su experiencia

personal acumulada, su confianza y su intuición. Hoy en día, el Médico

Veterinario es conciente del significado de la autocrítica y el análisis de la

experiencia y ello ha promovido el uso de métodos estadísticos, donde las

probabilidades juegan un papel fundamental.

A nivel clínico el manejo de la teoría de las probabilidades puede

plantearse de esta forma:

DIAGNÓSTICO MÁS PROBABLE

Inferencias Inductivas o Probabilísticas

Se basa en

Fuente: Valles (2008)

Fuente: Valles (2008)

A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales

diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

EEll eennffooqquuee cclláássiiccoo

La probabilidad clásica de un evento E , que denotaremos por P(E), se

define como el número de eventos elementales que componen al evento E,

entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE EESSTTIIMMAACCIIOONNEESS PPRROOBBAABBIILLÍÍSSTTIICCAASS EENN MMEEDDIICCIINNAA VVEETTEERRIINNAARRIIAA

CONCLUSIÓN PROBABLE

Se basa en

Presencia de Evidencias

Evidencias adicion ales hacen que sea más

probable la conclusión

Decisión sobre eficacia de

un medicamento

Procedimiento quirúrgico

óptimo

Relevancia diagnóstica de

un hallazgo específico

Recomendación de un procedimiento de

control

Preferencia de un tratamiento

médico Pruebas

diagnósticas de laboratorio

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita

como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la

misma probabilidad de ocurrir.

Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un

evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los

resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden

ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que

cada resultado sea igualmente posible.

Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de

que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar

cualquier evento de muestra.

Ejemplo :

Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La

probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

EEll eennffooqquuee ddee ffrreeccuueenncciiaa rreellaatt iivvaa

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la

base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número

de observaciones. En este enfoque no se utiliza la suposición previa de

aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa

en la observación y recopilación de datos.

La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden

las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad

estadística. Esta definición sería la más real, pero nos proporciona

probabilidades aproximadas, es decir, nos proporciona estimaciones y no

valores reales. Además, los resultados son a posteriori , pues necesitamos

realizar el experimento para poder obtenerlo.

Ejemplo :

Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina

no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de tránsito se para en esa

misma esquina un día cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un

vehículo sin cinturón de seguridad?

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a

valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de

probabilidad nos indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

EEll eennffooqquuee ssuubbjjeett iivvoo

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de

creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la

evidencia a su disposición. Bajo esta premisa podemos decir que este enfoque

es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es

decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad

bajo este enfoque es un juicio personal.

La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que

hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el

tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez

científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no

apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en

resultados estadísticos.

22.. AAnnááll iiss iiss ccoommbbiinnaattoorr iioo

En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren

en una situación dada se nos convierte en algo difícil de lograr o, simplemente,

tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, nos permite enumerar

tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.

En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que

contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se

desean observar, para ello utilizamos el principio o regla fundamental de

conteo :

Si un suceso se nos puede presentar de n1 formas, y otro se nos puede

presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos

pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.

En otras palabras, nos basta con multiplicar el número de formas en que

se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar.

Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número

natural, que se puede pensar como una función con dominio los números

naturales junto con el cero y codominio los números naturales. El factorial de

un número n, denotado n!, se define como:

Ahora, si n es muy grande el proceso de cálculo se nos puede volver

tedioso y muy cargado, incluso para una computadora, por lo que utilizamos la

aproximación de Stirling a n!:

donde e= 2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.

En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número

entero no negativo n.

En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin

repetición, y las combinaciones.

2..22 PPeerrmmuuttaacciioonneess ((uu oorrddeennaacciioonneess)) ccoonn rreeppeett iicc iióónn

Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones , y de

hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados.

En este curso las representaremos como ORnr ó nORr.

Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras podemos

obtener?

Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de

letras es 4. En este caso r=2 y n=4.

Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da,

db, dc, dd. En total son 16.

En general, si tomamos r objetos de n, la cantidad de permutaciones u

ordenaciones con repetición obtenidas son:

ORnr = nORr = n r

2.3 Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición

En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r

objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la

ordenación. Su representación será Pnr ó nPr.

Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin

repetición podemos obtener?

Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.

En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de

permutaciones

Pnr = nPr =

El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el

cálculo.

22..44 CCoommbbiinnaacciioonneess

Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de

los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno,

a partir de un conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con Cnr, nCr ó

.

Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos

subconjuntos de 2 elementos cada uno podemos obtener?

Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los

subconjuntos.

En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos

cada una, el número de combinaciones obtenidas son:

Cnr = nCr =

o, que es lo mismo,

Cnr = nCr =

En Excel la función COMBINAT(n,r) calcula las combinaciones de n

objetos tomando r de ellos.

33.. EEvveennttooss

Cuando se realiza un experimento , que es cualquier proceso que

produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de

valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable le

denominamos espacio muestral .

Por ejemplo:

Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral

(EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las

combinaciones de valores de cada una de las variables.

Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo

que se denomina un evento , y si éste consta de un solo elemento entonces es

un evento elemental .

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa

el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros

que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros , y los

que nunca son los eventos imposibles .

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un

experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar

cualquier tipo de valor. Por esta razón, definimos como experimento aleatorio

al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus

eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la

observación que esta definición habla en términos generales y no

específicamente sobre algún experimento en particular.

A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le

denomina variable aleatoria .

En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento

determinístico.

Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se

pueden dar varios casos.

Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman

eventos mutuamente excluyentes , es decir, que la intersección de ambos

eventos es vacía.

Por otro lado, en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro

evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si

existe este tipo de relación entre eventos decimos que son eventos

dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el

resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B). Por otro

lado, si no existe tal relación entre eventos decimos que son eventos

independientes . Los criterios de dependencia o de independencia se definirán

más adelante, en términos de probabilidad condicional.

44.. PPrroobbaabbii ll iiddaadd ddee eevveennttooss

Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se

comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano

de la regularidad estadística , que es la propiedad de los fenómenos

aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un

experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de

ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.

55.. AAxxiioommaass ddee llaa pprroobbaabbii ll iiddaadd

El valor de la probabilidad

El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de

un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor

mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos

que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la

probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución

tenían las siguientes propiedades:

1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.

2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.

3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren

simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma

de las frecuencias relativas de cada uno.

Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la

definición ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño

de la muestra, se tiene lo siguiente.

Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E,

entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad :

1. 0 �P(E)�1.

2. P(S) = 1.

3. Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces

Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la

probabilidad de eventos.

66.. PPoossiibbii ll iiddaaddeess yy pprroobbaabbii ll iiddaaddeess

Se habla muy comúnmente en sitios de apuestas, como en las

autódromos o hipódromos, de que "las apuestas a tal o cual participante es de

x a y", es decir, que las posibilidades de que gane es de x a y. Esta manera de

expresarse se refiere al uso de razones.

En términos generales, la posibilidad de que ocurra un evento se

determina mediante la razón de la probabilidad de que ocurra a la probabilidad

de que no ocurra.

Esto quiere decir que si la probabilidad de que un evento ocurra es p,

entonces las posibilidades de que ocurra son x a y, es decir

Tales que x y y son enteros positivos.

Por ejemplo: Si se tiran dos monedas normales (no trucadas), la probabilidad

de que las dos monedas caigan cara es de ¼. Esto quiere decir si alguien

apuesta a que las dos monedas no caen simultáneamente en cara, la

posibilidad de ganar la apuesta es de:

es decir, 3 a 1.

Hemos de considerar que si es mayor la probabilidad de que no ocurra

un evento, entonces se acostumbra mencionar las posibilidades en contra del

evento.

Por ejemplo: Si se tira un dado no trucado, sabemos que la probabilidad de

obtener un cuatro es 1/6, es decir que la posibilidad de obtener un cuatro es de

1 a 6; pero se acostumbra decir que las posibilidades en contra, esto es, de no

obtener un cuatro es de 6 a 1.

Inversamente, en el caso de tener las posibilidades de un evento,

entonces es fácil obtener su probabilidad, pues si la posibilidad de un evento es

de x a y, entonces la probabilidad p de que ocurra tal evento es

Por ejemplo: En la Copa Mundial de Futbol Alemania 2006 se decía que el

equipo mexicano tenía una posibilidad de 1 a 75 de llegar a ser el campeón del

torneo.

Si se desea encontrar la probabilidad de que el equipo mexicano llegase a ser

campeón, entonces se tiene que

es la probabilidad de que ocurriese el evento.

Esto tiene la ventaja de que permite, en combinación con el tercer

axioma de la probabilidad, medir la confiabilidad que tienen las opiniones de las

personas sobre las posibilidades que le asignan a algunos eventos. Esto quiere

decir que el cálculo de las probabilidades de dos eventos mutuamente

excluyentes a partir de las posibilidades otorgadas de manera subjetiva resulta

como un criterio de consistencia.

Por ejemplo : Un criminólogo piensa que las posibilidades de que en la próxima

semana la cantidad de delitos en una ciudad aumente con respecto a la

anterior es de 5 a 2, de que sea la misma cantidad de delitos es de 1 a 3 y las

posibilidades de que aumente la cantidad o sea la misma es de 7 a 4.

Si se desea saber si son consistentes las probabilidades correspondientes

habría que hacer los cálculos.

Las probabilidades de aumente la cantidad de delitos, sea igual la cantidad de

delitos, y de que aumente o sea igual la cantidad de delitos es,

respectivamente, de

y dado que (como son eventos mutuamente excluyentes) no

es lo mismo que 7/11, entonces los criterios del criminólogo pueden ser

cuestionados.

77.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa pprroobbaabbii ll iiddaadd ddee eevveennttooss nnoo eelleemmeennttaalleess

Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el

sentido del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o

el uso directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no

elementales , que son los compuestos por más de un evento elemental, el

proceder de manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden

sobrepasar la capacidad de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los

axiomas de la probabilidad y las siguientes propiedades, se podrán expresar

las probabilidades de estos eventos en términos de los eventos elementales

que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de éstos.

Veamos la probabilidad de una unión de eventos , la cual la podremos

calcular de la siguiente manera:

Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es

igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la

probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,

P(A�B) = P(A) + P(B) - P(A�B)

Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene:

Propiedad 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la

probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de

ocurrencia de A y de B. Es decir

P(A�B) = P(A) + P(B)

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluye ntes

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no

pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide

automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo :

Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no

los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible

que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos

eventos en forma simultánea.

Ejemplo :

Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un

seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el

seis blanco.

Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la

probabilidad del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E:

Propiedad 3. Si E es un evento y ~E su complemento, entonces

P(~E) = 1 - P(E)

Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se va a

definir la probabilidad condicional como sigue:

Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el

evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:

Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí

ocurre con la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no

hay que confundir P(A|B) y P(B|A).

Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como

sigue:

Propiedad 5. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)

o, que es lo mismo:

P(A�B) = P(A) · P(B)

RReeggllaass ddee llaa AAddiicciióónn

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al

menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

EEvveennttooss IInnddeeppeennddiieenntteess

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-

ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del

otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el

muestreo con reemplazo, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de

nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo :

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos

independientes por que el resultado del primer evento

no afecta sobre las probabilidades efectivas de que

ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-

ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o

otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de

probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado.

La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el

evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos

o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles

valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que

ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

UUNNIIDDAADD IIII PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS

EEJJEERRCCIICCIIOOSS PPRROOPPUUEESSTTOOSS

1. En una jaula se tienen 7 ; 4 albinos y 3 negros. Se seleccionan 3 al azar.

a) Empleando las reglas de conteo calcular por cuantos eventos estaría conformado el espacio muestral cuando se trabaja con reemplazo y sin reemplazo, en este ultimo caso atendiendo y sin atender el orden.

b) Para los espacios muestrales anteriores ¿cual seria la probabilidad de que los 3 conejos seleccionados sean negros?

2. Un tesista de Veterinaria desea probar 5 medicamentos para el control

de parásitos internos de , pero solo cuenta con suficientes animales para probar 2 de esos medicamentos.

a) De cuantas formas es posible combinar los medicamentos que

pondrá a prueba? Aplicar la regla de conteo correspondiente b) Listar las combinaciones posibles

3. En una población dada la probabilidad de que un animal contraiga la

enfermedad A es de 0,025 y la probabilidad de que contraiga la enfermedad B es de 0,045. Para esta misma población la probabilidad de que el animal contraiga las enfermedades A y B simultáneamente es de 0,0010. Encontrar:

a) La probabilidad de que contraiga las enfermedades A o B. b) La probabilidad de que un animal que tiene o tendrá la enfermedad B, pueda contraer la enfermedad A. c) Demuestre si A y B son eventos independientes.

4. Sean A y B dos eventos correspondientes a un experimento aleatorio,

tal que AUB=S. Si P(A)= 0,85 y P(B)= 0,62, calcular:

a) P(A∩B) b) P(B/A)

5. Cierto tipo de intervención quirúrgica tiene un riesgo de mortalidad del 15%. Si esta intervención es aplicada de manera independiente a tres animales distintos, ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 intervenciones resulten mortales?

6. En una finca se tiene un lote de de 2, 3 y 4 partos que serán sometidas a un programa de sincronización de celo; 35 de ellas son Holstein, las restantes de raza Pardo Suiza. Del total de vacas 8 de ellas han tenido 2 partos, 16 han tenido 3 partos y las restantes 4 partos. De las vacas Holstein 6 han tenido 2 partos y de las Pardo Suiza 9 han tenido 4 partos. Calcular la probabilidad de que al seleccionar a una vaca al azar se encuentre que:

a) Es de raza Pardo Suiza b) Ha tenido 3 partos c) Es de raza Holstein y ha tenido 4 partos d) Ha tenido 2 partos dado que es de raza Holstein e) Son estos eventos independientes?

BIBLIOGRAFÍA

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REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

.- http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xtra.html

.- http://www.monografias.com/trabajos15/

.- http://es.wikipedia.org/wiki

.- CD de imágenes 2008