BINARY TREES

S. Prasitjutrakul 1994

ตนไมแบบทวิภาค (Binary Trees)

A binary tree is either empty or it consists of a node calledthe root together with two binary trees called the leftsubtree and the right subtree of the root.

S. Prasitjutrakul 1994

Binary TreesJim

Amy Kim

KayGuy Sam

Boy

typedef struct NodeTag { ItemType info; struct NodeTag *pLeft; struct NodeTag *pRight;} NodeType;

S. Prasitjutrakul 1994

! แบบกอนลํ าดับ (preorder)! แบบตามลํ าดับ (inorder)! แบบหลังลํ าดับ (postorder)

Traversal of Binary Trees

A

I J K

GF

B

H

D E

C

rightleft

root

Pre( root ) = root Pre( left ) Pre( right )In( root ) = In( left ) root In( right )Post( root ) = Post( left ) Post( right ) root

S. Prasitjutrakul 1994

Traversal of Binary Treesvoid Preorder( NodeType *pRoot ){ if ( pRoot ) { Visit( pRoot ); Preorder( pRoot->pLeft ); Preorder( pRoot->pRight ); }}void Inorder( NodeType *pRoot ){ if ( pRoot ) { Inorder( pRoot->pLeft ); Visit( pRoot ); Inorder( pRoot->pRight ); }}void Postorder( NodeType *pRoot ){ if ( pRoot ) { Postorder( pRoot->pLeft );

pRoot->pRighpRoot->pLeft

pRoot

S. Prasitjutrakul 1994

Traversal of Binary Trees

A EK

MI

D

C

B F

J

G

L

H

Preorder : G D B A C F E J I H N K L

Inorder : A B C D E F G H I J K L M

Postorder : A C B E F D H I L K N J G

S. Prasitjutrakul 1994

Expression Trees

A C

AND

B

<

D

A

C

+

B

×

H

log

N

!

A2

0.5

C

A

B-

B 2

4

/

+

- ?

? ×

×

×

log H N!

A + ( B × C ) (AD) -B+(B ? 2 - 4×A×C)? 0.52×A

S. Prasitjutrakul 1994

Expression Tree & Tree Traversal

A CB

× +

D

E/

-

Inorder : A × B / C + D - E

Preorder : - / × A B + C D E

Postorder : A B × C D + / E -

S. Prasitjutrakul 1994

ตนไมคนหาแบบทวิภาค (Binary Search Tree)Jim

Amy Kim

KayGuy Sam

Boy

typedef struct NodeTag { ItemType info; struct NodeTag *pLeft; struct NodeTag *pRight;} NodeType;

คียมีคามากกวา"Jim"คียมีคานอยกวา

"Jim"

S. Prasitjutrakul 1994

Binary Search TreesAmy

Boy

Guy

Jim

Kay

Kim

Sam

Kim

Kay

Sam

Boy

Jim

Amy

GuyJim

Kim

KayGuy Sam

Boy

Amy

S. Prasitjutrakul 1994

TreeSearchNodeType *TreeSearch( NodeType *p, KeyType Target ){ if ( p ) { if ( LT( Target, p->info.key ) ) p = TreeSearch( p->pLeft, Target ); else if ( GT( Target, p->info.key ) ) p = TreeSearch( p->pRight, Target ); } return( p );}

NodeType *TreeSearch( NodeType *p, KeyType Target ){ while ( p != NULL && NE( Target, p->info.key ) ) { if ( LT( Target, p->info.key ) ) p = p->pLeft; else p = p->pRight; } return( p );

S. Prasitjutrakul 1994

Insertion into a Binary Search TreeNodeType *Insert( NodeType *pRoot, NodeType *pNewNode ){ if ( pRoot == NULL ) { pRoot = pNewNode; pRoot->pLeft = pRoot->pRight = NULL; } else if ( LT( pNewNode->info.key, pRoot->info.key ) ) pRoot->pLeft = Insert( pRoot->pLeft, pNewNode ); else if ( GT( pNewNode->info.key, pRoot->info.key ) ) pRoot->pRight = Insert( pRoot->pRight, pNewNode ); else Error( "Duplicate key" ); return( pRoot );}

Jim

Kim

KayGuy Jan

Boy

Amy

pNewNode

pRoot

S. Prasitjutrakul 1994

Deletion from a Binary Search Tree

Jim

Kim

KayGuy

Boy

Amy

Jim

Kim

KayGuy

Jan

Boy

Amy

pNode

กรณีที่ *pNode เปนใบ

S. Prasitjutrakul 1994

Deletion from a Binary Search Tree

Jim

KayGuy

Boy

Amy

Jim

Kim

KayGuy

Jan

Boy

Amy

pNode

Jan

กรณีที่ตนไมยอยขางหนึ่งของ *pNode ไมมี

S. Prasitjutrakul 1994

Deletion from a Binary Search Tree

กรณีที่ *pNode มีตนไมยอยทั้งสองขาง

Jim

Kim

KayGuy

Jan

Boy

Amy

pNode

Dan

Jim

Jan

Guy

Dan

Amy

Kim

Kay

S. Prasitjutrakul 1994

Deletion from a Binary Seach Tree

N N N

K

K

K S

K

S

S. Prasitjutrakul 1994

Deletion from a Binary Search Tree

Inorder : A B C D E F G H I J K L

A E K

MI

D

C

B F

J

G

H A E K

MI

D

C

B F

J

G

H

ถาจะลบ G จะสรุปไดเสมอวา F และ H จะมีตนไมยอยอยางมากเพียงหนึ่งตน

S. Prasitjutrakul 1994

Treesort1. รับขอมูลที่ตองการเรียงลํ าดับ2. สรางตนไมคนหาแบบทวิภาคจากขอมูลเหลานั้น3. แวะผานขอมูลในตนไม แบบตามลํ าดับ

K G H E U I A C

K

K

U

C

A I

HE

G

K

U

A I

HE

G

K

U

I

HE

G

K

U

HE

G

K

HE

G

K

H

G

K

G

S. Prasitjutrakul 1994

Treesort vs. QuicksortK G H E U I A C

G H E I A C K U

E A C G H I K U

A C E G H I K U

A C E G H I K U

A C E G H I K U

A C E G H I K U

A C E G H I K U

A C E G H I K U

K

U

C

A I

HE

G

S. Prasitjutrakul 1994

Building a Binary Search Tree

1 3 5 7 9 11

4

2 6 10 13

12

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

S. Prasitjutrakul 1994

Building a Binary Search Tree

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

4

2 6 10 14 18 22 26 30

12 20

8 24

28

16

ถากํ าหนดใหเลขประจํ า node ตางๆในตนไมแบบทวิภาคบริบูรณ (complete binary tree) ที่มีความสูง h ตรงตามลํ าดับของการแวะผานแบบตามลํ าดับ (inorder) จะไดวา เลขประจํ า node ที่อยูในระดับที่ k จะหารดวย 2 ลงตัว แตจะหารดวย 2 +1 ไมลงตัว h-k

h-k

S. Prasitjutrakul 1994

Building a Binary Search Tree

1 1

2

1 3

2

1 3

2

4

1 3 5

4

2

1 3 5

4

2 6

1 3 5 7

4

2 6

1 3 5 7

4

2 6

8

1 3 5 7 9

4

2 6

8

1 3 5 7 9

4

2 6 10

8

1 3 5 7 9

4

2 6 10

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S. Prasitjutrakul 1994

Randomly Built Binary Search Trees

S(n) = จํ านวนการเปรียบเทียบเฉลี่ย ในกรณีพบขอมูลU(n) = จํ านวนการเปรียบเทียบเฉลี่ย ในกรณีไมพบขอมูลS n

In

U nE

nE I n

S nn

U n

S nU U U n

nn U n n U U U n

nU n n U U U n

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

= + =+

= +

= +FHGIKJ −

= ++ + + −

+ = + + + −− = − + + + + −

21

2

12

11

3

10 1 1

1 4 0 1 1

1 4 1 0 1 2

SnIn

UnE

nE I n

Snn

Un

SnU U Un

nn Un n U U Un

nUn n U U Un

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) () ... ( )

( ) ( ) ( ) () ... ( )

= + =+

= +

= +FHGIKJ −

= ++ + + −

+ = + + + −− = − + + + + −

21

21

2

11

3

10 1 1

1 4 0 1 1

1 4 1 0 1 2