BILANGAN REAL - acenale.files.wordpress.com · Web viewPada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat...
Transcript of BILANGAN REAL - acenale.files.wordpress.com · Web viewPada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat...
BILANGAN REAL
Pada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat aljabar penting sistem bilangan real. Dalam
uraiannya terlebih dahulu akan dibahas sifat-sifat dasar yang berkaitan dengan bilangan
real dan dilanjutkan dengan menunjukkan bagaimana sifat-sifat lainnya dapat dideduksi
dari sifat-sifat dasar tersebut.
Untuk selanjutnya, R menyatakan himpunan semua bilangan real dan bilangan real
dinyatakan sebagai unsur di R.
A. Sifat-sifat Aljabar
Pada bagian ini akan dibahas tentang struktur aljabar dari sistem bilangan real. Dimulai
dengan menguraikan sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian pada bilangan real. Sifat
dasar ini merupakan dasar bagi semua sifat aljabar yang penting dari bilangan real. Ini
berarti bahwa semua sifat aljabr yang lainnya dapat dideduksi sebagai teorema-teorema.
Dalam istilah alajabar abstrak, sistem bilangan real mempunyai field terhadap operasi
penjumlahan atau perkalian bias ditulis dengan notasi ( R , + , . ) merupakan field.
Pada R terhadap dua operasi biner masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian
yang biasa dinyatakan dengan “ + “ dan “ . “ . kedua operasi ini memenuhi sifat-sifat
berikut.
( J1 ) Sifat komutatif penjumlahan
a + b = b + a untuk semua a dan b di R.
( J2 ) Sifat assosiatif penjumlahan
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c untuk semua a, b, c di R.
1
( J3 ) Eksistensi unsur nol
Ada 0 di R sehingga a + 0 = a untuk semua a di R.
( J4 ) Eksistensi unsur-unsur negative
Untuk setiap a di R ada –a di R sehingga a + ( -a ) = 0
( K1 ) Sifat komutatif perkalian
a . b = b . a untuk semua a dan b di R.
( K2 ) Sifat assosiatif perkalian
a . ( b . c ) = ( a . b ) . c untuk semua a, b, c di R.
( K3 ) Eksistensi unsur satuan
Ada 1 di R sehingga a . 1 = a untuk setiap a di R.
( K4 ) Eksistensi unsur-unsur balikan
Untuk setiap a di R , a 0 , ada di R sehingga
( D ) Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
Untuk semua a, b, c di R berlaku
a . ( b + c ) = a . b + a . c dan ( a + b ) . c = a . c + b . c
Ke-9 sifat di atas dikenal sebagai aksioma filed. Untuk itu R dengan operasi penjumlahan
dan perkalian yang memenuhi aksioma tersebut di atas dikatakan merupakan sebuah field
( lapangan ).
Berikut ini akan dibahas sifat-sifat aljabar bilangan real lainnya. Pertama tentang
ketunggalan unsur nol dan unsur satuan.
2
Teorema 1. ( i ) Jika z dan a adalah unsur-unsur di R sehingga z + a = a, maka z =0
( ii ) Jika u dan adalah unsur-unsur di R sehingga u . b = b, maka
u = 1.
Bukti .
( i ) Diberikan z , a sebarang dua unsur di R yang memenuhi z + a = a . Menurut ( J4 )
ada –a di R sehingga a + ( -a ) = 0 dan bila –a ditambahkan pada kedua ruas z + a
= a diperoleh ( z + a ) = a + ( -a ). Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) pada
ruas kiri akan diperoleh
Pada ruas kanan dengan memakai ( J4 ) diperoleh
Jadi, dapat disimpulkan bahwa z = 0
( ii ) Latihan !!!
Berikut ini dibahas tentang ketunggalan unsur negatif dan unsur balikan bilangan real.
Teorema 2. ( i ) Jika a dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka b -a
( ii ) Jika dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a . b = 1, maka
Bukti.
( i ) Diberikan a dan b sebarang dua unsur di R yang memenuhi a + b = 0. Berarti ada
–a di R sehingga bila ditambahkan pada kedua ruas akan diperoleh
( -a ) + ( a + b ) = ( -a ) + 0
Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) pada ruas kiri diperoleh
dan memakai ( J3 ) pada ruas kanan diperoleh (-a)+0=-a jadi
b = -a.
3
( ii ) Latihan !!!
Berikut dibahas tentang eksistensi dan ketunggalan solusi suatu persamaan yang
berkaitan dengan bilangan real.
Teorema 3. Diketahui a, b sebarang dua unsur di R.
( i ) Persamaan a + x = b memiliki solusi tunggal x = (-a) + b
( ii ) Jika persamaan a . x = b memiliki solusi tunggal
Bukti. Diberikan a, b sebarang dua unsur di R.
( i ) Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) diperoleh a+((-a)+b) = (a+(-a))+b
= 0+b = b yang mengakibatkan x=(-a)+b merupakan solusi persamaan
.
Untuk menunjukkan bahwa solusi tersebut tunggal, misalkan saja bahwa
merupakan solusi lainnya. Ini berarti akan memenuhi persamaan .
Bila ditambahkan pada kedua ruas diperoleh
.Dengan memakai (J2), (J4) dan (J3) pada ruas diperoleh :
Jadi
(ii) Latihan !
4
Sifat-sifat lain unsur nol dan unsur satuan negatif.
Teorema 4. Jika a adalah suatu unsur di R, maka
(i) a.0 = 0
(ii) (-1) .a = -a
(iii) –(-a) = a
(iv) (-1).(-1) = 1
Bukti.
(i) Dari (K3) diketahui a.1 = a sehingga
a + a.0 = a.1 + a.0 = a. (1 + 0) = a.1 = a
Menurut Teorema 1 (i) disimpulkan bahwa
(ii) Dengan memakai (D), (K3) dan (i) diperoleh
Menurut Teorema 2. dapat disimpulkan bahwa
(iii) Dari (J4) diketahui bahwa karena itu menurut Teorema 2
dapat disimupulkan bahwa
(iv) Pada (ii) disubstitusikan diperoleh
Selanjutnya, menurut (iii) akan diperoleh 11
Jadi
5
Sifat lain unsur balikan
Teorema 5. Diketahui a, b, c merupakan unsur-unsur di R
(i) Jika , maka dan
(ii) Jika dan , maka b = c
(iii) Jika , maka atau
Bukti.
(i) Diberikan merupakan unsur di R, akibatnya ada di R
Jika akan berakibat ini bertentangan dengan
(K3).
Jadi haruslah
Selanjutnya, karena dan Teorema 2 berakibat
(ii) Diberikan a, b, c merupakan unsur-unsur di R dan
Berarti ada di R dan bila dikalikan pada kedua ruas akan
diperoleh
6
Jadi b = c
(iii) Cukup diasumsikan bahwa jika maka
Karena dengan memakai (ii) untuk
Disimpulkan bahwa
Operasi lain di R
Pengurangan didefinisikan oleh untuk a, b di R
Pembagian didefinisikan oleh untuk a, b di R dengan
Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi
dua bilangan bulat dengan pembagi tak nol. Berikut ini dibahas tentang eksistensi
bahwa himpunan bilangan rasional merupakan bagian dari himpunan bilangan
real.
Teorema 6. Tidak ada bilangan rasional r sehingga r2 = 2 ( Tugas )
Bukti.
Diandaikan ada bilangan rasional dengan p, q bilangan bulat dan
Dimisalkan pula bahwa p, q bilangan positif dan tidak memiliki faktor
persekutuan bilangan bulat selain 1. Karena berarti dan dari
pengertian genap diperoleh bahwa p2 merupakan bilangan genap, akibatnya p juga
bilangan genap (sebab jika ganjil maka
7
juga ganjil ).
Karena itu p dan q tidak memiliki faktor persekutuan 2 dan akibatnya q mesti
berupa bilangan ganjil.
p genap maka p = 2m untuk suatu bilangan asli m.
Karena diperoleh yang berarti genap dan dengan argumen
serupa seperti di atas disimpulkan bahwa q merupakan bilangan genap.
Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa tidak ada bilangan asli yang genap dan
sekaligus ganjil. Dengan demikian teorema terbukti.
B. Sifat Urutan
Di dalam R terdapat suatu himpunan tak kosong, katakanlah P yang memenuhi
sifat-sifat berikut :
i. Jika a,b P, maka a + b P
ii. Jika a,b P, maka a,b P
iii. Jika a R, maka di antara berikut ini hanya satu yang berlaku :
a P , a = 0 , -a P ( Sifat Trichotomi)
Unsur-unsur di P biasa disebut sebagai bilangan real positif dan akan
didefinisikan sebagai bilangan real yang lebih dari 0 seperti berikut ini :
Definisi 1.
a P , dikatakan bahwa a adalah bilangan real positif dan ditulis a > 0
-a P , dikatakan bahwa a adalah bilangan real negative dan ditulis a < 0
Definisi 2. Diberikan a,b R
i. Jika a – b P , maka a > b atau b > a
8
ii. Jika a – b P , maka a b atau b
Teorema 3. Diberikan a,b,c R
(i) Jika a > b dan b > c , maka a > c
(ii) Tepat satu yang berlaku : a > b , a = b , a < b
(iii) Jika a b dan b a , maka a = b
Bukti.
(i) a > b dan b > c berarti a – b P dan b – c P sehingga diperoleh
a – c = ( a – b ) + ( b – c ) P ( menurut sifat bilangan positif )
Jadi a > c
(ii) Diberikan a,b R akibatnya a – b = a + (-b) R dan menurut sifat
Trichotomi hanya satu yang satu berlaku di antara berikut ini,
a – b P , a – b = 0 atau b – a = - ( a – b ) R
Jadi a > b , a = b , a < b
(iii) Diberikan a b dan b a
Jika a b maka a – b 0 dan menurut (ii) berarti
a – b P atau b – a P
Diperoleh a > b atau b > a hal ini bertentangan dengan yang diberikan
di atas. Dengan demikian haruslah a = b
Teorema 4. i. Jika a R dan a 0 , maka > 0
9
ii. 1>0
iii. Jika n N , maka n > 0
Bukti. (i) Menurut sifat Trichotomi, jika a 0 maka a P atau -a P
Untuk a P menurut sifat bilangan positif berlaku bahwa
Untuk -a P akan berlaku pula bahwa (-a).(-a) P dan
= berarti bahwa
Jadi
(ii) Karena 1 = dari (i) di atas diperoleh bahwa 1 > 0
(iii) Menggunakan induksi matematika
Untuk n = 1 , jelas berlaku 1 > 0
Jika untuk n = k berlaku bahwa k > 0 , maka berarti k P
Dan karena 1 maka diperoleh bahwa k + 1 P
Jadi n > 0 untuk setiap n N
Teorema 5. Diberikan a,b,c,d R
(i) Jika a > b , maka a + c > b + c
(ii) Jika a > b dan c > d , maka a + c > b + d
(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb
Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb
(iv)Jika a > 0 , maka 1/a > 0
10
Jika a < 0, maka 1/a < 0
Bukti.
(i) Dari fakta a – b P diperoleh bahwa (a + c) – (b+c) = a – b
(ii) dan berakibat bahwa
Jadi >
(iii) dan berakibat bahwa
Jadi c.a > c.b
dan berakibat bahwa
Jadi c.a < c.b
(iv) Untuk > 0 berarti bahwa sehingga
Jika < 0 maka < 0 bertentangan dengan fakta bahwa 1
> 0 ini berarti haruslah > 0
Untuk < 0 berarti bahwa sehingga
Jika > 0 maka < 0 bertentangan dengan fakta bahwa 1
> 0 ini berarti haruslah < 0
11
Teorema 6. Jika a dan b di R dan a > b, maka a> >b
Bukti.
Karena a > b menurut Teorema 5.(i), berlaku > a + b dan a + b >
b+ b = 2b atau dengan kata lain 2a > a + b > 2b
Karena 2 > 0 diperoleh bahwa > 0
Jadi > >
Sifat-sifat elementer dari urutan yang telah diuraikan telah cukup memperlihatkan bahwa
tidak ada bilangan real positif terkecil. Seperti yang akan dinyatakan berikut ini.
Teorema 7. Jika a di R dan a > 0, maka a > a > 0
Bukti. Dengan menerapkan teorema 6. dan mengganti
Untuk membuktikan suatu bilangan tak negatif a adalah 0, cukup ditunjukkan bahwa
bilangan a tersebut kurang dari bilangan positif sebarang. Seperti dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 8. Jika R sehingga 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0 di R , maka a = 0
Bukti.
Diandaikan a > 0 sehingga menurut teorema 7 berlaku a > > 0
12
Selanjutnya bila diambil akan diperoleh bahwa > > 0. Hal ini
bertentangan dengan pernyataan bahwa 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0 di R
Ini berarti pengandaian a > 0 diatas merupakan pernyataan salah. Dengan
demikian haruslah a = 0
Teorema 9. Diberikan a, b unsur-unsur di R
Jika a > b – ε untuk setiap bilangn real ε > 0, maka a ≥ b
Bukti.
Diandaikan a < b dan diambil sehingga > 0
Diperoleh bahwa dan diketahui bahwa
a < < b. Karena itu berarti bahwa a < b – ε. Hal ini bertentangan dengan
peryataan bahwa a > b – ε untuk setiap bilangan real ε > 0 jadi haruslah a ≥ b
Hasilkali dua bilangan real positif adalah bilangan real positif. Kepositifan hasilkali dua
bilangan real tidak berarti bahwa kedua bilangan real tersebut positif. Tetapi yang benar
adalah bahwa kedua bilangan real tersebut bertanda sama. Seperti yang dinyatakan dalam
teorema berikut ini.
Teorema 10. Jika ab > 0, maka i. a > 0, b > 0 atau
ii. a < 0, b < 0
Bukti.
Diberikan ab > 0 berakibat dan b 0 (ini disebabkan jika atau ,
maka )
13
Dari sifat Trichotomi diperoleh a > 0 atau a < 0
Untuk a > 0 maka > 0 dan karena itu diperoleh
> 0
Untuk a < 0 maka < 0 dan karena itu diperoleh
< 0
Akibat 11. Jika ab < 0, maka i. a < 0 , b > 0 atau
ii. a > 0 , b < 0
Bukti. Diberikan ab < 0 berakibat a 0 dan b 0 (ini disebabkan jika a = 0 atau b = 0,
maka ab = 0 )
Dari sifat Trichotomi diperoleh a < 0 atau a > 0
Untuk a < 0 maka < 0 sehingga diperoleh :
b = 1.b =
Untuk a > 0 maka sehingga diperoleh
Contoh penggunaan sifat-sifat urutan dalam menyelesaikan ketaksamaan
14
1. Tentukanlah A merupakan himpunan semua bilangan real yang memenuhi
Penyelesaian:
Jadi A={x R | x≤ }
2. Tentukan B = {x R| > 2 }
Penyelesaian:
> 2 > 0 > 0
((x + 2) > 0 dan x – 1 > 0 ) atau ( x + 2 < 0 dan x – 1 < 0 )
( x > -2 dan x > 1 ) atau ( x < -2 dan x < 1 )
x > 1 atau x < -2
Jadi B = { x R| x > 1 atau x < -2 }
3. Tentukan C = { x R | < 1 }
Penyelesaian:
< 1
< 0
< 0
< 0
15
( x -1 < 0 dan x + 2 > 0 ) atau ( x – 1 > 0 dan )
( x < 1 dan x > -2 ) atau ( x > 1 dan x < -2 )
Jadi C = { x R | }
Selanjutnya, berikut ini disajikan contoh-contoh yang menggambarkan pemakaian
sifat-sifat urutan didalam membuktikan ketaksamaan. Perikasalah langkah-langkah
dalam argumen dengan mengenali sifat-sifat yang dipakai.
4. Diberikan: dan
Maka berlaku:
Bukti:
Pandang kasus dan
Diperoleh
Diketahui dan berarti
Akibatnya
Begitu pula jika maka
Jadi
Selanjutnya, dan berakibat dan
Karena dan
Diperoleh bahwa
16
2. Jika a dan b merupakan bilangan real positif, maka rata-rata hitung dan rata-rata
ukurnya masing-masing adalah dan serta berlaku
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika a = b
Untuk membuktikannya, perlu diingat bahwa jika dan maka ,
dan .
Dari Teorema 4(i), berlaku
Selanjutnya, diperoleh
Karena itu berlaku
Jika a = b maka
Untuk dan
Diperoleh bahwa
Sehingga
Yang berakibat a = b
3. Ketaksamaan Bernoulli
Jika maka untuk semua bilangan asli n. Buktinya
menggunakan induksi matematika untuk n = 1 maka ( 1 + x )1 = 1 + x
Selanjutnya jika untuk n = k berlaku
Maka diperoleh
17
Jadi untuk semua
Nilai Mutlak
Dari Sifat Trichotomi diketahui bahwa jika R dan maka hanya satu diantara
berikut ini yang berlaku :
positif atau positif.
Nilai mutlak 0 didefinisikan merupakan salah satu diantara bilangan positif
tersebut. Nilai mutlak 0 didefinisikan merupakan 0.
Secara formal dinyatakan sebagai berikut :
Definisi 12. Diberikan R. Nilai mutlak a, ditulis dengan didefinisikan oleh :
Contoh : , .
Dari definisi tampak bahwa untuk semua R.
Berikut ini beberapa sifat dasar.
Teorema 13. (i) jika dan hanya jika a = 0
(ii)
(iii)
(iv) Jika maka jhj
(v) Untuk semua R,
18
Bukti.
(i) Jika maka
Jika berarti juga , akibatnya
Jadi maka
(ii) Untuk maka
Untuk maka sehingga
Untuk maka sehingga
(iii) Untuk atau , maka
Untuk maka sehingga
Untuk maka sehingga
Untuk maka sehingga
Untuk maka sehingga
(iv) Dimisalkan , berarti dan
Sehingga diperoleh dan yang berarti
Dimisalkan berarti dan
Sehingga diperoleh dan yang berarti
(v) Untuk pada (iv) diperoleh
Berikut ini sifat nilai mutlak untuk jmlah dan bilangan real yang lebih dikenal dengan
istilah Ketaksamaan Segitiga.
Teorema 14.
19
Untuk semua di R ,
Bukti.
R maka dan
Sehingga diperoleh
atau
yang berarti
Akibat 15.
Untuk setiap a,b di R, berlaku :
(i)
(ii)
Bukti.
(i) Diberikan a,b di R . Dapat ditulis
Dengan Ketaksamaan Segitiga ,
Mengurangkan pada kedua ruas diperoleh
Begitu pula dan atau
Jadi .
(ii)
20
Dengan memanfaatkan induksi matematika, Ketaksamaan Segitiga dapat diperluas
untuk sejumlah berhingga unsur-unsur di R.
Akibat 16. Untuk setiap di R ,
Contoh pemakaian sifat-sifat nilai mutlak.
1. Tentukan himpunan penyelesaian
Jawab.
Jadi himpunan penyelesaian :
2. Tentukan himpunan penyelesaian
Jawab.
Cara pertama, dengan membagi menjadi tiga kasus
(i) Untuk , maka dan akibatnya -1 < 0
Berarti merupakan penyelesaian.
(ii) Untuk , maka akibatnya
Berarti merupakan penyelesaian.
(iii) Untuk maka berakibat 1 < 0
21
Berarti tidak merupakan penyelesaian.
Dari (i), (ii), dan (iii) disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian adalah
Cara lain untuk menyelesaikan soal ini adalah didasarkan pada fakta bahwa
bilamana .
Dengan demikian,
Jadi himpunan penyelesaian :
3. Diketahui untuk
Dicari konstanta sehingga untuk
Penyelesaian :
Untuk diperoleh
Untuk diperoleh
Karena itu
Dengan demikian dapat dipilih bahwa
22
Meskipun demikian bukan berarti bahwa merupakan bilangan terkecil
sehingga .
Garis Real
Interpretasi geometri yang cocok untuk sistem bilangan real adalah garis real. Dalam
interpretasi ini , nilai mutlak dari unsur a di R dipandang sebagai jarak a ke titik 0.
Secara umum, jarak antara a dan b di R adalah .
Berikut ini akan dibahas pengertian bilangan-bilangan real yang dekat dengan bilangan
real tertentu. Jika a sebuah bilangan real, maka dikatakan bahwa bilangan real x yang
dekat dengan a diartikan sebagai , yaitu jarak keduanya adalah cukup kecil.
Konteks agar ide dapat dibicarakan diberikan istilah Persekitaran (neighborhoods).
Seperti yang didefinisikan berikut ini.
Definisi. Diberikan R dan
Persekitaran dari a adalah himpunan
x di berarti atau
Teorema 17. Diberikan R, jika untuk setiap , termuat di dalam persekitaran
, maka
Bukti. x termuat di dalam untuk setiap , berarti untuk setiap .
Menurut Teorema 8. berlaku . Karena itu x = a.
23
Contoh.
1. Diketahui
Jika dan dipilih sebagai bilangan terkecil di antara dan , maka
termuat di dalam U.
Dengan demikian setiap bilangan di U memiliki persekitaran yang termuat di
dalam U.
2. Diketahui
Untuk setiap , tidak termuat di dalam I sebab tetapi .
3. Jika dan , maka akan diperoleh
Artinya, jika dan , maka .
Tentukan yang tak termuat di dalam ( 0 , 1 ).
Soal – soal latihan
1. Jika maka buktikanlah hal-hal berikut ini :
i. iii. ,
ii. iv. ,
2. Jika , , , maka . Buktikan !
24
3. Jika x dan y bilangan rasional, maka buktikanlah bahwa dan juga bilangan
rasional !
4. Buktikan
5. Jika maka , untuk semua . Buktikan !
6. Jika dan , maka . Buktikan !
7. Jika maka dan . Buktikan !
8. Carilah bilangan real x yang memenuhi ketaksamaan berikut :
i. iii.
ii. iv.
9. Jika dan , tunjukkanlah bahwa
10. Jika tunjukkan bahwa jika dan hanya jika
11. Carilah bilangan real yang memenuhi ketaksamaan berikut :
i. iii.
ii. iv.
C. Sifat Kelengkapan R
Sifat kelengkapan R menjamin eksistensi unsur-unsur di R di bawah hipotesis tertentu.
Sistem bilangan rasional, Q memenuhi dua sifat terdahulu yaitu sifat aljabar dan sifat
urutan, tetapi telah terbukti bahwa tidak dapat disajikan sebagai bilangan rasional.
25
Karena itu tidak termuat di dalam Q . Observasi ini menunjukkan bahwa perlu suatu
sifat tambahan untuk mengetahui karakteristik sistem bilangan real. Sifat ini tak lain
adalah Sifat Kelengkapan ( Sifat Supremum) yang merupakan sifat esensial dari R.
Terdapat beberapa versi berbeda sifat sifat kelengkapan. Di sini diuraikan metode yang
efisien, yaitu dengan menganggap bahwa setiap himpunan terbatas yang tak kosong di R
memiliki Supremum.
Berikut ini dikenalkan pengertian sebuah batas atas suatu himpunan bilangan real.
Definisi 1. Diberikan H merupakan himpunan bagian dari R.
(i). Sebuah bilangan R dikatakan merupakan batas atas H apabila untuk
semua H.
(ii). Sebuah bilangan R dikatakan merupakan batas bawah H apabila untuk
semua H.
Sebuah bilangan p bukan batas atas H jika dan hanya jika terdapat suatu H sehingga
.
Sebuah bilangan q bukan batas bawah H jika dan hanya jika terdapat suatu H
sehingga .
Perlu dicatat bahwa himpunan bilangan real biasa tidak memiliki batas atas, contohnya :
R. Karena itu jika H memiliki batas atas, maka H akan memiliki tak terhingga batas atas
sebab jika u merupakan batas atas H maka setiap bilangan w yang lebih besar dari u akan
merupakan batas atas H juga.(Hal ini berlaku juga untuk batas bawah).
Suatu himpunan biasa hanya memiliki batas atas saja atau batas bawah saja. Contoh
H1 = dan H2 = .
Sebuah himpunan di R dikatakan terbatas di atas apabila himpunan tersebut memiliki
batas atas. Begitu pula sebuah himpunan di R memiliki batas atas dan batas bawah maka
dikatakan bahwa himpunan tersebut terbatas.
26
Himpunan di R dikatakan tak terbatas apabila himpunan tersebut tidak memiliki batas
atas atau batas bawah.
Definisi 2.
(i). Jika H terbatas di atas, maka suatu batas atas H, misal saja u dikatakan merupakan
supremum (batas atas terkecil) H apabila tidak ada batas atas H yang lain yang
kurang dari u.
(ii). Jika H terbatas di bawah, maka suatu batas bawah H, misal saja w dikatakan
merupakan infimum (batas bawah terbesar) H, apabila tidak ada batas bawah H
lain yang lebih dari w.
Definisi di atas dapat dirumuskan kembali agar lebih operasional.
Lemma 3.
Sebuah bilangan u adalah supremum himpunan bilangan real H jika dan hanya jika
u memenuhi dua syarat : (1) untuk semua H
(2) Jika v < u, maka ada H sehingga v < k.
Untuk bukti Lemma 3 silahkan mencoba sendiri menguraikannya. Selanjutnya
tulis/rumuskan kembali untuk definisi infimum. Supremum suatu himpunan bilangan real
H adalah tunggal. Untuk menunjukkan ketunggalan supremum, misalkan saja u1 dan u2
merupakan supremum H.
27
Berarti u1 dan u2 merupakan batas atas H.
Jika u1 < u2 maka hipotesis bahwa u2 merupakan supremum H mengakibatkan u1 bukan
batas atas H. Begitu pula jika u2 < u1 hipotesis bahwa u1 merupakan supremum H
mengakibatkan u2 bukan batas atas H. Karena itu haruslah u1 = u2.
Untuk selanjutnya apabila supremum atau infimum himpunan H ada, akan dinyatakan
masing-masing dengan supH dan infH. Jika u merupakan suatu batas atas H, maka supH
atau jika untuk semua H, maka supH .
Kriteria berikut bermanfaat untuk menguji bahwa suatu batas atas himpunan
adalah/merupakan supremum.0
Lemma 4.
Suatu u batas atas himpunan tak kosong H (di R ) adalah supremum H jika dan
hanya jika untuk setiap terdapat H sehingga .
Bukti.
Dimisalkan u = SupH dan diambil sebarang . Karena berarti
bukan batas atas H. Akibatnya terdapat suatu H sehingga .
Dimisalkan u merupakan batas atas H yang memenuhi syarat pada Lemma.Jika
, diambil maka , karena itu ada H sehingga
berarti v bukan batas atas H.
Karena v merupakan bilangan sebarang yang kurang dari u disimpulkan
bahwa u = SupH.
Contoh.
1. Jika suatu himpunan tak kosong H1 memiliki sejumlah berhingga unsur, maka
dapat ditunjukkan bahwa H1 memiliki unsur terbesar u dan unsur terkecil w dan
u = SupH1 dan w = InfH1.
28
2. Himpunan H2 = .
Di sini jelas bahwa 1 merupakan batas atas H2.
Untuk menunjukkan bahwa 1 = SupH2, dilakukan hal berikut :
Jika v < 1, terdapat H2 sehingga v < h.
Karena itu v berarti bukan batas atas H2 dan karena v merupakan sebarang
bilangan yang kurang dari 1, disimpulkan bahwa SupH2=1.
Begitupula, dapat ditunjukkna bahwa InfH2 = 0. di sini supH2 dan InfH2
keduanya termuat di H2.
3. Himpunan H3 =
Jelas 1 merupakan batas atas H3 dan dengan argumen yang sama seperti 2
diperoleh SupH3 = 1 dan InfH3 = 0.
Di sini SupH3 dan InfH3 keduanya tak termuat di H3.
Berikut ini dinyatakan sifat supremum atau disebut juga sifat kelengkapan R .
Dengan demikian R adalah suatu field terurut yang lengkap.
Sifat supremum R .
Teorema 5. Setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan memiliki batas
atas memiliki supremum di R.
Sifat Infimum R.
Setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan memiliki batas
bawah memiliki infimum di R.
29
Berikut ini contoh-contoh yang menggambarkan tehnik bekerja dengan supremum
dan infimum.
1. Diberikan H suatu himpunan bilangan real yang tak kosong dan terbatas diatas
serta a sebuah bilangan real. Didefinisikan himpunan a+H = .
Akan ditunjukkan bahwa Sup (a+H) = a + SupH.
Pertama, dimisalkan bahwa u = SupH, sehingga karena untuk setiap
maka diperoleh untuk setiap .
Berarti a+u merupakan batas atas a+H.
Selanjutnya, jika v merupakan batas atas a+H berarti untuk setiap
diperoleh untuk setiap .
Berarti v – a merupakan batas atas H. Akibatnya u = SupH atau
. Jadi Sup (a+H) = a + u = a + SupH.
2. Diketahui f dan g merupakan dua fungsi dengan domain
dan
Masing-masing merupakan himpunan terbatas.
(i). Jika untuk setiap maka Sup Sup
Buktinya.
untuk setiap berakibat Sup untuk setiap
.
Berarti Sup merupakan batas atas . Sehingga berakibat Sup
Sup .
(ii). Jika untuk setiap , maka Sup Inf .
30
Bukti.
Pertama, untuk setiap berlaku untuk setiap .
Ini berarti bahwa merupakan batas atas dan akibatnya Sup
untuk setiap . Artinya Sup merupakan batas
bawah jadi Sup Inf .
Sifat Archimedean
Akibat penting sifat supremum adalah bahwa himpunan semua bilangan asli tidak
terbatas di atas R . Ini berarti untuk setiap bilangan real x terdapat bilangan asli n
(bergantung pada x) sehingga x < n. Dalam pembuktiannya memakai sifat supremum.
Sifat Archimedean (Teorema 6). Jika , maka ada sehingga .
Bukti. Diberikan
Jika tidak ada sehingga berarti untuk setiap , , dengan
kata lain x merupakan batas atas N.
Menurut sifat supremum, N memiliki supremum. Tulis u = SupN.
Karena , maka menurut Lemma 4. ada sehingga .
Tetapi dan karena , berarti u bukan batas atas N.
Ini bertentangan dengan u merupakan batas atas N. Jadi haruslah ada
sehingga .
Akibat 7.
Diberikan y dan z dua bilangan real positif, maka
(i) Ada sehingga z < ny
31
(ii) Ada sehingga
(iii) Ada sehingga
32