Bil Komplex

7/27/2019 Bil Komplex

http://slidepdf.com/reader/full/bil-komplex 1/9

Mat-Kim/Bil. Kompleks/9

2 . BILANGAN KOMPLEKS

1 PendahuluanBentuk umum Bilangan kompleks adalah:

z = x + y i (1.1)

Soal 1 :

Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang bilangan kompleks? Jika kompleks

tentukan komponen real dan komponen imajinernya !

1) 5 + 3 i 2) 6 + 3 2i 3) 3 + 2 i 2 − 4 i 3 4) 6 i 2 + 3 i −

12

5) 6 + 7 i 4 6) 7 i + 8 i 4 7) 8 i + 19 + 2 i 4 8) 6 + 64−

2 Plotting Bilangan kompleks

Anda tentu sudah dapat mem-plot sebuah titik dalam koordinat Cartessius. Misal sebuah titik P

dengan koordinat (5,3), maka plottingnya adalah seperti gambar 1 berikut:

Gambar 1: Plotting titik P (5,3) atau P (5 + 3 i)

Perlu anda ketahui bahwa plotting P (5,3) tersebut juga dipergunakan untuk mem-plot bilangan

kompleks (5 + 3 i). Jadi secara umum dapat dinyatakan bahwa plotting bilangan kompleks (x +

y i) adalah sama dengan plotting titik (x,y)

Dalam sistem koordinat polar, garis 0P disebut r dan sudut antara 0P dengan sumbu x disebut

sudut θ. Dengan memperhatikan gambar (2 di atas, maka dapat diketahui bahwa:22222

yx'PPP0r +=+=

cosr x = θ

y = r sin θ

Jadi bentuk umum bilangan kompleks juga dapat ditulis:

z = x + y i = r (cos θ + i sin θ)

Notasi bilangan kompleks di atas disebut bilangan kompleks bentuk rektangular.

Bentuk lain Bilangan kompleks:

Bilangan kompleks dalam bentuk r(cos θ + i sin θ) juga dapat dinyatakan dalam bentuk r . e θi .

Jadi:

z = x + y i = r (cos θ + i sin θ) = r . e θi

Notasi bilangan kompleks dalam bentuk r . e θi disebut bentuk polar.(2.1)

P (5,3) dan P ( 5 + 3 i )




Soal 2:

Diketahui bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:

1) 5 + 3 i 2) 3 + 2 i 2 − 4 i 3 3) 6 i 2 + 3 i − 12

4) 2

π+π

6sini

6cos 5) 2

π+π

4sini

4cos 6) 2 . e i

4

π−

Buatlah plottingnya dan nyatakan bilangan-bilangan kompleks di atas dalam bentuk yang lain.

3 Pasangan konjugasi Bilangan kompleks (z*)

Setiap bilangan kompleks mempunyai pasangan konjugasi yaitu bilangan kompleks yang

diperoleh dengan cara mengganti i dengan −i.

Contoh:

Bil. kompleks z = x + y i , pasangan konjugasinya adalah z* = x − y i.

Bil. kompleks z = r (cos θ + i sin θ) , pasangan konjugasinya adalah z* = r (cos θ − i sin θ).

Bilangan kompleks z = r e θi , pasangan konjugasinya adalah z = r e θ− i .

Dalam sistem koordinat, letak pasangan konjugasi merupakan bayangan cermin dari bilangan

kompleks yang bersangkutan dan sebagai cerminnya adalah sumbu x.

Soal 3 :

Tentukan pasangan konjugasi dari bilangan-bilangan kompleks pada soal paragraf 2.

4 Aljabar Bilangan Kompleks

4.1 Penyederhanaan bentuk x + y i

Penjumlahan, pengurangan dan perkalian bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar dan

harus pula mengingat bahwa 2i = −1.

Contoh 1 : (1 + i) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 1 + 2 i − 1 = 2 i

Pembagian bilangan kompleks oleh bilangan kompleks lain dilakukan melalui langkah-

langkah sebagai berikut. Pertama tulislah pembagian itu dalam bentuk pecahan. Kemudian

kalikan baik pembilang maupun penyebut dengan konjugasi penyebut sehingga penyebut

akan menjadi bilangan real selanjutnya dijadikan bentuk rektangular atau x + y i.

Contoh 2: (2 + i) : (3 + i) =i 3

i 2

+

+x

i 3

i 3

−

−=

22

2

i 3

i i 6

−

−+=

10

i 7 +=

10

7+ i 10

1

Contoh 3:

Mengubah (x + y i) 2 dalam bentuk polar, dilakukan dengan cara memplot atau

membayangkan plotting dari titik (x,y) lalu ditentukan sudut θ dan panjang r . Dengandemikian kita telah dapat menyatakan (x + y i) dalam bentuk r . e θi . Selanjutnya jika r . eθi .itu dikuadratkan maka bentuk polar dari (x + y i) 2 diperoleh. Contoh dari kasus ini

adalah sebagai berikut:

Ubahlah bentuk (1 + i) 2 dalam bentuk polar.

Jawab: x = 1 y = 1 Jadi r = 22 11 + = 2

tg θ =x

y= 1 → θ = 450 =

4

π

Jadi (1 + i) = 2 . e i 4

π → (1 + i) 2 =

2

i 4e . 2

π

= 2 . i 2e

π= 2

i.

Contoh 4:




Ubahlah bentuk )20sini20(cos2

1

oo +ke dalam bentuk x + y i.

Jawab: Harus diubah dulu satuan sudut dari derajat menjadi radian. π radian = 1800 . jadi:

10 =180

πradian = 0,0174 → 200 = 0,3488 radian.

)20sini20(cos2

1

oo +=

)0,3488sini0,3488(cos2

1

+

=i 0,3488

e.2

1

= 0,5 . e i 3488,0−

= 0,5 ( ) ( ){ }0,3488sini0,3488cos −+−

= 0,5 ( ) ( ){ }0,3488sini 0,3488cos −= 0,5 ( 0,940− 0,342 i )

= 0,47 − 0,17 i

Soal 4.1 :Sederhanakan bentuk-bentuk bilangan kompleks berikut ke dalam bentuk x + y i atau ke

dalam bentuk r . e θi .

1)i 1

1

−2) 1 i2 i2 ++ 3)

2

i 1

i 1

−+

4) ( )2i 3 +

5) 25 e i2 6)4 i

7 i3

+

−7) (1,7 − 3,2 i) 2 8)

( )oo 40sini 40cos5,0

1

+4. 2 Harga absolut bilangan kompleks z

Definisiz

adalah sebagai berikut:Jika z diplot dalam bidang rektangular, maka harga absolut z atau z adalah r =

yx 22 + .

Ternyata harga r juga sama dengan *z.z (Buktikan !). Jadi:

z = r = yx 22 + = *z . z

Soal 4.2:Tentukan harga absolut dari bilangan-bilangan kompleks pada soal paragraf 4.1.

4. 3 Persamaan Kompleks

Dalam menyelesaikan persamaan-persamaan yang mengandung bilangan kompleks, maka

kedua ruas persamaan harus dijadikan bentuk baku sehingga kita dapat melihat komponen

real dan komponen imajiner dari masing-masing ruas. Dua buah bilangan kompleks adalahsama jika dan hanya jika komponen realnya sama dan komponen imajinernya juga sama.

Sebagai contoh jika x + y i = 4 + 3 i maka ini berarti x = 4 dan y = 3. Dengan perkataan lain

sebuah persamaan yang mengandung bilangan kompleks, sesungguhnya merupakan dua

buah persamaan yang melibatkan bilangan real.

Contoh:

Tentukan harga x dan y jika: (x + y i ) 2 = 2 i.

Ruas kiri:

(x + y i ) 2 = x 2 + 2 xy i − y 2 = x 2 − y 2 + 2 xy i

Komponen realnya adalah → x 2 − y 2

Komponen imajinernya adalah → 2 xy

Ruas kanan :2 i = 0 + 2 i




Komponen realnya adalah → 0

Komponen imajinernya adalah → 2

Penyelesaian:

x 2 − y 2 = 0 dan 2 xy = 2

Dari persamaan pertama diperoleh:

x 2 = y 2 jadi x = y atau x = −y. Harga-harga ini dimasukkan ke dalam persamaan kedua.

Untuk x = y:

2 xy = 2 → 2 y 2 = 2 → y = + 1

Jadi penyelesaian akhirnya adalah:

x = y = +1

Soal 4.3 :

Tentukan harga x dan y dari persamaan-persamaan berikut:

1) x + y i = 3 i − 4 2) 2 i x + 3 = y - i

3) (2 x − 3 y − 5) + i (x + 2y + 1) = 0 4) x + i y = (1 − i ) 2

5) ( x + i y) 2 = ( x − i y ) 2 6)3yi 2 x2

i3 2 yi x

−+

+++= i + 2

5 Pangkat dan akar bilangan kompleks

Hukum yang berlaku pada pemangkatan dan akar bilangan real berlaku pula pada bilangan

kompleks. Jika bilangan kompleks z = r . e i θ maka pangkat ke n dari z adalah:

z n = ni e.r

θ = r n . e θin = r n . ( cos nθ + i sin nθ) (5. 1)

dan akar ke n dari z adalah:

zn

1=

( ) n

1

i

e.r θ = r

n

1. e

n

iθ

= n

r .

θ+

θ

nsini

n cos

( 5 . 2)

Contoh 1: Tentukan harga (1 + i ) 8 .

Penyelesaian: Jika z = (1 + i) 8 berarti: x = 1 ; y = 1 → r = 2 dan tg θ = 1 → θ =

4

πsehingga dalam bentuk polar :

z = 4.i

e.2

π → z 8 =

8

4.i

e.2

π

= ( ) 82 . e π2i = 16 . e π2i

= 16 ( cos 2π + i sin 2π)

= 16.

Contoh 2:Berapakah akar pangkat 3 dari 8.

Kita pasti telah tahu bahwa akar pangkat 3 dari 8 adalah 22.. Itu sudah cukup jika kita

menganggap 8 sebagai bilangan real. Tetapi jika kita kita menganggap 8 adalah bilangan

komplekkompleks z = 8 + 0 i, maka berarti :

x = 8 ; y = 0 ; → r = 8 dan tg θ = 0 → θ = 0 ; 2π ; 4π ; 6π . . . . . = 2 nπ

Jadi:

Sebagai bilangan kompleks 8 = 8 . e πn2i

Jadi akar pangkat 3 dari 8 adalah :

z3

1= 8

3

1. e π

3

n2 i = 2 . e π

3

n2 i

= 2

π+π

3n2sini

3n2 cos




Untuk n = 0 → z3

1= 2

Untuk n = 1 → z3

1= 2 (cos 1200 + i sin 1200) = − 1 + i 3

Untuk n = 2 → z 3

1

= 2 (cos 2400

+ i sin 2400

) = −1 − i 3

Untuk n = 3 → z3

1= sama dengan untuk n = 0 .................... dst.

Jadi ada 3 macam harga 3 8 yaitu =

−−

+−

3i 1

3i 1

2

Soal 7.5 :

Tunjukkan semua harga dari akar-akar berikut:

1)4

1 2)

4

16 3) 3i22+

4)3

2i2 −

2.7. 6 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri Bilangan Kompleks

Fungsi eksponensial bilangan kompleks adalah fungsi eksponensial yang pangkatnya adalah

bilangan kompleks, jadi bentuknya adalah e z . Evaluasi harga e z dapat dilakukan dengan

menggu-nakan deret Maclaurin, tetapi juga dapat menggunakan sifat berikut:

Jika bilangan kompleks z = x + y i maka:

e z = e iyx + = e x . e iy = e x ( cos y + i sin y) (2.6.1)

Contoh: e π− i2

= e2

. e π− .i

= e2

. (cos −π + i sin −π) = e2

. (−1) = − e2

Sebelum ini kita telah mengenal formula Euler yang menunjukkan adanya hubungan yang

dekat antara fungsi komplekkompleks eksponensial dengan fungsi trigonometri. Jika kita tulis

kembali formula Euler dan kemudian θ diganti − θ maka kita peroleh:

e θi = cos θ + i sin θ

e θ− i = cos θ − i sin θ

Dari kedua persamaan Formula Euler di atas, maka sin θ dan cos θ dapat diperoleh yaitu:

sin θ =i2

ee ii θ−θ −

cos θ =2

ee ii θ−θ +

(2. 6.2)

Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi eksponensial di atas sangat baik untuk

menghitung integrasi fungsi trigonomeritrigonometri, sebab dengan mengubah fungsi

trigonometri ke bentuk eksponensial, peng-integralan-nya akan jauh lebih mudah.

Contoh:

Tentukan : ∫ dx3xcos2xcos .

Jawab:

cos 2x =2

ee x2ix2i −+ ; cos 3x =2

ee x3ix3i −+




cos 2x . cos 3 x =2

eex2ix2i −+

.2

eex3ix3i −+

=4

1 xi 5xixixi5

eeee −− +++

Jadi:

∫ dx3xcos2xcos =4

1 ( )∫ −− +++ xi 5xixixi5 eeee dx

=4

1

−+− −− xi5xixixi5

ei5

1 e

i

1 e

i

1 e

i5

1

=4

1

−+− −−

ei

1 e

i

1 e

i5

1 e

i5

1 xixixi5xi5

=4

1 ( ) ( )

−+− −−

eei

1 e e

i5

1 xixixi5xi5

Kita cari dulu:

=− − xi5xi5 e e (cos 5x + i sin 5x) − (cos 5x − i sin 5x) = 2 i sin 5x

xixi ee −− = (cos x + i sin x) − (cos x − i sin x) = 2 i sin x

Jadi:

∫ dx3xcos2xcos =4

1 ( ) ( )

+ sin xi2

i

1 5xsini2

i5

1

=4

1

+ sin x25xsin

5

2

=10

1sin 5x +

2

1sin x

Sejauh ini, pembicaraan kita mengenai fungsi trigonometri, selalu terbatas untuk sudut-

sudut real. Bagaimana jika sudut-sudutnya merupakan bilangan kompleks (z) ?. Untuk ini kitadapat memanfaatkan deret Maclaurin untuk sin z dan cos z. Tetapi akan lebih mudah jika kita

memanfaatkan persamaan 2.7.6.2 di atas, tetapi sudut θ yang real, diganti dengan z, sehingga:

sin z =i2

eezizi −−

cos z =2

eezizi −+

(7.6.3)

Contoh 1:

Tentukan harga cos i !. Jawab:

cos i =2

ee i.ii.i −+=

2

ee1 +−

=2

1e 1− + e

2

1=

e2

1+2

e= 1,543 ....

Soal 7.6 :

1) Buktikan bahwa cos 2 z + sin 2 z = 1 2) Buktikan bahwadz

dsin z = cos z

Evaluasilah integral berikut:

3) ∫

π

π−dx3xsin2xsin 4) ∫

π

π−dx3xosc

2




5) ∫ π

π−

dx4xsin26) ∫

π

0

dx4xcos3xsin

7.7 Fungsi Hiperbolik

Marilah kita evaluasi harga sin z dan cos z untuk z = i y (Bilangan imajiner murrain). Dengan

menggunakan persamaan (7.6.3) kita peroleh:

sin i y =i2

eeyy −−

= i2

ee yy −−(7.( 7. 1a)

cos z =2

eeyy +−

=2

eeyy −+

(7.( 7. 1b)

Selanjutnya komponen real ruas kanan persamaan (7.( 7. 1a) disebut sinh y (sinus hiperbolik y)

sedang ruas kanan (7.( 7. 1b) disebut cosh y (cosinus hiperbolik y) jadi:

sinh y =2

ee yy −−(7.( 7. 2a)

cosh y =2

eeyy −+

(7.( 7. 2b)

Hubungan antara sin dan sinh serta cos dengan cosh dapat diperoleh dengan cara menggabungkan

(7.( 7. 1a) dengan (7.( 7. 2a) dan (7.( 7. 1b) dengan (7.( 7. 2b), jadi:

sin iy = i sinh y atau sinh y = − i sin iy (7.( 7. 3a)

cos iy = cosh y atau cosh y = cos iy (7.( 7. 3a)

Dengan demikian dapat kita lihat bahwa sebenarnya fungsi hiperbolikus dari y, adalah fungsi

trigonometri dari iy, oleh karena itu operasi fungsi hiperbolikus dapat dilakukan dengan cara

mengubahnya menjadi fungsi trigonometri, dan selanjutnya kita dapat menerapkan aturan-aturan

fungsi trigonometri.

Contoh 1:

Tentukan harga cosh2x − sinh2x .

Jawab: cosh x = cos ix sedang sinh x = − i sin ix, jadi

cosh2x − sinh2x = (cos ix)2 − (−i sin ix)2 = cos2 ix + sin2 ix = 1

jadi: cosh2x − sinh2x = 1

Contoh 2:

Jika y = sinh x, tentukan dy/dx.

Jawab : y = sinh x = − i sin ix → dy = − i d sin ix = − i . i cos ix dx = cos ix dx = cosh x dx

jadi:

dy/dx = cosh x

Soal 7.7:

Tentukan komponen real (x) , komponen imajiner (y) dan harga abolutnya (r)

1) sin (x + iy) 2) cosh (2 − 3i) 3) sin (4 + 3i)

4) cosh 2π i 5) sin2

iπ6) sinh (1 +

2

iπ)

7.8 Logaritma

Menentukan harga w = ln z untuk z positif adalah sesuatu yang sangat mudah, karena

dapat kita selesaikan dengan melihat tabel atau dengan kalkulator, tetapi bagaimana jika z berharga

negatif. Kasus ini dapat diselesaikan jika z tersebut dipandang sebagai bilangan kompleks. Jika z

dipandang sebagai bilangan kompleks, maka:w = ln z = ln (r . e

i θ) = ln r + ln e

i θ= ln r + i θ




Aplikasinya kita lihat contoh berikut:

Contoh 1 :

Tentukan w = ln (- 1)

Untuk contoh di atas maka z = - 1. Untuk ini z = -1 harus kita ubah menjadi bentuk z = r . ei θ

melalui bentuk bilangan kompleks :

z = x + i yJika z = - 1 dipadankan dengan bentuk kompleks z = x + iy maka ia dapat dipandang sebagai

bilangan kompleks dengan x = -1 dan y = 0, sehingga :

r = 22 yx + = 1

sedang θ = arc tg (y/x) = arc tg (0/-1) = π + 2 n π, jadi:

z = -1 = 1 . ei (π + 2 n π)

, sehingga

w = ln z = ln (1) + i (π + 2 n π ) = iπ ; − i π ; 3 i π ; − 3i π ; 5 i π .... dst

Contoh 2:

Tentukan w = ln ( 1 + 2 i )

Jawab:

z = 1 + 2 i jadi x = 1 dan y = 2, sehingga:

r = 22 21 + = 5

θ = arc tg (2/1) = 1,1071 + 2 nπ Jadi:

w = ln ( 5 ) + i (1,1071 + 2 nπ ) = ...........

Soal 7.8 :Tentukan harga logaritma bilangan kompleks berikut:

1) ln (−e) 2) ln (− i) 3) ln (i + 3 )

7.9 Inversi Fungsi Trigonometri

Inversi fungsi trigonometri adalah menentukan besarnya sudut jika harga fungsi

trigonometrinya diketahui. Misalnya menentukan harga x jika cos x = 0,5. Kasus ini dapat ditulis x

= inversi dari cos 0,5 atau x = arc cos 0,5. Contoh kasus di atas adalah bentuk inversi trigonometriyang dengan mudah dapat kita selesaikan, tetapi seringkali dijumpai bahwa kita harus menghitung

besarnya sudut x, untuk cos x > 1. Hal seperti ini akan kita jumpai pada bahasan Efek Compton.

Pada pembicaraan mengenai Efek Compton dalam gejala kuantum kita akan sering

menjumpai perhitungan mencari besarnya sudut hamburan partikel yang dicari dari inversi fungsi

cosinus. Besarnya sudut hamburan tidak sulit dicari jika harga cosinusnya antara − 1 s/d 1. Tetapi

perhitungan efek Compton sering memaksa kita melakukan perhitungan mencari harga sudut yang

cosinusnya > 1. Penyelesaian untuk kasus seperti ini dapat kita lihat dari contoh berikut:

Tentukan z jika cos z = 2 atau tentukan z = arc cos 2.

Penyelesaian:

Jika z dianggap sebagai bilangan real, maka cos z = 2 tidak dapat diselesaikan, tetapi jika z bilangan

kompleks, maka berlaku:

cos z =2

ee iziz −+ = 2 atau : eiz

+ e−iz = 4

Jika eiz

diganti u, maka:

u + 1/u − 4 = 0 atau u2 − 4u + 1 = 0 sehingga u = eiz = 2 + 3

u = 2 + 3 dapat dipandang sebagai bilangan kompleks dengan x = 2 + 3 dan y = 0, jadi :

r = 22 yx + = x = 2 + 3

θ = arc tg

± 32

0= 0 + 2nπ

Maka:

u = 2 + 3 = r . eiθ

= (2 + 3 ). e2 n π i

ini = ei z

Jadi:




i z = ln (2 + 3 ) + ln (e2 n π i

) = ln (2 + 3 ) + 2 n π i

Dengan demikian:

z = 2 n π +i

1ln (2 + 3 ) = 2 n π − i ln (2 + 3 ) = 2 n π 1,317 i

Soal 7.9

Tentukan harga fungsi berikut

1) arc sin 2 2) arc cos 8i 3) arc sin (5/3)

Bil Komplex

Documents

Transcript of Bil Komplex