BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 - CỔNG THÔNG TIN ĐIỆN...

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 09 năm 2014

Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

1

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1 Giới hạn của dãy số

1.1.1 Ánh xạ, dãy số

Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x X với

một và chỉ một phần tử y Y gọi là một ánh xạ.

Ký hiệu

f : X Y, x y f (x)

Hay

f : X Y

x y f (x)

Ánh xạ *u : N R , n u(n) gọi là một dãy số

Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n).

Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ...

Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un).

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa

Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a) nếu > 0, n0 N sao cho

n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: nnlim u a

, limun = a hay un a.

Một số giới hạn cần nhớ

limC = C (C là hằng số)

lim1

n = 0 (với > 0)

limqn = 0 (với |q| < 1)

Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lí 3

Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ.

Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ.

Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có:

i) lim(an bn) = liman limbn

ii) lim(anbn) = liman.limbn

iii) Nếu limbn 0 thì n n

n n

a limalim

b limb

iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn

Hệ quả: Nếu an ≤ bn cn và liman = limcn = L thì limbn = L


2

1.1.3. Giới hạn vô hạn:

Cho dãy số (an)n .

– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0 N sao cho an > M n > n0 thì ta nói

dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = + hay an + .

– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0 N sao cho an < – M n > n0 thì ta nói

dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = – hay an – .

Chú ý: limun = thì limn

10

u

1.2 Giới hạn của hàm số

1.2.1 Hàm số

a. Định nghĩa

Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X Y, x y = f(x) được gọi

là hàm số.

x được gọi là biến độc lập

y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x

X được gọi là tập xác định của hàm f.

Quy ước

Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x).

Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa

Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x D}

b. Hàm số ngược

Cho hàm số f : X Y, x y = f(x)

Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số

g : Y X

y x = g(y)

gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1

Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:

f(x) = y f – 1(y) = x

f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x

Định lí:

Nếu f : D T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T D

c. Các hàm số sơ cấp cơ bản

1) Hàm lũy thừa y = x ( R*)

2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a 1)

3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a 1)

4) Các hàm lượng giác


3

5) Các hàm lượng giác ngược

a) Hàm số sin :

2;

2

[–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.

Ký hiệu là y = arcsin x.

Vậy hàm

arcsin: [ 1;1] ;2 2

x y arcsinx

trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin.

b) Hàm số y = cos x

Hàm ắc-cô-sin là hàm

arccos: [ 1;1] 0;

x y arccosx

trong đó cosy = x

c) Hàm số y = tanx

Hàm ắc-tang là hàm

arctan: R ;2 2

x y arctan x

trong đó tany = x

d) Hàm số y = cotx

Hàm ắc-cô-tang là hàm

arccot: R 0;

x y arccotx

trong đó coty = x

Ví dụ:

3arcsin

2 3

arctan14

1 2arccos

2 3


4

1.2.2. Giới hạn của hàm số

a. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L

được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n ,

xn x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết 0x x

lim f (x) L

b. Một số giới hạn cần nhớ

0x x

lim C C

0

0x xlim x x

xlim arctan x

2

x

x 0 x 0 x 0

sinx e 1 ln(1 x)lim 1 ; lim 1 ; lim 1

x x x

c. Tính chất

Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x x0 (nếu có) là duy nhất.

Định lí 2: Nếu f(x) g(x) x U0 và 0x x

lim f (x) L

, 0x x

lim g(x) L'

thì L L'.

Định lí 3: (nguyên lý kẹp)

Nếu h(x) f(x) g(x) x U0 và 0 0x x x x

lim h(x) lim g(x) L

thì 0x x

lim f (x) L

Định lí 4: Giả sử 0x x

lim f (x) a

; 0x x

lim g(x) b

. Khi đó:

i) 0x x

lim f (x) g(x)

a b

ii) 0x x

lim f (x).g(x)

a.b

iii) Nếu b 0 thì 0x x

f (x) alim

g(x) b

1.2.3 vô cùng bé

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng

bé (VCB) khi x x0 nếu 0x x

lim f (x) 0

.

Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x x0, khi đó:

– Nếu 0x x

f (x)lim 0

g(x) thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là

VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x))

– Nếu 0x x

f (x)lim 1

g(x) thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và

ký hiệu là f(x) ~ g(x).

– Nếu 0x x

f (x)lim A

g(x) R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0


5

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 0

0

.

i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0.

ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x x0 thì 0 0x x x x

f (x) F(x)lim lim

g(x) G(x) .

1.2.4. Vô cùng lớn

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng

lơn (VCL) khi x x0 nếu 0x x

lim | f (x) |

.

Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x x0, khi đó:

– Nếu 0x x

f (x)lim

g(x) thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là

VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x x0. Kí hiệu f(x) >> g(x)

– Nếu 0x x

f (x)lim 1

g(x) ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký

hiệu là f(x) ~ g(x).

Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định

.

i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0.

ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x x0 thì 0 0x x x x

f (x) F(x)lim lim

g(x) G(x) .

Chú ý: Khi x +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0.

1.3 Hàm số liên tục

1.3.1 Định nghĩa

f liên tục tại x0 0

0x xlim f (x) f (x )

f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x (a;b)

f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và x a x blim f (x) f (a); lim f (x) f (b)

1.3.2 Tính chất

Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó.

Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá

trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b].


6

Bài tập chương 1

1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết

a) 3 2

(n 1) n 3lim

n 3n 10

b)

1

n 1 n

u 0

u 2 u

1.2. Tính các giới hạn:

a) A = 3

x 2

x 2 x 6lim

x 2

b) B =

3x 0

sinx t anxlim

x

1.3. Xét tính liên tục các của hàm số:

a) 2

1 cosx,x 0

xf (x)

1,x 0

2

b)

1x.sin ,x 0

f (x) x

0 ,x 0


7

CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ

2.1. Đạo hàm của hàm một biến

2.1.1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại

điểm x0 (a, b) nếu tồn tại giới hạn 0

0

x x0

f (x) f (x )lim A

x x

.

Số A nói trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Ký hiệu f’(x0).

Nếu hàm số f(x) khả vi tại mọi điểm x (a, b) thì ta nói rằng f(x) khả vi trong

khoảng (a; b).

Nhận xét: Nếu đặt x = x – x0 thì biểu thức định nghĩa trở thành

0 00

x 0

f (x x) f (x )f '(x ) lim

x

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

a. (u + v) = u + v

b. (u – v) = u – v

c. (uv) = uv + vu

d. 2

u u v v u

v v

với v 0.

e. [f(u(x))] = f (u(x)).u(x)

2.1.3. Đạo hàm của hàm số ngược

Định lí: Giả sử f: (a; b) (c; d) là một song ánh liên tục, g = 1f : (c; d) (a; b) là

hàm số ngược của nó, đặt y0 = 1f (x0). Nếu f có đạo hàm tại y0(a; b) và f’(y0) 0

thì 1f có đạo hàm tại x0 và

10

0

1f (x )

f '(y ) .

(a) y = arcsinx là hàm số ngược của x=siny, –2

< y <

2

. Vì x’(y) = cosy, nên

y’(x) = 2 2

1 1 1

cos y 1 sin y 1 x

Tương tự như vậy, ta có

(b) y = arccosx có đạo hàm y’ = 2

1

1 x

(c) y = arctanx có đạo hàm y’ = 2

1

1 x

(d) y = arctanx có đạo hàm y’ = 2

1

1 x


8

2.1.3. Đạo hàm của các hàm cơ bản

α α 1x ' α.x α α 1u ' α.u '.u

x x

x x

e ' e

a ' a ln a

u u

u u

e ' u '.e

a ' u '.a .ln a

a

1ln x '

x

1log x '

x.ln a

a

u 'ln u '

u

u 'log u '

u.ln a

2

2

2

2

sin x ' cos x

cos x ' sin x

1tan x ' 1 tan x

cos x

1cot x ' 1 cot x

sin x

2

2

2

2

sin u ' u '.cosu

cosu ' u '.sin u

u 'tan u ' u '. 1 tan u

cos u

u 'cot u ' u '. 1 cot u

sin u

2

2

2

2

1arcsin x '

1 x

1arccos x '

1 x

1arc tan x '

1 x

1arccot x '

1 x

2

2

2

2

u 'arcsin u '

1 u

u 'arccosu '

1 u

u 'arc tan u '

1 u

u 'arccot u '

1 u

2.1.4. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong khoảng (a, b), giả sử f(x) khả vi tại mọi

điểm x (a, b); khi đó, hàm đạo hàm f’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của

f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), kí hiệu f’’(x), cứ tiếp tục suy diễn như

thế chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp n.

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b), f(x) được gọi là khả vi n lần trong

(a, b) nếu f là khả vi (n–1) lần trong (a; b) và đạo hàm cấp (n–1) của f cũng khả vi.

Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức: (n) (n 1) 'f (x) f (x)

Ví dụ 1: Tính đạo hầm cấp 3 của các hàm số sau tại điểm x = 0.

a) y = arctanx b) y = arcsinx

c) y = ln(1 + x) d) y = 3 3x 1


9

Ví dụ 3: Chứng minh

a) (n)x xe e b)

n 1(n)

n

( 1) .(n 1)!ln(1 x)

(1 x)

c) (n)

sinx sin x n2

d)

(n)cosx cos x n

2

2.2. Vi phân

2.2.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học quan hệ với đạo hàm

Từ định nghĩa, một hàm số f(x) khả vi tại x, ta có

f(x+x) – f(x) = f’(x) x + o(x)

Tích số f’(x) x được gọi là vi phân của f tại điểm x, ký hiệu là df(x).

Vậy df (x)=f’(x) x

Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx=(1).x, nghĩa là dx=x. Do vậy công thức

vi phân có thể viết dạng

df(x) =f’(x)dx

2.2.2. Vi phân cấp cao

Định nghĩa vi phân cấp cao

Vi phân cấp hai của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của df (vi

phân df bây giờ được gọi là vi phân cấp một), nếu ký hiệu vi phân cấp hai là d 2 f,

thì theo định nghĩa

d2f(x) = d(df(x))

Tổng quát, vi phân cấp n của y=f(x), kí hiệu là dny hay dnf(x) là vi phân của vi

phân cấp (n –1): dny = d(d dn–1y)

2.3. Công thức TayLor

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n trên [a;b] và có đạo hàm đến cấp (n+1) trên

(a;b) thì x, x0 (a;b) tồn tại c = x0 + t(x–x0) với 0 < t < 1 sao cho (n) (n 1)

n n 10 00 0 0 0

f (x ) f (x ) f (c)f (x) f (x ) (x x ) ... (x x ) (x x )

1! n! (n 1)!

Đặc biệt, khi x0 = 0 ta có (n) (n 1)

n n 1f (0) f (0) f (c)f (x) f (0) x ... x x

1! n! (n 1)!

công thức trên gọi là công thức Mac Laurin

Hơn nữa, nếu M sao cho |f(n+1)(x)| < M, x(a,b). Khi x 0, ta có (n)

n nf (0) f (0)f (x) f (0) x ... x o(x )

1! n!


10

Ví dụ 3: Chứng minh. Khi x 0 ta có

a) 2 3 n

x nx x xe 1 x ... o(x )

2! 3! n!

b) 2 3 4 n

n 1 nx x x xln(1 x) x ... ( 1) . o(x )

2 3 4 n

c) 3 5 7 2n 1

n 2n 1x x x xsinx x ... ( 1) . o(x )

3! 5! 7! (2n 1)!

d) 2 4 6 2n

n 2nx x x xcosx 1 ... ( 1) . o(x )

2! 4! 6! (2n)!

2.4 Quy tắc L’Hospital (Khử dạng vô định 0

và0

)

Nếu x a x alimf (x) limg(x) 0

( hoặc ∞ ) và

x a

f (x)lim A R

g (x)

thì

x a

f (x)lim A

g(x)

Chú ý: Phương pháp khử dạng vô định 00; 0; 1

x alim v(x).ln u(x)v(x)

x alimu(x) e


11


2.1. Tính các giới hạn sau:

a) x

x

x

21

arctan( 1)lim

1 b)

0

1 2 1lim

sin 3x

x

x

c) x e

x

x e

2ln 2lim d)

x x

x

e e

x

2

0limln(1 )

e) x

x

x 2 2

sinlim f)

1

lim x

xx

g) x

xx

1

sin

0lim cos h)

x

xx

3cot3

0lim 1

h)

x

x

x

x

222

2

2lim

1 k)

x

x

x

x

232

2lim

1

2.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x0 = 0 (nếu có).

a)

xx

xf x

x

arctan, 0

2( )1

, 02

b)

xe xx

f x xx

2 cos, 0

( )2 , 0

c)

2

, 0( )

1 , 0

x xe ex

f x xx

d) 2

1 cos, 0

( )1

, 02

xx

xf x

x


12

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1. Nguyên hàm, tích phân bất định

3.1.1. Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm số F(x) xác định trong (a, b) gọi

là một nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x(a, b).

Ví dụ.

4x

4 là nguyên hàm của x3 với mọi x R vì

'43x

x4

.

4x

4 + 10 là nguyên hàm của x3, với mọi x R vì

'43x

10 x4

.

4xC

4 là nguyên hàm của x3, C là hằng số bất kỳ vì

'43x

C x4

Định lí sau đây tổng quát hóa các ví dụ trước.

Định lí 1.

Giả sử F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f(x) với mọi x(a, b).

Khi đó:

i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) với mọi x(a, b).

ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) với mọi x(a, b) đều có dạng F(x) + C .

3.1.2. Tích phân bất định

a. Định nghĩa

Từ Định lí trên ta thấy rằng nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x), x(a, b), thì

biết vô số nguyên hàm khác của f(x) và các nguyên hàm đó có dạng F(x) + C với C

là hằng số tùy ý; họ vô số nguyên hàm của f(x) đó, x(a, b) được gọi là tích phân

bất định của f(x), x(a, b) và ký hiệu là f (x)dx : = F(x) + C.

Ký hiệu gọi là dấu tích phân; x gọi là biến lấy tích phân; f(x) là hàm số lấy tích

phân; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

Trở lại ví dụ trên ta có: 4

3 xx dx C

4

b. Tính chất

Nếu F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x) và g(x), x(a, b) thì

Af (x) Bg(x) dx = A f (x)dx B g(x)dx

= AF(x) + BG(x) + C.

với A, B là hai hằng số tùy ý.


13

3.1.3. Bảng tích phân các hàm số thông dụng

Từ bảng đạo hàm các hàm số thông dụng ta suy ra bảng tích phân, gọi là bảng tích

phân cơ bản. 1x

x dx C1

, 1

dxln x C

x

x xe dx e C

xx a

a dx Cln a

sin x.dx cos x C

cos x.dx sin x C

2

2

1dx (1 cot x)dx cotgx C

sin x

2

2

1dx (1 tan x)dx tan x C

cos x

2

dxarctan x C

x 1

2

dxarcsin x C

1 x

2 2

dx 1 xarctan C

x a a a

2 2

dx xarcsin C

aa x

2 2

2 2

dxln x x a C

x a

3.1.4. Các phương pháp tính tích phân bất định

a. Phương pháp phân tích dẫn đến tích phân cơ bản

Ví dụ:

i) I = x 1

dxx

= 1 2 1 2 1 2 1 2 2

(x.x x )dx x dx x dx x x 2 x C3

.

ii) I = 2 2

2 2 2

x 1 x 1 1dx dx 1 dx x arctan x C

1 x 1 x 1 x


14

b. Phương pháp đổi biến số

Trong nhiều trường hợp, khi tính ( )f x dx ; nếu để biến tích phân là x thì không

thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng tích phân cơ bản nào (để có thể áp

dụng được tích phân cơ bản), khi đó ta tìm cách đổi sang biến mới, để hy vọng với

biến mới thì tích phân cần tính gần với tích phân cơ bản hơn. Không có một quy

tắc cụ thể nào giúp ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có

thể phát biểu một cách tổng quát về quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề:

Mệnh đề

Nếu biết rằng g(t)dt = G(t) + C thì 'g(w(x))w (x)dx = G(w(x)) + C

(trong đó các hàm số g(t), w(x), w’(x) đều được giả thiết là những hàm số liên tục).

Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t: = w(x), và

khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành

f(x)dx = g(w(x))w’(x)dx

Khi đó tìm được nguyên hàm G(t), chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có:

f (x)dx = g(t)dt = G(w(x)) + C.

c. Phương pháp tích phân từng phần

udv uv vdu

Ví dụ:

i) Tính I = ln xdx .

Đặt u = lnx; dv = dx, khi đó: du = 1

xdx ; v = x.

I = ln xdx = xlnx – dx = x(lnx–1) + C

ii) Tính I = arctan xdx .

Đặt u = arctanx; dv = dx và có: du = 2

1

1 xdx; v = x.

I = x.arctanx – 2

xdx

1 x = x.arctanx – 1

2ln(x2 +1) + C.

iii) Tính I = x cos xdx

Đặt u = x, dv = cosxdx; ta có: du = dx; v = sinx và được:

I = xsinx – sin xdx = xsinx + cosx + C

iv) Tính I = x(3x 1)e dx

Đặt u = 3x +1, dv = exdx; ta có: du = 3dx; v = ex.

I = (3x+1)ex – x3e dx = (3x+1)ex – 3ex + C = (3x – 2)ex + C


15

3.1.5. Tích phân của một số hàm thường gặp

a. Tích phân của hàm hữu tỷ

- Tích phân của các phân thức đơn giản

I. A

dxx a II.

( )k

Adx

x a

III. 2

Mx Ndx

x px q

IV. 2( )m

Mx Ndx

x px q

trong đó A, M, N, a, p, q R; k, m nguyên dương, ngoài ra ta giả thiết q2

4

p > 0.

Trước hết, ta thấy rằng hai dạng I và II đã quen thuộc:

Adx

x a = A dx

x a = Aln x a + C

( )k

Adx

x a = A( )k

dx

x a = 1

1.

1 ( )k

A

k x a

+ C (k 1)

Muốn tính các tích phân dạng III và IV, chúng ta biểu diễn x2 + px + q dưới dạng

x2 + px + q = 2 2

2 4

p px q

.

Theo giả thiết, q – 2

4

p > 0 nên ta đặt a2 = q –

2

4

p, với a =

2

4

pq .

Bây giờ thực hiện phép đổi biến x + 2

p = t; dx = dt

x2 + px + q = t2 + a2, Mx + N = Mt + 2

MpN

.

Khi đó tích phân dạng III sẽ là

2

Mx Ndx

x px q

= 2 2

2

MpMt N

dtt a

=

2 2 2 2

2

2 2

M tdt Mp dtN

t a t a

= 2 2 1ln( )

2 2

M Mp tt a N arctg

a a

+ C

Cùng với phép đổi biến như trên, tích phân dạng IV sẽ là:

2( )m

Mx Ndx

x px q

= 2 2

2

( )m

MpMt N

dtt a

= =

2 2 2 2

2

2 ( ) 2 ( )m m

M tdt Mp dtN

t a t a

Có thể tính tích phân thứ nhất của vế phải bằng cách đổi biến

đặt u = t2 + a2 2tdt = du

2 2 1

2 1 1.

( ) 1m m m

tdt du

t a u m u

+ C = 2 2 1

1 1.

1 ( )mm t a

+ C

và 2 2 m

dt

(t a ) đặt t = a.tanu


16

Định lí

Mọi đa thức bậc n, với hệ số thực:

Q(x) = 0 1 ... ; 0nn na a x a x a

đều có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

không có nghiệm thực trong đó có thể có những thừa số trùng nhau:

Q(x) = 2 2( ) ( ) ...( ) ...( )na x a x b x px q x lx s

Trong đó a, b,…R: p 2 – 4q < 0, ..., l2 – 4s < 0 và ... 2( ... ) n .

Khi đó phân thức thực sự tương ứng P(x)

Q(x) có thể phân tích thành tổng các phân

thức tối giản:

1 22

1 22

1 1 2 22 2 2 2

1 1 2 22 2 2 2

P(x) A A A...

Q(x) x a (x a) (x a)

BB B... ...

x b (x b) (x b)

M x NM x N M x N...

x px q (x px q) (x px q)

P x Q P x Q P x Q... .....

x lx s (x lx s) (x lx s)

trong đó A1, ..., A , B1, ..., B , ..., M1, N1, ..., M , N , P1, Q1, ..., P , Q là các

hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu

qua các ví dụ dưới đây.

(a) Phân tích 2 2 6

( 1)( 2)( 4)

x x

x x x

thành tổng các phân thức tối giản.

Từ Định lí đại số trên ta có: 2 2 6

( 1)( 2)( 4)

x x

x x x

1 2 4

A B C

x x x

Đs: 2 2 6

( 1)( 2)( 4)

x x

x x x

=

3 7 5

1 2 4x x x

(b) Phân tích 2

3

1

( 1) ( 3)

x

x x

thành tổng các phân thức tối giản.

Dùng Định lí đại số trên ta có: 2

3

1

( 1) ( 3)

x

x x

= 1 2

3 23 ( 1) ( 1) 1

B BA B

x x x x


17

b. Tích phân các biểu thức lượng giác

Giả sử cần tính tích phân I = (sin ,cos )R x x dx trong đó R(u, v) là một biểu thức hữu

tỷ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép

tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến:

t = tan2

x, – < x < x = 2arctant; dx =

2

2

1

dt

t(chú ý: sinx=

2

2

1

t

t; cosx=

2

2

1

1

t

t)

Do đó, có thể đưa tích phân I về dạng

I = 2

2 2 2

2 1 2,

1 1 1

t t dtR

t t t

và rõ ràng đây là biểu thức dưới dấu tích phân là hữu tỷ đối với t.

c. Tích phân các biểu thức dạng 2 2( , )R x x dx và 2 2( , )R x x dx .

Ta để ý rằng hàm dưới dấu các tích phân trong cả hai tích phân 2 2( , )R x x dx và

2 2( , )R x x dx không hữu tỷ đối với biến x (vì x còn chứa trong dấu căn thức),

nhưng R(u, v) thì lại hữu tỷ đối với u và v, do vậy muốn tính các loại tích phân đó

người ta tìm cách đổi biến hoặc đồng thời đổi biến và tích phân từng phần với hy

vọng, với biến mới thì biểu thức dưới dấu tích phân trở nên hữu tỷ đối với biến

mới; trong trường hợp này, người ta tìm cách khử căn thức. Chẳng hạn: với tích

phân 2 2( , )R x x dx

người ta thường dùng phép biến đổi x:= tgt.

Với tích phân 2 2( , )R x x dx người ta thường dùng phép đổi biến x:= sint, hay

x:= cost.

Với tích phân 2 2( , )R x x dx người ta thường dùng phép đổi biến x:= cos t

Ví dụ: Tính I = 2 2a x

dxx

, a > 0.

Thực hiện phép đổi biến x:= asint; –2

t

2

, khi đó dx = acostdt;

2 2 cos cosa x a t a t , vì cost 0.

Vậy: I = 2 2cos 1 sin

sin .sin sin sin

t t dta dt a dt a a t dt

t t t

=

= a ln2

ttg + acost + C = a ln

1 cos

sin sin

t

t t + acost + C

= a ln2 2a a x

x

+ 2 2a x + C.


18

3.2. Định nghĩa tích phân xác định

3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những

khoảng nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, trong mỗi khoảng [xi–1;xi]

lấy một điểm i tùy ý sao cho:

1i i ix x (i = 1, 2, ..., n)

và lập tổng := 1

( )n

i ii

f x

với 1:i i ix x x ( i = 1,n )

Dĩ nhiên tổng là một số xác định; số đó phụ thuộc i và phụ thuộc cách chọn

phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Nếu khi n tăng vô hạn (n ) sao cho 1max : , 0i

i n

; với :i ix ( i = 1,n ),

có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ thuộc cách chọn điểm i , và

không phụ thuộc cách chọn phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

0( )

limn

I

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) lấy trên khoảng đóng [a, b] và

ký hiệu là I = b

a

f (x)dx

Khi đó ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảng lấy tích

phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy tích phân và f(x)dx

là biểu thức dưới dấu tích phân.

b. Một số lớp hàm khả tích

Định lí 1. Nếu f(x) liên tục trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].

Định lí 2. Nếu f(x) bị chặn trong [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong

[a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].

Định lí 3. Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a, b] thì khả tích trong [a, b].

c. Tính chất của tích phân xác định

Tính chất 1.

(i) Có thể đưa thừa số là hằng số ra ngoài dấu tích phân:

. ( )b

a

C f x dx = C ( )b

a

f x dx

(ii) Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân:

( ) ( )b

a

f x g x dx = b

a

f (x)dx + ( )b

a

g x dx


19

Tính chất 2.

Cho ba khoảng đóng [a, b], [a, c] và [c, b], nếu f(x) khả tích trên khoảng có độ dài

lớn nhất thì cũng khả tích trên hai khoảng còn lại và: b

a

f (x)dx = ( )c

a

f x dx + ( )b

c

f x dx .

Tính chất 3. (trong tính chất này: a < b)

(i) Nếu f(x) 0, x [a, b] b

a

f (x)dx 0

(ii) Nếu f(x) g(x), , x [a, b] b

a

f (x)dx ( )b

a

g x dx

(iii) Nếu f(x) khả tích trên [a, b] ( )f x khả tích trên [a, b] và ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx

(iv) Nếu m f(x) M, x [a, b] m(b–a) b

a

f (x)dx M(b–a)

Tính chất 4.

(i) Định lí trung bình thứ nhất.

Giả sử f(x) khả tích trên [a, b], (a < b) và giả sử m f(x) M, với x [a, b], khi

đó tồn tại : b

a

f (x)dx = (b–a), m M.

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a, b], tồn tại c [a, b] b

a

f (x)dx = f(c)(b–a).

(ii) Định lý trung bình thứ hai.

Giả sử:

(1) f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a, b].

(2) m f(x) M.

(3) g(x) không đổi dấu trong [a, b]: g(x) 0 (g(x) 0).

Khi đó:

( ) ( )b

a

f x g x dx = ( )b

a

g x dx , m M.

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a, b], có:

( ) ( )b

a

f x g x dx = f(c) ( )b

a

g x dx , a c b.


20

3.2.2. Các phương pháp tính tích phân xác định

a. Công thức Newton–Leibnitz

Nếu f(x) liên tục và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì b

a

f (x)dx = F(b) – F(a)

b. Phương pháp đổi biến số trong tích phân xác định

Định lí. (Đổi biến x:= (t)

Xét tích phân b

a

f (x)dx , với f(x) liên tục trong [a, b].

Giả sử thực hiện phép đổi biến x = (t) thỏa:

(1) (t) có đạo hàm liên tục trong ,

(2) (t) = a, (t) = b

(3) Khi t biến thiên trong , thì x biến thiên nhưng không ra ngoài khoảng liên

tục của hàm số f(x). Khi đó

b

a

f (x)dx = '( ) ( )f t t dt

Ví dụ. Tính I: = 2

2

0

4 x dx (Hd: Đặt x:= 2sint)

Định lí. (Đổi biến t:= (x)).

Xét tích phân b

a

f (x)dx , với f(x) liên tục trong [a, b].

Nếu phép đổi biến t:= (x) thỏa:

(1) (x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

(2) f(x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng

[ (a), (b)] thì:

b

a

f (x)dx = ( )

( )

( )b

a

g t dt

Ví dụ. Tính I = 2

2

0

cos

1 sin

xdx

x

.

Đổi biến t = sinx, hàm số t = sinx đơn điệu trên 0,2

. I = 1

2

01

dt

t = 1

0 4arctgt

c. Phương pháp tích phân từng phần

( )b

a

d uv = b

a

udv + b

a

vdu


21

3.3. Tích phân suy rộng

3.3.1. Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a, + ) và khả tích trên [a, t] với mọi t > a

Nếu tồn tại t

ta

lim f (x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số

f(x) trong khoảng [a, + ) và ký hiệu a

f (x)dx

Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ và viết a

f (x)dx

:=t

ta

lim f (x)dx

Tương tự a

f (x)dx =

a

tt

lim f (x)dx

f (x)dx

=

a

f (x)dx +

a

f (x)dx

, a

Ví dụ: Tính a

dxI (a 0, R)

x

(Hd: > 1 hội tụ; 1 phân kỳ)

b. Sự hội tụ của tích phân suy rộng có cận là vô cùng

Định lí. (tiêu chuẩn so sánh).

Cho hai hàm số f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a, t] với mọi t > a. Giả sử

tồn tại số M sao cho f(x ) ≤ c.g(x) với mọi x ≥ M. Khi đó,

Nếu a

g(x)dx

hội tụ thì a

f (x)dx

hội tụ.

Nếu a

f (x)dx

phân kỳ thì a

g(x)dx

phân kỳ.

Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên [a;t],t > a. Giả sử

x

f (x)lim k

g(x)

i) Nếu 0 < k < + thì a

f (x)dx

và a

g(x)dx

sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

ii) Nếu k = 0 thì tồn tại M sao cho f(x) c.g(x) x ≥ M (kết luận như định lí)

iii) Nếu k = + thì tồn tại M sao cho f(x) ≥ c.g(x) x ≥ M (đổi vài trò của f và g)

Định lí: Nếu a

f (x) dx

hội tụ thì a

f (x)dx

hội tụ.


22

3.3.2. Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn

a. Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a;b) và khả tích trên [a, t] với mọi a< t < b

Nếu tồn tại t

t ba

lim f (x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số

f(x) trong khoảng [a, b] và ký hiệu b

a

f (x)dx

Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ và viết b

a

f (x)dx :=t

t ba

lim f (x)dx

Tương tự, nếu f(a)=+∞ ta có: b

a

f (x)dx :=b

t at

lim f (x)dx

Nếu f(c)=+∞ ( c (a;b)) ta định nghĩa b

a

f (x)dx =c

a

f (x)dx +b

c

f (x)dx

Ví dụ: Tính b

a

dxI

(x a)

(Hd: < 1 hội tụ; ≥ 1 phân kỳ)

b. Định lí. (tiêu chuẩn so sánh).

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số không âm, khả tích trên [t;b] với mọi t (a;b] (a là

điểm bất thường). Giả sử tồn tại c (a;b] sao cho f(x) k.g(x), x(a;c]. Khi đó,

Nếu b

a

g(x)dx hội tụ thì b

a

f (x)dx hội tụ;

Nếu b

a

f (x)dx phân kỳ thì b

a

g(x)dx phân kỳ.

Hệ quả:

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số không âm, khả tích trên [t;b] với mọi t (a;b] (a là

điểm bất thường). Giả sử

x a

f (x)lim k

g(x)

i) Nếu 0 < k < + thì b

a

f (x)dx và b

a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

ii) Nếu k=0 thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x) k.g(x),x(a;c] (kết luận như định lí)

iii) Nếu k=+ thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x)≥ k.g(x),x(a;c] (ngược với định lí)


23


3.1 Tính các tích phân suy rộng sau:

a) dx

x x

21 2 5

b) 2

1 4 5

dx

x x

c) 2

3

(4 2)

( 2)( 1)

x dx

x x

d)

xdx

x x

2 22 ( 1)( 2)

e) x

x

e dx

e

2ln 2 4

f) xdx

x

42

4

g) dx

x x

4( 4)

h)

e

dx

x x

2

2(ln 4)

i) x dx

x

2

61 1

k)..

1

20

2

1

xdx

x

3.2. Xét sự hội tụ phân kì của tích phân suy rộng sau:

a) 23

1 1 1

dx

x x b)

21

ln(1 )

xdx

x

c)

1 3

0ln(1 ) x dx

x x d)

1 3

01 x

x dx

e x


24

CHƯƠNG 4. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

4.1. Ma trận

4.1.1. Khái niệm ma trận

a. Định nghĩa

Một bảng số có m hàng n cột dạng

A =

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a ... a

a a ... a

... ... ... ...

a a ... a

gọi là một ma trận cỡ mn.

aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j. Để ký hiệu ma trận

người ta dùng hai dấu ngoặc vuông như ở trên hay hai dấu ngoặc tròn

Ta có thể viết rút gọn ma trân trên thành A = ij m na

.

Ví dụ. Bảng số A = 1 2 4

3 6 5

là một ma trận cỡ 23 với các phần tử

a11 = 1, a12 = 2, a13 = 4, a21 = 3, a22 = 6, a23 = 5.

b. Một số ma trận đặc biệt

i) Ma trận không

Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không.

Ma trận không ký hiệu là m nO hay O khi cấp của ma trận đã được chỉ rõ.

ii) Ma trận vuông

Khi m = n, ta gọi nó là ma trận vuông cấp n. Khi ấy, thay cho A = ij m na

ta sẽ viết

A = ij na .

Đối với mỗi ma trận vuông A = ij na , các phần tử có hai chỉ số bằng nhau a11,

a22,…, ann nằm trên một đường chéo của hình vuông mà ta gọi là đường chéo chính

của A. Đường chéo còn lại của hình vuông gọi là đường chéo phụ của A.

iii) Ma trận chéo

Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường

chéo chính đều bằng không. Như vậy nếu D là một ma trận chéo cấp n thì D có

dạng:

D =

1

2

n

d 0 ... 0

0 d ... 0

... ... ... ...

0 0 ... d

.


25

iv) Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n đã được chỉ rõ), là

ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. Vậy

I =

1 0 ... 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

.

v) Ma trận tam giác

11 12 1n

22 2n

mn

a a ... a

0 a ... a

... ... ... ...

0 0 ... a

11

21 22

m1 m2 mn

a 0 ... 0

a a ... 0

... ... ... ...

a a ... a

4.1.2. Các phép toán trên ma trận

a. Phép cộng ma trận

Định nghĩa

Cho hai ma trận cùng cấp m n. A = ij m na

, B = ij m n

b

. Tổng A + B là ma

trận cấp m n xác định bởi A + B = ij m nc

, với ij ij ijc a b .

Như vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử cùng vị trí.

Ví dụ.

41

32 +

32

75 =

3421

7352 =

11

107.

Tính chất

A + B = B + A

A + O = O + A = A

Nếu gọi – A = ij m na

thì còn có A + (–A) = (–A) + A = O

Nếu có thêm ma trận C với C = ij m nc

thì (A + B) + C = A + (B + C).

b. Phép nhân ma trận với một số

Định nghĩa

Cho ma trận A = ij m na

, kR tích kA là ma trận cấp m n xác định bởi

kA= ij m nka

.

Ví dụ:

2

27

43 =

)2.(27.2

4.23.2 =

414

86


26

Tính chất

k(A + B) = kA + kB

(k + h)A = kA + hA

k(hA) = (kh)A

1.A = A ; 0.A = O

c. Phép nhân ma trận với ma trận

Định nghĩa

Xét hai ma trận A = ij m pa

, B = ij p n

b

(chú ý số cột của ma trận A bằng số hàng

của ma trận B). Người ta gọi tích AB là ma trận C = ij m nc

có m hàng n cột với

p

ij i1 1j i2 2 j ip pj ik kjk 1

c a b a b ... a b a b

Cách tính cij có thể hình dung bằng sơ đồ

1ia 2ia ... ipa

pj

j

j

b

b

b

...

2

1

và có thể nói tắt: cij bằng hàng i của A nhân với cột j của B.

Tính chất

A(B + C) = AB +AC

(B + C)A = BA + CA

k(BC) = (kB)C = B(kC)

d. Phép chuyển vị

Cho A = ij m na

là ma trận cấp m n trên R. Ta gọi là chuyển vị của A, kí hiệu

A t , một ma trận cấp n m trên R có được từ A bằng cách xếp các dòng của A

thành các cột tương ứng của A t :

A=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A t =

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

m

m

n n mn

a a a

a a a

a a a

4.2. Định thức

4.2.1. Khái niệm định thức

Xét ma trận cấp n:

A=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a


27

Ta chú ý đến các phần tử ija , bỏ đi hàng i và cột j ta thu được ma trận chỉ còn n – 1

hàng và n – 1 cột, tức là ma trận cấp n – 1. Ta kí hiệu nó là ijM và gọi nó là ma trận

con ứng với phần tử ija .

Chẳng hạn, với A = 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

, ta có

22 23

11

32 33

a aM

a a

, 21 23

12

31 33

a aM

a a

, 21 22

13

31 33

a aM

a a

12 13

21

32 33

a aM

a a

, 11 13

22

31 33

a aM

a a

, 11 12

23

31 32

a aM

a a

12 13

31

22 23

a aM

a a

, 11 13

32

31 33

a aM

a a

, 11 12

33

21 22

a aM

a a

Định nghĩa.

Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A) hay |A|, được định nghĩa dần dần như

sau:

A là ma trận cấp 1: A = 11a thì det(A) = 11a .

A là ma trận cấp 2: A= 11 12

21 22

a a

a a

thì det(A) = 11a det ( 11M ) – 12a det ( 12M ) =

11 22 12 21a a a a .

(Chú ý rằng 11a và 12a là các phần tử nằm cùng ở hàng 1 của ma trận A). Một cách

tổng quát,

A là ma trận cấp n thì det(A) = 111 11 12 12 1 1det( ) det( ) ... ( 1) det( )n

n na M a M a M

(Chú ý rằng 11 12 1, ,..., na a a là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trận A).

Ví dụ

1 2

3 4 = 1.4 – 2.3 = – 2.

987

654

321

= 198

65

– 2

97

64 + 3

87

54

=

= 1(45 + 48) – 2(–36 – 42) + 3(32 – 35) = 240

4.2.2. Tính chất

Tính chất 1. det ( tA ) = det(A).

Hệ quả. Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn còn

đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột.

Tính chất 2. Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định

thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.


28

Tính chất 3. Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k

thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.

Tính chất 4. Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của

một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ.

Tính chất 5. (Về các định thức có dạng tam giác). Các định thức có dạng tam giác

bằng tích các phần tử chéo:

4.2.3. Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

Bước 1. Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng tìm cách đưa dần định thức đã

cho về dạng tam giác

Bước 2. Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu được

4.2.4. Hạng của ma trận

Định nghĩa

Cho ma trận A cấp m n. Hạng của A, kí hiệu rank(A) hay r(A), là một số nguyên

không âm r thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(1) Nếu A = O thì r = 0;

(2) Nếu A O thì r > 0 và:

(i) Tồn tại ít nhất một định thức con khác không cấp r của A

(ii) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) đều bằng không.

Nói cách khác, hạng của ma trận A O chính là cấp cao nhất của các định thức

con khác không của nó.

Tính chất

Từ định nghĩa hạng của ma trận, dễ dàng suy ra 0 rank(A)min{m, n}, với mọi

ma trận A cấp m n.

Định lí.

Cho A là một ma trận cấp m n trên K và B là ma trận nhận được từ A bằng một

số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó: rank(A) = rank(B). Nói cách khác,

hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.

4.2.5. Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa

Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho AB = BA = I

thì ta nói A khả nghịch và gọi B là ma trận nghịch đảo của A.

Ta kí hiệu ma trận nghịch đảo của A là 1A , nghĩa là có

1 1AA A A I .

Định lí.

Ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu có là duy nhất

Định lí.

Nếu A khả đảo tức là có nghịch đảo 1A thì det(A) 0.


29

Định lí.

Nếu det(A) 0 thì ma trận A có nghịch đảo và 1A tính bởi công thức sau:

1A = t

ij

1C

det(A)

trong đó i jij ijC ( 1) M

Ví dụ: Cho A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

. Tính A-1 (nếu có)

Ta có

det(A) = –1 0.

C11 = 40 C12 = –13 C13 = –5

C21 = –16 C22 = 5 C23 = 2

C31 = –9 C32 = 3 C33 = 1

Do đó

C =

40 13 5

16 5 2

9 3 1

40 16 9

13 5 3

5 2 1

tC

Vậy

1 1

1tA C

=

40 16 9

13 5 3

5 2 1

4.3. Hệ phương trình tuyến tính

4.3.1. Định nghĩa

Một hệ m phương trình của n ẩn số (m, n là các số tự nhiên khác 0) dạng

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

.....................................

a x a x ... a x b

(1)

trong đó aij, bi ( i = 1,m , j = 1,n ) là các số cho trước, được gọi là hệ phương trình

tuyến tính (m phương trình, n ẩn số).

Các số aij ( i = 1,m , j = 1,n ) gọi là các hệ số ( của các ẩn xj, j = 1,n ), còn bi (i = 1,m )

gọi là các hệ số tự do của hệ phương trình tuyến tính (1) đang xét.


30

Đặt

A= ij m na

=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

được gọi là ma trận hệ số của hệ (1). Hạng của ma

trận hệ số A cũng được gọi là hạng của hệ (1).

Ma trận gồm các hệ số tự do

B =

1

2

...

n

b

b

b

gọi là ma trận các hệ số tự do, hay vắn tắt là cột tự do của hệ (1). Ma trận

A có được bằng cách ghép thêm cột tự do B vào bên phải ma trận hệ số A

A = A B =

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

gọi là ma trận bổ sung của hệ (1)

Ma trận cột gồm các ẩn số

1

2

...

n

x

xX

x

gọi là ma trận ẩn số của hệ (1).

Với các kí hiệu ma trận vừa đưa vào, hệ phương trình tuyến tính (1) có thể viết lại

thành phương trình ma trận sau đây AX = B. (2)

Đặc biệt, khi mọi hệ số tự do đều triệt tiêu: b1 = b2 = ... = bn = 0 hệ (1) trở thành hệ

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0,

... 0,

.....................................

... 0.

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

(3)

và gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ta cũng gọi (3) là hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất tương ứng với hệ phương trình tuyến tính (1). Để phân biệt

với (3), hệ (1) còn gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

Hệ thuần nhất (3) có dạng ma trận AX = O (4)

Định lí Kronecker – Capelli.

Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma trận

hệ số bổ sung có hạng bằng nhau.

4.3.2. Hệ phương trình Cramer

Định nghĩa hệ Cramer

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình của n ẩn số được gọi là

hệ Cramer, nếu ma trận hệ số của nó không suy biến.


31

Định lí Cramer

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công

thức j

j

Dx

D ; j = 1,n ;

trong đó D là định thức của ma trận hệ số của hệ, jD là định thức nhận được từ D

bằng cách thay cột thứ j bởi cột tự do; j = 1,n .

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2

x x x 0

x x x 6.

Giải

Ta có D =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= 4 0 nên nó là hệ Cramer.

D 1 =

2 1 1

0 1 1

6 1 1

4

D 2 =

1 2 1

1 0 1

1 6 1

8

D 3 =

1 1 2

1 1 0

1 1 6

= 12

Nghiệm duy nhất của hệ đã cho là

11

22

33

D 4x 1D 4

D 8x 2D 4

D 12x 3D 4

4.3.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Tính chất: Các phép biến đổi sơ cấp đối với Abs = [A|B] không là thay đổi nghiệm

của hệ phương trình

Phương pháp Gauss

B1: Dùng biến đổi sơ cấp đưa Abs về dạng bậc thang

B2: Dùng phương pháp thế giải nghiệm


32


4.1. Cho 1 2

A3 4

và

1 3 5B

2 4 6

. Tìm X sao cho AX=B.

4.2. Cho

2 1 1

A 0 1 1

6 1 1

.

a) Tính 2A2 – A.At

b) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có).

4.3. Giải các hệ phương trình tuyến tính

a)

2 8

2 2 2 5

3 2 2 13

4 3 2 16

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

b)

2 2 1

2 1

4 10 5 5 1

2 14 7 7 1

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

c)

0

3 2 2

2 2 2

4 3 3 2

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

d)

2 2 5

2 2 4

2 2 5

3 5 4 6 15

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

e)

2 3 7

2 5 5 16

3 7 8 23

5 12 2 13 39

x y t

x y z t

x y z t

x y z t

f)

2 1

2 0

3 3 3 4 2

4 5 5 7 3

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

g)

2 3 1

3 2 4

2 3 6

2 3 4

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

h)

2

2 0

2 3 7 7

2 2 3

x y z t

x z t

x y z t

x y z

k)

3t3z7yx3

1z2yx

1t2zy2x2

5tzyx


33

CHƯƠNG 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

5.1. Các khái niệm

5.1.1. Định nghĩa hàm hai biến

Xét không gian R2. Một phần tử uR2 là một bộ 2 số thực (x;y). D là một tập hợp

trong R2. Ánh xạ f: D R gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D.

D được gọi là miền xác định của hàm số.

x; y được gọi là các biến số độc lập.

5.1.2. Miền xác định.

Ta quy ước rằng nếu hàm số f được cho bởi biểu thức z = f(x;y) mà không nói gì

thêm về miền xác định của nó thì miền xác định của u được hiểu là tập hợp tất cả

các điểm M(x;y) sao cho biểu thức f(x;y) có nghĩa.

Ví dụ.

Hàm hai biến số z = 2 21 x y được xác định trong miền 2 2x y 1 . (hình 1)

Hàm hai biến số z = ln(x+y–1) có miền xác định là x+y >1. (hình 2)

Hình 1 Hình 2

5.2. Giới hạn của hàm hai biến

5.2.1. Định nghĩa.

Ta nói rằng dãy điểm {Mn(xn;yn)} dần tới điểm M0(x0;y0) nếu khoảng cách

2 20 n n 0 n 0M M (x x ) (y y ) dần về 0 khi n dần ra vô cùng.

Ta nói rằng hàm số f(M) có giới hạn L khi M(x, y) dần tới M0 nếu với mọi dãy

điểm {Mn(xn;yn)} (khác 0M ) thuộc lân cận M0 ta đều có n nnlimf (x ;y ) L

.

Khi đó ta viết

o o(x.y) (x ,y )lim f (x, y) L

hay o

0

x xy y

lim f (x, y) L


34

5.2.2. Ví dụ

i) Tìm(x,y) (0,0)

lim f (x;y)

, với f(x,y) =2 2

xy

x y.

Hàm số f(x,y) xác định trên R2 \ {(0,0)}.

Giới hạn này không tồn tại, bởi vì các dãy

{x n , y n } =1 1

,n n

, { x’ n , y’ n } =2

1 1,

n n

hội tụ tới điểm (0, 0) khi n , trong khi đó các dãy tương ứng các giá trị của hàm

f(x n , y n ) = 2

2

1

n2

n

1

2 , f( x’ n , y’ n ) =

3

2 4

1

n1 1

n n

0 khi n .

hội tụ tới các giá trị giới hạn khác nhau.

ii) Tìm (x,y) (0,0)

lim g(x, y)

, với g(x,y) = 2 2

xy

x y.

Hàm số g(x,y) xác định trên R2 \ {(0,0)}. Vì 2 2

x1

x y

, (x, y) (0,0) nên

2 2

xg(x, y) y y

x y

và

(x,y) (0,0)lim y 0

.

Vậy (x,y) (0,0)

lim g(x, y)

= 0.

5.3. Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến

5.3.1. Đạo hàm riêng

Định nghĩa.

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong một miền D; M0(x0;y0) là một điểm của D.

Nếu cho y = y0, nếu hàm số một biến số z = f(x;y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo

hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 và được ký hiệu là

'x o of (x , y ) hay o o

f(x , y )

x

hay o o

u(x , y )

x

.

Vậy 0

0 0 0o o

x x0

f f (x;y ) f (x ;y )(x , y ) lim

x x x

Tương tự như vậy, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y tạiM0, ký hiệu là

'y o of (x ;y ) hay o o

f(x ;y )

y

hay o o

u(x ;y )

y

.

và 0

0 0 0o o

y y0

f f (x ;y) f (x ;y )(x , y ) lim

y y y


35

5.3.2. Vi phân

Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x;y) xác định trên D mở, M0(x0;y0), M(x0+x;y0+y) D.

Nếu có thể biểu diễn số gia toàn phần z = f(x0+x;y0+y) – f(x0;y0) dưới dạng

z A. x B. y x y , trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc x0;y0, còn

, dần tới 0 khi M M0 thì ta nói rằng hàm số z là khả vi tại M0, còn biểu thức

A. x B. y được gọi là vi phân toàn phần của z = f(x, y) tại M0 và được ký hiệu

là dz(x0;y0) hay df(x0;y0).

Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của

miền ấy.

Định lí.

Nếu hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0;y0) và nếu các

đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0(x0;y0) thì f(x,y) khả vi tại M0(x0;y0) và ta có

dz(x0;y0)=fx’(x0;y0)x + fx’(x0;y0)x

Chú thích: Cũng như hàm một biến số, nếu x, y là biến độc lập thì dx =x, dy =y

do đó dz(x0;y0)=fx’(x0;y0)dx + fx’(x0;y0)dx

5.3.3. Đạo hàm cấp cao. Định lí Schwarz

Cho hàm số hai biến số z = f(x, y). Các đạo hàm riêng ' ',x yf f là những đạo hàm

riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được

gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu

như sau:

2

2"

2( , )

x

f ff x y

x x x

2" ( , )

xy

f ff x y

y x x y

2" ( , )yx

f ff x y

x y y x

2

2"

2( , )

y

f ff x y

y y y

.

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo

hàm riêng cấp ba, ...

Định lí Schwarz.

Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M0 hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng " ",xy yxf f và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M0 thì " "

xy yxf f tại M0.

5.3.4. Vi phân cấp cao

Xét hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần của nó ' '. .x ydz f dx f dy nếu tồn tại, cũng

là một hàm số của x, y. Vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân

toàn phần cấp hai của z và được ký hiệu là 2d z . Vậy: 2 ' '( ) ( . . ).x yd z d dz d f dx f dy

Cứ tiếp tục như vậy người ta định nghĩa các vi phân cấp cao hơn 1( )n nd z d d z .


36

5.4. Cực trị

5.4.1. Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong một miền D nào đó, M0 là một điểm trong D.

Ta nói rằng f(x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong một lân cận nào đó

của M0, nhưng khác M0, hiệu số f(M) – f(M0) có dấu không đổi.

Nếu f(M) – f(M0) > 0 ta có cực tiểu,

Nếu f(M) – f(M0) < 0 ta có cực đại.

5.4.2. Các Định lí

Định lí 1

Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0 và f có các đạo hàm riêng tại M0 thì các

đạo hàm riêng ấy bằng không, nghĩa là fx’(M0) = fy’(M0) = 0

Định lí 2

Giả sử tại M0 ta có fx’(M0) = fy’(M0) = 0 và hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm

riêng đến cấp 2 liên tục trong một lân cận nào đó của M0. Đặt A = fxx”(M0); B =

fxy”(M0); C=fyy”(M0); D = B2 – AC. Khi đó:

Nếu D < 0 thì f(x, y) đạt cực trị tại M0. Hơn nữa, M0 là cực tiểu nếu A > 0, M0 là

cực đại nếu A < 0.

Nếu D > 0 thì M0 không phải là cực trị.

Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + 2y3 – 3x – 6y.

5.5. Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm hai biến

Bài toán: Tìm GTLN, NN của hàm z = f(x;y) trên miền D đóng, bị chặn

Phương pháp:

Bước 1: Tìm các điểm dừng ở phần trong của D, tính giá trị của f tại các điểm

dừng đó.

Bước 2: Tìm giá trị LN, NN trên biên của D

Bước 3: So sánh bước 1, 2 kết luận

Ví dụ: Tìm GTLN, NN của hàm f(x;y) = x2 + y2 – 2y trên miền D giới hạn bởi hai

đường y = x2 và y = x + 2


5.1. Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số

a) f(x;y) = x4 + y4 – 4xy + 1 b) f(x;y) = 3x2y – 3x2 – 3y2 + 2

c) f(x;y) = x2 + y2 – 2lnx – 18y, x>0,y>0 d) f(x;y) = x3 + y3 – 9xy

5.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = x – 2y + 5 trên miền

đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = 1.

5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = 1 + xy – x – y

trên miền đóng D giới hạn bởi các đường y = x2, y = 4.


37

CHƯƠNG 6. TÍCH PHÂN HAI LỚP

6.1. Định nghĩa

6.1.1. Bài toán thể tích của vật thể hình trụ Giả sử z = f(x, y) là một hàm số xác định, liên tục, không âm trong một miền D

đóng, bị chặn, có biên L trong mặt phẳng Oxy. Hãy tính thể tích của vật thể hình

trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song

với Oz tựa trên L.

Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các

mảnh đó là 1 2, ,..., nS S S . Lấy mỗi mảnh nhỏ ấy làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà

mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz và về phía trên giới hạn bởi mặt z

= f(x, y). Như vậy vật thể hình trụ đang xét được chia thành n vật thể hình trụ nhỏ.

Trong mỗi mãnh nhỏ iS , lấy một điểm tùy ý ( , )i i iM x y . Tích ( , )i if x y iS bằng thể

tích của hình trụ thẳng có đáy iS và chiều cao ( , )i if x y , nó khác rất ít thể tích iV

của vật thể hình trụ nhỏ thứ i nếu mảnh iS có đường kính khá nhỏ, vì hàm số f(x,

y) liên tục. Vậy có thể xem thể tích V của vật thể hình trụ xấp xỉ bằng

1

( , )n

i i ii

f x y S

. Phép tính xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và iS có đường

kính khá nhỏ. Do đó thể tích V của vật thể hình trụ đang xét được định nghĩa bằng

giới hạn, nếu có, có tổng trên khi n sao cho đường kính lớn nhất trong các

đường kính id của các mảnh iS dần tới 0, giới hạn ấy không phụ thuộc cách chia

miền D thành các mảnh nhỏ, cũng như cách chọn điểm iM trong iS . Đường kính

của một miền bị chặn là khoảng cách lớn nhất giữa các điểm trên biên của miền ấy.

6.1.2. Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số f(x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia miền D một

cách tùy ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và cả diện tích của chúng là

1 2, ,..., nS S S . Trong mỗi mảnh iS , lấy một điểm tùy ý ( , )i i iM x y . Tổng

In = 1

( , )n

i i ii

f x y S

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x, y) trong miền D.

Nếu khi n sao cho max id 0 mà In dần tới một giới hạn xác định I, không

phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm iM trong mỗi mảnh iS , thì giới

hạn ấy được gọi là tích phân hai lớp của hàm số f(x, y) trong miền D và được ký

hiệu là

(1) ( , )D

f x y dS .

D được gọi là miền lấy tích phân, f được gọi là hàm dưới dấu tích phân, dS được

gọi là yếu tố diện tích. Nếu tích phân (1) tồn tại, ta nói rằng hàm f(x, y) khả tích

trong miền D.


38

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền bị chặn,

đóng D thì nó khả tích trong miền ấy.

Nếu f(x, y) liên tục, không âm ( , )x y D thì tích phân hai lớp (1) bằng thể tích vật

thể hình trụ. Vậy:

V = ( , )D

f x y dS

Nếu f(x, y) 1, ( , )x y D thì tích phân hai lớp (1) bằng diện tích S của miền D

D

dS S

Chú ý. Vì tích phân kép không phụ thuộc cách chia miền D thành các mảnh nhỏ như đã

nêu trong định nghĩa, ta có thể chia D, bởi hai họ đường thẳng song song với các

trục tọa độ.

Do đó dS = dxdy và có thể viết:

( , )D

f x y dS = ( , )D

f x y dxdy

6.1.3. Tính chất của phân kép Tích phân kép có các tính chất tương tự như tích phân xác định sau đây, với giả

thiết rằng các tích phân có mặt trong các tính chất ấy đều tồn tại.

1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )D D D

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

2) ( , )D

kf x y dxdy = k ( , )D

f x y dxdy (k là hằng số)

3) Nếu miền D có thể chia thành 2 miền D1, D2 không dẫm lên nhau thì

( , )D

f x y dxdy = 1

( , )D

f x y dxdy + 2

( , )D

f x y dxdy

4) Nếu f(x, y) g(x, y), ( , )x y D thì ( , )D

f x y dxdy ( , )D

g x y dxdy .

5)Nếu m f(x, y) M, ( , )x y D , m và M là hằng số, thì mS ( , )D

f x y dxdy MS,

S là diện tích của miền D.

6)Nếu f(x, y) liên tục trong miền D đóng, bị chặn thì trong D có ít nhất một điểm

( , )x y sao cho ( , )D

f x y dxdy = f ( , )x y . S, S là diện tích của miền D

6.2. Cách tính tích phân hai lớp

6.2.1. Tích phân hai lớp ( , )D

f x y dxdy , trong đó D là hình chữ nhật

Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ. Giả

sử phải tính tích phân

I = ( , )D

f x y dxdy ,

D là hình chữ nhật xác định bởi a x b, c y d, f(x, y) liên tục trên D. Giả

thiết thêm rằng f(x, y) 0, ( , )x y D . Như đã nói ở trên tích phân I bằng thể tích

của vật thể hình trụ có đáy là miền D, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh


39

song song với Oz, ở phía trên giới hạn bởi mặt z = f(x, y). ở phần giải tích một biến

số, ta lại biết rằng thể tích ấy bằng

(2) V = ( )b

a

S x dx ,

Trong đó S(x) là diện tích của thiết diện vuông góc với trục Ox tại x ,a b của

vật thể. Vì S(x) là diện tích của hình thang cong mà đáy là đoạn ,c d , cạnh cong

có phương trình là z = f(x, y), trong đó x được xem là hằng số, nên

S(x) = ( , )d

c

f x y dy

Theo giả thiết, hàm số f(x, y) liên tục trong miền hình chữ nhật D, nên S(x) là một

hàm số liên tục của x trên ,a b , do đó S(x) khả tích trên ,a b . Thế biểu thức của

S(x) vào (2), ta được

( , )D

f x y dxdy = [ ( , ) ]b d

a c

f x y dy dx .

Cũng có thể viết

(3) ( , )D

f x y dxdy = ( , )b d

a c

dx f x y dy

Dễ thấy rằng công thức ấy vẫn đúng khi f(x, y) liên tục và âm trên D. Như vậy việc

tính tích phân kép được đưa về việc tính hai tích phân đơn liên tiếp; khi tính tích

phân đơn thứ nhất ( , )d

c

f x y dy , ta xem x là hằng số.

Chú ý 1. Thay vì tính thể tích V của vật thể hình trụ nói trên bằng công thức (2), ta có thể

dùng công thức

(2’) V = ( )d

c

S y dy

trong đó S(y) là diện tích của thiết diện vuông góc với trục Oy tại y ,c d của vật

thể. Ta sẽ được công thức

(3’) ( , )D

f x y dxdy = ( , )d b

c a

dy f x y dx .

Từ (3) và (3’) ta có

(4) ( , )b d

a c

dx f x y dy = ( , )d b

c a

dy f x y dx .

Đó là công thức đổi thứ tự tích phân.

Chú ý 2. Nếu f(x, y) = f1(x).f2(y) ta có

1 2( ). ( )D

f x f y dxdy = 1 2( ). ( )b d

a c

dx f x f y dy = 1 2( ) . ( )b d

a c

f x dx f y dy ,

Vì khi lấy tích phân đối với y, x được xem là không đổi.


40

Ví dụ.

2( )D

dxdy

x y , D là hình vuông xác định bởi 1 x 2, 1 y 2.

Ta có I1 = 2 2

2

1 1( )

dydx

x y . Nhưng 2

2

1

1 1

( ) 1 2

dy

x y x x

I1 = 2

1

1 1

1 2dx

x x

= ln

2

1

1

2

x

x

= ln

9

8.

6.2.2. Tích phân hai lớp ( , )D

f x y dxdy , trong đó D là miền bất kỳ

+ Giả sử miền lấy tích phân D được xác định bởi a x b, y1(x) y y2(x),

trong đó y1(x), y2(x) là những hàm số liên tục trên [a, b]. Để tính ( , )D

f x y dxdy , ta

lập luận và dùng ký hiệu như ở mục trước, ta được

( , )D

f x y dxdy = ( )b

a

S x dx , trong đó S(x) là diện tích của hình thang cong mà đáy là

đoạn [y1(x), y2(x)], cạnh cong có phương trình là z = f(x, y), do đó

S(x) = 2

1

( )

( )

( , )y x

y x

f x y dy .

Hàm số f(x, y) liên tục trong miền D, các hàm số y1(x), y2(x) liên tục trên [a, b],

hàm số S(x) liên tục trên [a, b], do đó nó khả tích trên [a, b]. Vì vậy ta được

(5) ( , )D

f x y dxdy = 2

1

( )

( )

( , )y xb

a y x

dx f x y dy

+ Nếu miền D được xác định bởi c y d, x1(y) x x2(y), trong đó x1(y), x2(y)

là những hàm số liên tục trên đoạn ,c d thì ta có

(6) ( , )D

f x y dxdy = 2

1

( )

( )

( , )x yd

c x y

dy f x y dx

+ Giả sử biên L của miền D bị mỗi đường thẳng song song với một trong hai trục

tọa độ cắt ở nhiều nhất hai điểm. Dựng hình chữ nhật nhỏ nhất có các cạnh song

song với các trục tọa độ chứa miền D. Giả sử hình chữ nhật ấy được xác định bởi a

x b, c y d. Gọi M, N, P, Q là giao điểm của L với biên của hình chữ nhật.

Các điểm M, P chia L thành hai cung MNP, MQP có phương trình theo thứ tự là y

= y1(x), y = y2(x). Các điểm N, Q chia L thành hai cung NMQ, NPQ có phương

trình theo thứ tự là x = x1(y), x = x2(y). Trong trường hợp này có thể tính

( , )D

f x y dxdy bằng công thức (5) hoặc công thức (6). So sánh hai kết quả, ta được

(7) 2

1

( )

( )

( , )y xb

a y x

dx f x y dy = 2

1

( )

( )

( , )x yd

c x y

dy f x y dx

Đó là công thức đổi thứ tự tích phân.


41

Ví dụ 1.

Hãy xác định các cận tích phân khi tính I = ( , )D

f x y dxdy , trong đó D là miền giới

hạn bởi các đường x = 2, y = 1

x, y = x

Miền D được xác định bởi 1 x 2, 1

x y x, do đó I =

2

1 1

( , )x

x

dx f x y dy .

Nếu đổi thứ tự tích phân, ta phân chia D thành hai miền D1, D2; D1 được xác định

bởi 1

2 y 1,

1

y x 2 còn D2 được xác định bởi 1 y 2, y x 2. Do đó

I = 1 2 2 2

1 1 1

2

( , ) ( , )y

y

dy f x y dx dy f x y dx

Rõ ràng cách tính thứ nhất đơn giản hơn. Từ ví dụ này ta thấy rằng khi tính tính

tích phân hai lớp, cần chọn thứ tự tích phân sao cho cách tính đơn giản hơn.

Ví dụ 2.

Tính I = 2 2( )D

x y dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = x+1,

y = 1, y = 3.

Rõ ràng trong trường hợp này nên lấy tích phân theo x trước. Miền D được xác

định bởi các bất đẳng thức 1 y 3, y - 1 x y. Do đó

I = 3

2 2

1 1

( )y

y

dy x y dx

= 3 3

2

1 1

.3

x y

x y

xdy y x

=

3 3 33 2

1

( 1)( 1)

3 3

y yy y y dy

=

34 3 4

1

( 1)

12 3 12

y y y

= 14.

6.3. Đổi biến số trong tích phân hai lớp

6.3.1. Công thức đổi biến số trong tích phân hai lớp

Xét tích phân kép ( , )D

f x y dxdy ,trong đó f(x, y) liên tục trên D.

Thực hiện phép đổi biến số:

(8) x = x(u, v), y = y(u, v).

Giả sử rằng:

1) x(u, v), y(u, v) là những hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên

tục trong một miền đóng D’ của mặt phẳng Ouv;

2) Các công thức (8) xác định một song ánh từ miền D’ lên miền D của

mặt phẳng Oxy;

3) Định thức Jacobi I = ' '

' '

( , )0

( , )u v

u v

x xD x y

D u v y y trong miền D’.

Khi đó ta có công thức

(9) ( , )D

f x y dxdy = '

( ( , ), ( , ))D

f x u v y u v J dudv


42

Chú ý. Công thức (9) vẫn còn đúng khi định thức J = 0 tại một số điểm trong D. Thật vậy,

giả sử J = 0 tại điểm A trong D. Gọi D0 là miền tròn tâm A bán kính r nằm hoàn

toàn trong D. Công thức (9) đúng trong miền D - D0. Gọi D’, D’0 là nghịch ảnh của

D, D0 qua ánh xạ (8). Ta có

' 'o o ooD D D D DD D

fdxdy fdxdy fdxdy f J dudv fdxdy

.

Vì f bị chặn trong D nên có thể chọn r đủ bé để 0 ta có oD

fdxdy

Do đó 0

limr

' 'o DD D

f J dudv fdxdy

.

Nhưng vì (8) là một song ánh liên tục, f J bị chặn trên D’ nên khi r 0 thì

'oD

f J dudv 0 , do đó ' '

oD D

f J dudv

'D

f J dudv .

Vậy D

fdxdy = 'D

f J dudv .

Ví dụ

Tính I = x y

x y

D

e dxdy

, D là miền xác định bởi x 0, y 0, x+y 1.

Thực hiện phép đổi biến

x y u

x y v

hay

1( )

2

1( )

2

x u v

y v u

Ta có I =

1 1

( , ) 12 2

1 1( , ) 2

2 2

D x y

D u v

Do đó I = 1

2 '

1

0

1

2

vu u

v v

vD

e dudv du e dv

= 1

1 1

0

1 1( ) ( )

2 4e e vdv e e .

6.3.2. Tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực

Công thức liên hệ giữa các tọa độ Đề các (x, y) và tọa độ cực (r, ) của cùng một

điểm là

x = r cos , y = r sin .

Nếu r > 0, 0 < 2 thì các công thức ấy xác định một song ánh giữa các tọa độ

Đề các và tọa độ cực. Riêng điểm gốc tọa độ có r = 0 và tùy ý.

Xem các công thức trên như một phép đổi biến số, ta có

I = cos sin( , )

0sin cos( , )

rD x yr

rD u v

trừ tại gốc O. Do đó từ công thức (9) suy ra


43

(10) ( , )D

f x y dxdy = '

( cos , sin )D

f r r rdrd

Theo chú thích ở mục 3.1, công thức (10) vẫn đúng trong trường hợp miền D chứa

gốc O.

Nếu miền D được xác định bởi , 1 2( ) ( )r r r như ở hình , ta được

(11) ( , )D

f x y dxdy = 2

1

( )

( )

( cos , sin )r

r

d f r r rdr

Đó là công thức tính tích phân hai lớp trong tọa độ cực.

Chú ý 1. Cũng có thể tính yếu tố diện tích dS trong hệ tọa độ cực như sau. Chia miền D

thành các mảnh nhỏ bởi các đường tròn đồng tâm r = h ( h không đổi) và các tia

=k (k không đổi). Xem mỗi mảnh nhỏ xấp xỉ như một hình chữ nhật có kích

thước là dr và rd , do đó dS = rdrd (hình 3.13)

Chú ý 2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền D tại

một điểm có bán kính vectơ là r( ) thì

( , )D

f x y dxdy = ( )2

0 0

( cos , sin )r

d f r r rdr

Ví dụ 1.

Tính I = 2 21D

dxdy

x y , D là một phần tư hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư

thứ nhất.

Chuyển sang tọa độ cực, biểu thức dưới dấu tích phân được viết là 21

rdrd

r

, miền

D’ được giới hạn bởi hai đường r = 0, r = 1 và hai tia = 0, = 2

. Do đó

I = 12 1

2

2 00 0

1 ( 2 1)2 21

rdrd r

r

Ví dụ 2.

Tính I = 2 2

D

x y dxdy , D là miền xác định bởi 2 2 2 0x y y , 2 2 1 0x y , x0,

y0.

Hai đường 2 2 2 0x y y , 2 2 1x y có phương trình trong tọa độ cực là r = 2sin ,

r = 1. Chúng cắt nhau ở một điểm có tọa độ cực là (1, 6

). Vậy miền D’ được xác

định bởi 0 6

, 2sin r 1.


44

Do đó I = 11 36 6

2

0 2sin 0 2sin3

rd r dx d

=

= 6 6

3 2

0 0

1 1(1 8sin ) 8 (1 cos )sin

3 3 6d d

= 3 6

60

0

1 cos 1 168cos 8 3 3

3 6 3 3 6 3

.

BÀI TẬP CHƯƠNG 6

Câu 1: Tính tích phân kép D

2ydxdyx , trong đó D là miền giới hạn bởi các

đường y = 2 2x và y = 2.

Câu 2: Tính tích phân kép 2

2

D

xdxdy

y , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường

y = x, y =1

x và x = 2.


xydxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường

y =x, y = x+1, y = 1, y = 3.

Câu 4: Tính tích phân kép ( 2 )D

x y dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các

đường y = 2x và y = x .


ydxdy , trong đó D là miền x2 + y2 x.

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 - CỔNG THÔNG TIN ĐIỆN...

Documents

Transcript of BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 - CỔNG THÔNG TIN ĐIỆN...