BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM · Nguyễn Văn Tiến FTU.HCMC Ôn tập Xác suất & Thống kê Ví...

1

Nguyễn Văn Tiến FTU.HCMC Ôn tập Xác suất & Thống kê

BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM

1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc V có thể thực hiện theo hai phương án V1 hoặc V2.

Số cách thực hiện V1 là m1, số cách thực hiện V2 là m2.

Mỗi cách thực hiện V1 không trùng với bất kì cách thực hiện V2 nào.

Khi đó số cách thực hiện công việc V là n = m1 + m2 .

Ví dụ 1. Nhà An có 2 xe đạp, 3 xe máy. Khi đến trường An đi xe đạp hoặc xe máy.

Hỏi An có bao nhiêu cách đi đến trường?

Ví dụ 2. Một bộ bài có 52 lá với 4 chất khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một

lá cơ hoặc lá át? Trong ví dụ này có thể sử dụng quy tắc cộng (bằng cách lấy số cách

chọn một lá át cộng với số cách chọn một lá cơ) được không? Tại sao?

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc V bao gồm hai giai đoạn V1 và V2.

Số cách thực hiện V1 là m1, số cách thực hiện V2 là m2.

Mỗi cách thực hiện V1 đều có m2 cách thực hiện V2.

Khi đó số cách thực hiện công việc V là n = m1 . m2 .

Ví dụ 3. Từ nhà Bình (Thủ Dầu Một, Bình Dương) lên Đà Lạt phải đi qua bến xe

Miền Đông. Từ nhà ra bến xe miền Đông, Bình đi xe buýt; từ bến xe miền Đông lên

Đà Lạt, Bình đi xe ôtô khách. Biết rằng có 3 xe buýt đi từ nhà Bình đến bến xe Miền

Đông và từ đó có 5 xe khách lên Đà Lạt. Hỏi Bình có bao nhiêu cách lên Đà Lạt?

3. Tổ hợp

Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ tập hợp có n phần tử được gọi là một

tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Ví dụ 4. Có 5 đội bóng thi đấu vòng loại. Mỗi trận đấu giữa các đội (gồm 2 phần tử

lấy từ 5 phần tử) là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử (5 đội) đã cho.

Công thức tính số tổ hợp

Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là knC , ta có công thức:

!!( )!

k nn k n kC

Ví dụ 5. (Tiếp ví dụ 4) Số các trận đấu vòng loại do 5 đội đó thực hiện là số các tổ hợp

chập 2 của 5 phần tử: 25

5!10

2!3!C .

2


Ví dụ 6. Trong một cái hộp có 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu. Lấy ra 5 viên

phấn. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được:

a) các viên phấn bất kì? b) 2 viên phấn màu?

c) ít nhất 4 viên phấn màu? d) ít nhất 1 viên phấn màu?

BÀI TẬP

1. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Chọn ra 12 sản phẩm để

kiểm tra. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) các sản phẩm bất kì ?

b) sao cho trong số các sản phẩm đó có không quá 2 phế phẩm ?

c) sao cho chọn được ít nhất 1 phế phẩm ?

2. Người ta lấy ra 3 viên bi từ một cái hộp đựng 6 viên vi đỏ, 4 viên bi xanh, 5 viên bi

vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:

a) các viên bi tùy ý ? b) 2 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh ?

c) các viên bi có mầu khác nhau ? d) một viên màu đỏ ?

e) nhiều nhất một viên màu đỏ ? f) ít nhất một viên màu đỏ ?

BÀI 2. PHÉP THỬ - BIẾN CỐ

1. Khái niệm

Hành động mà ta thực hiện là phép thử. Kết quả của phép thử được gọi là biến cố.

Ví dụ 1.

a) Tung một viên phấn lên cao, viên phấn rơi xuống.

b) Một sinh viên đi thi môn Toán và đậu môn này, nhưng đi thi ngoại ngữ lại bị rớt.

c) Bóc một tờ lịch trong quyển lốc lịch năm 2017, được tờ có ghi ngày 31/2/2017.

Hãy chỉ ra phép thử và biến cố trong từng ví dụ trên.

a) Phép thử là ..................................., biến cố là .................................................

b) Phép thử là ..................................., biến cố là .................................................

c) Phép thử là ..................................., biến cố là .................................................

2. Phân loại biến cố

- Biến cố luôn luôn xảy ra trong phép thử được gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là .

- Biến cố không bao giờ xảy ra được gọi là biến cố không thể, kí hiệu là .

- Biến cố có thể xảy ra , hoặc không xảy ra trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu

nhiên, kí hiệu là A, B, ..., C1, C2, ...

3


Ví dụ 2. (Tiếp ví dụ 1) a) là biến cố ...........................................

b) là các biến cố ....................................

c) là biến cố............................................

3. Các phép toán đối với biến cố

a) Tổng các biến cố

Cho hai biến cố A và B. Tổng của chúng là một biến cố C sao cho C xảy ra khi A

hoặc B xảy ra, kí hiệu C = A + B.

b) Tích các biến cố

Cho hai biến cố A và B. Tích của chúng là một biến cố C sao cho C xảy ra khi A và B

xảy ra, kí hiệu C = A.B

c) Biến cố đối lập

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không

xảy ra và nếu A không xảy ra thì B phải xảy ra, kí hiệu B A .

Ví dụ 3. Một sinh viên thi hai môn Toán, Lý.

Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu Toán, B là biến cố sinh viên đó đậu Lý.

Hãy viết các biến cố sau thành phép toán của A và B:

a) Sinh viên đó đậu ít nhất 1 môn. b) Sinh viên đó đậu cả hai môn.

c) Sinh viên đó bị rớt môn Toán. d) Sinh viên đó bị rớt cả hai môn.

e) Sinh viên đó chỉ đậu môn Lý. f) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.

g) Sinh viên đó đậu không quá một môn.

4. Các biến cố xung khắc nhau

Hai biến cố được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không cùng xảy ra.

5. Các biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập nếu biến cố này xảy ra không ảnh hưởng đến biến cố

kia và ngược lại.

6. Hệ biến cố đầy đủ

Hệ n biến cố A1, A2,..., An được gọi là hệ đầy đủ nếu luôn có một và chỉ một

biến cố của hệ xảy ra trong phép thử.

Ví dụ 4. Tung một súc sắc (hình lập phương gồm 6 mặt có đánh số từ 1 đến 6). Gọi

Ak là biến cố xuất hiện mặt k.

- Các biến cố A1, A2 ...............................................................................

- Các biến cố A1, A2, ..., A6 là hệ ..........................................................

4


BÀI TẬP

1. Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia. Gọi Ni là biến cố

người thứ i bắn trúng bia, i = 1,2. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua N1, N2.

a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia. b) Có đúng một người bắn trúng.

c) Cả hai người đều bắn trúng. d) Không có ai bắn trúng.

e) Có ít nhất một người bắn trúng. f) Có không quá một người bắn trúng.

2. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 linh kiện từ một lô hàng. Gọi kL là biến cố linh kiện thứ

k đạt tiêu chuẩn loại A, k = __

1,3 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua L1, L2, L3.

a) Cả ba linh kiện đều đạt loại A. b) Chỉ có một linh kiện đạt loại A.

c) Có đúng hai linh kiện đạt loại A. d) Không có kinh kiện nào đạt loại A.

e) Có nhiều nhất một linh kiện đạt loại A. f) Có không quá hai linh kiện loại A.

g) Có ít nhất một linh kiện không đạt loại A. h) Có ít nhất một linh kiện đạt loại A.

BÀI 3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1. Định nghĩa

Cho T là một phép thử và A là biến cố có thể xảy ra trong phép thử đó.

Giả sử T có n trường hợp có thể xảy ra, trong số đó có m trường hợp làm biến cố A

xuất hiện. Khi đó tỉ số m

n được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).

Vậy: m

P An

Ý nghĩa của xác suất: Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng

xuất hiện biến cố đó trong phép thử, xác suất càng lớn, khả năng xuất hiện biến cố

càng nhiều.

Phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa:

Để tính xác suất của một biến cố, ta cần thực hiện các bước sau đây

- Gọi phép thử, tính số trường hợp có thể xảy ra.

- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số trường hợp làm xuất hiện biến cố đó

trong phép thử.

- Áp dụng công thức định nghĩa tìm xác suất của biến cố đã cho.

5


Ví dụ 1. Đề cương thi môn Triết có 70 câu hỏi. Một sinh viên chỉ ôn 40 câu. Cho biết

đề thi tự luận gồm 3 câu thuộc đề cương và nếu sinh viên trả lời đúng ít nhất hai câu

thì đậu. Tìm xác suất sinh viên đó đậu môn Triết.

Ví dụ 2. Một chi đoàn có 30 sinh viên nam và 15 sinh viên nữ. Cần chọn ra 8 sinh viên

tham gia chiến dịch mùa hè xanh. Tìm xác suất để trong nhóm chọn ra có đúng 3 sinh

viên nữ.

2. Các tính chất của xác suất

1) Với mọi biến cố A ta luôn có 0 ( ) 1P A

2) ( ) 0P 3) ( ) 1P 4) ( ) 1 ( )P A P A

Ví dụ 3. Một bộ bài có 52 lá với 4 chất khác nhau. Lấy ra 8 lá bài từ bộ bài đó. Tìm

xác suất lấy được

a) 3 lá màu đỏ. b) ít nhất 1 lá màu đỏ.

BÀI TẬP

1. Lớp học môn xác suất có 64 sinh viên, trong đó có 15 sinh viên nữ. Chọn ngẫu

nhiên một nhóm gồm 10 sinh viên. Tìm xác suất trong nhóm chọn ra có

a) 4 sinh viên nữ.

b) không quá 2 sinh viên nữ.

c) ít nhất 1 sinh viên nữ.

2. Từ một cái hộp có 20 viên phấn, trong đó có 5 viên phấn màu, người ta lấy ra 6

viên phấn. Tìm xác suất lấy được

a) 2 viên phấn màu.

b) không quá một viên phấn màu.

c) ít nhất một viên phấn màu.

6


BÀI 4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

1. Công thức cộng

Cho hai biến cố A, B và C = A + B. Cần tính xác suất của C theo xác suất của A và

B.

a) Trường hợp hai biến cố A và B xung khắc

P(C) = P(A) + P(B)

b) Trường hợp hai biến cố A và B không xung khắc

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1. Có 10 cái bút, trong đó có 4 bút đỏ, số còn lại là bút xanh. Lấy ngẫu nhiên 3

cái bút.Tìm xác suất lấy được

a) 1 bút đỏ. b) 2 bút đỏ. c) 3 bút xanh.

d) không quá 1 bút đỏ. e) ít nhất 1 bút đỏ.

Ví dụ 2. Một lớp học có 50 sinh viên, trong đó có 35 người đậu môn Toán, 28 người

đậu môn Lý. Số sinh viên của lớp đậu cả hai môn này là 20. Gọi ngẫu nhiên một sinh

viên của lớp. Tìm xác suất sinh viên đó đậu ít nhất một môn.

Ví dụ 3. Trong hộp phấn có 10 viên phấn màu và 40 viên phấn trắng. Lấy ngẫu nhiên

5 viên phấn. Tìm xác suất lấy được

a) 1 viên phấn màu. b) toàn phấn trắng.

c) nhiều nhất 1 viên phấn màu. d) ít nhất 1 viên phấn màu.

2. Công thức nhân

Cho hai biến cố A, B và C = AB. Cần tính xác suất của C theo xác suất của A và B.

a) Trường hợp hai biến cố A và B độc lập

P(C) = P(A) P(B)

b) Trường hợp hai biến cố A và B không độc lập

P(C) = P(A) P(B|A)

hoặc

P(C) = P(B) P(A|B)

Trong đó : P(B|A) là xác suất của B nếu A đã xảy ra. Tương tự cho P(A|B)

Ví dụ 4. Một sinh viên phải thi Toán và Lý. Cho biết xác suất đậu hai môn đó lần lượt

là 0,9; 0,8. Hãy tính các xác suất sau đây:

a) Sinh viên đó rớt Toán. b) Sinh viên đó chỉ đậu Toán.

c) Sinh viên đó đậu cả hai môn. d) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.

7


e) Sinh viên đó đậu không quá một môn. f) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn.

Ví dụ 5. Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn trúng từng viên lần lượt là 0,6 ; 0,7.

Tìm xác suất anh ta bắn trúng

a) cả hai viên. b) chỉ viên thứ nhất. c) chỉ một viên.

d) ít nhất một viên. e) không quá một viên.

Ví dụ 6. Một cậu bé có 10 cái bút chì,trong đó có 3 bút chì màu. Cậu bé cho anh mình

2 cái bút, sau đó cho chị mình 1 cái bút. Tìm xác suất cậu bé còn lại

a) toàn bút chì đen. b) 2 bút chì màu. c) 1 bút chì màu.

d) ít nhất 1 bút chì màu. e) không quá 1 bút chì màu.

Ví dụ 7. Hai bạn An và Bình rủ nhau mua vé số tại một quầy có 50 vé, trong đó có 4

vé sẽ trúng thưởng. An mua trước 2 vé, sau đó Bình chọn mua 1 vé. Tìm xác suất hai

bạn đó mua được:

a) 3 vé trúng. b) 1 vé trúng. c) Ít nhất 1 vé trúng.

3. Công thức xác suất đầy đủ

Cho hệ đầy đủ các biến cố A1, A2, ... , An và B là biến cố xảy ra khi một trong các

biến cố của hệ đó xảy ra. Ta cần tìm xác suất của B. Ta có công thức

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)

Ví dụ 8. Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau. Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8

bút xanh. Hộp thứ hai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bút đỏ, 8 bút xanh. Lấy

ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 3 cái bút. Tìm xác suất lấy được

a) 3 bút đỏ. b) 1 bút đỏ. c) ít nhất một bút đỏ.

Ví dụ 9. Có hai lô hàng đựng các thuyết bị điện tử. Lô thứ nhất có 4 phế phẩm và 46

sản phẩm tốt. Lô thứ hai có 3 phế phẩm và 45 sản phẩm tốt. Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản

phẩm bỏ sang lô thứ hai. Sau đó từ lô thứ hai lấy ra 5 sản phẩm.

Tìm xác suất lấy được: a) 5 sản phẩm tốt. b) ít nhất một phế phẩm.

4. Công thức xác suất giả thiết

Cho hệ đầy đủ các biến cố A1, A2, ... , An và B là biến cố xảy ra khi một trong

các biến cố của hệ đó xảy ra. Giả sử biến cố B đã xảy ra. Ta cần tìm xác suất để B xảy

ra là do giả thiết Ak nào đó thuộc hệ đầy đủ.

( )

( )

k k

k

P A P B AP A B

P B ( k = 1, 2, ... , n)

8


Ví dụ 10. Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân

xưởng thứ nhất sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35%, còn phân xưởng thứ

ba sản suất 40% tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân

xưởng lần lượt là 1%; 3%; 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà

máy.

a) Tìm xác suất lấy được phế phẩm.

b) Giả sử lấy được phế phẩm, tìm xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản

xuất.

c) Nếu lấy được sản phẩm tốt, theo ý bạn, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng nào

sản suất là nhiều nhất?

Ví dụ 11. Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau. Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8

bút xanh. Hộp thứ hai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bút đỏ, 8 bút xanh. Lấy

ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 2 cái bút.

a) Tìm xác suất lấy được hai bút khác màu.

b) Giả sử đã lấy được hai bút khác màu. Tìm xác suất đó là các bút của hộp thứ ba.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC

Để tính xác suất của một biến cố bằng công thức, ta cần thực hiện các bước sau

đây

- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, phân tích nó thành phép toán đối với các biến cố

khác đơn giản hơn.

- Phân tích mối quan hệ giữa các biến cố tham gia vào phép toán: xung khắc hay

không, độc lập hay không, có tạo thành hệ đầy đủ hay không...

- Chọn công thức tính xác suất của biến cố ban đầu theo xác suất của các biến cố

đơn giản.

- Tính xác suất của các biến cố tham gia vào phép toán, nếu cần.

- Tính xác suất của biến cố ban đầu.

5. Công thức Bernoulli

Giả sử: - phép thử T lặp lại n lần

- biến cố A có thể xuất hiện trong mỗi lần thử với xác suất không đổi P(A) =

p.

Khi đó xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n lần thử là

9


( , ) (1 )k k n kn nP k A C p p (k = 0, 1, ... , n)

Ví dụ 12. Một sinh viên thi 5 môn với xác suất đậu từng môn là 0,7. Tìm xác suất sinh

viên đó

a) đậu 3 môn. b) không đậu môn nào. c) đậu ít nhất một môn.

Ví dụ 13. Một xạ thủ đã bắn 6 viên đạn. Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi

lần bắn đều là 0,9. Tìm xác suất anh ta bắn trúng

a) 4 viên. b) không quá 2 viên. c) ít nhất một viên đạn.

6. Các công thức tính gần đúng xác suất

Trong công thức Bernoulli, nếu n và k tương đối lớn thì việc sử dụng công thức gặp

khó khăn nên người ta sử dụng các công thức gần đúng để thay thế. Muốn sai số chấp

nhận được thì tùy theo giá trị của n và k, cũng như tùy vào xác suất của biến cố trong

mỗi lần thử mà ta sử dụng công thức gần đúng cho thích hợp.

1. Trường hợp n khá lớn, P(A) = p không quá lớn, không quá bé. Khi đó ta sử

dụng công thức Gauss để tính ( , )nP k A và sử dụng công thức Laplace để tính

1 2( , )nP k k A .

1( , )

(1 ) (1 )n

k npP k A f

np p np p

trong đó f(x) là hàm số Gauss có bảng giá trị cho trước.

2 11 2( , )

(1 ) (1 )n

k np k npP k k A

np p np p

trong đó ( )x là hàm số Laplace có bảng giá trị cho trước, ký hiệu k1 k2 có nghĩa

là A xuất hiện từ k1 đến k2 lần.

Ví dụ 14. Một đề thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi, xác suất trả lời đúng mỗi câu của

một sinh viên là 0,4. Tìm xác suất sinh viên đó trả lời đúng

a) 50 câu hỏi. b) Ít nhất 50 câu hỏi.

Ví dụ 15. Xác suất sinh một bé trai là 0,51. Tìm xác suất để trong 200 em bé, số bé trai

ít hơn số bé gái.

2. Trường hợp n khá lớn, P(A) = p khá bé.

Khi đó ta sử dụng công thức Poisson để tính ( , )nP k A .Ta có

( )( , )

!

np k

n

e npP k A

k

10


Ví dụ 16. Một chung cư có 160 hộ gia đình. Xác suất để mỗi hộ có sự cố về điện vào

buổi tối là 0,02. Tìm xác suất để trong một buổi tối có

a) 4 gia đình gặp sự cố về điện. b) từ 2 đến 5 gia đình gặp sự cố về điện.

Ví dụ 17. Xác suất để một hạt thóc giống bị lép là 0,006. Tìm xác suất sao cho trong

1000 hạt thóc giống sẽ có

a) 6 hạt bị lép. b) từ 3 đến 7 hạt bị lép.

BÀI TẬP

1. Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt là

0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tìm các xác suất sau đây:

a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng. b) Có đúng một người bắn trúng.

c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt. d) Có đúng hai người bắn trúng.

e) Cả ba người đều bắn trúng. f) Không có ai bắn trúng.

g) Có ít nhất một người bắn trúng. h)Có không quá hai người bắn trúng.

2. Có ba cái hộp đựng bút. Hộp thứ nhất có 5 bút đỏ, 10 bút xanh. Hộp thứ hai có 3 bút

đỏ, 7 bút xanh. Hộp thứ ba có 3 bút đỏ, 4 bút xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra 1 cái bút, từ

hộp thứ hai lấy ra 2 cái, cùng bỏ vào hộp thứ ba.

a) Tìm xác suất để trong hộp thứ ba số bút đỏ nhiều hơn số bút xanh.

b) Từ hộp thứ ba lấy ra 2 cái bút. Tìm xác suất lấy được 2 bút cùng màu.

3. Có hai lô hàng, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại A, 2 sản phẩm loại B ; lô thứ hai có

16 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm.

Sau đó, trong hai sản phẩm thu được lại lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản

phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A.

4. Hai máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của máy thứ hai gấp đôi máy

thứ nhất. Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy thứ nhất là 65%, của máy thứ hai là

80%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lô hàng do hai máy sản xuất.

a) Tìm xác suất lấy được chi tiết đạt tiêu chuẩn.

b) Nếu chi tiết đó là phế phẩm, tìm xác suất chi tiết đó do máy thứ hai sản xuất.

5. Ở một vùng cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỉ lệ người bị viêm họng

trong số người hút thuốc là 60%, còn trong số người không hút là 10%.

a) Khám ngẫu nhiên một người. Tìm xác suất để người đó bị viêm họng.

b) Giả sử người được khám bị viêm họng. Tìm xác suất anh ta hút thuốc.

11


c) Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc bằng bao nhiêu ?

6. Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 6 người, nhóm thứ hai có 7 người,

nhóm thứ ba có 8 người và nhóm thứ tư có 4 người. Xác suất bắng trúng đích của mỗi

người trong bốn nhóm đó lần lượt là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 ; 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ.

a) Tìm xác suất anh ta bắn trúng đích.

b) Giả sử xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem người đó có khả năng ở trong nhóm

nào nhất ?

7. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,7. Anh ta đã bắn 5 lần, mỗi

lần 1 viên đạn.

a) Tìm xác suất có 3 viên trúng đích.

b) Tìm xác suất có không quá 3 viên trúng.

8. Tỉ lệ phế phẩm ở một nhà máy là 0,002. Tìm xác suất để trong 500 sản phẩm sẽ có

a) 3 phế phẩm. b) nhiều nhất 3 phế phẩm.

9. Xác suất thi đậu môn Toán của sinh viên một trường đại học là 0,8. Tìm xác suất

trong 300 sinh viên thi môn Toán sẽ có

a) 250 sinh viên đậu. b) từ 200 đến 270 sinh viên đậu.

c) ít nhất 250 sinh viên đậu.

12


BÀI 5. BIẾN NGẪU NHIÊN

1. Khái niệm

Biến cho tương ứng mỗi kết quả của phép thử với một số được gọi là biến ngẫu nhiên

hay biến ngẫu nhiên trên các kết quả của phép thử đó. Nói một cách khác, biến ngẫu

nhiên là biến có giá trị thay đổi tuỳ theo phép thử.

Ghi chú : một số tài liệu dùng thuật ngữ đại lượng ngẫu nhiên thay vì biến ngẫu

nhiên.

Ví dụ 1.

a) Số môn thi đậu của một sinh viên trong một học kì (khi phải thi 5 môn).

b) Nhiệt độ của phòng học trong một ngày đêm.

c) Số người đến giao dịch tại một ngân hàng trong một tháng.

2. Các loại biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên X có dạng 1 2, ,..., nX x x x hoặc 1 2, ,..., ,...nX x x x được

gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Biến ngẫu nhiên X c chỉ nhận một giá trị duy nhất được gọi là hằng số và

được viết là X = c.

Biến ngẫu nhiên có giá trị lấp đầy một khoảng hay đoạn nào đó được gọi là biến

ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 2. Xem lại các biến ngẫu nhiên cho ở ví dụ 1.

a) là biến ngẫu nhiên ………………………………….

b) là biến ngẫu nhiên ………………………………….

c) là biến ngẫu nhiên ………………………………….

3. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Cho 1 2, ,..., nX x x x là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Đặt ( ), 1,2,..., .i ip P X x i n

Khi đó bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của X.

X x1 x2 … nx

P p1 p2 … np

Bảng phân phối xác suất có các tính chất sau :

(1) 0 ip 1 (2) 1

1n

ii

p

13


Ví dụ 3. Gọi X là số môn thi đậu của một sinh viên trong học kì phải thi 5 môn. Khi

đó X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Giả sử X có bảng phân phối xác suất sau đây.

X 0 1 2 3 4 5

P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15 0

Từ bảng ta có xác suất thi đậu 4 môn của sinh viên đó là 0,15; xác suất thi đậu

cả 5 môn là 0.

Trong các xác suất ta thấy ( 3)P X lớn nhất nên khả năng sinh viên đậu 3

môn là nhiều nhất.

Ví dụ 4. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng

bia. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X trong hai trường hợp sau:

a) Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều 0,8.

b) Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của ba viên đạn lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9.

4. Hàm phân phối xác suất

Cho X là biến ngẫu nhiên. Ta gọi hàm số

( ) ( ) ( )F x P X x x

là hàm phân phối xác suất của X.

Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau

(1) F(x) là hàm không giảm;

(2) 0 F(x) 1, x R;

(3) lim ( ) 0x

F x

; lim ( ) 1x

F x

;

(4) P(a X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b R , a < b.

Ngược lại, nếu F(x) là hàm số xác định trên R và có các tính chất (1) – (3) thì F(x) là

hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên nào đó.

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 … nx

P p1 p2 … np

Với x1 < x2 < … < nx , thì hàm phân phối xác suất của X là

F(x) =

1

21

11 2 1

0

..........................................

....

1

,neáu

,neáu

.............

,neáu

,neáu

n nn

n

x x

x x xp

x x xp p p

x x

14


Ví dụ 5. Một sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đậu lần lượt là 0,6; 0,7

và 0,8. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của số môn anh ta đậu trong ba môn đó.

5. Hàm mật độ xác suất (bnn liên tục)

a) Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là f x

là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó.

Ta có: f x F x

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng hàm mật độ xác suất chỉ áp dụng được đối với biến ngẫu nhiên liên tục vì chỉ trong trường hợp đó hàm phân phối xác suất F x mới liên

tục và khả vi với mọi giá trị x .

b) Các tính chất của hàm mật độ xác suất:

) ( ) 1 ) ( ) ( )) 0b

a

ii f x dx iii Pi f x x R a X b f x dx

Ví dụ 6. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:

3

0 0

( ) 0 1

1 1

x

F x ax x

x

a) Tìm hệ số a. b) Tìm hàm mật độ xác suất f(x). c) Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (0,2; 0,8). 5. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:

Đối với bnn rời rạc: 1

( )n

i ii

E X x p

Đối với bnn liên tục: ( )E X xf x dx

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận

của biến đó.

Tính chất:

) )

) ) . .

i E C C ii E X C E X C

iii E X Y E X E Y iv E k X k E X

) .Y .v E X E X E Y khi X và Y là các bnn độc lập.

b) Phương sai của bnn: 2 2 2( )V X E X E X

15


Đối với bnn rời rạc:

2 2 2

1 1

( )n n

i i i ii i

V X x p x p

Đối với bnn liên tục:

2 2 2( )V X x f x dx x f x dx

Phương sai là giá trị trung bình của bình phương sai số giữa X và kỳ vọng của

nó.

Chú ý:

( )E X là kì vọng của X ,

2 2

1

( )n

i ii

E X x p

là kì vọng của 2X khi X rời rạc

2 2( )E X x f x dx

là kì vọng của 2X khi X liên tục

Tính chất:

2) 0 ) ) . .Vi V C ii V X C V C iii V k X k X

)iv V X Y V X V Y khi X và Y là các bnn độc lập.

c) Độ lệch chuẩn:

Số V(X)X được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X.

Ví dụ 7. Tính phương sai và độ lệch của ĐLNN cho ở ví dụ 3.

Ví dụ 8. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau

X 0 1 2 3 4

P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

Hãy tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X.

Ví dụ 9. Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho:

1 2 3E X E X E X .

Đặt: 1 2 3

1

4G X X X

a) Tìm E(G)

b) Tìm , sao cho E G

BÀI TẬP

1. Một xạ thủ được phát 3 viên đạn và được phép bắn lần lượt từng viên cho đến khi

trúng mục tiêu thì dừng bắn. Biết xác suất bắn trúng từng viên đều là 0,8. Hãy lập bảng

16


phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch của

số viên đạn

a) trúng mục tiêu. b) anh ta đã sử dụng.

2. Một hộp chứa 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên

phấn. Gọi X là số viên phấn màu lấy được. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân

phối xác suất của X. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X.

3. Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản

phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác

suất và hàm phân phối xác suất của X.

4. Một sinh viên thi 4 môn, xác suất đậu từng môn là 0,6. Gọi X là số môn anh ta đậu.

Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X.

5. Một ôtô đi trên đoạn đường có 3 đèn tín hiệu giao thông hoạt động độc lập. Tính kì

vọng, phương sai, độ lệch của số lần ôtô dừng khi đi trên đoạn đường đó, biết rằng chỉ

tín hiệu xanh mới được phép đi và

a) cả 3 đèn đều có thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, tín hiệu vàng là 5 giây, tín hiệu

đỏ là 15 giây.

b) ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đó lần lượt là : 40 giây, 10 giây, 30

giây ; ở đèn thứ hai : 25 giây, 5 giây, 10 giây ; ở đèn thứ ba 20 giây, 5 giây, 35 giây.

17


BÀI 6. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

6.1 Phân phối Siêu bội

Phép thử: lấy ngẫu nhiên n phần tử không hoàn lại từ tập hợp gồm N phần tử, trong

đó có NA phần tử có tính chất A.

Biến ngẫu nhiên: Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra.

Khi này X có phân phối siêu bội, ký hiệu: ~ , ,AX H N N n

Công thức xác suất: A A

k n kN N N

nN

C CP X k

C

Đặc trưng: . . . . 1 .1

AN N nE X n n p V X n p p

N N

Ví dụ 1. Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.

a) X tuân theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của qui luật?

b) Tìm E(X), V(X)?

c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó?

6.2 Phân phối Nhị thức

Phép thử:

Lấy ngẫu nhiên n phần tử có hoàn lại từ tập hợp gồm N phần tử, trong đó có NA

phần tử có tính chất A.

Quan sát một quá trình Bernoulli gồm n phép thử

Biến ngẫu nhiên: Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra.

Khi này X có phân phối Nhị thức, ký hiệu: ~ ; , ANX B n p p

N

Công thức xác suất: 1n kk k

nP X k C p p

Đặc trưng: . . . 1E X n p V X n p p

Ví dụ 2. Một bài thi trắc nghiệm(multiple choice test) gồm 50 câu hỏi, mỗi câu

hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh

kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi.

a) Tính xác suất để học sinh này làm được đúng 25 câu.

b) Trung bình học sinh này trả lời được bao nhiêu câu? c) Tính phương sai của số câu học sinh này trả lời được.

Ví dụ 3. Xác suất để một bệnh nhân sống sót sau khi mắc một loại bệnh hiếm thấy về máu là 0,4. Nếu biết rằng đã có 15 người mắc loại bệnh này, tìm xác suất để

18


a) có ít nhất 10 người sống sót; b) có từ 3 đến 8 người sống sót; c) có đúng 5 người sống sót.

Ví dụ 4. Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng. b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng. 6.3 Phân phối Poisson

Phép thử: Quan sát sự xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời gian hay một

khoảng không gian.

Biến ngẫu nhiên: Gọi X là số lần biến cố xuất hiện trong khoảng quan sát.

Khi này X có phân phối Poisson, ký hiệu: ~X P với là số lần xuất hiện trung

bình của X trong khoảng quan sát.

Công thức xác suất: !

k

P X k ek

Đặc trưng: E X V X

Ví dụ 5. Số khách hàng vào một cửa hàng bách hoá trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật Poisson với mật độ là 8 khách trong 1 giờ. Tìm xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 4 khách vào?

Ví dụ 6. Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ. Tính xác suất: a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút. b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút. 6.4 Phân phối Chuẩn

Ký hiệu: 2~ ;X N

Công thức hàm mật độ: 2

221

( ) ,2

x

f x e x R

Đặc trưng: 2E X V X

Đặc điểm đồ thị:

- Đối xứng qua đường x

- Dạng hình chuông

- Hai đuôi thấp dần

- Đạt đỉnh tại x

19


2 /21

2

xf x e

2 /2

0

1

2

zxz e dx

z

Nhận dạng: thường thì đề bài sẽ tự quy định, thường gặp đối với các biến ngẫu nhiên

ngoài thực tế: chiều cao, cân nặng, lãi suất, doanh thu, phân phối của trung bình

mẫu …

Tính chất:

- Tích của bnn có phân phối chuẩn với một số cũng có phân phối chuẩn.

- Tổng hiệu của các bnn có pp chuẩn độc lập cũng có phân phối chuẩn.

Phân phối chuẩn tắc: dạng đặc biệt của họ phân phối chuẩn. Là phân phối chuẩn có

0; 1

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên: Nếu 2~ ;X N thì ~ 0;1X

Z N

Nhớ: lấy biến ngẫu nhiên trừ đi kỳ vọng sau đó chia cho phương sai

Công thức xác suất: (tính thông qua phân phối Chuẩn tắc)

1)

2) 0,5

3) 0,5

b aP a X b

a aP X a

b bP X b

1. Hàm , 0z z do giá trị xác suất (diện tích)

tính từ số 0 đến z.

2. Hàm z là hàm lẻ tức là z z

3. Khi 4z thì 0,5z

4. Đường cong f(x) bên phải là đồ thị của phân phối

Chuẩn tắc N(0;1)

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) U

Đây là một giá trị của bnn có phân phối

chuẩn tắc thỏa mãn điều kiện:

P Z U

Có nghĩa là xác suất bên phải điểm U

bằng đúng - chỉ số dưới của U

Ta dò các giá trị này trong bảng tính sẵn.

20


Ví dụ 7. Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác suất X>2Y.

Giải

Do X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và đều có phân phối chuẩn nên nếu đặt

Z=X-2Y thì Z cũng có phân phối chuẩn.

Ta có:

2 2 3 2.4 5

2 4 1 4.2 9

E T E X Y E X E Y

V T V X Y V X V Y

Vậy 2 ~ 5;9T X Y N

0 5

2 0 1,67 0,5 1,67 0,04753

P X Y P T P Z P Z

Thông thường khi tính xác suất của phân phối chuẩn ta hay đưa về phân phối chuẩn

tắc Z. Sau đó áp dụng quy tắc hàm hoặc kết hợp với thông tin xác suất đề cho để

tính xác suất.

Ví dụ 8. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại một cửa hàng là bnn X,

biết X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?

b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là không quá 5%?

Ví dụ 9. Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên

tuân theo wui luật chuẩn với μ=100 gam và σ=1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu

chuẩn nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gam.

a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy?

b) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy?

c) Giải thích bằng đồ thị kết quả tìm được ở phần a?

6.5 Phân phối Khi bình phương

Ký hiệu: 2~X n

Công thức hàm mật độ: quá phức tạp, không xét.

Đặc trưng: E X n V X n

21



- Không đối xứng, bị lệch bên phải.

- Chỉ nhận giá trị dương

- Chỉ có một đuôi và thấp dần

- Khi bậc tự do n lớn thì đồ thị ngày càng đối xứng

và di chuyển sang phải.


liên quan đến phương sai mẫu trong bài toán lý thuyết mẫu.

Tính chất:

- Bắt nguồn từ tổng bình phương các bnn độc lập có phân phối N(0;1).

- Tổng các bnn độc lập có pp Khi bình phương cũng có phân phối Khi bình phương.

- Xấp xỉ với phân phối chuẩn khi bậc tự do lớn. Ta có: 2~ ; 2X n N n n

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) 2 n

Là giá trị của bnn có phân phối Khi bình

phương n bậc tự do thỏa mãn:

2 2P n n

Có nghĩa là xác suất bên phải điểm 2 n

bằng đúng - chỉ số dưới của 2 n

Ta dò các giá trị này trong bảng tính sẵn.

6.6 Phân phối Student

Ký hiệu: ~X t n


Đặc trưng: 02

nE X V X

n


- Đối xứng qua 0.

- Nhận giá trị trong R

- Hai đuôi thấp dần

- Khi bậc tự do n lớn thì xấp xỉ được với phân

phối chuẩn tắc.

22



chuẩn hóa của trung bình mẫu.

Tính chất:

- Sinh ra khi một biến ngẫu nhiên Chuẩn tắc và Khi bình phương kết hợp nhau.

- Xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc khi bậc tự do lớn. Ta có: ~ t 0;1X n N

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) nt

Là giá trị của bnn có phân phối Student n bậc

tự do thỏa mãn:

nP t n t

Có nghĩa là xác suất bên phải điểm nt bằng

đúng - chỉ số dưới của t n

Ta dò các giá trị này trong bảng tính sẵn. Khi

n>30 thì nt U

6.7 Phân phối Fisher

Ký hiệu: ~ ;X F n m



- Giống đồ thị của Khi bình phương

- Chỉ nhận giá trị dương

- Khi hai bậc tự do tăng thì phân phối ngày càng đối

xứng.


là thương của hai phương sai mẫu.

Tính chất:

- Sinh ra khi hai biến ngẫu nhiên Khi bình phương kết hợp nhau.

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) ,n mf

23


Là giá trị của bnn có phân phối Fisher với bậc

tự do là (n, m) và thỏa mãn:

,n mP F f

Có nghĩa là xác suất bên phải điểm ,n mf

bằng đúng - chỉ số dưới của ,n mf

Ta dò các giá trị này trong bảng tính sẵn. ,n mf

24


BÀI 7. LÝ THUYẾT MẪU

1. Tổng thể:

Tổng thể là tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu. Các phần tử của tổng thể có

chung dấu hiệu nghiên cứu X, gọi là biến ngẫu nhiên gốc của tổng thể.

Phân phối xác suất của X gọi là phân phối của tổng thể.

Đặc điểm của tổng thể:

Ký hiệu Công thức

Kích thước N (rất lớn)

Trung bình E X 1 2 ... Nx x x

N

Phương sai 2 V X 22 2

1 22 ... Nx x x

N

Tỷ lệ p Mp

N

Tỷ lệ tổng thể (về t/c A): M

pN

trong đó M là số lượng phần tử có tính chất

A trong tổng thể.

Các số 2, , p gọi là các tham số của tổng thể. Thông thường các giá trị trên không

xác định trước.

2. Bài toán lý thuyết mẫu

Ta muốn xác định các tham số của tổng thể. Nhưng do vấn đề về thời gian, tiền bạc,

sai sót … nên không thể tiến hành điều tra toàn bộ các phần tử của tổng thể. Do đó, ta

chọn một nhóm phần tử từ tổng thể, gọi là mẫu. Từ các kết quả nghiên cứu trên mẫu ta

tìm cách suy diễn các kết quả của tổng thể.

Cho tổng thể có trung bình , phương sai 2 và tỷ lệ p chưa biết.

Lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ tổng thể. Khi này ta được một mẫu ngẫu nhiên ký hiệu

1 2, ,...,W nX X X với iX là giá trị của đối tượng thứ i được lấy vào mẫu.

Một số tính chất cần nhớ:

X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên.

X1, X2, …, Xn độc lập nhau.

X1, X2, …, Xn có cùng phân phối xác suất với X (có tính chất như X).

25


1 2 ... nE X E X E X E X

21 2 ... nV X V X V X V X

3. Một số đặc trưng của mẫu:

Thống kê mẫu Ký hiệu Công thức tính

Kích thước n

Trung bình X 1 2 ... nX X X

Xn

Phương sai chưa hiệu

chỉnh 2

S 2 2 2

2 1 2 ... nX X X X X XS

n

Phương sai đã hiệu

chỉnh

2S 2 2 2

1 22...

1

nX X X X X XS

n

Phương sai biết *2S

22 2

1 2*2 ... nX X XS

n

Tỷ lệ F Y

Fn

; Y là số phần tử có t/c A trong mẫu

4. Các tham số đặc trưng của các thống kê mẫu

4.1 Kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu X

Ta có: 1 2 ... nX X XX

n

trong đó 1 2,X ,...,W nX X là mẫu cỡ n lấy ra từ tổng

thể có trung bình và phương sai 2 .

Ta có: 2; 1,2,...,i iE X V X i n

Do đó:

1 21 2

2 2 2 2 21 21 2

2 2 2

...... ... .

...... ... .

nn

nn

E X E X E XX X X nE X E

n n n n

V X V X V XX X X nV X V

n n n n n

4.2 Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu F

Gọi Y là số phần tử có tính chất A trong mẫu cỡ n lấy từ tổng thể.

Ta có: ~ ;Y B n p và Y

Fn

Theo tính chất phân phối Nhị thức ta có: . . . 1E Y n p V Y n p p

26


Do đó:

2 2

.

. . 1 1

E YY n pE F E p

n n n

V Y n p p p pYV F V

n n n n

4.3 Kỳ vọng và phương sai mẫu

Ta có:

2 2 2

2 1 2

2 2 22 2

1 1 1

2 22 2

1 1

22 2 2 2 2 2 2

1

...

1 12 2

1 1

1 1. . .

n

n n n

i i ii i i

n n

i ii i

n

i

X X X X X XE S E

n

E X X X nX E X nX nXn n

E X nX E X nE Xn n

nn n n n

n n n

21

n

2 2 2

21 22

22

2 2

...

1 1

1.

1 1

nX X X X X X nE S E E S

n n

nn nE S E S

n n n

22 2

1 2*2

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 2

1

...

1 12 2 .

1 12 2 . .

1 1. . .

n

n n n

i i ii i i

n n

ii i

n

i

X X XE S E

n

E X X n E X nX nn n

E X nE X n n nn n

nn n n n

n n

2

2

n

4.4 Tổng hợp:

Trung bình mẫu Phương sai mẫu Tỷ lệ mẫu

2

;E X V Xn

22 2 *2 21;

nE S E S E S

n

1;

p pE F p V F

n

27


5. Phân phối xác suất của các thống kê mẫu

5.1 Phân phối xác suất của ,X F

Nếu tổng thể có phân phối chuẩn: 2

~ N ;Xn

đúng với mọi n

Nếu tổng thể không có phân phối chuẩn: 2

N ;Xn

khi 30n

Khi cỡ mẫu trên 30 thì: 1

~ ;p pY

F N pn n

Phân phối xác suất của các phương sai mẫu không thường gặp.

5.2 Phân phối của một số thống kê mẫu đặc biệt

2 *22 2

2 2

~ N 0;1 ; ~ t 1 ;

1~ 1 ; ~

~ N 0;11

X n X nZ Z n

S

n S nSZ n Z n

F p nZ

p p

6. Tính toán các thống kê mẫu

Với mẫu đã cho, tính các thống kê mẫu như trung bình mẫu, các phương sai mẫu và tỷ

lệ mẫu.

Yêu cầu: tính đúng, ký hiệu đúng và làm tròn đúng.

Thông thường mẫu được cho dạng bảng tần số dạng điểm hoặc bảng tần số ghép lớp.

Đôi khi mẫu cho dưới dạng các số đặc trưng: tổng tần số, tổng giá trị và tổng bình

phương các giá trị.

6.1 Dùng bảng và công thức tính

Ví dụ. Điều tra năng suất lúa của một vùng, ta có bảng số liệu sau

Năng suất lúa (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54

Diện tích có năng suất lúa tương ứng (ha) 10 20 30 15 10 10 5

Hãy tính các đặc trưng mẫu.

Giải

Ta lập bảng tính các số liệu cần thiết

28


ix in i ix n

2i ix n

41

44

45

46

48

52

54

10

20

30

15

10

10

5

410

880

1350

690

480

520

270

16810

38720

60750

31740

23040

27040

14580

n = 100 4600 212680

Do đó 4600

100X = 46 ; 2 212680

2126,8100

X ;

2S

= 2126,8 – 462 = 10,8 ;

S2 = 100

99.10,8 = 10,9091 ; S = 3,3029.

Ví dụ. Để nghiên cứu nhu cầu mua gạo ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra

một số gia đình và ghi kết quả ở bảng sau đây.

Nhu cầu (kg/tháng)

Số gia đình Nhu cầu Số gia đình

30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 - 55

45 68

103 179 208

55 – 60 60 – 65 65 – 70 70 – 75 75 - 80

182 151 115

94 55

a) Hãy tính các đặc trưng mẫu.

b) Tính tỉ lệ mẫu có nhu cầu trên 60 kg/tháng.

Giải a) Ta lập bảng các giá trị của mẫu

ix in i ix n

2i ix n

32,5

37,5

42,5

47,5

52,5

57,5

45

68

103

179

208

182

1462,5

2550

4377,5

8502,5

10920

10465

47531,25

95625

186043,75

403868,75

573300

601737,5

29


62,5

67,5

72,5

77,5

151

115

94

55

9437,5

7762,5

6815

4262,5

589843,75

523968,75

494087,5

330343,75

1200 66555 3846350

2

2

22 22

2 2

66555 38463503205,55,4625

129,2028; 129,3105 1

29171200

1,3715

0

.

12 0

1=

i i i i

i i

n x n xX X

n

S S S S S

n

nX X

n

b) Xem mẫu đã cho là mẫu định tính có kích thước n = 1200; xem tính chất A là có

nhu cầu trên 60 kg/tháng thì số phần tử có tính chất A của mẫu là:

k = 151 + 115 + 94 + 55 = 415.

Vậy tỉ lệ mẫu cần tìm là: 415

0,34581200

kf

n

BÀI TẬP

1. Đo chiều cao của một số thanh niên lứa tuổi 18 – 20 ở HCM, ta thu được bảng sau

đây

Chiều cao (cm) Số người có chiều cao tương ứng

154 – 158

158 – 162

162 – 166

166 – 170

170 – 174

174 – 178

178 - 182

10

14

26

28

12

8

2

a) Hãy tính các đặc trưng mẫu. b) Tính tỉ lệ mẫu có chiều cao trên 1,7m.

2. Điểm kiểm tra môn xác suất thống kê của một số sinh viên được cho trong bảng sau.

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số sinh viên 1 2 5 10 20 48 3 22 10 5 2

a) Tính điểm kiểm tra trung bình và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu đó.

b) Tìm tỉ lệ mẫu có điểm kiểm tra dưới trung bình.

3. Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng đèn, người ta thắp thử 100 bóng và có số

liệu sau.

30


Tuổi thọ (giờ) Số bóng tương ứng

1010 – 1030

1030 – 1050

1050 – 1070

1070 – 1090

1090 – 1110

1110 – 1130

1130 – 1150

1150 – 1170

1170 – 1190

1190 – 1210

2

3

8

13

25

20

12

10

6

1

Sau khi cải tiến kĩ thuật, người ta lại thắp thử 100 bóng, kết quả là

Tuổi thọ (giờ) 1150 1160 1170 1180 1190 1200

Số bóng 10 15 20 30 15 10

Hãy so sánh tuổi thọ trung bình và độ lệch mẫu hiệu chỉnh của các bóng đèn trước

và sau khi cải tiến kĩ thuật.

Cách 2. Sử dụng máy tính và công thức

1. Shift + 9 + 3 + = + =: Reset máy

2. Shift + Mode + + 4 + 1: bật tần số

3. Mode + 3 + 1: vào tính thống kê 1 biến

4. Khi này ta có bảng sau:

X (giá trị) FREQ (tần số)

1

2

3

5. Nhập số liệu, kiểm tra và nhấn AC để thoát ra.

6. Lấy số liệu thống kê: Shift + 1 + 5 (hoặc 4 tùy máy). Ta có bảng sau:

1: n (cỡ mẫu) 2: x (trung bình mẫu)

3: x (ĐLC mẫu chưa hiệu chỉnh) 4: sx (ĐLC mẫu đã hiệu chỉnh)

31


BÀI 8. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Dùng để suy diễn các tham số đặc trưng của tổng thể dựa trên các thống kê đặc

trưng của mẫu. Đó là các tham số như: giá trị trung bình, phương sai, tỉ lệ tổng thể về

một tính chất nào đó.

8.1. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Tổng thể có các tham số chưa biết, chẳng hạn 2, , p . Ta ước lượng điểm tức là tìm

cách xác định gần đúng giá trị của các tham số này bằng một “giá trị đại diện” nào đó.

Thông thường, giá trị đại diện này là một thống kê mẫu. Tức là một biến ngẫu nhiên

xác định trên mẫu tổng quát, giá trị của nó có thể thay đổi, biến đổi từ mẫu cụ thể này

sang mẫu cụ thể khác.

Tóm lại, tìm một ước lượng điểm đồng nghĩa với việc tìm một thống kê mẫu. Trên

mẫu có thể xác định được rất nhiều thống kê. Do đó ta cần có các tiêu chuẩn cụ thể.

1. Ước lượng điểm không chệch

Định nghĩa. Thống kê T gọi là một ước lượng điểm không chệch (ULKC) của tham số

nếu E T .

Ý nghĩa. Giá trị trung bình của thống kê T trên các mẫu bằng đúng giá trị của tham số

cần ước lượng.

Chú ý.

Trường hợp E T thì T gọi là một ước lượng chệch (ULC) của .

Có vô số các ULKC của tham số .

Trong hai ULKC, ước lượng nào có phương sai nhỏ hơn thì hiệu quả hơn.

Ví dụ 1.

X là ULKC của vì ………………………………………………………………….

2 *2;S S là ULKC của 2 vì …………………………………………………………….

F là ULKC của p vì …………………………………………………………………..

2

S là ULC của 2 vì …………………………………………………………………...

32


Ví dụ 2. Cho mẫu ngẫu nhiên 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , ,W X X X X X X X X lập từ tổng thể

phân phối chuẩn 2;N . Lập các thống kê sau:

8 5

1 2 6 7 81 1

1 1, 2 3 4

8 14i i

i i

Y X Y X X X X

.

a. Nêu quy luật phân phối xác suất, tính kỳ vọng toán của Y1, Y2. b. Chứng minh rằng thống kê Y1 hiệu quả hơn thống kê Y2 khi dùng để ước lượng

cho µ. Giải.

a) Vì tổng thể có phân phối chuẩn 2;N nên bnn gốc 2~ ;X N

Theo lý thuyết mẫu thì các bnn iX độc lập nhau và có cùng phân phối với X.

Do đó: 2~ ;iX N và 2;i iE X V X

Do 1 2,Y Y là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên iX độc lập và có phân phối

chuẩn nên 1 2,Y Y cũng có phân phối chuẩn.

Ta có:

8 8 8

11 1 1

2 28 8 82

1 2 21 1 1

1 1 1

8 8 8

1 1 1 8

8 8 8 64 8

i ii i i

i ii i i

E Y E X E X

V Y V X V X

5 5

2 6 7 8 6 7 81 1

5 5

2 6 7 81 1

5 5

2 6 7 8 21 1

1 12 3 4 2 3 4

14 14

1 12 3 4 2 3 4

14 14

1 12 3 4

14 14

i ii i

ii i

i ii i

E Y E X X X X E X E X E X E X

E Y E X E X E X E X

V Y V X X X X V X

6 7 8

5 52 2 2 2 2 2 2

2 6 7 821 1

2 22

2 3 4

1 12 3 4 4 9 16

14 296

5 4 9 16 34

296 296

ii i

V X V X V X

V Y V X V X V X V X

V Y

b) Ta có: 1 2E Y E Y nên hai thống kê Y1 và Y2 đều là các ULKC của µ.

33


Như đã tính ở trên vì 2 22 1

34 1

296 8V Y V Y nên thống kê Y1 hiệu quả hơn

thống kê Y2 khi dùng để ước lượng cho µ.

Ghi chú: để so sánh hiệu quả của hai ước lượng thì trước đó cần chứng tỏ hai ước

lượng đó đều là các ước lượng không chệch.

2. Ước lượng điểm hiệu quả

Định nghĩa. Trong số tất cả các thống kê là ULKC của tham số . Thống kê nào có

phương sai nhỏ nhất thì thống kê đó là ước lượng điểm hiệu quả (ULHQ) của tham số

.

Nhận xét. Vì có vô số các ULKC nên ta không thể so sánh từng cặp các ULKC cho

đến hết. Thông thường ta dùng bất đẳng thức Rao – Crammer để tìm giá trị nhỏ nhất

của phương sai của các thống kê là ULKC. Sau đó cố gắng tìm một ULKC nào đó có

phương sai đúng bằng giá trị nhỏ nhất ở trên.

Bài toán tìm ULHQ khá khó nên thông thường đề bài yêu cầu tìm hoặc chứng minh

một thống kê là ULHQ trong một lớp các ULKC nào đó mà thôi. Khi này sinh viên

nhớ liên hệ với bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến.

8.2. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Ta đã biết, các ước lượng điểm là một giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên với một phân

phối xác suất nào đó, ví dụ trung bình và tỉ lệ mẫu (với mẫu đủ lớn) có phân phối

chuẩn. Chúng không thể hiện tính chính xác của ước lượng. Do vậy, cần thực hiện ước

lượng khoảng, nghĩa là dựa vào dữ liệu mẫu, với một độ tin cậy cho trước, xác định

khoảng giá trị mà đặc trưng của tổng thể có thể rơi vào.

Một cách tổng quát, gọi là đặc trưng của tổng thể cần ước lượng. Giả sử dựa vào

mẫu quan sát ta tìm được hai thống kê mẫu hay hai biến ngẫu nhiên A và B sao cho

xác suất ( ) 1P A B .

Các dạng khoảng ước lượng thường sử dụng:

KUL hai phía có dạng ;A B

KUL tối đa (bên trái) có dạng ; B

KUL tối thiểu (bên phải) ;A

Đối với bài toán ước lượng hai phía, gọi a, b là các giá trị cụ thể của A và B, thì

khoảng (a,b) được gọi là khoảng ước lượng của với độ tin cậy 1 .

34


Ta gọi a, b lần lượt là giới hạn tin cậy dưới, giới hạn tin cậy trên; 1

( )2

b a là độ

chính xác (hay sai số) của ước lượng khoảng.

Nói chung, với cỡ mẫu n cố định thì độ tin cậy và độ chính xác có xu hướng đối lập

nhau. Khoảng ước lượng càng dài (độ chính xác thấp) thì càng có cơ hội trúng cao (độ

tin cậy cao). Ngược lại, khoảng ước lượng càng ngắn (độ chính xác cao) thì càng dễ

trật (độ tin cậy thấp).

8.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH CHO TỔNG THỂ

1. Bài toán

Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn và có giá trị trung bình là chưa biết. Ta cần ước

lượng với độ tin cậy 1 cho trước. Ta cũng giả thiết rằng ta đã có một mẫu gồm

n quan sát được chọn từ tổng thể đó và đã tính được trung bình mẫu X ( một ước

lượng điểm của ), độ lệch mẫu hiệu chỉnh S . Khi đó tuỳ từng trường hợp cụ thể, ta

có phương pháp tìm khoảng ước lượng như sau.

2. Trường hợp đã biết phương sai 2

Dạng KUL Công thức tính

Hai phía ;x x /2un

Tối đa ; x un

Tối thiểu ;x un

Chú ý:

/2u là giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc N(0;1). Đây là điểm trên phân

phối chuẩn tắc có xác suất bên phải nó bằng 2

. Hay /2 / 2P Z u

n

chính là độ lệch chuẩn của X - chính là ULKC của

Như vậy, độ chính xác .GTTH DLC .

Nếu đề bài không nói rõ ước lượng khoảng một phía thì sinh viên dùng khoảng

ước lượng hai phía (đối xứng) để làm bài.

35


Ví dụ 1. Kết quả thu thập trong 15 ngày tại một công ty cho thấy trung bình một ngày

có 267 trang tài liệu được chuyển đi bằng fax. Theo kinh nghiệm từ các văn phòng

tương tự thì độ lệch tiêu chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số trang tài liệu chuyển bằng

fax trong một ngày có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển

trong một ngày của công ty với độ tin cậy 95%.

Ví dụ 2. Một mẫu gồm 16 sản phẩm được chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn với

phương sai là 25. Cho biết trung bình mẫu là 330 gam. Hãy xác định khoảng ước

lượng cho trung bình của tổng thể với độ tin cậy 90%.

3. Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể

Dạng KUL Công thức tính

Hai phía ;x x 1

/2

n St

n

Tối đa ; x 1n S

tn

Tối thiểu ;x 1n S

tn

Chú ý:

1

/2

nt

là giá trị tới hạn của phân phối Student t(n-1). Đây là điểm trên phân phối

Student có xác suất bên phải nó bằng 2

. Hay 1

/2 / 2n

P Z t với Z~t(n-1)

Do chưa biết nên ta thay bằng S . Do S là ULKC, HQ của .

Khi 30n thì 1

/2 /2

nt u

do phân phối Student xấp xỉ với phân phối Chuẩn

tắc.

Như vậy nếu cỡ mẫu trên 30 thì /2

Su

n (bài toán hai phía).

Ví dụ 3. Khảo sát 100 sinh viên chọn ngẫu nhiên trong trường thì thấy điểm trung bình

môn Toán là 5,12 và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 0,0676. Hãy ước lượng điểm trung

bình môn Toán của sinh viên toàn trường với độ tin cậy 97%.

Ví dụ 4. Chọn ngẫu nhiên 49 sản phẩm từ một lô hàng. Kết quả kiểm tra cho thấy tuổi

thọ trung bình của các sản phẩm đó là 485 giờ và độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 36 giờ.

Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của cả lô hàng với độ tin cậy 99%.

36


Ví dụ 5. Chiều dài của một loại sản phẩm có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản

phẩm được chiều dài trung bình là 10,02 m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 0,04 m. Tìm

khoảng ước lượng chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%.

Ví dụ 6. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 khách hàng sử dụng dịch vụ ATM thuộc hệ

thống của một ngân hàng được ghi nhận về thời gian (giây) thực hiện xong một dịch

vụ: 65, 30, 40, 58, 26, 60, 75, 45, 50, 36, 76, 34, 38, 50, 44, 56. Giả sử thời gian thực

hiện dịch vụ qua ATM có phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng ước lượng cho thời gian

trung bình thực hiện dịch vụ qua ATM với độ tin cậy 99%.

BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM · Nguyễn Văn Tiến FTU.HCMC Ôn tập Xác suất & Thống kê Ví...

Documents

Transcript of BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM · Nguyễn Văn Tiến FTU.HCMC Ôn tập Xác suất & Thống kê Ví...