BGL?=J:EG?LJ:GKNHJF:PB3? · 2019. 11. 27. · aco k2 1:dhkmiheZag_dhg_p_gljZpb _o_fb kdbo\jklZ 3 04...
Transcript of BGL?=J:EG?LJ:GKNHJF:PB3? · 2019. 11. 27. · aco k2 1:dhkmiheZag_dhg_p_gljZpb _o_fb kdbo\jklZ 3 04...
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 1
ПОГЛАВЉЕ 10:
ИНТЕГРАЛНЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ Задаци
Извршите Лапласова трансформације без коришћења таблица: Задатак 1
Задатак 2
Задатак 3
1 0 1
1 1 2
0 2
t
f t t
t
Задатак 4
0
0 0 0
0
0
2 2
0 2
t t t
f t t t t t t
t t
Задатак 5
Задатак 6
4( ) 5 th t e
Задатак 7
23 tf t e
Задатак 8
54 2 tf t t e
Задатак 9
1f t t
Задатак 10
51 3 tt e
Задатак 11
22 tf t t e
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 2
Разложите разломак Задатак 12
6111
34
sss
s.
Задатак 13
1
6971122
23
xxx
xxxx
Задатак 14
13
12
2
xx
x
Извршите Лапласове трансформације Задатак 15
2 77 cos 3 2 sin 5t te t e t
Задатак 16
48 6 sin 5 9 cos 5t t t
Задатак 17
tettty
22 723 Задатак 18
3 53 1 tt t e
Задатак 19
2 5cos 2 sin 2
2
te t t
Задатак 20
1 3 2 t te e t
Задатак 21
tettty
22 723
Задатак 22
tettty
53 23sin3
Задатак 23
Задатак 24
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 3
Задатак 25
3 2
3
3 2 7
sin 2
8 cos2
t
f t t t
g t e t
th t
Задатак 26
2 7
2 5
7 cos 3 2 sin 5
3 sin 2
2
t t
t
f t e t e t
g t t t
h t t e
Извршите инверзне Лапласове трансформације Задатак 27
2 6 14
s
s s
Задатак 28
2
3
6 25
s
s s
Задатак 29
4 2
1
9s s
Задатак 30
2
6
4 20 24s s
Задатак 31
2
2
3 4
s
s s
Задатак 32
2
1
2
s
s s
Задатак 33
32
5
1 s s
Задатак 34
2
2
9
s
s
Задатак 35
25
1822
s
ssY
Задатак 36
22 3
7
s
ssY
Задатак 37
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 4
1)
13
2
a
s
2
3)
4b
s
2
1)
4c
s
3
1 2)
sd
s
4 2
1)
9e
s s
Задатак 38
4
3)
2a
s
3
)2
bs s
Задатак 39
Задатак 40
Решите диференцијалну једначину Задатак 41
2'' 2 ' 3 ty y t e
'0 0 0y y
Задатак 42 '' '2 t
y y y e 0 0y и ' 0 0y
Задатак 43
'' ' 30 cos 3y y t '0 0 0y y .
Задатак 44
2cost+2 =y + 'y' y’(0) = 0 и y (0) = 0.
Задатак 45
3) ' 0 1ta y t y t e y
Решите систем диференцијалних једначина: Задатак 46
' 2 1y z '2 2y z t
0 0y и 0 1z .
Задатак 46 ' 0x y
' 0y x
Задатак 47
I једначина '' ''' 2t
x y y x e
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 5
II једначина '' '2 '' 2x y x y t
' '0 0 0 0 0 x y x y
Задатак 48
Реакција се одвија по следећем механизму:
ka b
Ако су полазне конецентрације хемијских врста 30 4
mola
dm и 3
0 0mol
bdm
, одредити
функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 49
Нађите зависност концентрација појединачних компоненти у реакцији од времена, за почетне услове 5k , 0 2a , 0 1b и 0 0c :
A B C Задатак 50
Реакција се одвија по следећем механизму: 1 2k
a b
2 1ka c
Ако су полазне конецентрације хемијских врста 30 4
mola
dm , 3
0 0mol
bdm
и 30 0
molc
dm , одредити
функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 51
Реакција се одвија по следећем механизму:
1 21 2k kc a b
Ако су полазне конецентрације хемијских врста 30 0
mola
dm, 3
0 0mol
bdm
, 30 1
molc
dmодредити
функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 52 Реакција се одвија по следећем механизму:
1k
CA 2k
CB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=Б0 и С=0, одредити њихову
функционалну зависност од температуре.
Задатак 53
Реакција се одвија по следећем механизму:
1k
BA 2k
AB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=0 и С=0, одредити њихову
функционалну зависност од температуре.
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 6
Задатак 54
Реакција се одвија по следећем механизму:
1k
BA +Ц 2k
CB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=0 и С=0, одредити њихову функционалну зависност концентрација компонената А и В од времена.
Решења Извршите Лапласова трансформације без коришћења таблица:
Задатак 1
Задатак 2
1 2 1 2
2
0 10 1 2
1 1 11 1 0 | | 1 2s t s t s t s t s t s s
e dt e dt e dt e e e es s s
Задатак 3
1 2
2 2
2 2 2
0 1 2
1 1 2 12 0s t s t s t s s s
t e dt t e dt e dt e e es s s s
Задатак 4
0 0
0 0
0 0
2
20 2
0 2
12 0 1 2
t t
s t s ts t s t s t
t t
t e dt t t e dt e dt e es
Задатак 5 0
0
00
0t
s ts t s t
t
ce dt c e dt e
s
Задатак 6
000
)4(5
)4(545)( dt
stedt
stedt
ste
tesF
Задатак 7
2 22 2
0 00 0 0 0 0
3 13 3 3 | |
2
3
s t s tt st st t st st st
s
F s e e dt e dt e e dt e dt e dt e es s
es
020 1
2
sse e
s
02 0
2
3 1 6 2
2 2
s se
s s s s
Задатак 8
55
0 0 0
4 2 4 2s tt s t s t
F s t e e dt t e dt e dt
u t
du dt
1 s t
s t
v es
dv e dt
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 7
5 0
20 0 0
0
5 5 0
2
1 1 1 1 14 | 4 2 | 4 0 4 |
5
1 12 4
5
s ts t s t s s s t
s s t
F s t e e dt e e e es s s s s
e e es s
2
0
2 2 3
1 1 1 2 4 202 4 2
5 5 5t s s
es s s s s
Задатак 9
0 0 0
1 s t s t s tF s t e dt t e dt e dt
u t
du dt
1 s t
s t
v es
dv e dt
0
0 0
1 1 1|s t s t s t s
F s t e e dt e dt es s s
0
0
20 0
2
1 10 | |
1
s s t s t
s
e e es s
es
00 1s s
e es
00
2
1 1se
s s
Задатак 10
5 55 5 5
0 0 0 0 0
1 3 3 3s t s tt s t t s t t s t
t e e dt e e dt t e e dt e dt t e dt
5
51
5
s t
s t
u t dv e dt
du dt v es
5 5 5
0 00
1 1 1| 3 |
5 5 5
s t s t s te t e e dt
s s s
51
5
se
s
05 0 51 1
35 5
s se e
s s
0
5 0 5
20
1 10 |
5 5
s s te e
s s
5
2
1 13
5 5
se
s s
0
5 0
2 2 2
1 1 1 23
55 5 5
s se
ss s s
Задатак 11
2 2
0 0 0
2 2
1
t st st t st
s t s t
F s t e e dt t e dt e e dt
смена u t du dt
dv e dt v es
2 2
20 0 0
0 0
2
1 1 1 2| 2 | |
2
1 2
2
s t s ts t s t s tF s t e e dt e dt e e
s s s s
s s
Разложите разломак
Задатак 12
611
1
10
33
15
1
2
1
sss.
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 8
Задатак 13
xx
x
x
x 6
1
2
1
32
Задатак 14
1
1
3
1
2
12
xx
x
Извршите Лапласове трансформације
Задатак 15 1
2
3 3
1
e
s s s
Задатак 16
5 2
192 30 9
25
s
s s
Задатак 17
4 3
18 4 7 1Y(s)=
2s s s s
Задатак 18
3 5 4 3 53 1 3 3t tf t t t e t t e
5 4 5 4
4! 3! 1 72 18 13 3
5 5F s
s s s s s s
Задатак 19
2 2 2
2 2
5 5 2 5 2cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
2 2 22 4 2 4
t t t s
e t t e t e ts s
Задатак 20
2
1 1 2 3
1 2s s s s
Задатак 21
2
1741832
ssss
Задатак 22
5
2
3
31824
sss
Задатак 23
2
3
9+(1+s)
Задатак 24
3 2
2 3 2 - +
(-2+s) (-2+s) (-2+s)
Задатак 25
4 3 3 2 22
18 4 7 1 2 8 sF(s)= - + ; G(s)= + ; H(s)=- +
1s s s e s 2+s s +s4
Задатак 26
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 9
2 2 2
7 (-2+s) 140 e sF(s)= - ;
9+(-2+s) (25+s )
2 2
12sG(s)=
(4+s ); 4 2
-6 2H s =-5 e +
s s
Извршите инверзне Лапласове трансформације
Задатак 27
315 cos 5 3 5 sin 5
5t
e t t
Задатак 28
. .3
2 22 2
3 3 3cos 4
6 25 3 16 3 4
L Pts s s
e ts s s s
Задатак 29
4 2 22 2
1 1
9 3 39
A B C D
s s s s s ss s
2 2
22 2
19
3 39
A B C Ds s
s s s ss s
2 2 2 21 9 9 3 3A s s B s C s s D s s
3 2 3 2 2 3 21 9 9 3 3A s s B s C s s D s s s
3
2
: 0
: 3 3 0
: 9 0
: 9 1
s A C D
s B C D
s A
const B
1 1 10
9 54 54A B C D
4 2 22 2
1 1 1 1 1
9 9 54 3 54 39
B C D
s s s s ss s
3 31 1 1
9 54 54t t
t e e
Задатак 30
2 2 2
6 6 3 3 1
4 20 24 2 2 3 24 5 6 2 2 3 6
3 1
2 2 3
s s s s ss s s s s
s s
3 1 32 3
2 2 3 2 2 3
A Bs s
s s s s
3 33 2
2 2A s B s
1 :s 0A B 0 :s 3 2 1A B
1A 1B
. .
2 3
2
6 3 1 1 3
4 20 24 2 2 3 2
L Pt t
e es s s s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 10
Задатак 31
2
2 21 4
1 4 1 43 4
s s A Bs s
s s s ss s
2 4 1s A s B s 1 :s 1A B 0 :s 4 2A B
1
5A
6
5B
41 6
5 5t t
f t e e
Задатак 32
22
1 1cosh
2 1 1
ts se t
s s s
Задатак 33
2
3 3 222
5 5 15 5 10 155 15 5 10 15
11 1 1
t t t
t t e t e es s ss s s s
Задатак 34
2 2 2
2 2 2cos3 cos3
9 9 9 3
s s
t ts s s
Задатак 35
182 cos 5 sin 5
5t t
Задатак 36
tt 3sin6
37
Задатак 37
а) 62 te ; б)3/2 Sin[2t] ;ц) 2 41
14
t te e ; д)
2
22
tt ; е) -3 t 3 t1/54 e e /54 /9 t
Задатак 38
а) 2 31
2t
e t ; б) 2 t1/ 2 -1+e
Задатак 39
a) 1/2 t Sin[t] ; б)1/2(-t Cos[t]+Sin[t])
Задатак 40
а) -3t 27/2 e t ; б) -t 5 t1/5 e 1 6 e
Решите диференцијалну једначину
Задатак 41
2 0s Y s s y 0
' 0y 0
2 2 0s Y s y 0
2
1 13 3
2s s
2
2
1 12 3 3
2Y s s s
s s
2
1 12 3
2Y s s s
s s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 11
2
3 1 1
2 2Y s
s s s s
23
1 13
2 2Y s
s s s s
3
2 33
12
22
A B C Ds s
s s s ss s
2 31 2 2 2A s s B s s C s D s
3 21 2 2 2s A D s B A s C B C
3
2
1
0
: 0
: 2 0
: 2 0
: 2 1
s A D
s B A
s C B
s C
1
8A
1
4B
1
2C
1
8D
3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 8 4 2 8 2s s s s s s
2
2 2
12
22 2
E F Gs s
s ss s s
21 2 2E s F s s G s
21 4 2 4s E F s E F G E
2
1
0
: 0
: 4 2 0
: 4 1
s E F
s E F G
s E
1
4E
1
4F
1
2G
2 2
1 1 1 1 1 1 1
4 4 2 22 2s ss s s
22 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
8 4 2 8 2 4 4 2 2 2Y s
s s s s s s s
2 2 2 21 1 1 1 1 1 13
8 4 4 8 4 4 2t t t
y t t t e e t e
Задатак 42
2 0s Y s s y 0
' 0y 0
2 0s Y s y 0 1
1Y s
s
3 3
1 2 1
21 1Y s
s s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 12
21
2t
y t t e
Задатак 43 2 0s Y s s y
0' 0y
0
0s Y s y 0
230
9
s
s
21 30
9
ss s Y s
s
1Y s
s
30
1
s
s
2 9s
2
22
301 9
9 11 9
A s B Cs s
s ss s
230 1 9A s B s C s
2 230 9A s C s A s B s B C 2 :s 0A C 1 :s 0A B 0 :s 9 0B C
3A 3B 3C
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 9 1 9 9
s sY s
s s s s s
3 3 cos 3 sin 3ty t e t t
Задатак 44
2 2 cos siny t t t t
Задатак 45
a) 2
2
3 e+s
(-1+s)s
;
t-3 e+e (1+3 e)-3 e t ; б) 1/(-1+s) ; te ; ц)
3
2 2
(1+s+s )
(1+s ) (4+s );
1/6 (6 Cos[2 t]+2 Sin[t]-Sin[2 t])
Решите систем диференцијалних једначина: Задатак 46
I једначина 2 1dy
zdt
10 2s Y s y Z s
s
II једначина 2 2dz
y tdt
2
12 0 2Y s s Z s z
s
I једначина 12 2s Y s Z s
s
II једначина 2
12 1 2Y s s Z s s
s
I једначина 22 4s Y s Z s
s
II једначина 2 22 s Y s s Z s s
s
I једначина 22 4s Y s Z s
s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 13
I II једначина 2 4s Z s Z s s
I једначина 22 4s Y s Z s
s
I II једначина 2 4
sZ s
s
I једначина 2
22 4
4
ss Y s
s s
I II једначина 2 4
sZ s
s
I једначина 2 2
1 2
4Y s
s s
sin 2y t t t
I II једначина cos 2z t t
Задатак 47
Након извршених Лапласових трансформација над диференцијалним једначинама добијају се две алгебарске једначине: I једначина
'' ''' 2tx y y x e
II једначина '' '2 '' 2x y x y t
------------------------------------------------------------------------------------------------
I једначина 2 2 1 2
1s X s s Y s s Y s X s
s s
II једначина 2 2
2
12 2s X s s Y s s X s Y s
s
-------------------------------------------
I једначина 1 2
1 1 11
X s s s Y s s ss s
II једначина 2
12 1 1 1X s s s Y s s s
s
-------------------------------------------
I једначина
1 1 21
1 1 1 1
Y s s sX s s
s s s s s
II једначина
2
1 1 2 12 1 1
1 1 1 1
Y s s ss Y s s s
s s s s s s
-------------------------------------------
Сређивањем 2. једначине дбиће се Y s
2
2
2 12 4 12 1 1
1 1 1 1
s ss sY s s s
s s s s s s
Најмањи заједнчки за леву страну је 21 1s s s , а за десну 1s .
3 2 2
2
2 4 1 1
1 1
s s s s
s s s
2 21 1 2 1
1
s s s sY s
s 1s
3 3 2 2
2 2
22
2 4 4 11 2
1
s s s sY s s s
s s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 14
3 2 2
2 2
22
2 4 12 1 2
1
s s sY s s s s
s s
2
2
22
1 2 1 1 2 1 22 1
1
s s s sY s s s
s s
2
2
22
1 2 1 22 1
1
s s sY s s s
s s
2
1 2 1 2s s sY s
22 2
1
1 2 1s s s s
22
2 1
1
sY s
s s
22
2 222
2 11
11 1
s A B C Ds s
s s ss s s
2 2 2 22 1 1 1 1s A s s B s C s s D s
3 2 2 3 2 22 1 2 2 1s A s s s B s s C s s D s
3 0x A C 2 2 0x A B C D 1 2 2x A B 0 1x B
0 1 0 1A B C D
22
1 1
1Y s
s s
Након извршене инверзне Лапласове трансформације, добија се: ty t t t e
У једначину
1 1 21
1 1 1 1
Y s s sX s s
s s s s s
заменимо вредност за Y s :
2
2 11
sX s s
s 2
1ss 1s
1 2
1 1 1 1s s s s s
2 sX s
1 2s s 2
2 1
1 1
s
s s s
2
1 1s s s 21
1s s
2
2 2
11
11 1
A B Cs s
s ss s s
2 21 2 1A s s B s s C s
2 0 x A B 1 2 0 x A B C 0 1x A
1 1 1 A B C
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 15
2
1 1 1
1 1X s
s s s
Након извршене инверзне Лапласове трансформације, добија се: 1
t tx t e t e
Задатак 48
I једначина dak a
dt
II једначина dbk a
dt
Након Лапласове трансформације добијамо:
I једначина 0s A s a 4
k A s
II једначина 0s B s b 0
k A s
I једначина 4A s
s k
II једначина k A sB s
s
I једначина 4 kta t e
II једначина 4k
B ss s k
II једначина 4k
4ks s k
M Ns s k
s s k
1 M s k N s
0
: 0
:1
s M N
s M k
1 1
M Nk k
4 1 1 1 1
4k
B s ks s k k s k s k
4 1 k tb t e
Задатак 49
----------------------------------------------
1 0s X s Y s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 16
0s Y s X s
----------------------------------------------
1 0s X s Y s
X s s Y s
--------------------------------------------
2
1
1Y s
s
2 1
sX s
s
----------------------------
sin siny t t t
cosx t t
da tk a t
dt
0s A s a k A s
2 5s A s A s
5 2s A s A s
5 2s A s
2
5A s
s
52 ta t e
db tk a t
dt
0s B s b k A s
21 5
5s B s
s
101
5s B s
s
1 10 1 1 1
25 5
B ss s s s s s
53 2 tb t e
dc tk a t
dt
0s C s c k A s
25
5s C s
s
10 1 1 1
25 5
C ss s s s s
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 17
52 1 tc t e
Задатак 50
I једначина 1 2
dak a k a
dt 1 20s A s a k A s k A s
II једначина 1
dbk a
dt 10s B s b k A s
III једначина 2
dck a
dt 20s C s c k A s
I једначина 4 2 1s A s A s A s
II једначина 1s B s k A s
III једначина 2s C s k A s
I једначина 4
3A s
s
II једначина 2 8 8 1 8 1
3 3 3 3B s A s
s s s s s
III једначина 1 4 4 1 4 1
3 3 3 3C s A s
s s s s s
I једначина 34 ta t e
II једначина 38 8
3 3t
b t e
III једначина 34 4
3 3t
c t e
Задатак 51
I једначина 1
dck c
dt
II једначина 1 2
dak c k a
dt
III једначина 1
dbk a
dt
Након Лапласове трансформације добијамо:
I једначина 0s C s c 1
1k C s C s
II једначина 0s A s a 0
1 2 2k C s k A s C s A s
III једначина 0s B s b 0
2k A s
I једначина 1
1C s
s k
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум
Александра Ракић 18
II једначина 1 2
1 1
1 2A s
s k s k s s
III једначина 1 2
1 2
2
1 2
k kB s
s s k s k s s s
2 1
1 2
1 2 1
1 2
k kB s
s s k s k s s s
2t ta t e e
21 2 t tb t e e
tc t e
Задатак 52
А(т)= tk
eA 1
0
В(т)= tk
eB 2
0
Ц(т)= tktkeBeA 21 11 00
Задатак 53
А(т)= tkk
ekkkk
A21
12
21
0
В(т)= tkk
ekk
kA211
21
10
Задатак 54
1
0k t
a t A e 1 20 1
2 1
k t k tA kb t e e
k k