Bezier-Kurven -...

EinfuhrungDer Algorithmus von de-Casteljau

Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven

Bezier-Kurven

Hamid Fetouaki, Emma Skopin

Universitat KasselFB Mathematik/Informatik

28. Januar 2009

Hamid Fetouaki, Emma Skopin Bezier-Kurven



Motivation

Bis in den spaten 50er Jahren:

Zeichnung der Kurven am Papier

Fertigung der Modelle aus Holz und Ton

Einsetzung der Master-Modelle aus Gips fur dieKopiermaschinen

Seit 1955

Entwicklung und Einsetzung der (Numerical Control)NC-Maschinen

Interpretation der geometrischen Daten

Ubertragung dieser Daten auf die Maschinen




Paul de-Casteljau

19. November 1930 geboren

Studium der Mathematik und Physik an der ENS

Wehrdienst im Algerienkrieg

1958 - Anfang der 1990 bei Citroen

Als Physiker in der Groupe DeterminationMathematique des Carrosseries

Veroffentlichung der Ergebnisse beim INPI




Pierre Bezier

1. September 1910 geboren

25 November 1999 gestorben

1930 Diplom an der ENS d’arts et Metiers

1931 Diplom an der Ecole Superieured’electricite

1933 – 1975 Ingenieur bei Renault

1977 Dr. Title in der Mathematik von derUniversitat Paris




Historie

Parallele Entdeckung der selben Formel

Rechtsstreit: de-Casteljau ⇔ Bezier

Die allgemeine Formel und damit die Kurven wird folglichnach Pierre Bezier benannt (Bernstein-Bezier-Polynom,Bezier-Kurve/Flache)

Das zugrunde liegende Konstruktionsprinzip wird nachde-Casteljau (de-Casteljau-Algorithmus) benannt.

Jahre spater konnten die Bezier-Kurven unmittelbar zur Steuerungvon NC-Frasen herangezogen werden.Z Anstoß zu parallelen Weiterentwicklungen in anderenIndustriebereichen wie Schiffsbau und Luftfahrt.




Parabelnde-Casteljau-Algorithmus

1 Einfuhrung

2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus

3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven

4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus





Lineare Interpolation

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte a, b ∈ E3

Die Menge aller Punkte x ∈ E3 der Form

x = x(t) = (1− t)a + tb; t ∈ R (∗)

wird Gerade durch die Punkte a und b genannt.

Fur t ∈ [a, b] liegt der Punkt x zwischen a und b

(∗) stellt eine baryzentrische Kombination zweier Punkte im E3

dar. Diese ist als gewichtete Summe von Punkten definiert, wobeidie Gewichte sich zu Eins aufaddieren mussen.





Lineare Interpolation

Abbildung: Lineare Interpolation: Punkte a, b beschreiben eine Gerade,die durch Sie durchgeht.





Parabel Konstruktion

Seien nun b0, b1, b2 drei beliebige Punkte im E3, und sei t ∈ R.

Wir bilden nun:

b10 (t) = (1− t) b0 + tb1, (1)

b11 (t) = (1− t) b1 + tb2, (2)

b20 (t) = (1− t) b1

0 (t) + tb11 (t) . (3)

Durch einsetzen von (1) und (2) in (3) erhalten wir:

b20 (t) = (1− t) b1

0 (t) + tb11 (t)

= (1− t) [(1− t) b0 + tb1] + t[(1− t) b1 + tb2]

= (1− t)2 b0 + 2t (1− t) b1 + t2b2.





Parabeln

b20(t) ist ein quadratischer Ausdruck in t (der hochgestellte

Index gibt den Grad an).

Fur t ∈ (−∞,∞) erzeugt er somit eine Parabel, die wir mitb2 bezeichnen.

Diese Konstruktion ist nicht weiter als wiederholte lineareInterpolation.

Parabeln sind immer ebene Kurven, da b2(t) immer einebaryzentrische Kombination dreier Punkte ist.





Beispiel

Abbildung: Konstruktion einer Parabel durch wiederholte lineareInterpolation.





1 Einfuhrung








de-Casteljau-Algorithmus

Gegeben:b0, b1, b2, . . . , bn ∈ E3, t ∈ R,

Setze:

bri (t) = (1− t) br−1

i (t) + tbr−1i+1 (t) fur

{r ∈ {1, . . . , n} und

i ∈ {0, . . . , n − r}(4)

b0i (t) = bi . (5)

Ausgabe:bn0(t) ist der Punkt auf der Bezier-Kurve bn, der dem

Parameterwert t entspricht.





Bezeichnungen

Das Polygon P, das durch die Punkte b0, b1, . . . , bn

dargestellt wird, wird Bezierpolygon oder Kontrollpolygonder Kurve bn genannt.

Die Polygonecken bi werden Kontrollpunkte oderBezierpunkte genannt.

Die Zwischenpunkte bri (t) konnen wir in einer Dreiecksform

anordnen, dem sogenannten de-Casteljau-Schema.

Als Beispiel betrachten wir den Fall fur eine planare kubischeKurve an der Stelle t = 1

2 :





Beispiel fur t = 12

b0 =[ 0

0

]b10 =

[ 01

]b1 =

[ 02

]b20 =

[ 232

]b11 =

[ 42

]b30 =

[ 72

32

]b2 =

[ 82

]b21 =

[ 532

]b12 =

[ 61

]b3 =

[ 40

]Hamid Fetouaki, Emma Skopin Bezier-Kurven




Beispiel fur t = 12

Abbildung: Das Berechnen eines Punktes auf einer Bezier-Kurve mit demde-Casteljau-Algorithmus.




BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven

1 Einfuhrung








Bernsteinpolynome

Definition 3.1

Das i-te Bernsteinpolynom vom Grad n ist definiert durch:

Bni (t) :=

(n

i

)t i (1− t)n−i , (6)

wobei die Binomialkoeffizienten durch:(n

i

)=

{n!

i!(n−i)! falls 0 ≤ i ≤ n

0 sonst

gegeben sind.





Eigenschaften der Bernsteinpolynome

Satz 3.2

1 Bernsteinpolynome genugen folgender Rekursionsformel:

Bni (t) = (1− t)Bn−1

i (t) + tBn−1i−1 (t) (7)

mit

B00 (t) ≡ 1 und (8)

Bnj (t) ≡ 0 fur j /∈ {0, . . . , n}. (9)

2 Die Bernsteinpolynome bilden eine Teilung der Eins, d.h. esgilt:

n∑j=0

Bnj (t) ≡ 1. (10)






Beweis:Es gilt:

(ni

)=(n−1

i

)+(n−1

i−1

). Fur die Bernsteinpolynome gilt somit:

Bni (t) =

(n

i

)t i (1− t)n−i

=

(n − 1

i

)t i (1− t)n−i +

(n − 1

i − 1

)t i (1− t)n−i

=

(n − 1

i

)t i (1− t)n−i−1︸︷︷︸

= Bn−1i (t)

(1− t) +

(n − 1

i − 1

)t i−1(1− t)n−i︸︷︷︸

= Bn−1i−1 (t)

t

= (1− t)Bn−1i (t) + tBn−1

i−1 (t).






B00 (t) =

(00

)t0(1− t)0 = 1

Bnj (t) = 0 fur j /∈ {0, . . . , n} nach Definition der

Binomialkoeffizienten.

Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgt:

n∑j=0

Bnj (t) =

n∑j=0

(n

j

)t j(1− t)n−j = (t + 1− t)n = 1.

�





Berechnung der Bernsteinpolynome

Beispiel: Die Bernsteinpolynome vom Grad 4

B40 (t) =

(4

0

)t0(1− t)4 = (1− t)4

B41 (t) =

(4

1

)t1(1− t)3 = 4t(1− t)3

B42 (t) =

(4

2

)t2(1− t)2 = 6t2(1− t)2

B43 (t) =

(4

3

)t3(1− t)1 = 4t3(1− t)

B44 (t) =

(4

4

)t4(1− t)0 = t4





Bernsteinpolynome

Abbildung: Die quartischen Bernsteinpolynome.





Satz 3.3

Fur die Zwischenpunkte bri , die beim de-Casteljau-Algorithmus

auftreten, gilt:

bri (t) =

r∑j=0

bi+jBrj (t), fur

{r ∈ {0, . . . , n} und

i ∈ {0, . . . , n − r}.(11)

Fur r = n, ist der de-Casteljau-Punkt gerade der Punkt auf derKurve, und ist gegeben durch:

bn (t) = bn0 (t) =

n∑j=0

bjBnj (t). (12)





Beweis:(12) ergibt durch direktes Einsetzen von r = n in (11).IA: r = 0

b0i (t)

(5)= bi

(8)= biB

00 (t) =

0∑j=0

bi+jB0j (t).

IV: Die Behauptung gelte fur r − 1IS: r − 1→ r Fur r = 1, . . . , n und i = 0, . . . , n − r gilt:

bri (t)

(4)= (1− t) br−1

i (t) + tbr−1i+1 (t)

(IV )= (1− t)

r−1∑j=0

bi+jBr−1j (t) + t

r−1∑j=0

bi+1+jBr−1j (t)

= (1− t)i+r−1∑

j=ibjB

r−1j−i (t) + t

i+r∑j=i+1

bjBr−1j−i−1(t)





bri (t) = (1− t)

i+r−1∑j=i

bjBr−1j−i (t) + t

i+r∑j=i+1


(9)= (1− t)

i+r−1∑j=i

bjBr−1j−i (t) + (1− t)B r−1

r (t)

+ ti+r∑

j=i+1bjB

r−1j−i−1(t) + tB r−1

−1 (t)

= (1− t)i+r∑j=i

bjBr−1j−i (t) + t

i+r∑j=i


=i+r∑j=i

bj

[(1− t)B r−1

j−i (t) + tB r−1j−i−1(t)

]=

r∑j=0

bj+i

[(1− t)B r−1

j (t) + tB r−1j−1 (t)

](7)=

r∑j=0

bj+iBrj (t).

�Hamid Fetouaki, Emma Skopin Bezier-Kurven




Beobachtung

Bezier-Kurven stellen baryzentrische Kombinationen derKontrollpunkte dar.

Beweis:Folgt aus Satz 3.3, Definition von baryzentrischen Kombinationenund (10). �





Satz 3.5

Bezier-Kurven lassen sich mittels der Zwischenpunkte bri wie folgt

darstellen:

bn (t) =r∑

i=0

bn−ri (t)B r

i (t), wobei r ∈ {0, . . . , n} . (13)

1 D.h. berechne zuerst die n − r Stufen desde-Casteljau-Algorithmus in abhangigkeit von t,

2 betrachte die resultierenden Punkte bn−ri (t) als

Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve vom Grad r ,

3 werte diese an der Stelle t aus.





1 Einfuhrung








Affine Invarianz

Definition

Eine Abbildung Φ : E3 → E3 heißt affine Abbildung, wenn sie

baryzentrische Kombinationen invariant lasst.

D.h: Seien x =∑αjaj ; x , aj ∈ E3 eine baryzentrische

Kombination und Φ eine affine Abbildung

⇒ Φ(x) =∑αjΦ(aj), Φ(x), Φ(aj) ∈ E3.

Bezier-Kurven sind baryzentrische Kombinationen

⇒ affine Invarianz

D.h., die folgenden Vorgehensweisen liefern dasselbe Resultat:

1 Berechne bn(t), wende affine Abbildung an2 Wende affine Abbildung auf das Kontrollpolygon an, werte

das transformierte Kontrollpolygon an t aus.





Invarianz unter baryzentrischen Kombinationen

Gegeben: zwei Bezier-Kurven bn und cn.

Fur α + β = 1 gilt:

αn∑

j=0bjB

nj (t) + β

n∑j=0

cjBnj (t) =

n∑j=0

(αbj + βcj)Bnj (t)

Berechnung des gewichteten Mittels zweier Bezier-Kurven:

1 Berechne das gewichtete Mittel der Kurvenpunkte

2 Bilde das gewichtete Mittel der Kontrollpunkte und berechnedie Kurve.





Lineare Prazision

Es gilt:n∑

j=0

jnBn

j (t) = t.

Kontrollpunkte: bj =(

1− jn

)p + j

nq, j = 0, . . . , n

⇒ bn (t) =n∑

i=0

[(1− j

n )p + jnq]Bn

j (t)

= pn∑

j=0Bn

j (t)− pn∑

j=0

jnBn

j (t) + qn∑

j=0

jnBn

j (t)

= p + t(q − p)

Die Kurve, die durch dieses Polygon erzeugt wird, ist genaudie Gerade zwischen p und q, d.h. die Originalgerade wirdreproduziert.

Diese Eigenschaft wird lineare Prazision genannt.





Weitere Eigenschaften

Invarianz unter affinen ParametertransformationenFur u ∈ [a, b] definiere: t = u−a

b−a

⇒n∑

i=0biB

ni (t) =

n∑i=0

biBni

(u−ab−a

).

Konvexe-Hullen-EigenschaftFur t ∈ [0, 1] liegt die Kurve bn(t) in der konvexen Hulle desKontrollpolygons.

Endpunkte-InterpolationDie Bezier-Kurve verlauft durch die Punkte b0 und bn.

Symmetrie

Pseudo-lokale-KontrolleBn

i besitzt nur ein Maximum und nimmt dieses an der Stellet = i

n an.





Bernsteinpolynome

Abbildung: Die quartischen Bernsteinpolynome.




Die Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus

1 Einfuhrung








Satz 4.1

Die Ableitung eines Bernsteinpolynoms Bni (t) ist gegeben durch:

d

dtBn

i (t) = n[Bn−1

i−1 (t)− Bn−1i (t)

], (14)

wobei i ∈ {0, . . . , n}.

Satz 4.2

Fur eine Bezier-Kurve bn(t) gilt folgendes:

d

dtbn(t) = n

n−1∑j=0

[bj+1 − bj ]Bn−1j (t) (15)





Definition

Der Vorwartsdifferenzenoperator 4r ist definiert durch:

4rbj =

{4r−1bj+1 −4r−1bj , fur r ∈ Nbj , fur r = 0.

(16)

Mit der obigen Definition erhalten wir fur die Ableitung einerBezier-Kurve:

d

dtbn(t) = n

n−1∑j=0

4bjBn−1j (t); 4bj ∈ R3. (17)





Die Ableitung einer Bezier-Kurve ist somit selbst wieder eineBezier-Kurve, deren Kontrollpolygon durch Differenzieren desoriginalen Polygons gegeben ist.

Abbildung: Bezier-Kurve aus dem erste Beispiel und ihre erste Ableitungals Kurve (verkleinert um den Faktor drei)





1 Einfuhrung








Beispiel: Die ersten Vorwartsdifferenzen:

40bi = bi

41bi = bi+1 − bi

42bi = 41bi+1 −41bi = bi+2 − 2bi+1 + bi

43bi = 42bi+1 −42bi = bi+3 − 3bi+2 + 3bi+1 − bi

Satz 4.4

Die Vorwartsdifferenzen lassen sich berechnen durch:

4rbi =r∑

j=0

(r

j

)(−1)r−jbi+j (18)

Beweis:





Satz 4.5

Fur die r − te Ableitung einer Bezier-Kurve gilt:

d r

dtrbn(t) =

n!

(n − r)!

n−r∑j=0

4rbjBn−rj (t). (19)

Beweis:Durch wiederholte Anwendung von (17)





Bemerkung 4.6

1 t = 0 : d r

dtr bn(0) = n!(n−r)!4

rb0, wegen Bn−rj (0) = δj ,0

2 t = 1: d r

dtr bn(1) = n!(n−r)!4

rbn−r , wegen Bn−rj (1) = δj ,n−r

Abbildung: Die erste und die zweite Ableitung fur t = 0.





1 Einfuhrung








Satz4.7

Die r − te Ableitung einer Bezier-Kurve kann durch dieZwischenpunkte, die beim de-Casteljau-Algorithmus auftreten,folgendermaßen ausgedruckt werden:

d r

dtrbn(t) =

n!

(n − r)!4rbn−r

0 (t). (20)

Beweis:Zuerst zeigen wir, dass Summation und Differenzenbildungkommutieren:

n−1∑j=0

4bj =n−1∑j=0

[bj+1 − bj ] =n∑

j=1

bj+1 −n−1∑j=0

bj = 4n−1∑j=0

bj .





Somit erhalten wir:

d r

dtrbn(t) =

n!

(n − r)!

n−r∑j=0

4rbjBn−rj (t) (21)

=n!

(n − r)!4r

n−r∑j=0

bjBn−rj (t) (22)

=n!

(n − r)!4rbn−r

0 (t) (23)





(21) und (22) liefern zwei verschiedene Methoden, die r−teAbleitung einer Bezier-Kurve zu berechnen.

Methode (21): Bilde alle r -ten Vorwartsdifferenzen derKontrollpunkte, iterpretieren diese als ein neues Bezierpolygonvom Grad n − r und werte dieses an der Stelle t aus.

Methode (22): Berechne die r -te Ableitung als einNebenprodukt des de-Casteljau-Algorithmus.





Beispiel: Die Ableitung der Bezier-Kurve aus dem erstenBeispiel

Wir bilden zuerst die ersten Differenzen der Kontrollpunkte:

4b0 = b1 − b0 =[ 0

2

]−[ 0

0

]=[ 0

2

],

4b1 = b2 − b1 =[ 8

2

]−[ 0

2

]=[ 8

0

],

4b2 = b3 − b2 =[ 4

0

]−[ 8

2

]=[ −4−2

].

Dann werten wir die entstehende quadratische Kurve an der Stellet = 1

2 aus:

B20

(1

2

)=

1

4, B2

1

(1

2

)=

1

2, B2

2

(1

2

)=

1

4.





Somit erhalten wir:

d

dtb3

(1

2

)=

3!

2!

(1

4

[ 02

]+

1

2

[ 82

]+

1

4

[ −4−2

])=[ 9

0

].

Als Alternative berechnen wir 4b20(1

2):

4b20

(1

2

)= b2

1

(1

2

)− b2

0

(1

2

)=[ 5

32

]−[ 2

32

]=[ 3

0

].

Multiplikation mit 3 liefert das Ergebnis.





Vielen Dank fur ihre Aufmerksamkeit


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