Besvarelse af Matematik for Biologer (ny ordning) april 2004moller/e03/bio/svar.april04.pdf · x2...
Click here to load reader
Transcript of Besvarelse af Matematik for Biologer (ny ordning) april 2004moller/e03/bio/svar.april04.pdf · x2...
JMMMay 25, 2004
Besvarelse af Matematik for Biologer (nyordning) april 2004
Opgave 1
Hvis f(x) = sin(√
x2 + 1) sa er f ′(x) = cos(√
x2 + 1) · 12· (x2 + 1)−
12 · 2x og
f ′(1) = cos√
2√2
.
Opgave 2
Ifølge bogens side 478 har differentialligningen
dN
dt= ra(1865−N)−rdN = −(ra+rd)N +1865ra = −(ra+rd)
(N − 1865
1 + rd/ra
)den generelle løsning
N =1865
1 + rd/ra
+ Ce−(ra+rd)t
hvor C er en konstant.
(1) Da vi ved at N(0) = 0 far vi at C = − 18651+rd/ra
sa
N(t) =1865
1 + rd/ra
(1− e−(ra+rd)t
)Altsa er limt→∞N(t) = 1865
1+rd/ra.
(2) Ifølge bogens side 498 er N = 18651+rd/ra
en stabil ligevægt.
Opgave 3
Vi kalder de to korte sider for a og b. De to korte sider er relaterede for Pythagorassiger at a2 + b2 = 25. Implicit differentiation mht a giver
2a + 2bdb
da= 0
Omkredsen O(a) = 5 + a + b har et maximum og et minimum nar a ligger iintervallet [0, 5]. Maximumspunktet er enten i et af endepunkterne eller i etindre punkt hvor den afledte O′(a) = 1 + db
da= 0 eller db
da= −1. Altsa er a = 5√
2
for den første af ligningerne ovenfor giver at a = b. I endepunkterne er omkredsenO(0) = 10 = O(5) og i det indre punkt er omkredsen O( 5√
2) = 10√
2+ 5 > 10
2+ 5 =
10. Altsa er a = 5√2
maximumspunktet.
Opgave 4
Stablen af tikronemønter overhaler lysstralen efter t ar hvor t opfylder ligningen
2 · 1, 05t = t · 3 · 1019
dvs nar t log(1, 05)− log t = log 3− log 2 + 19 log 10 (eller efter ca 1000 ar).
1