BerkDeMarzo - chap4
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G. Capelle-Blancard 08/10/2011
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Finance d’entreprise – 2ème édition Chapitre 4. La valeur temps de l’argent
J. Berk & P. DeMarzo – G. Capelle-Blancard, N. Couderc & N. Nalpas ® 2011 Pearson Education France
Chapitre 4
La valeur temps de l’argent
Finance d’entreprise – 2ème édition Chapitre 4. La valeur temps de l’argent
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Plan du chapitre 4
• 4.1. L’échéancier
• 4.2. Les trois règles du « voyage dans le temps »
• 4.3. Valeur actuelle et future d’une séquence de flux
• 4.4. La valeur actuelle nette d’une séquence de flux
• 4.5. Rentes perpétuelles, annuités et autres cas particuliers– Les rentes perpétuelles.
– Les rentes perpétuelles croissantes
– Les annuités croissantes
• 4.6. Calculer les flux, le TRI et le nombre de périodes
• 4.7. L’utilisation d’un tableur
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4.1. L’échéancier
• Echéancier ou diagramme des flux (timeline)
• Prenons le cas d’une banque s’apprêtant à recevoir d’un emprunteur 2 paiements égaux de 10 000 €, à la fin des deux prochaines années.
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Flux et séquence de flux
• Prêt de 10 000 € rembourser par deux versements de 6 000 €
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Exemple 4.1. Construction d’un échéancier
• Frais de scolarité = 10 000 € par an.
• La scolarité dure deux ans.
• Les paiements doivent être effectués à parts égales à chaque début de semestre.
• Quel est le diagramme de flux ?
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4.2. Les 3 règles du « voyage dans le temps »
1. Pour comparer des flux se produisant à différentes dates, il faut tenir compte de la valeur temps de l’argent.
2. Pour transposer un flux dans le futur, il faut le capitaliser.
3. Pour transposer un flux dans le passé, il faut l’actualiser.
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Transposer des flux dans le futur
• On dispose de 1 000 € aujourd’hui.
• Quel est le montant équivalent dans un an ? Dans deux ans ? Dans trois ans ?
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Transposer des flux dans le futur
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La puissance de la capitalisation
• Placer 1 000 € sur un compte rémunéré au taux annuel (fixe) de 10 % permet de recevoir 100 € d’intérêts à la fin de la 1ère année, soit une richesse totale de 1 100 €.
• Qu’en est-il dans 20 ans ?
• Que se passe-t-il les 20 années suivantes ?
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Transposer des flux dans le passé
• Quelle est la valeur aujourd’hui de 1 000 € à recevoir dans un an alors que le taux d’intérêt est de 10 % ? Dans deux ans ? Dans trois ans ?
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Exemple 4.2. Valeur actuelle d’un flux futur simple
• On envisage l’achat d’une obligation. Ce titre donne droit à un flux unique de 15 000 € dans 10 ans.
• Le taux d’intérêt, sur le marché, est de 6 %.
• Quelle est la valeur de l’obligation aujourd’hui ?
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Application des règles du « voyage dans le temps »
• On envisage de placer 1 000 € aujourd’hui et 1000 €à la fin de chacune des deux prochaines années.
• Le taux d’intérêt annuel est de 10 %.
• Quelle somme obtient-on dans 3 ans ?
=> Plusieurs possibilités, mais une seule bonne réponse !
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Application des règles du « voyage dans le temps »
1ère possibilité
2ème possibilité
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Application des règles du « voyage dans le temps »
3ème possibilité
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Les 3 règles du « voyage dans le temps » : Synthèse
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Exemple 4.3. Calculer la valeur future d’un flux
• Reprenons le diagramme des flux précédent : placement de 1 000 € / an pendant 3 ans à partir d’aujourd’hui.
• Si le taux d’intérêt annuel est de 10 %, de quelle somme disposera-t-on dans 3 ans ?
• Existe-t-il encore une autre approche pour répondre à cette question ?
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4.3. Valeur actuelle et future d’une séquence de flux
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4.3. Valeur actuelle et future d’une séquence de flux
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Exemple 4.4. La valeur actuelle d’une séquence de flux quelconque
• Un étudiant emprunte à son père. Il s’engage à le rembourser dans les 4 ans et à offrir le même taux que celui d’un placement bancaire.
• Il pense par ailleurs pouvoir verser 5 000 € dans un an puis 8 000 € par an les 3 années suivantes.
• Le taux d’intérêt est de 6 %
• Quelle somme l’étudiant peut-il emprunter à son père ?
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Valeur future et valeur actuelle d’une séquence de flux
4.4. Valeur actuelle nette d’une séquence de flux
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Exemple 4.5. La VAN d’un projet d’investissement
Possibilité d’investir 1 000 € aujourd’hui en échange de 500 € à la fin de chacune des trois prochaines années.
• Possibilité de placer au taux de 10 % par an.
• Doit-on investir dans ce projet ?
• VAN = –1 000 + (500/1,1) + (500/1,12) + (500/1,13) = 243,43 €
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4.5. Rentes perpétuelles, annuités et autres cas particuliers
• Les formules développées jusqu’à maintenant permettent de calculer les valeurs actuelles et futures de n’importe quelle séquence de flux.
• En pratique, lorsque les flux s’étalent sur plus de quatre ou cinq périodes (ce qui est souvent le cas), les calculs peuvent être longs et fastidieux.
• Dans certains cas particuliers, il existe toutefois des formules simplifiées.
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4.5.1 Les rentes perpétuelles
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4.5.1 Les rentes perpétuelles
• En plaçant 100 € on crée donc une rente perpétuelle de 5 € par an.
• D’après la Loi du prix unique, la VA d’une rente perpétuelle de 5 € par an doit être de 100 €.
• Généralisons : en plaçant P euros sur un compte bancaire, il est possible de retirer chaque année les intérêts, F = r × P, et laisser le principal, P, sur le compte.
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Exemple 4.6. Créer une rente perpétuelle
• L’association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel.
• Le coût annuel d’un gala est de 30 000 €. • Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. • Le premier gala est prévu dans un an. • Quelle somme l’association doit-elle placer afin
de pouvoir financer l’organisation du gala chaque année éternellement ?
• Et si le premier gala est prévu dans deux ans ?
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4.5.2 Les annuités constantes
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4.5.2 Les annuités constantes
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Exemple 4.7. Valeur actuelle d’une annuité constante
La loterie nationale propose à ses gagnants de recevoir :
– 1 M€ tous les ans pendant 30 ans (le premier versement ayant lieu aujourd’hui),
– 15 M€ immédiatement.
• Le taux d’intérêt est de 8 %.
• Quelle solution retenir ?
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4.5.2 Les annuités constantes
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Exemple 4.8. Se constituer une épargne retraite
• Stéphanie a 35 ans et décide d’épargner pour sa retraite 10 000 € tous les ans jusqu’à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. De quelle somme Stéphanie disposera-t-elle le jour de ses 65 ans ?
• VF = 10 000 × (1 / 0,1) × (1,130 – 1) = 10 000 × 164,49 = 1,645 M€ à 65 ans
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4.5.3 Les rentes perpétuelles croissantes
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4.5.3 Les rentes perpétuelles croissantes
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4.5.3 Les rentes perpétuelles croissantes
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Exemple 4.9. Créer une rente perpétuelle (bis)
• L’association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel.
• Le coût annuel d’un gala est de 30 000 €. • Le coût augmente de 4 % par an.• Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. • Le premier gala est prévu dans un an. • Quelle somme l’association doit-elle placer afin
de pouvoir financer l’organisation du gala chaque année éternellement ?
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4.5.4 Les annuités croissantes
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Exemple 4.10 Se constituer une épargne retraite (bis)
• Stéphanie a 35 ans et décide d’épargner pour sa retraite 10 000 € tous les ans jusqu’à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. Elle prévoit une augmentation de salaire de 5 % tous les ans. De quelle somme disposera-t-elle le jour de ses 65 ans ?
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4.5.4 Les annuités croissantes
• La formule de l’annuité croissante est une formule générale à partir de laquelle il est possible de déduire toutes les formules présentées dans cette partie :
• Une rente perpétuelle croissante peut être vue comme une annuité croissante avec N → ∞.
• Si g < r, alors (1 + g) / (1 + r) < 1.• Puisque N → ∞, [(1 + g) / (1 + r)]N → 0 . • La formule d’une annuité croissante quand N → ∞ est
donc :
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4.6. Calculer les flux, le TRI et le nombre de périodes
• L’objectif jusque là a été de calculer la valeur actuelle ou la valeur future d’une séquence de flux.
• Il arrive cependant, parfois, que la valeur actuelle ou future soit connue, mais pas le taux d’intérêt, le nombre de périodes ou le montant des flux.
• Exemples – lorsqu’on contracte un prêt, on sait combien on désire
emprunter, on connaît le taux d’intérêt, mais pas, a priori, ce que l’on devra payer au total pour honorer le prêt.
– on peut aussi se demander combien de temps est nécessaire pour se constituer un certain capital, étant donné le montant que l’on est prêt à épargner à chaque période et le taux d’intérêt.
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4.6.1 Calculer le montant des flux
• Une entreprise envisage d’acheter à crédit une machine d’une valeur de 100 000 €.
• Remboursement par annuités constantes pendant dix ans (le premier versement a lieu dans un an).
• Le taux d’intérêt est de 8 %.
• Quel est le montant du versement annuel ?
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4.6.1 Calculer le montant des flux
• 100 000 = VA(annuité de F par an pendant 10 ans actualisée au taux de 8 %)
<=> 100 000 = F x (1 / 0,08) x (1 – 1,08-10) = F x 6,71
<=> F = 100 000 / 6,71 = 14 903 €.
En généralisant :
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Exemple 4.11. Calculer les flux liés au remboursement d’un prêt
• Une entreprise désire acheter des marchandises coûtant 80 000 €.
• La banque propose un prêt sur 30 ans, à annuités constantes.
• Le taux d’intérêt est de 8 %.
• Quelle somme l’entreprise devra-t-elle verser tous les ans ?
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4.6.1 Calculer le montant des flux
• Un jeune couple souhaite épargner dès maintenant pour financer les études de leur enfant. Leur épargne est rémunérée 7 % par an.
• Combien doivent-ils placer chaque année afin de disposer de 60 000 € quand l’enfant aura 18 ans ?
• 60 000 = VF (annuité)
= F × (1 / 0,07) × (1,0718 – 1) = F × 34
• Donc F = (60 000 / 34) = 1 765 €.
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4.6.2 Calculer le TRI
• Le taux de rentabilité interne (TRI) est le taux d’intérêt qui annule la VAN.
• Considérons un projet qui nécessite un investissement immédiat de 1 000 € et qui rapporte 2 000 € dans 6 ans.
• On cherche r tel que : ?
=>
– Lorsqu’il y a seulement deux flux, comme dans l’exemple
précédent, il est simple de calculer le TRI.
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4.6.2 Calculer le TRI
• Une entreprise désirant acheter un monte-charge a le choix entre
a) un achat comptant au prix de 40 000 €
b) 4 versements annuels de 15 000 €
• L’entreprise doit comparer le taux de l’emprunt proposé par le vendeur à celui qu’elle pourrait obtenir d’une banque => TRI « implicite »
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4.6.2 Calculer le TRI
• Formule générale :
• r = 10 % :
• r = 20 % :
• r = 18,450 % :
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4.6.2 Calculer le TRI
• Interpolation linéaire (Thalès)
• r = 10 % => VAN = 7 548
• r = 20 % => VAN = -1 169
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Exemple 4.12. Calcul du TRI
• Soit un investissement de 1 M€ en échange de versements égaux à 125 000 € payables à chaque fin d’année pendant 30 ans.
• Quel est le TRI de l’investissement ?
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Exemple 4.13. Calcul direct du TRI
• Soit un investissement de 1 M€ en échange d’une suite de paiements croissants (au taux de 4 %) à l’infini. Le 1er
versement, dans un an, est égal à de 100 000 €.
• Quel est le TRI de l’investissement ?
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4.6.3 Calculer le nombre de périodes
• On place 10 000 € sur un compte rémunéré à 10% par an. Combien de temps faut-il attendre avant de disposer de 20 000 € ?
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Exemple 4.14. Nombre de périodes d’un plan d’épargne nécessaires à un achat
• Julien épargne pour se constituer un apport personnel en vue d’un achat immobilier. Il dispose déjà de 10 050 €et peut épargner 5 000 € à la fin de chaque année. L’épargne est rémunérée à 7,25 % par an.
• Combien d’années doit-il attendre avant de disposer de 60 000 € ?
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La « règle des 72 »
• Combien de temps faut-il pour qu’un capital double, compte tenu du taux d’intérêt ?
• On cherche N tel que : VF = 1 × (1 + r)N = 2 €
• Approximation : N = 72 / r.
• Exemple : r = 9 %– Il faut 8 ans pour que le capital double (1,098 = 1,99).
– L’approximation donne : 72 / 9 = 8 ans.
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4.7. L’utilisation d’un tableur
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Annexe
Suite géometrique : Un = q x Un–1 = U1 x qn–1
S(N) = U1 + U2 + U3 + … + UN
= U1 + (U1 x q) + (U1 x q2) + … + (U1 x qN–1)= U1 x (1 + q + q2 + … + qN–1)
S(N) x (q – 1) = U1 x (1 + q + q2 + … + qN–1) x (q – 1) = U1 x (q + q2 + q3 + … + qN – 1 – q – q2 – … – qN–1) = U1 x (qN – 1)
=> S(N) = U1 x (qN – 1) / (q – 1) = U1 x (1 – qN ) / (1 – q)
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Valeur actuelle d’une annuité (F = 1)
Finance d’entreprise – 2ème édition Chapitre 4. La valeur temps de l’argent
J. Berk & P. DeMarzo – G. Capelle-Blancard, N. Couderc & N. Nalpas ® 2011 Pearson Education France
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Valeur future d’une annuité (F = 1)
Flux en fin de période :
Flux en début de période :
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