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Benjamin Niedermann · Ubung Algorithmische Geometrie
Benjamin Niedermann
Ubung Algorithmische Geometrie
LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK
Quad-trees
02.07.2014
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Ubersicht
Ubungsblatt 11 - Quadtrees
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Motivation: Meshing von Platinenlayouts
Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:
zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine
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Motivation: Meshing von Platinenlayouts
Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:
zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine
Qualitatseigenschaften von FEM:je feiner das Mesh desto besser die Approximationje grober das Mesh desto schneller die Berechnungje kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz
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Motivation: Meshing von Platinenlayouts
Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:
zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine
Qualitatseigenschaften von FEM:je feiner das Mesh desto besser die Approximationje grober das Mesh desto schneller die Berechnungje kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz
Ziel: adaptive Meshgroße (klein an Materialgrenzen, sonst grober)wohlgeformte Dreiecke (nicht zu schmal)
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten
unzulassige Dreiecksknoten
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten
Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein
nicht Teil des Dreiecksnetzes
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten
Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein
Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦
unzulassige Winkel
{gultig
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten
Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein
Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦
adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonstgrober
uniformes Dreiecksnetz
{gultig
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Adaptive Dreiecksnetze
Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j
mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.
Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften
keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten
Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein
Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦
adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonstgrober
uniformes Dreiecksnetz
Kennen wir schon sinnvolle Triangulierungen fur Q?
{gultig
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Aufgabe 1
Delaunay Triangulierung ↔ Meshing
Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.
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Aufgabe 1
Delaunay Triangulierung ↔ Meshing
Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.
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Aufgabe 1
Delaunay Triangulierung ↔ Meshing
Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.
Sei nun T eine Triangulierung einer endlichen Punktmenge P ⊂ R2,sodass jedes Dreieck nur nicht-stumpfe Winkel besitzt. Zeige, dass T eineDelaunay Triangulierung ist.
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
VL
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Der Satz von Thales
a
Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunktendes Kreisdurchmessers und einesHalbkreispunktes sind rechtwinklig.
b
Satz 2′: Alle Dreiecke aus den Endpunkten einer Sekante` = ab und eines Kreispunktes c auf der gleichen Seitevon ` haben den gleichen Winkel an c. Fur Dreiecke∆abd mit d innerhalb des Kreises gilt ∠adb > ∠acd,fur e außerhalb des Kreises gilt ∠aeb < ∠acd.
ab
c c′e
d
∠aeb < ∠acb = ∠ac′b < ∠adb
VL
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
pq
r
z
m
C
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
C
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
C
1. Fall: z liegt außerhalb von ∆
O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
m′
C ′
C
1. Fall: z liegt außerhalb von ∆
O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.
Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′
auf Halfte von pq
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
m′
C ′
C
1. Fall: z liegt außerhalb von ∆
O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.
Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′
auf Halfte von pq
Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′
Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
m′
C ′
C
1. Fall: z liegt außerhalb von ∆
O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.
Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′
auf Halfte von pq
Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′
Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.
Nach Satz 2’ ist Winkel an z großer 90◦
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Aufgabe 1
Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.
Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.
z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.
pq
r
z
m
m′
C ′
C
1. Fall: z liegt außerhalb von ∆
O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.
Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′
auf Halfte von pq
Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′
Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.
Nach Satz 2’ ist Winkel an z großer 90◦
2. Fall: z liegt innerhalb von ∆
Ahnliche Argumentation.
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Quadtrees
NO NW SW SO
Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.
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Quadtrees
NO NW SW SO
Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.
Ecken
Kanten
Seiten
Nachbarn
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Quadtrees
Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.
Def.: Fur eine Punktmenge P in einem QuadratQ = [xQ, x
′Q]× [yQ, y
′Q] gilt fur den Quadtree T (P )
ist |P | ≤ 1, so ist T (P ) ein Blatt, das P und Q speichert
sonst sei xmid =xQ+x′
Q
2und ymid =
yQ+y′Q
2und
PNO := {p ∈ P | px > xmid and py > ymid}PNW := {p ∈ P | px ≤ xmid and py > ymid}PSW := {p ∈ P | px ≤ xmid and py ≤ ymid}PSO := {p ∈ P | px > xmid and py ≤ ymid}T (P ) besteht aus Wurzel v, die Q speichert, mit vierKindern fur Pi und Qi (i ∈ {NO,NW,SW,SO}).
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Quadtree Eigenschaften
Die rekursive Definition eines Quadtrees lasst sich direkt ineinen Algorithmus zur Konstruktion umsetzen.
Welche Tiefe hat ein Quadtree fur n Punkte?
Lemma 1: Die Tiefe von T (P ) ist hochstens log(s/c) + 3/2,wobei c der kleinste Abstand in P ist und s dieSeitenlange des Wurzelquadrats Q.
Satz 1: Ein Quadtree T (P ) fur n Punkte und mit Tiefe dhat O((d+ 1)n) Knoten und kann in O((d+ 1)n)Zeit konstruiert werden.
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
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Aufgabe 2
Komprimierte Quadtrees
NO NW SW SO
Anzahl der Knoten jetzt O(n) (statt O((d+ 1)n))Laufzeit fur Umwandlung?Aufwand fur Konstruktion verringern?
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Aufgabe 3
Balancierte Quadtrees
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Balancierte Quadtrees
Def.: Ein Quadtree heißt balanciert, wenn die Seitenlange vonje zwei Nachbarquadraten in der zugeh. Unterteilungsich um einen Faktor von hochstens 2 unterscheidet.
VL
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Quadtrees balancieren
BalanceQuadtree(T )
Input: Quadtree TOutput: balancierter Quadtree TL← Liste aller Blatter von T ;while L nicht leer do
µ← extrahiere Blatt aus L;if µ.Q zu groß then
Teile µ.Q in vier Teile und lege vier Blatter in T an;fuge neue Blatter zu L hinzu;if µ.Q hat jetzt zu große Nachbarn then fuge sie zu L hinzu;
return T
Satz 3: Sei T ein Quadtree mit m Knoten und Tiefe d. Diebalancierte Version TB von T hat O(m) Knoten undkann in O((d+ 1)m) Zeit konstruiert werden.
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Aufgabe 3
Balancierte Quadtrees
Abanderung: Alle Rechtecke gleich groß
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Aufgabe 3
Balancierte Quadtrees
Abanderung: Alle Rechtecke gleich groß
Frage: Wie viele Blatter?
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Wiederholung: Bereichsanfrage
Szenario:
großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt
Problem: BereichsanfrageGegeben eine Punktmenge P (die Knoten in dem Straßengraph) sowieein Rechteck R, finde alle Punkte aus P die in R liegen.
Einfache Losung:Teste fur jeden Punkt p ∈ P , ob p in R liegt.⇒ Laufzeit O(|P |), dabei werden ggf. sehr viel weniger Punkte angezeigt.
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Wie kann man Quadtrees fur Bereichsanfragen nutzen?
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Bereichsabfrage in einem kd-Tree
p1
p2
p3
p4 p5
p6p7
p8
p9p10
p11
p12p13
p1 p2
p4 p5
SearchKdTree(v,R)
if v Blatt thenprufe Punkt p in v auf p ∈ R;
elseif region(lc(v)) ⊆ R then
ReportSubtree(lc(v));else
if region(lc(v)) ∩R 6= ∅ thenSearchKdTree(lc(v), R);
if region(rc(v)) ⊆ R thenReportSubtree(rc(v));
elseif region(rc(v)) ∩R 6= ∅ thenSearchKdTree(rc(v), R);
p3
p6
p6
p7 p8 p9 p10
p7
p8
p9p10
p11 p12 p13
VL
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
R
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte
→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte
→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind→ Rekursionsende (Blatter erreicht): gib resultierende Knoten aus
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Bereichsabfrage
PNW PNO
PSW PSO
Starte mit der Wurzel
R
→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte
→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind→ Rekursionsende (Blatter erreicht): gib resultierende Knoten aus
Wie geht das schnell?
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
v
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
traversiere Teilbaum Tv
Tv
O(|Tv|) × ×Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit
v
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
traversiere Teilbaum Tv
Tv
O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte
Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit
v
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
traversiere Teilbaum Tv
Tv
O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte
O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)
Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit
(k = Anzahl gefundener Punkte)
v
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
traversiere Teilbaum Tv
Tv
O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte
O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)
speichere Start und Ende inPunktliste
Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit
(k = Anzahl gefundener Punkte)
v
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Problem 3(b)
Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T
Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v
traversiere Teilbaum Tv
Tv
O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte
O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)
speichere Start und Ende inPunktliste
O(k) O(|T |) O(|T |)
Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit
(k = Anzahl gefundener Punkte)
v
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
![Page 68: Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie€¦ · Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie Der Satz von Thales a Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunkten des Kreisdurchmessers](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052611/5f0729bf7e708231d41b9ecf/html5/thumbnails/68.jpg)
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
![Page 69: Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie€¦ · Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie Der Satz von Thales a Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunkten des Kreisdurchmessers](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052611/5f0729bf7e708231d41b9ecf/html5/thumbnails/69.jpg)
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
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Aufgabe 4
Quadtrees fur Range Queries?
Welchen Aufwand hat das Verfahren?
![Page 71: Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie€¦ · Benjamin Niedermann Ubung Algorithmische Geometrie Der Satz von Thales a Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunkten des Kreisdurchmessers](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052611/5f0729bf7e708231d41b9ecf/html5/thumbnails/71.jpg)
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Aufgabe 4
Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Geradebegrenzte Halbebene ist?
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Aufgabe 4
Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Geradebegrenzte Halbebene ist?