Begalybė matematikoje ir filosofijoje

Rimas Norvaiša

2018 m. balandžio mėn. 6 d.

Abstract

Dalomoji medžiaga paskaitoms „Matematika ir filosofija". Apmatai.

Mano tikslas yra matematinės begalybės sampratos aptarimas. Tačiauši sąvoka tampriai susijusi ir su filosofiniais bei teologiniais begalybės aspek-tais. Šiuos aspektus ypatingai sunku atskirti istorinėje perspektyvoje. Ap-skritai, matematika ir filosofija anksčiau turėjo žymiai daugiau bendrumųnei šiais laikais. Knorr rašo:

The interaction of philosophy and mathematics is seldom re-vealed so clearly as in the study of the infinite among the an-cient Greeks. The dialectical puzzles of the fifth-century Eleat-ics, sharpened by Plato and Aristotle in the fourth century, arecomplemented by the invention of precise methods of limits,as applied by Eudoxus in the fourth century and Euclid andArchimedes in the third.

Verčiu iš Routledge encyclopedia of philosophy (446 pusl.):Begalybe paprastai laikoma tai, kas yra nesuskaičiuojama, neribota,

neišmatuojama. Ši sąvoka taip pat turi teologinę absoliutumo ir tobu-lumo prasmę. Dar civilizacijos aušroje ji kėlė ypatingą žavesį: žmonestraukė erdvės ir laiko begalinumas, skaičių eilės nepabaigiamumas, neri-boto dalumo paradoksalumas ir dieviško tobulumo paslaptingumas. Be-galybę visada siejo ypatingi santykiai su matematika. Natūraliųjų skaičiųeilės nepabaigiamumas jau yra begalybės išraiška. Tačiau požiūris, kad patibegalybė galėtų būti matematikos tyrimų objektu dažnai buvo atmetamaskaip nerimtas. Tačiau tokia padėtis smarkiai pasikeitė 19 amžiuje, kai buvosukurta „transfinitinė aritmetika“. Nepaisant to, skeptiškas požiūris dėl be-galybės pažinumo niekur nedingo.

Gali būti taip, kad begalybės sąvoka yra iš esmės prieštaringa. Bet josneįmanoma atmesti vien dėl tokios galimybės. Taip pat gali būti, kad subegalybę susijusių paradoksų šaltinis yra mūsų pačių baigtinumas. Visa taitik skatina mūsų siekį pažinti begalybę kaip galima geriau.

Infinity and infinite skirtumai ....

1

Žodžiai begalybė ir begalinis atitinka anglų kalbos žodžius infinity ir infi-nite, atitinkamai. Lietuviškų žodžių reikšmė ir kilmė trumpai aptariama A.Baltrūno knygoje „Begalybės biografijoje". Aš šiuos žodžius ir jų reikšmestapatinu su angliškais atitikmenimis. Ši pastaba reikalinga, nes aptariamebegalybės sąvokos evoliuciją nuo seniausių laikų remdamiesi literatūra anglųkalba.

1 Senovės graikų požiūrisGraikų kalbos žodžiui peras paprastai suteikiama reikšmė: riba, kraštas,galas. Graikų žodis apeiron reiškė tai, kas neturi kraštų, taigi begalybė.

1.1 Anaksimandras Miletietis

Tokios reikšmės suteikimas žodžiui apeiron priskiriamas Anaximender‘iui išMileto. Begalybė jam reiškė visa ko šaltiniu. Jis taip pat galvojo, kad visidaiktai galiausiai ten grįžta.

Anaximander (610-546 pr. Kr. g.) Internet encyclopedia of philosophyhttp://www.iep.utm.edu/anaximan/#H2

Tačiau Anaximander‘io požiūris į begalybę buvo išimtimi tarp graikųfilosofų. Visumoje graikai bjaurėjosi begalybe. Pavyzdžiui, pitagoriečiaiturėjo tipišką požiūrį į begalybę. Jie tikėjo dviem pagrindiniais ontologiniaisprincipais apibūdinančiais peras ir apeiron. Pirmajam žodžiui priskiriamavisą, kas yra gera, o antrajam – visą, kas yra bloga. Be to, pitagoriečiaimanė, kad visko atsiradimas susijęs su skaičiais 1, 2, 3, . . . . Taip yra todėl,kad peras nuolat įveikia apeiron. Platonas iš esmės laikėsi panašaus požiūrio.

Tačiau pitagoriečiams teko patirti, kad neįmanoma begalybės paprasči-ausiai priskirti kosminiam blogiui. Taip atsitiko po to, kai jie aptiko neben-dramačių atkarpų faktą: kvadrato įstrižainės ir kraštinės santykis nėra tap-atus su jokiu natūraliųjų skaičių poros santykiu. Nebendramačių atkarpųegzistavimo faktas buvo vertinamas kaip pitagoriečių požiūrio žlugimas.

1.2 Zenonas Elėjietis

Apie Zenoną Elėjietį (490-430/425 pr. Kr.g.; angl. Zeno of Elea) žinomalabai nedaug. Platono dialogas Parmenides yra pagrindiniu žinių apie jįšaltiniu. Zenonas buvo filosofo Parmenido (angl. Parmenides) mokiniu irdraugu. Abu jie gyveno pietų Italijos srityje vadinama Elėja, kuri tuo metubuvo viena iš daugelio graikų kolonijų. Zenonas priklausė Parmenido įkurtaimokyklai, kuri buvo labai įtakinga graikų filosofijos pre-Sokratikų mokykla.

Parmenido filosofija grindžiama teiginiu, kad visa egzistuojanti daiktųir reiškinių įvairovė yra vienintelė išorinė realybė. Ši realybė vadinta „Bū-timi". Parmenidas teigė, kad „viskas yra vienis" (angl. all is one) ir kad

2

kitimas arba „neBūtis" yra neįmanomi. Tokia Parmenido filosofija vadinamamonizmu.

Žinios apie pasaulį įgyjamos dviem būdais: pojūčiais (stebėjimu) arbasamprotavimu. Thales iš Mileto, Parmenidas ir kiti atstovavo tiems, kurieteigė, kad samprotavimas yra tiesos paieškos priemonė. Pitagoras, Herakl-itas (Heraclitus) ir kiti pirmenybę teikė pojūčiams. Pagal Heraklitą viskaskinta. Todėl nekintantis samprotavimas negali padėti rasti tiesos. Par-menidas į tai atsako klausimu: Jei viskas kinta, tai kaip Žemė virsta (kinta)Vandeniu, arba Vanduo virsta (kinta) Garais? Vanduo yra mažiau tankusuž Žemę ir Garai mažiau tankūs už Vandenį. Tam, kad vienas virstu kitu,turėtų atsirasti tuščia erdvė. Bet tuščia erdvė yra Niekas, kuris neegzis-tuoja. Todėl nėra tokio dalyko kaip virsmas (kitimas). Pasaulis yra Vienis,sferiškai kieta nejudanti erdvė, nekintanti, nes Niekas negali būti kažkuo(nothingness cannot be something - [6], 24 pusl).

Parmenido mokykloje samprotavimas tapo nauja tiesos radimo priemone.Prieštaravimas - naujas loginis principas - pagal, kurį daiktas negali tuopačiu metu būti ir nebūti.

Zenono pažiūras suformavo Parmenido filosofija. Jis siekė pagrįsti Vienįbandydamas atskleisti prieštaringumą prielaidos apie Daugio egzistavimą.Toks netiesioginis pagrindimo būdas nesiekia laimėti ginčą, bet atskleistitiesą. Toks samprotavimo būdas kartais vadinamas dialektika.

Siekdamas pagrįsti Parmenido teoriją apie Vienio egzistavimą, Zenonassugalvojo 40 antinomijų, kurios turėtų atskleisti Daugio tariamo egzistavimoprieštaringumą. Kai kurios iš šių antinomijų išliko ir jas dar aptarsime.Greta antinomijų Zenonui priskiriami ir tokie filosofiniai apmąstymai (S.G.Krantz [4], 45 pusl.):

(1) If the Existent is Many, it must be at once infinitely smalland infinitely great - infinitely small, because its parts must beindivisible and therefore without magnitude; infintely great, be-cause, that any part having magnitude may be separate fromany other part, the intervention of a third part having magni-tude is necessary, and that this third part may be separate fromthe other two the intervention of other parts having magnitudeis necessary, and so ad infinitum.

Kitaip kalbant, jei egzistuoja du dydžiai, tai turi egzistuoti ir trečiasdydis, kuris juos skiria. Priešingu atveju negalėtume atskirti dviejų dydžių.Jei egzistuoja trys dydžiai, tai turi egzistuoti keturi ir daugiau dydžių, kurieskiria tuos tris dydžius. Tęsiant toliau, galima daryti išvadą, kad egzistuojabe galo daug dydžių, jei egzistuoja bent du. Todėl negali egzistuoti duskirtingi dydžiai.

Kiti Zenono filosofiniai apmąstymai (S.G. Krantz [4], 46 pusl.):

3

(2) In like manner the Many must be numerically both finite andinfinite - numerically finite, because there are as many things asthere are, neither more nor less; numerically infinite, because,that any two things may be separate, the intervention of a thirdthing is necessary, and so on ad infinitum.

(3) If all that is is in space, space itself must be in space, and soon ad infinitum.

(4) If a bushel1 of corn turned out upon the floor make a noise,each grain and each part of grain must make a noise likewise;but, in fact, it is not so.

S.G. Krantz teigimu [4], 46 pusl.), dar didesnę įtaką senovės graikamskėlė Zenono antinomija apie egzistenciją (angl. paradox of predication):

If existences are many, they must be both like and unlike (unlike,inasmuch as they are not one and the same, and like, inasmuch asthey agree in not being one and the same). But this is impossible;for unlike things cannot be like, nor like things unlike. Thereforeexistences are not many.

Pagal Zenoną kitimas yra negalimas, nes jo galimumas reikalauja tapimoir buvimo pabaigą tuo pačiu metu (J. Mazur [6], 13 pusl.). Jo teigimukitimas yra galimas tik laike. Taigi, kitimas yra tas pats, kas judėjimas.Todėl, pagal Zenoną, judėjimas nėra galimas.

Šiuose Zenono samprotavimuose apie pliuralumą (plurality), būtį, erdvę,laiką ir judėjimą vienaip ar kitaip pasirodo begalybė.

1.3 Aristotelis

Aristotelis (384-322 pr. Kr.g.): begalybė egzistuoja kaip neribotas procesas– potenciali begalybė, bet neegzistuoja neriboto proceso pabaiga – aktualibegalybė.

Keturios antinomijos skirtos parodyti, kad judėjimas yra iliuzija. Aris-totelio „Fizikoje" judėjimo realumas yra fundamentali prielaida. Todėl jissiekė paneigti Zenono antinomijas.

Dichotomijos antinomija pagal 239b11-12: a moving object notmoving because of its having to reach the half-way point beforeit reaches the end.

Dichotomijos antinomija pagal 263a5-7: ... it is always necessaryto traverse half the distance first, and .... there are infinitelymany half-distances and that it is impossible to traverse infinitelymany distances;...

1bušelis - biralų ir skysčių vienetas D. Britanijoje - apie 36,4 l.

4

Dichotomijos antinomiją galima performuluoti detaliau:

1. judėjimo galimumas reiškia, kad objektas gali įveikti baigtinį atstumąper baigtinį laiką;

2. įveikiant bet kurį baigtinį atstumą per baigtinį laiką, reikia įveikti begalo daug atstumų pusių;

3. įveikti be galo daug atstumų pusių per baigtinį laiką yra neįmanoma;

4. todėl neįmanoma įveikti baigtinį atstumą per baigtinį laiką;

5. todėl judėjimas nėra galimas.

Šioje antinomijoje Zenonas daro prielaidas, kad atstumai yra be galodalūs ir neįmanoma atlikti be galo daug veiksmų (įveikti atstumą) perbaigtinį laiką. Aristotelis sutinka su pirmąja prielaida, bet atmeta antrąją(6.2.233a21-24?): "... hence Zeno’s argument makes a false assumption inasserting that it is impossible for a thing to pass over or severally come intocontact with infinitely many things in a finite time."

Aristotelis remiasi savo pasiūlyta begalybės samprata (3.5-7). Jis skiriabegalybę sudedant nuo begalybės dalijant (206a14,15), bei aktualią ir po-tencialią begalybes (206a18-206b2). Begalybė sudedant yra neribotai kar-tojama diskrečių vienetų sudėtis gaunant nuolat didėjančią sumą ar aibę(206a27,28). Begalybė dalijant yra neribotai kartojama tolydaus dydžiodalyba gaunant nuolat mažėjančius tolydžius dydžius (207b1-5,16,17). Ak-tualiosios begalybės nėra ta prasme, kad begalinis sudėjimas ir begalinisdalinimas turi pabaigą (206b6,7). Pagal Aristotelį yra galima tik poten-cialioji begalybė (207b12,13).

Dabar galima patikslinti Aristotelio prieštaravimą dichotomijos anti-nomijai. Aristotelis sutinka su 3 teiginiu tuo atveju, kai juo draudžiama ak-tualioji begalybė suprantant begalinio skaičiaus veiksmų atlikimo per baigt-inį laiką negalimumą (233a26,27,263a7,10,11). Bet jis nesutinka su 3 teig-iniu tuo atveju, kai neigiami kontinuumo begalinė dalyba ir potencialiojibegalybė.

pusl.143 The point is that there are two ways in which distanceand time (and, in general, any continuum) are described as infi-nite: they can be infinitely divisible or infinite in extent (sumabegalo daug narių lygi begalybei?). So although it is impossibleto make contact in a finite time with things which are infinite inquantity, it is possible to do so with things which are infinitelydivisible, since the time itself is also infinite in this way. And sothe upshot is that it takes an infinite rather than a finite time totraverse an infinite distance, and it takes infinitely many ratherthan finitely many nows to make contact with infinitely manythings.

5

1.4 Matematinis intarpas

Buvo pasakyta, kad sumuojant be galo daug veiksmų būtinai gausime be-galybę. Šiuolaikinės matematikos požiūriu tokia išvada nebūtinai teisinga.Tarkime, kad vienetinio ilgio intervalą [0, 1] daliname dichotomijos antinomi-jos principu:

0[—————–|———|—–|–|....]1Pabandykime suskaičiuoti nuosekliai sudaromų atstumų puses:

` =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ....(= 1?).

Tarkime, kad kiekvienam įvykiui (atstumo įveikimui) atlikti reikalingas laikasproporcingas nueitam atstumo ilgiui. Tokiu atveju, visas sugaištas laikas yra

t =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ....(= 1?).

Skaičiavimui naudosime matematinės analizės sąvokas „sekos konvergavi-mas", „sekos riba", „begalinės eilutės suma". Mes norime suteikti prasmębegalinei sumai

q1 + q2 + · · ·+ qn + · · · , (1)

čia q1, q2, ir t.t. yra skaičiai. Pažymėkime pirmųjų n skaičių baigtinę sumą

Sn := q1 + q2 + · · ·+ qn.

Intuityviai kalbant, begaline suma (1) yra toks skaičius S, kad skirtumas|Sn − S| yra tuo mažesnis, kuo didesnis eilės numeris n. Tiksliau kalbant,begaline suma (1) yra skaičių sekos (Sn) = (S1, S2, . . . , Sn, . . . ) „riba" S.Toliau suformuluosime sąvokas tiksliai.

Skaičių seka (an) = (a1, a2, . . . , an, . . . ) yra iš eilės sunumeruoti skaičiai.Tiksliau skaičių seka yra funkcija iš natūraliųjų skaičių aibės į realiųjųskaičių aibę, kurios reikšmė yra an kiekvienai argumento reikšmei n.

1.1 apibrėžtis. Tarkime, kad (an) yra skaičių seka ir a yra skaičius. Sakoma,kad „(an) konverguoja į a" arba „a yra sekos (an) riba", jei

∀ε > 0, ∃N ∈ N: ∀n ∈ N teisinga implikacija jei n > N , tai |an − a| < ε.

Taikant šį apibrėžimą samprotaujama taip. Tarkime yra duotas (pasirink-tas, fiksuotas) skaičius ε > 0, pavyzdžiui, ε = 1

100 . Reikia rasti bent vienątokį natūralųjį skaičių N , paprastai priklausantį nuo ε, kuris turi nurodytąsavybę: visiems n ∈ N teisinga implikacija

jei n > N , tai |an − a| < ε.

Pritaikysime šį samprotavimą skaičiuojant begalinės geometrinės progresijossumą (tokia suma atsiranda dichotomijos antinomijoje). (1) yra geometrinė

6

progresija kai kiekvienas narys qn = rn ir r ∈ (0, 1). Pirmiausia suskaičiu-osime baigtinę sumą

Sn = r + r2 + · · ·+ rn

= (r + r2 + · · ·+ rn)1− r1− r

=[(r + r2 + · · ·+ rn)− (r2 + r3 + · · ·+ rn+1)

] 1

1− r

=r − rn+1

1− r=

r

1− r− rn+1

1− r.

Toliau parodysime, kad seka (Sn) konverguoja į S := r1−r . Tegul ε > 0 yra

duotas. Reikia rasti tokį N ∈ N, kad nelygybė

|Sn − S| =rn+1

1− r< ε

būtų teisinga visiems n > N . Pertvarkius ir logaritmavus, pastaroji nely-gybė ekvivalnti tokiai

log( 1

ε(1− r)

)< (n+ 1) log

(1

r

).

Ieškomas N yra mažiausias natūralusis skaičius nemažesnis už

log( 1

ε(1− r)

)/ log

(1

r

).

Įrodėme, kad begalinės geometrinės progresijos suma yra

r + r2 + · · ·+ rn + · · · = r

1− r, (2)

čia r ∈ (0, 1) bet kuris skaičius. Kai r = 1/2, gauname žadėtąją sumą1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · = 1.

Matematinio intarpo pabaiga.

1.5 Achilo ir vėžlio antinomija

Geriausiai žinoma Achilo ir vėžlio antinomija: Achilas negali aplenkti vėžliokai šis startuoja priekyje Achilo. Tam, kad Achilas aplenktų vėžlį, jampirmiausia reikia pasiekti tą vietą iš kurios startavo vėžlis. Per tą laikąvėžlys nueina naują kelio atkarpą. Achilas turi įveikti naują atkarpą, koltuo metu vėžlys eina toliau ir taip be gali iki begalybės.

In a race, the quickest runner can never overtake the slowest,since the pursuer must first reach the point whence the pursuedstarted, so that the slower must always hold a lead. – as re-counted by Aristotle, Physics VI:9, 239b15.

7

Tarkime Achilas ir vėžlys startuoja tuo pačiu metu ir bėga ta pačia tiesialinija link finišo. Achilo starto vieta x0 = 0, vėžlio starto vieta x1 ir x1 > 0.Tardami, kad abu lenktynininkai bėga pastoviais grečiais va (Achilo greitis),vv (vėžlio greitis) ir va > vv, apskaičiuosime laiką T per kurį Achilas pavysvėžlį.

Pažymėkime t1 laikotarpį, per kurį Achilas pasiekia vėžlio starto vietąx1. Kol Achilas bėga iki vėžlio starto vietos x1, vėžlys nubėga į naują vietąx2. Taigi, kai Achilas yra padėtyje x1, tai vėžlys yra padėtyje x2 tuo pačiumetu t1. Pažymėkime t2 laiko momentą kada Achilas nubėga iš padėties x1 įpadėtį x2. Per laikotarpį t2−t1 vėžlys nubėga į naują vietą x3. Taigi, Achilasyra padėtyje x2, o vėžlys yra padėtyje x3 tuo pačiu metu t2. Pažymėkime t3laiko momentą, kada Achilas nubėga iš padėties x2 į padėtį x3. Tokiu būdubėgimą padalinome etapais:

x0——–x1——x2—-x3–....–XAchilo ir vėžlio greičiai yra, atitinkamai,

va =x1t1

=x2 − x1t2 − t1

=X

Tir vv =

x2 − x1t1

=X − x1T

.

Bėgimo laiką skaičiuosime naudodami sąryšį

laikas (sekundėmis) =atstumas (metrais)

greitis (metrais per sekundę).

Pirmasis periodas ∆t1 = t1 = x1/va. Atstumas tarp x1 ir x2 yra t1·vv. Šįatstumą Achilas įveikia per laikotarpį

∆t2 := t2 − t1 =x2 − x1va

=t1·vvva

=x1va·vvva.

Atstumas tarp x2 ir x3 yra ∆t2·vv. Šį atstumą Achilas įveikia per laikotarpį

∆t3 := t3 − t2 =∆t2·vvva

=x1va·(vvva

)2.

Nuosekliai tęsiant šiuos vertinimus, gauname

T = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 + · · ·

=x1va

+x1va·vvva

+x1va·(vvva

)2+ . . .

=x1va

[1 +

vvva

+(vvva

)2+ . . .

]=

x1va − vv

.

Paskutinė lygybė gauta iš (2) kai r = vv/va.

8

Figure 1: Achilas vs vėžlys

Kitas skaičiavimo būdas naudojant panašius trikampius iš Figure 1 piešinio:

T

t1=X − x1x2 − x1

.

Sudauginę kryžmai gauname

T ·(x2 − x1) = (X − x1)·t1.

Įstatę x2 − x1 = vvt1, X = Tva ir x1 = t1va gauname

T =t1va

va − vv=

x1va − vv

.

Zenono antinomijos ne tik turėjo didelę įtaką senovės graikų filosofijai,bet ir išugdė priešiškumą begalybei.

Democritas (460-370 pr. Kr.g.): medžiaga nėra daloma be galo; egzis-tuoja nedalomas atomas.

Katalikų bažnyčia: yra galima tik potenciali begalybė, o vienintele ak-tualia begalybe yra Dievas. Kiekvienas tam prieštaraujantis yra eretikas.

2 Viduriniai amžiai

2.1 Galileo Galilei

Galileo Galilei (1564-1642). Laikomas pirmuoju šiuolaikinio tipo mokslininkuir pirmuoju prakalbusiu apie lemiamą matematikos vaidmenį pažįstant gamtą.Jo knygoje „Dialogue on Two New Sciences“ (1638) daroma išvada, kad be-galybė yra vienintelė (nėra skirtingo dydžio begalybių) ir begalybei netinka

9

baigtiniams dydžiams įprastos savybės. Dialoge kalba Simplicio (mokslininkas,Aristotelio pažiūrų reiškėjas), Salviati (mokslininkas, Galileo pažiūrų reiškėjęs)ir Sagredo (eilinis žmogus).

Simplicio: problema - dvi skirtingo dydžio atkarpos turi skirtingą begal-inį dydį taškų.

Salviati: paradoksas – kvadratų ir šaknų turime tiek pat, nors šaknyssudaro visus natūraliuosius skaičius, o kvadratai tik jų dalį.

2.2 Begalybė iki Cantoro

Kantas apie begalybę „Grynojo proto kritika" (liet. kalba, 360,363 pusl.)([2], 18 pusl).

The influence of Leibniz’s Monadologie might be one of the key factorsthat impelled Riemann, Dedekind and Cantor to accept the actual infinity([2], 19-20 pusl).

Bolzano defended forcefully the actual infinity, showing that the "para-doxes" of infinity involved no contradiction at all, and attempted to elaboratea theory of infinite sets ([2], 21 pusl).

Jacob Steiner, the great representative of synthetic geometry, seems tohave been a defender of actual infinity ([2], 21 pusl). Dedekindas ir Cantorasžinojo apie Steiner io idėjas.

In 1857 Riemann took the step of ’completing’ the complex plane with apoint at infinity, thus turning it into a closed surface, which made it possibleto reach general results in a simplified way ([2], 21 pusl).

3 Šiuolaikinė matematika apie begalybęPagal Routledge encyclopedia of philosophy (449 pusl.), 19 amžiaus viduryjebuvo žinomi dviejų rūšių prieštaravimai aktualiajai begalybei. Pirmosiosrūšies prieštaravimai grindžiami tuo, kad aktualioji begalybė nėra patiriama.Antrosios rūšies prieštaravimus sudaro paradoksai susiję su aktualiąja be-galybe. Paradoksus galima suskirstyti į dvi grupes. Pirmąjai grupei priskiri-ant Zenono antinomijas, bei jos variantus. To meto matematinė analizėdidžia dalimi gebėjo sušvelninti antinomijų aštrumą. Reikšmingesniais buvolaikomi antrosios grupės paradoksai, atsiradę dar viduramžiais. Šie paradok-sai susiję su abipus vienareikšme atitiktimi (equinumerosity): jei dviejų aibiųelementus galima suporuoti, tai abi aibės turėtų turėti tą patį elementų kiekį(ne skaičių, nes jis tik baigtinis).

G. Cantoras - aibė, kaip matematikos objektas. G. Frege - sąvoka, kaiplogikos objektas.

10

3.1 Georgas Cantoras

Skaičių seką 1, 2, 3, 4, ... galima laikyti potencialiosios begalybės pavyzdžiu,nes joje nėra didžiausio skaičiaus. Cantoras daro prielaidą, kad greta indi-vidualių natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, 4, ..., kaip matematinis objektas, egzis-tuoja natūraliųjų skaičių aibė

{1, 2, 3, 4, . . . }. (3)

Šią aibę galima laikyti aktualiosios begalybės pavyzdžiu, nes šis objektas„užbaigia", „išsemia" skaičiavimo procesą. Šią prielaidą Cantoras papildo„begalinių skaičių" konstrukcija sukurdamas tokiems skaičiams atitinkančiąaritmetiką.

Cantoras apibrėžė dviejų rūšių „begalinius skaičius" apibendrindamasdvi skirtingas natūraliųjų skaičių sekos savybes. Pirmąja savybe laikomadiskrečių objektų kiekio reiškimas: vienas, du, trys ir t.t. Kalbine prasmeši skaičių savybė išreiškiama terminais kiekinis skaitvardis arba kardinalusisskaičius. Antrąja savybe laikoma diskrečių objektų sutvarkymas priskiriantskaičių kaip žymę, nurodančią objekto vietą eilėje: pirmas, antras, trečias irt.t. Kalbine prasme ši skaičių savybė išreiškiama terminais kelintinis skait-vardis arba ordinalusis skaičius. Ordinalieji skaičiai reikšmingi tuo, kadleidžia praplėsti matematinės indukcijos veikimo sritį „begaliniams skaiči-ams".

Pradinėje stadijoje apibrėžiant „begalinius skaičius" Cantoras naudojotokią aibės sampratą: pasirinkus (logiškai nepriekaištingai formuluojamą)savybę S, aibę sudaro visi tie objektai, kurie turi savybę S. Pavyzdžiui,pirminių skaičių aibė yra

{x : x yra natūralusis skaičius ir x dalosi tik iš vieneto ir savęs},

arba aibė{x : x yra aibė ir x nėra pati savęs elementu}.

Vėliau pasirodė, kad ši aibės samprata sukelia loginius prieštaravimus (Rus-sell’o paradoksas). Todėl 20 amžiaus pradžioje buvo pasiūlyti skirtingi aibėsapibrėžimo būdai. Vienas iš jų yra Zermelo-Frenkelio aksiomų sistema, kuriamatematikai naudojasi iki šiol.

Matematikoje taip pat vystomas požiūris, kad aktualiosios begalybėssąvoka neleistina. Apžvelgti intuicionizmą, konstruktyvizmą,...

4 Zenono aporijos šiandienŠiuolaikinė matematika tik iš dalies paaiškina Zenono aporijas. Pavyzdžiui,kalbant apie dichotomijos aporiją, matematikai gali paprasčiausiai neigtiaporijos paradoksalumą atkreipdami dėmesį į tai, kad

1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 1.

11

Bet matematikas negali atsakyti į klausimą kaip aporijos užduotis įvykdomarealybėje.

Kalbant apie strėlės aporiją, pagal Zenoną(?), jei fiksuojamas laiko mo-mentas, tai strėlė nejuda tuo momentu. Tokiu atveju strėlė nejuda kiekvienujos judėjimo laiko momentu. Matematikoje laikas yra kintamasis, kurioreikšmės įgyjamos realiųjų skaičių aibėje. Matematinė formulė nurodo strėlėspadėtį kiekvienu laiko momentu, pavyzdžiui, laiko momentu t = 2. Bet aryra toks dalykas kaip lygiai dvi sekundės? Mums nepavyktų nufotografuotistrėlės tokiu momentu, nes fotoaparato užsklanda atsidaro ir užsidaro netuo pačiu momentu.

Fizikinė situacija (realybė) išreiškiama matematiniais modeliais, kurieyra proto konstrukcijos. Norėdami suprasti Zenono argumentus, turėtumesuprasti ryšį tarp to, kas yra realybėje ir kaip tai išreiškiama matematiškoje,kai laiko kintamasis dydis įgyja konkrečią reikšmę. Šiuo atveju matematikasyra fokusininkas pagal J. Mazur ([6], 26 pusl.). Sustabdyti laiką tam, kadpamatyti strėlę nejudančią? Tokią intervenciją įmanoma įsivaizduoti, bettai, ką įsivaizduojame nėra reali strėlė.

Tolydumas reiškia nepertraukiamą trajektoriją. Mes judame iš vienosvietos į kitą nesutikdami plyšių. Judėjimas mums atrodo be trūkių. Tačiauįsivaizduojame judančius objektus kreive, kurią sudaro taškai tapatinami suskaičiais. Su kiekvienu skaičiumi ant skaičių tiesės nėra kito skaičiaus, kurisbūtų sekantis. Kaip tokiu atveju vyksta judėjimas, kai nėra sekančio taško?Jei trajektoriją sudaro taškų aibė, tai objekto judėjimas netampa (tolydžia)trajektorija.

Gali būti, kad realus judesys nėra išreiškiamas matematines erdvės irlaiko struktūra esant kaip norimai mažiems laiko intervalams neišmatuo-jamiems realiomis priemonėmis. David Hilbert ir Paul Bernais išreiškia šiąmintį tokiais žodžiais ([6], 28 pusl.):

Actually there is also a much more radical solution of the para-dox. This consists in the consideration that we are by no meansobliged to believe that the mathematical space-time represen-tation of motion of physically significant for arbitrarily smallspace and time intervals; but rather have every basis to supposethat that mathematical model extrapolates the facts of a certainrealm of experience, namely the motions within the orders ofmagnitude hitherto accessible to our observation...

Tai svarstymai, kuriais judėjimo suvokimas ir tolydumo pojūtis yra prieš-pastatomi racionaliam aiškinimui to, ką mes laikome realybe. Tokie svarsty-mai tapo ypač aktualiais atsiradus kvantinei mechanikai ir reliatyvumo teori-jai. Tokio pobūdžio svarstymus daugiau kaip prieš du tūkstančius metųpaskatino Zenono aporijos. Mes daugiau ar mažiau suprantame judėjimąmakroskopiniame lygmenyje. Bet neturimo jokio jutiminio patyrimo apiejudėjimą mikroskopiniame lygmenyje.

12

J. Mazur ([6], 29 pusl.) teigimu, Zenono aporija Stadium ilgą laiką buvosuprantama klaidingai. Jo knygoje siūloma aporijos interpretacija netiesio-giai parodo, kad tiesė negali būti sudaryta iš diskrečių taškų. Kiekvienas,kuris pritaria atomistinei pasaulėžiūrai pagal kurią materiją sudaro nedalo-mos elementariosios dalelės, neturėtų prieštarauti tam, kad judantis objek-tas privalo pereiti nuo vieno taško prie kito laikui kintant nuo vieno mo-mento prie kito. Zenonas, tardamas, kad judėjimas vyksta trajektorija,kurią sudaro taškai, taip pat daro prielaidą, kad laikas kinta viena kryptimiiš praeities į ateitį. Esant tokiam judėjimo scenarijui natūralu taip pat tarti,kad objektas judėdamas pastoviu greičiu dviem skirtingais laiko momentaisnegali būti vienoje vietoje.

5 Pratimai5.1 užduotis. Laikrodis rodo 6:55. Po kiek laiko minučių rodyklė pavysvalandos rodyklę?

Įrodymas. I būdas. Pridedant 5 minutes prie atsakymo, galima tarti, kadlaikrodis rodo 7:00. Minučių ir valandų rodyklių greičiai yra, atitinkamai,

vm =2πR

60

cmmin

ir vv =(π/6)R

60

cmmin

,

čia R yra laikrodžio spindulio ilgis.Ant laikrodžio apskritimo pažymėkime taškus l0 = 0 min ir l1 = 35 min.

Kai laikrodis rodo 7 : 00, tai minučių rodyklė nukreipta į tašką l0, valandųrodyklė nukreipta į tašką l1 ir šį laiko momentą pažymėkime t0 = 0. Toliauminučių rodyklė juda nuo taško l0 iki taško l1 per laiko tarpą ∆t1 := t1−t0 =t1 = 35 minutes. Tuo tarpu valandų rodyklė per tą patį laiko tarpą ∆t1juda nuo taško l1 iki taško l2 ir l2 − l1 = ∆t1·vv. Pavadinkime momentą t1pirmojo etapo pabaiga. Šiuo momentu minutinė rodyklė nukreipta į taškąl1 o valandų rodyklė nukreipta į tašką l2.

Antruoju etapu minučių rodyklė juda nuo taško l1 iki taško l2. Šiąatkarpą ji baigia momentu t2 ir

∆t2 := t2 − t1 =l2 − l1vm

=∆t1·vvvm

=l1vm· vvvm

(=

35

12min

).

Tuo tarpu valandų rodyklė per tą patį laiko tarpą ∆t2 juda nuo taško l2iki taško l3 ir l3 − l2 = ∆t2·vv. Pavadinkime momentą t2 antrojo etapopabaiga. Šiuo momentu minutinė rodyklė nukreipta į tašką l2 o valandųrodyklė nukreipta į tašką l3.

Tęsiantis rodyklių judėjimui, trečiuoju etapu judėjimas vyksta laiko atkarpa

∆t3 =∆t2·vvvm

=l1vm·( vvvm

)2(=

35

122min

).

13

Šie etapai sudaro begalinę seką ir visų jų laikotarpių suma yra ieškomaslaikrodžio rodyklių susitikimo momentas

T = 5 min + ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 + · · ·

= 5 min +l1vm

(1 +

vvvm

+( vvvm

)2+ · · ·

)= 5 min + 35 min

(1 +

1

12+

1

122+ · · ·

)= 5 min + 35 min·12

11= 43

2

11min.

II būdas. Parinkdami spindulį R galime tarti, kad laikrodžio apskritimoilgis yra 60 cm. Tokiu atveju minučių rodyklės judėjimo grafikas yra kvadratoįstrižainė, o valandos rodyklė juda nuo taško 35 cm iki taško 40 cm.

Figure 2: Minučių ir valandų rodyklių greičiai

Minučių ir valandų rodyklių greičių susikirtimo taško laiko koordinatėyra momentas T , kad minučių rodyklė paveja valandų rodyklę. Momentą Tgalima apskaičiuoti sudarant santykį iš panašių trikampių kraštinių ilgių:

60

T=

40− 35

T − l1,

čia l1 = 35 min. Išsprendę lygtį atžvilgiu T gauname

T =60·35

55= 43

2

11min.

14

References[1] Aristotle, Physics A new translation by Robin Waterfield. With an

Introduction and Notes by D. Bostock. Oxford World’s Classics. OxfordUniversity Press, 2008.

[2] J. Ferreirós, Labyrint of Thought. A History of Set Theory and ItsRole in Modern Mathematics. Second revised edition, Birkhäuser, 2007.

[3] W.R. Knorr, Infinity and continuity: the interaction of mathematicsand philosophy in antiquity. In: N. Kretzmann (ed). Infinity and continu-ity in ancient and medieviel thought. Cornell University Press, 112-145,1982.

[4] S.G. Krantz, An Episodic History of Mathematics. Mathematical Cul-ture through Problem Solving. 2006.

[5] E. Maor, To infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite.Stuttgart, Birkhäuser, 1987. (Entertaining examination of the role ofinfinity in mathematics and its cultural impact on the arts and sciences.)

[6] J. Mazur, Zeno’s Paradox. Unravelling the ancient mystery behind thescience of space and time. A Plume Book, 2007.

[7] A.W. Moore, The Infinite. London, Routledge, 2nd edn, 2001. (intro-ductory and partly historical study of all aspects of the infinite.)

[8] A.W. Moore, Some Fundamental Facts about the Infinite. Videohttps://www.youtube.com/watch?v=6s0TFBml_z4 (Pedagogiškaipuikiai pateikta paskaita. Joje Cantoro teorema įrodyta tuo atveju, kaiaibė yra natūraliųjų skaičių aibė - diagonalinis argumentas.)

[9] R. Norvaiša, Analizė I. Paskaitų konspektas, 2016. http//klevas.mif.vu.lt/~rimasn

[10] R. Rucker, Infinity and the Mind. The Science and Philosophy of theInfinite. Sussex, Harvester Wheatsheaf, 1982. (Lively and fascinatingaccount of the more mathematical aspects of infinite. Defends a kind ofmysticism.)

[11] J. Stillwell, Yearning for the Impossible. The Surprasing Truths ofMathematics. A K Peters, Ltd, 2006. (shows that many parts of mathe-matics demands that we accept some form of infinity.)

[12] J. Stillwell, Roads to Infinity. The Mathematics of Truth and Proof.A K Peters, Ltd, 2010. (explores the consequences of accepting infinityin mathematics.)

15

Solomon Feferman. Infinity in mathematics: Is Cantor necessary? Philo-sophical Topics 17 (2):23-45, 1989.

M. Heller and W.H. Woodin. Infinity: New Research Frontiers. Cam-bridge University Press, 2011.

T. Kouremenos. Aristotle on Mathematical Infinity. Franz Steiner Ver-lag, 1995.

J.W. Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of theInfinite. Princeton University Press, 1990.

G.D. Allen. The History of Infinity.Controversy over Cantor’s theory. Wikipwdia.N. Wolchover. Dispute over Infinity Divides Mathematicians. Quanta

Magazine, 2013, December (repr. Scientific American). To determine thenature of infinity, mathematicians face a choice between two new logicalaxioms. What they decide could help shape the future of mathematicaltruth.

The Infinite (from Internet Encyclopedia of Philosophy. A peer-reviewedacademic resource: http://www.iep.utm.edu/infinite/ )

Working with the infinite is tricky business. Zeno’s paradoxes firstalerted philosophers to this in 450 B.C.E. when he argued that a fast runnersuch as Achilles has an infinite number of places to reach during the pursuitof a slower runner. Since then, there has been a struggle to understand howto use the notion of infinity in a coherent manner. This article concerns thesignificant and controversial role that the concepts of infinity and the infiniteplay in the disciplines of philosophy, physical science, and mathematics.

Philosophers want to know whether there is more than one coherent con-cept of infinity; which entities and properties are infinitely large, infinitelysmall, infinitely divisible, and infinitely numerous; and what arguments canjustify answers one way or the other.

Here are four suggested examples of these different ways to be infinite.The density of matter at the center of a black hole is infinitely large. Anelectron is infinitely small. An hour is infinitely divisible. The integersare infinitely numerous. These four claims are ordered from most to leastcontroversial, although all four have been challenged in the philosophicalliterature.

This article also explores a variety of other questions about the infinite.Is the infinite something indefinite and incomplete, or is it complete anddefinite? What does Thomas Aquinas mean when he says God is infinitelypowerful? Was Gauss, who was one of the greatest mathematicians of alltime, correct when he made the controversial remark that scientific theoriesinvolve infinities merely as idealizations and merely in order to make foreasy applications of those theories, when in fact all physically real entitiesare finite? How did the invention of set theory change the meaning of theterm “infinite”? What did Cantor mean when he said some infinities aresmaller than others? Quine said the first three sizes of Cantor’s infinities

16

are the only ones we have reason to believe in. Mathematical Platonistsdisagree with Quine. Who is correct? We shall see that there are deepconnections among all these questions.

Table of Contents

1. What “Infinity” Means

(a) Actual, Potential, and Transcendental Infinity(b) The Rise of the Technical Terms

2. Infinity and the Mind

3. Infinity in Metaphysics

4. Infinity in Physical Science. Infinitely Small and Infinitely Divisible

(a) Singularities(b) Idealization and Approximation(c) Infinity in Cosmology

5. Infinity in Mathematics. Infinite Sums

(a) Infinitesimals and Hyperreals(b) Mathematical Existence(c) Zermelo-Fraenkel Set Theory(d) The Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis

6. Infinity in Deductive Logic. Finite and Infinite Axiomatizability

(a) Infinitely Long Formulas(b) Infinitely Long Proofs(c) Infinitely Many Truth Values(d) Infinite Models(e) Infinity and Truth

7. Conclusion

8. References and Further Reading

17