BCH 码与 RS 码

BCH码定义：给定任一有限域 GF(q) 及其扩域 GF(qm), 其中 q是素数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自 GF(q) 上的一循环码，它的生成多项式 g(x) 的根集合 R 中含有以下 -1 个连续根，

{s,s+1,…,s+-2} 时，则由 g(x) 生成的循环码为 q进制 BCH 码。 是域 GF(qm) 中的 n 级元素mi(x) 和 ei 分别是 s+i(i=0,…,-2) 元素的最小多项式和级，g(x)=LCM(m0(x),m1(x),…,m-2(x))n=LCM(e0,e1,…e-2)本原 BCH 码，非本原 BCH 码

BCH码BCH 限： BCH 码的最小距离 dBCH 至少为

HT 限：若 BCH 码的生成多项式 g(x) 的根集 R中含有 s 组 -1 个的连续元素， 且 (n,a)=1 ，∈ GF(qm) 是 n 级元素，则码的最小距离 dHT>=d+s-1

0{ | 0,1,..., 1; 0,1,..., 2}m ai jR i s j

BCH 码的设计距离和实际距离二进制本原 BCH 码的码长 n=2m-1 ，设计距离若为 2t+1, 则若

当 t→0 ，则码的实际距离等于设计距离。若码长 n=ab ，且二进制 BCH 码的设计距离 =a ，则 a 是码的实际距离长为 n=qm-1 的 GF(q) 上的 BCH 码，若有设计距离 =qh-1 ，则码的实际距离等于设计距离为的 GF(q) 上的本原 BCH 码，它的实际最小距离 <=q+q-2

1

1

2 12

mtmt

i i

2 2log (( 1)!) 1 log ( )em t t

t

二进制 BCH 码对任何正整数m和 t，一定存在一个二进制 BCH码，它以 ,3,…,2t-1 为根，其码长 n=2m-1 或是2m-1 的因子，能纠正 t个随机错误，校验位数目至多为 deg(g(x))=mt个。Eg ：m=4, GF(2∈ 4) 是本原域元素，它是 x4+x+1 的根，求码长 n=24-1=15 的二进制 BCH 码。

BCH 码的扩展[n,k,d] →[n+1,k,d+1] d 为奇数[2m-1,k,d] 本原 BCH 码→ [2m,k,d+1] 扩展本原 BCH 码

RS码GF(q)(q≠2) 上，码长 N=q-1 的本原 BCH 码称为RS 码RS 码的码元的符号域与根域一致RS 码是极大最小距离可分码， MDS 码

RS 码RS 码的参数： [q-1, k, q-k]

[q-1, q-1-(d-1), d]常用 RS 码： GF(23) 上的 [255, k, 255-k+1]

光盘、硬盘等磁记录信道应用

RS 码的扩展对 RS 码而言，增加一个全校验位，总可使最小距离增加 1.[N=qm-1, K, D] →[N+1, K, D+1]双扩展 RS 码 [qm+1, k, qm-k+2]扩展 RS 码与双扩展 RS 码都是极大最小距离可分码。RS 码的映射扩展码：

[(m+1)(2m-1),mK,d>=2D=2(2m-K)]双重映射扩展码： [(m+1) 2m,mK,d>=2D=2(2m-K+1)]以 ,2,…,D-1 为根的 [N=2m-1,K,D]GF(2m) 上的

RS 码，包含了码长为 N 、距离等于 D 的二进制本原 BCH 码。类似的，扩展 RS 码包含了扩展 BCH 码

BCH 码的一般译码彼得逊 Peterson 1960迭代译码 波力坎普 Berlekamp 1966BM 算法 Massey 1969

频域译码 Blahut 1978

超设计距离译码

BCH 码的一般译码根据接收序列计算伴随式由伴随式找错误图样根据错误图样和接收序列得到可能发送的码字

0 0 01 2 1( ) ( )( ) ( )m m m tg x x x x

1 21 2 1 0( ) ...n n

n nE x e x e x e x e

1 11 1

1

( ) ...t t i

tl l ll

t t ii

E x Y x Y x Y x Y x

BCH 码的译码

T T TS HR HE

0 0

0 0

0 0

1 2

1 11 2

2 1 2 11 2

1

0

0

( ) ( ) 1( ) ( ) 1

0

( ) ( ) 1

0

0

tm mn n

m mn n

m t m tn n

Y

Y

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

1 1 2 21

1 1 1 11 1 1 2 2

1

2 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 2

1

...

...

...

tm m m m

m t t k kk

tm m m m

m t t k kk

tm t m t m t m t

t t t k kk

s Y x Y x Y x Y x

s Y x Y x Y x Y x

s Y x Y x Y x Y x

1

( ) it

ljj i

i

s Y

0 0( ) im i l m i

ix 1

tj

j i ii

s Y x

令 ，则有

加权幂和对称函数2t 个方程， 2t 个未知数，非线性方程组求解

错误位置多项式

初等幂和对称函数2

1 2 1 2( ) (1 )(1 )...(1 ) 1 ... tt tx x x x x x x x x x

1 1 2

2 1 2 1 3 1

1 2

( ... )( ... )

( 1) ...

t

t t

tt t

x x xx x x x x x

x x x

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 2 1

1 1 12

2 2 2 3 1 2 1

m t m t m m t

m t m t m m t

tm t m t m t m t

s s s s

s s s s

s s s s

t个方程， t个未知数，有解的充要条件是M矩阵满秩[M][]=-[S]

如果 sj(j=m0, m0+1, …, m0+t-1) 是由 t个不同的非零数对 (xi, Yi) 组成，则矩阵0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 2

1 1

2 2 2 3 1

m t m t m

m t m t m

m t m t m t

s s s

s s s

s s s

满秩，否则为非满秩

钱搜索解 (x) 的根即确定 R(x) 中错误的位置。若判断第一位 rn-1 是否有错，则相当于译码器确定 n-1 是否是错误位置数，等价于检验 -(n-1)= 是否是(x) 的根。

ll…ttl=-1 rn-1 有错 ll…ttl ≠-1 rn-1 正确

n级缓冲存储器

2 t

1 2 t

门1

? 1t

lii

i

输入 R(x)

……

Yi

输出 C’(x)

钱搜索电路

BCH 码的译码由接收到的 R(x) ，求 sj由 si求错误位置多项式用钱搜索解出 (x) 的根，得到错误位置数，确定错误位置根据错误位置数求错误值，从而得到错误图样根据接收值和错误图样，计算发送码字

BCH 码的迭代译码BM 算法易于用计算机完成译码关键是加快求 (x) 的速度

BM 算法基本原理2

1 21

( ) 1 ... (1 )t

tt i

i

x x x x x x

21 2

0 0 1

( ) 1 ...t

i i ii j j

i i j

S x s x s x s x Y x x

21 2( ) 1 ...x x x

设

( ) ( ) ( )S x x x

1 1 1

2 1 1 2

2 1 2 1

... 0... 0

... 0

t t t

t t t

t t t t

s s ss s s

s s s

令 表示上述二者乘积

由于 2 1( ) ( ) ( )(mod )tS x x x x