Bazele Electrotehnicii Curs 1
Transcript of Bazele Electrotehnicii Curs 1
BAZELE ELECTROTEHNICII I
-Note de curs-
2
Introducere Bazele electrotehnicii reprezintă o disciplină tehnică fundamentală care
studiază fenomenele electrice şi magnetice din punct de vedere al aplicaŃiilor tehnice inginereşti: descărcările electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracŃie între diferite minereuri, lumina.
Există mai multe teorii, care studiază fenomenele: • Teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ (1870-1890) • Teoria macroscopică a lui LORENTZ • Teoria relativistă a lui EINSTEIN • Teoria cuantică
Teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ studiază fenomenele electromagnetice la nivel macroscopic fără a face apel la structura substanŃei. Este o teorie care răspunde suficient de bine cerinŃelor obişnuite ale ingineriei, motiv pentru care se studiază in cadrul disciplinei. Ea prezintă limitări la viteze comparabile cu viteza luminii, dar acest lucru nu deranjează din punct de vedere al ingineriei electrice.
Conceptele fundamentale cu care lucrează „teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ” sunt substanŃa şi câmpul, ce formează materia. SubstanŃa este reprezentată de corpurile sau obiectele materiale care au masă, iar câmpul este acea formă de existenŃă a materiei care poate exista atât in interiorul substanŃei cât şi în interiorul unor corpuri. Exemple de câmpuri: câmp gravitaŃional, câmp electromagnetic.
Instrumentele de bază necesare în cadru teoriei sunt: 1. mărimi fizice 2. unităŃi de măsură 3. legi 4. teoreme
Mărimile fizice sunt proprietăŃi ale materiei (fie corp, fie câmp), care permit o evaluare cantitativă a unor fenomene.
UnităŃile de măsură sunt concepte asociate mărimilor fizice care permit compararea mărimilor de aceeaşi natură.
Legile sunt afirmaŃii enunŃate pe bază de experiment care nu pot fi deduse din alte afirmaŃii cu grad de generalitate mai ridicat.
Teoremele sunt afirmaŃii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Ele pot fi deduse din legi intuitiv sau pe bază de calcul analitic.
La baza fenomenelor electromagnetice stă conceptul de sarcină electrică. Cel
mai mic purtător de sarcină electrică este Ce 19106.1 −− ⋅−= (electronul), respectiv Cp 19106.1 −⋅= (protonul) [1C=1Coulomb].
Deşi sarcina electrică are un caracter discret, teoria macroscopică o consideră ca având caracter continuu în corpurile purtătoare de sarcină electrică. PrezenŃa sarcinii electrice este numai în substanŃă 31108.9 −⋅=−e
m kg (masa electronului). Sarcinile electrice pot fi în repaus sau în mişcare, iar în funcŃie de acest lucru fenomenele electromagnetice pot fi clasificate în:
3
1. Fenomene statice (regim static) → 0=v ; 0;0 =∆=∂∂
Wt
.
Toate corpurile sunt în repaus, derivatele sunt nule şi nu există transformări energetice. Exemple: regimul electrostatic şi regimul magnetostatic.
Câmpul electric poate exista independent de câmpul magnetic şi se pot studia separat.
2. Fenomene staŃionare (regim staŃionar) → 0;0; ≠∆=∂∂
= Wt
ctv .
Exemplu: curentul continuu care străbate anumite corpuri conductoare sau fire. În acest regim avem câmpul magnetic staŃionar, care poate fi studiat separat de câmpul electric.
3. Fenomene cvasistaŃionare (regim cvasistaŃionar) → 0;0;0 ≠∆≠∂∂
≠ Wt
v .
Există variaŃii ale unor mărimi, însă ele sunt suficient de lente astfel încât să nu permită propagarea câmpului electromagnetic.
Exemplu: funcŃionarea circuitelor electrice la frecvenŃe joase.
4. Fenomene variabile (regim variabil) → 0;0;0 ≠∆≠∂∂
≠ Wt
σ .
În acest caz variaŃiile unor mărimi sunt relativ mari şi permit propagarea lor în spaŃiu. Exemplu: comunicaŃia în telefonia mobilă, radio-TV.
4
ELECTROSTATICA
Sarcina electrică punctiformă (q) Sarcina punctiformă este un corp de dimensiuni neglijabile în raport cu spaŃiul
la care e raportat, încărcat cu o anumită sarcină electrică. Teorema lui Coulomb
Experimental s-a observat că r
r
r
qqkF ⋅
⋅⋅= 2
0 , unde 2
29109
C
mNk
⋅⋅= .
mFk /1094
14
190
0 ⋅⋅=⇒=π
επε
; 0ε - permitivitatea dielectrică a vidului
rr
qqF ⋅⋅= 3
0
041πε
(1) Teorema lui Coulomb
Se constată următoarele: - forŃa de interacŃiune F este direct proporŃională cu produsul sarcinilor ( qqF 0~ );
- forŃa F este invers proporŃională cu pătratul distanŃei dintre ele ( 2
1~r
F );
- dacă ⇒> 00qq F este o forŃă de respingere; dacă ⇒< 00qq F este o forŃă de atracŃie
Intensitatea câmpului electric produs de o sarcină punctiformă
q
q0
F
r
F−
Fig.1 Explicativă pentru teorema lui Coulomb
q
q0
F
r
Fig.2 Explicativă pentru calculul intensităŃii câmpului electric
5
Eqrr
qqF ⋅=
⋅⋅⋅= 3
0
041πε
rr
qE ⋅⋅= 3
0
041πε
(2) - Intensitatea câmpului electric produs de o sarcină
punctiformă
[ ]m
VE SI 1=
Linia de câmp electric este o linie
imaginară în vecinătatea corpurilor încărcate cu sarcini electrice la care intensitatea câmpurilor electrice este tangentă. Totalitatea liniilor de câmp electric formează spectrul electric.
Teorema superpoziŃiei câmpurilor electrice Intensitatea câmpului electric corespunzător unui sistem de sarcini
punctiforme este egal cu suma vectorială a intensităŃii câmpului electric creat de fiecare sarcină considerat în absenŃa celorlalte sarcini.
321 EEEE ++=
∑∑==
⋅⋅==n
kk
k
kn
kn r
r
qEE
13
01 41πε
Dacă pentru un sistem de două sarcini +q şi –q se aplică ipotetic teorema
superpoziŃiei, prin punctele din vecinătate se pot trasa liniile de câmp care formează spectrul. Spectrul construit astfel arată că liniile de câmp sunt curbe deschise care pleacă de pe sarcini pozitive şi ajung pe sarcini negative sau se prelungesc până la infinit.
q>0
A AE
Fig.3 Linii de câmp
q1
q2
q3
1E
2E
3E
E
Fig.4 Teorema superpoziŃiei
q+ q−
dlcâmp de linie
E
6
Punctul de la infinit este un concept care semnifică punctul aflat la distanŃă
mult mai mare decât dimensiunile sistemului fizic.
0=× dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbei Aceasta este ecuaŃia liniilor de câmp; exprimă faptul că E este tangentă la liniile de câmp.
Corpul de probă este un concept idealizat care reprezintă o sarcină electrică punctiformă de valoare suficient de mică, încât să nu perturbe câmpul electric în care este amplasat; se foloseşte pentru investigarea câmpurilor electrice.
Teorema lui Gauss în electrostatică
Considerăm o sarcină punctiformă q şi construim în jurul ei o sferă ipotetică de rază r.
204
)(r
qrE
πε=
Notăm cu SΣ suprafaŃa sferei.
0
22
0
44
)(ε
ππε
qr
r
qSrE =⋅=⋅ Σ
Produsul Σ⋅ SrE )( reprezintă fluxul intensităŃii câmpului electric prin suprafaŃa Σ:
24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE π⋅==⋅⋅=⋅ ∫∫∫ΣΣΣ
ds =element de suprafaŃă asociat suprafeŃei sferice Σ; este o mărime vectorială care are modulul egal cu aria unei porŃiuni foarte mici din suprafaŃa Σ, direcŃia este perpendiculară pe această porŃiune şi sensul către exterior; se vede din figură că ds respectă condiŃia.
Faptul că fluxul intensităŃii câmpului electric prin suprafaŃa sferei nu depinde de raza sferei permite extinderea acestei afirmaŃii la cazul general al unui sistem format din mai multe sarcini electrice, înconjurat de o suprafaŃă închisă care nu este neapărat sferică.
0εΣ
Σ
=⋅∫q
dsE (3) Teorema lui Gauss
∑=
Σ =n
kkqq
1
• •••q
1 q2q
3
∑
qΣ
ds
E
q
ds Er
7
EnunŃul teoremei lui Gauss: Fluxul intensităŃii câmpului prin orice suprafaŃă închisă este proporŃional cu
sarcina electrică totală delimitată de aceea suprafaŃă. Factorul de proporŃionalitate
este 0
1ε
în sistemul de unităŃi internaŃional.
DistribuŃii spaŃiale de sarcini electrice
1) DistribuŃia pe corpuri filiforme
dl
dql =ρ [C/m] – densitatea lineică de sarcină electrică
∫∫ ⋅==B
A
l
B
A
dldqq ρ - sarcina electrică totală pe firul AB
2) DistribuŃia pe suprafeŃe
dS
dqS =ρ [C/m2] – densitatea superficială de sarcină electrică
∫∫ ⋅==S
S
S
dSdqq ρ - sarcina electrică totală pe suprafaŃă
3) DistribuŃia volumică
dl
A
B
dldqlρ=
S
ds)(dq
8
dl
• •
• •
•
•
ME
V
S r
Cq1q
2 q3
n 1−qn
dV
dqV =ρ [C/m3]
∫∫ ⋅==V
V
V
dVdqq ρ
Câmpul electric rezultant creat de distribuŃii spaŃiale de sarcini electrice se calculează pe baza teoremei superpoziŃiei.
r
r
dqr
r
dq
rr
dqr
r
qE
VS
C
k
n
k k
k
⋅+⋅+
+⋅+⋅=
∫∫
∫∑=
30
30
301
30
44
441
πεπε
πεπε
dldqC l ⋅= ρ:)( dSdqS S ⋅= ρ:)( dVdqV V ⋅= ρ:)(
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∫∫∫∑
=
dVrr
dSrr
dlrr
rr
qE
V
V
S
S
C
lk
n
k k
k333
13
041 ρρρπε
(4) RelaŃia (4) reprezintă expresia teoremei superpoziŃiei pentru un sistem
oarecare de sarcini electrice. Această relaŃie permite calculul intensităŃii curentului electric în cazul general.
dv)(dq
9
A
B
dl
E
m
nA
B
Tensiunea electrică
dlEUB
A
AB ⋅= ∫ [V] (5)
Tensiunea electrică între două
puncte amplasate în câmp electric este prin definiŃie integrala intensităŃii câmpului electric de-a lungul unei curbe arbitrare care uneşte cele două puncte.
AB
AnBAmB
AnBAmB
BnAAmB
UdlEdlE
dlEdlE
dlEdlE
=⋅=⋅
⇒=⋅−⋅
⇒=⋅+⋅
∫∫
∫∫
∫∫
)()(
)()(
)()(
0
0
Justificare: ÎnmulŃind relaŃia (5) cu q (sarcină unitate) avem:
AB
B
A
B
A
B
A
AB LdlFdlEqdlEqqU =⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫ )(
LAB - lucrul mecanic al forŃelor de natură electrică necesar pentru deplasarea
sarcinii q din punctul A în punctul B. Tensiunea electrică reprezintă lucrul mecanic necesar forŃelor de natură
electrică pentru a deplasa unitatea de sarcină electrică între două puncte.
0=−=+= AABAABAA WWLLL (6) ;
WA - energia câmpului electric corespunzătoare poziŃiei iniŃiale
0=⋅∫Γ
dlE (7) - Teorema potenŃialului electrostatic
RelaŃia (6) permite alegerea arbitrară a punctului B; prin urmare integrala pe orice curbă închisă este zero.
A
dl
Γ
Es d
l d
Γ
S Γ
10
y
z
x
j
k
i
ConsecinŃe: - tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum; - se aplică teorema lui Stokes expresiei (7)
⇒=⋅=⋅ ∫∫Γ
0S
dSErotdlE 0=Erot (8) – forma locală a Teoremei
potenŃialului electrostatic
Corelarea sensurilor elementelor de linie şi elementelor de suprafaŃă se face după regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de înaintare al unui burghiu care se roteşte în sensul indicat de dl .
Câmpul electric este un câmp irotaŃional. - se demonstrează în matematica superioară că orice câmp irotaŃional poate fi
scris ( ) EVgradErot =−⇒= 0 ; V este potenŃialul, iar semnul „-„ este conform unei convenŃii de semn.
VgradE −= (9)
Operatorii de derivare spaŃială
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇ - expresia în sistemul de coordonate cartezian.
VgradV ≡∇ ; V este un câmp scalar
kz
Vj
y
Vi
x
VV
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=−==×∇
z
V
y
V
x
Vzyx
kji
gradVrotErotE )(
0222222
=∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂−
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
=zx
Vj
zy
Vi
yx
Vk
zx
Vj
yx
Vk
zy
Vi
Exprimăm variaŃia potenŃialului între două puncte apropiate în spaŃiu.
=∂∂
+∂∂
+∂∂
== dzz
Vdy
y
Vdx
x
VzyxdVdV ),,(
( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkz
Vj
y
Vi
x
V⋅−=⇒⋅=⋅+⋅+⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
11
( )C
dl( )1
( )2
E
•
•
•
q1
q2
q3
qn
M
r1
r2
∫ ∫∫ =−=−=⋅=2
1
2
1
2
112 )( dVdVdlEU
2112 )( VVVV −=−−=
2112 VVU −= (10)
PotenŃialul unui punct se exprimă relativ la un potenŃial de referinŃă. Punctul de referinŃă poate fi ales arbitrar, ca şi valoarea potenŃialului acestuia. Se preferă valoarea „0” pentru potenŃialul de referinŃă (2). Consider punctul (2) ca referinŃă.
dlEVUV ⋅==⇒= ∫2
11122 0 (11)
PotenŃialul într-un punct se calculează ca integrală a lui E pe o curbă arbitrară care uneşte acel punct cu punctul de referinŃă.
PotenŃialul câmpului electric creat de sarcini punctiforme
∫∞
⋅=M
M drEV 0=∞V - referinŃă de potenŃial;
drr
qdrEdrEdrEdrE 2
04),cos(
πε=⋅=⋅⋅=⋅
a
q
r
qdr
r
qdr
r
qV
aaa
M00
20
20 4
14
144 πεπεπεπε
=
−===⇒∞∞∞
∫∫
Cazul general: r
qrV
04)(
πε= .
Teorema superpoziŃiei potenŃialelor
∑=
=+++=n
j
nM jEEEEE1
21 L
gradVE −=
11 gradVE −=
22 gradVE −= K
nn gradVE −=
+q M E ∞ r a
12
S
ds)(dq
r
M
dv)(dq
V
dl
( )dq
l
• •
• •
•
•
q3
n 1−qn
gradVVgradgradVjEEn
jj
n
jj
n
j
−=
−=−== ∑∑∑
=== 111
∑=
=⇒n
jjVV
1
(12) - Teorema superpoziŃiei potenŃialelor
PotenŃialul câmpului electric creat de o distribuŃie spaŃială de sarcini electrice este egală cu suma potenŃialelor create de fiecare sarcină punctiformă dacă ar exista singură, în absenŃa celorlalte.
∑=
=n
j j
j
r
qV
1041πε
PotenŃialul câmpului electric creat de distribuŃii oarecare de sarcini
Formulele potenŃialelor elementare sunt similare formulei potenŃialului
corespunzător sarcinilor punctiforme, de forma:
=
dV
dS
dl
dq
V
S
l
ρρ
ρ
r
dldV l
l04πε
ρ= ;
r
dSdV S
S04πε
ρ= ;
r
dVdV V
V04πε
ρ=
Teorema superpoziŃiei ∫∫ ==⇒C
l
C
ll dlr
dVVρ
πε 041
;
∫∫ ==S
S
S
SS dSr
dVVρ
πε 041
; ∫∫ ==V
V
V
VV dVr
dVVρ
πε 041
+++=+++= ∫ ∫ ∑∫∑
== S V
n
j j
jVS
C
ln
jjVSlM
r
qdV
rdS
rdl
rVVVVV
101 41 ρρρπε
EcuaŃiile Poisson / Laplace pentru câmpul electrostatic Teorema lui Gauss:
0εΣ
Σ
=⋅∫q
dSE ; ∫∫Σ
=⋅Σ V
dVEdivdSE )( ; dVqV
V∫=Σ ρ
13
( ) ( ) VVgradVdiv ∆=∇∇=
00
)(1
)(ερ
ρε
V
V
V
V
EdivdVdVEdiv =⇒=⇒ ∫∫
În coordonate carteziene:
( )z
E
y
E
x
EkEjEiEk
zj
yix
EEdiv zyxzyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=++
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=
gradVE −= 0
)(ερVgradVdiv =− (EcuaŃia lui Poisson)
(∆ -operatorul Laplace) ⇒0ερVV −=∆
EcuaŃia lui Laplace este ecuaŃia de distribuŃie spaŃială a câmpurilor; ecuaŃia generală a câmpurilor în coordonate carteziene:
( ) 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
Vk
z
Vj
y
Vi
x
Vk
zj
yi
xVV
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇∇=∆
⇒ ecuaŃia lui Poisson în coordonate carteziene: 0
2
2
2
2
2
2
ερV
z
V
y
V
x
V−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
În cele mai multe cazuri întâlnite în practica inginerească sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafeŃe si nu în volume.
⇒=⇒ 0Vρ 0=∆V - EcuaŃia lui Laplace
02
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
V
y
V
x
V - EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene
SuprafeŃe echipotenŃiale SuprafeŃele echipotenŃiale sunt suprafeŃe fictive care se desfăşoară în câmp
electrostatic, pentru care potenŃialul electric are aceiaşi valoare în orice punct al suprafeŃei.
- sferă concentrică cu sarcina q
Se consideră două puncte foarte aproape pe suprafaŃa echipotenŃială:
•
•
EM
M/
dl
q+- suprafaŃă echipotenŃială
14
dl
ld/
a
αx
r
MEd
/
11
Ed 11
αα
Ed
Ed/
Ed x
Ed x
/
lρ
dlE
dlEdlEdVVVM
M
MM
⊥
=⋅⇒⋅−==− ∫ 0'
' - ecuaŃia suprafeŃei echipotenŃiale
ConsecinŃă: RelaŃia de mai sus arată că vectorul E - intensitatea câmpului electric - este perpendicular pe suprafeŃele echipotenŃiale, prin urmare liniile de câmp sunt la rândul lor perpendiculare pe suprafeŃele echipotenŃiale.
AplicaŃii: Calculul intensităŃii câmpului electric şi al potenŃialului electric în cazuri
particulare.
1) Se cere E şi V pentru câmpul creat de o spiră circulară încărcată cu sarcină electrică distribuită uniform cu densitatea ρl. Punctul de calcul va fi pe o axă perpendiculară pe planul spirei care cade în centrul acesteia. Raza spirei se notează cu a.
dldq lρ=
rr
dlr
r
dqEd l
30
30 44 πε
ρπε
==
0=V
q+ q−
suprafeŃe echipotenŃiale
15
•
a
Mx
E
∝
Se foloseşte teorema superpoziŃiei pentru E .
∫==⇒C
M EdxEE )(
||EdEdEd x +=
( )23
220
224
cosxa
xdl
xa
xdE
r
xdEdExEd l
+
⋅=
+===
πε
ρα
0'|||| =+ EdEd Oricare două elemente dl şi dl’ de pe spiră creează componente ale intensităŃii
câmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anulează reciproc. În concluzie câmpul rezultant va avea componente numai pe direcŃia pe planul spirei.
( ) ( ) ( )23
220
2
023
220
23
220 244
)(xa
xadl
xa
xdl
xa
xdExE l
a
C
ll
C
x
+=
+=
+== ∫∫∫
ε
ρ
πε
ρ
πε
ρ π
2204 xa
dqdV
+=πε
220
2
022
022
0 244 xa
adl
xaxa
dldVVV l
al
C
l
C
xM+
=+
=+
==≡ ∫∫∫ε
ρ
πε
ρ
πε
ρ π
în ipoteza ( ) 0=∝V . Variantă de calcul a potenŃialelor
( ) ( )∫∫
∫∫∞∞
∞∞
+=
+=
=⋅⋅=⋅=≡
x
l
x
l
xx
M
dx
xa
xadx
xa
xa
dxEdxExVV
23
22023
220
22
0cos)(
ερ
ε
ρ
Notăm cu: 22 xat += ; 2
2dt
xdxdxxdt =⇒⋅=
22
0
21
0
23
0 2212222
22
22 xa
atadtt
aV l
xa
l
xa
lM
+=
−⋅
⋅=
⋅=
∞
+
−∞
+
−
∫ε
ρερ
ερ
Calculul lui E pe altă cale!
gradVE −= ; x
VEx ∂
∂−=
16
a
R
ds sd/
r/
r x
α
Ed 11Ed
/
11
α
Ed X
Ed X
/
EdEd
/
A B
CD
adl
R
ds
Θd
( ) ( )
( )23
220
23
22
0
21
22
022
0
2
221
222
xa
axE
xxaa
xadx
da
xa
a
dx
dE
l
lll
+=
⇒⋅+
−−=
+−=
+−=
−−
ε
ρ
ερ
ερ
ε
ρ
Particularizare:
=
=⇒=
02
00
ερ lV
Ex
→
→∞→
00
V
Ex
2) Cazul unui disc de rază a încărcat cu sarcini electrice dispuse uniform pe
suprafaŃa lui cu densitatea ρS. Punctul de calcul este amplasat pe o dreaptă pe planul discului care cade în centrul acestuia.
BCABdS ⋅≈ Θ⋅= dRBC dRAB = Θ⋅⋅= ddRRdS
( ) ( ) dRdxR
R
xR
dS
r
dqdE SS Θ
+=
+== 22
022
02
0 444 περ
περ
πε
dSdq Sρ=
∫==disc
xM dExEE )(
C C/m2 m2
17
A
B
C
D
/A
//B
//C
//D sdE
sd
E
//A
S
Sρ
( )Σ
( )
dRd
xR
Rx
Rx
xdEdEdE S
x Θ+
=+
==23
220
224
cosπε
ρα
( ) ( )
=
Θ
+=
Θ
+= ∫ ∫∫ ∫ dRd
xR
RxdRd
xR
RxE
aS
aS
M
0
2
023
220
0
2
0 23
220 44
ππ
πε
ρ
πε
ρ
( ) ( )
dRxR
RxdR
xR
Rx aS
aS ∫∫
+=
+=
0 23
2200 23
220
22 ερ
ε
ρ
Se face schimbare de variabilă: txR =+ 22 ; dtdRR =⋅2 ; dtRdR21
=
−
+−=
+−⋅==⇒
+
+−+−
∫ xax
xtxdtt
xE S
ax
x
Sxa
x
SM
1121
232222 22
0
123
0
23
0
22
2
22
2 ερ
ερ
ερ
+−=⇒
220
12
)(ax
xxE S
ερ
Cazuri particulare:
a) 02
)0(0ερ SEx =⇒=
b) 0)(lim)( ==∞⇒∞→∞→
xEExx
c) 02
)(lim)(ερ S
axEEaxa ==⇒∞→>>
∞→- În cazul unui plan de dimensiuni
infinite încărcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea Sρ , câmpul electric în vecinătatea lui nu depinde de x.
Calculul intensităŃii câmpului electric în vecinătatea unui plan infinit cu ajutorul teoremei lui Gauss
18
0εΣ
Σ
=⋅∫q
dSE ; SSq SABCDS ⋅=⋅=Σ ρρ
ESdsEdsEdSE
dSEdSEdSEdSEdSEdSE
DCBADCBABCCB
ABBADCCDADDADCBADCBA
2''''''''''''''''''
''''''''''''''''''''''''''''''
=+=⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫Σ
dSEdSEdSE ⋅=⋅⋅=⋅ 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA
02
cos =⋅⋅=⋅π
dSEdSE - pentru toate celelalte feŃe laterale
⇒=⇒= Σ
00
22ερ
εS
ESq
ES S
02ερ SE =
Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul câmpurilor electrice pentru majoritatea cazurilor posibile în practica inginerească unde câmpurile electrice prezintă simetrie spaŃială( simetrie plană, cilindrică, sferică).
Câmpul electrostatic creat de două plăci plane, paralele între ele, de
dimensiuni foarte mari în raport cu distanŃa uneia faŃă de cealaltă, încărcate cu sarcini de polarităŃi opuse şi amplasate în vid.
iE
iE
SA
SA
0
2
0
1
2
2
ερ
ερ
=
−=
021 =+=⇒ AAA EEE
iE
iE
SB
SB
0
2
0
1
2
2
ερ
ερ
=
=
iEEE SBBB
0
21ερ
=+=⇒
+ρS -ρS
2E
1E 1E
2E
A B C
x 0 d
19
q+ q− q+ q−
d
E0
E
vid
(izolant)dielectric material
0EE <
iE
iE
SC
SC
0
2
0
1
2
2
ερ
ερ
−=
=
0=⇒ CE
Calculul potenŃialului Se consideră 0)0( =V )00( =⇒= Vx
idxdxdl ⋅== Zona A ( 0<x );
00
00 00
0
0)(ερ
ερ
ερ d
xdxiidxEdxEdlExV SdSd
Sd
x
d
x
==⋅⋅+=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫
Zona B ( )( )dx ,0∈
∫∫ −==⋅=d
x
SSd
x
B xddxdxExV )()(00 ερ
ερ
0)( =⇒= dVdx
Zona C ( dx > ) 0)( =⋅= ∫d
x
C dxExV
Câmpul electrostatic în prezenŃa câmpurilor polarizate
Se constată experimental că prin introducerea unor materiale dielectrice în câmp electric intensitatea câmpului electric se modifică atât ca direcŃie şi sens, cât şi ca modul. În cazul a două plăci paralele se constată scăderea intensităŃii curentului electric între ele.
ExplicaŃie: O explicaŃie la nivel microscopic a influenŃei corpurilor dielectrice asupra
câmpului electric constă în apariŃia dipolilor elementari, în masa materialului dielectric. Aceştia apar ca urmare a deformărilor orbitelor electronice sub acŃiunea câmpului electric exterior, astfel încât sarcinile pozitive şi negative ale atomului nu mai sunt concentrice, ci se decalează aşa cum se vede în figură. Aceste sarcini creează un câmp electric pe care-l vom calcula.
20
e−
e−
e−
+
−−
−
+ +−
⋅⋅⋅⋅⋅≡ 00
elementar dipolelectroni etraiectori
M
12 rr −
1r
q−
q+
l∆
Θ
2r2
21 rrrlr ≅⇒∆>>
Θ∆≅−∆−
≅Θ cos;cos 1212 lrrl
rr
( ) bgradaagradbabgrad +=
Câmpul electric al dipolului elementar
Se determină mărimea lqp ∆= ce se numeşte moment electric.
21
12
0201021 444 rr
rrq
r
q
r
qVVV
−⋅=−=+=
πεπεπε
30
30
20 44
coscos4 r
rp
r
lrq
r
r
r
lqV
πεπεπε⋅
=Θ∆
=⋅Θ∆
⋅=
⋅−=
⋅−=−= 3
03
0
14
14 r
rpgradr
rpgradgradVE
πεπε
( ) pkpjpipzpypxpkz
jy
ix
rpgrad zyxzyx =++=++
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅ )(
kpjpipp zyx ++=
kzjyixr ++=
zpypxprp zyx ++=⋅
222 zyxr ++=
( ) ( ) −⋅++−=++
∂∂
+∂∂
+∂∂
=−−−
ixzyxzyxkz
jy
ixr
grad 2231 12/32222/3222
3
( ) ( ) =⋅++−⋅++−−−−−
kzzyxjyzyx 223
223 12/322212/3222
( ) ( )5
2/5222 33
r
rkzjyixzyx −=++⋅++−=
−
( )
−=
+
−−= 35
035
0
34
134
1r
p
r
rrp
r
p
r
rrpE
πεπε
21
dv)(dq
Σ
M
r
( ) bgradaadivb +=abdiv
+= ∫ ∫V S
SV sdrvdrVρρ
επ 041
Câmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat PolarizaŃia electrică P reprezintă momentul electric corespunzător unităŃi de
volum; se mai numeşte vector polarizaŃie. pd - suma momentelor electrice din
volumul dv
v
pP
∂∂
= PolarizaŃie electrică
dvPpd =
dvr
gradPdvr
rP
r
rdvP
r
rpddV
==⋅
=⋅
=1
41
41
44'
03
03
03
0 πεπεπεπε
=r
gradr
r 13
( )r
Pdiv
r
Pdiv
rgradPzyxk
zj
yi
x−
=
=++
∂∂
+∂∂
+∂∂
=− 12/1222 K
dvr
Pdiv
r
PdivdV
+−=
041
'πε
+−== ∫∫∫
ΣΣΣ VV
dvr
Pdivdv
r
PdivdVV
041
''πε
Gauss Ostrogradski:
∫∫∫ΣΣ
⋅==
Σ
dsr
nPsd
r
Pdv
r
Pdiv
V
; dsnsd ⋅=
⋅+−= ∫∫ΣΣ
dsr
nPdv
r
PdivV
V041
'πε
RelaŃia lui V’ este formal asemănătoare cu relaŃia potenŃialului creat de distribuŃii spaŃiale dispuse în volum şi pe suprafeŃe:
22
PdivV
−=ρ/
1
( )nPPnPS 1221
/
1 −≡=ρ
1 2n12
P1
P2 ( )VE grad//
−=
Σ
dielectricpolarizat corp
V
Σ
V Σ
ds
qV
/
qV
∫ ∫∫Σ
−=−==VV
VV sdPvdPvdq divρ//
ρ /1
V-densitatea volumică a sarcinilor de polarizaŃie
ρ /1S
-densitatea superficială a sarcinilor de polarizaŃie
Folosind aceste două notaŃii problema calculului câmpului suplimentar se reduce la problema calculului unui câmp electric creat de sarcini adevărate distribuite pe corpurile polarizate cu densităŃile S'ρ şi V'ρ . DensităŃile superficiale ale sarcinilor de polarizaŃie apar numai la suprafaŃa de separaŃie a două medii cu proprietăŃi dielectrice diferite.
21 ,PP - polarizaŃiile electrice în cele două medii în imediata apropiere a suprafeŃei de separaŃie.
+= ∫ ∫
V S
SV dsr
dvr
V''
41
'0
ρρπε
Legea fluxului electric Sarcina totală de polarizaŃie dintr-un corp dielectric ce ocupă volumul V este:
Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conŃine atât sarcini electrice adevărate, cât şi sarcini de polarizaŃie este:
⇒⋅−=⋅⇒+=⋅ ∫∫∫ΣΣΣ
0000
|11
)'(1
εεεε
dsPqdsEqqdsE VVV
( ) VqdsPE =+∫Σ
0ε
PED += 0ε (1) - legea legăturii între D , E şi P ; D - inducŃia electrică
23
În prezenŃa corpurilor dielectrice nu este suficientă o singură mărime pentru a caracteriza câmpul electric, ci sunt necesare două mărimi, respectiv E şi D .
VqsdD =⋅∫Σ
(2) - legea fluxului electric (forma integrală)
EnunŃ: Fluxul electric prin orice suprafaŃă închisă este egal cu sarcina electrică adevărată delimitată de suprafaŃa respectivă. Legea este valabilă atât în vid, cât şi în medii dielectrice.
( ∫Σ
Σ ⋅=Ψ sdD - fluxul electric)
V
V
V
V
DdivdvdvDdiv ρρ =⇒=⋅ ∫∫ΣΣ
(3) - forma locală a fluxului electric
Legea fluxului electric reprezintă o generalizare a teoremei lui Gauss.
Legea polarizaŃiei temporare
pt PPP +=
unde: tP - polarizaŃie temporară PP - polarizaŃie permanentă
PP nu depinde de câmpul electric în care este amplasat dielectricul. În general corpurile dielectrice nu prezintă polarizaŃie permanentă.
0≅pP ; Totuşi există substanŃe cu polarizaŃie permanentă şi anume electreŃii.
tP depinde de E din masa corpului polarizabil. EP et χε 0= (4) –Legea polarizaŃiei temporare (χe -‘hi’)
EnunŃ: Legea polarizaŃiei temporare exprimă proporŃionalitatea dintre E (intensitatea câmpului electric) şi vectorul polarizaŃie. Această proporŃionalitate însă poate fi valabilă numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorul de proporŃionalitate eχ poate avea diferite valori în funcŃie de direcŃia câmpului.
În cazuri uzuale se consideră corpuri dielectrice liniare în care acest factor de proporŃionalitate este constant.
cte=χ - susceptibilitate electrică
EEEEDEPPP
reeept εεχεχεεχε
00000 )1(
)1(=+=+=⇒
=+=
( 0=pP )
ED ε= (5) - consecinŃă a relaŃiilor (1) şi (4) şi se foloseşte în aplicaŃii practice
er χε += 1 - permitivitatea relativă a materialului
10 >⇒> re εχ Pentru vid: 10 =⇒= re εχ
P
E
Material electric liniar
24
mFSI
/1=><ε
⋅=≈
⋅=≈=
ceramice materialepentru /10330KV/mm
uscataer pentru /103/37
6
max mV
mVmmKVE
rεεε 0= - permitivitatea absolută a materialului
(Farad/metru) εr - adimensional
ProprietăŃile dielectrice ale materialelor se păstrează numai până la o valoare limită a intensităŃii câmpului electric care se numeşte rigiditate dielectrică. Odată atinsă această valoare, proprietăŃile se deteriorează.
În proiectarea aparatelor electrice rigiditatea dielectrică este un parametru
deosebit de important. În timp apare fenomenul de îmbătrânire a materialului sub acŃiunea câmpului electric; consecinŃa este scăderea rigidităŃii dielectrice.
Comportarea câmpului electric la suprafaŃa de separaŃie între medii cu proprietăŃi diferite
t - versorul tangentei 1=t
Γ = curbă închisă – dreptunghi( AB<<BC) Teorema potenŃialului pentru curba Γ:
0=⋅∫Γ
ldE
P
E
iceferoelectrmateriale
E
P
electreŃlelectreŃi
Pp
A B
CD
1 2
normală
genŃenŃitan
E t1
E t2
E1
E2t
Γ
ε 1 ε 2
tangentă
25
12
ε 2
ε 1 ΣD1 D2
s1s2
S∆
normală
2α2α
1 2
ε 2ε 1
E t1
E t2
normală
E1
E2
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅Γ
A
D
D
C
C
B
B
A
ldEldEldEldEldE
≅0 ≅0
Pentru BC : tdlld ⋅= =⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅⇒ ∫∫∫∫∫Γ
A
D
C
B
A
D
C
B
dltEdltEdltEdltEldE
DA: tdlld ⋅−= ( )=⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅= tEtElDAtEBCtE 1212
( ) 012 =−= tt EEl
BC =DA = l ⇒= 0l tt EE 21 = (6) - componenŃa tangenŃială a lui E se conservă la
suprafaŃa de separaŃie dintre două medii
Σ - suprafaŃa cilindrică plană; S∆ - aria bazei;
Legea fluxului electric : Σ
=⋅∫Σ
VqsdD
În ipoteza 0=ΣV
q =⋅+⋅+⋅=⋅⇒ ∫∫∫∫Σ lSSS
sdDsdDsdDsdD21
00 1221211212
11
=∆⋅⋅+∆⋅⋅−=+⋅+⋅−= ∫∫ SnDSnDdsnDdsnDSS
Pentru S1: dsnsd 12−= ⇒ nn DD 21 = (7)
Pentru S2: dsnsd 12= Se conservă componenta normală a lui D la suprafaŃa de separaŃie a două
medii.
26
Σct
grad
VE
VE=⇒
=
−=
0
⇒==⋅=n
n
n
n
t
n
n
t
D
DD
D
E
E
E
E
tg
tg
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1 εε
ε
εαα
2
1
2
1
εε
αα
=tg
tg (8)
ED ⋅= ε RelaŃia (8) reprezintă teorema refracŃiei câmpului electric la suprafaŃa de separaŃie a două medii.
Comportarea corpurilor conductoare în câmp electric Corpurile conductoare prezintă următoarele particularităŃi:
1. densitatea volumică de sarcină electrică este întotdeauna zero 0=Vρ ; sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaŃa conductoare 0≠Sρ ;
2. intensitatea câmpului electric în interiorul corpurilor conductoare este zero. 0int =E ;
3. copurile conductoare sunt echipotenŃiale: toate punctele lor au acelaşi potenŃial .ctV = ;
4. intensitatea câmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare este perpendiculară pe aceasta: extnext EE = (componenta normală) şi
componenta tangenŃială 0=exttgE . Justificare: În electrostatică nu există deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt în
repaus. În corpurile conductoare există −e liberi; pentru ca ei sa fie în repaus nu trebuie sa fie supuşi unor forŃe de natură electrică 00 =⇒=⋅= EEqF .
Considerăm un corp conductor şi construim în interiorul său o suprafaŃă închisă Σ aleasă arbitrar, pentru care să aplicăm teorema lui Gauss.
0εVqsdE =⋅∫
Σ
; 00 =⇒= VqE - nu avem
sarcini electrice în volumul corpului
Întrucât componenta tangenŃială se conservă şi dacă în interiorul corpului
aceasta este zero ⇒ că şi la exterior aceasta este zero 0=exttE .
ConsecinŃe: 1)Ecranarea electrică spre interior
••
ctV =A
B
conductor corp
cavitatedl
0≠E ext
27
Se consideră un corp conductor în care este practicată o cavitate, corpul fiind amplasat într-un câmp electric exterior.
00 =⇒=⋅=− ∫ cav
B
A
BA EldEVV
Dacă se aleg pe frontiera cavităŃi două puncte oarecare şi se exprimă diferenŃa de potenŃial între ele integrând pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia că funcŃia de sub integrală, respectiv E trebuie să fie 0; deci E în interiorul cavităŃii este nulă⇒ o persoană aflată în interiorul cavităŃii este protejată total faŃă de acŃiunea câmpului electric; pe de altă parte dacă atingem oricare două puncte de pe frontiera cavităŃii diferenŃa de potenŃial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.
Acest sistem de protecŃie se mai numeşte „cuşca lui Faraday”, iar efectul de ecran se păstrează chiar dacă avem de-a face cu o plasă de sârmă, tablă perforată, etc.
2)Ecranarea electrică spre exterior Echipamentele electrice în care există tensiuni periculoase se închid de regulă
în carcase metalice conectate galvanic la pământ.
Carcasa metalică împreună cu pământul formează un singur corp conductor care este echipotenŃial; atunci o persoană care atinge carcasa nu este supusă unei diferenŃe de potenŃial faŃă de pământ, neexistând pericolul de electrocutare. În masa carcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.
Sisteme conductoare în câmp electric
q+−
−−−
−−
− − − −−−
++
+
++ + + +
++
++
+++
•
0=V
0=∆
0=V
0=V
metalic ă carcas ă
potenŃialul pământului este nul
0=V
vq 11 vq 22
vq nn
1 2
n
U n0
VU 110=
VVU 2112−=
corpuri conductoare
suprafaŃa pământului
28
0 jiij ≠<α
Se consideră n corpuri conductoare care au potenŃialele nVVV ⋅⋅⋅⋅⋅,, 21 .
Sarcinile de pe fiecare corp sunt nqqq ⋅⋅⋅⋅⋅,, 21 . PotenŃialul fiecărui se poate exprima conform teoremei superpoziŃiei. nVVVV 112111 ⋅⋅⋅⋅⋅++=
11V - potenŃialul ( componenta potenŃialului) măsurat pe corpul 1 şi datorat numai sarcinii 1q în absenŃa celorlalte;
12V - componenta potenŃialului măsurat pe corpul 1 şi datorat sarcinii 2q în absenŃa celorlalte.
=
=
L
21212
11111
qV
qV
α
α
ijα - coeficientul de potenŃial; 0>jjα ;
+++=
+++=
nnnnnn
nn
qqqV
qqqV
ααα
ααα
L
M
L
2211
12121111
(1)
EcuaŃiile (1) reprezintă ecuaŃiile lui Maxwell pentru potenŃiale (prima formă a ecuaŃiilor lui Maxwell).
Se rezolvă sistemul (1)
+++=
+++=
⇒
nnnnnn
nn
VVVq
VVVq
βββ
βββ
L
M
L
2211
12121111
(2)
EcuaŃiile (2) reprezintă a doua formă a ecuaŃiilor lui Maxwell. =βij coeficienŃii de influenŃă electrostatică (coeficienŃi de capacitate)
0;0 <> ββ ijij pentru (i≠ j)
111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn βββββββββ −++−+−++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq −−−−−−−+++= 11311321121112111 ββββββ LL
+++=
+++=
002211
11121210101
nnnnnnn
nn
UCUCUCq
UCUCUCq
L
M
L
(3)
02010 ,,, nCCC ⋅⋅⋅ - capacităŃile parŃiale ale fiecărui corp faŃă de pământ;
ijC - capacitatea parŃială a corpului i faŃă de j. ProprietăŃi ale capacităŃilor parŃiale
1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij ∈∀> 3. C jiCij = - relaŃia de reciprocitate
4. Valorile Cij depind numai de configuraŃia geometrică a sistemului de
conductoare şi de natura mediului în care sunt amplasate şi nu depind de sarcini sau de potenŃial.
29
Condensatorul electric DefiniŃie: Condensatorul electric este un sistem de două conductoare separate
printr-un material dielectric care îndeplinesc condiŃia 021 =+ qq . ConsecinŃă: Câmpul electric între cele două conductoare este un câmp
complet, adică toate liniile de câmp care pornesc de pe un conductor ajung pe celălalt. Cele două conductoare se numesc armături.
021 =+ qq (4)
Din (3)
+=
+=⇒
202021212
121210101
UCUCq
UCUCq
(4) 02010 =≅⇒ CC CCC == 2112 ⇒ UCq ⋅= (5)
UUU =−= 2112 U
qC = (6)
qq =1 ; qq −=2 C este capacitatea electrică a condensatorului şi reprezintă factorul de
proporŃionalitate între sarcină şi tensiune. Capacitatea depinde numai de geometria condensatorului şi de natura dielectricului; nu depinde de sarcină şi nici de tensiune.
Simbolul grafic al condensatorului:
Calculul capacităŃii condensatoarelor Capacitatea nu depinde de sarcină sau tensiune, ci numai de forma şi
dimensiunile condensatorului, precum şi de natura dielectricului. Pentru calculul capacităŃii unui condensator dat se parcurg următoarele etape:
1. se consideră condensatorul încărcat cu o sarcină de valoare arbitrară +q, respectiv –q;
2. se calculează inducŃia electrică a câmpului creat de aceste sarcini în zona dielectricului → se calculează E; K=→= EED rεε 0
3. se calculează diferenŃa de potenŃial între cele două armături:
ldEVVU ⋅=−= ∫2
121
4. se exprimă capacitatea cu relaŃia (6). Sarcina q se va simplifica.
Exemple: 1) Condensatorul plan cu un singur dielectric
Se dă: S; d; rε . Se cere C. q arbitrar
Se poate aplica legea fluxului electric pentru calculul lui D
ΣΣ
=⋅∫ qsdD
q+ q−
U
q+ q−
U
− − − −q+
q−
A
B
Dε r
S1
S 2
S
d
Σ
30
SSS l∪∪=Σ 21
•
•
A
B
E
dld
Se îmbracă armătura superioară cu o suprafaŃă închisă de formă
paralelipipedică. Pentru această suprafaŃă se aplică legea fluxului electric. Se Ńine seama că avem un câmp electric complet, adică toate liniile de câmp care pornesc de pe armătura încărcată cu sarcini pozitive ajung pe cealaltă armătură. Se consideră că în afara dielectricului câmpul electric este nul.
; qq =Σ
DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l
==⋅⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫Σ 11121
0cos
Pe suprafeŃele S2 şi Sl 0=D .
S
qDqSD =⇒=⋅ ;
S
qDE
rr εεεε 00
==
dS
qdl
S
q
dlEldEVVU
r
d
r
dB
A
εεεε 00 0
021 0cos
∫
∫∫
==
=⋅⋅=⋅=−=
d
S
dS
C r
r
εε
εε
0
0
==
2) Condensatorul plan cu dielectric stratificat
Se dă S , 1d , nd⋅⋅⋅ , rnr εε K,1 Se cere capacitate. q arbitrar.
S
qD =
S
qDE
S
qDE
S
qDE
rnrnn
rr
rr
εεεε
εεεε
εεεε
00
20202
10101
==
==
==
L
d1
d2
dn
ε1 ε2
εn
+q
-q
A
B
31
∫∫∫∫++++
+++
+ −
−
⋅++⋅+⋅=⋅=−nnq
n
dddd
ddd
dd
d
dB
A
ldEldEldEldEVV11
121
21
1
1
021
L
L
L
=+++=−⇒⋅⋅=⋅ nndEdEdEVVdlEldE L2211210cos
+++=
rn
n
rr
ddd
S
q
εεεεL
2
2
1
1
0
21 VV
qC
−= ⇒
∑=
=n
k rk
kd
SC
1
0
ε
ε
3) Condensatorul sferic Se dau: două sfere conductoare cu raze 21 ,RR şi εr. Se cere capacitatea C. q - arbitrar. Câmpul electric are simetrie sferică datorită formei armăturilor; pentru calculul lui se aplică legea fluxului electric.
Pentru asta construim o sferă (suprafaŃă sferică concentrică cu armaturile). 21 RrR << .
qsdD =⋅∫Σ
dsDdsDsdD ⋅=⋅⋅=⋅ 0cos 24 rDdsDsdD π⋅=⋅=⋅ ∫∫
ΣΣ
22
44
r
qDqrD
ππ =⇒=⋅⋅
200 4 r
qDE
rr επεεε==
∫∫ ∫∫ ==⋅⋅=⋅=−=2
1
2
1
2
1
20
20
211
440cos
R
Rr
R
R
R
R r
B
A
drr
qdr
r
qdrErdEVVU
επεεπε
−=⇒
210
114 RR
qU
rεπε
−
==
210
114 RR
q
q
U
qC
rεπε
⇒12
2104RR
RRC r
−=
επε
Σ
ε r
R1
R2
A
B
rsd D
32
SSS l∪∪Σ =21
4) Condensatorul cilindric
Se dă: rlRR ε,,, 21 . Se cere C. q - arbitrar Câmpul electric în dielectric are simetrie cilindrică datorită formei. Σ - suprafaŃă cilindrică de rază r, 21 RrR <<
rlDdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDllll SSSSSS
π20cos21
⋅==⋅⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫Σ
Pe suprafeŃele S1 şi S2 0=D .
rl
qDqrlD
ππ
22 =⇒=⋅
rl
qDE
rr επεεε 00 2==
===⋅⋅=⋅=−= ∫∫∫∫ drrl
qdr
rl
qdrErdEVVU
R
Rr
R
R r
R
R
B
A
2
1
2
1
2
1
122
0cos00
21 επεεπε
( )1
2
012
0
ln2
lnln2 R
R
l
qRR
l
q
rr επεεπε=−=
⇒=
1
2
0
ln2 R
R
l
C
rεπε 1
2
0
ln
2
R
Rl
C rεπε=
CS
1= - elastanŃă [ ] FC SI 1= (Farad)
rε
AB1R
2R
Σ
sdD
h
q−
q+
Σ
sdD
1S
2S
Sl
33
A B
U
q→
U
q→
A B
U
q→
Sisteme de condensatoare Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multe
condensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare şi care îndeplineşte o anumită funcŃie.
Sisteme de condensatoare cu două borne exterioare
Două sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente(„≡”) dacă prin aplicarea aceleiaşi diferenŃe de potenŃial între borne se absorb aceleaşi sarcini electrice.
A) Sisteme de condensatoare conectate în paralel. Capacitate echivalentă
Se dă nCCC ,,, 21 ⋅⋅⋅ conectate în paralel. Se cere capacitatea echivalentă
UCq 11 = ; UCq 22 = ; … UCq nn = CondiŃia de echivalenŃă: qqqq n =+++ L21
UCq p=
U
UCUCUCUC np
121 ⋅+++= L
∑=
=+++=n
kknp CCCCC
121 L
1q gCL
2q
nq
2CL
nCL
A BpCq+ q−
U
C1
C2
Cn
-q1
-q2
-qn
A B
34
⋅⋅⋅A B
1C
q+ q− q+ q− q+ q− q+ q−2C 3C nC
1U 2U 3UnU
U
A Bq+ q−sqC
U
1C
SC
1
3C
4CrC
pCC
B) Sisteme de condensatoare conectate în serie. Capacitatea echivalentă
Se dă: nCC ⋅⋅⋅1 în serie. Se cere SC .
11 C
qU = ;
22 C
qU = …
nn C
qU =
⇒⋅+++==qC
q
C
q
C
q
C
qU
ns
1
21
L ∑=
=+++=n
k kns CCCCC 121
11111L
nUUUU +++= L21 (teorema potenŃialului)
∑=
=n
kks SS
1
(S-elastanŃa)
C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)
32
321
32
32
321
111CC
CCC
CC
CC
CCC ss +
=⇒+
=+=
5432
325411 CC
CC
CCCCCC sp ++
+=++=
p
p
p CC
CCC
CCC +=⇒+=
1
1
11
111
1C
2C 3C
4C
5C
C=?
35
15432
32
5432
321
CCCCC
CC
CCCC
CCC
C+++
+
++
+=
Sisteme de condensatoare fără borne de acces (ReŃele izolate de conductoare) ConŃin atât condensatoare cât şi surse de tensiune interconectate. Se cunosc capacităŃile condensatoarelor reŃelei şi tensiunile surselor şi se
urmăreşte găsirea distribuŃiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reŃelei. Pentru a rezolva această categorie de probleme se utilizează teoremele lui Kirchhoff pentru reŃele de condensatoare.
T1 Sarcina totală delimitată de o suprafaŃă închisă care nu are fire de conexiune, ci se închide numai prin armăturile condensatoarelor şi prin aerul sau vidul din vecinătate se conservă.
ctqk =∑ T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formează o buclă a reŃelei
este zero. 0=∑ kU
Se dă: 41 ., CC ⋅⋅⋅ şi 0U Se cere: 41 ,, qq ⋅⋅⋅ şi
41 ,, UU ⋅⋅⋅
Etape de rezolvare: • se consideră condensatoarele încărcate cu sarcinile 41 ,, qq ⋅⋅⋅ şi se stabilesc
polarităŃile arbitrare. Recomandare! Armăturile conectate la borne de o anumită polaritate ale surselor se vor încărca cu sarcini de aceeaşi polaritate;
• se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reŃelei. Ochi = buclă care nu conŃine laturi diagonale. Pentru fiecare ochi se alege un sens convenŃional de parcurgere. Tensiunile la bornele condensatorului se consideră orientate de la armăturile
pozitive spre cele negative. o1 : 0021 =−+ UUU o2 : 0243 =−+ UUU • se construiesc atâtea suprafeŃe închise prin dielectricii condensatorului cât
este necesar pentru a completa sistemul de ecuaŃii cu expresii date de T1. nr. de necunoscute = 4 nr. de ecuaŃii deja construite = 2 nr. de ecuaŃii necesare = 4-2 = 2
q+
q+
q−
q−
q+ q−
U 0 o1 o2
q+
q−
U1
U 2
U 3
U 4
C1
C2
C3
C 4
+
−
1 1
2
2
3
3
4
4
Σ1
Σ2
36
⇒ două suprafeŃe închise Σ1şi Σ2 ( ) 0: 431 =+−Σ qq
( ) 0: 3212 =++−Σ qqq
• se rezolvă sistemul de ecuaŃii: )41( K== kC
qU
k
kk
=++−
=+−
=++−
=+
00
0
321
43
4
4
3
3
2
2
02
2
1
1
qqq
qqC
q
C
q
C
q
UC
q
C
q
=
=
=
=
⇒
????
4
3
2
1
q
q
q
q
Energie în câmp electric 1) Sistem de n sarcini punctiforme Energia câmpului electric corespunzătoare unui sistem de sarcini punctiforme
este numeric egală cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a încărca corpurile respective cu sarcină electrică.
01 =L
( )
120
122222
22
412
1212
12
R
qqLVqldEq
ldEqldFldFL
R
RR
R
πε=⇒=⋅+=
=−−=⋅−=⋅=
∫
∫∫∫∞
∞∞
∞
+==
230
2
130
13333 44 R
q
R
qqVqL
πεπε
Pentru aducerea sarcinii în punctul 3M se efectuează un lucru mecanic care trebuie să învingă forŃele de natură electrică de interacŃiune atât între 3q şi 1q , cât şi între 3q şi 2q .
3V este potenŃialul câmpului electric în punctul 3M datorat prezenŃei lui 1q şi
2q .
∑−
=
==1
1 04
n
k kn
knnnn R
qqVqL
πε
∑ ∑∑=
−
==
==n
j
j
k kj
kj
n
jje R
qqLW
1
1
1 01 4πε
jkkj RR = Dublăm numărul de termeni ai sumei,
∑∑ ∑∑∑==
≠==
≠=
===⇒n
jjj
n
j
n
jkk kj
kj
n
j
n
jkk kj
kje Vq
R
R
qqW
11 1 01 1 0 21
421
421
πεπε
q1
q2
M3
M1
M2
R12
R13
R23 F
q3
37
ρV
V S
ρS
C
ρl
••••
•
Σ1
q1
V 1
Σ2
Σn
q2
qn
V 2
V n
∑=
=n
jjje VqW
121
JW SIe 1=>< (Joule)
Exemplu:
321 LLLWe ++= 01 =L
++⋅=
230
2
130
13
120
122 444 R
q
R
R
qqL
πεπεπε
=
+++++=
320
23
310
13
210
12
230
32
130
31
120
21
44444421
R
R
R
R
R
R
πεπεπεπεπεπε
∑∑= =
=3
1
3
1 0421
j k jk
kj
R
πε
2)DistribuŃii oarecare de sarcini electrice
Prin analogie ∫∫∫ ++=)()()( 2
121
21
C
l
S
S
V
Ve VdlVdsVdvW ρρρ
3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafeŃe echipotenŃiale)
38
q+
q−
E
D
S
U
d
⇒
⋅=
⋅= ∑ ∫∑ ∫
= Σ= Σ
n
kSk
n
kSe
k
kkdsVdsVW
11 21
21
ρρ ∑=
⋅=n
kkke VqW
121
Caz particular: 2=n (condensatorul)
qq +=1 ; qq −=2
( ) ( )⇒−=+= 212211 21
21
VVqVqVqWe qUWe 21
=
⇒= CUq 2
21CUWe =
⇒=C
qU
C
qWe
2
21
=
Densitatea volumică de energie a câmpului electrostatic
ole
e
VDEDSEdW
dEU
DSqS
qD
qUW
⋅==⇒
⋅=
=⇒=
=
21
21
21
,unde Vol –volumul dielectricului
0cos⋅⋅=⋅ EDED
olVEDW ⋅
⋅=21
ole VwW ⋅= EDwe ⋅=21
we – densitatea volumică de energie a câmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3
Expresia energiei câmpului electrostatic poate fi generalizată pentru o distribuŃie de sarcini sub forma:
∫ ⋅=)(V
ee dvwW ; EDwe ⋅=21
,
unde (V) – domeniul ocupat de câmpul electric la care ne referim.
39
Teoremele forŃelor generalizate în câmp electrostatic Coordonate generalizate Reprezintă ansamblul de mărimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau
unghiuri) care caracterizează forma şi dimensiunile unui ansamblu de corpuri încărcate cu sarcini electrice.
⋅⋅⋅,, 21 xx NoŃiunea de forŃe generalizate ForŃele generalizate sunt forŃe mecanice sau cupluri care tind să modifice
coordonatele generalizate. ⋅⋅⋅,, 21 XX
kkk dxXL =δ - lucrul mecanic elementar efectuat de forŃa generalizată kX
ObservaŃie: Semnul forŃei generalizate se consideră pozitiv dacă ea acŃionează în sensul creşterii coordonatelor generalizate corespunzătoare.
XF ≡
xd ≡
T1- Teorema întâi a forŃelor generalizate EnunŃ: ForŃa generalizată care acŃionează în sensul creşterii coordonatelor
generalizate corespunzătoare este egală şi de semn contrar cu derivata energiei câmpului electrostatic în raport cu coordonatele generalizate.
ctqk
ek x
WX
=∂
∂−=
T2 - Teorema a doua a forŃelor generalizate EnunŃ: ForŃa generalizată care acŃionează în sensul creşterii coordonatelor
generalizate corespunzătoare este egală cu derivata energiei câmpului electrostatic în raport cu coordonata generalizată, calculată în condiŃiile menŃinerii constante a potenŃialelor.
ctVk
ek x
WX
=∂
∂+=
În cazul teoremei întâi, sistemul este izolat faŃă de exterior aşa încât nu apare transport de sarcină, iar în cazul teoremei a doua are loc transport de sarcină între sistem şi exterior, care duce la schimbarea stării acestuia.
q+
q−
Fd
40
Ud
S
αR R
S
α
Exemple de calcul a forŃelor generalizate 1) Calculul forŃei ce tinde să modifice distanŃa dintre armăturile unui
condensator plan
Caz1: q = ct Se aplică tensiunea U provenită de la o sursă de tensiune. Ca urmare,
condensatorul se încarcă cu sarcina CUq = ; după care se îndepărtează sursa de tensiune şi condensatorul rămâne izolat.
S
dqW
d
SC
C
qW
re
r
e
εεεε 0
2
0
2
212
1
⋅=⇒
=
⋅=
⇒<⋅−=
⋅
∂∂
−=∂
∂−=
=
021
21
0
2
0
2
S
q
S
dq
td
WF
rrctq
e
εεεε ForŃa acŃionează în
sensul scăderii lui d
Caz2: V=ct. Se aplică tensiunea provenită de la o sursă care rămâne conectată permanent la
borne.
202
21
21
Ud
SCUW r
e
εε==
⇒<−=
∂∂
⋅=∂
∂+=
=
0211
21
2
202
0d
SU
ddSU
d
WF r
r
ctV
e εεεε ForŃa acŃionează
în sensul scăderii lui d 2) Voltmetrul electrostatic
q+
q−
F
S
d
41
22
2
22
2
RRS
S
R
απ
απα
ππ
==
KKKK
KKK
<α>SI = 1 rad
U = ct.⇒ aplicăm T2
2
21CUWe =
2
200 R
dd
SC rr αεεεε
⋅==
⇒>⋅=⋅
=
⋅⋅⋅
∂∂
=∂∂
===
041
221 22
202
20 UkU
d
RU
R
d
WMX rr
ctU
εεαεεαα
M (cuplul mecanic) acŃionează în sensul creşterii unghiului α
42
ELECTROCINETICA
Sarcinile electrice pot avea o mişcare ordonată:
• mişcarea electronilor acceleraŃi într-un tub catodic; • deplasarea particulelor pozitive(protoni) într-un accelerator de
particule; • deplasarea electronilor liberi în corpurile conductoare; • deplasarea electronilor şi golurilor în semiconductoare; • deplasarea ionilor + şi – în soluŃiile electrolitice; • deplasarea cu viteză, macroscopică a corpurilor încărcate cu sarcini
electrice; • deplasarea unei bile electrizate.
Electrocinetica studiază fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi în corpuri conductoare.
Deplasarea ordonată a purtătorilor de sarcini în corpuri conductoare se numeşte conducŃie electrică. Se foloseşte explicit:”conductoare în stare de conducŃie electrică”.
În cadrul acestui capitol se vor trata cu precădere fenomenele aferente regimului staŃionar, caracterizat prin:
viteză medie constantă a purtătorilor de sarcini ctv = ; mărimile ce caracterizează fenomenele sunt invariabile în raport cu
timpul ( ) 0=⋅∂∂t
;
fenomenele sunt însoŃite de schimb de energie sub formă de căldură cu mediul înconjurător 0≠Q .
Mărimea fizică ce caracterizează starea de conducŃie este intensitatea curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiŃie numeric egală cu sarcina −e transportată prin secŃiunea transversală în unitatea de timp.
dt
dq
t
qi
t=
∆∆
=→∆ 0
lim (1) Ai SI 1=>< s
CA
11
1 =
„i” este o mărime primitivă, iar amperul este intensitatea curentului care transportă cantitatea de sarcină de 1C în timp de o secundă prin secŃiunea transversală a unui conductor.
Fenomenul de conducŃie electrică nu poate fi perceput de simŃurile umane decât prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic; efect chimic.
DefiniŃia Amperului: 1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecând printr-o baie de
electroliză cu nitrat de argint (AgNO3), provoacă depunerea la catod a unei cantităŃi de argint de 1,118 mg/s.
DefiniŃia amperului internaŃional 1 Amper internaŃional este intensitatea curentului care parcurgând două
conductoare rectilinii, paralele şi de lungime infinită, aflate la distanŃă de un metru între ele provoacă o forŃă de interacŃiune între cele conductoare de 7102 −⋅ N/m (pe
43
A1 A1
m1
m1mNF /102 7−⋅=
metru de lungime). Dacă cei doi curenŃi au acelaşi sens forŃa este de atracŃie, iar dacă sunt de sens opus forŃa este de respingere.
ExplicaŃia microscopică a fenomenului de conducŃie lSV ∆⋅=∆ (volum)
Electronii liberi se deplasează în reŃeaua cristalină a conductorului sub acŃiunea câmpului electric cu mişcare uniform accelerată. Mişcarea este întreruptă de ciocniri cu reŃeaua cristalină, în urma cărora electronii îşi pierd întreaga energie cinetică.
Fiecare ciocnire este urmată de o nouă mişcare accelerată. ct - durata între două ciocniri succesive
ccc
tavtvtt
tatv⋅==⇒
=
⋅=max)(
)(
220 max c
med
tavvv
⋅=
+== (2)
q∆ - sarcina electrică totală existentă în volumul V∆ VNqq e ∆⋅⋅=∆
Cqe19106,1 −⋅= - sarcina elementară
N-concentraŃia de electroni liberi pe unitatea de volum N 2910≈ purtători liberi pe m3.
tvl ∆⋅=∆ , v – viteza medie Din definiŃia (1),
SjSvNqvSNqt
tvSNq
t
qi ee
e
tt⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
∆
∆⋅⋅⋅⋅=
∆∆
=→∆→∆
)()(
limlim00
vvNqj e ⋅=⋅⋅= ρ (3)
S
ij = - densitatea de curent este proporŃională cu viteza medie a purtătorilor
de sarcină; mărime vectorială al cărei sens este opus sensului de deplasare al electronilor. Este o convenŃie. 2/1 mAj >=<
S
l∆
v∆
i
44
ObservaŃie: „i” este mărime scalară, dar afectată de semn. Intensitatea este
pozitivă dacă corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dacă densitatea de curent „j” nu este constantă în secŃiunea transversală a unui conductor, atunci intensitatea curentului electric se calculează cu expresia:
sdjiS∫ ⋅=
)(
(4)
Problemă: Se dă secŃiunea 21mmS = ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v
26
26 106,110
6,1m
A
m
A
S
iJ ⋅===
−
Din (3) smNq
Jv
e
/1010106,1
106,1 42919
6−
−=
⋅⋅
⋅=
⋅=⇒
ObservaŃie: Deşi viteza medie a purtătorilor este de 310− , 410− m/s, curentul electric se propagă în conductor cu viteza luminii: sm /103 8⋅ .
Legea conservării sarcinii electrice Se studiază cazul general în care există atât curent electric de conducŃie, cât şi
curent de convecŃie. Curentul de convecŃie corespunde purtătorilor de sarcini care se deplasează în vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar şi corpurilor electrizate care se deplasează cu viteză macroscopică.
∫∫ ⋅=⋅=)()( S
V
S
cc sdvsdJi ρ
(intensitatea curentului electric de convenŃie)
vJ Vc ⋅= ρ (5)
(densitatea curentului electric de convecŃie) Vρ - densitatea volumică de sarcină
electrică v - viteza macroscopică medie
Se consideră o suprafaŃă închisă Σ străbătută de conductoare parcurse de
curenŃi de conducŃie şi prin care pot exista curenŃi de convecŃie. În interiorul suprafeŃei pot exista concentrări de sarcini electrice pe corpuri de
diferite forme. Legea conservării sarcinii este în acest caz :
( )dt
dqsdvJ V
Σ
Σ
−=⋅+∫ ρ (6) sau dt
dqi ΣΣ −= (6’)
(forma integrală a legii conservării sarcinii electrice)
S
j
i
S
i1
i2
q
∇
Σ
S1 v
45
sd
sd i1
i2
j
S1
S 2
Σ
curent de liniile
Este valabilă atât în regim staŃionar cât şi în regim variabil. EnunŃ: Curentul electric total care iese dintr-o suprafaŃă închisă ce
delimitează un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scădere a sarcini electrice totale din interiorul acelei suprafeŃe.
Curentul electric total este format din curentul de conducŃie şi din cel de convecŃie.
Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:
( ) ( )dvvJdivsdvJV
VV ∫∫Σ
⋅+=⋅+Σ
ρρ
∫∫ΣΣ∂
∂−=−=− Σ
V
V
V
V dvt
dvdt
d
dt
dq ρρ
⇒ ( )t
vJdiv VV ∂
∂−=⋅+ρ
ρ (7)- forma locală a legii conservării sarcinii
electrice Caz particular - pentru regim staŃionar:
=
=⋅⇒
∂
∂= ∫
Σ
)9(0
)8(00V
Jdiv
sdJ
t
vρ
(formele integrală (8) şi locală (9) ale legii pentru regim staŃionar) ConsecinŃe: 1) ⇒= 0Jdiv liniile de curent sunt curbe închise. Liniile de curent sunt curbe imaginare la care J este tangent în orice punct.
Conductoarele aflate în regim electrocinetic nu au capete libere, ci formează în mod obligatoriu bucle.
2) Intensitatea curentului electric are aceeaşi valoare în orice secŃiune a aceluiaşi conductor filiform.
⇒=−⇒=⋅+⋅⇒=⋅ ∫∫∫Σ
000 21
21
iisdJsdJsdJSS
21 ii =
46
l
1
2i
S
U
Legea conducŃiei electrice Purtătorii de sarcină electrică se deplasează atât sub acŃiunea câmpului
electric, forŃe de natură electrică, cât şi sub acŃiunea unor forŃe de natură neelectrică. neeleltot FFF +=
EqF eel = ; iee
neel
eneel Eqq
FqF ⋅=
=
Câmpul imprimat ( Ei ) este o mărime care are aceeaşi dimensiune ca şi intensitatea câmpului electric şi descrie acŃiunea forŃelor de natură neelectrică asupra purtătorilor de sarcină.
( )ietot EEqF +=
( )iee EEqam +=⋅ , a - acceleraŃia
(2) ct
va
⋅=⇒
2
( )c
eie t
vmEEq
⋅⋅=+2
(3) JNq
ve
⋅⋅
=⇒1
( ) JNtq
mEEJ
NqtmEEq
ce
ei
eceie ⋅
⋅⋅
⋅=+⇒⋅
⋅⋅⋅=+ 2
212
JEE i ⋅=+ ρ (10); ρ - rezistivitatea electrică, mSI Ω=>< 1ρ (Legea conducŃiei electrice în formă locală)
JEE i =+⇒= )(1
σρ
σ (10’)
σ - conductivitatea electrică , 111 −−Ω=>< mSIσ sau Siemens / metru
Câmpul imprimat se manifestă în conductoare neomogene şi poate fi de natură chimică (baterii alcaline) sau mecanică (generatoarele rotative de inducŃie electromagnetică).
Corpuri omogene:
JE ⋅= ρ (11)
JE =⋅σ (11’)
( ) ∫∫∫ =⋅⋅=+2
1
2
1
2
1 S
dli
S
SldJldEE i ρρ
SJi ⋅=
∫∫∫ =⋅+⋅2
1
2
1
2
1 S
dlildEldE i ρ
⇒ iReu ⋅=+ (12) RelaŃia (12) reprezintă forma integrală a legii conducŃiei electrice pentru o
porŃiune de conductor neomogen.
47
• u - tensiunea la bornele porŃiuni de conductor; • e - forŃa (tensiunea) electromotoare, ce exprimă forŃele de natură
neelectrică; • R - rezistenŃa electrică a porŃiunii de conductor.
Pentru conductoarele de secŃiune constantă :
⇒=
=
.
.ct
ctS
ρ S
lR
⋅=ρ
(13)
Dacă se concentrează partea omogenă, respectiv cea neomogenă obŃinem
schema echivalentă din fig.:
Regim staŃionar: .ctu = ⇒ Uu ≡ , Ee ≡ , Ii ≡
IREU ⋅=+ (14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea câmpului electric E !).
( )[ ]00 1 TT −+= αρρ (15) RelaŃia (15) arată dependenŃa rezistivităŃii în raport cu temperatura, valabilă în
domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaŃiile inginereşti. α - reprezintă coeficientul de temperatură; 0>α în general
0ρ - corespunde la KT 00 20273+=
m
mmmCu
228
0 107,1107,1Ω
⋅=Ω⋅≅ −−ρ
mAl Ω⋅≅ −80 104,2ρ
mAg Ω⋅≅ −80 106,1ρ
Constantan (aliaj) mΩ⋅≅→ −60 1050ρ
Există materiale care in vecinătatea temperaturii de 0 absolut prezintă fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivităŃii ρ .
I R e
u
I R E
U
i
K10≈
ρ
T
15exp r
0
48
l
1
2S
dv
dl V
Legea transformării energiei în procesul de conducŃie (Joule-Lenz)
lEqlFL eel ∆⋅=∆⋅=δ
tvl ∆⋅=∆ tvEqL e ∆⋅⋅=⇒ δ
(3) JNq
ve
⋅=→1
tJEN
L ∆⋅⋅⋅=⇒1
δ
Pentru unitatea de volum(N purtători elementari): tJELNL ∆⋅⋅=⋅= δδ '
JE ⋅ - reprezintă puterea pe unitatea de volum a unui material aflat în stare de conducŃie.
JEt
Lp
tj ⋅=
∆=
→∆
δ0
lim (16)
Această putere se transformă integral în căldură. RelaŃia (16) reprezintă forma locală a legii transformării energiei în procesul
de conducŃie electrică. EnunŃ: Puterea transformată în căldură corespunzătoare unităŃii de volum a
unui conductor aflat în stare de conducŃie este egală cu produsul scalar între E şi J.
23 111m
A
m
V
m
Wp SI ⋅==><
Pentru conductoarele omogene: ⇒⋅= JE ρ 2Jp j ⋅= ρ
Pentru conductoarele neomogene: ii EJEJEE −⋅=⇒⋅=+ ρρ
( ) gjii ppJEJJEJp −=⋅−⋅=⋅−= 2ρρ
gp - densitatea volumică a puterii corespunzătoare forŃelor neelectrice.
dvJEdvpVV
⋅⋅=⋅ ∫∫
dlSdvdvpPV
⋅=⋅= ∫
( ) uiPdlEidlSJEP ⋅=⇒⋅=⋅⋅= ∫∫2
1
2
1
Regim staŃionar: UIP ⋅= (17) (Forma integrală a legii transformării energiei)
Din relaŃia (14) ERIU −=⇒
( )⇒−= ERIIP EIRIP −= 2 (18)
49
hKWJsWW ⋅=⋅=⋅⋅= 1106,3360010100 6
Forma (18) a legii exprimă faptul că puterea primită de o porŃiune de conductor filiform este egală cu suma dintre puterea disipată sub formă căldură ireversibil şi puterea generată de forŃele de natură neelectrică.
IEPg ⋅= - puterea generatorului ConvenŃii de semne şi sensuri pentru un dipol elementar
Expresia legii conducŃiei se corelează obligatoriu cu sensurile mărimilor, cele
două reprezentări fiind echivalente. Sensurile reale în cazul unor probleme complete, pot să fie diferite de sensurile
indicate pe desen, mărimile cu sens diferit rezultând cu semnul „-“ în urma calculelor.
0
02
<>=
>=
EIP
RIP
g
j
Ω=>< 1SIR (Ohm)
WP SI 1=>< (Watt)
Energia electrică Energia electrică consumată de o porŃiune de conductor aflat în stare de
conducŃie într-un interval oarecare de timp reprezintă integrala puterii în acel timp.
∫ ⋅=t
t
dtPW0
)(. 0ttPtPWctP −=∆⋅=⇒= JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J ⋅=
kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW 663 106,3106,33600101 ⋅=⋅=⋅=⋅
Exemplu: Energia consumată de un bec cu putere nominală = W100 în 10 ore.
IREU =+ IREU =+−
U
I R EI R
E
U
Sensuri asociate după regula de la receptoare
Sensuri asociate după regula de la generatoare
0>Pq0<Pq
reale sensuri
Pg >0 Pg <0 E
E
I I
50
Circuite electrice funcŃionând în regim staŃionar (circuite de curent continuu) Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate
astfel încât să asigure conductoarelor intrări în stare de conducŃie (să existe porŃiuni neomogene şi să existe bucle închise). Este un obiect fizic.
Exemplu:
Schema electrică este reprezentarea grafică a unui circuit electric. Fiecărui element de circuit ideal i se asociază un simbol grafic. Elemente ideale de circuit
• Sursa ideală de tensiune
Sursa ideală de tensiune impune tensiunea între punctele în care este conectată, indiferent de structura circuitului din care face parte.
• Sursa ideală de curent
Sursa ideală de curent impune curentul prin latura de circuit din care face parte, indiferent de structura circuitului. I = J (a nu se confunda cu J ); AJ 1>=<
r
E
R
baterie
electrică schema
neomogenă parte
electriccircuit
omogenă parte
+
-
U
E
( )0=R
U = -E
U = E
sau
J
R → ∞
51
IR
U
( )tu
( )ti L
( )tu
( )ti C( )
dt
duCti =
1E
3E
1I
1R
1n 2n
3n
1U
2U
2I 2R
3R
4I
4R
5I
5J
2b
1b
• Rezistorul ideal ⇒= 0E IRU ⋅=
RG
1= - conductanŃa electrică
SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1Ω -1
UGI ⋅=
• Bobina ideală L - inductanŃa
( )dt
diLtu =
În regim staŃionar:
)(00 itscurtcircuUdt
di=⇒=
→ Nu vom folosi bobina în acest capitol.
• Condensatorul ideal
În regim staŃionar: 00 =⇒= Idt
du(mers în
gol) → Nu vom folosi condensatorul în acest
capitol.
Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul cărora pot fi explicate fenomene reale. Un element de circuit ideal funcŃionează pe baza unei singure proprietăŃi considerată dominantă, neglijându-se efectele secundare.
Elemente de topologie a circuitelor electrice
52
1n 2n
3n1b
2b
)1(
)2(
)3()4( )5(
1n 2n
3n
)2(
)4( )5()(a
Latură de circuit este o porŃiune fără ramificaŃii; ea poate să conŃină unul sau mai multe elemente; l - numărul de laturi.
Nod de circuit este un punct în care converg trei sau mai multe laturi.( 321 ,, nnn ); n - număr de noduri.
Buclă este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)
Ochi de circuit este bucla care nu conŃine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).
1+−= nlo - numărul de ochiuri (relaŃia lui Euler) Circuitul electric se poate reprezenta grafic într-o formă simplificată prin
grafurile asociate.
Graful este o reprezentare simplificată, în care laturile circuitului sunt reprezentate prin arcuri cărora li se asociază sensuri în concordanŃă cu sensurile convenŃionale alese pentru curenŃi.
Subgraful este o parte a unui graf care nu conŃine toate laturile acesteia, în schimb el poate conŃine sau nu toate nodurile.
Exemplu:
Subgrafuri complementare sunt două sau mai multe subgrafuri ale aceluiaşi graf care împreună conŃin toate laturile grafului şi nu au nici o latură comună.
(a) şi (b) sunt complementare
Arborele este un subgraf ce conŃine toate nodurile grafului, dar nu conŃine bucle.
)(b
n1
n3
(a)
53
1n2n
3n)1(
)2(
Arbore
)1(
)2(
)3(
)3( 3 buclab
)1(
)2(
4b
)1(
)2(
5b
)5(
1− 1+ 01+ 0
00 1− 1− 1−
1+ 0 1− 1+ 1+
1n
2n
3n
1l 2l 3l 4l 5l
=A
1−= nla (numărul de laturi
ale arborelui)
Laturile unui arbore se numesc ramuri.
Coarbore este subgraful complementar unui arbore. onllll ac =+−=−= 1
cl - coardele Prin adăugarea câte unei coarde la arbore se formează câte o buclă
independentă al cărei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.
onllb c =+−== 1 (numărul de bucle independente) Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de incidenŃă laturi-noduri n - linii; l-coloane; lnA × Elementele matricei sunt:
• egale cu zero 0=jia dacă latura j nu este incidentă la nodul i;
• 1+=jia dacă latura j este incidentă la nodul i şi are sensul de ieşire din acesta;
• 1−=jia dacă latura j este incidentă la nodul i şi are sensul de intrare în acesta.
Liniile nu sunt liniar independente, ceea ce ne permite să păstrăm numai liniile independente ale matricei, fără să pierdem din informaŃie (n-1 linii)
54
1−= nrangA
1−
1+
01+0
0 01− 1−
1− 01− 1+
3b
4b
5b
1l 2l 3l 4l 5l
=B0
0
−−−
++−=
1101000111
Ar- matricea rezistor
2)Matricea de conexiune laturi-bucle
lbB × 0=ijb (latura ij∉ )
1+=ijb (latura ij∈ şi are acelaşi sens cu aceasta)
1−=ijb (latura ij∈ , dar are sens contrar)
Matricea curenŃilor laturilor
[ ]
=
lI
I
I
IM
2
1
, [ ] 1×lI , l-numărul de laturi
Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor
[ ]
=
lU
U
U
UM
2
1
, [ ] 1×lU
ObservaŃie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenŃilor. Sunt sensuri
convenŃionale care pot fi diferite de sensurile reale. Matricea(vectorul) potenŃialelor noduri Dacă potenŃialul unuia dintre noduri se alege ca referinŃă şi i se atribuie o
valoare arbitrară (preferabil valoarea zero), atunci acest potenŃial nu face parte din vectorul potenŃialelor nodurilor.
[ ]
=⇒=
−1
2
1
0
n
n
V
V
V
VVM
, [ ] 1)1( ×−= nV , n = numărul de noduri al circuitului
55
Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor
[ ]
=
lE
E
E
EM
2
1
, [ ] 1×lE . Exemplu: [ ]
=
00
0
3
1
E
E
E
Matrice curenŃilor surselor ideale de curent
[ ]
=
lJ
J
J
JM
2
1
, [ ] 1×lJ . Exemplu: [ ]
=
5
0000
J
J
Matricea rezistenŃelor laturilor
[ ]
=
lR
R
R
R
K
MOMM
K
K
00
0000
2
1
, [ ] llR × .
Matricea conductanŃelor laturilor
[ ]
=
lG
G
G
G
K
MOMM
K
K
00
0000
2
1
, [ ] llG × . k
k RG
1=
RelaŃii matriceale utile: 1) 0=⋅=⋅ t
rt
r ABBA - matricea de incidenŃă laturi-noduri (redusă) Ar şi matricea de incidenŃă laturi-bucle B sunt ortogonale.
[ ] lnrA ×− )1( , [ ] [ ] bnbltB ×−× = )1(0 Λ≡rA
+−−
+−−
++
100110101100101
1l 2l 3l 4l 5l
4b3b
=B
−+
−−−
++++−
001011101011111 1n
2n
3n
1l 2l 3l 4l 5l
=Λ
56
=
=
=
++⇒−−=
⇒−−=
⇒
−−
−−
=
⋅
−
−
=
IIIIII
IIIIIIIIIII
IIIIIIII
III
IIIII
55
44
33
542542
15431
5
4
3
54
543
5
4
3
5
4
3
2
1
000010001110111
=
−−
−−
⋅
−−−
−=⋅Λ
000000
100010001110111
1101000111tB
2) [ ] [ ] [ ]VAU t ⋅=
[ ] [ ]213 0 VVV =⇒=
ObservaŃie: Matricea de incidenŃă laturi-noduri (redusă)Λ ( rA ) se obŃine eliminând linia corespunzătoare nodului ales cu referinŃa de potenŃial din matricea de incidenŃă laturi-noduri A.
3) [ ] [ ]Ct IBI ⋅= , IC - vectorul (matricea coloană) curenŃilor cu arborele
Exemplu:
=
5
4
3
I
I
I
IC - curenŃii arborelui. [ ] nbCI ×
Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu Prima teoremă a lui Kirchhoff (Teorema curenŃilor): EnunŃ: Suma algebrică a intensităŃilor curenŃilor incidenŃi într-un nod de
circuit este zero.
−
−
+
=
⋅
−
−
−
−
=
−
VVVVVV
VV
UUUUU
2
2
1
21
2
1
5
4
3
2
1
1010
0111
01 VVVU 1131−=−=
VVU 212−=
VVVU 2235−=−=
…
57
04321 =+−++ iiii
0)(
=∑∈ jnk
kI
0=⋅∫
Σ
sdJ - Regim staŃionar
+⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫Σ 14321
0cosSsSSS
dsJsdJsdJsdJsdJsdJ
00cos0cos0cos 4321
432
=+−+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ∫∫∫ IIIIdsJdsJdsJSSS
Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor) EnunŃ: Suma algebrică a tensiunilor la bornele laturilor care compun o buclă
de circuit este zero.
04321 =+−− UUUU
0)(
=∑∈ jbk
kU (1)- forma generală a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
1i2i
4i3i
)(nj
Σ
S1
S 2
S 3S 4
ds
ds
ds
I 1
I 2
I 3
I 4
J 3
J 1 ds
1E
3E
1I1R
1U
2U
2I
2R
4I
4R
3R3I
4U
convers
sens
bj
3U
1U 2U
3U4U
1n
2n
3n
4n
ΓdlSens
convenŃional
58
U k
E kI k
DemonstraŃie: Se aplică teorema potenŃialului electric pentru regim staŃionar. Teorema este asemănătoare din punct de vedere formal cu teorema
potenŃialului electrostatic. 0=⋅∫
Γ
ldE
=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫Γ
41342312
3
2
1
4
4
3
2
1
UUUUldEldEldEldEldEn
n
n
n
n
n
n
n
04321 =+−−= UUUU
Formă particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
kkkk IREU ⋅=+
kkkk EIRU −⋅= (2)
Se înlocuieşte (2) în (1) ( ) ∑∑∑∑ −=−=⇒k
kk
kkk
kkkk
k EIREIRU
⇒=−∑∑ 0k
kk
kk EIR ∑∑ =k
kk
kk EIR
(forma particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)
EnunŃ: Suma algebrică a căderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe laturile care compun o buclă de circuit este egală cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare de pe acele laturi.
Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR −=+−−
Teorema conservării puterilor în circuite de curent continuu EnunŃ: Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.
kkk UIP = - puterea primită de latura k
01
=∑=
l
kkkUI - forma generală
[ ] [ ] 0=⋅ UI t - forma matriceală
ll
l
t
l
UIUIUI
U
U
U
I
I
I
+++=
⋅
LMM
22112
1
2
1
59
DemonstraŃie: [ ] [ ]ct IBI ⋅= [ ] [ ] BII t
ct ⋅=
[ ] [ ]VAU t ⋅= [ ] [ ] [ ] [ ] 0=⋅⋅⋅=⋅ VABIUI ttc
t
[ ]0=⋅ tAB Forma particulară:
( ) 011
2
1
=−=−⋅⇒−⋅= ∑∑∑===
l
kkk
l
kkk
l
kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU
⇒ ∑∑==
=l
kkk
l
kkk IEIR
11
2 - forma particulară (bilanŃul puterilor)
EnunŃ: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egală
cu suma totală a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia matriceală a teoremei întâi a lui Kirchhoff pe întreg circuitul
[ ] [ ]
[ ] [ ] 1)1(1)1(
1)1(
0
0
×−××−
×−
=⋅Λ
=Λ
nlln
n
I
I
Expresia matriceală a teoremei a II-a a lui Kirchhoff [ ] [ ] 10 ×=⋅ bUB - forma generală
[ ] [ ] 11 0 ××× =⋅ bllb UB
[ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk −⋅=⇒−= - Se înmulŃeşte cu B la stânga
[ ] [ ] [ ] [ ]⇒−⋅=⇒ EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB =⋅ (forma particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)
Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenŃilor şi tensiunilor
laturilor atunci când se cunosc: • natura elementelor componente; • modul de interconectare al lor (topologia circuitului); • parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru elementele active - E, J
Pentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg următoarele etape:
1)Se identifică elementele de topologie: numărul de laturi (l), numărul de
noduri (n), numărul de bucle independente (b). Laturile se indexează cu cifre arabe în ordine crescătoare, toate elementele
aceleiaşi laturi purtând ca indice indexul laturii respective. Nodurile circuitului se indexează cbannn ,,sau ,, 321 .
60
Se aleg sensuri convenŃionale pentru curenŃii laturilor (sensul curentului ≡ sensul tensiunii electromotoare).
Se cere: 51 II K ; 51 UU K şi bilanŃul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3 Se identifică buclele independente şi se aleg sensuri convenŃionale de
parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc ( )1−n ecuaŃii cu teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaŃii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaŃii formează un sistem de ecuaŃii cu l necunoscute.
[ ][ ] [ ] [ ]EBIRBT
IT
=⋅
=⋅Λ
)(
0)(
2
1 ⇒ [ ] [ ] [ ][ ]
⋅=⋅
⋅
Λ ×−
EBI
RBn 1)1(0
(expresia matriceală a teoremelor lui Kirchhoff pentru întregul circuit) Pentru exemplu:
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
=
=
=
1
4
4
2
2
8
12
12
5
4
3
2
1
4
2
1
RRRRREEE
V
V
V
1b
2b
3b
E1
E2
R1
R2R3
R4
R5
I 1
I 2
I 3
I 4
I 51n
2n
E4
n3
=
−−++
−−−=
⋅
−−
−−−=Λ 0
00111110011
4321
521
5
4
3
2
1
IIIIIII
IIIII
( )( )( )( )( )
−=−+
+=−++
−+=−+
=++−−
=−−−
EIRIRbEIRIRIRb
EEIRIRbIIIIn
IIIn
444333
25533222
2122111
43212
5211
:
:
:
0:
0:
−−
−−−
0111110011
1l 2l 5l4l3l
=Λ
−
−
−
0110010111
00011=B 0
61
[ ]
=
RR
RR
R
R
5
4
3
2
1
0
0
[ ]
−
−
=
⋅
−
−
−
=
4
2
21
4
2
1
0
00110010110
00011
E
E
EE
E
E
E
EB
3)Rezolvarea sistemului de ecuaŃii (De preferabil să se folosească forma matriceală şi să se aplice o metodă de
eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) [ ] ⇒=⋅− NIMM 1 [ ] NMI ⋅= −1
)det(M=∆ ; ∆
∆= k
kI , k =1,2,…l
În urma calculelor
−=
=
=
=
=
⇒
A
A
A
A
A
IIIII
4
3
1
2
2
5
4
3
2
1
kkkk EIRU −=
−==
=−=
==
−=−=
−=−=
VIRU
VEIRU
VIRU
VEIRU
VEIRU
44
488
555
4444
333
2222
1111
[ ]
−
−
−
=
0110010110
00011
RB
⋅
RR
RR
R
5
4
3
2
1
0
0
−
−
−
=
00000
000
43
532
21
RRRRR
RR
[ ][ ]=IRB
−
−
−
00000
000
43
532
21
RRRRR
RR
=−
=−+
=−
=
⋅
0
0
0
4433
553322
2211
5
4
3
2
1
IRIRIRIRIR
IRIR
IIIII
62
( ) 724134142222 222222
55
2
22
2
11=−+⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅⋅⋅++ IRIRIR
7238212212442211
=⋅+⋅+⋅=+⋅⋅⋅++ IEIEIE
ERI
U
Cele cu semnul „-” au sensurile reale opuse faŃă de sensurile convenŃionale alese la început.
4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanŃului puterilor
Puterea consumată:
Puterea cedată:
Metode operative de analiză a circuitelor liniare de curent continuu 1) Metoda curenŃilor de contur (metoda curenŃilor de buclă sau metoda
curenŃilor ciclici)
EIRUIREU −⋅=⇒⋅=+ Pentru întregul circuit:
(1) (2) Se înlocuieşte (2) în (1) după ce s-a înmulŃit expresia (1) la stânga cu matricea
B.
NotaŃie:
[ ]Rb bb×
- matricea rezistenŃelor buclelor
[ ]Eb b 1×-vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor
RelaŃiile ( )3 şi ( )3′ sunt expresiile metodei curenŃilor de contur, respectiv un
sistem de b ecuaŃii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenŃii laturilor coarborelui asociat circuitului în număr 1+−= nlb .
∑ ∑= =
−5
1
5
1
2
k kkkkk IEIR
consumată putere
surse de cedată putere
[ ] [ ][ ] [ ]EIRBUB −=⋅ | [ ] [ ]IBI C
t=
[ ] [ ] [ ] [ ]EBIBRUB C
t−=
[ ] [ ]RBRB b
t=⋅ [ ] [ ]EEB b
=
[ ]EIR bCb=⋅ ( )3′
[ ] 0=UB [ ] [ ] [ ]EBIBRB C
t=−⇒(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)
63
I C1
I C2 I C3
1b
2b3b
( ) EERIRRI CC 2122211+−=++
Aceşti curenŃi pot fi consideraŃi ca şi curenŃi fictivi care parcurg buclele formate prin adăugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). După rezolvarea sistemului şi aflarea curenŃilor CI se calculează curenŃii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2).
321 ,, ccc III - curenŃi de buclă
21 RR + - suma rezistenŃelor laturilor buclei parcurse de 1CI
2R - rezistenŃa laturii parcursă simultan de 21 , CC II
21 EE +− - suma algebrică a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei
Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este „+” dacă 21 , CC II au acelaşi sens prin latura comună şi „-“ dacă au sensuri contrare.
ObservaŃie: Metoda nu se pretează pentru rezolvarea circuitelor care conŃin laturi de rezistenŃe infinite.
2) Metoda potenŃialelor noduri(metoda nodală) Se consideră laturile unui circuit de tip general care are următoarea
configuraŃie:
⋅=+−
=−+
⋅=+
1/2| 884
12472
1/2| 024
32
32C1
21
III
IIII
CC
C
CC
≈
=+−
=−+
=+
22
12472
02
32
321
21
IIIII
II
CC
CCC
CC
A
A
II
IIIII
CC
CCC
C
32
2
422
1246
23
231
32
=+
=
=⇒=+−
=−⇒
A
A
A
A
A
IIII
IIIIII
II
C
C
CC
CC
C
4
3
1
2
2
25
34
323
212
11
−=−=
==
=−=
=+=
=−=
( )( )
=−+
+−+++
ERIRRIERIRIRRRI
CC
CCC
432433
233215322 |
IREU ′=+
EGUGI +=′
U
ER
I
A
J
I ′B
64
JIIJII +=⇒=−− ′′ 0
JEGUGI ++=⇒
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JEGUGI +⋅+⋅= ( )4
[ ] [ ]VUt
Λ= ( )5
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
−⋅−=⇒=
+⋅+⋅=EGVG
IJEGVGI t
t
0( )6
[ ] [ ]ΛΛ=t
n GG
[ ] [ ] IVG S nn
=⋅ ( )6′
03=V
Teorema I a lui Kirchhoff în nodul A:
Se înlocuieşte (5) în (4) după ce s-a înmulŃit la stânga expresia (4) cu matricea
tΛ (matricea de incidenŃă laturi-noduri redusă).
- matricea conductanŃelor nodale
[ ] [ ][ ]EGI
nSΛ−= - vectorul curenŃilor de scurtcircuit nodali
Expresiile (6), respectiv (6’) reprezintă sistemul de ecuaŃii de dimensiuni 1−n care are ca necunoscute potenŃialele a 1−n dintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. PotenŃialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referinŃă şi uzual i se atribuie valoarea zero.
( ) ( )6,6 ′ este expresia potenŃialelor nodurilor. După aflarea potenŃialelor se calculează curenŃii laturilor cu ajutorul relaŃiilor ( ) ( )5,4 .
Se alege potenŃialul de referinŃă şi i se atribuie valoarea zero.
( ) ( ) EGEGGGVGGGV 22112125211
+=+−++
521 GGG ++ - suma conductanŃelor tuturor laturilor incidente în nodul 1n .
2V - potenŃialul unui nod adiacent
21 GG + - suma conductanŃelor laturilor care unesc cele două noduri 1 şi 2. Termenii ce se referă la potenŃialele nodurilor adiacente au întotdeauna semnul
minus. Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaŃia printr-o latură
fără ramificaŃii (cel puŃin o latură).
111EGI S = curent de scurtcircuit a laturii 1.
Curentul de scurtcircuit al unei laturi este curentul care apare prin aceasta atunci când capetele ei se unesc cu un fir de rezistenŃă nulă.
REIEIR SS
1
111
11
=⇒=
I S1
n1
n2
65
( )n
3R
( )1n
03
=I SE2
n1
n2
EGI S 222
=
( ) ( ) EGEGEGGGVGGGGV 44221121143212+−−=+−+++
GGG 521++
GG 21+−
GG 21+−
GGGG 4321+++
[ ]G n
VV
2
1
+−−
+=
EEGEGEGEG
42211
2211
[ ]V
I S n
66221
+=−VV2| ⋅266
23
21+−−=+− VV 2032
21−=+−⇒ VV
VVV 48222−=⇒−=⇒ VVVVV 44
2
1211
21
+=⇒+=+
−
( )( )( )( )( )( ) A
A
A
A
A
VVGIEVVGI
VVGIEVVGIEVVGI
EUGI kkkk
4
3
1
2
2
1355
42344
2333
31222
11211
−=−=
=+−=
=−=
=+−=
=+−=
+=
rrqq
F 321
4 επ=
E
+
−
E
mF
r
10941
9
0
πε
εεε
=
⋅=
CurenŃii de scurtcircuit se iau cu semnul „+” în membrul drept al ecuaŃiei nodale dacă sensul lor este către nod şi cu semnul „-” invers.
ObservaŃie: Metoda 2) nu se pretează pentru circuite care conŃin laturi de rezistenŃă nulă sau conductanŃă ∞ .
Seminar:
r - distanŃa de la sarcina 1q la 2q .
ε - permitivitate
66
( )2cos1cos04
αααεπ
ρ+= lE x
x
VVE
∂∂
−=−∇=
[ ]r
qVmVEldEV
πε4;/; ==⋅= ∫
Γ
∫ ⋅−=P
P
ldEPVPV0
)()( 0
1) Se consideră un fir rectiliniu finit, încărcat uniform cu o sarcină electrică distribuită liniar, aflată în aer. Să se calculeze intensitatea câmpului electric E într-un punct aflat la distanŃa a de firul nostru.
CqvdqV
V1; =
= ∫ρ
EDq
sdE εε 00
; ==∫Σ
rq
EqEF επ 3
4=→=
ε r
α
2α
1α
1α−T
a
l r
M
dE
xEd
dE
dl
π
1
2
y
ldrr
rEdl
24 επρ
= αsinEdEd x= αcosEdEd y
=
αααα daldala
lctgctg
−==⇒= 2sin
; 1
( )∫−
∫−
+=−=
−
=⇒
=⇒=
2
1
2
12cos1cos
04sin
042sin
2
sin2sin
1
04
sinsin
α
απ
α
απαα
επ
ραα
επ
ρ
α
ααα
επ
ρ
αα
ald
al
a
dalEx
ar
r
a
ααεπρ
sinsin 2
04ld
rEdEd l
x−=
67
( )∫−
∫−
−=−=
−
=2
1
2
12sin1sin
04cos
042sin
2
cos2sin
1
04
α
απ
α
απαα
επ
ραα
επ
ρ
α
ααα
επ
ρ
ald
al
a
dalE y
( )21
0
sinsin4
ααεπρ
−=aE l
y
0;cos0
21 2==⇒=− EaE y
lx
αεπρ
ααα
0;00
21 2==⇒== EaE y
lx επ
ραα
h
a 1n
2n
E
3nE
E
E
r1
ar I< ε 0
qsdE =∫
Σ
∫ ∫ ∫∫ ∫∫Σ
⋅===+++=S SS SS ll
rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii
2 31
13212π
∫ ∫ ===V V
vVV hrvdvdq 2
11 πρρρ
ερ
επρ
π0
1
0
2
1
1 22 r
Ehr
hrE Vi
Vi
=⇒=ερ
0
1
2r
E Vi=
ερ
0
1
2r
EV
i=
∫Σ
=ε 0
qsdE e
hrEsdEsdESS ll
eee 22∫∫ == π
Cazuri:
2) Se consideră un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform încărcat cu o sarcină q cu densitatea Vρ , materialul având permeabilitatea .0ε
Să se calculeze intensitatea câmpului electric şi potenŃialul electric într-un punct aflat la distanŃa r de axa cilindrului. ??; == VE
I.
II. ar II
>
68
r2
0=V
E ∫ ∫ ===V
VV
VV havdvdq 2
πρρρ
ra
Eha
hrE Ve
Ve ε
ρεπρ
π0
2
0
2
2 22 =⇒==
( )aRrdrrdrrEV VR
a
R
a
R
a
R
a
VVVii
22
0000 4|
222−−=−=−=−=−= ∫ ∫ ∫ ε
ρερ
ερ
ερ
aRa
rdra
rdra
EV VR
a
R
a
R
a
VVee
ln0
2
0
2
0
2
21
22 ερ
ερ
ερ
−=−=−=−= ∫ ∫ ∫
⋅⋅⋅⋅ ≡
1C 2C kC SCC
∑=q ks CC
11 ∑=k
kp CCdA
dA
Cr
pl
εεε 0==
UQUCWdA
C
rk
kpl 2
121 20 ; ===
Σ ε
ε
≡
pC
FCFCFCFCFCFC µµµµµµ 1;1;5;5,0;5,0;10 654321 ======
Seminar
Probleme: 1) Şase condensatoare sunt legate ca în figură. Sarcina condensatorului
Cq 45 10,5 −= . Se mai cunosc
Să se găsească tensiunea.
69
A
B
1C
2C
3C
4C
5C
6C
M
N
MNU
Cqq 4
6510−==
21111
65
6556
65566
5 ; =+
=⇒+==CCCCCCCCC
qU AB
VU AB200
10
10
6
4
21
==−
−
CCCUCq AB4334
3434
111; +==
Cq 462
341010
21
102 −− =⋅=
A
B
1C
2C
34C56
C
M
N
1C
2C
ABC
FCCCCCCq
U eABee
MNµ
3110
1031
; 111121
=⇒=++==
VUU MNMN620
1010312
103110
102 2
6
4
=⋅⋅
=⇒⋅
=−
−
FCCCCC µ502
1 ,43
4334
=+
=⇒
FC CCCqqq ABABµ1;102
21
21
34564
5634=+=+=⋅=+= −
2) Între armăturile unui condensator plan ce are 0ε se introduc succesiv: a)o lamă dielectrică cu grosimea cmd 46,0=′ şi 3,2=′rε ; b)o placă metalică cu grosimea ;46,0 cmd =′′ lamele fiind paralele şi de
aceeaşi dimensiune cu armăturile.
70
d
1d2d
d ′
x
y
d ′′
+++++
++
+
−−−−−
−−−−− 1C 2C
1
h
2
Să se calculeze capacitatea condensatoarelor în stare iniŃială 0C în cazul a) şi
b) ba CC , ştiind că 22512cm . 22512;8,0;46,0'';3,2';46,0' cmAcmdcmdcmd r ===== ε
R: FC 80 10
361 −= FCa
8103,24
1 −= FCb810
3,151 −=
a)
Fd
AC 8
2
4
90
0 10361
108,0102512
10941 −
−
−
⋅=⋅⋅
⋅⋅
=⋅
=π
ε
Fd
dd
Ad
dd
Addd
AC
rrrrr
a8
'
0
'21
0
''2
'''1
0 103,24
1'
'''
−⋅=+−
=++
=++
=
ε
ε
ε
ε
εεε
ε
b)
21
111CCCb
+= 21
21
CC
CCCb +=
x
AC 0
1
ε=
y
AC 0
2
ε=
Fdd
A
yx
A
y
A
x
Ay
A
x
A
Cb800
00
00
103,15
1''
−⋅=−
=+
=+
⋅=
εεεε
εε
3) Determinarea capacităŃii unui condensator cilindric
71
?0 =C ?=rε
1d2d
δ
d
kiR kiE
==⋅⋅
=⋅⋅
=⋅
⋅
=⋅
⋅
==−
= ∫∫∫∫
∫
∫
∫
ΣΣ
2
1222
1 2
1
2
1
2
1
2
11221r
r rh
dr
rhE
dlE
rhE
dlE
sdE
ldE
sdD
ldE
Q
U
Q
VV
C πεπεπεε
1
2ln2
12
1 2
1r
r
hr
dr
h
r
r πεπε== ∫
1
2ln
2
r
rh
Ccil
πε=
4) Se consideră un condensator plan de capacitate 0C ale cărui armături sunt
două discuri cu raza cmR 6= separate de un strat de aer cu grosimea cmd 1= . Între armăturile condensatorului este introdusă o placă izolantă de grosime mm3=δ ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025,1 CC ⋅=′ .
Se cere: 1)capacitatea iniŃială a condensatorului 2)permitivitatea relativă a materialului dielectric introdus Se cunosc: 025,1;3;1;6 CCmmcmdcmR ⋅=′=== δ
Fd
AC 11
2
4
90
0 10101036
10941 −
−
−
=⋅
⋅⋅
==π
π
ε
−−
=+−
=++
=++
=
rrrrrr
d
A
d
A
dd
Add
AC
εδ
ε
εδ
δ
ε
εδ
ε
εεδ
ε
ε
11
' 00
21
0
2
2
1
1
0
3
1025,11031036
10941
310
1
1
'1
1
113
4
90
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅+−
=
⋅+−
=⇒
−−
− ππδ
εδ
ε
C
Adr
Seminar
∑= kS RR ; ∑=kp RR
11
TK: ∑ = 0kI ; ∑ ∑=k
kkk EIR
72
IC1 IC 2
MCC: ∑ ∑∑ =k k
kj
kCjk EIR ;
MPN: ∑ ∑ ∑=⋅−j j j jk
jk
jkj
jkk R
E
RV
RV
11
Problemă: E1=E2=10V R1= 2Ω R2= 3Ω R= 1Ω E =8V I1 , I2 , I = ? (I): n -1=2-1=1 (II): o = l - n+1=2 Metoda I
+=+
+=+
=−−
EERIIR
EERIIR
III
222
111
21 0
+=⋅+
+=⋅+
=−−
8101381012
0
2
1
21
II
II
III
318
;2
1821
II
II
−=
−=⇒ I
II=
−+
−⇒
318
218
AI1190
=⇒ ; AI1154
1 = ; AI1136
2 =
Metoda II
o = l - n+1=2
=+
=+)2(
222211
)1(122111
ERIRI
ERIRI
CC
CC
RRR += 111 ; RRR += 222 RRR == 2112 EEE += 1
)1( ; EEE += 2)2(
( )
( )
+=++
+=++
EERRIRI
EERIRRI
CC
CC
2221
1211 ⇒( )
( )
+=++
+=++
8101381012
21
21
CC
CC
II
II
=+
=+
184183
21
21
CC
CC
II
II21 418 CC II −=⇒ ( ) 184183 22 =+−⇒ CC II
AIC 1136
2 =⇒ ; AIC 1154
1 =
1I2I
1R
1E
2R
2E
I
1
2
1 2
R
I1 I2
E
73
•
•
•
•
V p
I p
V 1
V 2
V 3
V k
I1I 2
I 3
I k
multipol ≡
V 1
I1
V 2
I 2
V 3I 3
V k
I kV p
I p
multipol
=+=
==
==
AIII
AII
AII
CC
C
C
1190
11361154
21
22
11
Metoda III
02 =V
2
2
1
1
211
111R
E
R
E
R
E
RRRV +−=
++ ⇒
310
18
210
31
11
21
1 +−=
++V
VV112
1 =⇒
( )
( )
( )
=−+
=
=−+
=
=−+
=
AR
VVEI
AR
VVEI
AR
VVEI
119011361154
21
2
1222
1
1211
Circuite echivalente Multipol Este un circuit electric cu mai multe borne de acces. Multipolii particulari sunt:
• dipol, cu două borne • tripol, cu trei borne • cuadripol, cu patru borne
Doi multipoli sunt echivalenŃi dacă au acelaşi număr de borne de acces şi dacă
impunând acelaşi potenŃial bornelor corespondente prin ele circulă aceiaşi curenŃi. Procedeul de găsire a unui multipol echivalent cu un multipol dat (cu
configuraŃia cunoscută) se numeşte transfigurare. În general se urmăreşte găsirea unui
74
U
1U 2U
A B1R 2R1E 2E
≡esR esE
U
I
EIRUEIRU
222
111
−=
−=
( ) ( ) ( ) ( )EEIRRUEEIRRUU 212212121+−+=⇒+−+=+
EIRU eses−=
RRR es 21+=
EEE es 21+= ( )9
multipol echivalent cu structură mai simplă decât multipolul dat, care uşurează studiul circuitului din care face parte.
Cazuri particulare de circuite echivalente
1) Transfigurarea unei surse reale de tensiune intr-o sursă reală de curent Este vorba de un multipol cu două borne care conŃine şi o sursă.
⇒⋅+=+=
+=⇒⋅=+
SSS
SSS
SS
GUJIJI
ER
UR
IIREU
'
11
S
S
SS
S
RG
ER
J
1
1
=
= (7)
2) Transfigurarea unei surse reale de curent într-o sursă reale de tensiune
⇒)7(
SS
S
SS
GR
G
JE
1=
= (8)
3) Conexiunea serie a dipolilor elementari
seR - rezistenŃa echivalentă serie
⇒
∑
∑
=
=
=
=
n
kkse
n
kkse
EE
RR
1
1 (9’)
≡ SJ GS USR
I
I
I ′
ES
U
I
75
1R
U
I 2R
1U 2U
1I
2I
1R
2R
1E
2E
A B ≡ A BepR epE
I epR
≡
RRRRRRR
RRRRR ep
ep 21
21
21
21
21
111+
=⇒+
=+=
RRIR
IRI
RRRR
RIR
IIRU
URUGI ep
ep
21
2
1121
2111
11
1+
=⇒⋅+
==⇒
=
==
Pentru dipoli pasivi( fără surse):
URR
R
R
URIRU
se 21
1111 +
===
URR
RU
21
11 +=
URR
RU
21
22 += (10)
Conform acestei reguli se poate exprima cu uşurinŃă fiecare dintre cele două
tensiuni în funcŃie de tensiunea totală. 4) Conexiunea paralel a dipolilor elementari
pepe G
EGEGE 2211 +
=⇒
Pentru laturi pasive:
( )GGG
EGUGIEGEGGGUI
ep
epep
21
221121+=⇒
+=
+++=
EGEREG eep 2211+=
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
kk
n
kkk
ep
n
kkep
G
EGE
GG
1
1
1
( )11
( )( ) III
EUGIEIRUEUGIEIRU
212222222
1111111+=⇒
+=⇒−=
+=⇒−==>
76
1V
1I
3V 2V
2I3I
31I
23I
12I
12R
23R
31R ≡
1I
2I3I
1R
2R3R
( )RRRRRRRe
312312
31231212 ++
+=
( )RRRRRRRe
312312
12312323 ++
+=
( )RRRRRRRe
313.212
23123131 ++
+=
( ) ( )212
2 /312312
123131232312321
1331
3223
2112
RRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRR
e
e
e
++
++=++⇒
+=
+=
+=
( )13
RRRRRR
312312
31233 ++=
RRRRRR
312312
23122 ++=
RRRRRR
312312
12311 ++=
5) Transfigurarea triunghi-stea ( Y→∆ ) Se cunosc: 312312 ,, RRR . Se cere 321 ,, RRR .
Pentru ∆ :
Pentru Y:
Din (13) se scade relaŃia lui 12eR şi rezultă:
Analog, se obŃine (14)
Dacă ⇒=== ∆RRRR 312312 3Y∆=
RR
IRRRI
IRRRI
21
12
21
21
+=
+=
( )12 - Regula divizorului de curent
serie
esR
12R
23R
31R
12R
esR
paralel
12
1212 RR
RRR
es
ese +=
77
1
32 −
1R
2R3R
paralel
1G
epG
serie
≡
( ) ( )GGGGGG
GGGRRR epe321
321
321132
111 +
++=
++=+=
−
( )
( )GGGGGGGe
321
213213
2 ++
+=
− ( )
( )GGGGGGGe
321
21312
3 ++
+=
−
6) Transfigurarea Y→∆
Se cunosc ),,(,, 321321 GGGRRR Se cere 312312 ,, RRR .
( )Ge 321−
Se exprimă condiŃia de echivalenŃă între borna 1 şi bornele (2-3) scurtcircuitate între ele; apoi între borna 2 şi (1-3) scurtcircuitate între ele şi apoi borna 3 şi (1-2) scurtcircuitate între ele.
Pentru Y:
Pentru ∆ :
Se adună cele trei relaŃii, după care se înmulŃeşte rezultatul cu 1/2 în ambii membri şi se scade pe rând expresia corespunzătoare fiecărei condiŃii de echivalenŃă, rezultând:
( ) GGGe 3112321+=
−
( ) GGGe 1223132
+=−
( ) GGGe 2331213
+=−
31R 13RR12
78
GGGGGG
321
2112 ++=
GGGGGG
321
3223 ++=
GGGGGG
321
1331 ++=
( )15
Dacă ⇒=== YGGGG 321 3YGG =∆
⇒⋅=∆ 3
111
YRRYRR 3=∆
Teoreme utile în studiul circuitelor electrice de c.c. 1) Teorema superpoziŃiei EnunŃ: IntensităŃile curenŃilor laturilor unui circuit izolat reprezintă suma
algebrică a intensităŃilor curenŃilor stabiliŃi prin acele laturi sub acŃiunea câte uneia dintre sursele de energie (surse de tensiune şi de curent) când toate celelalte surse sunt pasivizate.
A pasiviza o sursă de energie înseamnă a o înlocui cu rezistenŃa ei internă. Sursele ideale de tensiune se înlocuiesc cu rezistenŃe nule (scurtcircuite), iar sursele ideale de curent se pasivizează înlocuindu-le cu rezistenŃe infinite (întreruperi).
Exemplu:
111 "' III += , 222 "' III += , 333 "' III += Teorema superpoziŃiei este o consecinŃă a faptului că ecuaŃiile care descriu
funcŃionarea circuitului sunt liniare în raport cu parametrii aferenŃi surselor independente. CurenŃii care rezultă prin rezolvarea ecuaŃiilor lui Kirchhoff, prin
regula lui Cramer, au forma ∆
∆= k
kI (pentru latura k).
lklkkk EEE ∆++∆+∆=∆ L2211
lklkklklkk
k EGEGEGEEEI +++=∆
∆++
∆
∆+
∆
∆= LL 22112
21
1
Ik – combinaŃie liniară de E1…El ;
I1 I2 I3
R1 R2 R3
E1 E3
=
I’1
R1 R2 R3
E1
I’2 I’3 I”1
R1 R2 R3
E3
I”2 I”3
+
79
activ
CircuitUR
I
UE =
I
activ
Circuit
activ
CircuitIJ =
I
≡
≡
U
U
Gkj – conductanŃa de transfer între laturile k şi j. jkkj GG = (relaŃie de reciprocitate).
Există situaŃii practice când teorema superpoziŃiei permite calculul curenŃilor fără a fi necesară construirea unui sistem de ecuaŃii, ci printr-o succesiune de calcule simple.
2) Teorema reciprocităŃii EnunŃ: Teorema reciprocităŃii se referă la un circuit pasiv în care prezintă
interes două dintre laturile sale j şi k. O sursă ideală de tensiune inserată în latura k provoacă un curent în latura j egal cu curentul pe care aceeaşi sursă inserată în latura j îl provoacă în latura k. Această teoremă este o consecinŃă a relaŃiei de reciprocitate.
kj II =
kjjk GG = , EGI kjk ⋅= , EGI jkj ⋅= ⇒ kj II =
3) Teorema compensaŃiei
Conform teoremei compensaŃiei, orice rezistenŃă parcursă de curentul I şi care
are la borne tensiunea RIU = dintr-un circuit izolat poate fi înlocuită fie cu o sursă ideală de tensiune a cărei tensiune electromotoare îndeplineşte condiŃia UE = , fie cu
Circuit pasiv
Rj Rk
Rj Rk
E
Ik
Rj Rk
E
Ij
80
E
E
E
b
( )∑∈
=−+nk
k JJI 0
o sursă de curent care îndeplineşte condiŃia IJ = , circuitul obŃinut fiind echivalent cu cel iniŃial.
4) Teorema surselor cu acŃiune nulă (Teorema lui Vaschy) Teorema are două componente:
a) Dacă în toate laturile incidente într-un nod al circuitului se inserează surse ideale de tensiune identice şi orientate la fel faŃă de nodul comun, se obŃine un circuit echivalent cu cel iniŃial. Th. II a lui Kirchhoff pentru bucla (b). Membrul stâng = membrul drept EE −+
b) Dacă în paralel cu fiecare latură a unei bucle de circuit se adaugă surse ideale de curent identice şi orientate în acelaşi sens, se obŃine un circuit echivalent cu cel iniŃial. Th. I a lui Kirchhoff pentru nodul (n).
5) Teorema transferului maxim de putere
IUP ⋅= - puterea consumată de R
R – consumator (receptor)
Th. II a lui Kirchhoff: ( )s
sss RR
EIEIRR
+=⇒=+
( )2
22
s
s
RR
RERIP
+== . Valoarea maximă a lui P =?
( ) ( )( ) ( )34
22 2
s
s
s
sss
RR
RR
RR
RRRRRE
dR
dP
+
−=
+
+⋅−+=
( )n( )b
sR
sE
a
b
RU
I
Circuit dipolar activ cu rol de sursă
81
a
b
Rab
activ
liniar
circuit iab
⇒=−⇒= 00 RRdR
dPs sRR = valoarea care corespunde puterii maxime
s
RR
RRdR
Pd
s
=⇒<=
02
2
este punct de maxim pentru funcŃia P(R)
⇒= 2
2
max 4 s
ss
R
ERP
s
s
R
EP
4
2
max = - puterea maximă consumată de receptor
Puterea cedată de sursă
sssced R
EIEP2
12==
Randamentul 5,0max ==cedP
Pη
EnunŃ: Puterea transferată de o sursă reală de tensiune spre un consumator are valoarea maximă atunci când rezistenŃa consumatorului este egală cu rezistenŃa internă a sursei; în acest caz randamentul transferului de putere între sursă şi consumator este 0,5.
6) Teoremele generatoarelor echivalente a) Teorema generatorului echivalent de tensiune (Teorema lui Thévenin)
abe
abab RR
UI
+= 0 (1)
Această teoremă permite calcularea curentului unei laturi a circuitului fără a fi necesară determinarea celorlalŃi curenŃi; mărimile care intervin sunt:
• 0abU - tensiunea între bornele a şi b cu latura respectivă îndepărtată (tensiunea în gol)
• eR - rezistenŃa echivalentă a circuitului pasivizat în raport cu bornele a,b după îndepărtarea laturii la care ne-am referit.
• abR - rezistenŃa din latura al cărei curent se calculează.
DemonstraŃie: Se transfigurează circuitul liniar activ care rămâne după îndepărtarea laturii a b, aducându-se la forma unui dipol elementar.
eRpasivizat
liniar
Circuit
neliniar
activ
Circuit
a
babU
liniar
82
abR
abU
activ
liniar
Circuit
eabeabe EUEUR =⇒=+⋅ 000
( )abe
ab
abe
eabeabeab RR
U
RR
EIEIRR
+=
+=⇒=+ 0
b) Teorema generatorului echivalent de curent (Teorema lui Norton)
abe
abscab GG
IU
+= (2)
Teorema permite calcularea tensiunii la bornele unei laturi a circuitului fără a fi necesar să se calculeze curentul laturii, curenŃii sau tensiunile altor laturi; semnificaŃia mărimilor:
• abscI - curentul care apare între bornele a,b prin scurtcircuitarea acestora
(prin înlocuirea rezistenŃei abR cu o rezistenŃă de valoare zero); se mai numeşte curent de scurtcircuit.
• eG - reprezintă conductanŃa măsurată la bornele a,b după îndepărtarea
laturii a,b şi pasivizarea circuitului rămas. e
e RG
1=
• ab
ab RG
1=
DemonstraŃie:
abe
ababababab RR
RURIU
+== 0
)1(
eR
a
b
eR
pasivizare
0abU
eR
eE
0=Ia
b
R
abI
Re
Ee
Rab
activ
liniar
Circuit
a
b
Iabsc
83
eeabsc ERI = 0abeabsc URI =
=+
⋅
=+
=
abe
abeabsc
abe
abeabscab
GG
GGI
RR
RRIU
11
11
abe
absc
abeabe
absc
GG
I
GGGG
I
+=
⋅⋅
+
=11
Câmpul electrocinetic în conductoare masive
0=⋅∫Σ
sdJ (legea conservări sarcinii electrice pentru regimul staŃionar).
0=⋅∫Σ
sdD (legea fluxului electric pentru cazul 0=Vρ - corpuri
conductoare) EJ σ= (legea conducŃiei electrice în absenŃa câmpului imprimat) ED ε= (legea legăturii dintre PED ,, )
Concluzie: Analogii între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic
staŃionar. JD↔ σε ↔
RefracŃia câmpului electrocinetic la suprafaŃa de separaŃie a două medii cu
conductivitate electrică diferită.
⇒= nn DD 21 nn JJ 21 = Componenta normală la suprafaŃă a
densităŃii de curent se conservă.
t
n
n
t
n
t
n
t
E
J
J
E
J
JJ
J
tg
tg
22
2
1
11
2
2
1
1
2
1
σσ
αα
⋅==
⇒= tt EE 212
1
2
1
σσ
αα
=tg
tg - teorema
refracŃiei liniilor de câmp electrocinetic
Iabsc Re
Ee
nJ1
1α2α
tJ1
tJ 2
2J
nJ 2
σ 1 σ 2normala axa
separatiede suprafata la
la tangentiaaxa
J1
J1n
84
Analogia între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic staŃionar permite calcularea rezistenŃelor electrice pe baza unui algoritm asemănător cu cel folosit pentru calculul capacităŃilor.
AplicaŃie: Priza de pământ emisferică:
Se dă o priză de pământ emisferică. Se cunosc: raza 0R a emisferei, conductivitatea pământului σ şi potenŃialul 0V la care se găseşte conductorul de legătură al prizei de pământ. Se cere: rezistenŃa prizei de pământ şi tensiunea de pas în vecinătatea prizei.
Prizele de pământ se folosesc în scopul prevenirii accidentelor prin electrocutare a personalului care lucrează cu echipamente aflate sub tensiune.
Electrocutarea este o consecinŃă a trecerii curentului prin corpul uman atunci când două părŃi ale acestuia se găsesc la potenŃiale electrice diferite. Curentul care se
scurge prin corp este: R
VVI 21 −= , unde R - rezistenŃa totală a căii de curent
(rezistenŃa corpului + rezistenŃa echipamentului de protecŃie). Leziunile interne ale organismului sunt provocate de curentul care trece prin
el, nu de tensiunea aplicată. Când o parte metalică, care în mod obişnuit nu se găseşte sub tensiune (carcasa metalică a unui aparat), este pusă sub tensiune ca urmare a unui defect, legătura permanentă a acestei părŃi metalice la pământ printr-o priză de împământare asigură egalarea potenŃialului acesteia cu potenŃialul pământului.
Prin urmare, dacă o persoană aflată cu picioarele pe pământ atinge aceea parte metalică ea nu este supusă unei diferenŃe de potenŃial; deci 0021 =⇒=− IVV şi pericolul de electrocutare nu există.
Prizele de pământ nu sunt ideale. Se consideră că potenŃialul pământului este la distanŃă foarte mare de priza de
pământ (V∞=0).
22 22
4 R
I
R
IJ
ππ== , 22 Rπ - aria emisferei de rază R
221
R
IJEEJ
πσσσ ==⇒=
022 2
122
0cos00 00
R
IdR
R
IdR
R
IdRERdEVV
RR RR πσπσπσ===⋅⋅=⋅=− ∫∫ ∫∫
∞∞ ∞∞
∞
0
00
212RI
R
I
I
VVR p πσ
πσ==
−= - rezistenŃa prizei de pământ
A B→
R
0R
dr
J E
00 =dV
pamantului
rafatasup
conductor materialdin emisfera
V0
I
V∞=0
p
dR
85
M
α
U
IMU
MI
1M
2M
U
I
2U
1U
1α 2α
RezistenŃa prizelor de pământ trebuie să fie cât mai mic posibilă. Conform standardelor, ele nu trebuie să depăşească 3, 4, 8 Ω. În cazul în care o singură priză de pământ nu asigură rezistenŃa, se folosesc mai multe prize de pământ care funcŃionează cu nişte rezistenŃe conectate în paralel.
Un individ care se găseşte în apropiere este supus unei diferenŃe de potenŃial între tălpile picioarelor. Cu cât lungimea pasului (p) este mai mare, cu atât diferenŃa de potenŃial este mai mare şi poate deveni periculoasă.
pU - tensiunea de pas. ?=−= BAp VVU
=
+−=
−=⋅=⋅=−+++
∫∫ pRR
I
R
IdR
R
IdREVV
pR
R
pR
R
pR
R
BA
112
122 2 πσπσπσ
+
=+
⋅=
p
RR
I
pRR
pI
12)(2
πσπσ
VRIR
IV ⋅=⇒= 0
0
22
πσπσ
⇒
+
⋅=
p
RR
VRU p
12
2 0
πσ
πσV
p
RR
RU p
+
=
1
0
maxpU pentru ⇒= 0RR
p
RV
U p0
max
1+=
Se consideră ca limită V200max ≤pU .
NoŃiuni de circuite neliniare în regim staŃionar
I
UR =
-caracteristica tensiune-curent pentru o rezistenŃă liniară.
RI
Utg
M
M ==α
-caracteristica unei rezistenŃe neliniare.
86
1β
U
I
1M
1U
1I
I
U
toaresemiconduc
dioda
V6,0≈
V1000≈
Pentru rezistoarele neliniare dependenŃa tensiune - curent se exprimă printr-o
funcŃie neliniară. Se definesc următorii parametri: 1) RezistenŃa statică
αtgI
URS ==
Pentru M1 : 11
11 αtg
I
URS == 21 SS RR ≠
Pentru M2 : 22
22 αtg
I
URS ==
2)RezistenŃa dinamică
Se notează:
11
1
βtgdI
dUR
IId ==
=
22 βtgRd =
21 dd RR ≠
Atât rezistenŃa statică cât şi cea dinamică depind de punctul de funcŃionare la
care se referă. Pentru o rezistenŃă liniară, ctRRR dS === . Exemple de rezistenŃe neliniare: - lampa cu incandescenŃă; - dioda semiconductoare.
Metode de studiu al circuitelor neliniare Circuitele electrice care conŃin cel puŃin un element neliniar se numesc circuite
neliniare. Studiul acestora presupune în general calcule laborioase, iar metodele analitice
sunt aplicabile numai în cazuri cu totul particulare, pentru circuite cu 1,2 elemente neliniare.
Metoda generală utilizează algoritmi numerici implementaŃi în programe specializate.
87
( )1
( )2
U
I1I ′ I ′′
1U ′2U ′21 UU ′+′
2U ′′
21 UU ′′+′′echivalent
uirezistorul
ticacaracteris
UUU 21+=
A BI
1I
2I
U
A BI≡
III 21+=
1) Metoda grafică a) conexiunea serie
Se cunosc caracteristicile celor două rezistenŃe neliniare conectate în serie şi se cere caracteristica unui rezistor echivalent.
Caracteristica rezistorului echivalent se obŃine prin însumarea grafică a
caracteristicilor celor două rezistenŃe componente, după tensiuni. b)Conexiunea paralel
În acest caz caracteristica rezistenŃei echivalente se obŃine prin însumarea grafică a caracteristicilor rezistenŃelor componente după curenŃi.
Cele două reguli pot fi aplicate şi pentru mai mult de două elemente interconectate, una sau mai multe rezistenŃe putând fi chiar liniare.
Metoda grafică poate fi folosită şi pentru conexiuni mixte serie-paralel.
≡U
aechivalent
neliniara
rezistenta
A B
1U 2U
I
U
88
activ
liniar
circuit
A
B
nI
nU
Uliniar
circuit
I a
b
nU
nIa
b
eE
eR
I
U
2) Metoda caracteristicii de sarcină (metoda dreptei de sarcină) Metoda permite determinarea punctului de funcŃionare al unui rezistor
neliniar, toate celelalte elemente ale circuitului fiind liniare.
Se cunoaşte caracteristica elementului neliniar şi parametrii tuturor celorlalte elemente ale circuitului şi se cere determinarea mărimilor In şi Un.
( )nn IU , - punctul de funcŃionare al elementului neliniar.
Metoda presupune parcurgerea următorilor paşi:
• Se separă elementul neliniar de restul circuitului
• Se determină dipolul elementar echivalent al circuitului liniar
Se construieşte caracteristica U-I în raport cu bornele a,b.
⇒=+ EURI ERIU +−=
• Se trasează grafic caracteristica de mai sus la aceeaşi scară cu caracteristica rezistorului neliniar.
=⇒=
=⇒=
R
EIU
EUI
0
0
89
CondiŃia ca aceste două părŃi sa funcŃioneze este nn IIUU == , şi este îndeplinită de punctul de intersecŃie al celor două caracteristici (punctul M).
E
I In=I
Un=U M
R
E
U
0
Caracteristica elementului
neliniar
Caracteristica dipolului liniar (dreapta de sarcină)
90
CÂMPUL MAGNETIC STAłIONAR
Anumite fenomene din natură manifestate prin forŃe de interacŃiune sunt explicate prin existenŃa câmpului magnetic.
Câmpul magnetic poate fi studiat independent faŃă de câmpul electric numai pentru cazul regimului staŃionar. În regim variabil, cele două câmpuri coexistă şi se generează reciproc, propagându-se în spaŃiu.
Câmpul magnetic staŃionar este produs de conductoare parcurse de curent continuu sau de magneŃi permanenŃi.
Câmpul magnetic poate fi pus în evidenŃă prin forŃe ce se manifestă asupra sarcinilor electrice aflate în mişcare.
ForŃe care se manifestă într-un câmp magnetic 1) ForŃa Lorentz
Sarcina q se deplasează în câmp magnetic cu viteza v .
BvqF ×= (1) - forŃa Lorentz
F are valoare maximă când unghiul ∠ ( ) ⇒=⇒= qvBFBv max2,
πqv
FB max=
B-inducŃia magnetică )(1 TeslaTB >=<
s
mC
NT
11
11
⋅=
O sarcină electrică punctiformă aflată în mişcare în vid într-un câmp magnetic este supusă forŃei Lorentz, cu expresia (1).
Mărimea ce caracterizează câmpul magnetic în vid este B, inducŃia magnetică. Este o mărime primitivă în teoria magnetismului.
ForŃa Lorentz nu produce lucru mecanic. DemonstraŃie:
( ) ( ) 02
cos,cos =⋅⋅×⋅=×⋅⋅×⋅=⋅×=⋅π
vBvqvBvvBvqvBvqvF
dt
vdmamF ⋅=⋅=
⇒==
=⋅⋅=⋅ 0
2
2
dt
dEmv
dt
dv
dt
vdmvF c .ctEc = 0=⇒ dL
cE - energia cinetică a particulei, L – lucrul mecanic
2) ForŃa Laplace Se manifestă asupra conductoarelor parcurse de curent electric amplasate în
câmp magnetic.
F
V
B q v
91
FFF ==21
BldiFd ×⋅=
Pentru o porŃiune rectilinie de conductor:
∫∫ ×⋅==lN
M
BldiFdF0
⇒=
⋅⋅⋅=⇒=∠ ∫∫ll
dliBBdliFBld00 2
sin2
),(ππ
iBlF =
3) ForŃa electrodinamică Se manifestă între două conductoare parcurse de curenŃi de conducŃie.
Pentru cazul particular a două conductoare paralele de lungime infinită (mult mai mare decât distanŃa dintre ele), forŃa electrodinamică corespunzătoare unui tronson de lungime l este:
r
lIIkF ⋅⋅= 21
• DirecŃia forŃei este perpendiculară pe cele două conductoare • Sensul este de atracŃie (curenŃii au acelaşi sens) sau de respingere
(curenŃii au sensuri opuse)
Această forŃă se explică prin faptul că în vecinătatea fiecărui conductor parcurs de curent apare un câmp magnetic. Acest câmp magnetic, interacŃionând cu celălalt conductor parcurs de curent, conform forŃei Laplace, conduce la fenomenul interacŃiunii electrodinamice.
i
ld Fd
B
M N
l B
lr
1I 2I
1F 2F
1I 2I
1F 2F
respingere
92
B
ds
ΓS
dl
2iΓ
i
rB
I
⇒=⋅⇒⋅=
=lBI
r
lIIk
r
lIIkF
lBIF
1221212
122
r
IkB 1
1
⋅=
πµ2
0=k ⇒r
IB
πµ2
101 =
0µ - permeabilitatea absolută a vidului. Este o constantă universală a cărei
valoare este m
H7104 −π .
rπ2 - lungimea cercului de rază r.
Teorema lui Ampère
∫∫Γ
⋅=⋅Γ S
sdJldB 0µ (1)
(Forma integrală a teoremei lui Ampère)
∫Γ
Γ⋅=Θ
S
S sdJ - solenaŃia din suprafaŃa ΓS
EnunŃ: CirculaŃia inducŃiei magnetice calculată pentru o curbă arbitrară este proporŃională cu solenaŃia prin suprafaŃa care se sprijină pe această curbă. Factorul de proporŃionalitate în vid este 0µ .
Caz particular:
• Γ - cerc de rază r • I - curent, perpendicular pe planul curbei
r Ipoteză: B tangent la Γ.
∫∫ΓΓ
⋅=⋅⋅=⋅ rBdlBldB π20cos
∫∫ΓΓ
=⋅⋅=⋅SS
IdsJsdJ 0cos
⇒=⋅ IrB 02 µπr
IB
πµ2
0=
SolenaŃia este egală cu suma algebrică a curenŃilor de conducŃie care străbat
ΓS .
B
M
I
r
I
ds
dl
B
93
Σ
ΣV
Aplicând Stokes lui (1) ( ) sdBrotldBS
⋅=⋅⇒ ∫∫ΓΓ
( ) ⇒⋅=⋅ ∫∫ΓΓ SS
sdJsdBrot 0µ JBrot 0µ= (2)
(forma locală a teoremei lui Ampère)
Legea fluxului magnetic
0=⋅∫Σ
sdB (3)
EnunŃ: Fluxul magnetic prin orice suprafaŃă închisă este egal cu zero.
Cu Gauss-Ostrogradski 0=⋅=⋅⇒ ∫∫ΣΣ V
dvBdivsdB
⇒ 0=Bdiv (4) - forma locală a legii fluxului magnetic.
Analogie cu 0=Jdiv (teorema continuităŃii liniilor de curent) Din (4) şi teorema continuităŃii liniilor de curent rezultă că liniile de câmp
magnetic sunt curbe închise.
(4)⇒ ArotB = (5) (inducŃia magnetică B reprezintă rotorul unui câmp vectorial)
=A potenŃialul magnetic vector ( ) 0=Arotdiv
( ) 0≠=×⋅
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba -în coordonate carteziene; 3,, Rcba ∈
( ) 0)( =≡×∇∇ ArotdivA
( )zyx AAA
kz
jy
ix
kz
jy
ix
A∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇∇
Din relaŃiile (5) şi (2) JArotrot 0)( µ=⇒ Folosim relaŃia:
( ) ( ) ( )baccabcba ⋅⋅−⋅⋅=×× Ac = , ∇== ba ( ) ( ) ( ) ( ) JAAdivgradAAAArotrot 0)( µ=∆−=⋅∇⋅∇−∇⋅∇=×∇×∇=
94
rMdl
i
Γ
Dacă se impune condiŃia 0=Adiv (relaŃie de etalonare pentru A ), care nu alterează modul de definire a lui A⇒ JAArotrot 0)( µ=∆−= ⇒ JA 0µ−=∆ (6)
RelaŃia (6) este o ecuaŃie de tip Poisson care reprezintă ecuaŃia distribuŃiei câmpului magnetic în spaŃiu.
Pe baza acesteia se poate calcula câmpul magnetic produs de o distribuŃie oarecare de curenŃi de conducŃie. Pe ecuaŃia (6) se bazează programele de calcul numeric al câmpurilor magnetice staŃionare.
Calculul câmpului creat de conductoare filiforme Formula Biot-Savart-Laplace
∫Γ
×= 3
0
4 r
rldiB
πµ
(7)
Formula Biot-Savart-Laplace
30
4 r
rldiBd
×⋅=
πµ
(7’)
InducŃia magnetică elementară Se observă o asemănare între formula (7) şi formula:
rr
qE ⋅⋅= 3
041επ
AplicaŃie:
Se cere inducŃia magnetică a câmpului creat de o spiră circulară parcursă de curent într-un punct de pe axa spirei situat la distanŃa x faŃă de planul acesteia.
30 2
sin
4 r
rdlidBdlr
π
πµ ⋅⋅
⋅=⇒⊥
20
4 r
dlidB ⋅=⇒
πµ
r
adBdBdB ⋅==⊥ αsin
Un element diametral opus conduce la producerea unui câmp magnetic elementar a cărui componentă paralelă cu planul spirei este egală şi de sens contrar cu dB creat de elementul .dl
Oricare ar fi două elemente diametral opuse, dau componente paralele cu planul care se anulează reciproc; rezultă că inducŃia magnetică totală va avea numai componentă perpendiculară pe planul spirei.
a
rx
α
α
M
2π
i
ld
lBd ρ||
lBd ρ⊥
O
α
95
B
i
dl
BI
r
ds
( )Γ
( )ineltor
camp
de
linie
ar
aidl
r
ai
r
dli
r
adBBB
aa
cerc
M ππµ
πµ
πµ ππ
2444 3
02
03
02
02
0
)(
⋅⋅
=⋅
=⋅
⋅=== ∫∫∫ ⊥⊥
( ) 2/322
2022
2 xa
aiBxar M
+
⋅=⇒+=
µ
Particularizare:
Pentru ⇒= 0x a
iB
2)0( 0µ=
0→⇒∞→ Bx Câmpurile magnetice care prezintă simetrie spaŃială se pot calcula cu ajutorul
teoremei lui Ampère. Exemplul 1:
Ne propunem să calculăm inducŃia magnetică a câmpului creat într-o bobină de formă toroidală parcursă de curentul I şi având N spire.
Se consideră că liniile de câmp magnetic sunt cercuri concentrice cu torul bobinei.
ΓΘ=⋅∫
ΓSldB 0µ (Teorema lui Ampère)
rBdlBdlBldB π20cos ⋅==⋅⋅=⋅ ∫∫∫ΓΓΓ
INdsJdsJsdJ
SSS
S ⋅−=⋅−=⋅⋅=⋅=Θ ∫∫∫ΓΓΓ
Γπcos
r
NIBNIrB
πµ
µπ2
2 00 −=⇒−=⋅
Semnul „-” sugerează că sensul real al lui B este opus faŃă de sensul indicat pe figură.
sd
S Γ
Γ
ldJ
96
Exemplul 2:
Solenoidul este o bobină realizată pe un miez din material izolant sau nemagnetic (poate fi aer), cu lungimea mult mai mare ca dimensiunile transversale. Se face aproximarea că liniile de câmp magnetic sunt drepte paralele în interiorul solenoidului şi se închid în exteriorul acestuia prin arce de curbă. Se consideră că în exteriorul bobinei intBBext << .
lBdlBdlBldBldBldBldBN
M
N
M
N
M
M
N
N
M
⋅==⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫Γ
interior)(interior)(exterior)(interior)(
0cos
NIS −=ΘΓ
⇒−=⋅⇒ NIlB 0µ l
NIB 0µ−=
Câmpul magnetic în prezenŃa corpurilor magnetizate S-a constatat experimental că la introducerea unor corpuri într-un câmp magnetic existent inducŃia magnetică se modifică. ExplicaŃia acestui fapt este că acele corpuri au un câmp magnetic propriu care se suprapune peste cel existent iniŃial.
-material diamagnetic -material paramagnetic
-material feromagnetic
10 BBB +=
1B - câmpul magnetic propriu al materialului 0B - câmpul magnetic iniŃial
B - câmpul magnetic rezultant
l
dl BM N
sdSΓspireN
magnetica
camp
de
linie
Γ
1B
B
0B
0B
0B
0B
B
1B
0B
0B 1BB
BB 0<
BB 0>
BB 0>>
corp
97
ExplicaŃie microscopică a fenomenului magnetizării Mişcarea electronilor în jurul nucleelor atomilor poate fi asimilată cu un curent
electric ce parcurge o spiră circulară; aceasta creează un câmp magnetic perpendicular pe planul mişcării (a se vedea aplicaŃia la formula Biot-Savart-Laplace).
În mod obişnuit mişcările electronilor sunt relativ haotice astfel încât câmpul magnetic rezultant este nul. Dacă toate orbitele electronilor sunt orientate în acelaşi plan, atunci câmpurile magnetice create au aceeaşi direcŃie şi sens şi câmpul magnetic rezultant este diferit de zero. În natură există materiale care prezintă această calitate; este forma de magneŃii permanenŃi.
Alte categorii de materiale prezintă fenomenul magnetizării numai la introducerea lor într-un câmp magnetic exterior. Acest tip de magnetizare se numeşte magnetizare temporară; cealaltă se numeşte magnetizare permanentă.
Mărimea fizică ce descrie fenomenul la nivel macroscopic se numeşte magnetizaŃie (M - magnetizaŃie).
Asupra unui corp magnetizat cu magnetizaŃia m aflat într-un câmp magnetic exterior de inducŃie B se manifestă un cuplu mecanic
BmC ×= [ ]Nm
∫ ⋅=V
dvMm m - moment magnetic, V-volumul corpului magnetizat
Între inducŃia magnetică şi magnetizaŃie există o relaŃie care depinde de natura
corpului magnetizat. ( )MHB += 0µ (8) - legea legăturii între HB, şi M
H - intensitatea câmpului magnetic, m
AH SI 1=><
Mărimile H şi M nu sunt independente, ci între ele există o relaŃie de forma:
HM m ⋅= χ (9) - legea magnetizaŃiei temporare
mχ - constantă de material, numită „susceptibilitate magnetică” 0<mχ - pentru materialele diamagnetice 0>mχ - pentru materialele paramagnetice
0>>mχ - pentru materialele feromagnetice Din (9) şi (8) rezultă că:
( ) ( ) HHHHHB rmm µµµχµχµ ==+=+= 000 1
mr χµ += 1 - permeabilitatea magnetică relativă a materialului. Este adimensională.
HB µ= (10) - exprimă global legea magnetizaŃiei temporare şi legea
legăturii dintre MHB ,, . • 10 << rµ - materiale diamagnetice • 1>rµ - materiale paramagnetice • 1>>rµ - materiale feromagnetice
98
mHSI
/1=><µ
S Γ
dl
ds
( )0µµ ≠
rµµµ 0= →permeabilitatea absolută a materialelor Există o mare categorie de materiale pentru care mχ respectiv rµ nu sunt
constante în raport cu valoarea lui H şi nici în raport cu direcŃia lui H. Acestea sunt materiale magnetice neliniare (cu referire la modulul lui H), respectiv neizotrope (cu referire la direcŃia şi sensul lui H). Astfel de materiale sunt materialele feromagnetice.
Teorema lui Ampère în mediu oarecare
Teorema lui Ampère în vid:
∫∫Γ
⋅=⋅Γ S
sdJldB 0µ sau Γ
Θ=⋅∫Γ
SldB 0µ
ΓΘS - solenaŃia
⇒≠ 0µµΓ
Θ=⋅∫Γ
SldB 0µ ⇒Γ
Θ=⋅∫Γ
SldB0
1µ
⇒ ⇒Θ=⋅Γ∫
ΓSld
B
0µΓ
Θ=⋅∫Γ
SldH (1)
ObservaŃie: Această teoremă este valabilă numai la sistemele aflate în repaus
)0( =v .
HB µ=
∫∫Γ
⋅=⋅Γ S
sdJldH (1’)
RefracŃia câmpului magnetic la suprafeŃe de discontinuitate
Σ este o suprafaŃă închisă de forma unui cilindru cu înălŃimea mult mai mică decât diametrul bazei care înconjoară punctul.
Legea fluxului magnetic pentru Σ : ∫Σ
=⋅ 0sdB .
∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅Σ lSSS
sdBsdBsdBsdB21
1 2
1u 2u
1B
tB1
tB2 2B
nB2
nnB1
Σnormala
gentatan
lS
dsds
S 2S1
n
n - versorul normalei
99
A
BC
D 2α
1α dl
t
2H
Γ2H
( )n
( )t
1 2
⇒<< 1SS l =⋅⋅+−⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫ ∫Σ 2121
21 )(SSSS
dsnBdsnBsdBsdBsdB
221121
21
SBSBdsBdsB nn
S
n
S
n ⋅+⋅−=⋅+⋅−= ∫∫
( ) ⇒=−=⋅⇒== ∫Σ
01221 nn BBSsdBSSS nn BB 21 = (2)
Teorema lui Ampère pentru Γ :
0=⋅∫Γ
ldH - dacă nu există curenŃi de
conducŃie pe suprafaŃa de separaŃie ( 0=J ).
∫∫∫
∫∫∫∫
⋅+⋅=⋅+
+⋅+⋅+⋅=⋅Γ
D
C
B
A
A
D
D
C
C
B
B
A
ldHldHldH
ldHldHldHldH
S-a considerat că ABBC << şi ABDA << t - versorul tangentei
( ) CDHABHdltHdltHldH tt
D
C
B
A
⋅+⋅−=⋅⋅+−⋅=⋅ ∫∫∫Γ
2121
⇒=−∆=⋅⇒∆== ∫
Γ
0)( 12 tt HHlldHlCDAB tt HH 21 = (3)
La suprafaŃa de separaŃie a două medii se conservă componenta tangenŃială a lui H.
2
1
22
2
1
11
2
2
1
1
2
1
µµ
µµ
αα
=⋅==t
n
n
t
n
t
n
t
H
B
B
H
B
BB
B
tg
tg
2
1
2
1
µµ
αα
=tg
tg (4) - teorema refracŃiei liniilor de câmp magnetic
Circuite magnetice Un circuit magnetic este un ansamblu de piese din material feromagnetic între
care pot exista porŃiuni de aer (întrefier) şi pe care pot fi amplasate bobine. Aceste bobine, atunci când sunt parcurse de curent, creează câmpuri magnetice care se închid în cea mai mare parte prin materialul feromagnetic şi întrefier.
100
Φ
AB
S
µ
dl
icferomagnet
material
din
portiune
A B
dl
H
∫ ⋅=B
A
Def
mAB ldHU (5) - tensiune magnetică. Φ⋅= mABmAB RU (6)
mABR - reluctanŃa magnetică
HSdsHsdHsdBSSS
µµµ ==⋅=⋅=Φ ∫∫∫
(5) ABmAB lHU ⋅=⇒
Se înlocuiesc Φ şi mABU în (6) ⇒⋅=⋅⇒ HSRlH mABAB µS
lR ABmAB ⋅
=µ
(7)
RelaŃia (7) arată că reluctanŃa magnetică depinde numai de dimensiunile geometrice şi de proprietăŃile magnetice ale materialului, prin constanta µ .
În cazul general când secŃiunea porŃiunii de material nu este constantă, iar materialul nu este omogen, reluctanŃa magnetică are expresia:
∫=B
A
mAB dlS
Rµ1
(7’)
Analogia formală intre expresia (6) şi legea lui Ohm de la circuite electrice, precum şi analogia între expresia reluctanŃei magnetice şi expresia rezistenŃei electrice permit numirea expresiei (6) „Legea lui Ohm” pentru circuite magnetice.
Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice Reprezintă instrumente de calcul care permit determinarea distribuŃiei
câmpului magnetic în circuite magnetice.
icferomagnet
material
bobine
refierintÎntrefier (aer)
101
dsdl
A B
CD
1N
2NΓ
magnetic
circuit
de
ochi
Legea fluxului magnetic pentru suprafaŃa
Σ care înconjoară nodul de circuit magnetic se scrie:
+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Σ 321 SSS
sdBsdBsdBsdB
04321
4
=Φ+Φ+Φ−Φ=⋅+ ∫S
sdB
Teorema întâi a lui Kirchhoff:
∑=
=Φn
kk
1
0 (8)
EnunŃ: Suma fluxurilor magnetice incidente într-un nod de circuit magnetic
este zero.
Se aplică teorema lui Ampère pentru curba Γ :
ΓΘ=⋅∫
ΓSldH ⇒
+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Γ
D
C
C
B
B
A
ldHldHldHldH
mDAmCDmBCmAB
A
D
UUUUldH +++=⋅+ ∫
2211 ININS −=ΘΓ
⇒
2211 ININUUUU mDAmCDmBCmAB −=+++
Teorema a doua a lui Kirchhoff:
∑∑==
=p
kkk
p
kmk INU
11
(9)
EnunŃ: Suma algebrică a tensiunilor magnetice ale laturilor de circuit
magnetic ce compun un ochi este egală cu suma algebrică a solenaŃiilor date de bobinele de pe laturile ochiului.
(9)⇔ ∑∑==
Θ=Φp
kk
p
kkmkR
11
(9’)
Analogia formală între teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice şi
cele pentru circuite electrice permite studiul circuitelor magnetice cu ajutorul unor circuite electrice echivalente descrise de ecuaŃii formal identice.
1Φ
2Φ
1S
2S3S
4S
2B
1B
sd
3Φ
3Φ
4Φ
102
•
• •
• •
•
A B C
D E F
1Φ 2Φ 3Φ
1I 2I
I1 I 2 I 3
E1 E 2
R1 R2
R3
R4 R5
R6 R7
Circuit magnetic Circuit electric
Φ I Rm R Um U
Θ = NI E (t.e.m.)
Exemplu: Se dă circuitul magnetic din figură :
Se cunosc:dimensiunile geometrice, 211 ,, NNµ Se cere: 321 ,, ΦΦΦ .
mEF
mBE
mAD
RR
RR
RR
≡
≡
≡
7
2
1
M
33
22
11
222
111
Φ≡
Φ≡
Φ≡
≡
≡
I
I
I
INE
INE
6411 RRRRS ++= (serie) 7532 RRRRS ++= (serie)
Se aplică T1K şi T2K:
−=Φ−Φ
+=Φ−Φ
=Φ+Φ+Φ
222233
11221122
321 0
INRR
ININRR
mSmS
mSmS 321 ,, ΦΦΦ⇒
Circuitul poate fi rezolvat prin orice metodă cunoscută, nu numai prin metoda teoremelor lui Kirchhoff.
Aceste calcule sunt valabile numai dacă materialul magnetic care intră în structura circuitului magnetic este liniar. .ctRm = .
Φ1 Φ2 Φ3
RmS1 RmS2 RmS3
N1I1 N2I2
103
liniar
magnetic
material
H
B Dacă materialul este neliniar, atunci teoremele lui Kirchhoff rămân valabile, cu precizarea că reluctanŃele magnetice care intervin în teorema a doua nu sunt constante, ci depind de fluxuri. Rezolvarea sistemului de ecuaŃii în acest caz, care este un sistem de ecuaŃii neliniare, este mult mai dificilă şi se face prin metode de aproximaŃie sau numerice.
)(Φ= fRm
⇒≠⋅=⋅⋅
=Φ
= ctB
H
S
l
SB
lHUR mm ( )Φ= fRm
În practica inginerească materialele feromagnetice se folosesc adesea în zona liniară a caracteristicilor. În această situaŃie teoremele lui Kirchhoff şi analogiile pot fi utilizate şi pentru exemplul anterior.
InductivităŃi
a) Inductivitatea sau inductanŃa proprie a unei bobine sau a unui conductor oarecare
IL
Def Φ= (10) ,
ΓΦ=Φ S
H
B
pierderi
farasi
histerezis
fara
icferomagnet
material
remanenta
inductieB
rB
cH
coerativ
camp
magnetica prima
de curba
SB
saturatie de inductie−SB
B
H
Curbă de primă magnetizare
câmp coercitiv
( material feromagnetic cu histerezis şi pierderi prin curenŃi turbionari )
I
SΓ
Γ
sd
sd dl
104
B
I
r
N
S
( )1
( )2
21ϕ21dϕ
1ϕ
1I
InductanŃa proprie a unei bobine este egală cu raportul pozitiv între fluxul magnetic printr-o suprafaŃă delimitată de spirele bobinei şi o curbă arbitrară care uneşte capetele ei şi curentul care parcurge spirele bobinei şi provoacă apariŃia câmpului magnetic.
1H=>< SIL , 1A
1m1TA
Wb11H
2⋅== , 0>L
Metodă practică de calcul
Se consideră cazul particular al unei
bobinei amplasate pe un miez magnetic de formă toroidală.
Câmpul magnetic se va închide în totalitate prin acest miez.
fSB Φ≡⋅=Φ - flux fascicular Acesta corespunde secŃiunii delimitate de o singură spiră.
ϕ⋅=Φ⋅=Φ NN f - flux total (se consideră la calculul lui L)
I
NL
ϕ⋅=
FeFe l
INHINlHINldH
⋅=⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∫
Γ
, )2( rlFe π=
⇒=
⋅⋅
=⇒⋅=
==
S
lN
I
Sl
NIN
LSBl
NIHB
Fe
Fe
Fe
µ
µ
ϕ
µµ 2
mR
NL
2
= (11)
RelaŃia (11) poate fi utilizată la calculul inductanŃei proprii. Ea arată că inductanŃa proprie nu depinde de curent ci numai de numărul de spire al bobinei şi de dimensiunile geometrice ale miezului, precum şi de proprietăŃile lui magnetice.
b) InductivităŃi mutuale şi de dispersie
Se consideră două spire, una din ele fiind parcursă de curent. Acest curent creează un câmp magnetic.
11ϕ - fluxul magnetic prin suprafaŃa spirei 1 parcursă de curentul I1.
21ϕ - fluxul magnetic prin suprafaŃa spirei 2.
211121 ϕϕϕ −=d
21dϕ - flux de dispersie
11ϕ - flux propriu
21ϕ - flux mutual
105
11ϕ
21dϕspire 2N
cu
bobnia
1I
spirecu
Bobina
1N
1
11
1
1111 IIL
ϕ=
Φ= (avem 11 =N )
1
21
1
2121 IIL
ϕ=
Φ= - inductivitate mutuală a spirei 2 faŃă de spira 1
1
21
1
2121 II
L ddd
ϕ=
Φ= - inductivitate de dispersie a spirei 1
InductanŃa mutuală poate fi pozitivă sau negativă după cum fluxul 21Φ străbate suprafaŃa delimitată de a doua spiră în acelaşi sens sau în sens opus faŃă de un sens de referinŃă al acestuia corelat cu sensul curentului prin spira 2, dacă acesta există.
1
111
1
1111 I
N
IL
ϕ=
Φ=
(inductanŃa proprie a bobinei 1)
1
212
1
2121 I
N
IL
ϕ=
Φ=
21Φ - fluxul total care corespunde întregii suprafeŃe delimitate de spirele bobinei 2.
12
21
1
11211121 N
NNd ⋅Φ
−Φ
=−= ϕϕϕ
⇒Φ⋅−
Φ=
Φ⇒⋅Φ−Φ=
1
21
2
1
1
11
1
21
121
2
111211
1IN
N
IIIN
NN d
dϕ
212
11121 L
N
NLLd −= (12)
ObservaŃie: Dacă şi a doua bobină este parcursă de curent, atunci fluxul 21Φ
şi implicit 21L pot fi negative, iar relaŃia (12) devine:
212
11121 L
N
NLLd ⋅−= (12’)
Dacă fluxul de dispersie este zero (cazul a două bobine foarte apropiate) atunci
:
111
2
1
11
1
2
1
1
112
1
112211121 L
N
N
IN
N
I
NN
I
NL ⋅=
Φ⋅=
Φ
==⇒=ϕ
ϕϕ
Cuplaj perfect:
⋅=
=
111
221
21 0
LN
NL
dϕ
106
a
b
c
d
*
*
a
b
c
d
*
*
În mod similar se pot defini:
2
2222 IL
Φ= ,
2
1212 IL
Φ= , 12
1
22212 L
N
NLLd ⋅−=
În practică avem MLL == 2112 (reciprocitate).
Coeficientul de cuplaj:2211LL
Mk = ; 10 << k
Cuplaj perfect k=1. Dacă ambele bobine sunt parcurse de curent, fluxul total corespunzător
fiecărei bobine se obŃine prin însumarea fluxului propriu datorat propriului curent şi fluxului mutual datorat celeilalte bobine.
21222 ϕϕϕ +=
⇒⋅+Φ=+==Φ2
121222212222222 N
ILNNNN ϕϕϕ 1212222 ILIL +=Φ
Analog, 2121111 ILIL +=Φ
Marcarea bornelor la bobine cuplate magnetic
Dacă sensurile curenŃilor prin cele două bobine determină fluxuri proprii de acelaşi sens prin circuitul magnetic comun, atunci se marchează la fiecare bobină câte o bornă (borna prin care curentul intră în bobină). Dacă sensurile curenŃilor determină fluxuri care se opun, atunci la una din bobine se marchează borna de intrare, iar la cealaltă borna de ieşire a curentului.
11Φ 22Φ1I 2I
2I1I 11Φ 22Φ
1N2N
107
B
H
S
l
I
Energie şi forŃă în câmp magnetic
Se consideră un sistem de n bobine parcurse fiecare de curent electric. Bobinele pot fi cuplate magnetic între ele. Fiecărei bobine îi corespunde un flux magnetic
nΦΦΦ ,..., 21 . Fluxul 1Φ reprezintă suma dintre fluxul propriu al primei bobine, creat de curentul 1I , şi fluxul mutual datorat cuplajului cu celelalte bobine, provocat de curenŃii nII ...2 .
Energia proprie a câmpului magnetic total corespunzător celor n bobine este:
∑=
Φ=n
kkkm IW
121
(1)
⇒=Φ⇒
Φ=
Φ=⇒=
LII
L
IWn m 21
12
21LIWm = (2)
⇒Φ
=L
IL
Wm
2
21 Φ
= (3) J1=>< SImW (Joule)
NSB ⋅⋅=Φ
lHIN ⋅=⋅ (T. Ampère)
VHBlSHBINSBIWm ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ=21
)(21
)(21
21
Generalizare:
∫∫ =⋅⋅=V
m
V
m dvwdvHBW21
(4)
HBwm ⋅=21
- densitatea volumică de energie, 3J/m1=>< SImw
V – volumul ocupat de câmpul magnetic
Teoremele forŃelor generalizate în câmp magnetic
1. ct
m
x
WX
=Φ∂
∂−= (5) - prima teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic
1e2e
1I
2I
nI
1Φ 2Φ
Φn
en
108
I
N
lFc
S
δ
Rmδ
NI
Rmδ
R Fem
( )fascicularϕ
2. ctI
m
x
WX
=∂
∂+= (6)- a doua teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic
Coordonata x poate avea dimensiuni de lungime sau de unghi. Corespunzător, forŃa generalizată X poate fi o forŃă sau un cuplu.
AplicaŃii: 1)
Se dă: N, I, lFe, δ, S. Se cere: L, Wm Fel - lungimea unei linii de câmp
magnetic în interiorul miezului feromagnetic sau fibra medie a miezului.
m
D
R
N
IL
2
=Φ
=
T2K: ( ) INRR mFem ⋅=+⋅ δϕ 2
mFem RR
IN
+⋅⋅
=⇒δ
ϕ2
mFem RR
N
I
NL
+⋅=
⋅=
δ
ϕ2
2
mFemm RRR +⋅= δ2
S
lR
r
FemFe µµ0
= , S
Rm0µδ
δ =
r
Fe
r
Fe lSN
S
l
S
NL
µδ
µ
µµµδ
+=
+=⇒
22
02
00
2
ObservaŃie: L nu depinde de I.
În general rµ >>1, practic )1010( 43 ÷≈rµ , astfel încât se poate face
aproximarea δµ
20
2 SNL = .
+
==
r
Fe
ml
SINLIW
µδ
µ
2221 2
02
2
109
δ
1N 2N
1I2I
ϕ
**
δ
N
I
S
mobila
armatura
rµ lFe
F
2) Se dă: rFe SLNN µδ ;;;;; 21 Se cere: a) 2112 LL = b) marcarea bornelor
Consider 1I arbitrar.
⇒+
===⇒=⇒
⋅=
Φ=
⋅=
Φ=
r
FelSN
N
NL
N
N
IN
ILNL
N
IL
I
N
IL
I
N
IL
µδ
µ
ϕϕ
ϕ
2
02
1
1
21
1
2
11
11221
1
111
1
11
1
11
1
12
1
2121
r
FelSNN
L
µδ
µ
+=⇒
2
02121
Bornele marcate sunt bornele de intrare ale curenŃilor în cele două bobine, curenŃi ce determină fluxuri proprii de acelaşi sens în circuitul magnetic comun.
3)
Se dă un electromagnet pentru care se cunosc: rFelSIN µδ ;;;;; Se cere: ?=F (forŃa portantă)
ctI
mWF=∂
∂+=
δ
F - forŃa generalizată δ - coordonata generalizată
( )LILIFctI
δδ ∂∂
=
∂∂
==
22
21
21
20
22
20
220
22
22
2222
1
+
−=
+
−⋅=
+∂∂
=
r
Fe
r
Fe
r
Fe l
SNI
l
SNIlSN
IF
µδ
µ
µδ
µ
µδ
µδ
⇒< 0F forŃa acŃionează în sensul scăderii lui δ. Deci sensul real este la fel ca pe figură.
110
SΓ
dl
ds
B
Γ
v
O
Mr
B
Legile generale ale electrodinamicii (regim variabil) (Legile de evoluŃie a câmpului electromagnetic)
Fenomenele naturale au o evoluŃie în timp care se caracterizează în general
prin viteze nenule şi prin mărimi de stare variabile în timp. Regimurile statice şi staŃionare studiate până în prezent constituie
particularizări ale regimului variabil şi reprezintă un suport teoretic deosebit de important pentru studiul fenomenelor reale.
(1) Legea inducŃiei electromagnetice
a) Forma generală
∫∫Γ
⋅−=⋅Γ S
sdBdt
dldE (1)
ΓΓ
=⋅∫ eldE - tensiunea electromotoare
corespunzătoare curbei Γ.
Γ
Γ
Φ=⋅∫ S
S
sdB - fluxul magnetic
dt
de
SΓΦ
−=Γ (1’)
EnunŃ: Tensiunea electromotoare (t.e.m.) corespunzătoare oricărei curbe închise este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic prin suprafaŃa delimitată de această curbă. Legea inducŃiei electromagnetică explică fenomenul de apariŃie a câmpului electric in prezenŃa unui câmp magnetic.
b) Forma integrală dezvoltată
( )∫∫∫Γ
⋅×+⋅∂∂
=⋅⇒=ΓΓ
ldvBsdt
BsdB
dt
drtBB
SS
),(
⇒)1( ( )∫∫∫ΓΓ
⋅×+⋅∂∂
−=⋅Γ
ldBvsdt
BldE
S
(2)
tresd
t
B
S
Γ=⋅∂∂
− ∫Γ
- tensiune electromotoare indusă transformatorică
( )v
eldBv ΓΓ
=⋅×∫ -tensiune electromotoare indusă de mişcare
tr
eΓ -se datorează variaŃiei câmpului magnetic în raport cu timpul
v
eΓ - se datorează deplasării curbei Γ sau a unor părŃi ale curbei în raport cu o referinŃă
v - viteza elementului de lungime dl. c) Forma locală Teorema lui Stokes în relaŃia (2) ⇒
111
SΓ
dl
ds
B
i
( )∫∫∫ΓΓΓ
⋅×+⋅∂∂
−=⋅SSS
sdBvrotsdt
BldErot
( )Bvrott
BErot ×+
∂∂
−= -(3) Forma locală a legii
Este valabilă in medii continue ; deci nu pe suprafeŃe de discontinuitate. În cazul particular al mediilor imobile
t
BErotv
∂∂
−=⇒= 0 (4) - ecuaŃia a doua a lui Maxwell
Particularizare pentru regim staŃionar:
00;0 =⋅⇒=∂∂
= ∫Γ
ldEt
Bv (5)
(teorema potenŃialului electrostatic)
(2) Legea circuitului magnetic (a) Forma generală
∫∫∫ΓΓ
⋅+⋅=⋅Γ
SS
sdDdt
dsdJldH (6)
ΓΓ
=⋅∫ mmuldH -tensiune magnetică
Γ
Γ
=⋅∫ S
S
isdJ -curent de conducŃie total prin SΓ (solenaŃie)
'Γ
Γ
=⋅∫ S
S
isdDdt
d -curent hertzian prin SΓ
'ΓΓ
+=Γ SSmm iiu (6’) EnunŃ: Tensiunea magnetică corespunzătoare oricărei curbe închise este egală cu
suma dintre curentul de conducŃie şi curentul Hertzian prin suprafaŃa delimitată de această curbă.
(b) Forma integrală dezvoltată a legii
),( rtDD = ( ) ldvDsdDdivvsdt
DsdD
dt
d
SSS∫∫∫∫Γ
⋅×+⋅⋅+⋅∂∂
=⋅⇒ΓΓΓ
⇒ ( ) ldvDsdDdivvsdt
DsdJldH
SSS∫∫∫∫∫Γ
Γ⋅×+⋅⋅+⋅
∂∂
+⋅=⋅ΓΓΓ
(7)
∫Γ
⋅∂∂
S
sdt
D - curent de deplasare
112
D
ΓS
Γ
( )ti
+
Γ
rcondensato armatura
ΓS
D
i
∫Γ
⋅⋅S
sdDdivv - curent de convecŃie
∫∫ΓΓ
⋅⋅=⋅⋅S
V
S
sdvsdDdivv ρ - se datorează deplasării sarcinilor electrice
macroscopice prin suprafaŃa ΓS
( ) ldvD∫Γ
⋅× -curent Roentgen (are numai valoarea teoretică în aplicaŃiile
practice inginereşti la frecvenŃe joase şi medii el fiind neglijabil).
(c) Forma locală Aplicând Stokes în (7) rezultă:
( )vDrotDdivvt
DJHrot ×+⋅+
∂∂
+= (8)
Caz particular pentru medii în repaus:
t
DJHrotv
∂∂
+=⇒= 0 (9) - principala ecuaŃie a lui Maxwell
Particularizare pentru regim staŃionar: sdJldH
S∫∫Γ
⋅=⋅Γ
(10) – teorema lui Ampère
Curentul de deplasare explică trecerea curentului variabil în timp prin
dielectricul condensatoarelor. AplicaŃie: 1)
∫∫∫ΓΓ
⋅+⋅=⋅Γ
SS
sdDdt
dsdJldH ; 0≠⋅∫
Γ
sdJS
; 0=⋅∫ΓS
sdDdt
d
∫∫∫ΓΓ
⋅+⋅=⋅Γ
'' SS
sdDdt
dsdJldH
0'
=⋅∫Γ
sdJS
; 0'
≠⋅∫ΓS
sdDdt
d
113
r
( )tBM
NMNU
tBmaxB
( )tUMN
t
∫∫∫ΗΓΓ
⋅∂∂
=⋅=⋅⇒'' SSS
sdt
DsdD
dt
dsdJ )0( =v
2) Se dă o spiră deschisă de forma unui cerc de rază r amplasată într-un câmp magnetic uniform în spaŃiu dar variabil în timp de forma
( ) tBtB ωsinmax= ; ct=ω
Se cere: ?=MNU
∫∫Γ
⋅∂∂
−=⋅Γ S
sdt
BldE )0( =v
MN
M
N
MN
M
firN
N
aerM
UldJUldEldEldE =⋅+=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Γ
ρ
)()(
JE ⋅= ρ -legea conducŃiei electrice valabilă între conductoare J=0-pentru că spira este deschisă
tBt
Bωω cosmax=
∂∂
2max cos rtBsd
t
B
S
πωω ⋅=⋅∂∂∫Γ
trBUMN ωπω cos2max−=
EcuaŃiile lui Maxwell
1)t
DJHrot
∂∂
+= -legea circuitului magnetic
2)t
BErot
∂∂
−= -legea inducŃiei electromagnetice
3) VDdiv ρ= -legea fluxului electric
4) 0=Bdiv -legea fluxului magnetic