BAUG - HS 2011 MECHANIK III KRAFTGESETZE...
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Mechanik III Klausur 1 // Block 1 ETHZ BAUG - HS 2011
25. Januar 2012 S e i t e | 1 Christoph Hager
MECHANIK III chager - Version 1.0 Dr. R. Leine, ETHZ
GRUNDLEGENDE KONZEPTE
VE KTO RE N
Kreuzprodukt im
(
) (
)
DIFF ERE NZ IALBEZ IEU NG E N
Beschreibung Krper: ber SP mit Ortsvektor ( ) [ ]
mit Ausrichtung ( ) [ ]
Geschwindigkeit: ( ) [
] ( ) [
]
Beschleunigung: ( ) [
] ( ) [
]
IMP ULS U ND DR ALL
Impuls:
Drall:
immer bezglich ruhenden Punktes
MA SSE NTR GH E IT SM OM EN T
( ) ( )
Satz von Steiner:
immer im Schwerpunkt, Abstand
Trgheitsmomente
Scheibe / Zylinder
Ring / Hohlzylinder
Stab / Platte
Kugel
Kugelschale
Scheibe
Punkt
S TZE
IMPU LSSA TZ
ussere Krfte (inkl. Eigengewicht)
DRALLSAT Z
SP INSA T Z
Besser als Drallsatz bei Bewegungen um einen Punkt Kein Drallsatz fr , da allg. in Bewegung
VO RG EHE N
TH E ORIE
1. Berechnen von und
2. Differenzieren nach Zeit ,
3. Mit Impuls- und Drallsatz gleichsetzen
AUFGAB EN
1. Freischneiden pro Starrkrper Fr jede Bewegungsmglichkeit eine Variable einfhren
2. Impuls- und Spinstze aufstellen 3. Kinematik anwenden (Geometrie: Randbedingung,
Rollbedingung, Verbindungen Typ Stange) 4. Kraftgesetze fr Federn und Dmpfer verwenden 5. Zwangskrfte eliminieren 6. Gesuchtes berechnen
Wirken keine Krfte und Momente an einem Starrkrper so sind Geschwindigkeiten konstant
SY ST EM E
Haftreibung: Typ Stange Rollen ohne Schlupf: Typ Stange Gleitreibung: Typ Dmpfer
KONS ERVA TIV
Ein System heisst konservativ, falls alle an den einzelnen Starkrpern angreifenden usseren Krfte Potentialkrfte sind. Es gilt die Energieerhaltung
Darf keine dissipativen Elemente haben (Dmpfer, Reibung)
Keine externe Kraftanlegung ( ) ( )
Alle Krfte vom Typ Stange, Feder
ROLLBED IO NU NG
Boden hat immer Kraft , Vorsicht bei Bewegungen des Bodens
KRAFTG E SETZ E
translatorisch rotatorisch
Lineare Feder konservatives Kraftelement
( )
( )
Linearer Dmpfer dissipatives Kraftelement
Ideale Bindung Typ Stange
Vorsicht in welche Richtung defioniert ist! Positiv wenn Feder/Dmpfer auseinander gehen (Zug)
EN ER GIE
Nur wenn System konservativ
K INE TISC H E E NERGI E
( )
( )
( )
Freier Fall:
POT E NTI E LLE E NERGI E
Feder, Torsionsfeder:
( )
Lage:
E NERGI E ERHA LTU NG F R KONS ER VATIV E SYS T EM E
( )
D IFFER E NTIA LB EZI EH U N G E N
BEMERKUNGEN
KO ORDIN AT EN SYSTE ME
Bei Impuls/Spinstze muss und in gleiche Richtung zeigen damit Vorzeichen positiv.
DIFF ERN EZ IER EN
Vorsicht bei Ableiten: ( ) ( )
REIBUNG (COULOMBSCHE) Ist eine dissipative Kraft
HAFTR EIB UN G
| | : Haftreibungszahl
Nur Bedingung keine Gleichung! immer tangential zur Kontaktebene
GLE ITR E IBU NG
| |
| | : Gleitreibungszahl
ist der Bewegung entgegen gerichtet
Keine Bedingung sondern Gleichung!
GEL EN KRE IBU N G
Fhrt zu einem Moment im Lager
HAFTR EIB U NG
ist aus + . Da
gilt
GLEITR EIBU NG Q U ERLA G ER
| |
| |
GLEITR EIBU NG L NGSLA GER
| |
SEILR E IBU NG
Seil um Zylinder oder Welle:
ROLLRE IB UN G
| | | | Rollreibungslnge,
Beginnt Rad zu rollen wird daraus eine Gleichung
RUHE, RESP GGW Ruhe herrscht wenn:
GGW-LAG E
mit und
( ) ( ) ohne Terme
bleiben gleich
PHASENPORTRAIT PENDEL
berschlag GGW-Lage Normal
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LINEARE SCHWINGUNG
GRU NDGL EICHU NG
Bewegungsgleichung: : Masse : Dmpfung : Steifigkeit
( ) ( )
Krafterregung: ( ) ( ) Wegerregung: ( ) ( )
Substitutionen
Dmpfungswert [
]
Eigenkreisfrequenz [
]
( ) dim-lose Zeit
Lehrsche Dmpfung [ ]
( )
(
) normierte Erregerfunktion [ ]
Neue DGL:
( )
HOM OG E NE L SU N G
E IGE NWER T E
( )
( )
[
] Frequenz
[ ] Periode
U NGE DMPF T E SC HWI NG U NG
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Phasenverscheibung
[ ] U NT ERKRI TISC H G ED MP F TE SC H W.
mit
( )
(komplex konjugierte EW) Pseudofrequenz ( )
[ ( ) ( )]
( ) ( )
ist nicht periodisch
Logarithmisches Dekrement:
( )
( ) (
)
Parameter in Praxis bestimmen:
Ausschwingversuch:
KR ITISC H E D MPF U NG
( )
(
)
[
(
) (
) ( )
]
BER KRITIS CH E DMPF U NG
mit
( )
( ) (
)
( ) ( )
GRE NZFA LL
VER LAU F D ER EIG E NWER T E NA CH DMPFU NG
ZEI TK URV E N NA CH DM P FU NG
PART IKUL R E L SU NG
Beschrnkung in Mech III auf harmonische Anregung:
( ) (geht auch mit Sinus)
, ,
Frequenzverhltnis
( )
PARTI KU LR E LSU NG
( )
( ) ( ( ))
AMPLI T UDE N UND P HAS E NGA NG
Amplitudengang: ( )
( )
Phasengang: ( ) (
)
Betrachte Eingangs/Ausgangssignal; Gnge stellen Amplitudenverstrkung und Phasenvernderung dar
BEISPI E LE
( ) ( ) langsame Anregung, keine Vergrsserung
( ) ( )
( )
( ) Phasensprung: ( ) Resonanzamplituden werden Bmmm! (Ansatz fr diese Lsung nicht gltig)
ALLG EM EIN E L SU NG
( )
: System asymtotisch stabil Homogene klingt ab Fr oder : ( ) ( ) (Erregung)
: System Grenzstabil Homogene klingt nicht ab Fall A Schwebung
(Resonanznhe) ,
Langsame zeitvernderliche Amplitude Fall B Resonanz (eig. ) :
Fall A Fall B
Harmonische Anregung:
( )
( )
Ansatz Resonanz: ( ) ( )
Einfache Lsung: ( )
( )
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LINEARE SCHWINGUNG
ALLG EM EIN E STR UKTUR
System mit Freiheitsgraden: ( )
( ) ( ) ( )
lineare DGL 2. Ordnung
Matrizen : , PD, Massenmatrix (invertierbar)
( ) Dmpfungsmatrix (sym)
( ) Gyromatrix (asym)
( ) Steifigkeitsmatrix (Federn, Zentrif.)
( ) Matrix zirkl. Krfte (Rakete)
ZUS TA NDSG LEIC HU NG
(
)
(
( ) ( ))(
) (
( ))
( )
THE ORIE ZW EITER U ND ER ST ER O RDNU NG
HAU PT VE K T ORE N (2. OR D NU NG)
Wenn m-facher EW: (
) ( )
Somit Basisfunktion: ( )
ALLGEM EI NES V ORGE H EN
1. DGL mit Ansatz:
2. Eigenwerte bestimmen:
( )
3. Eigenvektoren und Basislsung bestimmen
( )
bei mehrfachen EW:
( )
( )
Basislsung: ( )
4. Homogene Lsung:
( ) ( )
5. Partikulre Lsung: Ansatz der Rechten Seite ( )
6. Allgemeine Lsung
Bei Winkelfunktionen:
7. Anfangsbedingungen bestimmen Koeffizienten
M-K-SY ST EM
( )
PD, PSD
VORG E HE N
1. DGL mit Ansatz:
Eigenwerte bestimmen:
( )
2. Eigenvektoren und Basislsung bestimmen
( )
bei mehrfachen EW:
( )
( )
Basislsung: ( )
EW sind entweder - paarweise konjugiert imaginr (Schwingung)oder
,
( )
- von gerader Vielfachheit 0 (ungefesselt)
. ( ) ( )
3. Homogene Lsung: ( ) ( ) ( )
4. Anfangsbedingungen bestimmen Koeffizienten
DIA G ON AL IS IERU NG FR MK
Die Matrizen und werde durch die Matrix der EV
[ ]
diagonalisiert: { } { }
Die f EV sind linear unabhngig
ist regulr, invertierbar, Bildet Eigenbasis,
MODA LLOOR DINA T E N
Es gibt: ( ) ( ) ( ) ( )
So wird ( ) zu:
{ } { } ( ) ( )
entkoppelte Gleichungen ( )
Also:
:
( )
M-D -K- SY ST EM N ACH B EQ UE MLI C HKE IT
Dmpfung oft sehr schwer bestimmbar daher: Hypothese:
Matrix U der EV des zugehrigen M-K-System OHNE Dmpfung diagonalisiert das M-D-K-System, wenn D gemss Bequemlichkeit gewhlt wird
Analog:
( )
mit
(
) ; ( ) ( )
(
) Lehrsche Dmpfung der einzelnen
entkoppelten Gleichungen ist unterschiedlich
BEGR IFF E
Vektoren fr die gilt heissen
Massenorthogonal
Matrix der EV beim M-K-System heisst Modalmatrix, Matrix der Moden, Eigenformen
Koordinaten heissen Hauptkoordinaten oder
Modalkoordinaten
Die geom. Schwingungsform, die ber den i- ten EV
beschrieben wird heisst i-te Eigenform EV gibt an, in welchem Koordinatenverhltnis sich das
System in der i-ten Basislsung bewegt
Grssere Eigenwerte grssere Frequenz grssere
ST ABIL IT T MDKG N
Das System ( ) heisst
Asymptotisch Stabil (linear) wenn ( ) ( ) wenn also
Instabil wenn ( ) wenn auch nur 1 ( ) wenn also auch nur 1 oder t-beschrnkten Termen und
Grenzstabil
sonst: (
)
L IN ALG
MATRIX
Symmetrisch, wenn
Schiefsymmetrisch, wenn Positiv definit PD, wenn Positiv semidefinit PSD, wenn
Matrix regulr , A invertierbar und Spalten (Zeilen) linear unabhngig
Matrix singulr , A nicht invertierbar und Spalten linear abhngig
TRA NSF ORMATI ONSM E TH O D E
Problemstellung:
(
)
(
) Alle Gleichungen sind gekoppelt
Idee: Diagonalisieren, einsetzen:
Mit EW und EV: (Gltigkeit nur fr Symmetrische ?)
( ( ) ( )) ( )
( ) mssen hier nicht normiert sein wegen Koeffitenten Neues Gleichungssystem:
Ansatz aus Analysis:
Rcktransformieren mit: ( )
Koeffizienten knnen mit Anfangsbedingungen bestimmt werden
VORG E HE N
1. Eigenwerte bestimmen ( )
2. Eigenvektoren bestimmen ( ( ) ( ))
3. Allgemein Lsungsansatz fr verwenden
Siehe auch Analysis Quickrezepte
4. Rcktransformieren
5. Koeffizienten mit Anfangsbedingungen bestimmen
IN HOM O GE N E D IFF ER ENT IALGL IEC HUNG E N
Problemstellung: , konstant Allgemeine Lsung: ( ) ( ) ( )
Lsung homogene DGL: siehe Transformationsmethode
Lsung partikulre DGL: Suche irgendeine Lsung der inhomogenen DGL:
regulr
Ansatz:
In Grundgleichung einsetzen:
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WELLENGLEICHUNG
WELLE NGL E ICHU N G IN 1 D
ALLGMEI N
( ) ( )
Wobei Wellengeschwindigkeit Luft: Stahl: (lngs) (Torsion) Licht: Mechanische Systeme sind mathematisch Identisch:
SA ITE
D NNER STAB
T ORSIONSS TAB
( ) ( )
ALLGEM EI NE LS U NG NA C H D A LLEMB ERT
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Die tatschliche Gestalt von und wird erst durch AB und RB festgelegt
ZUSAMM E NG E SE TZE K RP ER
RB fr Lngsdynamik
CHARA KTE RIST IK SCH AR E N
Sind Scharen von parallelen Geraden in der - Ebene: Auf diesen Geraden haben die Wellenfunktionen und immer denselben Wert
Betrachtung der Ebenen:
Ebene A, : ( ) ( ) ( )
Ebene B, : ( ) ( ) ( )
Beziehung: ( ) ( )
UMRE CH NU NG S PA NNU NG -G ES CH WINDIG KEI T
BEISPI E L A USBREI T U NG W E LLE AU F SAIT E
HALBU NE NDL ICH E K RP E R
Halbunendlich: Krper hat nur ein Rand Allgemein: ( ) (
) (
)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
REFLE XI ON AM EI NG ESP A NNT EN E ND E
RB: ( ) keine
Aufgabe: fr geg. Rechtswelle Suche res. Linkswelle
RB: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) beliebig
Auslenkung: ( ) ( ) ( ) ( )
Spannung: ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Auslenkung verschwindet Spannung verdoppelt sich
REFLE XI ON AM FREI E N E ND E
RB: keine ( )
Aufgabe: fr geg. Rechtswelle Suche res. Linkswelle
RB: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) beliebig
Auslenkung ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Spannung ( ) ( ) ( ) ( )
Auslenkung verdoppelt sich Spannung verschwindet
ST EHE ND E W ELL EN
Wenn gilt: ( ) ( ) ( ) Ortsfunktion ( ) (resp. Amplitudenform, Form der Welle) Zeitfunktion ( ) (zeitliches Pulsieren)
SEPARA TI ONSANSAT Z NA C H BER NOULLI
( )
( )
( )
( )
Lsung:
( )
( )
Somit:
( ) (
)
(
)
Wobei durch AB und RB bestimmt werden Weiter gilt:
Wellenzahl:
Wellenlnge:
ANW E ND UNG MI T RB B EI ST E HE ND E N W E L LE N
( ) ( ) ( )
Fhrt zu Superposition aller -ten Eigenformen:
( ) ( )
( )
Mit als aus AB zu best. Konstanten (Lage + Geschw)
Einspannung frei-frei / fest-fest frei-fest
Eigenfrequenzen
( )
Wellenzahlen
( )
Wellenlngen
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PHYSIK 1X1
ROLLEN
NICE T O K N OW
Spinsatz kann berall am Krper gemacht werden Am besten beim Rollen-Fusspunkt keine
ist berall am Krper gleich
Impuls funktioniert auch bei Rad (fr Unbek, Auflagerkrfte)
Manchmal hat neben auch Einfluss auf Federn/Dmpfer
DIVERSES SCHWINGUNGEN
ZE IT GE GE N U NDE NDL IC H
: nur betrachten
DIA G NO AL IS IERU NG S - GEB IT SCH E
[
]
[ ( )
( ) ] [
]
Allgemein:
[
( )
( ) ]
Fr , Homerun-Formel:
[
]
Entweder oder berechnen, anderes ber
BEWE GU NG F EST G ELE GT
Finde Beziehung zwischen Koordinaten Bewegung entspricht einem Vektor
Dieser ist Gleichzeitig ein Eigenvektor Somit mssen Parameter der Matrizen Gleichung erfllen:
[ ]
bestimmen und gesuchter Parameter eruieren
IN V ER SE
(
)
( )(
)
ZAHLE NW ERT E
QUADRA T E
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
DIVERSES ZU WELLEN
FELDER
Verschiebungsfeld: ( )
Dehnungsfeld: ( )
Verschiebungsfeld: ( )
PER IOD E
Charakteristiken: meistens
NEB E NBED INU NG E N
AB: ( ) RB: frei: ( ) fest: ( ) Frei/Fest und AB entscheiden ber Vorzeichen Koeff: Bestimmt ob ( ) oder ( )
L IN E AR ER AN SA TZ
Aufteilen der Funktionen entlang Stetigkeit
Bereich I: ( )
Bereich II: ( ) ( )
Bereich III: ( ) ( )
( )
Ansatz fr Linkswelle: ( ) ( )
Mit RB und Stetigkeit entlang Charakteristik bestimmen
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TRIG O N OME TR ISC HE FU N KT ION E N
Aus Geometrie: Einheitskreis
DAS DREI CK
Sinussatz:
Cosinussatz:
Flchensatz:
Wenn rechtwinklig:
WERT E TAB ELLE
( )
( )
( )
BEZI E HU NG E N
( ) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
( ) (
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
TH E OR EME
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
WINKE L EX P
( )
( )
( )
( )
HYP ERBOL ISCH E UND AR E A-FU NK TION E N
( )
( ) ungerade
( )
( ) gerade
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
)
BEZI E HU NG E N
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Zur Hyperbel: ( ) {
Areafunkton weil: Flche unter ( ) und Graf ist immer
( ) ( )
KO ORDIN AT ENT RA N SFOR M AT IO N
KART ESISC H
Zylindrisch Sphrisch
(
)
(
)
(
)
ZY LI NDRISC H
Kartesisch Sphrisch
(
)
SPHRISC H
Kartesisch Zylindrisch
( )
ANW E NDU NG
A. DGL - K ONST. K OEFF . , H OM OG E N
1. Charakteristisches Polynom ( ) eruieren. Bsp.: ( )
2. Jedes der NS von ( ) gibt ein Summenglied der Lsung: o Einfache reelle Lsungen
( )
o P-fache reelle Lsung
( ) (
)
o Einfache komplexkonj. Lsung
( ) ( ( ) ( )) [ ]
o R-fache komplexkonj. Lsung
( ) (
) ( ( ) ( ))
3. Lsung: ( )
B . DGL - K ONST. K OEFF . , I NH OM OGE N
1. Zuerst homogene DLG lsen ( ) Vorgehen wie bei A
2. Betrachte Strfunktion ( ) siehe Tabelle mit Strfunktionen
3. Ansatz fr partikulre Lsung in inhomogene DGL
einsetzen und Koeff. Bestimmen
4. Lsung:
C . DG L - 1.ORD NU NG , H OM OG EN
1. Da DGL separierbar Separation der Variablen:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2. Nach auflsen
D. DG L - 1. ORD NU NG , I NHOMOG E N
1. Zuerst homogene DGL lsen ( ) Vorgehen wie bei C
2. Variation der Konstanten anwenden: Die partikulre Lsung entsteht durch wobei die Konstante durch ( ) ersetzt wird(Siehe auch Tabelle). wird in die inhom.
DGL eingesetzt und kann berechnet werden.
3. Lsung: [ ] krzt sich hufig weg
WINKE LF U NK TI ONE N
( ) ( )
( ) ( )
WINKE LB EGRIFF E
( ) ( ) ( )
mit ( )
ST RFU NKT ION E N
Fr lineare DGL mit konst. Koeffizienten 1. und 2. Ordnung
Strfunktion ( ) Lsungsansatz
Konst Funktion
Lineare Funktion
Polynom Grad n
Exponentialfkt. ( )
1. ist keine Lsung von ( ):
2. ist p-fache Lsung von ( ):
Winkelfunktion ( ) ( ) ( )
1. ist keine Lsung von ( ) ( ) ( )
2. ist p-fache Lsung von ( ):
[ ( ) ( )]
Ist Lsungsansatz bereits eine Lsung der homogenen DGL Ansatz mit multiplizieren.
Ansatz gilt auch wenn Strfunktion konstanten Faktor hat.
( ) muss eine Lsung des homogenen DGL sein; Ansatz ist richtig wenn GLS eindeutig lsbar ist.
Ist ( ) ( ) ( ) so ist
Ist ( ) ( ) ( ) so ist
TIP PS
Ist erst ab n-ter Ableitung vorhanden, Substitution zu
Beginn mit ( ) ( )( )
Sind und nicht vorhanden: DGL mit multiplizieren
QUICKRE ZE PTE
DGL Lsung
( ) ( )
( ) ( ) ( ) = ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
MITTERNACHTSFOMREL
BEFRIFFE Statik: Krfte im unbewegten System Kinetik: nderung Bewegungsgrssen infolge Krfte Dynamik: Statik + Kinetik (Wirkung von Krften) Kinematik: Beschreibung der Bewegung