Bat dang thuc - Vo Quoc Ba Can 1

Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng

1

Cẩn Hằng


CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz.

I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có naaa ,...,, 21 nbbb ,...,, 21

))(()( 222

21

222

21

22211 nnnn bbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaa jiji =∀=

II. Các bài toán áp dụng.

Bài 1. (Jack Garfunkel)

Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức cba ,,

cbaac

ccb

bba

a++≤

++

++

+ 45

Giải.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++⋅++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

∑

∑∑∑∑

cyc

cyccyccyccyc

cbabaacba

cbabaacbaa

cbabaacbaa

baa

)95)(()(5

)95)(()95(

)95)(()95(

2

22

Như thế, ta chỉ cần chứng minh

165

)95)(()( ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++ ∑cyc cbaba

acba

Như điều này hiển nhiên đúng vì

0)95)(95)(95)()()((16

1230232835243)3)(9)((

)95)(()(

165

222423232

≥+++++++++

++++−++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++−

∑∑∑∑

∑

bacacbcbaaccbba

cbabcabcacbabababaab

cbabaacba

cyccyccyccyc

cyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0:1:3:: =cba

Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)

Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng cba ,,

2


511222 ≤+++++ accbba

Giải.


∑∑

∑∑∑∑

+++++

=++

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

⋅++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

cyccyc

cyccyccyccyc

cbabcbaa

cbaba

cbabacba

cbabacbaba

44)(9

449

44)44(

4444

22

22

22

2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng

)(25

12144

)(92

cbacba

bcbaacyc

++≤+++++∑

Ta có

)44)(44)(44(25

6611163

)44)(44)(44(25

1092072519753003163

23224

233224

bacacbcba

Abcababaa

bacacbcba

bcabaabbaaVTVP

cyccyccyccyc

cyccyccyccyccyc

++++++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

=

++++++

+−++=−

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

trong đó

01189825319751210 23322 ≥+++= ∑∑∑∑cyccyccyccyc

bcabaabbaA

Ta chứng minh

06611 23224 ≥−−+ ∑∑∑∑cyccyccyccyc

bcababaa

0612 23222224 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇔ ∑∑∑∑∑∑

cyccyccyccyccyccycbcababcababaa

Ta có

∑∑∑ −=−cyccyccyc

babaa 222224 )(21

3


∑

∑∑

∑∑∑∑∑

−+−=

−+++−−=

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cyc

cyccyc

cyccyccyccyccyc

bcacabba

bacabcabbabc

babcbcacbbcaba

)2)((

))(()(3

)(333

22

2222

222323

∑∑∑ −+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cyccyccycbcacabbcaba 2222 )2(6

Do đó bất đẳng thức tương đương

0)2)((2)2(2)(21 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑

cyccyccycbcacabbabcacabba

0)422(21 222 ≥+−−−⇔ ∑

cycbcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra.


Cho các số không âm chứng minh rằng ,,, cba

2222222 )(43444 cbabacacbcba ++≤+++++

Giải.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑∑∑

cyccyccyccyc cbacbacba

cbacbacbaacba

53)4()(3

53)4()53(4

222

222

22


222

)(163

53)4( cba

cbacba

cyc

++≤++

+∑

0410183065366916545 2232233445 ≥−−−+++⇔ ∑∑∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccyccyc

cbabababcaabbaa

Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với { cbac ,,min= }

0)18306691654545( 32234455 ≥+−−+++ Acbabaabbaba

0))(31015)(5(3 222 ≥+−+++⇔ Acbabababa

Trong đó

4


432234

322322234

456918306165)165436410536()306410410()18536(69

cbccbcbbacbccbbacbcbacbaA

++−−+

++−+++−−+=

Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi

{ ,,,min cbac = } 0≥A

.0:1:1:: =cba

Bài 4.

Cho các số dương , chứng minh cba ,,

233

4

33

4

33

4 cbaac

ccb

bba

a ++≥

++

++

+

Giải.

Bổ đề.

2222333 )(31 cbacabcab ++≤++

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,

233333233

4

)()( cbabaaba

acyccyc

++≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+ ∑∑

Ta phải chứng minh

))(()(2 3232325552333 accbbacbacbacba +++++++≥++

Ta có

)()(31

)()(

)(

))((

)())((

2222222222222

222222222333

222

222222333

222222323232

cbaabcaccbbacbacbacabcab

cbaabcaccbbacabcabcbacabcab

cabcabcbaabc

cbaabcaccbbacabcabcbacabcab

cabcabcbaabccabcabcabcabaccbba

++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++

++++

≤

++−+++++++++

=

+++++−

++++++++++++

=

+++++−++++=++


))((

)(31)())(()(2

222

22222222225552333

cbacbaabc

accbbacbacabcabcbacbacba

++++−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++++++++++≥++

5


Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho ,1=++ cba đặt )10(,3

1 2

≤≤=−

++ qabcrqcabcab thì ta có

.27

)21()1(27

)21()1( 22 qqrqq −+≥≥

+− Bất đẳng thức tương đương

0)5391087(271)1(3))428(54( 246222 ≥+−++−−−+ qqqrqrqr

Rõ ràng là hàm đồng biến theo rqrrf )428(54)( 22 −+= r nên ta có

027

))31()242615(()5391087(271

27)21()1()1(3

27)21()1()428(

27)21()1(54

2222246

22

22

22

≥−++−

=+−++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≥

qqqqqqqq

qqqqqqqqVT

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba ==

Bài 5. (Phan Thành Nam)

Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt cba ,, 1 ,231−=k chứng minh rằng

3)()()( 222 ≤−++−++−+ bakcackbcbka

Giải.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−+

++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≤

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∑∑

∑∑∑∑

cyccyc

cyccyccyccyc

a

cb

a

a

a

cbkaaa

cbkaacbka

31)(

232

31

13

31

)(3

1

31

)(3

1)(

2

2

2

22

2


( ) 3

31)(

232

31

132

≤

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−+

++ ∑∑

cyccyc a

cb

a

a

6


Đặt abcrcabcabq =≤++= ,31 thì ta có .

30

2qr ≤≤ Bất đẳng thức tương đương với

( ) ( ) 036329 ≤+−+ qqr

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) 03)13(3632336329 2 ≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 31

=== cba hoặc 0,1 === cba và

các hoán vị.


Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++

+≤

++

++

+ accbbaabccabbca

1112111222

Giải.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+++++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++⋅

+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

∑

∑∑∑∑

3)())()((

)(2

))((1))((

))((1))((1

2

2

2

2

2

2

cyc

cyccyccyccyc

bcacba

accbbacba

cababcacaba

cababcacaba

bca

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2

2

13)())()(( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+++++ ∑∑

cyccyc cbbcacba

accbbacba

))()()(()333(3)( 2222

2 cbaaccbbacabcabcba

bcacba

cyc ++++++++++

≤+++

⇔∑

))()()((3)( 222222444

2 cbaaccbbaaccbbacba

bcacba

cyc +++++−−−++

≤−++

⇔∑

0))((

11))(( 2 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++

−−⇔∑cyc cbacbbca

caba

Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó ta có ,cba ≥≥ .0)( ≥−≥− cbbaca Do đó

7


0))()()()((

))()(()(

))((11

))((11))((

))((11))((

22

222

22

2

≥++++++++−+−+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++

−−≥

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++

−−∑

cbacbcacabbcabbcacabbacbbabac

cbaaccabb

cbacbbcaa

bcbba

cbacbbcacaba

cyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba ==

III. Bài tập tự giải.

Bài 1. (Nguyễn Việt Anh)


3222222 22

3

22

3

22

3 cbaacac

ccbcb

bbaba

a ++≥

+−+

+−+

+−

Hướng dẫn.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2

2322222

3

))(22(22 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− ∑∑∑∑cyccyccyccyc

abaacbabaababa

a

Cuối cùng ta chứng minh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑∑∑

cyccyccyccycacbabaaaaba 222

2

23 ))(22(3



2222222 )(888 cbabacacbcba ++≤+++++

Hướng dẫn.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑∑∑∑

cyccyccyccyccyc cbacbaa

cbacbacbaacba

210051)8(51

210051)8()210051(8

222222

22

Ta chỉ cần chứng minh

222

)(210051)8(51 cba

cbacba

cyc

++≤++

+∑

8


Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder.

I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder.


Bài 1. (Phan Thành Việt)

Cho các số không âm zyx ,, có tổng bằng , chứng minh rằng 3

3111

≥++

+++

+++ xyx

zzxz

yyzy

x

Giải.

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có

6

3

32

2

)(8)32()32)(1(1

zyxzyxxzyxyzyxyzy

xcyccyccyc

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ ∑∑∑

Do đó ta chỉ cần chứng minh

∑ ++++≥++cyc

zyxyzyxzyx 326 )32)(1(3)(8

∑ ++++++++≥++⇔cyc

zyxyzzyxyzyxxzyx 3227 )32)(9)(3)(()(8

Ta có

∑∑∑

∑∑∑∑−−−

+++++=++

−

cyccyccyc

cyccyccyccyc

zyxzyxyzx

zyxyxyxyxyxxyzyx

VPVT

32234

22233244244

979324

261543926)(4

Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được

∑∑∑∑∑∑∑ ++≥+++++cyccyccyccyccyccyccyc

zyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxy 3223422233244244 979324261543926)(4

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1=== zyx hoặc 0,3 === zyx và các hoán vị.

Bài 2. (Lê Hữu Điền Khuê)

Cho các số dương , chứng minh bất đẳng thức cba ,,

1777 22

2

22

2

22

2

≥++

+++

+++ acac

ccbcb

bbaba

a

Giải.

9


Đặt caz

bcy

abx === ,, thì ta có 1,0,, => xyzzyx . Khi đó, bất đẳng thức trở thành

117

117

117

1222

≥++

+++

+++ zzyyxx

Do nên tồn tại các số dương sao cho 1,0,, => xyzzyx pnm ,, ,,, 4

22

4

22

4

22

pnmz

nmpy

mpnx === ta phải chứng

minh

17 442248

4

≥++

∑cyc pnpnmm

m

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có

3333442248

2

442248

4

)()7(7

pnmpnpnmmmpnpnmm

mcyccyc

++≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++∑∑

Như thế, ta chỉ cần chứng minh

∑ ++≥++cyc

pnpnmmmpnm )7()( 4422483333

0)()725( 443622533336 ≥−+−+⇔ ∑∑symsym

pnmnmpnmpnmnm

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba == hoặc các số

thỏa cba ,, +∞→+∞→cb

ba , và các hoán vị.

Bài 3. (Phan Thành Việt)

Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng cba ,,

23

333 22

3

22

3

22

3

≥+

++

++ ac

ccb

bba

a

Giải.

Bổ đề.

∑∑ −=−−−≥−++cyccyc

babaaccbbacbacba 2442222222222666 44))()((43

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 3

2322

2

22

3

))(3(3 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+ ∑∑∑∑cyccyccyccyc

abacababa

a

10



∑∑∑ ++≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

cyccyccyccabaaba 322

3

2 ))(3(49

∑∑∑ ++++≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇔

cyccyccyccabacbaaba 322

3

2 ))(3()(34

0786122723129 2222332433422456 ≥−−−+−−++⇔ ∑∑∑∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababababaacyccyccyccyccyccyccyccyc

Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng

07561227289 222233243342245 ≥−−−+−++ ∑∑∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababababacyccyccyccyccyccyccyc

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

02 334224 ≥−+ ∑∑∑cyccyccyc

bababa

0756122779 22223324245 ≥−−−++ ∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababacyccyccyccyccyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1=== cba

11


Phần 3. Các bài toán về kỹ thuật bình phương.

I. Các bài toán mẫu.

Bài 1. (Vasile Cirtoaje)

Với mọi số thực thì cba ,,

)(3)( 3332222 accbbacba ++≥++

Giải.

Viết lại bất đẳng thức như sau

033 23222224 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑∑∑∑∑


Chú ý rằng


babaa 222224 )(21

∑

∑∑

∑∑∑∑∑

−+−=

−+++−−=

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cyc

cyccyc

cyccyccyccyccyc

bcacabba

bacabcabbabc

babcbcacbbcaba

)2)((

))(()(3

)(333

22

2222

222323

∑∑∑ −+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cyccyccycbcacabbcaba 2222 )2(

213

Nên bất đẳng thức tương đương

0)2)(()2(21)(

21 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑


0)2(21 222 ≥+−−−⇔ ∑

cycbcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.


Với mọi số thực thì cba ,,

( ) )(3)(13 333444 accbbacbaabccba ++≥++−+++

Giải.

Viết lại bất đẳng thức như sau

12


03 23222224 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑∑∑∑∑


Chú ý rằng


babaa 222224 )(21

∑

∑∑

∑∑∑∑∑

−+−=

−+++−−=

−−=−=−

cyc

cyccyc

cyccyccyccyccyc

bcacabba

bacabcabbabc

babcbcacbbcaba

)2)((31

))((31)(

)(

22

2222

222323

∑∑∑ −+=−cyccyccyc

bcacabbcaba 2222 )2(61

Nên bất đẳng thức tương đương

0)2)((3

1)2(61)(

21 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑


0)2(3

121

222 ≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−⇔ ∑

cyc

bcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.

Bài 3. (Phạm Văn Thuận)

Cho các số thực chứng minh rằng ,,, cba

0)(10)(7 333444 ≥+++++ accbbacba

Giải.

Ta chứng minh kết quả mạnh hơn

4333444 )(2717)(10)(7 cbaaccbbacba ++≥+++++

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương

0102513410186 222334 ≥−−−+ ∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyc

bcabaabbaa

0353410186 2222323224 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇔ ∑∑∑∑∑∑∑∑

cyccyccyccyccyccyccyccycbcababcaabbcababaa

Chú ý rằng

13



babaa 222224 )(21

∑

∑∑

∑∑∑∑∑

−+−=

−+++−−=

−−=−=−

cyc

cyccyc

cyccyccyccyccyc

bcacabba

bacabcabbabc

babcbcacbbcaba

)2)((31

))((31)(

)(

22

2222

222323

∑

∑∑

∑∑∑∑∑∑

−+−−=

−++−−=

−=−=−=−

cyc

cyccyc

cyccyccyccyccyccyc

cabcabba

bacabcabbaca

bacaacbcbcabcbcaab

)2)((31

))((31)(

)()(

22

2222

22222323

)561145)((34101 222323 bccaabbabcaabbcabacyccyccyccyccyc

−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒ ∑∑∑∑∑

∑∑∑ −+=−cyccyccyc

bccaabbcaba 2222 )561145(5282

1

Do đó, bất đẳng thức tương đương với

0)561145(528235)561145)(()(43 222222 ≥−++−+−+− ∑∑∑

cyccyccycbccaabbccaabbaba

0)561145(454252

369

)561145(172

1)561145)(()(43

2

222222

≥−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−+−+−⇔

∑

∑

cyc

cyc

bccaab

bccaabbccaabbaba

0)(172369)561145)(86(

1721 22222 ≥−+−++−⇔ ∑∑

cyccycbacbccaabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0=== cba

II. Bài tập tự giải.

Bài 1. (Vasile Cirtoaje)

Với mọi số thực cba ,,

14


)(2 333333444 accbbacabcabcba ++≥+++++

Bài 2. (Phạm Văn Thuận)

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọ thực i cba ,,

4333 )(278)()()( cbaacccbbbaa ++≥+++++

15


Phần 4. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

I. Tổng quan về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM.


Bài 1. (Phan Thành Nam)

Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng cba ,,

2222 ≥+++++ accbba

Giải.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

∑∑

∑∑∑∑

+++++++

=+++++++++

=

+++++

≥++

++=

+

+=+

cyccyc

cyccyccyccyc

acabbaacabbaba

bcbaababcbaaba

babababa

babababa

bababa

322))((2

)()())()((2

)())((2

)())((

22

22

22

2

22

2

2

2

2

22


cbaacabba

acabbabacyc

++≥+++++++∑ 322

))((22

22

∑∑∑∑∑ +≥++⇔cyccyccyccyccyc

cbacbabcacbaba 2233352425 222

02196

194

199 22423223252525 ≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⇔ ∑∑∑∑∑

cyccyccyccyccycbaaabcbcabaabccbaaccbba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 31

=== cba hoặc

và các hoán vị. 0,1 === cba

16

Bat dang thuc - Vo Quoc Ba Can 1

Documents

Transcript of Bat dang thuc - Vo Quoc Ba Can 1