Basic counting

เอกสารประกอบการเรยนการสอน

วิ�ชา ควิามน�าจะเป�นเบ��องต้�น เร��อง การน�บเบ��องต้�น

อ.ส�วิ�ฒน� ศรโยธี

สาขาวิ�ชาคณิ�ต้ศาสต้ร� โรงเรยนมหิ�ดลวิ�ทยาน�สรณิ�

•How many different four-letter words, including nonsense words, can be produced by rearranging the letters in LUCK ?

•Hint 1: Brute force method•Hint 2 : Tree diagram – how

many ways to go from•Hint 3 : Make a conjecture

Try rearranging these.

• LOOT

• LULL

• MISSISSIPPI

• ในการท*างานหิน+�งอย�าง ถ้�ามข� �นต้อนในการท*างาน k ข��นต้อน

โดยข��นต้อนท� 1 มวิ�ธีท*างาน n1 วิ�ธีและในแต้�ละวิ�ธีของการท*างานข��นต้อนท� 1 จะสามารถ้ท*างานข��นต้อนท� 2 ได� n2 วิ�ธีและในแต้�ละวิ�ธีของการท*างานข��นต้อนท� 2 จะสามารถ้ท*างานข��นต้อนท� 3 ได� n3 วิ�ธี

.

.

.และในแต้�ละวิ�ธีของการท*างานข��นต้อนท� k-1 จะสามารถ้ท*างานข��นต้อนท� k ได� nk วิ�ธีด�งน��น จะมวิ�ธีท*างานได�ท��งส��น n1xn2xn3x…xnk วิ�ธี

กฎการคู�ณ

n1xn2xn3x…xnk=

• ตัวอย่ างที่�� 1 สนามกฬาแหิ�งหิน+�งมประต้0ท��ง 4 ท�ศ ท�ศละประต้0 ถ้�าจะเข�าไปในสนามกฬาน�แล�วิออกมา จะมวิ�ธีเข�าแล�วิออกทางประต้0ได�ก�วิ�ธี– ถ้�าเข�าและออกประต้0ใดก1ได�

4x4 = 16 วิ�ธี– ถ้�าหิ�ามออกประต้0เด�ม

4x3 = 12 วิ�ธี

•ตัวอย่ างที่�� 2 น�กท�องเท�ยวิ 3 คน ต้�องการแยกก�นเข�าพั�กในโรงแรม 4 แหิ�ง โดยไม�ซ้ำ*�าก�นเลยได�ก�วิ�ธี

4 x 3 x 2 = 24 วิ�ธี

• ตัวอย่ างที่�� 3 สมศรมเส��อสแดงลายต้�างๆ 5 ต้�วิ และมเส��อสฟ้6าลายต้�างๆ 6 ต้�วิ ถ้�าสมศรสวิมเส��อได�คร��งละ 1 ต้�วิเท�าน��น จะมวิ�ธีการสวิมเส��อได�ก�วิ�ธี

วิ�ธีท*า

5+6 = 11 ว�ธี�

ในการท*างานหิน+�งอย�าง ถ้�าแบ�งการท*างานออกเป�น k กรณิ

โดยแต้�ละกรณิ มวิ�ธีท*างานเป�น n1

, n2, n3

… , nk วิ�ธี ต้ามล*าด�บและการท*างานแต้�ละข��นต้อนด�งกล�าวิไม�เก�ดร�วิมก�นด�งน��น จะมวิ�ธีท*างานได�ท��งส��น n1+n2+n3+…+nk วิ�ธี

กฎการบวก

• ตัวอย่ างที่�� 4 จงหิาจ*านวินค0�อ�นด�บ (x, y) ซ้ำ+�ง x และ y เป�นจ*านวินเต้1มและ x2+y2 5วิ�ธีท*า

21 ค0�อ�นด�บ

แบบฝึ8กหิ�ด1 .ชาย 3 คน ก�บหิญิ�ง 3 คน มาย�นสล�บชาย-หิญิ�ง ต้�อก�นเป�น

แถ้วิยาวิได�ก�วิ�ธี2. ในการทอดล0กเต้;า 4 ล0ก สแดง สขาวิ สเขยวิและสเหิล�อง

พัร�อมก�น จงหิาวิ�า จะมก�วิ�ธีท�ล0กเต้;าสแดงข+�นแต้�มหิกและล0กเต้;าท��ง 4 ล0กข+�นแต้�มต้�างก�น

3. จงหิาวิ�า มเลขฐาน 8 ท�ม 10 หิล�กท��งหิมดก�จ*านวิน4. จงหิาจ*านวินต้�วิหิารท�เป�นจ*านวินเต้1มบวิกท��งหิมดของ 3005. ใหิ� A = {1, 2, 3, …, 50} และใหิ� S = {(a, b, c)| a,

b, c A, a<b และ a<c} จงหิาจ*านวินสมาช�กของ S

บที่นิ�ย่าม1 .ใหิ� n เป�นจ*านวินน�บ n!=n(n-1)(n-2)…3.2.12.0! = 1

แฟคูที่อเร�ย่ล

การบ�านิ1. จงหิาจ*านวินค0�อ�นด�บ (x, y) ซ้ำ+�ง x และ

y เป�นจ*านวินเต้1มและ x2+y2 42 .จงเขยนผลค0ณิต้�อไปน�ใหิ�อย0�ในร0ป แฟ้คทอ

เรยล 14 ∙12 ∙10 ∙8 ∙6 ∙4 ∙2 15∙13 ∙11 ∙9 ∙7 ∙5 ∙3 ∙1

3. จงหิาต้�วิหิารท�เป�นจ*านวินเต้1มบวิกท��งหิมดของ 472