Bashkësitë - WordPress.com · Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne...

MAT 263 Matematikë Diskrete

Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni

https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/

1

Bashkësitë

Matematika diskrete i dedikohet studimit të strukturave diskrete, të cilat përdoren për të paraqitur

objekte diskrete. Strukturat diskrete ndërtohen nëpërmjet bashkësive, të cilat janë koleksione

objektesh.

Hyrje

Përkufizim: Një bashkësi1 është një grup i pa renditur objektesh, të cilat quhen elementë të

bashkësisë.

Bashkësitë shënohen me gërmat e mëdha të alfabetit, ndërsa elementët e tyre me gërmat e vogla

të alfabetit. Shpeshherë, por jo gjithmonë, elementët e bashkësive gëzojnë veti të njëjta. Për të

treguar që elementi 𝑎 bën pjesë (i përket) në bashkësinë 𝐴 , përdoret shënimi 𝑎 ∈ 𝐴 . Ka disa

mënyra për dhënien e një bashkësie:

Metoda Roster, në të cilën elementët listohen me radhë, për shembull:

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑},

𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}.

Me përshkrim, të një vetie të caktuar që e gëzojnë të gjithë elementët e bashkësisë, për

shembull:

𝑂 = {𝑥|𝑥 numër i plotë pozitiv më i vogël se 10},

ose

𝑂 = {𝑥 ∈ 𝑍+|𝑥 numër tek dhe 𝑥 < 10}.

Disa bashkësi të rëndësishme

Bashkësia e numrave natyror

Numrat natyror janë ata që përdoren për të numëruar ose renditur objekte (njësi) të ndryshme.

1 Ky pwrkufizim wshtw sipas Teorisw naive tw bashkwsive tw Georg Cantor.




2

A është numri zero (0), numër natyror? Disa përkufizime e konsiderojnë 0 numër natyror, dhe disa

të tjera jo.

Disa pro për konsiderimin e 0-s si një numër jo natyror janë:

Përgjithësisht, 0 nuk është aspak numër natyror. Ajo është e veçantë në shumë aspekte;

Njerëzit e fillojnë numërimin nga 1-shi;

Vargu harmonik 1/𝑛 është e përcaktuar për çdo numër natyror 𝑛;

Numri i parë është 1-shi;

Gjatë njëhsimit të limiteve, 0 luan një rol i cili është simetrik në lidhje me ∞, dhe ky i

fundit nuk është numër natyror.

Disa pro për konsiderimin e 0-s si një numër natyror janë:

Pika fillestare në teorinë e bashkësive është bashkësia boshe, e cila mund të përdoret për të

paraqitur 0 në ndërtimin e numrave natyror; numri 𝑛 mund të përcaktohet si bashkësia e

𝑛 numrave të parë natyror;

Kompjuterat fillojnë numërin nga 0;

Mbetjet gjatë pjestimit të një numri të plotë me 𝑛, janë 𝑛 numra të ndryshëm të cilët fillojnë

nga 0 deri në 𝑛 − 1;

Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne na duhen numrat natyror pa

zeron, ndërkohë që është shumë e komplikuar të përcaktosh një element të ri nëse nuk e ke

atë tashmë;

Bashkësia e numrave të plotë, bashkësia e numrave real, bashkësia e numrave kompleks, e

përfshijnë numrin 0. Në këto bashkësi 0 luan një rol më të rëndësishëm se 1, sepse këto

bashkësi janë simetrike në lidhje me 0.

Ekziston një simbolikë për të përcaktuar bashkësinë pa zeron, për shembull 𝑅∗, ose numrat

pozitiv 𝑅+, por nuk ekziston një simbolikë për të përcaktuar një bashkësi të cilës i shtohet

elementi 0.

Grada e një polinomi mund të jetë 0, gjithashtu edhe rendi i derivimit mund të jetë 0.

Pra, në matematikë ka dy përcaktime për bashkësinë e numrave natyror. Sipas përcaktimit

tradicional, bashkësia e numrave natyror është bashkësia e numrave të plotë pozitiv {1, 2, 3, . . . },

ndërsa sipas një përkufizimi që jepet në shekullin e nëntëmbëdhjetë, bashkësia e numrave natyror

është bashkësia e numrave të plotë jonegativ {0, 1, 2, 3, . . . }.

Gjatë këtij kursi, për numrat natyror do të përdoret shënimi

𝑁0 = 𝑁0 = {0, 1, 2, 3, … } .




3

Në disa prej literaturave, ku bashkësia e numrave natyror përputhet me bashkësinë e numrave të

plotë pozitiv, si simbolikë përdoren

𝑁∗ = 𝑁+ = 𝑁1 = 𝑁>0 = {1, 2, 3, … } .

Bashkësia e numrave të plotë, 𝑍 = {0, ±1, ±2, ±3, … }.

Bashkësia e numrave të plotë pozitiv, 𝑍+ = {1, 2, 3, … }.

Bashkësia e numrave racional, 𝑄 = {𝑝

𝑞|𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 dhe 𝑞 ≠ 0}.

Bashkësia e numrave real, R.

Bashkësia e numrave real pozitiv, 𝑅+.

Bashkësia e numrave kompleks, 𝐶 = {𝑎 + 𝑖𝑏|𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑖 = √−1}.

Nëse 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅 dhe 𝑎 < 𝑏 përcaktojmë si vijon bashkësitë e mëposhtme:

Segment (interval i mbyllur)

[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏},

Gjysëm segment (interval gjysëm i mbyllur)

[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏},

Gjysëm interval (interval gjysëm i hapur)

(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏},

Interval (interval i hapur)

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 < 𝑥 < 𝑏}.

Përkufizim: Dy bashkësi 𝐴 dhe 𝐵 do të quhen të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë kur ato kanë

të njëjtët elementë. Me simbolikë shkruajmë,

𝐴 = 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵}.

Bashkësitë {1, 3, 5}, {1, 5, 3} dhe {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5} janë të barabarta.




4

Përkufizim: Bashkësi boshe, quajmë bashkësinë që nuk ka asnjë element. Bashkësia boshe

shënohet me 𝜙 𝑜𝑠𝑒 { }.

Përkufizim: Bashkësia e cila ka saktësisht një element, quhet bashkësi një elementëshe.

Kujdes: Bashkësia 𝜙 dhe {𝜙} janë dy bashkësi të ndryshme.

Diagramat e Venn-it.

Diagramat e Venn-it (John Venn, 1881) mund të përdoren për të dhënë një bashkësi grafikisht.

Bashkësia e cila përmban të gjitha objektet që janë në shqyrtim, quhet bashkësi universale dhe

shënohet me 𝑈 . Bashkësia universale 𝑈 paraqitet me anë të një drejtkëndëshi. Brenda këtij

drejtkëndëshi mund të ndërtohen rrathë ose figura të tjera gjeometrike, për të paraqitur bashkësitë.

Pikat përdoren për të paraqitur elementët e bashkësive. Diagramat e Venn-it përdoren veçanërisht

për të treguar lidhjet që mund të ekzistojnë ndërmjet bashkësive.

Figure Diagrami i Venn-it për bashkësinë e zanoreve në alfabetin anglez.

Nënbashkësitë

Përkufizim: Bashkësia 𝐴 është nënbashkësi e bashkësisë 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo element i

𝐴 është edhe element i 𝐵. Me simbolikë shkruajmë,

𝐴 ⊆ 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵}.

Për të treguar që 𝐴 ⊈ 𝐵, duhet të gjendet të paktën një element 𝑥 ∈ 𝐴, i tillë që 𝑥 ∉ 𝐵.

Teoremë: Çdo bashkësi jo boshe 𝑆 ka të paktën dy nënbashkësi, të cilajt janë 𝜙 dhe 𝑆.

Vërtetim:




5

Le të jetë 𝑆 një bashkësi. Për të treguar që 𝜙 ⊆ 𝑆 duhet treguar që ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝜙 → 𝑥 ∈ 𝑆} është i

vërtetë. Duke qënë se 𝑥 ∈ 𝜙 është një kontradiksion pasi është gjithmonë e gabuar, kemi të

mundshme dy lloje implikimesh të cilat janë gjithmonë të vërteta,

𝐺 → 𝑉 ≡ 𝑉,

𝐺 → 𝐺 ≡ 𝑉.

Për të treguar që 𝑆 ⊆ 𝑆 duhet treguar që ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑆} është i vërtetë. Nëse kemi që

𝑥 ∈ 𝑆 është e vërtetë, atëherë implikimet janë të formës

𝑉 → 𝑉 ≡ 𝑉,

të cilat janë gjithmonë të vërtetë.

Nënbashkësitë e përpikta

Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkësi. 𝐴 quhet nënbashkësi e përpiktë (rigoroze) e

bashkësisë 𝐵 nëse 𝐴 është nënbashkësi e 𝐵 dhe 𝐴 është e ndryshme nga 𝐵 . Me simbolikë

shkruajmë,

𝐴 ⊂ 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵} ∧ ∃𝑥{𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}.

Për të treguar që dy bashkësi janë të barabarta duhet treguar që ato janë nënbashkësi të njëra-

tjetrës,

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴.

Ndodh që elementët e një bashkësie të jenë sërish bashkësi, për shembull

𝐴 = {𝜙, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}}

dhe

𝐵 = {𝑥|𝑥 është nënbashkësi e {𝑎, 𝑏}}.

Vini re se bashkësia 𝐴 është e barabartë me 𝐵.

𝐾𝑢𝑗𝑑𝑒𝑠: Është e vërtetë që {𝑎} ∈ 𝐴 por 𝑎 ∉ 𝐴.




6

Përmasa e një bashkësie

Përkufizim: Le të jetë 𝑆 një bashkësi. Nëse në të gjenden saktësisht 𝑛 elementë të ndryshëm nga

njëri-tjetri, ku 𝑛 është numër i plotë jonegativ, atëherë bashkësia 𝑆 quhet bashkësi e fundme dhe 𝑛

quhet kardinali i saj. Kardinali i bashkësisë 𝑆 shënohet me |𝑆|.

Përkufizim: Një bashkësi quhet e pafundme, nëse ajo nuk është e fundme.

Bashkësia fuqi

Përkufizim: Bashkësia fuqi e një bashkësie 𝑆 është bashkësia e të gjitha nënbashkësive të saj dhe

shënohet me Ρ(𝑆).

Shembull: Le të jetë S={0, 1, 2}. Bashkësia fuqi e saj është

Ρ(𝑆) = {𝜙, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.

Shembull: Bashkësia fuqi e 𝜙, është Ρ(𝜙) = {𝜙}.

Shembull: Bashkësia fuqi e {𝜙} është Ρ({𝜙}) = {𝜙, {𝜙}}.

Teoremë: Nëse S është një bashkësi e fundme e tillë që |𝑆| = 𝑛, atëherë |Ρ(𝑆)| = 2𝑛.

Prodhimi kartezian

Shpesh në një koleksion të caktuar objektesh/elementësh i kushtohet rëndësi renditjes së tyre.

Përkufizim: Një bashkësie renditur me 𝑛 elementë (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛) është një grup i renditur

elementësh ku 𝑎1 është elementi i parë, 𝑎2 është elementi i dytë, e kështu me radhë, 𝑎𝑛 është

elementi i renditur në pozicionin e 𝑛-të.

Bashkësia e renditur me dy elementë quhet çift i renditur, bashkësia e renditur me tre elementë

quhet treshe e renditur.

Dy çifte të renditur (𝑎, 𝑏) dhe (𝑐, 𝑑) janë të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë kur 𝑎 = 𝑐 dhe

𝑏 = 𝑑.

Kujdes: (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) por {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}.

Përkufizim: Prodhim/produkt kartezian të dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 është bashkësia e çifteve të

renditura të elementëve, ku elementi i parë është nga bashkësia 𝐴 dhe elementi i dytë nga bashkësia

𝐵. Shënojmë




7

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}.

Shembull: Le të jetë 𝐴 = {1, 2} dhe 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Cili është prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 dhe 𝐵 × 𝐴?

A janë të barabartë ata? Çfarë ndodh në përgjithësi, a e gëzon prodhimi kartezian vetinë e

ndërrimit?

Zgjidhje:

𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (2, 𝑎), (2, 𝑏)}

𝐵 × 𝐴 = {(𝑎, 1), (𝑏, 1), (𝑎, 2), (𝑏, 2)}

Vëmë re se 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴. Në përgjithësi prodhimi kartezian nuk e gëzon vetinë e ndërrimit, me

përjashtim të rastit kur 𝐴 = ∅ dhe 𝐵 = ∅ ose 𝐴 = 𝐵.

Kujdes:∅ × ∅ = ∅.

Përkufizim: Prodhimi kartezian i një koleksioni të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛 është një

bashkësi bashkësish të renditura, ku elementi i parë është nga 𝐴1, elementi i dytë nga 𝐴2, e kështu

me radhë elementi i 𝑛-të nga 𝐴𝑛 . Shënojmë ,

𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎_𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 𝑝ë𝑟 𝑖 = 1,2, … , 𝑛}.

Shembull: Nëse 𝐴 = {0, 1}, 𝐵 = {1, 2} dhe 𝐶 = {0, 1, 2} prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 =

{(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (0,2,0), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,2,2))}.

Nëse kemi prodhime karteziane të një bashkësie 𝐴 me veten e saj, shënojmë si vijon:

𝐴 × 𝐴 = 𝐴2

ose

𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴 = 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑝𝑤𝑟 𝑖 = 1, … , 𝑛}

Një nënbashkësi 𝑅 e një prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 , do të quhet relacion nga bashkësia 𝐴 në

bashkësinë 𝐵.

Përdorimi i kuptimit të bashkësisë me sasiorët

Në disa raste, kur fusha e shqyrtimit të një sasiori ngushtohet në një bashkësi të caktuar kemi

shkurtimet e simbolikës si vijon:

∀𝑥 ∈ 𝑆{𝑃(𝑥)} është shkurtim 𝑖 ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑃(𝑥)},




8

∃𝑥 ∈ 𝑆{𝑃(𝑥)} është shkurtim 𝑖 ∃𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑃(𝑥)}.

Bashkësia e vërtetësisë dhe sasiorët

Me dhënien e një predikati 𝑃 dhe një fushe shqyrtimi 𝐷, përcaktojmë bsahkësinë e vërtetësisë së

𝑃, si bashkësia që përmban elementët 𝑥 nga 𝐷 për të cilat 𝑃(𝑥) është e vërtetë. Shënojmë,

{𝑥 ∈ 𝐷|𝑃(𝑥)} .

Shembull: Cila është bashkësia e vërtetësisë për 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥), 𝑅(𝑥), ku

𝑃(𝑥) = "|𝑥| = 1"

𝑄(𝑥) = "𝑥2 = 2"

𝑃(𝑥) = "|𝑥| = 𝑥"

në rast se fusha e shqyrtimit të tyre është bashkësia e numrave të plotë.

Zgjidhje:

Bashkësitë e vërtetësisë për 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) dhe 𝑅(𝑥) janë përkatësisht {-1, 1}, ∅, 𝑍+.

Veprimet me bashkësitë

Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkesi. Bashkimi i dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 shënohet 𝐴 ∪ 𝐵

dhe përmban elementët të cilët gjenden në 𝐴 ose në 𝐵.

𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

Me anë të diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë bashkimin e dy bashkësive.




9

Figure 1

Figure 2

Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3} atëherë 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 5}.

Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkesi. Prerja e dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 shënohet 𝐴 ∩ 𝐵 dhe

përmban elementët të cilët gjenden njëkohësisht në 𝐴 dhe në 𝐵.

𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

Me anë të diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë prerjen e dy bashkësive.

Figure 3




10

Figure 4

Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3} atëherë 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3}.

Përkufizim: Dy bashkësi do të quhen jo prerëse/ të papajtueshme nëse ato s’kanë asnjë element të

përbashkët, prerja e tyre të jetë boshe.

Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9} dhe 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10} atëherë 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Shpesh jemi të interesuar për kardinalin e bashkimit të dy bashkësive të fundme A dhe 𝐵. |𝐴| +

|𝐵| numëron saktësisht një herë elementët të cilët gjenden vetëm në 𝐴 (jo në 𝐵) dhe numëron

saktësisht një herë elementët të cilët gjenden në 𝐵 (jo në 𝐴) dhe numëron dy herë elementët të cilët

gjenden njëkohësisht në 𝐴 dhe në 𝐵, domethënë në 𝐴 ∩ 𝐵.

Kështu, |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|. Ky rezultat i përgjithësuar për më shumë se dy bashkësi

të fundme njihet me emrin Parimi i Përfshirje-Përjashtimit, parim i cili është shumë i rëndësishëm

gjatë procesit të numërimit.

Përkufizim: Diferenca e bashkëssisë 𝐴 me 𝐵 shënohet 𝐴 − 𝐵 (ose A\B) dhe përmban elementët të

cilët gjenden në 𝐴 por nuk gjenden në 𝐵. Diferenca e 𝐴 me 𝐵 njihet ndryshe dhe si komplementi i

𝐵 në 𝐴. Shënojmë,

𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

ose

𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ �̅�} = 𝐴 ∩ �̅�.

Me atë diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë diferencën e bashkësive:




11

Figure 5

Figure 6

Figure 7

Përkufizim: Diferencë simetrike të bashkësisë 𝐴 me 𝐵, e shënojmë 𝐴⨁𝐵 dhe përmban elementët

që gjenden në 𝐴 ose në 𝐵, por jo në të dyja bashkësisë njëkohësisht. Me simbolikë shënojmë

𝑥 ∈ 𝐴⨁𝐵 ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)

ose

𝐴⨁𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)} .

Me anë të diagrmait të Venn-it paraqesim diferencën simetrike të dy bashkësive si vijon:

Figure 8




12

Vini re që 𝐴⨁𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴).

Shembull: Le të jetë 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3}. Diferenca e bashkësive janë përkateisht 𝐴 −

𝐵 = {5} dhe 𝐵 − 𝐴 = {2} ndërsa diferenca simetrike është 𝐴⨁𝐵 = {2, 5}.

Përkufizim: Le të jetë 𝑈 bashkëisa universale. Komplementi i bashkësisë 𝐴 në lidhje me 𝑈

shënohet �̅� (ose 𝐴𝑐) dhe �̅� = 𝑈 − 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}.

Me anë të diagramës së Venn-it ilustrohet komplementi i bashkësisë si më poshtë:

Figure 9

Shembull: Le të jetë 𝐴 bashkësia e numrave të plotë pozitiv më të mëdhenj se 5 dhe 𝑈 bashkësia

e numrave të plotë pozitiv. Komplementi i 𝐴 në 𝑈 është bashkësia �̅� = {1, 2, 3, 4, 5}.

Identitetet e bashkësive

1. Ligjet e identikut

𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴

𝐴 ∪ ∅ = 𝐴

2. Ligjet e dominancës

𝐴 ∩ ∅ = ∅

𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈

3. Ligjet e idempotencës

𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴

4. Ligji i komplementit të dyfishtë

�̅̅� = 𝐴

5. Ligjet e ndërrimit

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

6. Ligjet e shoqërimit




13

𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶

𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

7. Ligjet e shpërdarjes (nga e majta)

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

8. Ligjet De Morgan

𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∩ �̅�

𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∪ �̅�

9. Ligjet e përvetësimit

𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴

𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴

10. Ligjet e komplementit

𝐴 ∪ �̅� = 𝑈

𝐴 ∩ �̅� = ∅

Shembull: Tregoni se 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∪ �̅�.

Zgjidhje:

Mënyra e parë:

Tregojmë se janë të vërteta përfshirjet 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊆ �̅� ∪ �̅� dhe 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊇ �̅� ∪ �̅�.

∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⟺ 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ �̅� ∨ 𝑥 ∈ �̅� ⟺ 𝑥 ∈ �̅� ∪ �̅�

Mënyra e dytë:

𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∈ �̅� ∨ 𝑥 ∈ �̅�} = �̅� ∪ �̅�

Shembull: Tregoni që 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) për çdo tre bashkësi A, B dhe C.

Zgjidhje:

Mënyra e parë

Tregojmë se janë të vërteta përfshirjet 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) dhe 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊇

(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶).

∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ⟺

⟺ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶).

Mënyra e dytë




14

Për të treguar vërtetësinë e një identiteti mund të përdorim tabelën e vlerave të përkatësisë, ku nëse

një element i përket një bashkësie, në tabelë vendosim vlerën 1, në të kundërt vendosim vlerën 0.

𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 ∩ 𝐶 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∪ 𝐶 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Krahasojmë kolonën e katërt dhe të fundit. Vemë re se këto dy kolona përputhen. Kjo nënkupton

që identiteti është i vërtetë.

Shembull: Tregoni që 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = (𝐶̅ ∪ �̅�) ∩ �̅�.

Zgjidhje:

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∩ (𝐵 ∩ 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = �̅� ∩ (�̅� ∪ 𝐶̅) = �̅� ∩ (𝐶̅ ∪ �̅�) = (𝐶̅ ∪ �̅�) ∩ �̅�.

Përgjithësimi i bashkimeve dhe prerjeve të bashkësive

Le të jenë 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶 bashkësi.

Përkufizim: Bashkësia 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) përmban elementët të cilët

gjenden në të paktën një nga bashkësitë 𝐴, 𝐵 ose 𝐶.

𝑃ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚: Bashkësia 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) përmban elementët të cilët

gjenden njëkohësisht në të tria bashkësitë 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶.

Raste të mundshme të prerjeve dhe bashkimmeve të tri bashkësive 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶 jepen me anë të

diagramave të Venn-it si më poshtë:

Figure 10

Figure 11

Figure 12




15

Figure 13

Figure 14

Figure 15

Shembull: Le të jenë 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8}, 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4} dhe 𝐶 = {0, 3, 6, 9}. Atëherë kemi që

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} dhe 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0}.

Përveç rasteve ku kërkohet prerja ose bashkimi i tre bashkësive, mund të dallojmë edhe rastet kur

kemi të bëjmë me një koleksion të fundëm bashkësish ose një koleksion të pafundëm bashkësish.

Përkufizim: Bashkimi i një koleksion të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 është një bashkësi e cila

përmban ato elementë të cilët gjenden në të paktën një prej bashkësive të koleksionit,

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = ⋃ 𝐴𝑖 = {𝑥|∃𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.

𝑛

𝑖=1

Përkufizim: Prerje e një koleksioni të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 është një bashkësi e cila

përmban ato elementë të cilët gjenden njëkohësisht në të gjitha bashkësitë e koleksionit,

𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 = ⋂ 𝐴𝑖 = {𝑥|∀𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.

𝑛

𝑖=1

Shembull: Për 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 le të jetë 𝐴𝑖 = {𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } . Përcaktojmë prerjen dhe

bashkimin si vijon:

⋃ 𝐴𝑖 = ⋃{𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } = {1, 2, 3, … } = 𝐴1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

⋂ 𝐴𝑖 = ⋂{𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } = {𝑛, 𝑛 + 1, … } = 𝐴𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Përkufizim: Bashkimi i një koleksion të pafundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, … është një bashkësi

e cila përmban ato elementë të cilët gjenden në të paktën një prej bashkësive të koleksionit,




16

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ∪ … = ⋃ 𝐴𝑖 = {𝑥|∃𝑖 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.

∞

𝑖=1

Përkufizim: Prerje e një koleksioni të pafundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, … është një bashkësi e

cila përmban ato elementë të cilët gjenden njëkohësisht në të gjitha bashkësitë e koleksionit,

𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 ∩ … = ⋂ 𝐴𝑖 = {𝑥|∀𝑖 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.

∞

𝑖=1

Ne mënyrë të ngjashme, nëse 𝐼 është bashkësia e indekseve të bashkësive të koleksionit, për

prerjen dhe bashkimin e bashkësive 𝐴𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 shënojmë:

⋂ 𝐴𝑖

𝑖∈𝐼

= {𝑥|∀𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖},

⋃ 𝐴𝑖 =

𝑖∈𝐼

{𝑥|∃𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.

Shembull: Le të jetë 𝐴𝑖 = {1, 2, 3, … , 𝑖}, për 𝑖 = 1, 2, 3, …. Kemi që,

⋃ 𝐴𝑖 = ⋃{1, 2, 3, … , 𝑖} = {1, 2, 3, … } = 𝑍+

∞

𝑖=1

∞

𝑖=1

,

⋂ 𝐴𝑖 = ⋂{1, 2, 3, … , 𝑖} = {1}

∞

𝑖=1

.

∞

𝑖=1

Bashkësitë - WordPress.com · Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne...

Documents

Transcript of Bashkësitë - WordPress.com · Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne...