Barra AB Z Dimensiones en centímetros · Fuerzas y momentos sobre la sección transversal de la...

Problema resuelto

F6

F3F2

A

F1

B

F5

F4

Z

F7Y

X

Barra AB

Dimensiones en centímetros

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Problema resuelto

La barra AB esta sometida a siete fuerzas, talcomo se muestra en la figura, asumiendo que elpunto “S” en el empotramiento es el crítico y quedebido a las condiciones de temperatura, sujecióny concentración de esfuerzos se producen:

σy=350 Kpa yz=-180 KPa σz=300KPa

Si E=210 GPa y =0,25 determine


a) La dirección del plano respecto a RST, queposee el siguiente esfuerzo resultante

b) Usando el círculo de Mohr, el estadoresultante de esfuerzo y deformación, sobre unplano que la normal posee 17,56º con R;72,56º con S y 88,20º con T

kjisˆ004,426ˆ781,210ˆ56,177


Matriz de los cosenos directores entre XYZ y RST

X Y Z

R -0,404 0,017 0,914

S -0,752 -0,575 -0,322

T 0,520 -0,818 0,245


Fuerzas

F1 = 10 KN F2 = 10 KN F3 = 18 KN F4 = 12 KN F5 = 20 KN F6 = 7 KN F7 = 13 KN


Sección transversal de la barra AB

105 555 10551010

5

55

5

55

2,52,52,52,5

Z

Y


s

Fuerzas y momentos sobre la sección transversal de la barra AB


My1+My2

Mz3+Mz6

Mz4+Mz5+Mz7

F3+F4

z

y

Área de la sección transversal

222,0

103020510524070

mA

xxxxA


Parte a

Momentos de inercia de la sección transversal

43

23333

43

23333

10508,10

25105121052

122052

123010

127040

103896,3

5,12520125202

125102

121030

124070

mxI

xxxxxxI

mxI

xxxxxxI

z

z

y

y


33

33

1025,9

5,172051525102

10625,20

5,32555,175525205,25,2225152

mxQ

xxxxxYAQ

mxQ

xxxxxxxxYAQ

z

zz

y

yy


Esfuerzo normal

KPa

xxxx

xxxxx

ICM

ICM

AF

x

x

y

zy

z

yzxx

262,335

103896,31010104

10508,101010105,8

22,01030

3

23

3

233


Esfuerzos cortantes

KPa

xxxxxx

bIVQ

KPaxxxxxx

bIVQ

xz

yy

zzxz

xy

zz

yyxy

157,109

1050103896,310201025,9

163,255102010508,10102610625,20

23

33

23

33


Tensor de esfuerzo referido al sistema XYZ

000,300000,180157,109000,180000,350163,255157,109163,255262,335

XYZij


Transformación de ejes

tijijijij

ij

aa

a

XYZRST

245,0818,0520,0322,0575,0752,0914,0017,0404,0


Tensor de esfuerzos referido al sistema RST

4346,4428,292227,39428,292106,164799,102227,394799,102287,106

RSTij


º605,0º457071,0

º605,0

ˆˆ 1

nm

l

obtienesedondede

nn sijijs RSTRST


Los cosenos l,m, y n, también pueden ser hallados aplicando el siguiente sistema de ecuaciones

nmlS

nmlS

nmlS

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx


Sustituyendo se tiene:

004,4264346,4428,292227,394

781,210284,292106,164799,102

56,177227,394799,102287,106

nml

nml

nml


Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:

º605,0

º457071,0

º605,0

n

m

l


222

3

2222

1

2 RSTRTSSTRSTRTRSTSR

STRTRSTRTSSR

TSR

I

I

I

4346,44106,164287,1061 I

Sustituyendo los valores se tiene


Parte b

222

2

28,292227,394799,102

4346,44287,1064346,44106,164106,164287,106

I

2223

199,1024346,44227,394106,16428,292287,106

28,292227,394199,10224346,44106,164287,106

I


KPaI

KPaI

KPaI

91,57968851

3642,221879

8276,314

3

2

1


Entonces los valores de los invariantes de esfuerzo son

Sustituyendo los valores de los invariantes obtenidos anteriormente se tiene:

091,579688513642,2218798276,314 23 iii

KPaKPaKPa

3433,4540452,2421257,527

3

2

1

De donde se obtiene


0322

13 III iii

Para hallar los esfuerzos principales se hace uso de la ecuación:

22221

331

232

1

CCC

22221

331

232

1

RRR

Para hallar los centros y radios de los círculosde Mohr se hace uso de las ecuacionessiguientes


KPaC

KPaC

KPaC

5855,3842

0452,2421257,527

3912,362

4233,4541257,527

1491,1062

3433,4540542,242

3

2

1


Sustituyendo los valores correspondientes se tiene que

905,1422

0452,2421257,527

7345,4902

3433,4541257,527

1943,3482

3433,4540452,242

3

2

1

R

KPaR

KPaR

Sustituyendo los valores correspondientes se tiene que


KPaCKPaC

KPaC

5855,3843912,361491,106

3

2

1

KPaRKPaRKPaR

905,1427345,4901943,348

3

2

1

Los centros y radios de los círculos de Mohr son entonces:


Direcciones principales

STRT

iRRSi

RTiT

RSTSi

iTST

TSiSi

C

BA


227,3941257,527106,16428,292799,102

1257,5274346,44799,102227,39428,292

28,29228,2921257,5274346,441257,527106,164

1

1

1

C

xB

xA

07,11306650,6560488,89798

1

1

1

CBA

Sustituyendo y resolviendo los determinantes se obtiene


21

21

21

11

21

21

21

11

21

21

21

11

CBACN

CBABM

CBAAL

7129,0

4137,0

5667,0

1

1

1

N

M

L


Direcciones principales para el eje 1

227,3940452,242106,16428,292799,102

0452,2424346,44799,102227,39428,292

28,29228,2920452,2424346,440452,242106,164

2

2

2

C

xB

xA

6453,6794955,949109863,70025

2

2

2

CBA




22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

CBACN

CBABM

CBAAL

0058,0

8047,0

5937,0

2

2

2

N

M

L


227,3943433,454106,16428,292799,102

3433,4544346,44799,102227,39428,292

28,29228,2923433,4544346,443433,454106,164

3

3

3

C

xB

xA

5039,273855

5369,166498

2447,223041

3

3

3

C

B

A

Direcciones principales para el eje 3Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

23

23

23

33

23

23

23

33

23

23

23

33

CBACN

CBABM

CBAAL

7014,0

4264,0

5712,0

3

3

3

N

M

L

Direcciones principales para el eje 3Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Direcciones del plano al que se va a referir el círculo de Mohr

0314,020,88cos3002,053,72cos9534,056,17cos

nml


nnnN

nnnMnnnL

ˆˆcos3,cosˆˆcos2,cos

ˆˆcos1,cos

3

2

1

Para hallar las nuevas direcciones se hace uso de:

º4131,496506,0*º9232,1083243,0*

º65,466864,0*

NML

Con las ecuaciones anteriores obtenemos entonces

Direcciones del plano al que se va a referir el círculo de Mohr


Constante de Lame

73911

109

1049,7108276,3141021025,02121

104,825,02125,01

25,010210211

xxx

IE

J

xxE


3

49,4131°

12C2C1

J1

46,65°

C3

s

t

n

/2


2Gn

Coordenadas del punto solución

KPa

KPa

KPa

s

t

n

470

460

85

mmx

mmx

mmx

s

n

/107407,2

/107381,22

/101905,1

6

6

7


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