Bar i Sander Etta Khing Ga
-
Upload
adexa-putra -
Category
Documents
-
view
141 -
download
0
Transcript of Bar i Sander Etta Khing Ga
MATERI KULIAH
๐1 Kalkulus Lanjut
BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA
Sahid, MSc.
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2010
gunakan beberapa persegi berukuran 1 ร 1 ๐๐2. Apabila gambar tersebut dilanjutkan,
BARISAN DAN DERET DI SMA:BARISAN & DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
A. Kompetensi yang diharapkan
1. Menentukan suku ke-n (atau pola) suatu barisan bilangan2. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama suatu deret
aritmatika3. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri dan jumlah n suku pertama suatu deret
geometri4. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga5. Menuliskan suatu deret aritmetika dan suatu deret geometri dengan notasi sigma6. Menyelesaikan masalah matematika yang berkaitan dengan barisan dan deret
B. Indikator
1. Menentukan pola atau rumus suku ke-n suatu barisan bilangan2. Menjelaskan pengertian suatu barisan bilangan3. Menjelaskan cara-cara menuliskan suatu barisan bilangan4. Menjelaskan pengertian barisan aritmetika dan barisan geometri5. Menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika6. Menentukan rumus suku ke-n suatu barisan geometri7. Menjelaskan pengertian suatu deret bilangan8. Menuliskan deret aritmetika dan deret geometri dengan notasi sigma9. Menentukan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika10. Menentukan rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri11. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
C. Pola Bilangan dan Barisan Bilangan
Untuk membahas tentang barisan dan deret bilangan kita mulai dengan permasalahan-permasalahan sebagai berikut.1. Menata tempat duduk. Di sekeliling sebuah meja persegi dapat ditem-patkan empat kursi.
Di sekeliling dua meja persegi yang dijajarkan merapat dapat ditempatkan enam kursi, danseterusnya seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Ada berapa kursi yang dapat ditatajika terdapat 10 meja?
2. Perhatikan pola pada gambar di bawah ini yang masing-masing disusun dengan meng-
pada gambar ke berapakah yang mempu-nyai keliling 40 cm?
d. ๐๐ = ๐ร(๐+1)2 , ๐ = 1, 2, 3
, โฆ
c. ๐๐ = 3๐โ1, ๐ = 1, 2, 3, โฆa. ๐๐ = 2(๐ + 1), ๐ = 1, 2, 3, โฆ3. Dengan menuliskan rumus suku ke-๐ (suku umumnya), misalnya:
biasa ditulis dengan simbol ๐๐, ๐ข๐, ๐ ๐, ๐ก๐ dan sebagainya, sehingga suatu barisan biasaSuku ke-๐ (sering disebut juga suku umum) suatu barisan adalah kawan bilangan asli ๐, danBarisan yang mempunyai domain himpunan semua bilangan asli {1, 2, 3, โฆ } disebut barisanBarisan yang mempunyai domain himpunan bilangan asli berhingga {1, 2, 3, โฆ , ๐}, untuk suatu
= 2 = 2 = 2 = 2
3๐โ1= 30 = 31 = 32 = 33
2๐ ร (๐ + 1)๐
yakni pada gambar ke-n banyaknya segitiga berwarna adalah 3๐โ1. Jadi, pada gambar ke-
๐
gambar ke-n adalah 4 ร (2๐ โ 1) โ 2 ร (2๐ โ 2) = 4๐. Jadi, bangun yang mempunyai
๐ โ 1 ๐
banyaknya meja dan banyaknya kursi, yakni jika terdapat ๐ meja, maka terdapat 2 ร ๐ + 22 ร ๐ + 2๐
3. Perhatikan pola geometri di bawah ini. Apabila pola tersebut dilanjut-kan tanpa berakhirakan dihasilkan sebuah fraktal yang disebut segitiga Sierpinski. Apabila gambar tersebutdilanjutkan, terdapat berapa segi-tiga berwarna pada gambar ke-10?
4. Berikut adalah gambar beberapa lingkaran yang disusun dengan mengi-kuti pola tertentu.Apabila gambar tersebut dilanjutkan, berapakah banyaknya lingkaran pada gambar ke-10?
Marilah kita bahas satu per satu permasalahan-permasalahan di atas. Untuk menjawab setiapmasalah, kita dapat membuat tabel yang sesuai.
1. Untuk masalah pertama, kita buat tabel sebagai berikut.
Dengan memperhatikan pola susunan meja dan kursi, ternyata terdapat hubungan antara
kursi. Jadi, jika terdapat 10 meja, maka terdapat 22 kursi.
2. Untuk masalah kedua juga kita buat tabel sebagai berikut.
4 ร (2๐ โ 1) โ 2 ร (2๐ โ 2)Dengan memperhatikan pola gambar dan tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa keliling
keliling 40 adalah gambar ke-10.Catatan: Perhitungan keliling di atas diperoleh dari menjumlahkan keliling semua persegidikurangi panjang sisi-sisi yang tidak dihitung. Anda mungkin dapat langsung menyim-pulkan rumus keliling bangun dengan memperhatikan pola bilangan pada baris ketiga padatabel di atas.
3. Lagi-lagi, untuk menyelesaikan soal nomor tiga kita juga dapat membuat tabel sebagaiberikut.
Perhatikan bahwa bilangan-bilangan pada baris kedua membentuk suatu pola tertentu,
10 terdapat
39 segitiga
berwarna.
4. Sekali lagi, untuk menyelesaikan soal nomor 4 kita dapat membuat tabel sebagai berikut.
1ร2 2ร3 3ร4 4ร5
Dengan demikian, banyaknya lingkaran pada gambar ke-10 adalah 55.
Banyaknya meja 1 2 3 ...Banyaknya kursi 4 6=2x2+2 8=2x3+2 ...
Gambar ke 1 2 3 4 ...Banyaknya setitiga berwarna 1 3 9 27 ...
Gambar ke 1 2 3 4 ...Banyaknya lingkaran 1 3 6 10 ...
Gambar ke 1 2 3 ...Banyaknyapersegi
1 3 5 ... 2
Keliling bangun 4=4x1 8=4x3-2x2 12=4x5-2x4
maka ๐๐+1 โ ๐๐ = ๐ atau ๐๐+1 = ๐๐ + ๐ untuk ๐ = 1, 2, 3, โฆ dengan ๐ suatu bilanganselisih (biasanya disimbolkan dengan b). Jadi, jika ๐๐ adalah suku ke-๐ suatu barisan aritmetika,
10. โ2, 2, โ6, 2โ2, โ10, โฆ1, 26, 99, 244, โฆ3, 12, 25, 42, 63, . .
.
โ2, 7, 22, 43, 70, . .
.
4, 6, 8, 10, โฆ11, 14, 17, 20, โฆ1, โ3, 5, โ7, 11, โฆ4, 7, 10, 13, โฆ2 3 4 51 2 3 4, , , ,โฆ1, 4, 7, 10, โฆa) menuliskan rumus suku ke-๐
d. ๐1 = 1; ๐๐ = ๐๐โ1 + ๐, ๐ = 2, 3, 4, โฆb. ๐1 = 4; ๐๐ = ๐๐โ1 + 4, ๐ = 2, 3, 4, โฆa. ๐1 = 4; ๐๐ = ๐๐โ1 + 2, ๐ = 2, 3, 4, โฆ
barisannya takdengan simbol
Dari contoh-contoh soal di atas kita dapat menuliskan barisan bilangan yang sesuai sebagaiberikut.
1. Banyaknya kursi : 4, 6, 8, ...2. Keliling bangun : 4, 8, 12, ...3. Banyaknya segitiga berwarna : 1, 3, 9, 27, ...4. Banyaknya lingkaran : 1, 3, 6, 10, ...
Bilangan-bilangan pada masing-masing contoh tersebut membentuk suatu barisan bilangandengan pola tertentu. Tanda tiga titik (...) menunjukkan adanya bilangan-bilangan berikutnya,sebanyak tak hingga. Selain itu, setiap bilangan pada masing-masing barisan selalu dikaitkandengan suatu bilangan asli yang menunjukkan posisi bilangan tersebut (dalam konteks contoh-contoh di atas, posisi menunjukkan gambar ke-n). Jadi, kita dapat meman-dang suatu barisansebagai suatu fungsi yang domainnya berupa himpunan bilangan-bilangan asli.
Definisi:Suatu barisan bilangan adalah suatu fungsi yang mempunyai domain (daerah asal) himpunanbilangan-bilangan asli berturuan mulai dari 1.
bilangan asli
๐, disebut barisan berhingga.tak berhingga.
Setiap bilangan (kawan suatu bilangan asli) dalam suatu barisan disebut suku barisan tersebut.
dinyatakanberhingga.
seperti {๐๐}. Apabila rentang nilai ๐ tidak ditulis, dianggap
Suatu barisan dapat ditulis dengan berbagai cara, yakni sebagai berikut.
1. Dengan menuliskan semua sukunya (khusus untuk barisan berhingga), misalnya:a. 1, 2, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 5, 10.b. 1, -1, 2, -2, 3, 4, 5, -5, 1.c. 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 7.
2. Dengan menuliskan beberapa suku pertama, seperti contoh-contoh sebelumnya. Contohyang lain adalah sebagai berikut:a. 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...b. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...c. 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...d. 1, 2, 4, 8, 16, ...
b. ๐๐ = 4 ๐ , ๐ = 1, 2, 3, โฆ
3
4. Dengan menuliskan hubungan antara dua suku berturuan (hubungan rekursif), asalkansalah satu suku diketahui, misalnya:
๐๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐)๐, ๐ = 1, 2, 3, . ..๐ = ๐ ๐๐ โ
๐ .
๐๐+1 = ๐๐ + ๐, ๐๐+2 = ๐๐+1 + ๐ = ๐๐ + 2๐, โฆ , ๐๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐)๐,Selanjutnya, misalkan ๐ adalah beda barisan aritmetika tersebut. Menurut definisi barisanMisalkan diketahui ๐๐ dan ๐๐ adalah dua suku suatu barisan aritmetika dengan ๐ > ๐.
4) Jika diketahui jumlah ๐ suku pertama dan beda, maka suku ke-๐ dapat diketahui.diketahui tersebut, maka suku ke-๐ dan beda dapat dihitung;2) Jika diketahui salah satu suku dan beda, maka suku ke-๐ dan jumlah ๐ suku pertama dapat
1) Apabila diketahui dua suku, maka beda dan jumlah ๐ suku pertama barisan aritmetika
๐1 + ๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐ + ๐๐+1 + โฏ,Deret berhingga tersebut juga dapat dipandang sebagai(dinamakan) jumlah parsial ke-๐ dari
berhingga yang terdiri atas ๐ suku biasanya dituliskan dengan simbol ๐๐, yaknic. ๐1 = 1; ๐๐ = 3๐๐โ1, ๐ = 2, 3, 4, โฆ
5. Dengan menyebutkan sifat-sifat bilangan pada barisan, misalnya:a. Barisan bilangan genap positif: 2, 4, 6, 8, ...b. Barisan bilangan ganjil positif: 1, 3, 5, 7, ...c. Barisan bilangan prima kurang dari 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.d. Barisan bilangan kuadrat: 1, 4, 9, 14, 25, ...e. Barisan bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Dari contoh-contoh di atas dapat diketahui bahwa terdapat barisan bilangan yang tidak berpoladan terdapat barisan bilangan yang mempunyai pola. Barisan yang tidak berpola hanya dapatdiketahui dengan menuliskan semua sukunya, sedangkan barisan yang bepola dapat diketahuidengan berbagai cara seperti dijelaskan di atas. Pola bilangan dalam suatu barisan juga menun-jukkan aturan pembentukan barisan tersebut. Selanjutnya kita hanya akan membahas barisandengan pola tertentu, yakni barisan aritmetika dan barisan geometri. Sebelum berlanjut,silakan Anda kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.
Latihan 1:Nyatakan setiap barisan di bawah ini dengan cara:
b) menuliskan hubungan antar dua suku berturutanc) dengan menyebutkan sifat-sifat bilangannya1.2.3.4.5.6.7.8.9.
D. Barisan dan Deret Aritmetika
Definisi:
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai suatu pola tertentu, yakni selisihsetiap dua suku berturutan sama atau tetap. Dengan kata lain, setiap suku kecuali sukupertama pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah/menguranginya dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan beda atau
(konstanta) tertentu.
Suatu deret adalah jumlah suku-suku suatu barisan. Apabila barisan yang dijumlahkanmempunyai tak berhingga banyak suku, maka deretnya disebut deret tak hingga. Jikabanyaknya suku berhingga, maka deretnya disebut deret berhingga. Hasil jumlahan suatu deret
๐บ๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐.deret tak hingga
Khususnya juga, ๐1 = ๐๐ + (1 โ ๐)๐ atau ๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐. Persis seperti
hasil
๐๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐)๐, ๐ = 1, 2, 3, โฆ.
2 ๐๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ โ ๐๐๐ โ ๐ ๏ฟฝ = ๐๐ + ๐๐2
.
๐๐+๐ = ๐๐ + ๐๏ฟฝ โ ๐๐๐+๐ = ๐๐ + ๏ฟฝ๐+๐ โ ๐๏ฟฝ ๐ dengan ๐ = ๐
๐๐โ๐
10 + 30 = 40.Diketahui ๐5 = 10, ๐ = 3. Menurut rumus yang sudah diperoleh, ๐15 = ๐5 + (15 โ 5)๐ =
๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐, ๐ = 2, 3, 4, โฆdan beda (๐) suatu barisan aritmetika sebagai berikut:
Misalkan ๐๐ adalah suku ke-๐. Dari hasil pada kasus I diperoleh bahwa:Misalkan diketahui ๐๐ adalah suku ke-๐ suatu barisan aritmetika yang mempunyai beda ๐.
genap (habis dibagi 2). Suku yang terletak di tengah-tengah antara ๐๐ dan ๐๐ adalah:pada suatu barisan aritmetika. Jadi, (๐ โ ๐) dan (๐ + ๐) merupakan bilangan-bilanganMisalkan suku-suku ๐๐ dan ๐๐ (dengan ๐ > ๐) mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain
๐๐ = 3 + (๐ โ 5)5 = (โ17 + 4 ร 5) + (๐ โ 5)5 = โ17 + (๐ โ 1)5.โ17, โ12, โ7, โ2, 3, 8, 13, 18, 23, 2
8, . ..
28โ3 25dan 28, maka beda barisan aritmetika tersebut adalah 10โ5 = 5 = 5, sehingga barisan๐๐ = 2 + 3(๐ โ 2) = (โ1 + 3 ร 1) + 3(๐ โ 2) = โ1 + 3(๐ โ 1).
โ1, 2, 5, 8, 11, โฆ
๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐, ๐ = 2, 3, 4, โฆ(๐๐), dan beda (๐) suatu barisan aritmetika sebagai berikut:
Khususnya, ๐1 = ๐๐ + (1 โ ๐)๐ atau ๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐. Apabila hasil terakhir dimasuk-
karena merupakan
jumlah
jumlah pertamanya
barisan aritmetika.
Latihan 2:Dari contoh-contoh dan soal-soal tentang barisan di atas, manakah yang merupakan barisanaritmetika? Jelaskan!
Kapan suatu barisan aritmetika dapat ditentukan? Pada bagian sebelumnya, kita sudah mem-bahas bahwa suatu barisan dapat dinyatakan dengan berbagai cara. Apa saja?
Suatu barisan aritmetika dapat diketahui (atau ditentukan) oleh dua hal, yakni:1) dua suku barisan tersebut, atau2) salah satu suku dan bedanya, atau3) salah satu suku dan jumlah beberapa suku pertama yang memuat suku yang diketahui
tersebut, atau4) jumlah beberapa suku pertama dan bedanya.
Hal itu berarti:
dapat dihitung;
dihitung;3) Jika diketahui satu suku dan jumlah beberapa suku pertama yang memuat suku yang
1. Kasus I: diketahui dua suku barisan aritmetika
aritmetika, berlaku:
sehingga diperoleh:
Suku ke-๐ barisan aritmetika
tersebut
adalah:
5
kan ke dalam
rumus
๐๐, maka diperoleh
hubungan
antara
suku
pertama
(๐1), suku ke-๐
Contoh 1:Jika diketahui suku ke-2 dan ke-3 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan 5,maka bedanya adalah 3, dan barisan aritmetikanya adalah:
atau
(๐_1) beda (๐) nilai
(โ4)5 = โ17 dan ๐15 = โ17 + 14 ร 5 = 53. Jadi, ๐15 = 152 (โ17 + 53) = 24
0.
Barisan aritmetika tersebut mempunyai beda ๐ = 5 (lihat Contoh 2), sehingga ๐1 = 3 +
sehingga ๐1 = 2 โ 3 = โ1 dan ๐10 = โ1 + 3 ร 9 = 26. Jadi, ๐10 = 5 ร (โ1 + 26) = 125.Dari data yang diketahui, diperoleh beda barisan aritmetika tersebut adalah ๐ = 5 โ 2 = 3,
๐ ๐๐๐ = 2 {2(๐๐ + (1 โ ๐)๐) + [๐ โ 1]๐} = ๐ ร ๐๐ + 2 (๐ โ 2๐ + 1)๐.suku pertama adalah ๐๐. Dari hasil sebelumnya diketahui bahwa ๐1 = ๐๐ + (1 โ ๐)๐,suku dan beda atau suku pertama dan suku ke-๐.
๐ ๐2๐๐ = ๐ ร {2๐1 + [๐ โ 1]๐}
๐๐ = 2 {2๐1 + [๐ โ 1]๐} = 2 (๐1 + ๐๐).dengan ruas kanan terdiri atas ๐ suku bernilai sama dalam tanda {}, sehingga2๐๐ = {2๐1 + [๐ โ 1]๐} + {2๐1 + [๐ โ 1]๐} + โฏ + {2๐1 + [๐ โ 1]๐}
๐๐ = (๐1 + [๐ โ 1]๐) + (๐1 + [๐ โ 2)๐) + (๐1 + [๐ โ 3]๐) + โฏ + ๐1๐๐ = ๐1 + (๐1 + ๐) + (๐1 + 2๐) + โฏ + (๐1 + [๐ โ 1]๐).
Dengan demikian jumlah ๐ suku pertama suatu barisan aritmetika dengan suku pertama๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐ untuk ๐ = 2, 3, 4, โฆ.
Untuk barisan aritmetika sudah diketahui rumus suku ke-๐ dapat dinyatakan dengan suku๐๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐.Sebelumnya sudah diperkenalkan notasi ๐๐ yang menyatakan jumlah ๐ suku pertama suatu
2
Contoh 2:Jika diketahui suku ke-5 dan suku ke-10 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 3
aritmetikanya adalah:
atau
Contoh 3 (Sifat suku tengah pada barisan aritmetika):
, atau
Jadi, pada barisan aritmetika, nilai suku yang terletak di tengah-tengah antara dua sukuyang mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain sama dengan rata-rata kedua suku tersebut.Suku tengah merupakan rata-rata aritmetika kedua suku yang mengapitnya.
2. Kasus II: diketahui salah satu suku dan beda
sebelumnya pada
kasus
I, diperoleh
hubungan
antara
suku
pertama
(๐1), suku ke-๐ (๐๐),
Contoh 4:Diketahui suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke-5 adalah 10 dan beda 3. Tentukansuku ke 15!Jawab:
3. Kasus
III:
diketahui
salah
satu
suku
dan
jumlah
๐ suku
pertama
Sebelum membahas
kasus
ketiga,
kita
cari
jumlah
๐ suku pertama barisan
aritmetika.
barisan, yakni
pertama (๐1) dan beda (๐), yakni:
Untuk mendapatkanadalah:
deret tersebut, suku-sukunya kita tulis dari suku terakhir ke suku
pertama sebagai berikut:
Selanjutnya, jika keduanya dijumlahkan hasil adalah:
2 , 3, 5 , 8, 10 , โฆ2 + (๐ โ 1) ๏ฟฝ ๏ฟฝ = 5๐2 โ 2,๐๐ = 13(1): 480 = 192๐ atau ๐ = 2,sehingga ๐1 = 74โ708 = 2. Ja
di
sehingga ๐1 = 528โ48016 = 3. Jadi, ๐๐ = 3 + 4(๐ โ 1) = 4๐ โ 1, yak
ni
๐5 + 2 (50 โ 9)๐ = 50 ร 10 + 25 ร 41 ร ๐, sehingga ๐ = 2550โ5001025 = 2. Jadi, ๐๐ = 1
0 +
c) Tentukan jumlah ๐ suku pertama barisan tersebut.
1. Diketahui suku ke-๐ suatu barisan adalah ๐๐ = 3๐ โ 2. 222 1115
24(2) 702 = ๐24 = 2 (2๐1 + 23๐) = 24๐1 + 276๐.(1) 74 = ๐8 = 2 (2๐1 + 7๐) = 8๐1 + 28๐beda. Dengan menggunakan rumus ๐๐ diperoleh dua persamaan:Diketahui ๐8 = 74 dan ๐24 = 702. Untuk mengetahui barisannya, kita perlu mencari nilai
528 = ๐16 = 16๐1 + 8(16 โ 1)๐ = 16๐1 + 8 ร 15 ร 4,Diketahui ๐16 = 528 dan ๐ = 4. Dengan menggunakan rumus terakhir pada hasil kasus III,
diperoleh salah satu suku, maka suku ke-๐ dapat ditentukan untuk setiap ๐ bilangan asli.dan beda suatu barisan aritmetika. Dengan demikian, apabila diketahui jumlah ๐ suku
4. Kasus IV: diketahui jumlah ๐ suku pertama dan beda
2(๐ โ 5) = 2๐, yakni
Dengan menggunakan rumus pada hasil terakhir diperoleh persamaan 2550 = ๐50 = 50 ร
๐1 = 10 โ 4 ร 3 = โ2 dan ๐15 = โ2 + 14 ร 3 = 4
0,15
sehingga ๐15 = 2 (โ2 + 40) = 285.
Dari persamaan
atau
Jadi, jumlah
๐ suku
pertama
suatu
barisan
aritmetika
dapat
dinyatakan
dengan
salah
satu
Sekarang misalkan
suatu
barisan
aritmetika
diketahui
suku
ke-๐ adalah ๐๐ dan jumlah
๐sehingga
aritmetikanya.terakhir
dapat
dicari
nilai
๐ dan selanjutnya rumus suku
ke-๐ barisan
Contoh 5:Jika diketahui suku ke-2 dan ke-3 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan 5,tentukan jumlah 10 suku pertama.Jawab:
Contoh 6:Jika diketahui suku ke-5 dan suku ke-10 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 3dan 28, tentukan jumlah 15 suku pertamanya.Jawab:
Contoh 7:Diketahui suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke-5 adalah 10 dan beda 3. Tentukanjumlah 15 suku pertama!Jawab:
7
Dari data tersebut dapat dicari
Contoh 8:Tentukan barisan aritmetika yang mempunyai suku ke-5 adalah 10 dan jumlah 50 sukupertamanya adalah 2550.Jawab:
502, 4, 6, 8, 10, ...
Tentukan
berikut:
a) ๐7 = 41, ๐13 = 77 b) ๐5 = โ2, ๐13 = 77 c) ๐7 = 1, ๐15 = โ39a) 3, ๐, 32 b) ๐ + 1, 2๐ + 1, 13 c) 5, ๐, ๐2 โ 8
21. Berapakah hasil penjumlahan 4 + 7 + 10 + โฏ + 901?
19. Jumlah parsial ke-๐ suatu deret aritmetika adalah ๐๐ = 5๐2 โ 11๐. Tentukan beda barisanTentukan nilai ๐.๐1 โ 0. Tentukan nilai ๐.17. Suatu deret aritmetika mempunyai jumlah parsial ke-๐ 100๐1dan suku ke-๐ 9๐1 dengan๐16. Suatu deret aritmetika mempunyai jumlah parsial ke-๐ ๐๐ = 2 (7๐ + 5). Tentukan: a)
15. Akar-akar persamaan ๐ฅ4 + 4๐ฅ3 โ 84๐ฅ2 โ 176๐ฅ + 640 = 0 membentuk suatu barisan
c) Periksa hasil tersebut dengan menghitung ๐1, ๐2, ๐3, ๐4.b) Buktikan bahwa ๐๐ = ๐2
7. Jumlah ๐ suku pertama suatu deret aritmetika adalah ๐๐ = 2๐2 โ 6๐. Tentukan suku ke-๐
5 1
Contoh 3, 7, 11, 15, 19, โฆ
Dari hasil
pada
kasus
III diperoleh
hubungan
antara
jumlah
๐ suku pertama, salah
satu
suku,
pertama dan beda, maka dapat dicari salah satu sukunya (misalnya suku pertama). Setelah
Contoh 9:Jika suatu barisan aritmetika mempunyai beda 4 dan jumlah 16 suku pertama adalah 528,tentukan barisan aritmetika tersebut.Jawab:
diperoleh persamaan
Misalkan10:
jumlah 8 suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 74 sedangkan jumlah 24suku pertama adalah 702. Tentukan barisan aritmetika tersebut.Jawab:
8
Selanjutnya, eliminir
๐1 dari
kedua
persamaan
tersebut
untuk
mendapatkan
๐, yakni
(2)-
atau
Latihan 3:
a) Tunjukkan bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.b) Tentukan suku terkecil pada barisan tersebut yang nilainya lebih besar daripada 450.
2. Tentukan
nilai
๐ pada setiap barisan aritmetika yang
terdiri
atas
tiga
bilangan
sebagai
3. aritmetika:
suku ke-๐ dalam
bentuk yang
paling
sederhana
jika
diketahui
dua
suku
barisan
4. Tentukan (tulis suku-suku) barisan aritmetika dengan cara:a) Menyisipkan tiga bilangan antara 5 dan 10.b) Menyisipkan enam bilangan antara -1 dan 32.
5. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kalibilangan terkecil dan terbesar adalah 161, tentukan selisih bilangan terbesar dan bilanganterkecil.
6. Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhirnya adalah 23, dan selisih sukuke-8 dengan suku ke-3 adalah 10. Tentukan banyak suku dalam deret itu.
Diketahui ๐1 = 27 dan ๐4 = 1 . Menurut rumus suku ke-๐ barisan geometri diperoleh
๐๐ = ๐ untuk ๐ = 1, 2, 3, โฆ๐๐+1 = ๐๐๐ atau ๐๐+1
27, 9, 3, 1, , โฆ atau ๐๐ = 27๐๐โ1, ๐ = 1, 2, 3, โฆ11 = ๐4 = ๐1๐ = 27๐ , sehingga ๐ = 3. Jadi, barisan geometri yang dimaksud adalah
Dari (2) dapat dihitung ๐, kemudian dari (1) dapat dihitung ๐, dan barisan geometrinya dapat
(2) ๐๐ = ๐๐๐โ1 = ๐๐๐โ1๐๐โ๐ = ๐๐๐๐โ๐suku pertamanya adalah ๐ dan rasionya adalah ๐. Dari hasil di atas diperoleh:berturut-turut suku ke-๐ dan suku ke-๐ suatu barisan geometri. Anggap ๐ > ๐. Misalkan
๐๐ = ๐๐๐โ1.๐๐ = ๐๐โ1๐ = ๐1๐๐โ1.โฎ๐3 = ๐2๐ = ๐1๐2๐2 = ๐1๐
Misalkan barisan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ merupakan suatu barisan geometri. Menurut definisi, berarti
biasanya disimbolkan dengan huruf ๐.
deret tersebut.8. Jumlah dari 33 suku pertama dari deret aritmetika adalah 891. Jika suku pertama deret
tersebut adalah 7, tentukan suku ke-33.9. Lima belas bilangan membentuk deret aritmetika dengan beda positif. Jika jumlah suku ke-
13 dan ke-15 sama dengan 188 dan selisih suku ke-13 dan ke-15 sama dengan 14, tentukanjumlah lima suku terakhir.
10. Tentukan jumlah bilangan di antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi4.
11. Suku tengah suatu deret aritmetika adalah 25. Jika bedanya adalah 4 dan suku ke-5 adalah21, tentukan jumlah semua suku barisan tersebut.
12. Sebuah deret aritmetika mempunyai suku ketiga -11 dan jumlah dua puluh suku yangpertama 230, tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut.
13. Pada barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, ...a) Tentukan suku ke-n
14. Sisipkan sejumlah bilangan antara 1 dan 50 sehingga membentuk barisan aritmetika yangjumlahnya 459.
aritmetika. Tentukan akar-akar tersebut.
jumlah parsial ke berapa yang nilainya 425, b) suku ke-6.
18. Suatu
deret
aritmetika
mempunyai
beda
3, suku
ke-๐ 93 dan jumlah
parsial
ke-๐ 975.
aritmetika tersebut.20. Suatu deret aritmetika mempuyai suku ke-3 sama dengan -7 dan suku ke-7 sama dengan 9.
Tentukan jumlah parsial ke-51.
9
E. Barisan dan Deret Geometri
Definisi:
Suatu barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang mempunyai pola tertentu, yaknitiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengandengan suatu bilangan tetap selain nol. Dengan kata lain, pada suatu barisan geometri hasilbagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Bilangan pengali atau hasilbagi tersebut dinamakan pembanding atau rasio atau ada yang menyebut rasio bersama dan
Jadi, barisan
๐1, ๐2, ๐3, โฆ merupakan
suatu
barisan
geometri
apabila
terdapat
๐ โ 0 sedemikian
hingga:
rumus ๐๐ = ๐1(๐๐โ1)๐โ1 berlaku untuk nilai ๐ yang lain. Hal ini tidak sepenuhnya benar, karenaAda yang mengatakan/menuliskan bahwa rumus ๐๐ = ๐1(1โ๐๐)1โ๐ berlaku untuk 0 < ๐ < 1 d
an
(1) Apabila ๐ โ 1, maka diperoleh ๐๐ = ๐1(1โ๐๐)1โ๐ =
๐1(๐๐โ1)๐โ1 .
Diketahui deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + . ..berlaku untuk ๐ = 0?)
๐๐ โ ๐๐๐ = ๐1 โ ๐1๐๐ atau (1 โ ๐)๐๐ = ๐1(1 โ ๐๐).Jika kedua ruas dikalikan ๐, maka diperoleh ๐๐๐ = ๐1๐ + ๐1๐2 + โฏ + ๐1๐๐โ1 + ๐1๐๐,Jumlah ๐ suku pertama suatu barisan geometri merupakan deret geometri, yakni
12, ๐ฅ1, ๐ฅ2 membentuk suatu barisan aritmetika dan tiga bilangan ๐ฅ1, ๐ฅ2, 4 membentuk
suku ke-5 deret tersebut adalah ๐18, tentukan nilai ๐ฅ.4. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah ๐2 dan ๐๐ฅ. Jika
a) suku pertama 8 dan suku ke-6 adalah 4 1
yang ternyata membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama log ๐ dan beda log ๐.log ๐ , (log ๐ + log ๐), (log ๐ + 2 log ๐), (log ๐ + 3 log ๐), โฆlog ๐, log ๐๐ , log ๐๐2 , log ๐๐3 , โฆ.
yang mempunyai suku pertama ๐ dan rasio ๐. Logaritma suku-suku barisan geometri
3
Jadi,
Sutau deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri.
1. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
terdapat ๐ โ 0 sedemikian
hingga:
๐4 = ๐3๐ = ๐1๐3
adalahapabila
suku
pertama
suatu
barisan
geometri
adalah
๐ dan
rasionya
๐, maka
suku
ke-๐
Bagaimana jika
yang
diketahui
dua
suku
yang
tidak
berturutan?
Misalkan
๐๐ dan ๐๐ adalah
(1) ๐๐ = ๐๐๐โ1
ditentukan.
Contoh 11:Jika suku ke-1 satu barisan geometri adalah 27 dan suku ke-4 sama dengan 1, tentukanbarisan geometri tersebut.Jawab:
3 3 1
Contoh 12 (Hubungan barisan geometri dan barisan aritmetika):Perhatikan barisan geometri
๐, ๐๐, ๐๐2, ๐๐3, โฆ.tersebut membentuk barisan
atau
Jadi, logaritma suku-suku barisan geometri membentuk barisan aritmetika.
Latihan 41. Dalam suatu kejuaraan basket, setiap tim pertanding melawan salah satu tim lain pada
setiap putaran. Tim yang kalah bertanding tidak maju pada babak berikutnya. Apabila padababak pertama terdapat 128 tim. Tentukan banyaknya pertandingan sampai kejuaraan
c. ๐9 = 9
1 โ ๐๏ฟฝ (1 โ lim ๐๐)= ๏ฟฝ ๐1= ๏ฟฝ ๐1= lim๐โโ
๐1(1โ๐๐)1 โ ๐๏ฟฝ lim (1 โ ๐๐)1 โ ๐
๐โ = ๐1 + ๐1๐ + ๐1๐2 + ๐1๐3 + โฏ .deret geometri yang rasionya selain 1, yakni ๐๐ = 1 1โ๐ . Apabila nilai ๐ mendekati tak
konsep limit. Sebelumnya kita sudah mendapatkan rumus jumlah ๐ suku pertama suatu
1111Berpakah jumlah deret geometri 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + โฏ sampai tak berhingga suku?
3 36. Hitunglah jumlah parsial ke-11 pada deret geometri 6 + 3 + 2 + 4 + โฏ.
๐ฅ1, ๐ฅ2, 2 (๐ฅ1๐ฅ2) membentuk suatu barisan geometri, tentukan suku keempat deret
2. Persamaan 2๐ฅ2 + ๐ฅ + ๐ = 0 mempunyai akar-akar ๐ฅ1 dan ๐ฅ2. Apabila bilangan-bilangan
b. Karena suku pertama ๐ = 2 dan rasionya ๐ = 3, maka suku ke-๐ adalah ๐๐ = 2 ร 3๐โ1,sehingga suku ke-21 adalah ๐21 = 2 ร 320.
6 18 54a. Rasio deret tersebut adalah: 2 = 6 = 18 = 3
suatu ๐ฅ1 dan ๐ฅ2 adalahtentukan persamaan kuadrat ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0
tersebut selesai.2. Tentukan rasio, suku umum, dan suku ke-10 barisan geometri yang diketahui:
b) suku pertama 3 dan suku ke-5 adalah 243c) suku ke-3 adalah 12 dan suku ke-6 adalah 96d) suku ke-4 adalah 16 dan suku ke-6 adalah 64
3. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasilkalinya adalah 216 dan jumlahnya 26,tentukan rasio deret tersebut.
5. Diketahuibarisan geometri,
akar-akardiskriminan persamaan kuadrat tersebut.
Jika tiga bilangan
2. Jumlah n suku pertama barisan geometri
๐๐ = ๐1 + ๐1๐ + ๐1๐2 + โฏ + ๐1๐๐โ1
dengan
๐1 suku pertama dan
๐ โ 1 adalah rasionya.sehingga:
(2) Untuk
๐ = 1, ๐1 = ๐2 = ๐2 = โฏ = ๐๐ sehingga ๐๐ = ๐๐ 1 .Komentar:
kedua rumus
adalah
identik
dan
berlaku
untuk
semua
๐ โ 1. (Apakah rumus tersebut
Contoh 13:
1. Tentukan rasio deret tersebut2. Tentukan suku ke-21
11
3. Tentukan jumlah 9 suku pertama pada deret tersebutJawab:
Latihan 5: 2 33โ1โ1๏ฟฝ ๏ฟฝ = 39 โ 1 = 19682.
1. Tiga bilangan merupakan suku-suku berturutan suatu deret aritmetika. Selisih bilanganketiga dengan bilangan pertama adalah 6. Jika bilangan ketiga ditambah 3 maka ketigabilangan tersebut merupakan deret geometri. Tentukan jumlah dari kuadrat bilangantersebut.
jumlah deret semula adalah ๐โ = 1 + ๐ + ๐2 + ๐3 + ๐4 + โฏ = 1โ๐ = 11โ โ2 = 2โ .
1 โ ๐ , jika |๐| < 1.= ๐1= โ ๐ (1 โ 0), jika |๐| < 1
kemudian tentukan jumlah parsial ke-๐.10. Tunjukkan bahwa deret geometri 2(5)5 + 2(5)4 + 2(5)3 + 2(5)2 + โฏ konvergen,
1 2dengan 4 6. Apabila suku ke-2 sama dengan 2 3 tentukan suku pertama dan rasio deret
8. Tentukan nilai ๐ฅ agar deret geometri 2 + 3 (๐ฅ + 1) + 9 (๐ฅ + 1)2 + โฏ konvergen
1 17. Hitunglah 3 + 1 + 3 + 9 + โฏ๐1 + ๐2 = 45 dan ๐3 + ๐4 = 20 . Tentukan jumlah deret tersebut.
84. Suatu deret geometri konvergen mempunyai limit (jumlah tak berhingga) 2, sedangkan suku1 โ tan2 30๐ + tan4 30๐ โ tan6 30๐ + โฏ + (โ1)๐ tan2๐ 30๐ + โฏ.
mempunyai jumlah (konvergen), tentukan nilai ๐ฅ. 7 log(3๐ฅ โ 2). Jika deret ini
1 1 2โ2
geometri dengan suku pertama 1 dan rasio ๐2. Karena diketahui 2 = 1 + ๐2 + ๐4 + ๐6 +1โฏ = 1โ๐2, maka 1 โ ๐2 = 2 atau ๐2 = 2. Karena diketahui ๐ > 0, maka ๐ = 2 โ2. Jadi,
Jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah: 1 + ๐2 + ๐4 + โฏ merupakan suatu deretMisalkan deret geometrinya adalah: 1 + ๐ + ๐2 + ๐3 + ๐4 + โฏ
(2) Untuk โ1 < ๐ < 1, lim๐โโ ๐๐ = 0, sehingga(1) Untuk |๐| > 1, lim๐โโ ๐๐ tidak mempunyai nilai (hasilnya ยฑโ), sehingga ๐โ tidaktergantung pada nilai rasionya, yakni ๐.
๐โโ
๐ (1โ๐๐)
18. Suatu deretbahwa 54 + 18 + 6 + โฏ + 53๏ฟฝ๐โ1 = 81 โ 34โ๐.20.Tunjukan jumlah parsial k
1
tersebut.3. Suatu deret geometri terdiri atas 7 suku dengan suku tengah dan terakhir masing-masing
adalah 240 dan 1920. Tentukan jumlah deret geometri tersebut.4. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya
26, tentukan rasio deret tersebut.5. Jika rasio deret geometri adalah 3 dan suku ke-8 adalah 10935, tentukan suku ke-5 deret
tersebut.
7.
Hitunglahgeometri
mempunyai
suku๏ฟฝke-8
sama
dengan
640
dan
suku
ke-3
sama
dengan
9. Perbandingan jumlah tiga suku pertama suatu deret geometri dan jumlah suku-suku ke-4,ke-5, dan ke-6 adalah 8:27. Apabila suku ke-3 sama dengan 8, tentukan rasio deret geometritersebut.
3. Deret Geometri Tak Berhingga
Sebenarnya tidaklah mungkin menghitung deret tak berhingga tersebut, karena kita tidaktahu berapa suku terakhirnya. Akan tetapi dalam matematika kita dapat menggunakan
berhingga berarti kita menjumlahkan deret tak berhingga, dan ini biasanya dituliskansebagai:
= lim ๐๐
๐โโ
Perhatikan bahwa keberadaan nilai jumlah tak berhingga suatu deret geometri sangat
dapat dihitung. Dalam hal deret geometri tersebut dikatakan divergen.
Contoh 14:Suatu deret geometri tak berhingga mempunyai suku pertama 1 dan jumlah suku-suku yangbernomor ganjil adalah 2. Apabila deret tersebut mempunayi rasio positif, tentukan jumlahderet tersebut.Jawab:
atas tanda โ. di notasi di ditulis di di suatukanan bawah dan kanan atas. Halditulis untuk
Apabilabawah spasi kosong yang pojok lebar antar baris (lihat nilai
dalam Sigma (โ)
๏ฟฝ ๐๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐.๐
parsial deret aritmetika. Seperti sudah diketahui, suku ke-๐ deret aritmetika yang mempunyai
Pertanyaan: Apakah berlaku โ ๐๐๐๐๐๐=1 = โ ๐๐๐๐=1 โ ๐๐๐๐=1? Mengapa?
๏ฟฝ ๐๐๐ = ๐ ๏ฟฝ ๐๐.2. Untuk setiap konstanta ๐ yang tidak tergantung nilainya pada indeks ๐, berlaku
(๐๏ฟฝ ๐ ยฑ ๐๐) = ๏ฟฝ ๐๐ ยฑ ๏ฟฝ ๐๐.1. Untuk setiap barisan {๐๐} dan {๐๐} berlaku
๐=15. โ ๐๐โ= ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฏ4. โ 3๐ฅ๐10 = 3๐ฅ + 3๐ฅ2 + 3๐ฅ3 + โฏ + 3๐ฅ10
๐2. โ ๐๐๐=1 = 1 + 2 + 3 + โฏ + ๐ = 2 (1 + ๐) (Mengapa?)
61. โ ๐ = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1010 = 3 (5 + 10) = 45.
nilai indeks mulai nilai indeks yang tertulis di bawah tanda โ sampai nilai indeks yang tertulisPada notasi sigma, kita menjumlahkan ekspresi yang tertulis disebelah kanan โ untuk semua
dalam alfabet Yunani, yang berarti "jumlah". Deret ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐ dapat disingkatmenuliskan suatu deret dapat digunakan notasi sigma (โ) yang merupakan huruf besar "S"
ke-2 ke-4 geometri tak adalah 2 dan 3. Tentukan positif,
2 Latihan 6:1. Suku-suku suatu barisan geometri tak berhingga adalah positif, jumlah suku pertama dan
kedua adalah 45 dan jumlah suku ketiga dan keempat adalah 20. Tentukan jumlah suku-sukubarisan tersebut.
2. Suatu deret geometri tak berhingga mempunyai rasio
3. Tentukan jumlah deret tak berhingga:
15. Suatu
danderet
berturut-turut berhingga mempnyai suku-suku
pertamanya. jumlah suku-suku
6. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunyayang berindeks ganjil adalah 64, tentukan suku ke-4 deret tersebut.
2 2 9. Suatu deret geometri yang suku-sukunya positif mempunyai jumlah tak berhingga sama
tersebut.
13
F.DiNotasi
matematika banyak digunakan berbagai simbol untuk menyingkat dan menye-
derhanakan penulisan ekspresi-ekspresi yang panjang dan rumit. Demikian juga, untuk
menjadi โ๐๐=1 ๐๐. Jadi,
๐=1
indeksbertujuan
bukan menghindari
sigmaatasnya,
tapi
tengahterlalu
kalimat, biasanya
rentang
contoh-
contoh tampilan di atas).
๐
๏ฟฝ๐๐
suku pertama ๐ beda ๐ adalah ๐๐ = ๐ + ๐ โ ๐.sebagai berikut.
1. Nyatakan 20 suku pertama deret 6 + 3 + 32 + 4 + โฆ dengan mengguna-kan notasi โ.
๐ + ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐๐โ1 = ๏ฟฝ ๐๐ = ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐โ1
2 [2๐ + (๐ โ 1)๐]= ๐2 [2๐ + (๐(1 + ๐) โ 2๐]= ๐= ๐๐ + ๐ ๏ฟฝ ๐ โ ๐ ๏ฟฝ 1๐= ๐๐ + ๐ (๐๏ฟฝ โ 1)๐= ๏ฟฝ ๐ + (๐๏ฟฝ โ 1)๐๐
3. Tentukan nilai ๐ jika diketahui โ 8 ๏ฟฝ2๏ฟฝ๐๐=1 = 15
4.
c. โ 12 ๏ฟฝ5๏ฟฝโ
a. โb. โ 3 ๏ฟฝ3๏ฟฝ6๐=2
๐32
2= ๐๐ + ๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ (1 + ๐) โ ๐๐๐
2 + 2 + 22+
๏ฟฝ ๏ฟฝ10 10 suku
Berikut adalah contoh-contoh penggunaan notasi sigma.
Contoh 15:
๐=5
3. โ๐=1 2 = ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโฏ๏ฟฝ+๏ฟฝ = 10 ร 2 = 20.
๐=1Berikut adalah beberapa sifat aljabar yang berlaku untuk notasi sigma.
๐ ๐ ๐
๐=1 ๐=1 ๐=1
๐ ๐
๐=1 ๐=1Dengan menggunakan hasil-hasil dan sifat-sifat di atas, kita dapat menemu-kan rumus jumlah
deret aritmetika dengan menggunakan notasi(sigma1) Dengan demikian
kita
dapat
menuliskan
๐ + (๐ + ๐) + (๐ + 2๐) + โฏ + (๐ + [๐ โ 1]๐) = ๐=1(๐ + [๐ โ 1]๐)๐=1 ๐=1
๐=1๐=1 ๐=1
1 โ 2 = 32 ๐๐2.16 + 8 + 4 + 2 + 1 + + โฆ = 161 โ 2 = 102332 ๐
๐2.
16 + 8 + 4 + 2 + 1 + + โฆ + 16 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = 16 1๏ฟฝ โ 2๏ฟฝ ๏ฟฝ
๏ฟฝ
2 . Jadi total banyaknya jabat tangan adalah 2 [(๐ โ 1)๐ + (๐ โ 1)๐].
2 , dan banyaknya jabat tangan di antara ๐ tamu perempuan adalah
6+5+4+3+2+1= 6 (6 + 1) = 21.2 (9 + 1) = 45.9+8+7+6+5+4+3+2+1= 9
๐ด3 = ๐ด2 + ๐๐ด2
1. Pada awal bulan ke-2, jumlah tabungan adalah: ๐ด2 = ๐ด + ๐๐ด = ๐ด(1 + ๐).Pada awal bulan seseorang menabung sejumlah ๐ด di salah satu bank. Bank memberikan bunga
2 111 91 1 10
16, 8, 4, 2, 1, , โฆ1
Diketahui sebuah persegi berukuran 4 ร 4 ๐๐2. Setiap titik tengah suatu sisi dihubungkan
1(๐โ1)๐
(๐โ1)๐b. Dari hasil a) dapat disimpulkan bahwa banyaknya jabat tangan di anatara ๐ tamu laki-
b. Apabila terdapat ๐ tamu laki-laki dan ๐ tamu perempuan, berpakah banyak jabatan
๐๐.berikut:
Demikian pula, deret geometri dapat dinyatakan dengan=menggunakan notasi sigma sebagai
๐โ1
Latihan 7: ๐=0 ๐=0
2. Hitunglah: 3
1 ๐+2
๐=1 1
๐โ1
1 ๐ 3G. Aplikasi Barisan dan Deret
Barisan dan deret mempunyai penerapan dalam berbagai persoalan dalam matematika.Berikut adalah beberapa contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan barisan/deretaritmetika dan geometri.
Contoh 16 (Banyak jabatan tangan):
Dalam sebuah pertemuan setiap tamu laki-laki berjabat tangan dengan setiap tamu laki-lakilain, dan setiap tamu perempuan berjabat tangan dengan setiap tamu perempuan lain.
15
a. Apabila terdapat 10 tamu laki-laki dan 7 tamu perempuan, berapakah banyak jabatantangan?
tangan?
Jawab:
a. Banyak jabatan tangan di antara 10 tamu laki-laki adalah
Banyaknya jabat tangan di antara 7 tamu perempuan adalah
Jadi, total banyaknya jabat tangan adalah 45+21=66.
laki adalah
๐ per (bersih sudahMaka:
๐ด๐ = ๐ด[1 + (1 + ๐) + (1 + ๐)2 + โฆ + (1 + ๐)๐โ1] = ๐ด (1๏ฟฝ + ๐)๐๐โ1
๐ด๐ = ๐ด(1 + ๐)๐โ1, ๐ โฅ 2
1ketiga sama dengan 1 4 juta. Tentukan jumlah penduduk kota A pada tahun keempat.
3
= ๐ด + ๐ด(1 + ๐) + ๐ด(1 + ๐)2= ๐ด + [๐ด + ๐ด(1 + ๐) + ๐๐ด + ๐๐ด(1 + ๐)]๐ด3 = ๐ด + (๐ด2 + ๐๐ด2)
๐ด2 = ๐ด + (๐ด + ๐๐ด) = ๐ด + ๐ด(1 + ๐).
Setiap awal bulan seseorang menabung sejumlah ๐ด di salah satu bank. Bank memberikan bunga
= ๐ด(1 + ๐)2= ๐ด(1 + ๐)(1 + ๐)
๐ per (bersih sudahMaka:
2
Contoh 17:
dengan titik tengah sisi-sisi yang berdekatan sehingga terbentuk persegi baru. Proses inidilanjutkan terus.
a. Apabila proses dilanjutkan 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yang terbentuk?b. Apabila proses dilanjutkan tanpa berhenti, berapakah jumlah semua persegi yang
terbentuk?
Jawab:
Proses tersebut menghasilkan barisan persegi yang luasnya
dan merupakan barisan geometri dengan suku pertama 16 dan rasio ยฝ . Jadi,
a. Jika prosesnya 9 kali, maka jumlah luas persegi yang terbentuk adalah
2 2 1 b. Jika prosesnya tanpa berhenti,maka julmlah luas persegi yang terbentuk adalah
Contoh 18 (menabung sekali):
mulai bulan
berikutnya.dipotong
pajak
dan
bea
administrasi)
yang
dibayar
setiap
awal
bulan,
2. Pada awal bulan ke-3, jumlah tabungan adalah:
= ๐ด(1 + ๐) + ๐๐ด(1 + ๐)3. Secara
umum,
apabila
tidak
pernah
diambil,
jumlah
tabungan
pada
awal
bukan
ke-๐ adalah
Contoh 19 (menabung rutin):
mulai bulan
berikutnya.dipotong
pajak
dan
bea
administrasi)
yang
dibayar
setiap
awal
bulan,
1. Pada awal bulan ke-2, jumlah tabungan adalah:
2. Pada awal bulan ke-3, jumlah tabungan adalah:
๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐
1 โ ๐ , dengan ๐ adalah suku pertama.๐โ = lim ๐๐ = ๐๐=1 = ๐(1 โ ๐๐)(1 โ ๐) = ๐(๐๐ โ 1)(๐ โ 1) , ๐
โ 1.
๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐(๐โ1)๐
๐ โ 0 sedemikian hingga ๐๐๐๐โ1 = ๐ untuk setiap bilangan asli ๐ โฅ 2. Bilanganr ๐
2 {2(๐๐ + (1 โ ๐)๐) + [๐ โ 1]๐}๐๐ = ๐
1) dua suku barisan tersebut: ๐ = (๐๐โ๐๐)(๐โ๐) , untuk ๐ > ๐ โฅ
1
๐๐ = ๏ฟฝ ๐ + (๐ โ 1)๐ = ๐ [2๐ + (๐ โ 1)๐] = ๐ (๐ + ๐๐).
bilangan ๐ sedemikian hingga ๐๐ โ ๐๐โ1 = ๐ untuk setiap bilangan asli ๐ โฅ 2.
๐๐ = ๐๐๐โ1 untuk setiap ๐ โฅ 1.b. Suku umum barisan geometri yang mempunyai suku pertama ๐ dan rasio ๐ adalaha. Barisan bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ merupakan barisan geometri jika terdapat suatu bilangan
2
๐d. Jumlah parsial ke-๐ deret aritmetika yang mempunyai suku pertama ๐ dan beda ๐1nya, yakni ๐๐ = 2 (๐๐โ๐ + ๐๐+๐) untuk setiap bilangan-bilangan asli ๐ > ๐ โฅ 1.๐๐ = ๐ + (๐ โ 1)๐ untuk setiap ๐ โฅ 1.b. Suku umum barisan aritmetika yang mempunyai suku pertama ๐ dan beda ๐ adalaha. Barisan bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ merupakan barisan aritmetika jika terdapat suatu
i. โ (๐๐ ยฑ ๐๐)๐๐=1 = โ ๐๐๐๐=1 + โ๐๐๐๐=1
e. Setiap deret dapat dinyatakan dengan menggunakan notasi sigma (โ): โ ๐๐๐๐=1 = ๐1 +
biasanya dinyatkan dengan ๐๐.
tinggi bola jatuh dari ketinggian 10 m dan terus kembalihingga berhenti. 4 kalijuml
ah seluruh bola.
= ๐ด + [๐ด + ๐ด(1 + ๐) + ๐ ๐ด๏ฟฝ + ๐ด(1 + ๐)๏ฟฝ]3. Secara
umum,
apabila
tidak
pernah
diambil,
jumlah
tabungan
pada
awal
bukan
ke-๐ adalah
๐=0Latihan 8:
1.
Sebuahsebelumnya.
lintasanPemantulan
ini berlangsung
memantulmenerus
dengan
ketinggianTentukan
2. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan. Uang yang ditabung setiap bulanselalu lebih besar dari bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Jika jumlah seluruhtabungannya selama 12 bulan pertama adalah 192 ribu rupiah dan selama 20 bulan pertamaadalah 480 ribu rupiah, tentukan besar uang yang ditabung pada bulan kesepuluh.
3. Tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah pemukiman baru adalah 10% per tahun.Tentukan kenaikan jumlah penduduk dalam waktu 4 tahun.
4. Jumlah penduduk kota A selama lima bulan berturut-turut membentuk sutu deret geometri.Pada tahun terakhir jumlah penduduknya 4 juta, sedangkan jumlah tahun pertama dan
5. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jikakeuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah, dan sampai bulan kedelapan 172 riburupiah, tentukan keuntungan sampai bulan ke-18.
I. Rangkuman
1. Barisan, Deret, dan Notasi Sigma
a. Barisan adalah fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli.b. Setiap bilangan dalam suatu barisan merupakan kawan suatu bilangan asli dan
dinamakan suku.c. Jumlah suku-suku suatu barisan disebut barisan.
17
d. Jumlah
๐ suku pertama suatu
barisan
disebut
jumlah
umum
atau
jumlah
parsial
ke-๐,
f. Notasi sigma mempunyai sifat:
ii. โ๐๐=1 ๐๐๐ = ๐ โ๐๐=1 ๐๐
2. Barisan dan Deret Aritmetika
Apabila dan deret geometri tak rasio
adalah
๐ ร ๐๐ + ๐ (๐ โ 2๐3) jumlah ๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐)๐, ๐ โฅ 1
๐=1
Bilangan ๐ disebut beda atau selisih.
c. Suku tengah suatu barisan aritmetika merupakan rata-rata dua suku yang mengapit-
adalah
e. Suatu barisan aritmetika dapat diketahui (atau ditentukan) oleh dua hal, yakni:
2) salah
satusuku
dan
bedanya:
๐beberapa suku pertama yang memuat suku yang
diketahui tersebut:
4) jumlah beberapa suku=pertama dan bedanya.+ 1)๐, ๐ > ๐ โฅ 1.3. Barisan dan Deret Geometri
disebut rasio.
c. Jumlah
parsial
ke-๐ deret geometri
yang
mempunyai
suku
pertama
๐ dan rasio ๐d. konvergen
suatu mempunyai jumlah
mempunyaiberhingga ๐ dengan |๐| < 1, maka
deretnya
II. Daftar Pustaka ๐โโ
Beecher, Penna, Bittinger (2006). Algebra and Trigonometry, 3rd ed. New York: PearsonAddison-Wesley (Pearson Education Inc)
FHSS Authors (2008). The Free High School Science Texts: Textbooks for High School StudentsStudying the Science, Mathematics Grades 10 โ12. www.fhss.org
Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Eric Kamischke (2004). Discovering Advanced Algebra: anIntroducation. Emryville, CA: Key Curriculum Press
Paul Urban et. al. (2004). Mathematics for the International Students, HL Core. Adelaide: Hase &Harris Pubs.
19
n
Gb 1d. Deret โ๐๏ฟฝ โ 3 ๏ฟฝ๐=3โGb 1c. Deret {(โ1)๐. ๐+13๐ }
n
Gb 1b. Deret {1 + (โ1)๐๐ }an = (ยก 1)n : 3n
n
๐Gb1a. Deret {๐+1}
an = n
โ
5๐+2 3 โ4 5 โ6Barisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = (โ1)๐โ1 ๐ , ๐ โฅ 1, adalah: 5 , 25 , 125 , 625 , โฆ1 โ3Barisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = cos ๐๐ , ๐ โฅ 1, adalah: โ3 , 1 , 0, โ 2 , โ 2 , โ1 โฆBarisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = โ๐ โ 3 , ๐ โฅ 3, adalah: 0,1, โ2, โ3, โ4, โฆ๐ 2 32 3 44 5
Barisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = (โ1)๐ ๐+13๐ , ๐ โฅ 1, adalah: โ 3 , 9 , โ 27 , 81 , โฆ1Barisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = 1 + (โ1)๐ , ๐ โฅ 1, adalah: 0, 3 , 2 , 5 , 4 ,โฆ2 3 4 5๐Barisan dengan rumus suku ke-๐ ๐๐ = ๐+1 , ๐ โฅ 1, adalah: 1 , 2 , 3 , 4 ,โฆsuatu bilangan ๐๐ yang disebut suku ke-๐. Untuk mempersingkat penulisan, barisanbarisan disebut suku barisan. Jadi, untuk setiap bilangan asli ๐ pada domain barisan terdapat
Suatu barisan bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ merupakan suatu susunan bilangan-bilangan menurut
anan
an
an
Barisan Tak Berhingga
A. Definisi Barisan (Mengulang)
urutan yang sesuai dengan urutan bilangan asli. Dengan kata lain, suatu barisan merupakanfungsi yang domainnya himpunan bilangan asli, dimulai dari 1. Setiap bilangan pada suatu
๐1, ๐2, ๐3, โฆ biasanya
ditulis
dengan
{๐๐}๐=1 atau cukup dengan { ๐๐}.Contoh-contoh:1.
2.
3.
4.
5.
6.Secara geometris barisan-barisan di atas dapat digambar sebagai berikut.
1.51
0.95
0.9
0.85
n+ 1
1
an = 1 + (ยก 1)n
n
0.8
0.75
0.7
0.50.65
0.6
0.55
0
.5
0.
6
0.
4
0.
2
0
-
0.2
-0.4
-0.6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
n+ 1
0
8
7
6
5
4
3
2
25 30 35 40 45 50
-0.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Jika ๐๐๐๐ฅโโ๐(๐ฅ) = ๐ด dan ๐๐ = ๐(๐), maka lim๐โโ ๐๐ = ๐ด.limit fungsi, perbedaan lim๐โโ ๐๐ = ๐ด dan lim๐ฅโโ ๐(๐ฅ) = ๐ด adalah bahwa ๐ harus bilangan
bilangan asli ๐, sedemikian hingga untuk setiap ๐ โฅ ๐ berlaku |๐๐ โ ๐ด| < ๐.A adalah suatu bilangan nyata), apabila untuk setiap bilangan positif ๐, terdapat
Suatu barisan {๐๐} dikatakan konvergen apabila ๐๐๐๐โโ ๐๐ ada nilainya.
1). {โ๐ โ 3} adalah barisan terbatas ke bawah, karena โ๐ โ 3 โฅ 0 untuk semua ๐ โฅ 3๐๐ โฅ ๐ untuk semua ๐.daripada suatu nilai tertentu. Artinya, terdapat bilangan riil ๐ sedemikian hingga
1). {โ๐} adalah barisan terbatas ke atas, karena โ ๐ โค 0 untuk semua bilangan asli ๐.semua ๐.suatu nilai tertentu. Artinya, terdapat bilangan riil ๐ sedemikian hingga ๐๐ โค ๐ untuk
2). {cos( 6 )} adalah barisan terbatas, karena โ1 โค cos ๏ฟฝ 6 ๏ฟฝ โค 1 untuk setiap ๐.๐ 1 ๐1). {๐+1} adalah barisan terbatas, karena 2 โค ๐+1 โค 1 untuk setiap ๐.Dengan kata lain, terdapat suatu bilangan rill ๐ sedemikian hingga |๐๐| โค ๐ untuk semua ๐.terdapat dua bilangan riil ๐ dan ๐ sedemikian hingga ๐ โค ๐๐ โค ๐ untuk semua ๐.
1 1 1 11). 1, 2 , 3 , 4 , 5 , โฆJikai ๐๐ > ๐๐+1 untuk setiap ๐, barisannya disebut monoton turun murni.
1 1 1 11). 1, 1, 2 , 2 , 3 , 3 , โฆuntuk setiap ๐.
1 2 3 4 52). 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , โฆJikai ๐๐ < ๐๐+1 untuk setiap ๐, barisannya disebut monoton naik murni.
untuk setiap ๐.a. Barisan monoton naik: barisan yang suku-sukunya tidak pernah turun, yakni ๐๐ โค ๐๐+1
Gb 1f. Deret {(โ1)๐โ1. ๐+25๐ }๐๐Gb 1e. Deret cos ( ๐ )}
an = (ยก 1)n 1: 5nan
an
1.5
an = cos nยผ
n
0.6
0.5
1
0.4
0.5
0.3
0 0.2
ยก n+ 2
0.1
-0.5
0
-1
-0.1
-1.50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
n-0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
n
B. Macam-macam perilaku Barisan
Terdapat beberapa tipe yang menunjukkan perilaku suatu barisan berdasarkan nilai suku-sukunya. Kita dapat mengelompokkan suatu barisan berdasarkan perilaku suku-sukunyasebagai berikut.
1. Barisan monotonBarisan yang suku-sukunya tidak naik atau tidak turun disebut barisan monoton.Contoh:1). 3, 2, 1, 1, 1, 1, ...2). 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, ...Barisan yang suku-sukunya naik dan turun merupakan barisan yang tidak monoton.Contoh:1). 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...2). 1, -2, 3, -4, 5, -6, ...
Contoh:1). 1, 1, 2, 2, 3, 3, ...
Contoh:1). 1, 2, 3, 4, 5, ...
b. Barisan
monoton
turun:
barisan
yang
suku-sukunya
tidak
pernah
naik,
yakni
๐๐ โฅ ๐๐+1Contoh:
Contoh:
2. Barisan terbatas: barisan yang semua sukunya terletak di antara dua bilangan riil, artinya
divergen.
Contoh:
๐๐ ๐๐ a. Barisan terbatas ke atas: yakni suatu barisan yang semua sukunya kurang daripada
Contoh:
b. Barisan terbatas ke bawah: yakni suatu barisan yang semua sukunya lebih besar
Contoh:
Barisan yang terbatas adalah barisan yang terbatas ke atas dan ke bawah.
Pertanyaan:
1). Apakah semua barisan pasti terbatas, terbatas ke atas, atau terbatas ke bawah? Berikancontohnya!
2). Apakah semua barisan monoton pasti terbatas? Berikan contohnya!
3). Apakah semua barisan terbatas pasti monoton? Berikan contohnya!
C. Limit dan Kekonvergenan Barisan
Untuk setiap barisan tak berhingga, kita dapat memperhatikan bagaimana kecenderungansuku-sukunya, apakah makin lama nilainya menuju ke suatu nilai tertentu atau tidak. Apabilasuku-suku suatu barisan nilainya makin lama menuju ke suatu nilai (bilangan) tertentu, makabarisan tersebut dikatakan konvergen. Sebaliknya, apabila makin lama nilai suku-suku suatubarisan tidak menuju ke suatu nilai (bilangan) tertentu, barisan tersebut dikatakan divergen.Perhatikan, untuk mengetahui apakah suatu barisan konvergen atau tidak kita hanyamemperhatikan suku-suku yang di "belakang", bukan suku-suku yang di "depan". Secaramatematis, kekonvergenan suatu barisan didefinisikan sebagai berikut:
Selanjutnya, dikatakan
barisan
{๐๐} konvergen
ke ๐ด,
atau
๐๐๐๐โโ ๐๐ = ๐ด (dengan
Sebaliknya, apabila
๐๐๐๐โโ ๐๐ tidak
ada
nilainya,
barisan
tersebut
dikatakan
Ilustrasi pengertian limit barisan ditunjukkan pada Gb 2. Perhatikan, jika dibandingkan dengan
asli. Dengan demikian, kita dapat merumuskan hasil sebagai berikut.
Teorema:
3
1besar atau sama dengan (๐ โ 1).๏ฟฝ๐+1 โ 1๏ฟฝ = ๐+1 < ๐ atau ๐ > ๐ โ 1. Jadi, dalam hal ๐ dapat dipilih bilangan asli yang lebih
untuk setiap ๐ > 0, terdapat bilangan asli ๐, sedemikian hingga jika ๐ > ๐ berlaku |๐๐ โ 1| =1 2 3 4Barisan 2 , 3 , 4 , 5 , โฆ konvergen ke 1, yakni lim(๐โโ) ๐๐ = 1. Hal ini dapat ditunjukkan bahwaGb2. Ilustrasi lim(๐โโ) ๐๐ = ๐ด
๐1 ๐2๐3 ๐4๐5๐6
n
๐๐๐๐๐๐โ1
๐๐+1
an
A+ ยฒ
A
Aยก ยฒ
01 2 3 4 5 M
| | |A-ฮต A A+ฮต
Contoh:
๐ 1 1Muncul pertanyaan menarik, yakni jika memperhatikan perilaku suatu barisan, kapan suatubarisan konvergen? Dengan kata lain, apa syarat suatu barisan mempunyai limit?
an