Balancing of Rotors - · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ......

20
8.1 INTRODUCTION A rotor is considered balanced if it rotates about its principal axis without wobbling, assuming that there is no dynamic motion due to the elasticity of the rotor and the lubricant in the bearings. When the journal axis of rotation does not coincide with its principal axis, a net radial force acts on the rotor due to centrifugal acceleration. The process of effecting essential coincidence between the principal inertia axis of the rotor and the shaft axis is called dynamic balancing. Besides unbalance, there are other sources of vibration in a rotating machine, some of which may be aggravated by unbalance under certain circumstances, and so may be of significance. Balancing of rigid rotors (one that does not experience distortion) is important because it comprises the majority of balancing work done in the industry. When machine operation takes place in a speed regime where bearing support stiffness at both ends is essentially rigid, shaft elasticity also comes into play. The overall problem in which dynamic action and interaction of rotor elasticity, bearing and support elasticity and damping are taken into account is called flexible rotor, or modal, balancing. Advanced design capabilities have supported the continuing emphasis to build rotating machines with larger capacities. Larger capacity designs often entail longer and more flexible rotors capable of operating above a number of critical speeds. Safe operation through these critical speeds necessitates a good balance to control the amplitudes of vibration and bearing reacting forces. Even small mass unbalances can result in significant inertia effects because of the high speed at which the machines operate. Under certain conditions, high levels of vibration can impose severe stresses on the moving parts and on the supporting structure. Hence, it is essential that all major rotating components be as fully balanced as possible. Although a rotor may have been designed and manufactured with great care to ensure proper balance under working conditions, small residual unbalances will almost always remain in the finished product. Inherent non-homogeneity of the material and unavoidable machining tolerances are some culprits of this condition. Such discrepancies can be detected and rectified 8 8 CHAPTER CHAPTER Balancing of Rotors

Transcript of Balancing of Rotors - · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ......

Page 1: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

���� ���������

�������������������� � ������������ ���� ��������������� �� ��������������������� ������

�� �� ������ ��� �� � ���������� ��� ��� ���� �� �������� ��� ���� ������ � ���� ������ �� �� ���

�� ������������������ �� ���������� ��������������������������������� �� ����� ����� � ������� ���� �� ���� ������ ��� ��� �������� �� ������ ����� ���� �������� ��� ��������� ������ �

�������������������������� ������� � ����������������� ������� ��� �������� ����� ���

� � �������������� � ���������� ������������������������ ������ ���� ����� �������������������� �� ��� ��� � ��� ��� �� � ��� ���� ���� �� �������� ����� � ���� �� ��� ��

������� ���� � � ���� ��� ����� ������� ���� �� ��������� ������������������ � ��� ������ �

��� ���������������������� ����������� � �������!����������������������� ��������� ���� !����� ����� ��������������������� ��������������������� ������������������� ���������

�� ����� �������� ���������������� ����������� �������������������� ���� ����� ����� ����

����������� ����������� ���� ����������� �������� � ����� ���� !������ ���������� ��������������������� ���� � ������

�� �������� � � ��������� � ��� ��������� ���� �������� ���� ���� ��� ����� ��� ���

� ����������� � ������ � ��������" ������ � ������������������ ��� ������ ������ ��������������� � � ���� ��� ���� ���� ����� � ������ ��� ������ �� ������� # ��� ���� ���� �������� �����

������ �� ������������� ���� ������ � ��� ��� ������� ���� ���������������� ���� ��� ���

�� ����� ��������$����� ���� ����� � ����� �������� ��������� �� ����� ������������ �������������������� ������������� ���������� ����%������� ������������������������������ ���

� � ������� ������� ����������� ����������� ���� ��� ���� ���������� �����������&����� ��� ��

������ ���� �� ���� ������� ���������������� ��������� � ��� �����������

��������� � ������� ��� ��� ���������� �� �� ����������� ��� �� � ��� ��� �����

�������� � ����������!�������������� �������� ���� � ��������� ������ �� ������ �

���������������������'�������(������������������� ���� �� �� ��� ����� ���������� ���� ���������������������������������#���������� ������ ����������� ���������

88CHAPTERCHAPTER

Balancing of Rotors

Page 2: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

360� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

��� ��������������������������������� � ����� �������'��������������������� ����������� ���� � ����� ����� ����� ����������� � ����������� ��������� ����������������� ������� ��� ����� ���� � � ����� '� ���� ��������� ����� � � � ����� ����� �������� ��� ������� ����������� ������ �� �� �������������������� �� � ������ � � ��������� ������������������� ��� ���������������������!�������������� � ���������� ������������������������ � ��� � � ������� ������ ���� ����� ������� ������ ��������)�� �� ���� ��� ��� �� ����� � ����� ��� ��� ���� ������� ���� � � ������ � ��� ��������������� ������ �����*�� ���������� ������������ ����������� � ��� ������������� ���� ��+������ � ����� ������ ����� �������� � ����� ����������������� ������������������������� ���������!��� ������ ��� ���

,��������� ���������������� � ��� �������� �������� ������ ���������� �� ������� ���������$������������������ ���!��� ��� ��������� ��������� ������(������������������ ������������������ �������������������!��������� � ����������������� ��������!������������������-������ ��� ���� ������� ���� �� �!������������� � ������ ������(�����$�������� ��������� � �!������������� �� ������������ ���� � ���� ���� � �������������� � �+� ������������������ ������������� ������������������������ ������� �� ������������ ��������� ��� ����� ������� ��� �����������#���!�������� ������+������� ����������������������� ������� ������������ ������������� ������������������������� ������������������������������� ��������������� ���� �������� �������� ��������������������� �������.�(����������������������� ��������� �� ���� �����������(���� �������� �� �� ������ � �� � ��������� ������� ������������� ��������������������������� ������������� ����

/��� ������������������ ���� � ������ ���� ������������ ��� ��������������� ���� ����������� �� � ����������� ������ ���������� �������� ���� � ������ ��� �� ����������� ��������������� ��������������������� �������� ���������� �� ������������ !�� ����������� ������������������������������������� ��������������.�(����������������������������� ��������� �� ��������������������� ������� ��� ��� ���� ������ ������ ������������-�������� �� ����� �� ��� ���� � � � ���� � �� ��� ������ ��� ���������� ���� ������ ���� ������ � ��� �� ���� ������� ��� ������ ���� ���� ������0������ �� ����)��� ������������� �������������������������� ��������� ��������������� � ����� ������������ ������� �� ��� �� ����� �+� ���� � ���� �� ������������ ����� � ����� ���� ������ ��� �� �������� ���������������������� �������������������� ����������������� ���������� ��������������������������������� �� �������������+���������� ����������� ���

����� � ���������������������������� � ������ ������� ������������� �������������� ���������� ������������ ����� ���� ���� ���������� ������������� ����� �� �������0������� �� � ����� ����������������������������� ������������ ���� ����������� ����������� � ������� ����� ������������� �������� �� ���������1����� � ������������ ��������� �� ����� ���� ����� �������� ������� �������� ���� ������ ��� ��� �����!�� � ��(� � ��� �� ���� ��������������������� ������ � ������� ��� ������������������� ��������������� ��� ������� ��������� ���������� ���� �� �� ����� ���� �������������� ����

2�������� ��� �� ������ ������ ������ � ����������� ���� ��+�����+� ����� ��� � � ���� ������������'��� ��� ��#� ���/�� �) �����'#/�3456��3478 ��-������������� ������ ������� ���������� ���������� ���� ��������������������������������� ����������� ������� �� ���� ������������ ����� ������� 96�������� ��� ���� ��� �� ������*�� ����������� ������ �� ������� � � ��� �� ���� ���������� ��� ���� � ���� ������ ���� ����� '�� ���� �� ��*�� �����

Page 3: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �361

�������:6������������������ ��� ��������������������� ����������������������������� ������������������������ ������� ������� �����������������(�� ��� � �������������� ����������� �+� ���� � ���� �� ������������������� ����� ��+����� ���� ���� ������ ��� ������� ������� �������������������� ���������� ���������� ������ ���� ����� !������� ����������+� ������� � � ������� ���� ���� ���������� ����� ������� ���� � �������� ����� ���� ����;�<������349= ��1����� ������ ����������������(�� ����������� ���������������������������(������������� ��� ����� ���������� �������������������� ������������ ������������������������ � +� ��(��������� ������ ��� '#/� �� ��� :���� ���� ��� ����*�� �� �� ����� ����������� � �� ��������������������� �������������� ���� � ��� ������� ������������������� ����� �� ����� ��� ��� �� � ����� ��� ���� '�� ���� ��������� ��� ����� ����� � ���������� �� � �������� ������� �� ���� �� ��������������������� ������������������ ������ ����������������������� ���� �� ��������� �� ���� ���������� ���� �� ��� 8����� ���� ������� ��� ��� ����� ��� ����������� � ������ �������������� ������ ������������������� ��������� ��������������������� ����������� ���������������� ��������� ������ � ����������������� ��� ��� ��������������

8.2 ASSEMBLY AND OPERATIONAL PROCEDURES AND ROTOR VIBRATIONS

>����������� ��� ������������� �������������������� ����� ����������������� ����������� ������ �� ���������/����������� ���������� ��� ����� ������������ ������� ��� ���� ���� ��� ��� ���� � ������� ��������������� � ����!� ����� #������ � ������� ��������� ��� ������������� '� ��� � ���� ���� ������������ ��� ��� ���!���������� � ������ ���� ����� ���������������� �������� �������� � ����� ���������� ������������ �� � �� ���� ��������� ������� ���� ���� ������� �������� ����� ���� ����������� ����� ��� ������������ '��� �� �������� ����� ������ ���������������������������� ��������� � ��� ������������������ ����� ���������������� �����'������������������������������� ����������������������������� ������������ ���� ������������������ ��������������������� ������������������ ����������� � ���

������ ����������� ��������� ������� ���������������� ����)�������������� ����������� � �� � ������ �������� ������� ���� ����������� ������� ��� �������� ��� ����������������������� � ���������� ������ ��������!��� ��� ������������ ��������+�������������������� � ���������� ������������ ���������������� ���������������� ���� ���������� ������������ �������� ������ ���� ����� �����

������������ ������ ������� ������ ���������������������������� � ���

����� ����������� �� �������������������� ����'� ������� ���������������������� �������������� ���� ����� �� ���������������������������� ����� ���������� ������+� ���������'� �������������� ���� ����� ���������� ��������� � ����� �� ����������������� ������ ����� ���(�������������������! ���������������������������

#������ �� ����� �� ���������� ��� !��� ��� ������ �� ��� �� �� �� ������������ ���� ����� ��� �� ���� ������� ��������2� ��� ��� ���� ������ ������� ��� ���� ��� ����� ���������� ����������� ����� �� �� ������ ����� ������ ��� ����������� ������������������� ��������� �� ������� ���� ����� ���+� ������! ����� ��������� ������ ������������� ������������� ����� ��� � ����� � ����� ��������� ��������+��������� ���� ����������������������� ��!���������� ��� �������������������(�� ������������ ����������������������� ��������� ����� ����� '�� �� ����� ��� ���� ��������� � ����������������� ����� ����� ��� ��� �� ������������� ����������� �� ����� ���(��������������� �������������

Page 4: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

362� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

��������� ��� � ����������� ������ ������ ���� ���� ���������� ��� � � ���������������������� �� ������� �������������-���������������������������� ����� ���� ���� ��� ���( ���������� ���� ��� ���� � � ���� ������� ������ ��� � � ��� ���� ������������������ �� �� ������ � ��� ������ �� ����� ��� ��������� ��� �������� �� ����� ����� ������������� ������� � ����������� ����� ����������� ��� !��������������� �����������������/��������������!����� ���������� ������ ������������������ � ���� ������������������������ �������� ��� ����������� ���� ������������-��!������������ �� ������������� �� ����������� ���������� ���� ��������� �� ���� �������������������� � ���� ���������� ��������� � �� ���� � �� �!� �� �� ���� ����� ���� �� ��� ������� �������� ��� �� ��� ���� �+� ��� � ����������� � !����������������� ������������������ �������������� �������� �� ������������������������ � � ������� ������������ ���� ���

8.3 BALANCE METHODS

��� ���� ������ � �� ��� ��������� �� ��������� �� ����� ���� ��� ��������� ���� �� ���������� ��� �����+������������ ������� ���� ������������������������ ��������������������������� � �������� ��������������������� ������������������������� ������� ��� ���������� ������� ������������������������ ����������������������������������� ������� ������ ������ ���������� ���+������ ����� ����� ��������� ����� ������� ������������� �� ���� ��� ��� � � ���� � ����� ������ ��������� ����� ������������� ���� ����� ��� ��� � ���� ������������ ��+����� ����������� �� � ����� ������ ���������������� � ���� � ������ � � ��� ���������� ������� �������� ������ ���� ��� ����� ��� ������ �� ������ ��� � ���� �������

� � ����� ������� ��������� ������� ����������������� ����������� ���� � �� ������������� ���� ��������� � ��� �� ������������������������������������������� �������������� �� ������ ����������� ������� ��������> ��������������������� ������ ��������� ����� ����� ���� ��� �������� � ������ ��� ������ �� ������� �� �� ��+����� �������� � � ����� � ���� ��� �������������� ����� ����*�� ����� �������������� �������� �������������� �������� ������� ��������� ����� ����������

���������(�� ��������(������� � ����������������� ���� � � ������������� �+���! ����� ������� ������ �������������������������+������ � ��� ��� ��� �������� ��� �� �!��� � ����� �����������������-������������ ����������� ��������������������� ��������������� ����������������� ���������������+� ������ ���� � ���������� ���������� ������������������������� ���������������������������������� ��������������� ���� ������� ��� ���������������������������� ��������� �������,� ����� ���������� ������� ��������������� �� ����(��� ��� ������� �������������� ��������� �� ������� ��� ��������������������������!��(�� ����������������������� �������������� �������� ��� ������������ ������� ����� ������� �������� ����� � ��������� ������������������ ���������������� ��� ����������������� �������� ���� ������������������� ������ ���������������� ������������!�������������� �� ����������������� ���� ��������� ������ ������ ������������� ������ ������������������������� � � �!����� � ���

�������� ������ ������������ ������������������ ��� ����������� ���������������� ��� ������������������ ��������� ���� ������� �� ������ �������������������������������������� ���� �� ��������������'������ ��� ������������ ������������������� ������ ����

Page 5: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �363

��� ��� ��� ����� ���� ���������� ������������ ��������� �� ���� ������ ���� ���� '�� ���� ������������� ������ �������������� ����� ������ ���396°���������� ���

#�������������(�� ��������������������������� � � ����������������� ���� �������������� ���� �� ��� �+� ��� ������ ���������� ����� �������� ��� ������� ���� ���� ����� �� �������������������� ����� ��������������� �� ������������������ ���������� � �������������������������� ����������������� ������� ������ ����� ���� ��� ����������������������������������� ����������������� ���������� �� ������������ ������� ��� ���� ������������������ ��������� ����������

���������������� ��� � ��������������������������� ������������ ���������� ���� �� �� ����������� ����� ������������ ������������� ���� �������������������� �� ����� ��� ���������������� �������������������� ������������ ��� � �������� ���'������������������ ��� ������������������������ ��� ������� ��� ��� �� ����������� ��� ����������������� ������:��:�� ��������������������������������������+��� ������� �5��5� �������� �� ���������� ��� �������� ���������� ��� ������������ �������� ������������� ��� ��������� � ����������� ���� ������� ��� ������� ��������������������������� ���

����������� ��)�� �������� �������������������� ��+�������� ��������� �� ������������� ��� �� ����������������� �������������������������� ����� �� ������������ ������������� ��� � ��������������������� ���� ��� ���� � � ��� ������������ ������ �� ���������� � ���������� � ������������ ������������ �� ���� � ������ � ���� ������� ����� ���� ������������!��������������������� ������ � ����������������� � �� ����� ����������������� �������������� ����� �������� � ���������� ������ �� �������������������� ����� �������������� ����������������������� ��)�������� ���������������� ������������������� ��������������� � ����� ����������� � �������� �������� ������� ��� ����������������� ���������� ���� ���� ��� � ���� ������������� � ������ ��396°���������� ����0������������� ���� � ���� ������� ���������(�� �� � � ���� ��� ������� ���� � �!� ��� �� ��� �+� ��� ������������ ������ ���������������������������������� ��������� ���������� �������������������������������

0����� �� ������ � ���� �� ���� ��� ��������� ������� ��� ���� ���� � �� ���� ����� ���� �� �������� ���� ���������������������� ������������������� ����� ���� ������ ������ �� ���������� ��� ���� ����������� � ���� ����������� ��� ���� ��� � � ��� ������������� �����>�������� ��������� ������� ����� ��������� � ������������������������ � �������������������������������������� ������ ���� ���� ���������������������������������� ����� ������ ����� ���������1��� ���������� ������ ����������� ��� ��� ������ ������ !� ���� �������� � � ����� ����� � � � � ���������� �� ��� �� ���� ��������� ��� ����0������ ������ �� ���� ����������������������������� � ����������� ��������� ��� ���������������� ������������� ��������+���������� � ���� ����� ����������������� �� ��������������������������������� ��������������������������������� ������������������ !��34=7 ����� � �� ������ �� ��� ��������� ��� ��� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ���� ���������������� �� ����� ���������� ��� �� ���� ����������� ������������������ � ������ ����� ������������� ��� �� ���� ������������ ����� ������ ��� ��� ���� ��� ���� ��+������������������������������������ �� ������� ������ ��� ��������� ������� �1������ �� ���� 349: ��������� ��������������������������������� ������ ��������������� ���������������� ��������� ��)��� �� � ��� ��� �� ���+������ '���� ������� ��� ���� � � ������������������� ���� �������� �� ������ ������ �� ������� 1�������� ������� ����������� ������ ���

Page 6: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

364� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

� ����� ���� � �������� ����� ������������������ ����������� ���� � ������ �� �������������������������������������� ������������!�������������� ���� ������������������������������� ��������� �������������� � ���

'����������������������������� ������� ��� � �� ���������.�+������������������� ������������ ���� ��� ���� ������� ���� � ������ �� � ��������� � �� !�� ��� ���������������� ���� ����� ���� � ��������������� �� �� ������ �������� ������� �������������������� ������� ���� ������� � ���� ��� ��.�+����� ����� ������ �� � ���� ���� ���� �� ��� ���� ��� ������������������� ��� ������������������'������������ �������������� ���� ������������� ������� �� ���������������� ��� ������������!������������������ �������������������������������������������� ������ �� �������� ���(�����

8.4 MOTION OF UNBALANCED ROTORS

0����������� ������� ���� ����������������������� ������ ��������������9�3��'����� ������������� �� ��� � ���� ��� ����������� ���� ����������������������� ��� ������ � ������������ ����������������� ��������������� ��������� �������������������������� �������� ����� ������� ��� ����'������������ �������������� �������� � ���� ����� ��������������� � ���������396°� ���� �������������� ������ � ������������������������ ����������� ��� ����������� ������� ������ ������������� ��������������� ����������� ����� ������������������� ��������������������� ������������� ��� ���� �� �� ������� ��� ����� ������ ���� ��������� �� �������� ��� ����� ��*������������������������������������������� ����� ������������������������ ������� ��������������������� ������������������ ������� � ���������������������������� � �� ��������������� ����������������������������� � ���������������������� �����

Fig. 8.1. Static and Couple Forms of Unbalance

>�������� ����� � �������������������������� ���������� ��������������� �������������� �������������������������9�3����� �������� ������� �� �� �� � ��� �������������� ��� ��� ��� ������� ������������� ���� ���������� � ���������� ���� ������������������ ��� ������ � ���

1����������� �� ���� ��������� ��� ���� ����������� � ��� ���������� ��� ���� ������ �� ���� � ��� ��������������� �������� ������������ �� ���� ������� ������ ����������� ���� � ��� ������������ ����� ������������� � ������������ ��������������9�:�

Page 7: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �365

Fig. 8.2. Rotor Motion in Flexible Bearings and Supports

&����������� ������ �������� ��������������������� �������������������� ���� ����������������������������� �������������������������� ���

��� ����� � ���� �������� ��� �� � ��� �� � ��������� ������� ������� � ������� ��� ��!�������� � �� ����� �� ���� ����� ��� ������ ��� ������!� ������� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ������� ��������������� ��� � ����������������� �������������������� � �������+� ������������������������!*��� ��� ������� � ����������������������� ������ � ����������������!� � ����� ���� �� ��� ��������� ���������������������� ����� �������������� �������������� ����� ���� ��������� ��� ������ ����������� ����� �������� ��� �� ������������������������� ������ ���������'����������������������������������� ����������������� �����������������!�����������������������������������

8.5 CORRECTION METHODS

#� ����� � ������ ����!�������� ��������������������� ����������������������������� ���������9�8�������� ���!����������� ������������������������� ��������/���� ���� � �������������!*������������� ���� ������������ � ���� ����������� ������������������������)�� ��� ���'����������������������!�������������������������� ������������������� ����������� ������� ��� ���������� � ����������� ��������������������+� ��� ����� ��� �������������� ���� ��������������������������� ������������� �� ���������������� ���������������!� �� �� ������� ��� �������������������� �����������������)�� ��!��������������� ���� �������� � ������ �������������������������

� � �������������� ����������� �������������� ��������� ���� ��� '������ ��� ��������� ��� ����� ���������� ��������������������������������������� �� �+� ���� � ����������� ��� ������� ���� �� ����������� ��� ���� ���� �� ���������� ����� ����� �� ��� ������������������������� ���������������� ���������� ������������������������� ������������ �������� �36;3����������%�������������������������������������������� � ��� ������������������������� ������:6;3���������������'������� ���������� ���� � ���������������������������������������������������� ���������������� ������������������������� �������+����������������������� ���� � ���

Page 8: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

366� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

Fig. 8.3. Static Balance Using Pendulum Principle

0���������� ������ ����� ����������� ����� ��� '�� ���������������������� ��� ������������������������������ ����������������� �������� ��������������� �����$������� �� ��������������� �� ������������� ������������������������ ������ ��������������������� ��� � ��� +� ����� ��� ��+������0 ��� ���� ��� �� ��������� �� ������� ���������� ������� � ������� ���� � ��� ����������� ��� ���� ��������� �� ������ �� ���� ������������� �+� ��� � ������� ���<����� ���������� ������������� �� ������ ���������������������������� ��)������� ��������������������������������� ������������������!������� ��������

> ���� ��� ����������������� ����������������� ��������� ��� ���������������� � ��������������������� ���� ��������� ����������������������������� ������������ ���� ������ ������� ��������������� ���� ����>��������� ���� ������������������� ���� �������� ���� ���� ���� ������ ���� ������ �������������� �� ��� ������ ������� ���� ������������������������ ����������� ���� ��)����� ��������������� ��������� �������� � ����� ���������� ��� � ���� ����2�������������� ���� ���� �� ������������������������������ ��������������������������� ������ ����������� ����������������������������������������������������� ��������������������� ����� ������������������� ����� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���(��������� ������������ ���� ��������� ���� ���� ���������������������� ����������� ����� �� ���� ������������� ����������������� ���� � ���� ������� �������������������� ��� ����������� ������������������������ ������������������� �����#��������������������� ��� ������������������������������� � ����������������� � �� ����������� ��������������������������

"�� ���������������� � ���� ��������������� �������� ���� ��� �������� ��������������������������������������� !������ ������ �� ����� ������������ � ����� ����,� ���� ������� ������ ������������� ������������ ��� �� ���� ��� �� ��������������� ����� ���������� �������������)�������� �������������� ������� � ����� �������� �������� ����� ������������� �� ���������������������������������� ��������������� ����������������������������������� � ���� ���������������������� ������������(������ �������������������������� ������ ���� ������ � �� ������������������� � ����� ��������������� ���� ��� ����� ������������ � �� ������ ������� ��������������� ����� �����#���� �������� ��� ������������������ ���� ���������� ��� � � ������� ������������ � �� ���� ���� ��� ���� ���� � � ������������������� ���� �� ��� ������� ����� ���� ������ ��� � ����������������� ��� ���� �� ���� � ���� ������>�� ������� ������������ ����������������������� ������ ��� � ������������� ����������������� � ������ ���� ������ ��� ��+������������ � �������������������� ��� ����������������������������������������������� �� �������������������������������������������� ���� ��

Page 9: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �367

'����(������ ������������ ����� �� ������*������������������������������������������� ���������� ����� ����������!��� ��� ������������� ����������������������� � �������������������������������� �� � ���� �������� ����������������������� ����������� � ���� ������������������� ������� � ������������������������� �������������� � ������ ������������ �������� ������������� � ����� ���������� �� ����� � ���� ��� ���� ������ ��� ��� �������� ��������� �������������������� ������������ � ���� ����0���������������� �������� ���������� � ��� ��������� �� ���� ��� �������� � ���� �� ���� ������ ����������� ��� ��� �� � � ���#����+����� ���������� ������� ���� ������� ���������� ��������� �������� ������������ ������� ��� �����������������

������� ����������� ��� ��������������� ������� ��� ��������� � ���������� ���������� ������������� ������������������ ���� ���������� ����������$ ����� ����������������!����� ��������������� ��������������� ����������� � ���� ���������� ������� ������������������ �������� �� ����������������� ��������������������� ��� ������������������ ������� ������� ������� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� ����� ������ ��� �����>����� �����������+��������������� ��������������������� ������������������� ����������

� � ���� ��� �������� �� ��� ���� �������� ����� ���� � � ��� ��������� ��� ���( ��������������������������������� ��� �������������������� ����������� � ����������������� ������ �� ������������������������������ ��� ����������� � ���������������������� � � ����� �� ��� ������� ��� ��� �������� ��� ��� ��� �������� � ���� ����������������� � �������������������� �� � ����� !�� ���� ��������� � ��� �� ������������������������� �������� ��� ���������� � ��������!������������������������ � ������������ ������������������ � ���������������� ����� ����� �� � ��������

���� ���� ������� � ��� ������ ��(���������� ����� ���������������� ��� ������������ �����$�������������� ���� � ����� !��� ������� ���� ���� � ��� ���� �������� ��������� ���������������� ���������������������������������� ������'����������������� ���� ������� ����� � ����������� ������ �� � ������

8.6 BALANCING OF RIGID ROTOR

0� ������ �������������� ������������������������������� ������� ��������������� ���������� �� ���� ���� ���� ����� � ���� <���� ������� ����� �� ���� ���� ��� ������ ������ ������ ������������������ ���� ���� � ���������� �� ���� ����'�� ����� ������������ ����� ������� �� ������ �� ���� �� ����� ��� ����� 96� ������� ��� ���� ������*�� ��� �� ��� �� ������� ��������������������������������<������������ ������ � ������������� �������������������������� �� ���� �� ��� �� ���� ����� ���� ���� ����� )���� ���� ��� ���� ��� �� ������ ��� ������� �� ���� �� ��� ������� :6�������� ��� ���� ������� ��� ��� � ���� ������ ���� ���� ������������������������ ���������������������� ��� �� ����������������������(�� ��� � ����� ��������������������� ����������������� � ���� ����������� ��������� ���������������� ���� ������ ��� ����������� ���� �������� �� �����

-������ ���������������� ���� '��� ��� �� #� ���/�� �) ���� �'#/�� 33856�� 3445 �� ���� �������� ��������� �� ������ ���� ��� ������� � � � ��� +� ����� ��+��������� ����� ��������� ����� ������<������ �349= � ������������ ������� ������� �� ���� ��������� 1����� �������������������� ������ � ���������������� ��������������'#/

3� ������ ���;� � � ��� �� �� ���� �� �� �� ���� �� ���� �� � � ��� �� ���� ������������� � ���

Page 10: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

368� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

:� �� ������������ ���;�.��� ����������������� ���� �+� ������ � ��� �� � ���(����� � ���� � ����?� � � ��� ����� ��� � �� ��� �� ���� ����� ����� � ���

8� ������������;�0 ������� � ����� ������������ � ����� ������ ��������+������� ��� ����� ����(����� ����� �� �� �����������

5� ��������� ���������;�<����������� ���3��:����8�� ��� �� ����������������� ����� ������� ������ ��������� ���������

@� �������������������������;�#���� ��� �������� ���8�������� � ������������������������� � ������ �����

0� ���3� �:��������� ����� �+� ������ � ��� ������������������������ ����1�������������� ��0� ��� 8� � 5� ��+����� ������ �� �����+������ ���� �������� ����������������� ����;$������� 3444 �

#����(�� ��� � ������� ������� ������������ ����������������������������������� ���������� �� �������� �������� � � ��������������� � ���������������� ����

����������������� � ��

� ������ ��� ������ ����������� ��� ���� ����� ��������������� ������������� ������������ ���

������������������������������ �������������������������������� ������������������������.���

�� �������

�� ���A��

��×��� ������������ '�� ����� ������ ���������� ����� �������������ω�� ���

�� � ��������������������������

��

A ���×���×�ω:�����×�ω:����

��×���×�ω: �9�3

������� � �������������

��

A �B��A������� B� �9�:

'�� ��� ���� � ������������������ ��������������������������396°���������� ���������������������

�������� ��� �� �������� �� �� � ��

��

A ���×���×�ω:�C��

��×��×�ω: �9�8

���������� ����� �� ������� ����������'������������ �� ������� ���� ����)���������� �������

���������������������������

���� �������� ����������������� ��+������ ���� ��� ����� �� ��� ���� ��� ���� ������� ��� ������� ������ �������� ��������� ������������������� �������� �!��������� ����������� ���������������������� ��������������� �������������� �

� ���� �9�5

������ �� ��� ���� �������� ������������ ���� ������� ��� ����� ����������� ��� ���� ��������� ������ ���� ������������ ����������������� ������������������������������ ����������������� ����������

������ ����������� ��������������� ����������������

������ ���������������

����� ����������������������������� ��

� A � ��� B�

�9�@

�������� ��������(�� ������������ � ������������������ ��� �������������������� ����

3� ��

:���� ������������� ������%� � ������������

3� ��

:� ��� �� ����������

��!�� �� �����θ3� �θ

:� ������������������� �!��0������� ��������������������������� ��

���

A �3��

��×�ω:�A��

�ω: � �9�=

��

A �:��

�×�ω:�A��

ω: �9�7

������ � ������������ ������������������� � ������������ ���� ������� �������������� �� ����������� '������ �� �� ������� ��� ��� ����������� �����-*��������*����������� ���

Page 11: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �369

���������������� ��� �� ������ ���� ������ ���������������� �����������+���������������� ������� ����������� ��� ����������������������� � ����������������� � �����������������!������ ��� �� �� ����� ����

3� ��

:������ ������������� ����������������� ��+��� ���

��������� � ��������

�� ����� ��������������������������� � ��������������;

��

A ����D��

�×�ω: �9�9

��

� ��3���

��D��

:���

�×�ω: �9�4

������ � ����� �������������� ���� ������������������+��� ������ ���� �� �������������

����

�� �������� ���������������������� �������;

��� �

�����

�� ��

�A��

��!��

��9�36

��� ��

A ����D��

B:� ��

��A���

�C��

� B: �9�33

���������������������������������� � ������������ ���� ����������������� ������������ �� ������������'��� ������ ����� �������� ��� �������ω� ��;

��ω A "

3∠α

3� �

�ω �A�"

:∠α

:�9�3:

������"��������� �������� �α

����������� ��� �����'���������� ����� ��� ���� ������� �����

������ � ����� ������;

A �33�ω �

���D��

3:�ω �

� �9�38

A �:3�ω �

���D��

::�ω �

� �9�35

����������������������������������� ������ �������� ���� ���� ��� ����3� ��� ��

�� �� ��������� ��������������������� ��������� ��� ���� ��3��������� ����� ��;

��

A �����

�3�D��

�3 �D��

� ��

�:�9�3@

A � ���

�3�D��

�3 �D��

��

�:�9�3=

��������� �

�� ���������������� ���� ���3� �:�������������������������� ��;

���

A ����C�

� B��

�3� ��

��A��

��C�

B��

�3�9�37

���� ������ ��� ��������� ��� ����������� � ��������� ����������� :

��� ����� ���������� ���'��

� � �

� ���������������� ���� ���3� �:�������������������������� ��;

��

A �� �C�

� B��

�:� ��

�A��

�C�

B��

�:�9�39

'�� ������� ����1

2

"

"

A11 12 1

21 22 2

� � �

� � �

�9�34

����� � ��� ������������������ ��;

11

22

� �

� �

= −

A C

111 12 1

21 22 2

� � "

� � "

�9�:6

#����������������������������� ��3���;

1 12

2 22

11 12

21 22

= −3�

" �

" ��

� �

� �

�9�:3

���������������������������� ��:���;

Page 12: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

370� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

2�� A

11 1

21 2

11 12

21 22

� "

� "

� �

� �

−�9�::

'� �� ������ �� ������ ��� ����������� ������ ���� ����������� ����� ������ ��� ��������� ���������� ���� �� ����������� ������ ������ �� ��� �� ��������� ��� �� ���+������ ���� ������ ������������������� ��� ��������������� � ��� ����������� � ��� �� ����������

Fig. 8.4. Rotor with Attached Disks

1������9�5� ������ � ����������� �� ������!���-��!��8� �7�� ����� � �������8� ��

7�

����������������� ���������������� ������������ ���������� ���������� ������ ����!�@�����

����� ������ ����� ��� �� � � � ����� ������ ������� ����� ����� ����� �� ���� ������ � ���(�� ���������������������� ����� � ���������������������ω

8� �ω

7� ����� ��� ���� ���8� �7� �

� ����8� ��

7����� � ���������� ���� ���������� �� ���� ��� � ������ ������ � ����<����

�� � ��������������������������

@������������������ � ���������������

8�D��

@�D��

7 �A�6���

� �������� ��� ���� ������� ��� �� �� ���� �+������������������� ��� �� ����� �� � ������������ �������������� � ������������ �� �������������������� ������������ �������������������� � ������������� ��� ��������������������� ���� ������������������������ ������������������������������������� �� ����������������76����������� ���������� �� ����������� ��� � ���� ����+������������������� ���� ����������%� � ��������������������������� ���������� ���������� �� ������#�������������������������������������������� � ��� ����������������������������� � ��������� ����� ��������� � �������� �����������!�

8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

���� ����������� ��������������������� ��� �����+�������������� ������������ � ��������������� �����0����� �������� ������������������ ��������������������������!���������� ����� ����� ��������������� �������������� ���� �������������������� ����� ��������� �� � �� ����� ��������������������� ������������ ����������� ������������ ���� �������>� ������������� ����� ��� ��� �� ���+����� ������� ��� ����� ����� � ��� ���� ������ ���� �� ��������������������������������� ���� ������������������������� ������� ����� �������������������������������*��� � ��� ��������������� � �������������������� ������������������� �

Page 13: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �371

��� ���������������� ���� �������� ����������������� ������������ �� ��������� � ����������������- ������3494 ���������������� ����������������������������� �� ��������������������������� � ������������� ��� �������� ��� �� ������������������� ������� � ����.������ �������������� �����������+������������� �������������������� �������

#��������� ��� ��������������� ������ �� � ���� ����� ����������� ������ ��� ������� !��34=7 ���������������������� ���������� ���������� ������������������� �������������������� ������ ���� ��������� � ��������������� ������������������� ���������� ����������������� ������������� �������� ���� ������������������� �����0����� ��������(��� �� �������� � � ��� ������ �� ����� �� ���� �� ���������� �������� ��� �� ���� ������ ��� ������������������ � ���������������� ����������� ���� � ��� ��������� ������� ���������������� ������ �� ������ �1������ �� ���� 349: ������ ������������������������ ����� ����� ���������� ����� ���� ���������� ����� �� ������ �� ���������11�� ��)�������� ������� �������� !�� ������ ��������� ���� ��������������$ �������� �� ������� ��� � ������ � ���������� ������������� � ����������������������������������������������������� � � ��������� ������� ���� � ������ �������� ����� ��� ������������ ���� � ��� ���� ��������� ���� �� ��(�+� ��� �������������-� �� �!�� ����� ����� ������� ��� !��� ���� �����*������ �� ����� ������������������� ������� ��������� �������������� � ��������������������������������� ���� �������������� ������������� ���� ������������������ !���������������

����� ������� ����� ���������� ����� ����� � ������������ ����� ������� �� �������������������� ����������������������� � ��� �������������������+������/����������� ����������� ����������� ��������������������396°� ��������������� ������ !��� ���������������� ������ �����1���������� ���������������������������������������� ������������������ �� ����� �������� �����

� � ������������������������� ������������������������, � ))������ ����349:������.�+����*������ ��� ���� ���� ��������� ������� ����������� ���� ������� ���� � ����� ����� ������������������������ ���� � ��� ������������ � ������� ����,� ��� ���� ���� ������ ������������������� ��� ������������ ����� ������� ������� ��� � � ��� ���� ������ �� � ������ �� ������ ��������<������� ��� ��� ����� �� ���� ���� ���� ��� �� ���+������� ��� ������������� ��!���������� ��� � ��������������������������������� ����������������� ����� �������� ������������������������������������������� � ����

#� ������������ ��� � ������� ��������������� ���������������������� ��*������� �������� ���������� �� ����� � ���?� ��� ���� ������� �� �� ���� ���� ����� ��� � ��������������������������� �������������� ����� � ��������� �������������� ����������� ��������� ������������� �� ���� ����� ���� ������ ��� �� ����� �� ���� ������� ���� ��� �� � �����)����� ����� ��� ���� ����������� �� ������������ ����� ���� ��������������������������������������������� ���� ����� ���� ������������ �������� ����������������� ������������ ��������������� ������ ������� ���� ���.�������������� �� �� ��������������� ���� ������������� �� ����� � ��� ��� �� ����������� ���� ������������������ ����� �������� �+� ��� ����� ��� ������������������� �������������������� �� �������� �� ���� ����� � ���� ������ ����������� � ���� ����������� ���������������������

1��� � � �������� ������ ���� ���� �� ���� ������ ���� ������ ��� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� ������ #��� ���� �������� ���� ��� �� ��� �� ���� �� ���� �� ����������� ��� ��� ���� ����������������� ��������������������������� ������������������������������������������� ������������������������ ������� ������� ���� ������ ��� �����������

Page 14: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

372� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

������������ ��������������� � ���������������������������������� ������ ������������ ����� ������ ���� �������������� ����������� ������������ ������������������������� ������ ����������� � ���������������� ��������� ������������������� ���������������� ����������������������������������������������������������� ��������� ����������������.������ ���������������������������� ������������� �������� ��� ��������� ���������������� ���� ������� ���� ������� ������� � ���� ��������� 1��� � ��� �� ������� ����� ���� ��� ���� � ���������������������������� ���������� ����������������� �������������������)������������������ � ���� E��(����*�� � ����� ��� ����� �� ��� ������ � ���� � ������������� �� �������������� ������&������������������������������������������ ����� ������������� ������� ��������������� ��������������

&�������� ���� ��������������� ����� ���������������� ������������������������������ �� ��(�+� ��� ������ ������ ��� � � ����� '��� � ��� � ������ ����� ������ ���� ����� ��������� ��������������� �����������������"�� �������������������������������� ������������� �������������������� ������������������������������� ������� ����������(������������������������������� ���������� ���������������������������� ����������������������������������������� ���� �� �������� ���(����

���� ���� ������ ��� ����� ������� ���������� ������� ��� �� ������� ����������� ����� � ��������� ������������������������������������������������������������� �� ���� ������������������������������� ��� ������� ��������������������������������� �������������� ���������������� ��� ��������� �������� �������� ��������������0����������������������������� ��� � ���� ���� '� ���� ����� ����� ����������� ��� ������� ����� ���� �������� �� �� ���������������� ����������� ����������������������������������������������� ���������������������� �:��:�� ��������������������������������������+��� ������� �5��5� ���������� �������� ������� ����'��������������� ������������������ ������������������������� ��� ��� ������� �������������� ���

���������� �������������� ��� � ��������� ������ ���� ����������������������� ����������� ���� ���� ���(�� ���������2��� ��)�� �������� ������������ ��� ���������������� ���� �� ��(�+� ��� ����������������������������������������� ������������������ ������������ ���� ������������ ������ ����������� ���������������� ����������������� ������������������������������������������!��������������������*����������� �������� ����� � ����������� ������ � �� ����� '��� ���������������2��� � �3475 �� ���������������������������, � ))���� �� ���� �349: ������� � ����� ��� ��������������� ��������� ���� �� ��(�+� ���������������� ���� �������������������������� �������� �� ��� ���� ���� �� �������"���� ������ ���������� �����������)������ � ������������������������

���� �������� ����������������� ���� ���� �����(�� �� � � ���� ��� � ��������� ������ ������ ��+�����������!���������� ���� ������*���� �� �� � ������������ #��������� ��������������� ���� ��� ��� ����� ����� ����������������������� ���������� ��� �� ���� �� !���� � �� � ��� ����� ��������� ����������� �!������� � ���������������� ����� ������� ���� ���� ����������������� ��� ������ ���� ��� ���� �������� �� ���� �� � ��� �� ����� ������ ��� ���� ������������ � ������� ����� ������� ���!������ ���� ������ ��� ���� ����������� ����������

Page 15: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �373

Table 8.1. Vibration Measurements on Disk of Flexible Rotor

���������� #���������$%�&���� '� ���#�������������

:366 6�:@ 98

::56 6�88 @5

:766 3�3@ ::

:966 3�76 4

86:@ 3�4@ 8@@

83@6 3�96 883

8866 3�77 86:

8=66 3�@@ :93

847@ 6�4@ :=8

@9@6 6�8@ :@:

9:@6 6�:6 :57

����������������� ����� ���������� ����9�3�������������� ������� ���=7°������������������ ������������������������������� �����396°���������� �������������� � ��� ���������������� �������� � ���� ������������ ������������� ����� ������������ �� �� ���� �������� ��� ����������������� ��������� ������� �����36����������������� ������������������������

'������ ���� ������������������������������ �������������������1��� �������� �����������������������������(� � �����)������������ ������ � ����������+����� ������������� ���������� ���������� �������� �� ����� ������������ ���� �������� �������� ����������� � ������� � �����������

�����;

� ��ω ���

�9�:8

������ ω =− +

:

:� �

�3 :

��

� � ��� ����A��

����α����A�ω* ω

��� � ������ ������������:�����)ω* (�

�������� ������� ����������� �� ������� ���� ��� ��� ��������������������� ����� �����

� �������� ���������� ���� ����������� ��������������� ������;

� ��×××××���

���D��

� �9�:5

�����������������������������;� � �

��� B�

�9�:@

��������������������� ��;

��

A ���

��A� ���

B� �C�

�9�:=

8.8 OVERHUNG THIN DISK ROTOR

>����(�� ��� � ���������+����� ������ �������� �������� ������� �������������������!� ������������ �� ��� ���� �� ����� ��������� ��� ���� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ��� ����������������������� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���������� � � ��� ��� ������������ ��� ��!��������������� '� �� ������� ���� �� ��� ���������� �� ��� ����� � ������!�� � � ��� �!��������������������������� ��������� ���������������� ������������������ ��� ������������� � ��� �� �� ������ ����������������� � �������� ������+����� �����������������

Page 16: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

374� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

� � ���� � ��� ������� �������� ����� ����� ������ �������� ��� � � ��� �� ������ ���� �������������������������� ������� ���� �������������������������������������������� �������������������������� ��������� ��� ���� � � ��������� ��� �����

���� � �!������!� ��� ������� �� ���� �������� �� ����� ��� ���� �+� ����� ��������� ��� � ���� � ������� ���� ���+� ����� �����+�����������������������!*�� ��� ������� �������������������������������� ��$�������� ���� ����� ��������������������������� �����+� ������������������ ����� ������������ ��� ��������������������+� ��������������� ���'������ ���������!��!���τ�A�τ

��!�+τ

�������������� �������� ����������� �

�������������� ����� � ����� ������������ �� ��� �������������� �������������������� ������� � ��� ���������������������� � ������!��� �����# � ������ ����3474 ������������+��� ��������!��!���� �������� ����������� � ����������� ����� � ��������������A� �

��!�+�

������ ������ � ������ ������� �� ����� �����������!�������������������������� ���� ��� �������� �� ��� � �� ��� ��!� �!���� � ���� ����������� � ��� ��������� ������� � ���������� ����� ������!�������

Fig. 8.5. Overhung Disk with Skew and Unbalance (Salamone, 1979)

��� ������� ���� �������������� ���������(� ��� ��������� ���������� �� ��� ���� ���!� �!���� ������� ��� �������� ������ �� ��������� ���� �� ���������� � �!������!� ��� �� ����1������9�@����������� �� �������1��� �������!�������� ���������������� �,

�������� ������

������ ��������������������� �,�� ���� ������������� ���������� ���������������� �����

������������� �������������������������� �������������� ������������

�������� ���� ������ ������+� ���������������������� ����� � �� ��������� ���� �����������������������������������������+� ����;

β

ω − ω θτω − θ = +

: : :

: : :

: :3 33

: :: ::

6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6�

6 6 6 6 6 6 66

6 6 6 6 6 6 66

+ �

+ ��

� � �- ��� � � - �

, + , � �, , � � �

� �- �� - �

� �- �� - �

θ

θ θθ θ θ

θ

θ

θ +

3 :

3 :

3 3 33 3: 3

: : 3: :: :

-- . - -

-

-

-

( ( ( ( -

( ( ( (

( ( ( ( -

( ( ( ( -

�9�:7

Page 17: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �375

Fig. 8.6. Vibration Characteristics of Skewed and Unbalanced Disk (Salamone, 1979)

#��������� �������� �� ���� �������� ���� ��!� ��� � ���� ��� ���� ����� ����� ����� ���� � ��� ���!��!��� ����������� ��*�������� ������� ��� �����=6����������� �� ����� ������� ������������������������������������������������� ���� ����������������������������������� ������1������9�= �������������!� �������� � ������ ���������������� � ��� ������� ! ��������� ���� ��������!����4�@� ������������ ������������������3�6� ����������������1�����9�=� �������������� �� ������������� ��� ��������������� � ��������������������������������� ��� ��� ������ ��� 46°� �� ���� ������ �� ������������ ����� ����� ������ ��� ���� ���� ���� ��� 396°���� �������� �� ���������������

$� �� ��������������+� �������� ������ �������� ���������������������� ������������!������������+� ����-� ��������+� ����θ��� �� ������� ����������� � ���� � ��� ��!� �!����α� �β� ��������� ��� �� ��� ���� ��� �� � ���������� ���� ���� ��� ���������������� ������������ �������������������� ������� �� � �� ����������������� ����� �1��� �����!���!�,

�F�,

�����������!����������������������������������������������� �����

�������������� �������!��&���������� ����������������!����� �����!���!� ��������� ���������� ��� ���� �������!�

Page 18: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

376� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

��������������!��!�������������������� ��� ������ ������������46°� ������������ ����������� �����396°� ������������ ��������'��������!��!�������� ������������ ��� ������ ���������� ��� ������ ����� �� ��� ���� �������� ������������� � � �� �� � ���� 1��� � ���������!��� ���� ������ ��� ������ ���� ���396°���������� �������� ������ �������!��!����� �� ������ �� ��������396°���� �����8=6°������������ �� ������������ ��� ������� ������������� ��������������������������������� � ������������� ������ ����� ������������� �������������� ��� ���� ������� �����396°� ��� 3@6°� �� ���� ���+����� � ���� � ����� ����� 3�6� ��� @�6�� ���������� ���������� ������������������������!�����������!��'�� ������ ��������� � ��� ��!��!������ ������������� � ��������� ������������������������� � ���� � ��������� ��������� ��������� ��������!��������������������� ���� �������������������������������� ������ �������� ����� ����

����������������� ���� ��� ��� ����� �� �������� ���� ������������ �� �� ���� ��������������������� � ����� ��������� �����+���� ���� � � ���� ��������� ����������� �!������!�� ���� ������ �� ��� �������� ��� ���� ��!� ��� �!���� ��� ��� �������� ���������� ���� ������������� �������!��������� � ��� ��������� ������ �������� ������� ���� ������ ������� �������(� ������� �������� ��������!���� �����%���� ����������������������� ���������������� ���� � ����������� ��� �����6�7�� ���� ������� ������� ��������������������� ������!� ��� �!����� ����� ������ �������� �� ����� ���� ���� ���3�6�� � �� � �� ��(� ��� ��� ���� �������� �� ������!� ��� ����������� ���� ������ �� ����� ���� ��������������� �� ����� �������� �� ����� 6�4� ��� ���� � ���� � ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �������� ���� ��������� ���������� ����� ����� ��� �����������!� �!��� ���� ����� ���������� ����������� ��� ���� ������� ���� ����������������������������� ���������������������!������!� ��������������� ���������� ���� ��� ����� ���������� �� ����� � ����

��� ���� � �� ���� ������������ � ��� ���� ����� ������ �������� � ���� ��� 3�6@� �� ��������� ���������������������� ��������������� ������� ������������������ � ����������� ������6�67�������� ��� ���� ��� 396°� ��������� ��� ��� ������!���� ����� �� ���� ���������� ������!�!��� ���������� ������ ��������� �������6�::� ������������ ����������������������� ���������� �������� �������� �� ����� � ������� �� � � A� 6�4�� ���� �������� ��� ���� ���� ���������������� ��� �������������������� ������� ���������������������� ���������3@6°�������� ����������������������� �������� ��� ����������������366°����������� ������� ���� ���A�6�7���� � �������� ���� � �� ����A�3�@�

��������� ������������������!��!������������������ � ���� � ���� ����� ������������� ������������������ ���������� � ��������&���������������� ����� �������� �����������!������� ����� � ��� ��!����� �� � �������������������� ������ ������������������� ���������!*��������������� ����� �������� ���������� �� ����������������������������� ������!� ���������������� ��� ������������������������ �������� ��� ����� ���� ��������� �� �� ����������������� ����� ��+������ ���� ������ � � � ����� � ��� �������� ���� ������ �� ���������� ���� ������ �� ��������������� ���� ������������������ ��������� ����� ���� ��������� ����� ������������������������� ���� �����1������� ���� ������������� ��������������� ���� �� ��A�8�6�� ������������������������� ����� ������ �� ����� ���� ������������������������������������� ����A�6�=��0���������������� ���� ���� ����A�8�6���������������������������������� ������������� ����� � ����� ���� �� � ����� ��� ���� ���� � ����+����� ��� ���� �������������������������� ��� ��������� ��������!� �������� ���� ���� ������������������ �����A6�=�������������� ���� �������� ��� � ���� �����+��� ��� ���������� ���� � � ���� ���� � �������������� ��� ���� � ������ ��� ��� ��� ����������� ���� ���� ���� ��� ������ ����� ���� ����� ����� � ���� � ��������� ��������������������������������������������� ����

Page 19: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

Balancing of Rotors� �377

�������������������� ��������������������������������� � ��������������!�������������! �396°���������� ��������� ������������������ ��+��� ����� � �����������������#� ��������� ���� ����� �� ����������������������!� �!�������� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ������!� ��� � ��� �� ���� ������ ������ �� ����� ��A�6�=������ �����+��� ��� ����� �� ��� ���� �������� ����������������� �� ���� ��������������������������� ���� ���� ����������������

8.9 MULTI-PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTORS

����������� ������������ ��������� ��������� �������������� ������ �������������� ����D�3�� �������� �������� ������ ������������1�������������� � ����� �� ���� ������������������������������� �������������� ������������� �� �������� � ��������������������� ������������������+�������� � ����� ������������������� ��������������������������������������� � ����� ���� ������� ������������ �� ���������������1����� ��� ���������������� ����������A�8���������������;

A ����

3�D��

� �

:�D��

���

8� �9�:9

A � ��

3�D��

:�D��

��

8� �9�:4

A ����

3�D��

� �

:�D��

���

8�9�86

'� �� ���������������+� ����� ��;

GH�

A I�J��×××××��

G�H�

� �9�83

��������������������������������������������������������������� � ����������;

G�H�

A C�G�H��A�C�I�J

����C3GH

��9�8:

���������������� ���������������� ������������� ���� ���� ��������� ��� �����!���� � ���� ��� ������������������ �� ���������!��

1������� �� ����+� ������������������� � ������������� ������������� ����������� ��������������� ������������ �F����� ����� !������ ������������������������������ ������������� ����;

A ���

�3�D��

� �

:�D�K�D��

���

��D�ε

�� �9�88

������ ��������� � ��

��� ����� ��� ��� ����� �������� ������������ ��������� ������

����������������������������� ����� �����������������������������;

GH�

A I�J�×××××��

G�H��D�GεH

��9�85

��������≥��������� ��������������������������� �������������� ���� ����� �������������� ���������� 1���� � ����� ����� ��� ���� ������ ���� ������ G H

�� ��� ���� ������� ������� � ����� ���

����� ������� ������������ ��� ����� �� �� �� �� ��� ��(���� ������ ������������ �� ��������� ���������������� ���������������������������������������;

GH�×××××�

A I�J��×××××� � �9�8@

0������������ �9�88 �

IJ���

�GH�

A IJ���

�I�J���

�G�H��D�IJ

����GεH

#���� IJI�J� ��� � �+� ���� ����� ��� �������� ��� ��� ������� �������� I�J�A� IIJI�JJ(3�� ���� �� ��(�+� ��(������� � ����� ����� ����������;

G��H�

A I�J���

�G�H�

� �9�8=

Page 20: Balancing of Rotors -  · PDF fileStatic and Couple Forms of Unbalance > ˘ ˚ ˇ9ˇ3ˇ ... 8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR

378� �Structural Dynamics of Turbo-Machines

������I�J���

�A�CI�J���

(3IJ���

��'���������������������������(���������� � �����+� ������������� �� ��� �+� ������������������ ��;

G��H�

A I�J�×××××�

IGH��C�G

�H�J �9�87

8.10 BALANCING MACHINES

��������������������� ��� � ����� ������ ��������������������������)�����������+����������� � ���� ��� �� ��� ���� ��� ��������������� ��� ���� ����� �� ���� ����� ������#������ ����� ������������������� ��)���������������������������� �������������� ���������������� ��������)�� ���� ��� '� ������ ������ ����� � ���� �� ����������������������� ��������������� ���� ���������������� ��������� ������������� ���� ������������������������������ ���� ������ ��� ���� �� ������ � ������� ����� ���� ������ ������ ���� �� � �������������������� ������ ������ 9�7 �

& ���� ����� � ����� ������ ���� ��� ������� � ����� �� ������������ ������� �� �� ������� ������������� ���������� ����������������������)�� ����������������� ���������)�� ���� ���� ��������� ���������������� ���������������� ������������ ��������� ������ ��� ������ ���� � ���� ������� ����� ����������� ��������� ����� ��������� ������� ��� �� ������������������������)�� �������� ������������������������������������������ �� ������������� ������������ �������������������� �� ��� ���� �������� �� ������ �� ����� ��������� ������� � ��� ����� ������� #���� ����������� ������ ������������ ����� ���� ������������� ��� ����� �� ������������������������ � ��� ���������������������� ������� ������������������ ���������� ����� ���� ������� ������������

Fig. 8.7. Deflections of Single Mass Elastic Shaft in Flexible Supports

0������� ��� � ����� ������� �� �������� ������)������������������� � ������������ ����� �������� ��� � ��������!������*���� ��� ���� ������������)�� ����������� � ����� �� ������� � ����� ������ ������ ���� ������� ���� ������ ������ ��� ����������� ������ � ��� �������?��������������������� ����������������������� ���� ��� �������� �������� ������� � ��������������� �������� ����������� �� ������������������������������������ ������ ��� ��������������� ����� � ��� �������� � ��� ���������� ���� � ����������� ���1����� � �������� ����������� ��� ��������� ������������������������������� ��������������������� � ����� �����