Balances Microscopicos de Calor(1)

7/24/2019 Balances Microscopicos de Calor(1)

1/11TECNOLOGA QUMICAVol. XXVI, No. 2, 2006 53

BALANCES MICROSCPICOS DE ENERGIA CALORFICAEN COORDENADAS CILNDRICAS APLICANDOECUACIONES DISCRETAS OBTENIDAS EN UN

VOLUMEN DE CONTROL

Armando A. Daz Garca

Universidad de oriente

En el presente trabajo se expone un mtodo para determinar numricamente perfi les de temperatura

en un paraleleppedo utilizando diferencias finitas.

El mtodo se basa en balances de energa calorfica en volmenes de control para los distintos

sistemas de puntos en que se divide al modelo, utilizando diferencias finitas y sin utilizar ecuaciones

en derivadas parciales.

Se toma como modelo fsico para desarrollar el mtodo un cuerpo cilndrico que se encuentra

inicialmente a una temperatura determinada y se introduce abruptamente en un fluido caliente

producindose un calentamiento gradual.

Se explica el mtodo y se obtienen las ecuaciones que pueden ser utilizadas para predecir la

temperatura en algn punto del cilindro en cualquier tiempo deseado.

Palabras clave: balances de energa calorfica, ecuaciones discretas.

In the present work is exposed a method to determine profiles of temperature numerically in a

cylinder using finite differences.

The method is based on balances of heating energy in control volumes for the different systems of

points in that is divided to pattern using finite differences and without using equations in having

part ial derivatives.

It is taken as physical model to develop the method a cylindrical body that is initially at a certain

temperature, and it is introduced abruptly in a hot fluid taking place a gradual heating.

The method is explained, and are obtained the equations that can be used to predict the temperature

in any point of the cylinder in any wanted time.

Key words: heating energy balances, discret equetions.

_____________________

Introduccin

En un artculo de igual nombre, pero aplicado

a un sistema descrito en coordenadas rectangula-

res, publicado en esta misma revista, se dieron los

elementos bsicos indispensables relacionados

con las diferencias finitas indispensables para

comprender cada uno de los pasos necesarios

para llevar a cabo el balance microscpico.

En este trabajo aplicaremos el mtodo general

que permite, con conocimientos muy elementales

de lgebra y geometra, llevar a cabo balances

microscpicos de calor en un sistema cilndrico

sometido a calentamiento o enfriamiento por

conveccin.

Generalidades

Para explicar el mtodo utilizaremos un ejem-

plo basado en un modelo fsico sencillo: un cilindro

homogneo de longitud finita y propiedades fsi-

cas constantes, sometido a calentamiento por

conveccin.

Supongamos un cuerpo slido homogneo en

forma cilndrica de longitud 2L y radio R, que seencuentra inicialmente a una temperatura T0 y

abruptamente (a partir de un tiempo t = 0) se

introduce en una masa de fluido a la temperatura

TEX T, constante, intercambiando calor por

conveccin. Consideremos que los coeficientes

de transferencia de calor en la pelcula en toda la

superficie del slido son conocidos y constantes,


2/11TECNOLOGA QUMICAVol. XXVI, No. 2, 200654

y se desea conocer la temperatura en cualquier

punto del cuerpo en un tiempo t.

Segn las caractersticas especificadas, el ci-

lindro tendr simetra tanto geomtrica como

fenomenolgica, y por lo tanto, slo tendremosque desarrollar las ecuaciones para describir la

mitad del cilindro en cuestin, tal como se muestra

en la figura 1.

Puntos bases del eje central: L(0,m).Constituido por todos los puntos bases de la

lnea central del cuerpo que intercambian calor

por conduccin con dos puntos vecinos (ver

esquema en la figura 3).

Fig. 1 Cilindro slido simtricoexpuesto a calentamiento por

conveccin.

Sistemas

Un sistema es, para los balances microscpi-

cos, el conjunto de puntos bases de la red que

pueden ser descritos por una misma ecuacin

discreta. Para que distintos puntos bases formen

parte de un sistema, es necesario que tengan la

misma geometra e igual situacin fenomenolgica.Para el caso que nos ocupa se pueden distinguir

los siguientes sistemas de puntos bases:

Puntos bases interiores: V(n,m)

Constituido por puntos bases que Intercambian

solo calor por conduccin con cuatro puntos

vecinos (ver esquema en la figura 2).

Fig. 2 Esquema del sistema de puntosbases interiores.

Fig. 3 Esquema del sistema de puntosde bases del eje central.

Puntos bases de la superficie lateral: S(N,m).

Constituido por todos los puntos bases de la

superficie que intercambian calor por conduc-

cin con tres puntos vecinos y por conveccin

con un punto vecino ficticio (ver esquema en la

figura 4).

Fig. 4 Esquema del sistema de puntosbases de la superficie exterior.

Puntos bases de la superficie inferior (fon-do):S(N,m).

Constituido por todos los puntos bases de la

superficie inferior que intercambia calor por

conduccin con tres puntos vecinos y por

conveccin con un punto vecino ficticio (ver

esquema en la figura 5).

L

r

Z

TEX

TEXT

pT

0,0

pT

0,1

pT

0,1

pm

T1,0 +

pmT 1,0

r

pmNT ,

pmNT ,1

pmNT 1, +

pmNT 1,

P(0,0)

TEXT

pmnT ,

p

mnT

,1+

p

mnT ,1

pmnT 1, +

pmnT 1,

P(0,0)



Puntos bases de lnea o borde: L(N,0)

Constituido por todos los puntos bases del

borde inferior de la superficie del fondo que

ocupan la geometra tpica de una circunferen-

cia y que intercambian calor por conduccin

con dos puntos vecinos y por conveccin con

dos puntos vecinos ficticios (ver esquema en la

figura 6).

Puntos vecinos

Puntos vecinos de los puntos bases interiores

Son los puntos interiores que se relacionan con

los puntos bases segn se indica en la figura 2.

Observe que para todos los puntos interiores el

punto base tiene como puntos vecinos, los puntosp

mnT ,1+ ,p

mnT ,1 ,p

mnT 1, + yp

mnT 1, todos transfiriendo

calor por conduccin.

Teniendo en cuenta que la transmisin de calor

por conduccin queda definida por las relaciones:

( ) ( )

( ) ( )pmnpmnpmnpmnZ

p

mn

p

mn

p

mn

p

mnr

TTZ

kTT

Z

kqc

TTr

kTT

r

kqc

,1,,1,

,,1,,1

+

=

+

=

+

+

donde qc es la densidad de flujo de calor en los

ejes cooordenados especificados, y que el flujo de

calor es perpendicular a las superficies de trans-

ferencia, no habr otros puntos vecinos

involucrados que no sean los geomtricamente

perpendiculares al punto base.

Fig. 5 Esquema del sistema de puntosbases de la superficie exterior

inferior (fondo).

Fig. 6 Esquema del sistema de puntosbases del borde inferior (fondo).

Punto base de centro (punto central del fon-do): P(0,0)

Es similar a los puntos bases del eje central

pero se diferencia en que presenta intercam-

bio trmico por conveccin con un punto veci-

no ficticio (ver esquema en la figura 7).

Fig. 7 Esquema del sistema de puntosbases del centro en el fondo del eje

central.

pnT 0,

pn

T0,1

pn

T1,

P(0,0)

TEX

pnT 0,1+

pT

0,0

pT

0,1

pT

0,1

pT

1,0

EXTT

r

pNT 0,

pNT 0,1

pN

T1,

P(0,0)

TEX

EXTT



Puntos vecinos de los puntos bases de lasuperficie lateral

Para un punto base en la superficie la relacin

de los puntos vecinos se muestra en la figura 4. Enla misma se observa que a la derecha,en la

direccin r no existe cuerpo material, sino contac-

to con el fluido con el cual se establecer la

tranferencia por conveccin

Los puntos bases, en este caso para todos los

puntos de la pared situados en el plano (N,m),

pueden ser representados de forma general segn

la figura 4 por p

mNT , , siendo los puntos vecinos en

contacto por conduccinp

mN

p

mN TT 1,1, ; + yp

mNT ,1 y

en contacto por conveccin con el punto vecino

ficticio TEXT. Observe que en este caso, todos los

puntos estn en la posicin (N,m) correspondien-

te a la pared situada enr

RN

= de acuerdo con

la simetra. .

Puntos vecinos de los puntos bases de lasuperficies inferior (fondo)

La relacin con los puntos vecinos para un

punto base situado en la superficie inferior se

muestra en la figura 5. En la misma se observa

que hacia abajo, en la direccin -Z no existe

cuerpo material sino contacto con el fluido con el

cual se establecer la tranferencia por conveccin.

Los puntos bases, en este caso para todos los

puntos de la pared situados en el plano (n,0),

pueden ser representados de forma general segn

la figura 5 porp

nT 0, , siendo los puntos vecinos en

contacto por conduccin

p

n

p

n TT 0,11, ; yp

nT 0,1+ y elpunto vecino ficticio en contacto por conveccin

TEXT .

Puntos vecinos de los puntos bases de linea(bordes)

Los puntos que conforman el borde de la

superficie del fondo concuerdan tambin con un

sistema de puntos pues, presentan transferencia

de calor por conveccin por dos lados, y a su vez

presentan conduccin de forma geomtricamente

diferente de los de la superficie . De este modo,

teniendo en cuenta que el cuerpo presenta sime-tra, habr slo un sistema de puntos para el borde,

el correspondiente al borde de la superficie del

fondo. En la figura 6 se muestra un esquema de la

distribucin de los puntos vecinos en el borde

inferior del cilindro, observe que presenta dos

puntos vecinos por conduccin y dos puntos veci-

nos ficticios en contacto por conveccin. El punto

base, en este caso para todos los puntos del borde

situados en la circunferencia L (n,0), viene dado

de forma general por el representado en la figura

6,

p

NT 0, siendo los puntos vecinos en contacto porconduccin

p

N

p

N TyT 1,0,1 .

Puntos vecinos de los puntos bases de linea(eje central)

Los puntos bases del eje central se caracteri-

zan, al igual que los puntos interiores, por inter-

cambiar calor con cuatro puntos vecinos por

conduccin (ver figura 3) con la diferencia que

todos los puntos vecinos en el radio presentan

simetra fenomenolgica y geomtrica, y por tan-

to son una misma variable, por lo que la ecuacinque los describe estar en funcin slo de tres

puntos vecinos.

Puntos vecinos de centro (punto centraldel fondo): P(0,0)

Son similares a los puntos vecinos de la super-

ficie del fondo pero se diferencia en que los

puntos vecinos radiales son simtricos, corres-

pondiendo a una misma variable discreta, por lo

que la ecuacin que lo describe estar en funcin

slo de tres puntos. El esquema de la distribucinde los puntos se muestra en la figura 7.

Balances de calor en el volumen de controlBalance de calor no estacionario

Para llevar a cabo el balance de calor no

estacionario en el volumen de control, tendremos

en cuenta que en cualquiera de los sistemas

analizados se cumple que:



=

controldevolumen

delsaleque

calordeFlujo

controldevolumen

alentraque

calordeFlujo

calorde

flujodel

Variacion (1)

La variacin del flujo de calor viene dada por la expresin:

(2)( )t

TTViCp

calorde

flujodel

Variacinp

basepunto

p

basepunto

=

+1

2

y el flujo de calor que entra o sale del volumen de

control es especfico del punto base de que se trate.

Se toma la mitad del volumen de control teniendo en

cuenta que el flujo de calor se produce en todo el

volumen, y se supone que la acumulacin ocurra en

la mitad del volumen de control y no en su totalidad.

Balance de calor en puntos interiores

Para el sistema de puntos bases interiores en

que slo tiene lugar intercambio de calor por

conduccin la ecuacin de balance viene dada

por:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]pmnp mnpmnp mnZ

p

mn

p

mnrINT

p

mn

p

mnrEXT

TTTTAZ

k

TTATTAr

k

calorde

flujodel

Variacin

,,1,,1

,,1,,1

+

+

++

=

+

+

(3)

donde ArINT, ArEXTy Azson las reas de transferen-

cia del volumen de control perpendiculares a la

direccin del flujo, ya sea en r o en Z. Obsrvese de

la existencia de dos reas en la direccin r, una

interna y otra externa. Esto es debido a que el rea

en la direccin r es variable en un cilindro, siendo una

funcin del radio, por lo que posteriormente cuando

se analicen las reas de transferencia habr que

definir el valor de r donde se efecta el balance.

Balance de calor en puntos bases de la

superficie

Para los puntos de la pared lateral, cuyos

puntos vecinos se muestran en la figura 4, en

los que tiene lugar transferencia de calor por

conveccin y conduccin, la ecuacin de ba-

lance ser segn el esquema mostrado en la

figura 4:

(4)

( ) ( )

( ) ( )[ ]p mNp mNp mNp mNZ

p

mNEXTrEXT

p

mN

p

mNrINT

TTTTAZ

k

TThATTAr

k

calorde

flujodel

Variacin

,1,,1,

,,,1

+

+

++

=

+

Balance de calor en puntos bases de la

superficie del fondo

Para los puntos del fondo del cilindro, cuyos

puntos vecinos se muestran en la figura 5, en los

que tiene lugar transferencia de calor por

conveccin y conduccin, la ecuacin de ba-

lance ser, segn el esquema mostrado en la

figura mencionada:



Balance de calor en puntos bases del borde

Los puntos bases del borde se asemejan enmucho a los puntos bases de la superficie delfondo, pero se diferencian en que presentan dos

puntos vecinos ficticios ocupados por la tempera-tura externa. En la figura 6 se muestra un esque-ma para el sistema de puntos del borde en surelacin con los puntos vecinos.

( ) ( )[ ]

( ) ( )pnEXTZ

p

n

p

nZ

p

n

p

nrINT

p

n

p

nrEXT

TThATTAZ

k

TTATTAr

k

calorde

flujodel

Variacin

0,0,1,

0,0,10,0,1

+

+

+

=

+

(6)

Observe que hay dos puntos vecinos ficticiosdescritos por la ecuacin de conveccin.

Balance de calor en los puntos bases del ejecentral

Los puntos bases del eje central se diferenciande los puntos bases interiores en que en stosexisten dos puntos simtricos alrededor del ejeque son descritos por una sola variable. De estemodo, segn el esquema mostrado en la figura 3.

( ) ( )

( ) ( )pNEXTZpNpNZ

p

NEXTrEXT

p

N

p

NrINT

TThATTAZ

k

TThATTAr

k

calorde

flujodel

Variacin

0,0,1,

0,0,0,1

+

+

++

=

(7)

Como los puntos vecinosp

m

p

m TyT ,1,1 son iguales y las reas rINTArEXTA = la ecuacin se puede escribir

de la siguiente manera:

(8)( )[ ] ( ) ( )[ ]pmpmpmpmZpmpmrINT TTTTA

Z

kTTA

r

k

calorde

flujodel

Variacin

,01,0,01,0,0,1

2+

+

=

+

Balance de calor en el punto base del

centro en el fondo

El balance de calor en el punto del centro del

rea del fondo tiene mucha similitud con el

balance en la superficie del fondo, pero en este

caso existen dos puntos vecinos simtricos que

son representados por un solo punto. Para este

punto cuyo esquema se muestra en la figura 7.

( ) ( )[ ]

( ) ( )pEXTZppZ

pp

rINT

pp

rEXT

TThATTAZ

k

TTATTAr

k

calorde

flujodel

Variacin

0,00,01,0

0,00,10,00,1

+

+

=



Comopp TT 0,10,1 = por simetra y las reas son iguales A rINT= ArEXT, la ecuacin se puede escribir de

la forma:

(9)( ) ( ) ++=

pEXT

ppZ

pprINT TThTT

ZkATTA

rk

calorde

flujodel

Variacin

0,00,01,00,00,12

Determinacin de las reas y elvolumen de control

El rea de transferencia de calor del volumen

de control en el caso de las superficies cilndricas,

tiene caractersticas singulares.

El rea seccional AZ es constante siempre,para el caso de la transferencia de calor cuando

se utilizan espacios discretos igualmente espacia-

dos, como es el ejemplo que tratamos.

El rea lateral del cilindro Ar es funcin

del radio y se incrementa en la medida

que el radio crece segn la ecuacin:

2422 rnZrAZ == , por lo que al

efectuar el balance de calor debe elegirse el rea

que mejor represente el flujo global de transferen-

cia de calor, en el trabajo ( ) desarrollado para

discutir este aspecto se demostr que para coor-

denadas cilndricas el balance debe desarrollarse

en el rea anular intermedia del incremento, esto

es en el punto del ngulo2

r.

reas para el balance en los puntos interiores

Para el caso de los puntos interiores el rea de

transferencia se determina de acuerdo con el

diagrama de la figura 2. El rea de transferencia

se determina calculando el rea del volumen de

control perpendicular al flujo de calor para todos

los casos es:

Teniendo en cuenta que rnr = y haciendo

El volumen de control ser:

382 rnZAVi Z ==

reas para el balance en puntos bases de la superficie

Para la superficie lateral segn el esquema mostrado en la figura 4:

( )[ ]2222;22

2 rRRAyZRAZr

RA ZrEXTrINT ==

=

Como los incrementos son iguales y rNR =

El volumen de control ser: ( )1222 == NZAViZ

+=

+=

=

22

222

22;2

22

rr

rrAyZ

rrAZ

rrA

ZrEXTrINT

( ) ( ) 222 4122;122 rnAyrnArnA ZrEXTrINT =+==

( ) [ ] 222 124;12 rNAyrNArNA ZrEXTrINT ===



rea para el balance en puntos bases de la superficie del fondo

Para los bordes, mostrado el ejemplo en la figura 5:

las cuales se pueden escribir de forma discreta:

El volumen de control ser:

Para el resto de los puntos, las reas se dan en la tabla 1.

( ) ( )[ ]222;2

2;

2

2 rrrrAZr

rAZr

rA ZrEXTrINT +=

+=

=

[ ] ( ) 222 4;12;12 rnArnArnA ZrEXTrINT =+==

Tabla 1reas de transferencia y volumen de los volmenes

de control de los puntos bases en un cilindro 32 rVdyrAd ==

Puntos bases ArINT/Ad ArINT/Ad AZ/Ad Vi/Vd

T(n,m) 2(2n-1) 2(2n+1) 4n 8n

T(0,m) 2 2 1 2

T(N,m) 2(2N-1) 4N (2N-1) 2(2N-1)

T(n,0) (2n-1) (2n+1) 4n 4n

T(N,0) (2N-1) 2N 2N-1 2 N-1

T(0,0) 1 1 1 1

Obtencin de las ecuacionesdiscretas

Ecuacin discreta para los puntos baseinteriores

Obtenidas las reas de transferencia sesustituyen en la ecuacin (3) y este resultadose sust i tuye luego en la ecuacin (2) ,obtenindose:

la cual se puede escribir de la forma:

(10)( )

++

+

++= +++ p

qmn

p

mn

p

qmn

p

qmn

p

mn

p

qmn TTTnTnFoTFoT ,1,1,,,1,,1,1

,, 2

1

12

1

141

donde Fo es el nmero adimensional de Fourier yviene dado por:

(11)

Ecuacin discreta para los puntos bases desuperficie

Sustituyendo (2) en (4) y sustituyendo lasreas por su valor dado en la tabla 1, se tiene:

2rCp

tkFo

=

( )

++

+

+= ++

+ pmn

p

mn

p

mn

p

mn

p

mn

p

mqn

p

qmn TTTT

n

nT

n

nFoTT ,1,1,,1,1,

1

,, 42

12

2

12)

34 rnZAVi

Z ==



la cual se puede escribir de la forma:

donde Bio es el nmero adimensional de Biot y viene dado por:

(13)

Balance de calor en puntos bases de la superficie del fondo

Sustituyendo (5) en (2) y sustituyendo las reas por su valor dado en la tabla 1, se tiene:

la cual se escribe definitivamente de la forma:

(14)

Procediendo de igual forma en todos los casos se obtiene:

Ecuacin discreta para los puntos bases del borde

(15)

Ecuacin discreta para los puntos bases del eje central

(16)

Ecuacin discreta para el punto base del centro en el fondo

(17)

( )

+

+++= ++

+ 112

412

42 1,01,1,,1,

1,

p

mEXT

p

mN

p

mN

p

mN

p

mN

p

mN TN

NBioFoT

N

NBioTTTFoTT

+++++

+= +

+EXT

p

qm

p

mN

p

mN

p

mN

p

mN

p

mN TN

NBioTTTTFoT

N

NBioFoT

122

12141 ,,01,1,,1,

1,

k

rhBio

=

( ) ( )BioFoTBioTnn

BioTTn

n

FoTT EXT

p

n

p

N

p

np

n

p

n +

++++= ++ 22

22

122

1211,0,1

0,1

0,

+

+++

+

+=

+EXT

p

N

p

N

p

N

p

N TN

NBioTTFoTN

NBioFoT 112

221`12

2221 1,0,10,1

0,

( ) ( )11,011,0,1,01,0 461 ++++ +++= pmpmpmpmpm TTTFoTFoT

( )( ) ( )EXTpppp BioTTTFoTBioFoT ++++=+ 1,00,10,010,0 2321

Las seis ecuaciones discretas obtenidas paralos diferentes sistemas de puntos bases debernser aplicados en los puntos correspondientes a

Variable Mnimo Mximo

n 1 N-1

.m 1 M

sus lmites superior en inferior. En el caso expues-to de acuerdo con la simetra, todos los sistemasde puntos bases tendrn las siguientes lmites:

( )[ ]

++

+

+++= +

+EXT

p

n

p

n

p

n

p

n

p

n TBioTTn

nT

n

nFoTBioFoT 22

2

12

2

12221

1,0,10,10,

1

0,



Las ecuaciones se evalan paso a paso par-tiendo del valor de temperatura inicial conocida, yactualizando las variables cada vez que se requie-ra un nuevo clculo.

Convergencia y estabilidad de lasecuaciones discretas

Las ecuaciones (10), (12), (14), (15), (16) y(17) son ecuaciones en diferencias finitas explci-tas, las cuales deben cumplir condiciones de con-vergencia y estabilidad.

Todas las ecuaciones obtenidas son del tipo:

y para que sean convergentes y estables los

coeficientes a1deben cumplir las siguientes con-diciones:

0.1 >ia Todos los coeficientes deben serpositivos.

1.2


11/11TECNOLOGA QUMICA V l XXVI N 2 2006 63

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