Bài 1Biến cố và Xác suất của biến cố

Phép thử và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên

Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần.

Phép thử và biến cố

Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp)

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu .

Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp.

Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố.

Phép thử và biến cố

Các ký hiệu

- : không gian mẫu.

- : biến cố sơ cấp

- A, B, C, …: biến cố

- |A|: số phần tử của biến cố A

Phép thử và biến cố

Ví dụ

- Tung đồng xu

={S,N}; 1=“S”, 2=“N”

- Tung con xúc sắc

={1,…, 6}

i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6

- Đo chiều cao (đv: cm) 0,250

Quan hệ giữa các biến cố

Tổng 2 biến cố

Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A hoặc B.

A B A + B

Quan hệ giữa các biến cố

Tích của hai biến cố

Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A và B.

A BAB

Quan hệ giữa các biến cố

Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=.

A B

AB=

Quan hệ giữa các biến cố

Biến cố đối lập

Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu .

Biến cố chắc chắn - . Biến cố không thể - .

A

A

A

Quan hệ giữa các biến cố

Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Không gian mẫu: =[1,2,3,4,5,6]

Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”

B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4”

A = [2,4,6]; B=[4,5,6]

Quan hệ giữa các biến cố

= [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6]

5] 3, [1, A

AB [4, 6]

A B [2, 4, 5, 6] A A [1, 2, 3, 4, 5, 6]

Biến cố đối lập:

Biến cố tích:

Biến cố tổng:

AB [5]

3] 2, [1, B

Xác suất của biến cố

Xác suất

Khả năng một biến cố

sẽ xảy ra.

0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A

Không thể xảy ra

Chắc chắn xảy ra

.5

1

0

Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu . Giả sử tất cả các kết quả trong đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A

( )A

P A

Soá caùc khaû naêng thoûa ñieàu kieän cuûa AToång soá khaû naêng trong khoâng gian maãu

Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

Ví dụ

1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ.

2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ.

2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.

Xác suất của biến cố - Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau:

- Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra.

- Không gian mẫu phải hữu hạn.

Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

Định nghĩa theo quan điểm thống kê

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu và

A . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là

Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.

( )( ) lim

n

n AP A

n

Soá caû khaû naêng trong toång theå thoûa ñieàu kieän cuûa AToång soá khaû naêng trong toång theå

Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

Ví dụ. Tung đồng xu.

Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2

Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2

Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng.

Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp

Tần suất

Buffon 4040 2048 0.5080

Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Định nghĩa theo quan điểm hình học

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A

((

)

))

(

mes AP A

mes

Ñoä ño mieàn AÑoä ño mieàn

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)

Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến. y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến.A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến”Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ

y – x 4Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ

x – y 6Vậy A xảy ra khi -4 x – y 6, thể hiện ở miền gạch chéoVậy

2 2 2

2

124 18 20

2( ) 0.371524

ASP AS

Tính chất cơ bản của xác suất

1. A :

2. Xét A , i là các biến cố sơ cấp

3.

4. P(A)1)AP(

( ) iA

P A P

0 ( ) 1P A

( ) 1, ( ) 0P P

Công thức cộng xác suất

Ví dụ.

Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá

♥ ♣ ♦ ♠Đặt:

A = “Rút được con át”

B = “Rút được lá đỏ”

P(A B) P(A) P(B) P(AB)

Công thức cộng xác suất

P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52Phần dư khi giao 2 biến cố

ĐenMàu

Loại Đỏ Tổng

Át 2 2 4

Khác 24 24 48

Tổng 26 26 52

Công thức xác suất điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra

P(AB)

P(A|B)P(B)

P(AB)

P(B|A)P(A)

Xác suất xảy ra A với điều kiện B đã xảy ra

Xác suất xảy ra B với điều kiện A đã xảy ra

Công thức xác suất điều kiện

Ví dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố, thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và 40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa, hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao nhiêu?

Gọi:AC = “Chọn được xe có điều hòa”CD = “Chọn được xe có dàn CD”Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?

Công thức xác suất điều kiện

Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

P(CD.AC) .2

P(CD|AC) .2857P(AC) .7

70% có điều hòa

40% có dàn CD

20% có điều hòa + CD

Công thức xác suất điều kiện

Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe có điều hòa. Do đó, 20% số xe có dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%.

.

P(CD AC) .2P(CD|AC) .2857

P(AC) .7

Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố A và B

Ta cũng có

P(AB) P(A|B)P(B)

P(AB) P(B|A)P(A)

Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất cho n biến cố A1,A2,…,An

1 2 1 3 1 2 1

1

2

2

1

)

( ) ( | ) ( | )

(

( | )n

n n

A

P A P A A P A A A P A A

P A

A

A

A

Công thức nhân xác suất

Ví dụ

P(“Át” ∩“Đỏ") = P(“Át”)P(“Đỏ”|“Át”)

4 2 252 4 52

Công thức nhân xác suất

Ví dụ

Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 4 sản phẩm.Nếu thấy có bất kỳ sản phẩm kém chất lượng nào thì loại lô hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận lô hàng.

Sự độc lập giữa các biến cố

Hai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi:

Biến cố A độc lập với biến có B khi xác suất của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia

Nếu A và B độc lập, thì

P(AB) P(A)P(B)

P(A)B)|P(A

P(B)A)|P(B

Sự độc lập giữa các biến cố

Ví dụTrong khảo sát về nội thất xe ô-tô trong thành phố, 70% xe có máy điều hòa (AC), 40% có máy chơi nhạc(CD), và 20% có cả hai.Hỏi AC và CD có độc lập hay không?

Sự độc lập giữa các biến cố

Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

P(AC ∩ CD) = 0.2

P(AC) = 0.7

P(CD) = 0.4P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28

P(AC ∩ CD) = 0.2 ≠ P(AC)P(CD) = 0.28

Do đó hai biến cố AC và CD không độc lập.

Sự độc lập giữa các biến cố

Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Không gian mẫu: =[1,2,3,4,5,6]

Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”

B = “ Xuất hiện mặt có số điểm bé hơn 4”

C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm”

D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm”

A = [2,4,6]; B=[1,2,3]; C=[1,2]; D=[1,6]

Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.

Công thức xác suất đầy đủ

Hệ đầy đủ các biến cố

Hệ A1,A2,…,An gọi là hệ

đầy đủ các biến cố nếu

1 2

1 n

i j

A

A

A A

A i j n

A1

A2

A3

A4

Công thức xác suất đầy đủ

Cho là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một biến cố có liên quan đến hệ này. Xác suất xảy ra B

Tổng quát, xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan

,A A

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A

1 11

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )n

i i n ni

P B P A P B A P A P B A P A P B A

Công thức xác suất đầy đủ

( ) ( ')

( ) ( ) ( ')

( ) ( | ) ( ') ( | ') =

B A B A B

P B P A B P A B

P A P B A P A P B A

Công thức xác suất đầy đủ

Ví dụ

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sx. Biết rằng tỷ lệ bóng hư do từng phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 7% và 10%. Một khác hàng mua bóng đèn của nhà máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua được bóng hư.

Công thức Bayes

Xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan.

Công thức Bayes

( ) ( | )( | ) , 1

),

(,i i

i

P A P B AP A B

Bi n

P

Công thức Bayes

Ví dụMột học sinh đi học từ nhà đến trường có thể đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng nếu học sinh đi theo con đường A thì khả năng bị kẹt xe là 15% và bằng 20% nếu đi theo con đường B. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe, hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất là bao nhiêu?

Công thức Bayes

Ví dụCó 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng. Sinh

viên A bắt đầu tiên, B bắt sau.

a) Hỏi có công bằng không ?

b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được

thưởng.