Bahasan Ujian II ALE 2011
10
Jurusan Teknik Informatika – PS. Ilmu Komputer FMIPA UNUD 1. a) Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R 2 yang dinyatakan sebagai berikut : Rotasi berlawanan arah dengan jarum jam pada sudut 90 0 , diikuti dengan rotasi searah jarum pada sudut 30 0 , dan diikuti dengan pencerminan terhadap garis y = x. T 1 = [ cos90 0 −sin90 0 sin90 0 cos90 0 ] = [ 0 −1 1 0 ] T 2 =¿ T 3 = [ 0 1 1 0 ] Matriks standar komposisi operator-operator linear pada R 2 adalah : T 3 oT 2 oT 1 = [ 0 1 1 0 ] [ 1 2 √ 3 1 2 −1 2 1 2 √ 3 ] [ 0 −1 1 0 ] = [ −1 2 1 2 √ 3 1 2 √ 3 1 2 ] [ 0 −1 1 0 ] = [ 1 2 √ 3 1 2 1 2 −1 2 √ 3 ] b) Tentukan bayangan dari titik A(3, 2) [ 1 2 √ 3 1 2 1 2 −1 2 √ 3 ] [ 3 2 ] = [ 3 2 √ 3+1 3 2 − √ 3 ] c) Tentukan titik B yang bayangannya ( √ 2 , 2 √ 2) [ 1 2 √ 3 1 2 1 2 −1 2 √ 3 ] −1 =−1 [ −1 2 √ 3 −1 2 −1 2 1 2 √ 3 ] = [ 1 2 √ 3 1 2 1 2 −1 2 √ 3 ] Maka titik B yang bayangannya ( √ 2 , 2 √ 2) adalah : [ 1 2 √ 3 1 2 1 2 −1 2 √ 3 ] [ √ 2 2 √ 2 ] = [ 1 2 √ 6+ √ 2 1 2 √ 2− √ 6 ] ↔B ( 1 2 √ 6+√ 2 , 1 2 √ 2−√ 6 ) 2. Perhatikan polynomial berikut :
-
Upload
agus-irawan -
Category
Documents
-
view
29 -
download
0
description
Analisis Linier Elementer
Transcript of Bahasan Ujian II ALE 2011
Jurusan Teknik Informatika – PS. Ilmu Komputer FMIPA UNUD
1. a) Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R2 yang dinyatakan sebagai berikut : Rotasi berlawanan arah dengan jarum jam pada sudut 900, diikuti dengan rotasi searah jarum pada sudut 300, dan diikuti dengan pencerminan terhadap garis y = x.
T 1=[cos 900 −sin 900
sin 900 cos 900 ]=[0 −11 0 ]
T 2=¿
T 3=[0 11 0]
Matriks standar komposisi operator-operator linear pada R2 adalah :
T 3oT 2oT1=[0 11 0][ 12 √3 1
2−12
12√3] [0 −1
1 0 ]=[ −12
12√3
12√3 1
2][0 −11 0 ]=[ 12 √3 1
212
−12
√3]b) Tentukan bayangan dari titik A(3, 2)
[ 12 √3 12
12
−12
√3][32]=[ 32 √3+132−√3 ]
c) Tentukan titik B yang bayangannya(√2 ,2√2)
[ 12 √3 12
12
−12
√3]−1
=−1 [−12 √3 −12
−12
12
√3]=[ 12 √3 12
12
−12
√3]Maka titik B yang bayangannya(√2 ,2√2) adalah :
[ 12 √3 12
12
−12
√3][ √22√2]=[ 12 √6+√2
12√2−√6]↔B (12 √6+√2 , 1
2√2−√6)
2. Perhatikan polynomial berikut :
P1=1+x+x2
P2=x+x2
P3=x2
Apakah {P1, P2, P3} merupakan basis polynomial dengan ordo 2! (30)
Penyelesaian :i) Syarat merentang; sembarang polynomial ordo 2 misalkan a+bx+c x2
(1 0 01 1 01 1 1|
abc )B32(−1)(
1 0 01 1 00 0 1|
abc−b )B21(−1)(
1 0 00 1 00 0 1|
ab−ac−b )
Jadi {P1, P2, P3} merentang polynomial ordo 2.ii) Syarat bebas linear; dengan mengambil nilai a, b, c = 0, diperoleh
bahwa {P1, P2, P3} saling bebas linear.Sehingga disimpulkan bahwa {P1, P2, P3} merupakan basis bagi polynomial ordo 2.
3. Tentukan basis ruang baris, basis ruang kolom dan basis ruang kosong dari matriks A berikut:
A=[ 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2] (30)Penyelesaian :
[ 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2]B21 (−2 )B31 (1 ) [ 1 4 5 2
0 −7 −7 −40 7 7 4 ]B32 (1 )[ 1 4 5 2
0 −7 −7 −40 0 0 0 ]B2(−17 )
[1 4 5 2
0 1 147
0 0 0 0]B12(−4)[1 0 1 −2/7
0 1 1 4 /70 0 0 0 ]
Jadi basis ruang baris dari A adalah : {[1452] ,[2130]}
Basis ruang kolom dari A adalah : {[ 12−1] ,[ 41−3]}Penyelesaian SPL Homogen :
[1 0 1 −2/70 1 1 4/70 0 0 0 |000 ]↔ x1=−x3+2/7 x4
x2=−x3−4 /7 x4
x=(x1x2x3x4
)=(x1=−x3+2/7 x4x2=−x3−4 /7 x4
x3x4
)=(−x3−x3x30
)+(2 /7 x4
−4 /7 x40x4
)Basis ruang kosong dari A adalah {(−1−1
10
) ,(2/7
−4 /701
)}
Jurusan Teknik Informatika – PS. Ilmu Komputer FMIPA UNUDa) Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R2
yang dinyatakan sebagai berikut : Rotasi searah dengan jarum jam pada sudut 600, diikuti rotasi berlawanan arah jarum pada sudut 300, dan diikuti dengan
pencerminan terhadap sumbu x. (20)b) Tentukan bayangan dari titik A( 2, 4) menurut transformasi pada (a).
(10)c) Tentukan titik B yang dengan transformasi (a) bayangannya(√3 ,−√3).
(10)Penyelesaian :
T 1=[cos (−600 ) −sin (−600 )sin (−600 ) cos (−600) ]=[ 1
212
√3−12
√3 12
]T 2=[cos300 −sin 300
sin 300 cos300 ]=[ 12 √3 −12
12
12
√3] dan T 3=[1 00 −1]
Matriks standar komposisi operator-operator linear pada R2 adalah :
T 3oT 2oT1=[1 00 −1][ 12 √3 −1
212
12√3][ 1
212√3
−12
√3 12
]=[ 12 √3 −12
−12
−12
√3][ 12
12√3
−12
√3 12
]¿ [ 12 √3 1
212
−12
√3]b. Bayangan dari titik A( 2, 4) menurut transformasi pada (a) :
[ 12 √3 12
12
−12
√3][24 ]=[ 2+√31−2√3]↔A' (2+√3 ,1−2√3 )
c. Titik B yang dengan transformasi (a) bayangannya(√3 ,−√3) :
[ 12 √3 12
12
−12
√3]−1
[ √3−√3]=−1[−12 √3 −1
2−12
12
√3 ][ √3−√3]
¿ [ 12 √3 12
12
−12
√3] [ √3−√3]=[ 32−12 √3
32+12
√3 ]
B
Koordinat titik B adalah : ( 32−12 √3 , 32+ 12
√3)2. Apakah S = {u1, u2, u3} merupakan basis pada R3 dengan :
u1=[ 1−12 ];u2=[213 ];u3=[111] (30)
Penyelesaian :i) Syarat merentang
Sembarang vector dalam R3 = (a, b, c) merupakan kombinasi linear dari S:
( 1 2 1−1 1 12 3 1|
abc ) B21(1)B31(−2)(1 2 1
0 3 20 −1 −1|
ab+ac−2a)B13(2)B23(3)(1 0 −1
0 0 −10 −1 −1|
2c−3a3c+b−7ac−2a )B12(−1)B32(−1)
(1 0 00 0 −10 −1 0 | 2c−3 a3 c+b−7a
5a−b−2c )B2(−1)B3(−1)(1 0 00 0 10 1 0|
2c−3a7 a−b−3c2c+b−5a )
Jadi S merentang sembarang vector dalam R3.
ii) Syarat bebas linear; dengan mengambil nilai a, b, c = 0, diperoleh bahwa vector-vektor dalam S saling bebas linear.Sehingga disimpulkan bahwa S merupakan basis bagi R3.
3. Tentukan basis ruang baris, basis ruang kolom dan basis ruang kosong dari matriks A berikut:
A=[5 −8 −3 −63 −2 1 −2−1 3 2 2 ](30)
Penyelesaian :
[5 −8 −3 −63 −2 1 −2−1 3 2 2 ]B13 (5 )
B23 (3 )[ 0 7 7 40 7 7 4
−1 3 2 2]B12(−1)[0 0 0 00 7 7 4
−1 3 2 2]B2(1/7)B13 [−1 3 2 20 1 1 4/70 0 0 0 ]
B12(−3)[−1 0 −1 2/70 1 1 4 /70 0 0 0 ]B1(−1)[1 0 1 −2/7
0 1 1 4/70 0 0 0 ]
Jadi basis ruang baris dari A adalah : {[−1322
] ,[ 3−21−2
]}Basis ruang kolom dari A adalah : {[ 53−1] ,[−8−2
3 ]}
Penyelesaian SPL Homogen :
[1 0 1 −2/70 1 1 4/70 0 0 0 |000 ]↔ x1=−x3+2/7 x4
x2=−x3−4 /7 x4
x=(x1x2x3x4
)=(x1=−x3+2/7 x4x2=−x3−4 /7 x4
x3x4
)=(−x3−x3x30
)+(2 /7 x4
−4 /7 x40x4
)Basis ruang kosong dari A adalah {(−1−1
10
) ,(2/7
−4 /701
)}
Jurusan Teknik Informatika – PS. Ilmu Komputer FMIPA UNUD
1. a) Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R2 yang dinyatakan sebagai berikut : Rotasi berlawanan arah dengan jarum jam pada sudut 300, diikuti rotasi searah jarum pada sudut 600, dan diikuti dengan pencerminan terhadap sumbu y. (20)
b) Tentukan bayangan dari titik A(1, 2). (10)
c) Tentukan titik B yang bayangannya B' ' ' (3√3 ,−3√3) (10)Penyelesaian :
T 1=[cos300 −sin 300
sin 300 cos300 ]=[ 12 √3 −12
12
12
√3]T 2=[cos (−600 ) −sin (−600 )
sin (−600 ) cos (−600 ) ]=[ 12
12
√3−12
√3 12
]T 3=[−1 0
0 1]Matriks standar komposisi operator-operator linear pada R2 adalah :
T 3oT 2oT1=[−1 00 1][ 1
212√3
−12
√3 12
][ 12 √3 −12
12
12√3]=[ −1
2−12
√3−12
√3 12
][ 12 √3 −12
12
12√3]
¿ [−12 √3 −12
−12
12
√3]b. Bayangan dari titik A(1, 2) :
[−12 √3 −12
−12
12√3][12]=[−12 √3−1
−12
+√3 ]Bayangan titik A(1, 2) = (−12 √3−1 ,−1
2+√3)
c. Titik B yang bayangannya B' (3√3 ,−3√3) adalah :
C
[−12 √3 −12
−12
12√3]
−1
[ 3√3−3√3]=−1 [ 12 √3 12
12
−12
√3] [ 3√3−3√3]
[−12 √3 −12
−12
12√3][ 3√3−3√3]=[−92 + 3
2√3
−92
−32
√3 ]Koordinat titik B adalah (−9
2+32
√3 ,−92−32√3)
2. Perhatikan matriks – matriks berikut :
A=[ 1 2−1 1]; B=[ 2 1
−2 0];C=[1 21 −1]; D=[3 2
2 1 ]Apakah {A, B, C, D} merupakan basis ruang Vektor pada M2 x 2?
(30)Penyelesaian :a. Syarat merentang
[ 1 22 1
1 32 2
−1 −21 0
1 2−1 1
|abcd ]B21(−2)B31(1)B41(−1) [1 2
0 −31 30 −4
0 00 −2
2 5−2 −2
| ab−2ac+ad−a ] B14(1)
B24(−3 /2)
[ 1 00 0
−1 13/2 −5/2
0 00 −2
2 5−2 −2 | d
b−12a−3 /2d
c+ad−a
] B13(1 /2)B23(−3/ 4)B43(1) [ 1 0
0 00 10 −25/4
0 00 −2
2 50 3 | d+
12c+12a
b−34c−54a−32d
c+ad+c
]B2(−4 /25)[ 1 0
0 00 10 1
0 00 −2
2 50 3| d+
12c+12a
−425b+ 325c+ 15a+ 625d
c+ad+c
]B12(−1)B32(−5)B42(−3)
¿Menunjukkan bahwa A, B, C, D merentang M2x2
b. Syarat bebas linearDengan mengambil nilai a, b, c, d bernilai 0, maka akan terlihat bahwa A, B, C, dan D saling bebas linear.
3. Tentukan basis ruang baris, basis ruang kolom dan basis ruang kosong dari matriks A berikut : (30)
A=[−1 3 2 22 1 3 01 4 5 2]
[−1 3 2 22 1 3 01 4 5 2]B21 (2 )
B31 (1 )[−1 3 2 20 7 7 40 7 7 4 ]B32(−1)[
−1 3 2 20 7 7 40 0 0 0]B2(1/7)[
−1 3 2 20 1 1 4 /70 0 0 0 ]
B12(−3)[−1 0 −1 2/70 1 1 4 /70 0 0 0 ]B1(−1)[1 0 1 −2/7
0 1 1 4/70 0 0 0 ]
Jadi basis ruang baris dari A adalah : {[−1322
] ,[2130]}
Basis ruang kolom dari A adalah : {[−121 ] ,[314]}Penyelesaian SPL Homogen :
[1 0 1 −2/70 1 1 4/70 0 0 0 |000 ]↔ x1=−x3+2/7 x4
x2=−x3−4 /7 x4
x=(x1x2x3x4
)=(x1=−x3+2/7 x4x2=−x3−4 /7 x4
x3x4
)=(−x3−x3x30
)+(2 /7 x4
−4 /7 x40x4
)Basis ruang kosong dari A adalah {(−1−1
10
) ,(2/7
−4 /701
)}
