MATEMÁTICAS II

CONTENIDOS

BLOQUE I: ANÁLISIS DE FUNCIONES

Cálculo del límite de una función en un punto y en el infinito. Estudio de la continuidad de una función y de los tipos de discontinuidad que presenta. Cálculo de la función derivada. Aplicación de la regla de L’Hôpital al cálculo de límites. Aplicaciones de la derivada para la representación gráfica de funciones y para la resolución de problemas de optimización. Cálculo de la primitiva de una función mediante el uso de las técnicas elementales de integración (integrales inmediatas, por cambio de variable y de funciones racionales con denominador con raíces reales o “tipo arcotangente”). Aplicación al cálculo de integrales indefinidas. Cálculo de integrales definidas. Aplicación del Teorema fundamental del cálculo integral al cálculo de áreas de regiones planas.

BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL

Estudio de las matrices como herramienta para el manejo y el cálculo con datos estructurados en tablas y grafos. Clasificación de matrices y realización de operaciones. Cálculo de determinantes y estudio de sus propiedades elementales. Estudio del rango de una matriz y cálculo de la matriz inversa. Representación matricial, discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, la regla de Cramer y otros métodos.

BLOQUE III: GEOMETRÍA ANALÍTICA

Operaciones con vectores en el espacio tridimensional (producto escalar y vectorial) y significado geométrico. Cálculo de las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Estudio de posiciones relativas (incidencia, paralelismo y perpendicularidad) entre rectas y planos. Cálculo de ángulos, distancia entre dos puntos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y aplicar los resultados obtenidos para representar funciones y resolver problemas.

2. Aplicar el cálculo de derivadas y su interpretación física y geométrica al estudio

local y global de funciones que representen diferentes situaciones y resolver problemas contextualizados mediante el análisis de los resultados obtenidos al derivarlas, y la aplicación de la regla de L’Hôpital.

3. Calcular integrales de funciones sencillas y aplicar los resultados para resolver problemas de cálculo de áreas de regiones planas contextualizados.

4. Utilizar el lenguaje matricial, para transcribir problemas reales al lenguaje

algebraico planteando sistemas de ecuaciones lineales y solucionarlos utilizando las operaciones con matrices y determinantes y sus propiedades.

5. Utilizar el lenguaje vectorial para expresar situaciones y problemas geométricos

y físicos en el espacio y utilizar las propiedades y las operaciones con vectores para resolverlos e interpretar las soluciones; además utilizar las ecuaciones de la recta y el plano para resolver problemas métricos y estudiar posiciones relativas, ayudándose para todo ello de programas informáticos.

ACTIVIDADES BLOQUE I: ANÁLISIS DE FUNCIONES

1. Calcula estos límites: a)

2

1

2 13

12lim

−

→

−+ x

x x

x b)

−→ xsen

xe x

x 2

coslim

0

c) ( )xxxx

++−∞→

2lim 2 d)

x

x xx

x−

−∞→

+ 2lim

3

3

2. Obtén la derivada de las funciones:

a) � � �� � !"#"$% b) � � &'("

")

c) � � 4+,-./√1 d) � � 1+,-23√61

3. Halla las siguientes integrales:

c) dxx∫ ++ 4)3(

82

d) ∫ 4 13 +x

dx e)

dxxx

x

9

33

3

−+

∫ f) ∫ x2(x3+1)− 7 dx

4. Halla los valores de a y b para que las siguientes funciones sean derivables en todo R:

5. Estudia la derivabilidad de las funciones:

6. Dada la función: f (x) � x3 +ax2 + bx + c, calcula los valores de a, b y c para que la función tenga un mínimo en x � 1 y un punto de inflexión en el origen de coordenadas. 7. Halla en qué punto (o puntos) la recta tangente a la curva y � x3 − 3x + 1 es paralela al eje de abscisas, y encuentra la ecuación de esa (o esas) recta (rectas).

8. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva � � √")$!"("$#) en 1H � 2.

9. Un agricultor estima que si vende el kilogramo de cebollas a x céntimos de euro, entonces su beneficio por kilogramo sería igual a B(x) � 100x − x2 − 2 475. a) ¿Qué niveles de precios suponen beneficios para el agricultor? b) ¿Cuál es el precio que maximiza el beneficio del agricultor? c) Si dispone de 50 000 kg de cebollas, ¿cuál es el beneficio total máximo? 10. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible? 11. Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

12. Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:

a) c) f (x) � (x2 − x) ex

b) d)

13. Obtén el área del recinto limitado por la curva � � #"")$T , las rectas x�-1, x�1 y el eje de

abscisas. 14. Halla el área del recinto limitado por la curva y � x (x + 1)2, las rectas x � −1 y x � 1, y el eje de abscisas. 15. Halla el área del recinto limitado por la curva � � %

" , la recta y�0, y las rectas x�1 y x�e2. 16. Calcula el área del recinto limitado por la curva � � T

" y la recta x�y, entre x�1 y x�4. 17. Halla el área del recinto limitado por las curvas y � 2x3 − x2 + x e y � x3 + 3x2 + x.

BLOQUE II: ÁLGEBRA LINEAL

18. Estudia, y resuelve si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

19. Discute los siguientes sistemas, según los valores del parámetro correspondiente:

a) b)

c) d)

20. a) Calcula una matriz X que verifique la igualdad:

b) ¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A � B?

21. Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

22. Dada la matriz [ � \2 2 11 3 11 2 2]

a) Calcula (A − I )2 · (A − 5I ), donde I es la matriz identidad de orden tres. b) Obtén At y razona si existe la inversa de A.

23. a) Calcula el valor de x para que la matriz A tenga inversa:

b) Halla A−1 para x � 2.

24. Dada la matriz [ � \ 5 −4 22 −1 1−4 4 −1], comprueba que [# � 2[ − _, siendo I la matriz identidad. Usando la fórmula anterior, calcula A4.

25. Estudia el rango de la siguiente matriz según el valor del parámetro k:

` � a2 −11 −2 0 2 b 10 3 −6 0c

26. Calcular la matriz X tal que CBAX =+· siendo:

=013

100

025

A ,

−=

411

132B ,

−=

121

166C .

27. a) Halla el rango de la siguiente matriz:

b) Averigua el número de columnas de A que son linealmente independientes.

28. En este ejercicio, X e Y son dos matrices desconocidas que hay que calcular. Hallarlas sabiendo que satisfacen el sistema siguiente:

−−

=+

−=+

92

1123

154

0235

YX

YX

29. Desarrolla el siguiente determinante:

30. Averigua cuánto valen los siguientes determinantes:

31. Calcula, en función de x, el valor de este determinante:

Da el resultado factorizado.

BLOQUE III: GEOMETRÍA ANALÍTICA

32. Dados el punto P(2, 1, -2) , la recta ,: " T% � g

T � h$#T , y el plano i: 41 − 3� + 5 � 0 ,

calcula : a) El ángulo formado por la recta r y el plano i. b) La ecuación de la recta perpendicular al plano y que pasa por P.

33. Escribe la ecuación del plano i, perpendicular a la recta ,: " ## � g$T

# � h TT y que

pase por P (1, 2, −1).

34. Dados los vectores: klm(2, −1, 1); om(3, −1, 0) � pllm(q, 2, −q): a) Halla el valor de m para que klm y pllm sean perpendiculares. b) Calcula el ángulo que forman klm y om

35. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y escribe la ecuación del plano que las contiene:

36. Dados los vectores: klm(−1, 1, 1); om(2, 0, −3) � pllm(b, 1, b):

a) Halla el valor de k para que los tres vectores sean coplanarios. b) Calcula el ángulo que forman klm y om

37. Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta ,: r 1 − � + s � 121 + � − s � 2 y es paralelo a

38. Dadas las rectas:

halla la posición relativa y los ángulos entre:

a) r y s b) r y i

39. Dados el punto P(1, 0, -3) , la recta t 1 � 2 + qu� � −us � −1 + qu , y el plano i: 21 − 3� + s � 0 , calcula:

a) El valor de m para que r sea paralela a i. b) Para el valor de m anterior, halla el plano que contiene a r y es perpendicular i.

40. Discutir, según los valores de k, la posición relativa de los planos:

10:

264:

1432:

=++=−+=−+

kzyx

kzyx

zyx

γβα

.