Bach, El Temperamento Igual y Una Oportunidad Perdida en La Evolución de La Notación y Del Teclado...
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Bach, el temperamento igual y una oportunidad perdida en la
evolucin de la notacin y del teclado musical
(Sergio Aschero) (2015)
Introduccin
Ante todo quiero aclarar que para mi criterio Johann Sebastian Bach (1685 1750) es
el ms grande compositor de la historia.
Pero ms all de mi opinin (compartida por la mayora de los amantes profundos de
la msica), en este anlisis voy a criticar no su obra musical sino su relacin con la
notacin musical al crear El clave bien temperado (1722, 1744). En esta grandiosa
obra, existe una discrepancia entre su defensa del temperamento igual de 12 variables
con respecto a la altura del sonido y la grafa resultante de tal defensa con sus 17
signos.
Adems demostrar que el teclado musical tradicional con su asimetra, dificulta el
acceso a una interpretacin natural y lgica.
En esta obra explicar mis razonamientos al respecto.
Matemtica y Msica
La msica es un ejercicio matemtico inconsciente en el que la mente no sabe que
est calculando G. W. Leibniz (1646-1716)
Realmente el nmero siete es tan esencial para la msica?
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Casi cualquier occidental que al que le preguntemos por el nmero de notas
musicales, no dudar en decir que son siete y que sus nombres son: do, re, mi, fa, sol,
la, si. Sin embargo, como veremos ms adelante, usando slo siete notas, la
produccin musical quedara muy mermada. Por otro lado, si la pregunta se hiciese a
los que estn habituados a la msica oriental, la respuesta no sera tan contundente,
puesto que desde antiguo se han utilizado escalas que no partan de siete notas, como
son la javanesa (cinco tonos), la Raga Shruti de India (veintids tonos), la tailandesa
(ocho tonos), etc. Adems del nmero de notas, para la msica hay otra relacin
numrica en la que el nmero siete juega un papel fundamental: los intervalos o
cocientes entre las frecuencias de dos sonidos. De entre todos los intervalos posibles,
hay dos que siempre han dado lugar a la polmica, el tritono (o cuarta aumentada) y
las sptimas. El tritono, intervalo que se produce, por ejemplo, entre fa-si, resulta difcil
de entonar y produce un sonido algo siniestro, que en el medioevo se denomin
diabulus in musica (el diablo en la msica), y que deba evitarse a toda costa. De
hecho, la Iglesia sostena que el diablo se colaba en la msica a travs de este
intervalo. Una manera de evitarlo era prescindir del uso de la sptima. A este intervalo,
que se produce por ejemplo entre do-si, la armona tradicional posterior al siglo XVII,
no le atribuye un carcter diablico, pero la clasifica como una disonancia absoluta,
mientras que el tritono lo trata como una semiconsonancia. Si con estos antecedentes,
la popularidad del nmero siete en la msica queda en entredicho, la situacin an se
hace ms interesante cuando en el centro de la polmica se sitan grandes
matemticos que han contribuido a avivar la controversia.
Al menos desde el siglo VI a. C. con los pitagricos, se establece de forma clara el
doble inters de los nmeros en la msica. Por un lado, est la cantidad de notas que
hay en la octava y, por otro lado, la propia esencia del nmero como elemento
generador de las notas. Cualquier anlisis del papel del nmero siete en la msica
sera incompleto si descuidas alguna de estas dos facetas.
En cuanto a que en la msica occidental el nmero de notas por octava sea siete, no
es del todo cierto. Siete es la cantidad de nombres de notas que manejamos, pero en
realidad, la inmensa mayora de la msica que escuchamos surge del uso de doce
notas denominadas:
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si
Y si esto ya pone en tela de juicio el papel fundamental del nmero siete, la polmica
real surge al analizar la funcin del nmero 7 como generador de las notas musicales.
Las consonancias pitagricas que se reducen al tetractys (los cuatro primeros
nmeros), son ampliadas por la Justa Entonacin hasta el senario (los seis primeros
nmeros). A pesar de que las primeras versiones de la Justa Entonacin se deben a
Aristxeno de Tarento (360-300 a.C.), un discpulo de Aristteles que sostiene que
basta con el odo para conseguir la afinacin, sin duda debemos a Gioseffo Zarlino
(1517-1590) su formulacin rigurosa y su popularizacin. Zarlino, un neopitagrico
convencido, estableci que los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3,
4, 5, 6 son consonantes y comprob que stos eran emitidos por cuerdas de
longitudes:
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
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Para Zarlino, el nmero 6 jugaba un papel fundamental. Desde el punto de vista
matemtico, se trata de un nmero que se obtiene como suma y producto de sus
divisores propios:
1 + 2 + 3 = 6
1 x 2 x 3 = 6
Adems, al multiplicar por 6 cualquier nmero acabado en 6, nos da un nmero que
acaba en 6. A estas propiedades aada la presencia del senario en el mundo: el
nmero de planetas, los signos del zodaco en cada hemisferio, las aristas de la
pirmide triangular, las superficies del cubo, etc.
Hasta bien entrado el siglo XVIII, las afinaciones que se usaban normalmente en los
estudios tericos eran la pitagrica y la Justa Entonacin. En ambas, la cantidad de
notas en una octava no est determinada a priori, pero normalmente este nmero se
fija en 12 notas. En estos sistemas de afinacin las notas se generan con potencias y
cocientes de los nmeros 2 y 3 o de los nmeros 2, 3 y 5. Si consideramos una nota
fija, por ejemplo el Do de frecuencia f = 264 Hz, para obtener el resto de notas
afinadas hay que multiplicar por las fracciones siguientes:
Zarlino, un neopitagrico convencido, estableci que los sonidos cuyas frecuencias
son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 son consonantes.
Si la frecuencia de la que partimos es 264 Hz, estas notas estn en la octava do2-do3.
Para trasladarlas a otra octava, no hay ms que multiplicar por una potencia de 2
adecuada. As, si queremos trasladarla n octavas, multiplicamos sus valores por 2n,
con n un nmero entero.
Est claro que en las dos afinaciones anteriores las potencias del nmero siete no se
utilizan. Es decir que no se considera que estas potencias generen notas agradables.
Y aqu est la clave del tratamiento musical del nmero siete.
No resulta fcil establecer una definicin unnime de sonidos consonantes, de hecho
debemos contentarnos con admitir que dos o ms sonidos son consonantes si resultan
agradables al odo. Evidentemente, se trata de un concepto que depende mucho de la
situacin socio-cultural y que ha evolucionado a lo largo de la Historia. Ante esta
perspectiva, resulta complicado establecer una idea de consonancia que resulte
operativa.
Entre todos los tericos que han estudiado el tema, nos quedaremos con la versin del
fsico John Tyndall (1820 1893):
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Cuanto ms simple es la relacin de las frecuencias de dos sonidos, ms consonante
ser el intervalo que forman.
Este criterio, conocido con el desafortunado nombre de Teorema de Tyndall, no hizo
ms que recoger la idea con la que los musiclogos venan trabajando desde haca
siglos.
Prueba de ello es la carta que L. Euler, escribi a Federica Carlota Ludovica von
Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (17451808), en la que expone de
forma casi literal el resultado de Tyndall:
Carta V: Del Unsono y de las Octavas
" [...] Vuestra Alteza comprender fcilmente que cuanto ms
simple sea la proporcin [entre las frecuencias], o expresada
con menores nmeros, ms distantemente se presenta al entendimiento
y presenta un mayor sentimiento de placer [...]."
3 de mayo de 1760
Segn este criterio, las consonancias pueden ordenarse de la forma siguiente:
1/1 Unsono > 2/1 Octava > 3/2 Quinta > 4/3 Cuarta > 5/4 Tercera mayor > 5/3 Sexta
mayor > 6/5 Tercera menor > 8/5 Sexta menor >...
A partir de esta ordenacin, surgen problemas con las que musiclogos y matemticos
han tenido que convivir:
A partir del siglo XVI, compositores y msicos empiezan a hacer uso de intervalos que
haban estado prohibidos. Sirva como ejemplo un fragmento de la polmica entre C.
Monteverdi (1567 1643), representante de la nueva msica, y G. M. Artusi (1540
1613), partidario de la msica tradicional:
No niego que inventar cosas nuevas est bien; incluso es necesario. Sin embargo,
decidme: a qu se debe que queris hacer uso de aquellas disonancias de la misma
manera que las emplean stos [los msicos modernos]? Si lo hacis porque
pretendis que se oigan de modo manifiesto [...] por qu no las usis de la manera
habitual, razonadamente, segn en la forma en que compusieron Adriano, Cipriano,
Palestrina [...]?
Por otro lado, no resulta sencillo justificar por qu es ms consonante 8/5 que 7/4 7/5
si tanto el numerador como el denominador son ms grandes y se alejan ms del
unsono.
Como veremos a continuacin, de nuevo el nmero siete est en la esencia de estas
cuestiones.
Mi objetivo no es hacer un anlisis exhaustivo del uso del siete en la msica, sino dar
una visin global a travs de algunos trabajos. Y para esto resultan esenciales las
aportaciones de G. Zarlino (1517-1590), J. Kepler (1571-1630), G. W. Leibniz (1646-
1716), J. S. Bach (1685-1750) y L. Euler (1707- 1783), quienes contribuyeron de forma
decisiva a reavivar la controversia. Cualquiera de estos cinco autores merecera un
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estudio detallado, sin embargo aqu destacaremos algunas publicaciones que reflejan
de forma clara argumentos a favor y en contra del nmero siete en msica.
Muy influido por el neoplatonismo florentino, G. Zarlino vea la esencia numrica en
todas las cosas. En Le Institutioni Harmoniche (1558) hace una defensa del senario
como lmite para las consonancias, pero esto le plantea un problema: hemos dicho
que la sexta menor, 8/5, se considera una consonancia, y sin embargo tiene en sus
trminos el ocho que no pertenece al senario. Por qu no proponer el ottonario como
recinto de las consonancias? Evidentemente, aceptar el ocho significara dar cabida al
nmero siete y los intervalos compuestos con este nmero, 7/6 y 8/7, a las que
considera disonancias sin paliativos.
Zarlino, consciente de que el problema tena difcil solucin, recurre a argumentos
filosfico-numricos para resolverlo. Para l, las fracciones 8/5 y 7/6 contienen
nmeros de naturaleza muy diferente porque 8 = 23, y esto significa que incluir 8/5 no
supone incorporar nmeros primos que no estn contenidos en el senario, mientras
que aceptar el 7 escapa de los seis primeros nmeros. Adems, sus argumentos se
apoyan en la distincin aristotlica entre potencia y acto. Para Zarlino, 8/5 se
encuentra en el senario en potencia, pero no en acto, y aprovecha esta circunstancia
para justificar que las consonancias que surgen con el senario sean "consonancias
propiamente dichas" mientras que la sexta menor produce una "consonancia
comnmente dicha".
Como era de esperar, los razonamientos de Zarlino no fueron capaces de convencer a
muchos musiclogos de la poca, de ah que otros autores, como F. Salinas (1513 -
1590), hicieran otro tipo de defensas, basadas en la prctica, argumentando que 8/5
era consonante por ser complementario de la tercera mayor (5/4), sexta mayor +
tercera mayor = 8/5 x 5/4 = 2 y no por estar dentro o fuera del senario.
Habr que esperar ms de medio siglo hasta que Kepler, en Harmonices mundi (1619)
proporcione razonamientos mucho ms slidos. Convencido, como los pitagricos, de
que la armona de la msica y la del universo no eran ms que dos representaciones
de una misma realidad, Kepler basa las proporciones armnicas en los polgonos
regulares. Para esto necesitaba quedarse con una cantidad finita polgonos. La
manera de elegirlos fue relacionar la condicin de ser construible con regla y comps
con la capacidad de generar proporciones consonantes. As ide un mtodo que,
aparentemente, resolva de una vez por todas, los problemas de rechazar 7/6 o 8/7
pero aceptar 5/8. El mtodo consista en generar un rbol de consonancias en el que
cada fraccin a/b en el paso n genera dos fracciones, a/(a+b) y b/(a+b), en el paso
n+1. Se parta de la fraccin 1/1 y el proceso continuaba hasta llegar a un
denominador que representase los lados de un polgono regular no construible con
regla y comps (los polgonos de 7, 9, 11 y 13 lados).
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En este rbol aparecen todos los intervalos consonantes y no es necesario aceptar
ninguna excepcin. Kepler intent comprender las leyes del movimiento planetario
durante la mayor parte de su vida. En un principio, considerando que este movimiento
deba cumplir las leyes pitagricas de la armona, aprovech que el nmero de
planetas fuese uno ms que el nmero de poliedros perfectos para intentar demostrar
que las distancias de los planetas al Sol venan dadas por esferas en el interior de
poliedros perfectos (anidadas sucesivamente unas en el interior de otras). Cuando
advirti que este modelo no explicaba el movimiento de los astros tuvo que recurrir,
con gran decepcin, a las elipses. Esta falta de simplicidad en el Universo, que Kepler
vivi como un fracaso, fue compensada por la perfeccin de la Armona Universal al
comprobar que las proporciones entre las velocidades angulares de los astros en su
afelio y su perihelio reproducan fielmente las proporciones de los intervalos
consonantes. Una vez efectuadas las mediciones, la Msica de las Esferas de los
pitagricos dejan de ser slo una idea para plasmarse en unos pentagramas que el
propio Kepler escribi.
Durante ms de siglo y medio, los argumentos de Kepler parecan slidos, pero
despus, en menos de veinticinco aos, sus justificaciones se desmoronaron. Por un
lado, W. Herschel, precisamente un msico de la corte del rey Jorge III de Inglaterra,
descubri Urano en 1781 y, pocos aos despus, C. F. Gauss (1777 1855) demostr
que se poda construir con regla y comps el polgono regular de 17 lados.
A pesar de que Leibniz no escribi mucho sobre msica, pero particip en la polmica
del nmero siete. Su produccin en este tema se reduce a algunas cartas dirigidas a
C. Goldbach (1690 1764). En una de stas, fechada el 17 de abril de 1712, a pesar
de que concede la posibilidad de que el nmero siete sea capaz de generar sonidos
agradables, no deja de verlo como algo anecdtico:
En msica, no contamos ms all del cinco, similares en esto a esta gente que,
hablando tambin de aritmtica, no pasaban del nmero tres y dieron lugar al dicho
alemn sobre los simples: "es tan simple que no sabe contar ms de tres". Todos
nuestros intervalos en uso vienen en efecto de razones formadas por los pares de los
nmeros primos 1, 2, 3, 5. Si tuviramos la suerte de un poco ms de finura,
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podramos llegar hasta el nmero primo 7. Y pienso que realmente hay gente en este
caso. Esta es la razn por la que los antiguos no rechazaban completamente el
nmero 7. Pero apenas habr gente, que llegara hasta los nmeros primos
[siguientes] ms cercanos, 11 y 13.
A pesar de que varios autores del siglo XVIII utilizan la sptima en sus composiciones,
y de la innegable revolucin que supone El clave bien temperado (1722, 1740) de J. S.
Bach en el que, por supuesto aparecen sptimas y otros intervalos considerados
disonantes, los cientficos y tericos de la msica se mantienen fieles en su renuncia al
nmero siete como generador de consonancias. Una prueba contundente de ello es la
ltima frase de la carta que Euler escribi a la princesa de Anhalt Dessau en 1760
(Euler, 1990):
Carta VII: De los doce tonos del clavecn:
"Mi intencin era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos
empleados en la msica. [...] Los principios de la Armona se reducen en ltimo
trmino a nmeros, [...] el nmero 2 produce slo octavas [...]. Despus el nmero 3
produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos
tambin el nmero 5 y veamos cul sera el tono que produce 5 vibraciones, mientras
que el F no hace ms que una. [...]. Es llamado una tercera mayor y produce una
consonancia muy agradable, estando contenido en una proporcin de nmeros
bastante pequea, 4 y 5. [...] (As) tendris las teclas principales del clavecn que
segn los antiguos, constituye la escala llamada diatnica que deriva del nmero 2, del
nmero 3 repetido tres veces y del nmero 5 [...].
Si se quisiera tambin introducir el nmero 7, el nmero de tonos de una octava sera
mayor, y se llevara toda la msica a un grado ms alto. Pero aqu la Matemtica
abandona la armona a la Msica."
3 de mayo de 1760
Pero el ingenio de Euler no poda permanecer ajeno a la msica que se estaba
haciendo en su poca, y seis aos despus de haber escrito la carta anterior, en su
Conjecture sur la raisonde quelques dissonances gnralement reues dans la
musique (Euler), no slo se desdice de la ltima frase de esta carta y propone el
nmero 7 como uno de los artfices de la msica, sino que aprovecha la ocasin para
rectificar a Leibniz.
Se sostiene generalmente que no nos servimos en la msica ms que de las
proporciones compuestas por estos tres nmeros primos 2, 3 y 5 y el gran Leibniz ha
advertido ya, que en la msica no se ha aprendido an a contar ms all del 5; lo cual
es incontestablemente cierto en los instrumentos afinados segn la armona. Pero, si
mi conjetura se cumple, se puede decir que en la composicin se cuenta ya hasta el 7
y que el odo est ya acostumbrado; es un nuevo gnero de msica, que se ha
comenzado a usar y que era desconocida por los antiguos. En este gnero el acorde
4, 5, 6, 7 es la armona ms completa, puesto que contiene los nmeros 2, 3, 5 y 7;
pero tambin resulta ms complicado que el acorde perfecto en el gnero habitual que
no contiene ms que los nmeros 2, 3 y 5. Si sta es una perfeccin en la
composicin, quiz se har lo posible por llevar los instrumentos al mismo grado.
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Posteriormente, Euler, cuando aborda el carcter de la Msica Moderna presenta un
sistema de afinacin en el que aparece el nmero siete, aunque quiz por parecerle
excesivamente atrevido, a los tonos en los que aparecen potencias de 7 les denomina
"extraos", frente a los tonos "principales" en los que slo aparecen potencias de 2, 3
y 5. Pero, puede estar desafinada la Naturaleza?
En el siglo XIX, J. B. Fourier (1768 1830) abre una nueva brecha en la cuestin del
nmero siete. Uno de sus resultados ms clebres y, sin duda, el ms utilizado en
msica, es que cualquier funcin peridica continua se puede descomponer en
funciones peridicas simples.
Esto significa que si un instrumento produce una nota, la onda sonora se puede
descomponer en ondas simples con frecuencias 1f, 2f, 3f,..., denominadas armnico
primero, segundo, etc. La amplitud de cada uno de los armnicos es lo que configura
el timbre del instrumento y hace que distingamos el do de un piano del do de una
trompeta. As, si tomamos como nota fundamental, o primer armnico, el do2 con una
frecuencia f=132 Hz, los diez primeros armnicos escritos en un pentagrama son los
siguientes:
(al sptimo armnico se le adjunta una flecha, o un cambio de grafa, que indica la
desafinacin).
Pero, esto no zanja la cuestin: por qu quedarnos en el sptimo armnico y no
seguir con el 11, 13, etc. que tambin estn desafinados?
Realmente, que estas cuestiones permanezcan sin resolver no supone ningn
problema prctico, pero afirmar que algunos armnicos de una nota emitida por un
cantante estn desafinados, es admitir que la naturaleza est desafinada. Est claro
que en los criterios para elegir las notas musicales, los argumentos basados en la
fsica del sonido se entremezclan con los netamente socio-culturales, y stos no tienen
por qu ser absolutamente ciertos.
Temperamento igual?
Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el espaol Bartolom Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematiz en 1482, cuando ejerca como profesor de Msica en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Msica Prctica (1482) se
encuentran teoras renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tard mucho tiempo en imponerse, lo consagr J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades. A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armnicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema ms empleado por sus ventajas tericas y prcticas. Por propia construccin, la distribucin de semitonos en el sistema temperado de 12
notas resulta totalmente uniforme.
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Andreas Werckmeister publica el primer tratado sobre el "temperamento igual",
afinacin que hara posible la ejecucin y composicin de piezas en diversas
tonalidades. Lo interesante de este hecho es que la "afinacin pura", es decir, la
verdaderamente natural, no permita la transposicin de las piezas, pues estas perdan
la afinacin. Esto trajo como consecuencia la necesidad de alterar algunos intervalos
naturales para que pudieran ejecutarse las piezas en todas las tonalidades. De modo
que, como seala Taruskin, "toda la historia de la afinacin ha sido una historia de
negociacin entre resonancia natural y utilidad prctica"
El "temperamento igual" no slo hizo posible la composicin y ejecucin de piezas en
las diversas tonalidades lo que facilitaba, entre otras cosas, adaptarse a los registros
de los cantantes, sino que fij a partir de entonces el espectro de 24 tonalidades.
Surgen entonces los primeros intentos de componer obras que las recorran todas;
intentos que culminan con la compilacin de Bach, en 1772, de la primera parte de su
"Das wohltemperierte Klavier" (El clave bien temperado): 24 preludios y fugas
compuestos en las tonalidades, mayores y menores, de las 12 notas de la escala
cromtica.
Esta obra tiene, para la historia de la armona occidental, varias implicaciones de
profundo alcance. En primer lugar planteaba la equivalencia de todas las tonalidades
(toda pieza compuesta en una tonalidad puede ser perfectamente transpuesta a otra)
al presentar por primera vez piezas compuestas en cada una de ellas; en segundo
lugar, fijaba y totalizaba dichas tonalidades como las nicas disponibles para la
composicin musical (de all el carcter a la vez didctico y de repertorio de la obra);
en tercer lugar, al referirse al "clave" aparentemente Bach tena en mente los
instrumentos de teclado en general, y a su distribucin de notas en las teclas,
blancas y negras, parecan quedar excluidas del espectro musical notas que no
correspondieran al ahora intervalo mnimo del semitono el nico posible con la
"buena afinacin". Un instrumento bien afinado no dara cabida, por tanto, a un
sinnmero de sonidos que sin embargo existen en el espectro sonoro. El resultado de
este ordenamiento ser, bsicamente, el sistema de composicin musical que se
mantendr inclume en Occidente hasta comienzos del siglo XX aunque ya a finales
del siglo XIX comienza a presentar fisuras en las obras de algunos compositores; un
sistema con el que la msica acadmica entr sin duda en un perodo de
extraordinario esplendor. Sin embargo, precisamente por el desarrollo aqu descrito,
dicho sistema parece haberse "naturalizado" al punto de que se lleg a pensar que no
era posible componer "msica" combinaciones "armnicas", "agradables",
"hermosas", esto es: audibles, de sonidos fuera de l. Con el fin de contrarrestar esta
impresin he credo necesario, al retrasar su evolucin, indicar las huellas y marcas
histricas y culturales que lo definieron y que paradjicamente le permitieron adquirir el
carcter hegemnico que an hoy algunos msicos le confieren al continuar
atribuyndole una supuesta naturalidad.
En este sentido varios aspectos de la constitucin del sistema patentizan precisamente
tanto su historicidad como los imperativos a los que responden cuando se los analiza
desde la perspectiva de la desconstruccin del fonocentrismo y el logocentrismo en la
cultura occidental.
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Partamos, para fines de la discusin, de la siguiente exposicin de Darius Milhaud que
resume bien las caractersticas de la tonalidad:
"La diatonicidad implica la creencia en el acorde perfecto (compuesto por su nota
fundamental, por su tercera mayor o menor y por su quinta) como una realidad fija que
se basa en las escalas mayores y menores que el msico utilizar en la composicin
de sus temas. Las melodas diatnicas, entonces, no emplearn sino las notas que
componen las escalas de la tonalidad en que estn escritas y las modulaciones que
puedan introducirse no sern sino la puesta en movimiento para alcanzar un plano
tonal paralelo, que tiene una nota fundamental diferente y se basa en otra escala y
otro acorde perfecto, pero cuyas relaciones mutuas son los mismos que los de la
tonalidad inicial."
En el mbito de la tonalidad, en efecto, cada una de las escalas posee por definicin
un sonido de base (nota fundamental o tnica) que determina inequvocamente y de
antemano las notas que pueden entrar a jugar un papel en la pieza y las que no.
Igualmente, a partir de dicha nota de base se determina el acorde fundamental que
constitua ineluctablemente la conclusin y el "reposo" del desarrollo musical. Hoy
resulta imposible, a la luz de los aportes tericos de Foucault, no entender dicho
sistema de composicin tonal como un mecanismo de control respecto a las
posibilidades de combinacin de notas, es decir, un "orden del discurso" musical. En
tanto tal, prohbe ciertos intervalos, ciertos acordes e incluso, en algn caso, la
aparicin de ciertas notas en una pieza compuesta en una determinada tonalidad.
Dicha prohibicin, sin embargo, con el tiempo dej de entenderse como una limitacin
y comenz a pensarse como el resultado de una particular racionalizacin en la
distribucin y asociacin necesaria de los sonidos. Las combinaciones excluidas lo
eran en razn a su "disonancia", a su imposibilidad de constituir conglomerados de
sonidos armnicos lo que llegar a entenderse como "agradables", con toda la
ambigedad que este trmino conlleva para el oyente. Se introduca de esta manera
en el sistema el elemento "afectivo" cosa que ya haba sucedido explcitamente en
Platn. Subrepticiamente esta concepcin del espacio musical pas de la
"denominacin" a la "sensacin" y por ello, ciertas combinaciones de sonidos que
histricamente haban sido entendidos como inestables comenzaron a ser "percibidas"
y, ms importante an para nuestros propsitos, "sentidas" como puntos de
desequilibrio en el desarrollo musical que "requeran" de una "resolucin", que en la
audiencia equivala a "satisfaccin", cuando se alcanzaba de nuevo la nota de base y
su acorde fundamental. El extremo de este proceso se encuentra en la concepcin
popular y por tanto ampliamente extendida que asocia, por ejemplo, las tonalidades
mayores a estados de alegra y felicidad, y las menores a estados de tristeza y
melancola.
Desde la antigedad los hombres han desarrollado en todas las culturas y
civilizaciones sistemas musicales completos.
Los instrumentos, los sistemas de afinacin, los procedimientos compositivos, etc. han
formado un todo unificado sobre el que se construyeron las obras musicales que
definen estos diferentes estilos. Los cambios en las orientaciones estticas y en las
posibilidades tecnolgicas, en una
relacin dialctica, han derivado en desarrollos y modificaciones de uno, varios o todos
los componentes de estos sistemas musicales. Muchas veces estos cambios mejoran
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aspectos considerados insuficientes en sistemas anteriores pero siempre generan
como contrapartida prdidas en otros componentes del sistema. Obviamente aqu no
es aplicable la nocin de progreso. Estos sistemas son solo diferentes; ni mejores ni
peores.
Soslayar ,deliberadamente o no, cualquiera de los aspectos constitutivos de un
sistema musical nos conduce de manera inevitable a la degradacin del sistema y a la
imposibilidad de un real entendimiento de las obras creadas dentro de l. En este
orden tal vez uno los aspectos menos tenidos en cuenta entre los msicos a la hora de
interpretar distintos estilos es el de los diferentes sistemas de afinacin.
La adopcin del sistema de afinacin temperada
entendido como la particin de la octava en 12 semitonos iguales no fue tcnicamente
posible hasta 1885. Si bien este sistema cientfico de afinacin no fue necesario o
practicado mucho antes del siglo XX, no es una teora reciente.
En Europa aproximaciones cercanas al temperamento igual han sido aplicadas en los
instrumentos con trastes como violas y lades desde el siglo XVI y los chinos
especularon sobre el tema desde el siglo X a.C.
A modo de breve introduccin researemos los sistemas de afinacin y escalas ms
usados desde la Edad Media:
La afinacin y escala pitagrica se deriva de la superposicin de 11 quintas naturales
(generalmente desde mi b hasta sol #); la quinta restante recibe toda la coma diatnica
y por lo tanto es 24 cents baja. Fue el sistema usado hasta el siglo XV. La tercera
mayor pitagrica es un intervalo mucho ms amplio que la tercera natural derivada de
la serie de armnicos (4:5) y, considerndola armnicamente, no es consonante sino
por el contrario disonante. Es una escala que suena muy bien en un contexto de
msica mondica. Las escalas griegas fueron derivadas a partir de las diferentes notas
de esta escala bsica. Estos modos griegos desembocan en los modos de la Edad
Media que retienen los nombres griegos y a los cuales se les asociaba con ciertas
cualidades expresivas. Mientras la msica fue mondica, o polifnica pero basada en
quintas, cuartas y octavas se mantuvo el sistema pitagrico.
La msica de los siglos XVI y XVII est basada en parte en la teora de la proporcin,
de acuerdo a la cual los sonidos se deducen de la serie de armnicos. La fundamental
es el punto de referencia que simbolizaba la unidad (unitas) es decir Dios. Cuando
ms simple es el nmero de radio, ms noble y moral es el sonido. Cuanto ms
alejado de la unidad, ms catico. Cada intervalo puede expresarse en proporciones
(por ejemplo la octava 1:2; la quinta 2:3; la tercera 4:5) y su cualidad puede medirse
por la proximidad con la unitas. De acuerdo con esta teora la armona se basa en un
principio similar al de la seccin urea en arquitectura. Los intervalos cercanos a la
unidad son percibidos como ms placenteros, ms perfectos que aquellos remotos
que son desproporcionados y pertenecientes al reino del caos. La relacin 4:5:6 fue
considerada como la perfecta armona y la ms noble eufona (trias musica) que
simbolizaba la Santsima Trinidad. La proporcin de la trada menor (10:12:15) no
era considerada por estar sus nmeros alejados de la fundamental. En este contexto
se le asignaban a los acordes valores morales y por esa razn no poda usarse la
trada menor como acorde final ya que no se poda concluir una obra en caos. A
finales del siglo XVII solo las escalas mayores y menores sobrevivieron a los modos
eclesisticos. Esto hubiera resultado en un empobrecimiento (en relacin a los modos
eclesisticos) si no hubiera sido posible dar a cada transposicin de estas escalas su
carcter propio (s, por ejemplo, do mayor no evocara un efecto diferente que si
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mayor). Si la diferencia en los modos eclesisticos reside en la secuencia de los
intervalos, las escalas mayores pueden ser distinguidas solo por la diferencia de
afinacin.
Solamente los instrumentos de viento naturales, cornos y trompetas, estaban
diseados como para este nuevo sistema. En el caso de los instrumentos de teclado
fue necesario desarrollar un nuevo sistema de afinacin que incluya a las terceras
puras. Este nuevo sistema fue el Mesotnico en el cual las terceras mayores son
absolutamente puras a expensas de los dems intervalos. Para conseguir estas
terceras mayores puras todas las quintas deben ser estrechadas notablemente. El
nombre Mesotnico proviene de dividir la tercera mayor pura Do-MI exactamente en el
medio, para lograr la afinacin del Re, y no en el radio 8:9:10 que es la afinacin
natural en donde hay un tono
"largo" Do-Re y un tono "corto" Re-MI. En Mesotnico no hay equivalencia
enarmnica, cada sonido es unvoco. Las escalas cromticas en instrumentos
afinados en este sistema tocadas sucesivamente producen un efecto extremadamente
variado y colorido por la diferencia entre los semitonos. En el caso de los instrumentos
de viento se suma la necesidad de digitaciones de horqueta y cerramiento parcial de
los orificios que agregan cambios de sonoridad muy grandes. En este contexto la
denominacin cromtica adquiere su sentido real. La quinta lobo en Mesotnico era
tan horrible, y tambin un obstculo para modular, que en la prctica de finales del
siglo XVII se modifica sustancialmente.
Estos temperamentos son, probablemente, los ms apropiados para la msica
temprana para rgano incluyendo a Buxtehude y Bach.
A fines del siglo XVII surge la necesidad de encontrar otro sistema de afinacin,
especialmente para los instrumentos de teclado, que permitiera tocar en cualquier
tonalidad y la modulacin a diferentes tonalidades: comienza a experimentarse con los
diferentes temperamentos. En estos temperamentos se logr la posibilidad de tocar en
diferentes claves que conservaron su color caracterstico. Los intervalos son diferentes
en cada clave, algunos puros, otros no, lo cual produce fuertes tensiones de afinacin.
Es importante destacar que hasta 1800 la profesin de afinador no se haba separado
de la de ejecutante lo que seguramente result en una variedad muy grande de
maneras de temperar.
Filsofos y tericos propusieron peridicamente desde el siglo XVII la adopcin del
temperamento igual para los instrumentos de teclado. Personalidades como Mersene,
Werckmeister, Neidhardt, Rameau y Marpug fueron tericos de avanzada que
propusieron un ideal filosfico. En sus escritos no indicaron instrucciones que
contengan la informacin necesaria para afinar en temperamento igual auditivamente.
Los msicos prcticos se rebelaron fuertemente contra esta modalidad. Ellos afinaban
de odo y no estaban dispuestos a sacrificar el "color" de las diferentes tonalidades.
Sus duras objeciones estaban dirigidas especialmente hacia las terceras consideradas
duras en estas aproximaciones al temperamento igual. Los libros publicados por estos
tericos influyeron a los historiadores del siglo XIX. Estos historiadores no tenan
experiencia o conocimiento sobre los requerimientos para afinar temperamento igual
de odo y por lo tanto no podan distinguir entre teora filosfica y la afinacin
practicada por los msicos. Esto llevo a conclusiones falsas como considerar que
J.S.Bach introdujo el temperamento igual en 1722. Cuando J. S. Bach escribi "Das
Wohltemperierte Klavier" evit en el ttulo de la obra el trmino alemn para
temperamento igual que
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es gleich-schwebende Temperatur.
Los preludios y fugas que contiene esta obra exhiben el potencial de
color de cada clave en este temperamento circular.
Desde el comienzo del siglo XIX se produjo un paulatino acercamiento hacia el
temperamento igual. En 1885 Alexander John Ellis describi que an el temperamento
matemticamente igual no era practicado. A partir de los ltimos aos del siglo XIX es
tcnicamente posible la afinacin en temperamento igual.
Es importante recordar que toda la problemtica de los diferentes sistemas de
afinacin y temperamento se desarrollaron especialmente para los instrumentos de
afinacin fija como el clave, rgano, piano, lades, guitarras etc. Los instrumentos de
viento, en mayor o menor medida, pueden adaptarse. Obviamente un instrumento
barroco o copia de un instrumento barroco est naturalmente hecho para tocar en una
afinacin que no es el temperamento igual. En el caso de los instrumentos de
cuerda frotada (violines, violas, cellos, contrabajos, etc.) afinan las cuerdas al aire en
quintas justas y simultneamente afinan el resto de las notas de manera justa,
temperada o incluso pitagrica.
El siglo XIX fue el siglo del piano. Los grandes compositores, con muy pocas
excepciones, fueron pianistas e incluso virtuosos del instrumento. Con la paulatina
adopcin de los temperamentos circulares de base 12 y continuando luego con la
adopcin del temperamento igual, el piano predomin como instrumento e influy
sobre los dems instrumentos que fueron adaptndose a este nuevo sistema de
afinacin. De todas maneras se usaban simultneamente, como tambin se usa en la
actualidad, distintas maneras de afinacin, sobre todo en msica que no se ejecutara
con instrumentos de afinacin fija.
Hermann Helmholtz seala el paralelismo entre la necesidad de modulaciones a
centros tonales ms alejados y disonancias ms acentuadas en la medida que la
afinacin se acerca al temperamento igual. Pero tambin cuenta una experiencia con
el gran violinista Joachim al cual le pidi que ejecutara escalas mayores y al
controlarlas con el Harmoniun comprob que Joachim ejecutaba las escalas con
afinacin justa.
Es interesante destacar las observaciones que Paul Hindemith escribi en el marco de
la polmica sobre la msica dodecafnica en donde afirma que la disolucin del
sistema tonal ocurre a partir de la adopcin del sistema de temperamento igual. Sin
estar de acuerdo con su postura conservadora en contra del dodecafonismo no
podemos dejar de coincidir en lo que respecta a la influencia destructiva que el
sistema de afinacin en temperamento igual caus a la msica tonal. Esta
msica es fundamentalmente jerrquica, las perfeccin de las consonancias
(especialmente las terceras) es oscurecida por el temperamento igual. Del mismo
modo la relacin consonancia disonancia pierde polaridad lo cual produce un
empobrecimiento de los cdigos del mismo sistema. El temperamento
igual presenta una armona que consiste en intervalos de "compromiso" sin la
posibilidad de una quinta, cuarta o tercera mayor pura, por lo tanto ningn intervalo
est libre de batimento. Queremos aclarar que las denominaciones de sistemas de
afinacin Justa o Natural son elecciones estticas de determinados sistemas que no
implican naturalidad ni antinaturalidad.
Comparemos la afinacin del temperamento igual con el pitagrico y la afinacin justa:
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PITAGRICA JUSTA IGUAL
Segunda Mayor 203.9 cents 204 cents 200 cents
Tercera menor 294.1 cents 316 cents 300 cents
Tercera Mayor 407.8 cents 386 cents 400 cents
Cuarta 498 cents 98 cents 500 cents
Quinta 702 cents 702 cents 700 cents
Sexta menor 792.2 cents 814 cents 800 cents
Sexta Mayor 905.9 cents 884 cents 900 cents
Sptima 1109.8 cents 1088 cents 1100 cents
Octava 1200 cents 1200 cents 1200 cents
Los intervalos justos (cuartas y quintas) presentan una diferencia de solo 2 cents. La
diferencia mayor existe en las terceras y sextas (menores y mayores) y la sptima o
sensible de la escala.
Comparativamente la escala pitagrica y de temperamento igual tienen una diferencia
menor entre s que con la escala justa.
El cellista Pablo Casals hablaba de la "justesse expressive" o afinacin expresiva.
Casals sistemticamente ejecutaba las sensibles ms altas hacia la nota que resuelve
y las sptimas de dominante ms bajas como sensibles descendentes. Esta es una
prctica, en mayor o menor medida, bastante comn. Es importante distinguir al
respecto entre ejecucin individual y ejecucin en ensamble.
Excede el alcance de este escrito las mltiples consideraciones posibles al respecto
de una afinacin expresiva en la ejecucin individual, solo alertaremos sobre las
consecuencias destructivas para la afinacin armnica.
Otro aspecto a considerar es el vibrato: Es sintomtico que el uso continuo del vibrato
en los instrumentos de viento y en los de cuerda coincide con la progresiva tendencia
de alejamiento de la afinacin justa hacia el temperamento igual. El uso del vibrato, tal
como es reportado por diversos autores del siglo XVII y XVIII, se limitaba como
expresin para determinadas notas. Incluso, en el caso de los instrumentos de viento,
se usaba vibrato de dedo o flattement que es un tipo de vibrato que no se puede hacer
en todas las notas del instrumento. En los instrumentos de vientos de la orquesta la
prctica de ejecucin con vibrato continuo se impone recin en el siglo XX e incluso
hoy en da el clarinete es raramente ejecutado de esta forma. Creemos que esto no es
casual, ya que un acorde en afinacin justa es destruido si se le aplica vibrato.
Posiblemente la tendencia haya sido disminuir la sensacin de dureza de la afinacin
en temperamento igual con el uso de vibrato. A su vez la mirada idlica del siglo XX en
relacin a la msica del XVIII y XIX ms la concepcin de una belleza
"edulcorada" que elude los contrastes entre consonancias perfectas y duras
disonancias propios de una concepcin dramtica y retrica de la msica ha influido
en gran medida sobre el uso de un vibrato constante.
Por analoga podemos decir que si ejecutamos la msica tonal de los siglos XVIII y
XIX con afinacin en temperamento igual, el producto es similar al que se obtiene
cuantizando los ritmos de cualquier obra de esta poca en una computadora. Los
ritmos ejecutados en toda su crudeza y exactitud proporcional no reflejan la
concepcin retrica y dramtica a la que hacamos referencia.
Segn Nikolaus Harnoncourt la insistencia en la ejecucin del ritmo proporcional tal
como est escrito es una prctica que recin se establece a partir de comienzos del
siglo XX con Gustav Mahler como director de orquesta.
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Consideramos que en ensambles de instrumentos sin afinacin fija (vientos y
cuerdas), para la ejecucin de la msica tonal del siglo XVIII y XIX no debe usarse
afinacin en temperamento igual.
La afinacin justa es la adecuada para el sistema tonal. Incluso al tocar junto con
pianos en afinacin temperada debe igualmente favorecerse siempre que sea posible
la afinacin de los acordes con afinacin justa y con especial nfasis en terceras,
sextas y sensibles justas. El sonido del piano desaparece rpidamente y los batidos
que producen los sonidos resultantes son perceptibles solo en el ataque y luego
decaen. Por esta razn es posible tocar en ensamble con una afinacin mixta.
Entendemos por afinacin justa a aquella que se deriva de la serie de armnicos de un
sonido fundamental y que produce intervalos armnicos sin batimento en relacin al
sonido fundamental.
Estos sonidos armnicos estn en una relacin matemtica con la fundamental (las
frecuencias de los armnicos se derivan de la multiplicacin de la frecuencia de la
fundamental por el nmero de armnico).
La Afinacin Justa est basada en el contexto "tonal" desarrollado por un sonido, la
tnica, que acta como el "ancla" para la clave. Todos los dems sonidos de la escala
son juzgados como correctos por la ausencia de batimento entre la tnica y el
intervalo. Es un sistema de afinacin bsicamente armnico.
Dos notas tocadas simultneamente producen una tercera nota denominada
resultante. La frecuencia de la nota resultante es la diferencia de las frecuencias de las
notas tocadas. Esta nota resultante puede no ser de la misma intensidad que la de las
notas generadoras pero es audible. Cuando tres notas son tocadas simultneamente
se producen tres notas resultantes. Cuando dos notas adyacentes en la serie de
armnicos son tocadas simultneamente el sonido resultante ser siempre la
frecuencia de la fundamental de la serie. Asimismo notas alternadas de la serie
producen el sonido resultante una octava ms aguda de la fundamental. Acordes en
inversin y disposiciones abiertas de los acordes producirn resultantes que
duplicarn otros sonidos presentes en la serie de armnicos. A menos que los sonidos
resultantes coincidan exactamente con los otros sonidos presentes producirn
batimentos. Esto solo se logra en una afinacin justa de los intervalos, lo que produce
un refuerzo de la tonalidad. En afinacin de temperamento igual los sonidos
resultantes no concuerdan con los generadores y, por ejemplo, en una trada mayor
ninguno de los sonidos resultantes est afinado con la fundamental.
Anlisis de las diferentes notas de la escala en relacin a la tnica:
1 grado de la escala: Unsono Octava: La sensacin del unsono es simple y sin
complejidad. No es tocar solamente una altura sino una serie de armnicos iguales.
Las octavas son simples en caracterstica aunque la tendencia es tocarlas ms
amplias que lo que corresponden a una octava sin batimento o pura. No hay que
sorprenderse si uno toca una octava pura y siente que es baja en trminos meldicos
(tambin el cambio de timbre de un instrumento entre octavas conspira). No escuche
el timbre, escuche si hay o no batimento.
5 Grado de la escala: Quinta Perfecta : 2 cents ms alta que la quinta temperada.
3 Grado de la escala: Tercera Mayor: 14 cents ms baja que la tercera mayor
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temperada. Aqu la distincin entre Temperamento Igual y Afinacin Justa es obvia. La
tercera mayor pura es tal vez la experiencia ms gratificante de tocar en afinacin
pura.
3 Grado de la escala: Tercera menor: 16 cents ms alta que la tercera menor
temperada. Es un intervalo de difcil ubicacin sin batimento. La sensacin fsica es
incmoda. La idea de un intervalo menor es de tensin que procura resolucin. Es
recomendable omitirlos hasta que los intervalos perfectos y mayores estn
consolidados.
4 Grado de la escala: Cuarta Perfecta: 2 cents ms baja que la cuarta temperada.
Como con otros grados de la escala, cuanto ms alejada est la nota en la serie de
armnicos, es ms difcil de tocar sobre la fundamental (la cuarta es el armnico 18 o
19). Una posibilidad para afinar la cuarta es escucharla como inversin.
Particularmente prefiero resolver la cuarta en la tercera mayor y escucharla como un
retardo de la cuarta por la tercera. Es muy importante entender la preeminencia de
este intervalo en armona tonal. La tendencia general es tocar este intervalo muy
amplio. En Afinacin Justa es necesario que todos los intervalos estn en perfecta
relacin con la tnica. La sensacin fsica no es tan fuerte como con la quinta.
6 Grado de la escala: Sexta Mayor: 16 cents menos que la sexta temperada. Como
la tercera mayor, la sexta funciona como tercera del acorde de IV grado (Fa-La-Do en
Do mayor). La relacin entre la fundamental de un acorde y la tercera es consistente
de acorde a acorde. El Fa (la cuarta) es 2 cents ms baja que la temperada y por esa
razn el La (la sexta) es 16 cents ms baja.
Observe que es la misma relacin que hay entre el 1 grado de la escala y la 3 de la
escala.
6 Grado de la escala: Sexta menor: 16 cents ms alta que la sexta menor
temperada.
2 Grado de la escala: Segunda Mayor: 4 cents ms alta que la segunda mayor
temperada. Este es uno de los intervalos de la escala que usualmente requiere de
cierta "correccin". Si se usa armnicamente como quinta del acorde de V grado (Sol-
Si-Re en Do), que es la relacin pura con la tnica de la clave, corresponde a una
"posicin" alta. Como fundamental del acorde de II grado (re-fa-la) se lo baja para
acomodarse a la tercera mayor pura entre el cuarto grado de la escala y el sexto (Fa-
La). La teora indica que es mejor acomodar la segunda bajndola antes que mover
los otros dos intervalos para acomodarse al segundo grado. La teora se rompe
rpidamente si el acorde de II grado es seguido del V. Si el II que est sonando es en
una afinacin baja: o se bajan las otras dos notas del V grado para afinarlo en relacin
o se acomoda el segundo grado de la escala en relacin a la quinta de la escala. En
general es el acorde siguiente el que determina la exacta posicin del segundo grado.
7 Grado de la escala: Sptima Mayor: 12 cents ms baja que la sptima temperada.
Este intervalo es la sensible. Generalmente se tiende a subir la afinacin de la
sensible. Este es un argumento vlido bajo ciertas circunstancias meldicas, pero en
general es completamente destructivo para la Afinacin Justa. En cualquier tonalidad
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el acorde ms importante es el I grado, el siguiente es el V (dominante). El sptimo
grado de la escala es la tercera mayor del acorde de V grado. Si subimos la sptima
de la escala obtendremos desafinar el segundo acorde ms importante de la tonalidad.
La sptima debe ser baja (en relacin a la temperada) como toda tercera mayor debe
serlo.
4 Grado de la escala como Sptima menor del acorde de V grado dominante debe
ser 29 Cents ms baja. El uso de este intervalo es preparar la resolucin del V al I. La
7ma menor resuelve en la tercera mayor del acorde de I (tnica). Debe aplicarse la
regla cardinal de balance: en orden de importancia primero la fundamental del acorde,
luego la quinta, despus la tercera y por ltimo la sptima. Si la afinacin baja de la
sptima no es usada, es posible ubicarla como tercera menor de la quinta.
Cuando dos instrumentistas tocan uno la a 440Hz. y otro a (por ejemplo) 442Hz. hay
dos "choques" de frecuencia por segundo. A esto se lo denomina "batimento". La
afinacin justa es la produccin de intervalos sin batimento. Cuando se mueve la
afinacin del sonido en la direccin apropiada el batimento se hace ms lento y
finalmente cesa. En caso contrario el batimento es ms acelerado.
Hay un principio, al que se denomina "gravedad", que se produce en los ensambles y
conjuntos: cuando ms ejecutantes comienzan a escuchar y corregir la afinacin los
que encuentran ms problemas en escuchar la relacin correcta son arrastrados a
ella. Los nicos a los cuales no les sucede esto son aquellos que no pueden escuchar
en absoluto o que tienen demasiado ego para pensar que estn desafinados. La
afinacin es una habilidad individual expresada en un ensamble.
Ningn conjunto puede mejorar sin la participacin de cada uno de sus integrantes.
Cuando se mejoran las habilidades individuales el proceso es mucho ms fcil.
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La convencin para el funcionamiento de las armaduras sigue el crculo de quintas.
Cada tonalidad mayor y menor cuenta con una armadura asociada que adjudica
sostenidos o bemoles como alteraciones propias a determinadas notas en esa
tonalidad. Bajo el concepto de tonalidad, las siete notas o intervalos de una escala
diatnica (mayor o menor) tienen cada uno una relacin predeterminada entre ellas.
Y como se ha mencionado antes, el punto referencial es la tnica (en ingls "key
note"). Cada nota o acorde de una tonalidad recibe un determinado nombre o grado
musical segn la posicin que ocupa cada nota en una escala diatnica. El primer
grado (I o tnica) el ms importante de todos junto al quinto (V o dominante). La
combinacin de ambos acordes es la base de la msica tonal occidental y la que es
capaz de crear efectos de tensin (dominante) y reposo (tnica).
I (primer grado): tnica
II (segundo grado): supertnica
III (tercer grado): mediante
IV (cuarto grado): subdominante
V (quinto grado): dominante
VI (sexto grado): superdominante o submediante
VII (sptimo grado): sensible (en la escala diatnica mayor) o subtnica (en
la escala diatnica menor).
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Armadura Tonalidad mayor Tonalidad menor
si, mi, la, re, sol, do, fa do bemol mayor la bemol menor
si, mi, la, re, sol, do sol bemol mayor mi bemol menor
si, mi, la, re, sol re bemol mayor si bemol menor
si, mi, la, re la bemol mayor fa menor
si, mi, la mi bemol mayor do menor
si, mi si bemol mayor sol menor
si fa mayor re menor
do mayor la menor
fa sol mayor mi menor
fa, do re mayor si menor
fa, do, sol la mayor fa sostenido menor
fa, do, sol, re mi mayor do sostenido menor
fa, do, sol, re, la si mayor sol sostenido menor
fa, do, sol, re, la, mi fa sostenido mayor re sostenido menor
fa, do, sol, re, la, mi, si do sostenido mayor la sostenido menor
La armadura de clave o simplemente armadura en notacin musical es el conjunto
de alteraciones propias (sostenidos o bemoles) que escritas al principio
del pentagrama sitan una frase musical en una tonalidad especfica. Su funcin es
determinar qu notas deben ser interpretadas de manera sistemtica un semitono por
encima o por debajo de sus notas naturales equivalentes, a menos que tal
modificacin se realice mediante alteraciones accidentales. Los sonidos que se
encuentran fuera de la escala bsica se denominan "notas extraas a la tonalidad".
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Bach y el "Clave bien Temperado"
En los tiempos de Bach, afinar un rgano o un clavicmbalo (antecesor del piano) era
todo un problema. Msicos, afinadores y fabricantes de instrumentos entablaban
interminables discusiones acadmicas sobre la manera en que deban efectuarse tales
afinaciones, y nunca se ponan de acuerdo. Se propusieron varias metodologas, pero
todas eran inapropiadas.
Un violn, una viola o un violoncelo siempre tuvieron resuelto el problema. Las cuatro
cuerdas del violn, por ejemplo, se afinan as: Sol, Re, La y Mi (tres quintas justas: sol-
re, re-la y la-mi). El violinista afina primero el La 5 (que es la segunda cuerda y
equivale al La central del piano). A continuacin afina las otras cuerdas buscando las
quintas justas derivadas de cada una. Debemos aclarar que la quinta justa es un
intervalo (o distancia) entre dos sonidos que al ejecutarse simultneamente no
producen batimentos (pulsaciones perceptibles que son naturales en todos los
intervalos excepto en la quinta justa, la cuarta justa y la octava). El violinista fricciona
con el arco, al mismo tiempo, las cuerdas La y Mi hasta que ambos sonidos producen
un acorde perfecto, limpio de batimentos. Luego afina de la misma manera el La con
el Re, y por ltimo el Sol con el Re. Ya con las cuatro cuerdas afinadas, el violinista
puede ponerse a tocar, pero a diferencia del pianista que dispone de todos los sonidos
ya predeterminados, el violinista debe crear cada nota musical presionando las
cuerdas con los dedos de su mano izquierda en el lugar preciso.
En las pocas de Bach los instrumentos de teclado se afinaban con similar criterio,
pero resultaba imposible obtener la perfeccin que se alcanza con los instrumentos de
entonacin libre. Se empezaba afinando el La central y se continuaba por quintas
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justas sucesivas hasta completar los doce sonidos centrales. Pero qu ocurra? Al no
diferenciarse en los instrumentos de teclado los semitonos diatnicos de los
cromticos, ya que ambos, como dijimos, se fusionan en una sola tecla, la progresin
de quintas iba trasladando errores que terminaban sumados en la ltima quinta con
una diferencia descomunal. Esta quinta quedaba demasiado pequea, y por ese
motivo "aullaba", y lo haca tan desagradablemente que se la llamaba la "quinta del
lobo". Su sonido era directamente insoportable.
Por esta razn en los tiempos de Bach era imposible tocar en determinadas
tonalidades, las que contenan en mayor o menor grado la "quinta del lobo". Si las
obras estaban escritas en Si mayor o en La bemol, la ejecucin planteaba inarmonas
complicadas, si eran en Fa sostenido mayor o en Do sostenido mayor, resultaban
directamente inejecutables.
Ya en 1482, tres siglos antes de Bach, el famoso afinador espaol Bartolom Ramos
de Pareja haba ideado un nuevo sistema para afinar los instrumentos de teclado que
llam de "temperamento igual", con el que se resolva el problema. Pero este
inteligente innovador no tuvo suerte y su metodologa fue incomprendida y desechada
por el mundo musical de su tiempo.
Debieron pasar tres siglos hasta que el sabio alemn Ernesto Florencio Chladni, que
vivi en los tiempos de Bach y fund la ciencia acstica, determin el procedimiento
para afinar un instrumento de teclado segn el temperamento igual creado
intuitivamente por el frustrado Ramos de Pareja, y hall la frmula matemtica para
obtener la frecuencia temperada de cada nota musical de la escala. Dicha frmula,
vigente hasta hoy, es:
122 = 1,05946
La palabra "temperamento" quiere decir, segn el diccionario, "arbitrio, medida
conciliatoria, providencia que se toma para terminar las discusiones y contiendas o
para obviar dificultades". Como se ve, el nombre elegido no poda ser ms apropiado,
aunque por tradicin el trmino temperar ha sido incorporado a la jerga musical como
sinnimo de templar o afinar.
Se parte del La5 y se van afinando las notas centrales del teclado por quintas. Pero
estas quintas ya no van a ser "justas", como se haca con la metodologa antigua, sino
"temperadas", es decir, ligeramente disminuidas. Esto implica que cada quinta de la
serie no ha de ser un acorde perfecto, y que su ejecucin va a generar inevitables
batimentos. Lo que se hace es repartir lo ms equitativamente posible entre las doce
quintas de la escala las imperfecciones que en el otro mtodo se acumulaban en la
"quinta del lobo". Es decir: en lugar de obtenerse once quintas justas de perfecta
entonacin y la nmero doce horrorosa, se obtienen doce quintas levemente
achicadas, por lo tanto ninguna perfecta, pero cuyas imperfecciones son
prcticamente imperceptibles.
Pero los afinadores se volvan locos. El problema era lograr la reduccin exacta de
cada quinta. Cualquier leve exceso produce una distorsin que aparece en cualquier
sector de la progresin. A veces la "quinta del lobo" reapareca sorpresivamente, pero
ya no era una quinta disminuida sino aumentada, porque se haban achicado
excesivamente algunas o todas las dems.
Tericamente es ilimitada la cantidad de tonos que puede obtener un instrumento de
entonacin libre. La escala de Barbereau establece 31 sonidos, basada en una
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sucesin de treinta quintas justas desde el Sol doble bemol, hasta el La doble
sostenido.
Naturalmente todas estas dificultades desaparecieron cuando se invent el "afinador
electrnico", que es actualmente una herramienta insustituible de cualquier afinador
profesional. Se trata de un aparatito del tamao de un celular, que indica en una
pequea pantalla digital cundo se ha logrado la entonacin exacta de cada nota de la
escala central temperada. Estas unidades que los chinos fabrican por un precio
insignificante (y que se basan en la aplicacin computarizada de la antigua ecuacin
de Chladni) permiten al afinador obtener con una perfeccin absoluta las quintas
temperadas que tan dificultosamente haba que buscar a puro odo hasta no hace
mucho ms de treinta aos. No obstante, el disciplinado odo musical, el manejo
correcto de la tcnica y los conocimientos acerca de la compleja mecnica de los
pianos siguen siendo indispensables para afinar con idoneidad este extraordinario
instrumento.
En la poca de Bach, los muy buenos afinadores lo hacan "de odo", con gran
concentracin y nervios de acero, aunque difcilmente un mismo afinador lograba dos
veces la misma escala templada. Otros afinadores, menos talentosos pero ms
pacientes, deban contar los batimentos que produca cada quinta con la ayuda de un
cronmetro. Por clculo matemtico basado en la ecuacin de Chladni se conoca la
cantidad de batimentos que produce por minuto cada quinta temperada. As tenemos,
por ejemplo, que la primera quinta: La-Mi, genera cuarenta pulsaciones por minuto; la
segunda: Mi-Si, 67 (poco ms de una por segundo); la tercera: Si-Fa sostenido:
cincuenta. La quinta que ms batimentos emite por minuto, y por ello es la ms difcil
de cronometrar, es la que forman el Sol sostenido y el Re sostenido: ochenta y cuatro
pulsaciones.
Una vez que se han afinado las doce quintas centrales (serie que los afinadores
denominan "reparticin", precisamente porque all se reparten igualitariamente las
imperfecciones de la enarmona) el problema se simplifica porque ahora slo hay que
trasladar cada una de estas notas hacia lo agudo y hacia lo grave mediante
sucesiones de octavas. La octava es fcil de establecer auditivamente porque es el
intervalo ms perfecto que existe. (Cada octava est conformada por una nota y su
homnima con el doble exacto de frecuencia. Por ejemplo: La 440 La 880).
En sntesis, por un lado era difcil afinar un clavicmbalo con el sistema de Chladni, y
por el otro los mismos msicos lo resistan, por lo cual el temperamento igual segua
sin ser aceptado ni reconocido en pleno siglo XVIII.
Hasta que Juan Sebastin Bach, que era tambin violinista y por lo tanto conoca la
dificultad de unir los dos instrumentos en una afinacin recprocamente compatible, se
interesa vivamente por las teoras de Chladni, que era muy respetado por su erudicin
pero predicaba en el desierto, y hace afinar su clavicmbalo segn el temperamento
igual.
Aunque Bach sola afinar sus propios instrumentos de teclado, se cuenta que no poda
encontrar un afinador profesional que tuviera experiencia en el nuevo mtodo, hasta
que el propio Chladni le envi uno a su casa. El maestro qued tan maravillado con
esta afinacin, particularmente porque permita hacer msica en todas las tonalidades
mayores y menores existentes, que se propuso convencer al mundo musical de su
tiempo de adoptarla definitivamente. Para lograrlo compuso expresamente una de las
obras ms bellas de la literatura pianstica de todos los tiempos, El Clave bien
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Temperado, que es una coleccin de veinticuatro Preludios y Fugas escritos en las
veinticuatro tonalidades (doce en modo mayor y doce en modo menor), obra que
exige, para su ejecucin integra, un instrumento "bien temperado", hoy diramos "bien
afinado", mediante el sistema de temperamento igual. Y Bach logr con su obra
familiarizar a los msicos y a los amantes de la msica con la incomparable riqueza
sonora que se obtiene con el uso ilimitado de toda la gama tonal.
Cuando se impuso el temperamento igual, toda la literatura musical se escribi, y se
sigue escribiendo, sobre el nuevo procedimiento. Pero, atencin: Bach no escribi
solamente un volumen de El Clave bien Temperado, sino que aos ms tarde escribi
un segundo volumen, tambin integrado por veinticuatro preludios y veinticuatro fugas
en todas las tonalidades mayores y menores.
Lo que no deja de ser sorprendente es que esa escala temperada que adopt e
impuso Juan Sebastin Bach en 1722, es la misma que aplicamos en nuestros das
para afinar un piano, un bandonen, un acorden o un teclado electrnico.
Y gracias a su clarividencia y a su empeo por la perfeccin sonora, los amantes de la
msica contamos con una obra como El Clave bien Temperado.
Alessandro Longo, el clebre pedagogo y revisor de la obra de Bach para la editorial
Ricordi, hace la siguiente recomendacin a los pianistas y estudiantes de piano: "El
Clave bien Temperado, una de las obras ms poderosas y geniales creadas por el
cerebro y el corazn de Bach, es un libro que todo msico debe estudiar y volver a
estudiar muchas veces en su vida, a causa del doble valor tcnico y esttico que
encierra. A cada nuevo examen, a cada nuevo anlisis, los estudiosos descubrirn en
l tesoros de incomparable belleza."
Dos volmenes de preludios y fugas compuestos por Johann Sebastian Bach en todas
las tonalidades mayores y menores. Una coleccin formada por 48 preludios y
48 fugas.
El primer volumen que comprende los preludios y fugas del BWV846 al BWV 869 fue
terminado en 1722.
El segundo volumen que comprende del BWV 870 al BWV 893 fue terminado en 1744.
Cada libro tiene 24 grupos de un preludio y una fuga en la misma tonalidad. Empieza
por la tonalidad de Do mayor, despus la de Do menor, a la que le sigue Do sostenido
mayor y as sucesivamente, hasta haber completado toda la gama cromtica de mayor
a menor.
Los preludios y fugas del Clave bien Temperado (Vol. I.) De J. S. Bach:
El "preludio" no es una simple pieza introductora. Se origina como improvisacin
realizada mientras los msicos comprobaban la afinacin en sus instrumentos.
Como forma musical, era una pieza que introduca a otra ms extensa, hasta
constituirse como forma independiente en el siglo XIX, destacando las composiciones
de Frdric Chopin (24 preludios opus 28), Rachmaninov y Debussy.
En el siglo XVIII el preludio, de forma variada, se asocia a la fuga con Johann
Sebastian Bach.
-
24
En las "fugas" el canto ininterrumpido, deriva de un solo tema. J. S. Bach expone la
idea musical al principio del movimiento, desarrollndola en secuencias modulantes
sin cadencias destacadas, como recurso de articulacin.
PRELUDIO Y FUGA BWV 846. C major- ut majeur- C- dur
El preludio N 1 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do Mayor, con sus
acordes arpegiados, es del estilo del primer tipo de preludios improvisados.
PRELUDIO Y FUGA BWV 847. C minor- ut mineur- c- moll
El preludio N 2 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do menor, presenta
una estructura regular.
La fuga N 2 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do menor, en estilo
del Concerto Grosso, presenta en su estructura dos contrasujetos.
PRELUDIO Y FUGA BWV 848. C sharp major- ut dieser majeur- Cis- dur
El preludio N 3 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido Mayor, es
una invencin a dos voces.
La fuga N 3 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido Mayor,
claramente instrumental en carcter, presenta en su estructura dos contrasujetos.
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25
PRELUDIO Y FUGA BWV 849. C sharp minor- ut diese mineur- cis- moll
El preludio N 4 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido menor,
tiene influencia de las formas de danza instrumentales: es una Courante a la francesa.
La fuga N 4 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido menor,
expone el tema- sujeto con cuatro notas. Una fuga basada en el estilo polifnico de la
liturgia.
PRELUDIO Y FUGA BWV 850. D major- re majeur- D- dur
El preludio N 5 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re Mayor, presenta
una estructura regular.
La fuga N 5 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re Mayor exhibe el estilo
de la Obertura Francesa que introduce una suite orquestal.
PRELUDIO Y FUGA BWV 851. D minor- re mineur- d- moll
El preludio N 6 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re menor presenta una
estructura regular.
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La fuga N 6 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re menor es claramente
instrumental.
PRELUDIO Y FUGA BWV 852. E flat major- mi bemol majeur- Es- dur
La fuga N 7 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi bemol Mayor se
encuentra en estilo del Concerto Grosso.
PRELUDIO Y FUGA BWV 853. E flat minor/ D sharp minor- mi bemol mineur/ re
diese mineur- es- moll/ dis- moll
El preludio N 8 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi bemol menor,
muestra como "afecto emocional": la intimidad. La doctrina de los "Afectos" en el
Barroco es el contenido emocional inherente en una pieza de msica.
La fuga N 8 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re sostenido menor,
muestra un pasaje en estrecho donde el sujeto se combina con l mismo en
aumentacin e inversin.
PRELUDIO Y FUGA BWV 854. E majeur- mi majeur- E- dur
El preludio N 9 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi Mayor tiene
semejanza de una pastoral.
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La fuga N 9 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi Mayor es claramente
instrumental en su carcter.
PRELUDIO Y FUGA BWV 855. E minor- mi mineur- e- moll
El preludio N 10 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi menor, con una
meloda airosa con acompaamiento (textura homofnica) se conecta con el
movimiento lento del Tro Sonata.
La fuga N 10 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi menor es claramente
instrumental en su carcter.
PRELUDIO Y FUGA BWV 856. F major- fa majeur- F- dur
El preludio N 11 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa Mayor muestra una
invencin a dos voces.
La fuga N 11 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa Mayor ofrece el
carcter de un Passepied.
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28
PRELUDIO Y FUGA BWV 858. F minor- fa mineur- f- moll
El preludio N 12 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa menor tiene
influencia de las formas de danza instrumentales. Similar en carcter a la Allemande.
La fuga N 12 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa menor, expone un
intrincado cromatismo.
PRELUDIO Y FUGA BWV 858. F sharp major- fa dise majeur- Fis- dur
El preludio N 13 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa sostenido Mayor se
relaciona con una invencin a dos voces.
PRELUDIO Y FUGA BWV 859. F sharp minor- fa dise mineur- fis- moll
La fuga N 14 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa sostenido menor,
expone un intrincado cromatismo.
PRELUDIO Y FUGA BWV 860. G major- sol majeur- G- dur
El preludio N 15 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol Mayor exhibe
como "afecto emocional": la exuberancia. Es uno de los preludios ms difciles de
interpretar tcnicamente.
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PRELUDIO Y FUGA BWV 861. G minor- sol mineur- g- moll
El preludio N 16 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol menor, con una
meloda airosa con acompaamiento (textura homofnica) se conecta con el
movimiento lento del Tro Sonata.
El comienzo de la fuga N 16 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol menor,
podra servir como comienzo de una fuga coral de una Cantata.
PRELUDIO Y FUGA BWV 862. A flat major- la bemol majeur- As- dur
El preludio N 17 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La bemol Mayor
presenta el estilo de un Concierto instrumental.
PRELUDIO Y FUGA BWV 863. G sharp minor- sol dise mineur- gis- moll
El preludio N 18 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol sostenido menor
aparece como una invencin a tres voces, denominada Sinfona.
La fuga N 18 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol sostenido menor,
presenta en su estructura dos contrasujetos.
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PRELUDIO Y FUGA BWV 864. A major- la majeur- A- dur
El preludio N 19 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La Mayor aparece
como una invencin a tres voces, denominada Sinfona.
La fuga N 19 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La Mayor, muestra como
"afecto emocional": el humor.
PRELUDIO Y FUGA BWV 865. A minor- la mineur- a- moll
El preludio N 20 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La menor presenta el
estilo del Concierto instrumental.
La fuga N 20 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La menor, en estilo
del Concerto Grosso, expone el tema- sujeto con treinta y una notas.
PRELUDIO Y FUGA BWV 866. B flat major- si bemol majeur- B- dur
El preludio N 21 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol Mayor, del
tipo libre, improvisado, con su rpida escala y pasajes arpegiados, es como
una Tocata o Fantasa virtuosa.
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La fuga N 21 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol Mayor, presenta
en su estructura dos contrasujetos.
PRELUDIO Y FUGA BWV 867. B flat minor- si bemol mineur- b- moll
El preludio N 22 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol menor,
muestra como "afecto emocional": la intimidad.
La fuga N 22 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol menor, tiene el
estilo polifnico de la liturgia.
PRELUDIO Y FUGA BWV 868. B major- si majeur- H- dur
El preludio N 23 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si Mayor es una
invencin a tres voces, denominada Sinfona.
PRELUDIO Y FUGA BWV 869. B minor- si mineur- h- moll
El preludio N 24 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si menor presenta una
clara forma binaria.
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La fuga N 24 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si menor en tempo Largo.
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33
Bach perteneci a una de las familias de msicos ms extraordinarias de la Historia,
con ms de treinta y cinco compositores famosos y muchos intrpretes destacados. Su
reputacin como organista y clavecinista se extendi por toda Europa.
Adems, tocaba el violn y la viola de gamba y fue, sin duda, el primer gran
improvisador de renombre de la Historia de la Msica. A pesar de esto, hubo que
esperar a la generacin de Mozart (1756 1791) y Beethoven (1770 1827) para que
se le reconociera como uno de los ms grandes compositores de todos los tiempos.
Precisamente, atendiendo a la cantidad y calidad de su produccin, fue Beethoven
quien, haciendo un juego de palabras con el significado de su apellido en alemn,
dijo de l que "no debiera llamarse Bach (arroyo, en alemn), sino mar".
Contemporneo de algunos de los ms grandes matemticos y cientficos de la
Historia Leibniz, Newton y Euler, Bach vivi en una poca de autntica revolucin
intelectual a la que, sin duda, contribuy desde la Msica. A pesar de la carta que su
hijo Carl Philipp Emanuel escribi a J. N. Forkel advirtiendo que su padre "no era
amante del seco material matemtico", lo cierto es que la grandeza estructural de sus
obras, as como la manera de zanjar un problema secular a travs de El clave bien
temperado (1722, 1744) son formas brillantes de hacer matemticas de las que Bach
slo fue consciente al final de su vida.
La obra de Bach est plagada de claves numricas. Por ejemplo, al sumar las cifras
que corresponden a la posicin en el alfabeto de las letras B-a-c-h, se obtiene el
nmero 14 (2+1+3+8) y las cifras correspondientes a las letras J-S-B-a-c-h suman 41,
o sea el revs de 14. Esta observacin, que podra haber sido una simple ancdota,
manifestaba una tcita predisposicin hacia las leyes de la simetra y de la armona
universales que proporcion muchas sorpresas en su obra. El manuscrito del coral
para rgano Von deinen Thron tret ich hermit contiene en la primera lnea 14 notas,
mientras que el coral en su integridad suma 41 notas. Sin duda, la frecuencia con la
que estos dos nmeros aparecen en las obras de Bach no puede atribuirse a
una casualidad.
Por otra parte, en la primera seccin del Credo de la Misa en Si menor, la palabra
credo se repite 43 veces. Si se suman las posiciones en el alfabeto de las letras
c-r-e-d-o, se obtiene precisamente el nmero 43. Las dos primeras secciones del
mismo Credo suman 129 compases, o sea, 43 multiplicado por 3, nmero que
simboliza la Trinidad.
En la Chacona para violn aparecen continuas referencias a su primera mujer, Mara
Brbara: en la pieza aparece insistentemente el nmero 211 correspondiente a las
palabras In Christo Morimur, y tambin los nmeros 81 y 158 que se corresponden con
la suma de las letras de Mara (40) Brbara (41) y Johann (58) Sebastian (86) Bach
(14), respectivamente.
Pero, ms all de esta simbologa numrica, que poco aporta a las matemticas,
haba razonamientos matemticos en sus composiciones?
Durante muchos aos, Bach no fue consciente del rigor cientfico de sus obras porque,
en palabras de su hijo Carl Philipp Emanuel, "no se dejaba arrastrar por profundas
consideraciones tericas y dedicaba, en su lugar, sus energas a la prctica".
Pero, tras nueve aos de negativa, en el verano de 1747, Johann Sebastian accedi a
ingresar en la Soziett der Musicalischen Wissenschaften (Sociedad de las Ciencias
-
34
Musicales). Era una sociedad elitista, que slo lleg a contar con veinte miembros,
creada por L. C. Mizler (1711 - 1778), un alumno de Bach, que adems de msico fue
matemtico, fsico, filsofo y mdico. El propsito era investigar la relacin
entre msica y matemticas y, de hecho, el propio Mizler contribuy al objetivo de la
Sociedad publicando un tratado de composicin basado en el ars combinatoria de
Leibniz.
Cuando Johann Sebastian ingres en la Sociedad, ya saba que en su manera de
abordar los cnones o las fugas se ocultaban razonamientos matemticos. De hecho,
para formar parte de la Sozitat present como trabajo cientfico una pieza cannica
basada en su Vom Himmel hoch (BWV 769), junto con un canon a seis voces de las
Variaciones Goldberg. Adems de estas dos obras aport un retrato, otra de las
exigencias de la selecta sociedad, que se ha convertido en la imagen ms conocida
de Bach.
La genialidad de Bach alcanza su cnit con el contrapunto y la fuga, composiciones en
las que la estructura geomtrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y
se les somete a transformaciones geomtricas que mantienen la forma del tema:
traslaciones, giros y simetras que confieren a la obra una estructura muy rgida, pero
en la que el compositor encontr una fuente de inspiracin.
Se planteaba las fugas con el mismo rigor estructural que un gemetra, pero les
aada una velocidad y brillantez en la improvisacin, que resultaron admirables.
Sirvan como muestra las palabras de J. N. Forkel (1749 1818) refirindose a una
visita Bach al rey Federico II de Prusia (1712 1786):
Una noche, en los momentos en que [Federico el Grande de Prusia] preparaba ya su
flauta y sus msicos estaban preparados para comenzar, un funcionario [...] dijo [...]
"Seores el viejo Bach est aqu". [...] El rey renunci a su concierto de esa noche e
[...] invit a Bach a probar cada uno de los fortepianos y tocar en ellos alguna
improvisacin.
[...] Bach le pidi al rey un tema para una fuga, ofrecindose a ejecutarla de inmediato,
sin preparacin alguna. El rey qued admirado [..] y expres el deseo de or una
fuga a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armona
tan rica, Bach mismo eligi uno, y al punto, con asombro para todos los presentes lo
desarroll de la misma sabia y magnfica manera como haba desarrollado antes el
tema del rey.
La dificultad que entraa componer una fuga a seis voces es altsima, y la de
improvisarla slo ha estado al alcance de unos pocos.
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35
En palabras de Hofstadter (1987), la tarea de improvisar este tipo de fugas podra
compararse, por decir algo, a la de jugar con los ojos vendados sesenta partidas
simultneas de ajedrez y ganarlas todas.
La mayora de la msica que escuchamos actualmente en occidente se basa en doce
notas en cada octava: siete de ellas, do, re, mi fa, sol, la, si, llamadas naturales, y
cinco ms do#, mib, fa#, sol#, sib, a mitad de camino entre cada dos de las
naturales (excepto entre el mi fa y si do), llamadas alteradas.
Para llegar a este consenso ha habido muchas batallas, pero la guerra (en un sentido:
el de la genialidad de su creacin musical) la gan Bach.
Pero en el terreno terico cometi un error, que voy a analizar y a corregir, unindolo
con la solucin que planteo.
El error de Bach y la solucin de Aschero
Empecemos exponiendo las 12 tonalidades mayores y las 12 tonalidades menores
utilizadas por Bach en el Clave bien Temperado en forma de escalas:
Do Mayor:
Do menor:
Do # Mayor:
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Do # menor:
Re Mayor:
Re menor:
Mi b Mayor:
Mi b menor:
Mi Mayor:
-
37
Mi menor:
Fa Mayor:
Fa menor:
Fa # Mayor:
Fa # menor:
Sol Mayor:
-
38
Sol menor:
La b Mayor:
Sol # menor:
La Mayor:
La menor:
Si b Mayor:
-
39
Si b menor:
Si Mayor:
Si menor:
Lo primero que se evidencia es la utilizacin de dos tipos de alteraciones: sostenidos y
bemoles y eso constituye un error terico. Veamos por qu:
La realidad operativa del Clave bien Temperado de Bach es de 12 notas en
concordancia con la cantidad de teclas que su clave contena dentro de una octava,
-
40
sin embargo en su escritura conviven sostenidos y bemoles opuestos en su funcin,
creando una dificultad terica y prctica que se podra haber resuelto con la eleccin
de un solo tipo de alteraciones (por ejemplo los sostenidos) que por su carcter de
"elevacin" eran totalmente compatibles con la espiritualidad del genial compositor.
Repasemos todas las escalas con sus alteraciones tradicionales:
Veamos las escalas con sus alteraciones:
Do Mayor:
La menor:
Sol Mayor:
Mi menor:
Re Mayor:
-
41
Si menor:
La Mayor:
Fa # menor:
Mi Mayor:
Do # menor:
Si Mayor:
-
42
Sol # menor:
Fa # Mayor:
Re # menor:
Do # Mayor:
La # menor:
Fa Mayor:
-
43
Re menor:
Si b Mayor:
Sol menor:
Mi b Mayor:
Do menor:
La b Mayor:
-
44
Fa menor:
Re b Mayor:
Si b menor:
Sol b Mayor:
Mi b menor:
Do b Mayor:
-
45
La b menor:
El lmite del absurdo se produce al establecer treinta tonalidades para una realidad
que solo admite veinticuatro (12 Mayores y 12 menores).
A partir de este punto se inicia la limpieza del sistema operativo para la escritura
musical tradicional.
Qu pasa si optamos por la eleccin de los sostenidos para determinar todas las
tonalidades? La necesidad del Mi sostenido me produce la necesidad de un anlisis
ms profundo del teclado musical tradicional y la posibilidad de cambiarlo.
En este Crculo de Quintas figuran las doce tonalidades mayores y las doce
tonalidades menores. La novedad es que aparece una nueva serie de sostenidos que
suplantan a los bemoles.
En el siguiente diagrama aparecen las tonalidades ordenadas:
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Teclado Simtrico de Aschero
El primer paso tiene que ver con el anlisis de un teclado cromtico tradicional:
-
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Con la aparicin de Mi sostenido y para que el teclado sea simtrico hay que variar la
disposicin de una tecla.
Esta variable supone un cambio en el diseo:
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48
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49
El teclado tradicional es asimtrico, el propuesto por Aschero es simtrico. La pregunta
es: nosotros somos fsicamente asimtricos o simtricos?
Simetra bilateral en el ser humano
La materia se presenta en el universo de mltiples formas. Tenemos galaxias,
estrellas, planetas, rocas, seres vivos, cada uno compuesto por una cierta
combinacin de slidos, lquidos, gases o plasma (una clase de materia parecida a un
gas muy caliente). Parte de esa materia tiene una curiosa propiedad: si la dividimos en
dos por cierto sitio, las dos mitades son iguales; o, lo que es lo mismo, se ven iguales
desde un lado y desde otro. Es lo que llamamos simetra.
En biologa, se dice que simetra es la equilibrada distribucin en el cuerpo de los
organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planos corporales de la
mayora de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetra, bien
sea simetra radial o simetra bilateral. La mayora de especies animales tiene simetra
bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y
las estrellas de mar que presentan simetra pentarradial secundaria derivada de la bilateral
(las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetra bilateral que
posteriormente se pierde en el adulto). La simetra bilateral permite la definicin de un eje
corporal en la direccin del movimiento, lo que favorece la formacin de un sistema
nervioso centralizado y la cefalizacin. La simetra bilateral fue uno de los pasos
fundamentales en la gnesis de los vertebrados.
Los seres humanos (su exterior) somos buenos ejemplos de esto. Tenemos
una casi igualdad entre las dos partes de nuestro cuerpo que se obtendran
dividindolo por una lnea que pasa por el centro de la nariz y p