Bab1.2kalkulus
Click here to load reader
Transcript of Bab1.2kalkulus
![Page 1: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/1.jpg)
Bab I
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Salah satu kompetensi guru yang perlu dikembangkan adalah
menguasai bahan ajar yang akan disampaikan kepada siswa. Bahan ajar
Kalkulus merupakan bagian dari Matematika yang didalam ruang lingkup
nya berkaitan dengan limit fungsi, perhitungan diferensial, dan
perhitungan integral.
Kalkulus pertama kali dikembangkan oleh Issac Newton pada abad
17 di Inggris dan pada waktu yang bersamaan juga dikembangkan oleh
Leibniz ( 1646 – 1716 ) di Jerman. Penelitian mereka yang dilakukan
secara terpisah tersebut menghasilkan kesimpulan yang sama. Hal-hal
yang dipelajari berhubungan dengan laju perubahan dan luas daerah.
Perhitungan ini kemudian dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk
memecahkan permasalahan yang terdapat pada berbagai bidang disiplin
ilmu, sehingga kalkulus banyak kegunaannya untuk menyelesaikan
masalah-masalah didalam kehidupan sehari-hari, misalnya di bidang
ekonomi, tehnik dan lain sebagainya.
Bahan ajar ini menyajikan kajian tentang konsep - konsep dasar
materi / pokok bahasan Kalkulus, khususnya limit, diferensial dan integral
yang merupakan materi yang harus dikuasai oleh Guru Matematika
sehingga guru mampu mengembangkan ketrampilan siswa dalam
1
![Page 2: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/2.jpg)
menentukan dan menggunakan limit, diferensial dan integral. Oleh karena
itu guru matematika SMK perlu memahami pembelajaran Kalkulus di
sekolahnya.
B. Tujuan
Setelah mengikuti pendidikan dan pelatihan ( diklat ) ini peserta
diharapkan mampu mengembangkan konsep limit, diferensial dan integral
dari kehidupan nyata sehari-hari dan menjelaskannya dengan memberi
contohnya.
C. Ruang Lingkup
Bahan ajar Pengantar Kalkulus dimaksudkan untuk meningkatkan
kompetensi guru matematika SMK dalam menyelenggarakan proses
belajar mengajar Kalkulus. Hal-hal yang akan dibahas meliputi :
Pengertian Limit Fungsi, Teorema Limit suatu Fungsi, Kontinuitas Fungsi,
Turunan suatu Fungsi, Beberapa Turunan Fungsi, Turunan Tingkat Tinggi,
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu.
2
![Page 3: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/3.jpg)
Bab II
Limit Fungsi
A. Pengertian Limit Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari kita pernah mendengar kalimat-kalimat,
misalnya : kendaraan itu hampir menabrak orang yang sedang berjalan.
Kata-kata “hampir”, “mendekati” dan sebagainya dapat dijelaskan dengan
pengertian limit dalam matematika. Pengertian limit fungsi merupakan
konsep dasar yang banyak digunakan dalam kalkulus, khususnya dalam
hitung diferensial. Pada suatu fungsi y = f (x ), bagaimana perilaku f (x );
jika x mendekati c, tetapi x≠c. Sebagai ilustrasi kita ambil fungsi f(x) = x+ 1
dan g(x) = dan kita cari berapa nilai fungsi jika x mendekati 1, untuk itu
kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk macam-macam nilai x sebagai berikut :
x f(x) = x+1 x g(x) =
0.9 1.9 0.9 1.9
0.95 1.95 0.95 1.95
0.99 1.99 0.99 1.99
0.999 1.999 0.999 1.999
1.001 2.001 1.001 2.001
1.01 2.01 1.01 2.01
1.1 2.1 1.1 2.1
Akan terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai
g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dikatakan “limit dari f(x) adalah 2 jika x
3
![Page 4: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/4.jpg)
mendekati 1 “ dan “ limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1” , masing-
masing ditulis :
( x + 1) = 2 dan = 2
Dari dua contoh limit fungsi tersebut , secara umum dapat dinyatakan
bahwa : f( x ) = L jika x mendekati c, maka f ( x ) mendekati L dan f
(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.
Jika ditulis f( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati
dari dua arah yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari
kiri
Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga. Mudah
dipahami bahwa :
x = ∞ dan = 0
Definisi limit fungsi adalah sebagai berikut :
Fungsi f didefinisikan pada interval terbuka yang memuat c, mungkin
pada c tidak ada harga definisi. Limit f(x) adalah L untuk setiap x
mendekati c, ditulis : f( x ) = L Jika untuk setiap bilangan positif ,
bagaimanapun kecilnya akan didapat bilangan positif sehingga
dipenuhi oleh 0
Contoh :
4
![Page 5: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Buktikan bahwa ( 3x -7 ) = 5 dengan menggunakan definisi
tentang limit.
Penyelesaian :
Pembuktian terdiri atas dua bagian yaitu pertama ditunjukkan bahwa
bilangan 4 adalah anggota interval f(x) dan kedua ditunjukkan bahwa
untuk setiap bilangan positif akan didapat bilangan positif sehingga
dipenuhi oleh 0
a. f(x) = 3x - 7 mempunyai interval ( - , ). Jelaslah bahwa bilangan 4
anggota interval tersebut
b. Harus ditunjukkan bahwa untuk 0 akan didapat bilangan 0
sehingga dipenuhi oleh 0
Misalkan ditetapkan bilangan positif dan ditetapkan juga bilangan
yang 0 1 sehingga 0 1 Maka :
= = 3
Berarti untuk = /3 maka dipenuhi . Jadi untuk
bilangan positif yang telah ditetapkan didapat bilangan yaitu = /3.
Terbuktilah bahwa untuk 0 yang ditetapkan didapat bilangan 0
sehingga dipenuhi oleh 0
2. Hitunglah :
Penyelesaian :
=
5
![Page 6: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/6.jpg)
=
= =
B. Teorema-teorema Limit Fungsi
Jika f(x) = L dan g(x) = M serta k, b adalah konstanta
sembarang maka berlaku teorema-teorema sebagai berikut :
1. ( k x + b ) = k c + b
2. k f(x) = k f(x) = k.L
3. { f(x) g(x) } = f(x) g(x) = L M
4. f(x).g(x) = f(x) . g(x) = L.M
5. = = ( M 0 )
6. = = untuk n bilangan bulat positif sembarang
7. = berlaku jika L positif maka n harus bilangan bulat
positif dan jika L negatif maka n harus bilangan bulat positif ganjil
Contoh :
a). Hitung ( 2 – 3x + 4x2 – x3 )
Penyelesaian :
( 2 – 3x + 4x2 – x3 ) = 2 - 3x + 4 x2 - x3
6
![Page 7: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/7.jpg)
= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10
b). Hitung
Penyelesaian :
= .
=
Maka = =
C. Limit Fungsi Trigonometri
1. Perhatikan limit fungsi . Akan dicari berapa nilai dari
Perhatikan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari satu satuan
berikut ini :
Maka didapat :
Luas OPR luas sektor OPQ luas OSQ
atau : cos x . sin x . x. 12 tan x
7
O R
PS
Q
Y
Xx
Besar sudut pusat QOP adalah x
radisn. Ruas garis PR dan QS
tegak lurus sumbu x .
Koordinat titik-titik pada gambar
adalah: P(cos x,sin x), S(1,tan x)
, R(cos x, 0) dan Q(1, 0)
![Page 8: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/8.jpg)
Karena 0 x maka sin x 0. Dengan demikian jika dikalikan
dengan maka didapat :
cos x
1 1 atau
= 1
Dengan cara sama di dapat rumus :
2. = 1
3. = 1
4. = 1
Contoh :
= . .
= . .
= . 1. 1 =
D. Kontinuitas Fungsi
Andaikan domain dari fungsi f(x) memuat suatu interval terbuka yang
memuat c maka : f(x) disebut kontinu di c jika dan hanya jika ketiga syarat
berikut dipenuhi yaitu :
1. f (c) ada8
![Page 9: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/9.jpg)
Y
2. f(x) ada
3. f(x) = f ( c )
Selanjutnya f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka ( a,b ) jika
kontinu pada setiap titik dalam interval tersebut.
Jika suatu fungsi f(x) tidak memenuhi syarat kontinu disebut fungsi
diskontinu.
Contoh 1:
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 2
Penyelesaian :
Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) =
1.f(2) = suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada
Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2
Dapat digambarkan sebagai berikut :
9
X2
![Page 10: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 2 :
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 1
Penyelesaian :
1. f (1) = = = = 0 , ada
2. f(x) = = = = 0 , ada
3. f(x) = f ( 1 ) = 0
Jadi f(x) kontinu di x = 1
Latihan 1 :
1. Buktikanlah ( x2 + 2x – 1 ) = 7
2. Hitunglah
3. Hitunglah :
4. Hitunglah :
5. Hitunglah :
10
![Page 11: Bab1.2kalkulus](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f7e849795991698c3f9e/html5/thumbnails/11.jpg)
6. Hitunglah :
7. Hitunglah :
8. Selidiki kekontinuan fungsi berikut di x = 2
untuk x 2
f(x) =
2 untuk x = 2
11