Bab v Transformasi Balikan
-
Upload
fashihatul -
Category
Documents
-
view
120 -
download
18
description
Transcript of Bab v Transformasi Balikan
-
TRANSFORMASI BALIKAN
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif
dengan daerah asal V dan daerah hasilnya juga V. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi
pada garis g, maka PPMM gg . Kita tulis juga PPM g 2
. Jadi M2 adalah
suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang
demikian dinamakan transformasi Identitas, dilambangkan dengan huruf I. Jadi
PPPI , .
Apakah I memang benar suatu transformasi?
Apakah I injektif?
Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan )()(,, 212121 xIxIxxVxx .
Bukti:
Ambil 2121 dengan , xxVxx .
Menurut definisi identitas, 111 )( xxIVx
222 )( xxIVx
Karena 21 xx maka )()( 21 xIxI
Jadi, I injektif.
Apakah I surjektif?
Untuk menunjukkan I surjektif, ditunjukkan xxIVx )(
Bukti:
Akan dibuktikan ')(' yyIVy
Ambil Vy ' , menurut definisi identitas jika yyyIVy ')( maka
Sehingga yyIyVyVy )('' . Jadi yy ' .
Jadi, I surjektif.
Benar bahwa I suatu transformasi.
Karena I transformasi, T trasnformasi, berlaku sifat berikut:
PPTpTIPITPTI ,
Jadi TTI
-
PPTPTIPIT ,
Jadi TIT , sehingga TITTI
Dengan demikian, transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam
himpunan transformasi-transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi-
transformasi.
Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap
0x ada balikan 1x sehingga 111 xxxx . Demikian juga dalam transformasi,
jika terdapat dua transformasi misal T dan Q, yang hasil kalinya adalah I
(transformasi identitas) ditulis IQTTQ . Transformasi balikan dari T ditulis
sebagai 1T sehingga ITTTT 11 .
Teorema yang berkaitan dengan transformasi balikan:
Teorema 1
Setiap transformasi T memiliki balikan.
Bukti:
Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.
Misal balikan dari T adalah L, maka ILTTL
Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.
Karena surjektif, XATVAVx )( prapeta
Kita tentukan AXL .
Kita punya XAT . Karena AXL , maka XXLT
Jadi XL adalah prapeta dari X .
Diperoleh XXLT atau XXTL .
Karena XXTL maka menurut definisi identitas XXI
XXIXTL
Jadi, ITL
Selanjutnya XTLXLT
-
Andaikan BXT
Karena transformasi maka x prapeta dari B dengan BLX
Jadi, karena BXT , maka XBLXTL )( .
Jadi VXXIXXLT , .
Jadi, ILT . Sehingga ILTTL .
Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.
Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.
Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.
Andaikan 21 XLXL dan andaikan pula 2211 )(,)( XATXAT dengan
11 AXL dan 22 AXL
Karena T transformasi, dan jika 21 AA maka )()( 21 ATAT , sehingga kita
peroleh 21 XX .
Jadi karena T transformasi dan )()( 21 XLXL maka:
)()( 21 XLTXLT
21
21
XX
ATAT
Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.
Karena ILTTL , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang
dilambangkan dengan 1T . Jadi L = 1T .
Contoh:
Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G
sebagai berikut:
yxPFyxP
2
1,2)(),.( dan
)2,2()( yxPG
Sehingga PyxyxFPGFPFG ),()2,2()(
Dan PyxyxGPFGPGF
),()
2
1,2()(
Jadi PPIPPGFPFG ,)(
-
Atau IGFFG
Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis 1 FG
Teorema 2
Setiap transformasi hanya memiliki satu balikan.
Bukti:
Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan 1S dan 2S .
Karena 1S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 11
dan karena 2S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 22
Sehingga ))(())(( 21 PTSPTS
)()( 21 PSTPST
Karena T transformasi maka .),()( 21 PPSPS
Sehingga 21 SS . Jadi balikan T adalah SSS 21 .
Dengan kata lain transformasi T hanya memiliki satu balikan.
Teorema 3
Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri
Bukti:
Andaikan pencerminan pada garis g adalah gM .
Andaikan gXYXM g ,)( maka XXMM gg )( atau ,))(( XIXMM gg
.gX jadi IMM gg .
Jika gX maka XXM g )( sehingga )()( XMMXM ggg atau
IMM gg
Jadi untuk setiap X diperoleh IMM gg .
Jadi gg MM 1
.
-
Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri
dinamakan suatu involusi.
Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan, yaitu
11 dan ST . Komposisi transformasi, yaitu ST juga suatu transformasi. Jadi
ada balikan 1ST
Teorema 4
Apabila T dan S transformasi-transformasi, maka 111 TSST .
Bukti:
Diketahui ISTST )(1 .
Tetapi ISSSISSTTSSTTS 111111 . Oleh karena suatu transformasi hanya memiliki satu balikan, maka
111 TSST .
Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan balikan
transformasi dengan urutan yang terbalik.
Contoh:
Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis xyyxg ),( dan
0),( yyxh .
Tentukan P sehingga ,))(( RPMM gh dengan R = (2,7).
Jawab :
Andaikan yxP , .
Kita peroleh berturut-turut ),)(())()((1111 RMMPMMMM hgghhg
Jadi .)(11 RMMP hg
Oleh karena )7,2(R dan hh MM 1 , maka )7,2()()(1 RMRM hh
sehingga )2,7()7,2()7,2()(111 gghg MMRMM sehingga )2,7(P .
-
Tugas:
Dalam tugas dibawah ini kita definisikan padanan-padanan sebagai berikut:
a) Apabila g sebuah garis. gW adalah padanan yang didefinisikan untuk
segala titik P sebagai berikut:
Apabila gP maka PPWg )(
Apabila gP maka )(PWg adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari
P pada g.
b) Apabila g sebuah garis. gV adalah padanan yang didefinisikan untuk
semua titik P sebagai berikut:
Apabila gP maka PPVg )(
Apabila gP maka ')( PPVg sehingga P titik tengah ruas garis tegak
lurus dari 'P pada g.
c) Apabila A sebuah titik. UA adalah padanan yang didefinisikan sebagai
berikut :
Untuk1)(, PPUAP A sehingga
1P adalah titik tengah ruas garis PA .
Untuk PPUAP A )(, .
-
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi
transformasi berikut:
a) gW b) gV c) gM d) AU
Penyelesaian:
Kasus 1 untuk A g
a) Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
AAWgWg
AAWgWg
AAI
)(
)(
)(
1
1
AAWg )(1
Jadi, AAWg )(1
Kasus 2 untuk A g
Menurut definisi dari padanan Wg
Apabila A g maka AhAAWg2
1
2
1)( ' dimana h adalah ruas garis
tegak lurus dengan g dari A.
Diketahui AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Karena AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Maka )()(1
AVAW gg
b) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
g
h
A
AAVgA 2)(1
-
AAVgVg
AAVgVg
))((
))((
1
1
AAVg )(1
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi identitas
Diketahui AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Karena AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Maka )()(1
AWAV gg
c) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka Mg(A) = A maka AAMg )(1
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka 1)( AAMg
Menurut Teorema 6.3
1)( AAMg
AAI )(
AAMgMg
AAMgMg
))((
1
1)(
Mg
AAMg
d) Jika AP jelas PPU A )( . Jadi balikan dari AU adalah AU .
Jika AP maka ')( PPU A dimana
'P adalah titik tengah ruas garis PA
g
h
A
AAVgA 2)(1
-
Dari hipotesis Jika GP , 1)( PPVg , sehingga P adalah titik tengah ruas
garis tegak lurus dari A pada g, dan misalkan gA , dan merupakan titik
potong garis yang tegak lurus dengan g dan melalui titik P dan 'P , maka P
titik tengah ruas garis AP ' . Jadi AV balikan dari AU .
2. Sederhanakanlah:
a) 1)( hgVM b) 1)( ggVW c)
1)( sgMW
d) 1)( sgWV e) 1)( sg MM f) sgs WWV
1)(
Penyelesaian:
Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka 111 TSST maka:
a) ghghhg MWMVVM 111)(
b) gggggg VWMVVM
111)(
c) gsgssg VMMMMM
111)(
d) gsgssg WVVWWV
111)(
e) gsgssg MMMMMM
111)(
f) ssgssgsgs WWMWVMWWV )()()(
111
3. Andaikan g sebuah garis,
a. Apakah gW sebuah isometri?
b. Apakah gW sebuah involusi ?
c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang
peta-petanya ?
Penyelesaian:
a) Ambil sebarang tiga titik CBA dan ,, dengan CBA dan gCBA ,,
Karena gA maka ')( AAWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
A pada g.
Karena gB maka ')( BBWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
B pada g.
-
Karena gC maka ')( CCWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
C pada g.
b) Ambil sebarang titik gA .
Karena gA maka ')( AAWg adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari
A pada g. Ini berarti )('AWg bukan merupakan balikan dari )(AWg
Jadi gW bukan suatu involusi.
c) Ambil tiga titik CBA dan ,, yang segaris.
gAAAAWGA g '')(, dan ,'' rAAA
gBBBWGB g '')(, dan ,'' rBBB
gCCCCWGC g '')(, dan ,'' rCCC
gAA '
gBB '
gCC '
Jadi ////// ''' CCBBAA atau .//// CrBqAp
Sehingga ,pqAB dan qrBC . Akibatnya ''BAAB dan ''CBBC .
Dapat disimpulkan jika ,, BA dan C segaris maka gW adalah sebuah
isometri.
4. Diketahui garis-garis g dan h yang berpotongan dan titik P dan Q tidak pada
garis-garis tersebut. Lukislah:
a) R sehingga PRMM hg )( .
Penyelesaian:
)()()( PMRMPRMM ghhg
)(PMMR gh
Q h
P
PMP g' g
PMMPR gh ''
-
b) K sehingga QKMW gh )(
Penyelesaian:
)()()(1
QWKMQKMW hggh
)(
)()(
QVMK
QVKM
hg
hg
c) E sehingga PEWV gh )(
Penyelesaian:
)()()(1
PVEWPEWV hggh
)(
)(
)()(
1
PWVE
PWWE
PWEW
hg
hg
hg
d) D sehingga DDMW gh )(
Penyelesaian:
)()()( DVDMDDMW hggh
)(DVMD hg
Karena )()( DVMDDWW hggh berarti IVMMW hggh
(Transformasi Identitas).
Maka haruslah D terletak pada perpotongan antara garis g dan h.
Q h
P
QVQ h'
g
QVMQK hg ''
)(PWVE hg
)(' PWP h Q
h
P
g
Q h
P
g
D
-
5. Diketahui garis-garis g, h dan k dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.
Lukislah garis-garis:
a) v sehingga vAvvWh dan )(
b) u sehingga kuWV hg )(
c) z sehingga gzVU hA )(
d) w sehingga hwW g )(2
v v
'R
'P
'Q
R
P
Q
zg ''
A
)(' gVg A
'S S
g
h
'R
'P
'Q'S
R
P
Q
S
gkh
)(' kWk g
v v
-
6. Diketahui titik-titik )9,2(dan ),3,2( BA .
a) Tentukan koordinat-koordinat )(BU A .
Penyelesaian:
6,02
393,
2
222
2,
2)(
ABA
ABAA
yyy
xxxBU
Jadi, koordinat )(BU A adalah (0,6).
b) Tentukan koordinat-koordinat ),(dengan ),( yxPPU A .
Penyelesaian:
)()()()()(2 hVVwhVwWhwWWhwW ggggggg
)(' hVh g
'S
S
'PP
'R
'Q
R Q
)('' hVVwh gg
gh
-
2
3,
2
2
2
33,
2
22
2,
2)(
yx
yx
yyy
xxxPU APA
APAA
Jadi, koordinat )(PU A adalah
2
3,
2
2 yx
c) Apakah AU sebuah isometri? Apakah AU sebuah involusi?
Penyelesaian:
Ambil sembarang titik ),Q(dan ),( 2211 yxyxP
Jarak P ke Q adalah 2122
12 yyxxPQ
2
3,
2
2')( 11
yxPPU A , dan
2
3,
2
2')( 22
yxQQU A
Sehingga jarak P ke Q adalah:
2
12
2
12
2
12
2
12
222
3
2
3
2
2
2
2''
yyxxyyxxQP
Karena ''QPPQ maka AU tidak mengawetkan jarak.
Jadi, AU bukan sebuah isometri.
Ambil sembarang titik ),( 11 yxP
Jelas
2
3,
2
2)( 11
yxPU A
Jelas
2
2
33
,2
2
22
2
3,
2
2)'(
11
11
yx
yxUPU AA
2
2
6
,2
2
4 11 yx
-
yxyx
,4
6,
4
4 11
Jadi, AU bukan sebuah involusi.
d) Tentukan koordinat-koordinat )(1 PU A
Penyelesaian:
Andaikan ),()(1 dbycaxPU A
Jelas PPUU AA )(1 ),( dbycaxU A
),(2
3,
2
2yx
dbycax
ydby
xcax
2
3dan
2
2
32dan 22 ydbyxcax
Jadi, koordinat )32(),22(),()(1 yxdbycaxPU A
7. Apabila 3),( xyxg tentukanlah:
a) Koordinat-koordinat ),(untuk )( yxPPWg
Penyelesaian:
Jelas ),()( yxWPW gg ),(3),( yxW xyx
=
p
gp
g yxx
x ,2
=
y
x,
2
33
=
y
x,
2
3
Jadi, koordinat )(PWg untuk ),( yxP adalah
y
x,
2
3
b) Koordinat-kordinat )(1 PW g
Penyelesaian:
Andaikan )(1 PW g
= ),( dbycax
-
Jelas PpWW gg )(1
),(),( yxdbycaxWg
),(,2
3yxdby
bax
xbax
2
3 dan ydby
32 xbax dan ydby
Jadi, koordinat )(1 PW g
= ),32(),( yxdbycax
c) C dengan BCWV gh )( apabila h sumbu Y dan )6,1(B
Penyelesaian:
Jelas BCWV gh )( )()()( BWVCBWCW bgbg
)6,1( hg WVC
6,
2
1gVC
)6,32
1(2( C
)6,4( C
8. Apabila T, L, S transformasi-transformasi buktikan bahwa 1111 TLSTLS .
Penyelesaian:
Menurut Teorema 6.4 : Apabila S dan T transformasi-transformasi, maka
111 oTSToS
Sehingga (TLS) 1 = (TL(S)) 1 = S 1 (TL) 1 = 111 TLS
9. Sederhanakanlah:
a) 1ghg MVW b)
1
gghh VWVM
Penyelesaian:
a). ghgghghggghgghg VWMWVMVWMMVWMVW
1111111 )())((
b). 1111111 hhggghhggghhgghh VMWVWVMVVWVMVWVM
-
hhgg
hhgg
MWVW
MVWV
1111
10. Apabila A titik asal dan 2),( yyxg tentukan koordinat-koordinat titik D
sehingga )4,3()( DVU gA .
Penyelesaian:
Jelas )4,3()4,3()()4,3()( AgAggA VWDVDVDVU
2,62
28,6
8,6
)4.(2),3.(2
D
D
WD
WD
g
g
11. Andaikan 63),( yxyxg dan h sumbu Y. Apabila A titik asal, tentukan
persamaan garis k sehingga gkUV Ah )( .
Penyelesaian:
Jelas )()()()( gWVkgWkUgkUV hAhAAh
1
-12
y
0
)(gWh
-6
2 x
63 xy
)(gWV hA
h
-
Persamaan garis k yang melalui dua titik yaitu titik (2,0) dan (0,12) adalah:
20
2
012
0
12
1
12
1
xy
xx
xx
yy
yy
126
2
212
xy
xy
Jadi persamaan garis k adalah 126 xy
12. Apabila xyyxg ),( tentukan:
a) Koordinat-koordinat titik )2,6(dengan )( AAWg
Penyelesaian:
Jelas titik A = (6,2) akan memotong (tegak lurus) g di
sehingga koordinat adalah
b) Koordinat-koordinat titik ),(Puntuk )(1 yxPW g
Penyelesaian:
Koordinat-koordinat titik untuk P = (x,y)
Jelas titik P = (x,y) memotong (tegak lurus) garis g di
dan
Misal koordinat adalah
Jelas = P
dan
dan
dan
-
dan
dan
Sehingga koordinat adalah