BAB III METODE LEAST-SQUARE MONTE CARLO -...

43

BAB III

METODE LEAST-SQUARE MONTE CARLO

Pada bab sebelumnya telah dijelaskan antara lain mengenai simulasi

Monte Carlo dan metode least-square, maka pada bab ini diantaranya akan

dibahas penggunaan kedua metode tersebut didalam metode LSM. Pada bab

ini, akan dijelaskan bagaimana metode LSM digunakan untuk

mengaproksimasi nilai opsi put Amerika. Metode ini terdiri dari tiga tahap

sekuensial, pertama adalah mensimulasikan lintasan dari harga saham,

kemudian menghitung matriks payoff opsi, dan yang terakhir adalah

menentukan harga opsi. Pada akhir bab ini juga akan dijelaskan contoh

sederhana penerapan metode LSM. Namun sebelum contoh penerapan akan

diberikan skema sederhana metode LSM ini.

Lebih jelasnya pada bab 3.1 akan dibahas mengenai ekspektasi

bersyarat dan ruang Hilbert, bab 3.2 mengenai simulasi lintasan harga

saham, bab 3.3 mengenai perhitungan matriks payoff opsi, bab 3.4 mengenai

perhitungan nilai opsi , bab 3.5 berisi skema metode LSM dan bab 3.6

menjelaskan contoh sederhana dari metode LSM.

3.1 Ekspektasi Bersyarat dan Ruang Hilbert

Diberikan sebuah ruang probabilitas ( ), , mPΩ Φ yang complete dan

terbatas pada interval waktu [0,T]. Ruang sampel Ω adalah himpunan tak

Implementasi Metode..., Hadi Ismail, FMIPA UI, 2008

44

kosong dari semua kemungkinan hasil yang dapat terjadi pada dunia nyata

atau dalam suatu eksperimen, dengan elemen Ω dilambangkan ω. Φ adalah

σ-aljabar dari subset Ω, yaitu himpunan dan semua subset dari Ω. Elemen

dari Φ disebut kejadian.

Probability measure Pm adalah fungsi dari Φ ke bilangan real antara 0

dan 1 yang menyatakan probabilitas masing-masing kejadian. Ruang

probabilitas merupakan ruang terukur dengan measure Pm, yang memenuhi

aksioma probabilitas, yaitu

1. Pm(J) ≥0, untuk setiap J∈Φ

2. Pm(Ω) = 1, dan

3. Pm(J1∪ J2∪…∪ Jn) = 1

( )n

m ii

P J=∑ .

Ruang probabilitas yang complete adalah setiap subset C dari

himpunan null J0 (Pm(J0) = 0) dengan J0∈Φ adalah terukur (Wikipedia, 2008).

Variabel random X adalah fungsi terukur dari ruang sampel Ω ke ruang

terukur lainnya yang disebut state space, X(ω) : Ω→R. Shiryaev (1994)

menyatakan bahwa jika terdapat H yang merupakan ruang variabel random X

dengan mean nol dan momen kedua yang terbatas pada ruang probabilitas

( ), , mPΩ Φ , dengan inner product <X,Y> = E[X.Y], norm 2X E X⎡ ⎤= ⎣ ⎦ dan

fungsi jarak (metric) X Y− , maka H adalah ruang Hilbert.


45

Pada ruang probabilitas ( ), , mPΩ Φ dimisalkan ( )2 2 , , mL L P= Ω Φ adalah

kelas dari variabel random X yang bernilai real (Φ-measurable), sedemikian

sehingga X terbatas, yaitu ( )2E X⎡ ⎤ < ∞⎣ ⎦ . Ruang L2 dengan definisi

penjumlahan dan perkalian skalar (skalar real) merupakan ruang vektor real.

Untuk setiap X, Y ∈L2, didapat ( )E X < ∞ , ( ) ( )22( )Var X E X E X= − < ∞ ,

dan ( ) ( ) ( )1 1

2 22 2E XY E X E Y≤ < ∞ , dengan ketidaksamaan terakhir

berdasarkan ketidaksamaan Cauchy-Schwartz pada fungsi yang square

integrable 2

, , . ,x y x x y y≤ . Sehingga ( , ) ( ) ( ) ( )Cov X Y E XY E X E Y= −

ada dan terbatas.

Dari struktur square integrable diatas, disimpulkan bahwa L2 dengan

inner product | ( )X Y E XY= dan norm 1 122 2X | ( )X X E X= = juga

merupakan ruang Hilbert.

Selanjutnya akan dijelaskan adanya (existence) ekspektasi bersyarat

pada ruang L2 yang telah dijelaskan diatas, ekspektasi bersyarat tersebut

akan digunakan dalam metode LSM. Namun sebelum itu akan dijelaskan

teorema proyeksi pada ruang Hilbert.

Teorema Proyeksi

Misalkan H adalah ruang Hilbert dan M subruang dari H, dan x

sembarang vektor di H. Jika terdapat vektor m0∈M sedemikian sehingga

0x m x m− ≤ − untuk setiap m∈M, maka m0 unik.


46

Kondisi perlu dan cukup bahwa m0∈M menjadi vektor unik yang

meminimumkan x m− untuk m∈M adalah 0x m M− ⊥ . Jika M complete

(barisan Cauchy di M konvergen di M), maka vektor unik yang

meminimumkan x m− untuk m∈M ada. m0 disebut juga proyeksi ortogonal

dari x ke M.

Penjelasan dan bukti teorema diatas dapat dilihat pada (Luenberger,

1969).

Sekarang akan dibahas adanya ekspektasi bersyarat pada ruang

Hilbert yang telah dijelaskan Rogers (1997). Misalkan Σ adalah sub σ-aljabar

dari Φ, dan misalkan X menyatakan variabel random yang integrable pada

( ), , mPΩ Φ . Rogers (1997) menyatakan adanya variabel random [ ]|E X Σ ,

disebut ekspektasi bersyarat dari X diberikan Σ, yang memiliki sifat-sifat

berikut

i) [ ]|E X Σ Σ-measurable dan integrable,

ii) [ ]| ,= Σ∫ ∫A A

XdP E X dP untuk setiap ∈ΣA .

Selanjutnya akan diaplikasikan teorema proyeksi untuk memastikan

adanya ekspektasi bersyarat untuk variabel-variabel random yang square

integrable. Diasumsikan X square integrable, yaitu X ∈ ( )2 , , mL PΩ Φ dan

misalkan ( )2 , , mL PΩ Σ menyatakan ruang variabel-variabel random yang

memenuhi Σ-measurable dan square integrable. Seperti ditulis sebelumnya


47

(pada halaman 45), ruang variabel random ( )2 , , mL PΩ Σ adalah ruang Hilbert,

sehingga untuk Y0 ∈ ( )2 , , mL PΩ Σ merupakan subruang yang complete pada

( )2 , , mL PΩ Φ . Maka berdasarkan teorema proyeksi, terdapat elemen

Y0 ∈ ( )2 , ,L PΩ Σ sedemikian sehingga

a) ( )( ) ( ){ }2 22 20 0 inf : , , mX Y E X Y x Z Z L P− = − = − ∈ Ω Σ .

b) 0 | 0,− =X Y Z untuk semua ( )2 , ,∈ Ω ΣZ L P .

Karena Y0 ∈ ( )2 , , mL PΩ Σ , Y0 adalah Σ-measurable dan square integrable,

sehingga memenuhi kondisi i) diatas. Jika A∈Σ, maka AZ I= (fungsi indikator

dari himpunan A) adalah elemen dari ( )2 , , mL PΩ Σ dan poin b) menyatakan

bahwa

( )( )0 ( )A A A

E X Y Z X Y dP XdP YdP= − = − = −∫ ∫ ∫ .

Dengan merujuk ke ii), maka Y0 adalah [ ]|E X Σ . Dengan kata lain,

ekspektasi bersyarat dari X diberikan Σ adalah proyeksi ortogonal dari X pada

( )2 , , mL PΩ Σ . Jadi Y0 = [ ]|E X Σ adalah anggota ruang ( )2 , , mL PΩ Σ yang

merupakan ruang Hilbert. Karena ekspektasi bersyarat merupakan anggota

ruang Hilbert sehingga kita dapat menggunakan teori yang yang berlaku

pada ruang Hilbert untuk menentukan aproksimasi fungsi ekspektasi

bersyarat yang nanti dijelaskan kembali pada subbab 3.3.


48

Pada skripsi ini ruang probabilitas ( ), , mPΩ Φ dapat dijelaskan sebagai

berikut: Ω merupakan himpunan semua kemungkinan proses stokastik harga

saham dan suku bunga yang terjadi antara waktu 0 dan T, Ω memiliki elemen

ω, yaitu sampel lintasan harga saham dan suku bunga, Φ merupakan

σ-aljabar dari semua lintasan harga saham dan suku bunga subset dari Ω,

dan Pm merupakan probability measure yang didefinisikan pada Φ. Sehingga

fungsi ekspektasi bersyarat dinyatakan dengan [ ]|E X Φ . X yang dimaksud

adalah ekspektasi besar payoff P yang didapat ketika kondisi harga saham

saat ini S dan suku bunga saat ini r elemen dari Φ, maka dapat juga

dinyatakan dengan [ ]| ( , )E P S r .

3.2 Simulasi Lintasan Harga Saham

Pada subbab ini akan dijelaskan tahap pertama dalam metode LSM.

Tahap pertama adalah mensimulasikan lintasan aset induk dari opsi put

Amerika yaitu harga saham.

Setiap opsi memiliki jangka waktu dan jumlah waktu eksekusi yang

berbeda. Misalkan suatu opsi dapat dieksekusi pada harga E dengan aset

induk S yang memiliki N buah kesempatan waktu eksekusi dengan interval

waktu sebesar tδ dan simulasi akan dilakukan sebanyak M kali. Simulasi

dilakukan menggunakan persamaan (2.20) yang telah dibahas di bab dua

yaitu


49

22

1 3 2( ) ( ).exp 1 , 0,1,..., 1.2i iS t S t r D dt dt i Nσ σ ρ ε ρε+

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − + − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

Nilai short rate r pada persamaan (2.20) tidak lagi nilai yang konstan namun

merupakan faktor stokastik pembentuk harga saham. Dengan demikian

sebelum kita mensimulasikan lintasan harga saham terlebih dahulu kita

simulasikan lintasan untuk short rate, yang sebelumnya telah dibahas pada

bab II dengan menggunakan persamaan (2.15) berikut

( )2

1 21( ) ( ). 1 .

2

adtadt adt

i ier t r t e b ea

ν ε−

− −+

−= + − + , 0,1,..., 1.i N= −

Sehingga persamaan (2.20) menjadi

22

1 1 3 2( ) ( ).exp ( ) 1 , 0,1,..., 1.2i i iS t S t r t D dt dt i Nσ σ ρ ε ρε+ +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − + − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦(3.1)

Harga saham dan short rate akan disimulasikan sebanyak M kali, sehingga

harga saham pada lintasan ke-j dan di waktu eksekusi ke-ti disebut ( )j iS t

dan short rate disebut dengan ( )j ir t dengan j = 1, 2, …, M dan i = 1, 2, …, N.

Dari simulasi (2.15) kita akan dapatkan matriks short rate ukuran

M x N, yaitu


50

Waktu Eksekusi t1 t2 . . . . . . tN

Sim

ulas

i

1 1 1( )r t 1 2( )r t 1( )Nr t

2 2 1( )r t 2 2( )r t 2( )Nr t

3 3 1( )r t 3 2( )r t 3( )Nr t

4 4 1( )r t 4 2( )r t 4( )Nr t

.

.

.

M 1( )Mr t 2( )Mr t . . . . . . ( )M Nr t

Gambar 3.1. Matriks short rate

Nilai ( )j ir t akan digunakan untuk mendapatkan ( )j iS t pada

persamaan (3.1). Nilai 1( )jr t didapat dari persamaan (2.15) dengan nilai awal

short rate 0( )r t yang sama untuk masing-masing simulasi. Hal ini juga berlaku

untuk harga saham pada (3.1), nilai awal harga saham 0( )S t sama untuk

masing-masing simulasi. Hasil simulasi (3.1), yaitu harga saham yang didapat

di tiap waktu eksekusi disusun sedemikian sehingga kita mendapatkan

matriks saham berukuran M x N berikut


51

Waktu Eksekusi t1 t2 . . . . . . tN

Sim

ulas

i

1 1 1( )S t 1 2( )S t 1( )NS t

2 2 1( )S t 2 2( )S t 2( )NS t

3 3 1( )S t 3 2( )S t 3( )NS t

4 4 1( )S t 4 2( )S t 4( )NS t

.

.

.

.

M 1( )MS t 2( )MS t . . . . . . ( )M NS t

Gambar 3.2. Matriks harga saham.

Pada Gambar 3.2, masing-masing baris disebut satu lintasan harga

saham.

Setelah membangkitkan lintasan harga saham dan kita dapatkan

matriks harga saham seperti Gambar 3.2, selanjutnya akan dibahas

bagaimana menentukan matriks payoff dari matriks harga saham.

3.3 Menghitung matriks payoff

Misalkan ( ( ))j iF S t menyatakan payoff opsi yang didapat jika pada

waktu ti opsi dieksekusi pada lintasan j, dimana j = 1, 2, …, M, dan i = 1, 2,

…, N. Maka ( ( ))j iF S t = ( )j iE S t− dengan E adalah harga eksekusi. ( ( ))j iF S t

disebut juga payoff segera.


52

Misalkan P menyatakan matriks payoff yang berdimensi M x N dengan

elemen ,j if . Pada saat T (waktu jatuh tempo opsi), payoff pada masing-

masing lintasan adalah nilai maksimum dari nol dan nilai opsi yang

sebenarnya pada waktu T, yaitu

( ), max 0, ( )j N jf F S T⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , 1 ≤ j ≤ M.

Untuk menentukan keputusan apakah kita harus mengeksekusi

segera atau menunda dan mengeksekusi pada waktu mendatang, kita perlu

membandingkan dua nilai berikut, yaitu nilai payoff saat ti (payoff segera

( ( ))j iF S t ) dan nilai ekspektasi payoff dimasa mendatang yang bersyarat

harga saham dan short rate saat ti yang dinyatakan dengan ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( ) .j i j iE P S t r t

Untuk membandingkan dua nilai tersebut, kita bekerja mundur dimulai

dari waktu jatuh tempo opsi T ke waktu ti dimana 0 < i < N pada setiap

lintasan yang in the money. Dalam hal ini hanya digunakan lintasan yang in

the money karena keputusan eksekusi hanya relevan ketika opsi dalam

kondisi in the money (Longstaff dan Schwartz,2001).

Untuk sembarang waktu ti, 0 < i < N, ekspektasi bersyarat payoff opsi

dimasa mendatang pada saat harga saham saat ti sebesar Sj(ti) dan short

rate saat ti sebesar rj(ti),yaitu ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( )j i j iE P S t r t , seperti yang telah dijelaskan

pada subbab 3.1, ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( )j i j iE P S t r t merupakan anggota ruang Hilbert L2,

sehingga kita dapat mengaproksimasi fungsi tersebut menggunakan teori


53

yang berlaku pada ruang Hilbert. Misalkan ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( )j i j iE P S t r t berkaitan

dengan sebuah fungsi yang tidak diketahui, kita sebut sebagai g(x).

Teori dalam ruang Hilbert menyatakan bahwa sembarang fungsi g(x)

anggota ruang tersebut, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear terhitung

dari basis ruang vektornya, sehingga

0( ) ( )k k

kg x xβ φ

∞

=

= ∑ (3.2)

dimana { } 1( )k kxφ ∞

=merupakan himpunan basis didalam ruang Hilbert. Longstaff

dan Schwartz (2001) menyarankan untuk menggunakan monomial { }∞=1

( )ki k

S t

untuk mengestimasi fungsi g(x) tersebut sebagai himpunan basis sehingga

persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai β∞

=

= ∑0

( ) ( )k

k ik

g x S t . Teorema

aproksimasi Stone-Weierstrass menyatakan bahwa monomial { }∞=1

( )ki k

S t

membentuk basis ruang L2 (Hassani,1999). { }∞=1

( )ki k

S t merupakan basis yang

tidak ortonormal, tetapi bebas linear. Hassani (1999) menyatakan bahwa jika

ingin mendapatkan kombinasi linear yang ortonormal, dapat digunakan

proses Gram-Schmidt, sedemikian sehingga didapat polinomial yang

ortonormal satu dengan yang lain dan merentang L2.

Secara teori, kita menyatakan g(x) sebagai kombinasi linear atas K

suku yang dapat ditulis sebagai berikut


54

β=

= ∑0

( ) ( )K

kK k i

kg x S t .

Aproksimasi dari gK(x) diatas dimisalkan dengan β∧ ∧

=

= ∑0

( ) ( )K

kK k i

kg x S t yang

diselesaikan menggunakan regresi least-square. Dalam skripsi ini dipilih

K = 2, sehingga

β β β∧ ∧ ∧ ∧

= + + 22 0 1 2( ) ( ) ( )i ig x S t S t . (3.3)

Oleh karena ∧

2( )g x digunakan untuk mengaproksimasi fungsi ekspektasi

payoff opsi mendatang yang bersyarat harga saham saat ti ,Sj(ti), dan short

rate saat ti, rj(ti), jadi ada dua variabel independen yang akan digunakan

untuk menaksir besar ekspektasi payoff mendatang ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( )j i j iE P S t r t , maka

merujuk pada sifat regresi polinomial dengan dua variabel yang ditunjukkan

persamaan (2.31), maka persamaan (3.3) menjadi

β β β β β β∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

= + + + + +2 22 0 1 2 11 22 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ig x S t r t S t r t S t r t . (3.4)

Untuk mendapatkan persamaan (3.4) dengan regresi least-square,

digunakan data cross-section pada observasi-observasi yang dihasilkan oleh

simulasi lintasan yang in the money yaitu ( ){ }( ), ( ), ( )i i ig x S x r x . Data tersebut

digunakan untuk menaksir parameter 0 1 2 11 22 12, , , , ,β β β β β β dengan

menyelesaikan

{ }( )( )

ββ β β β β β

= =

+ + + + + −∑0

22 20 1 2 11 22 12

1min ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kk k

Mi

i i i i i ii

S t r t S t r t S t r t g x . (3.5)


55

Cara penaksiran parameter tersebut akan dijelaskan dibawah. ( )ig x pada

persamaan (3.5) merupakan besar payoff yang diperoleh jika opsi tidak

dieksekusi pada waktu ti, yaitu payoff pada suatu waktu yang dimisalkan tn

dimana i < n ≤ N , yang nilainya didiskonto ke waktu ti. Sehingga ( )ig x dapat

dinyatakan sebagai

, ,1

( )i n

N

j i j n t tn i

y t f B= +

= ∑ (3.6)

dengan ,i nt tB adalah faktor untuk mendiskontokan nilai payoff pada tn ke

waktu ti dan ,j nf adalah payoff yang diterima pada waktu tn dan lintasan ke-j

dimana j = 1, 2, .., M. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

t1 … ti … tn1 tn2 tn3 … tN

linta

san

1 g(xi) = y1(ti) f1,n1 2 g(xi) = y2(ti) f1,n3 : : j g(xi) = yj(ti) fj,n2 :

M

Gambar 3.3. Diskonto payoff masa datang jika opsi tidak dieksekusi

Pada Gambar 3.3, ti < tn1 ≤ tn2 ≤ tn3 ≤ tN.

Untuk menaksir parameter 0 1 2 11 22 12, , , , ,β β β β β β yang telah disebutkan

diatas, digunakan cara yang telah dijelaskan pada subbab 2.6. Kita ingat

pada subbab 2.6 dijelaskan bahwa bentuk persamaan (3.4) dapat ditulis

sebagai


56

y X β∧ ∧

= .

Variabel X yang dimaksud adalah matriks X berikut

2 21 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2 2

2 23 3 3 33 3

2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ): : : : : :1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i i i i i i

i i i i i i

i i i ii i

n i n i n i n i n i n i

S t r t S t r t S t r tS t r t S t r t S t r tS t r t S t r tS t r t

S t r t S t r t S t r t

,

dengan

( ) 1( ) ( )' ( ) ( )' ( )β∧ −

=i i i i it X t X t X t y t . (3.7)

yang kemudian digunakan pada persamaan (3.4) untuk mendapatkan

estimasi fungsi ekspektasi payoff opsi 2( )g x sebenarnya yaitu

⎡ ⎤= ⎣ ⎦2( ) ( ) | ( ), ( )j i j i j ig x E y t S t r t .

Kembali kepada permasalahan bagaimana membandingkan dua nilai

berikut, yaitu nilai payoff saat ti (payoff segera ( ( ))j iF S t ) dan nilai ekspektasi

payoff dimasa mendatang yang bersyarat harga saham dan short rate saat ti

yang dinyatakan dengan ⎡ ⎤⎣ ⎦| ( ), ( ) .j i j iE P S t r t

Nilai estimasi dari regresi, yaitu ( ) ( ) ( )∧ ∧

= βi i iy t X t t kemudian digunakan

untuk menentukan apakah saat ti memang waktu yang optimal untuk

mengeksekusi opsi. Waktu optimal tersebut ditentukan dengan cara

membandingkan∧

( )iy t yang merupakan ekspektasi payoff mendatang jika

opsi tidak dieksekusi, dengan nilai payoff segera ( ( ))j iF S t . Jika


57

∧

( )iy t < ( ( ))j iF S t , maka ,j if diberikan nilai ( ( ))j iF S t dan semua nilai ,j nf pada

matriks payoff P dengan i < n ≤ N, diberi nilai nol. Hal ini karena opsi hanya

bisa dieksekusi paling banyak satu kali sepanjang lintasan atau selama opsi

tersebut berlaku. Pada kasus yang lain yaitu ∧

( )iy t ≥ ( ( ))j iF S t , maka ,j if diberi

nilai nol.

Pemberian nilai ,j if secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

( ) ( )( )

~j,

,

j

( ) dan 0, jika ( ) ( ) ,

0 jika ( ) ( )

j i j n j i i

j i

j i i

F S t f i n N F S t y tf j M

F S t y t

∧

∧

⎧ = < ≤ >⎪= ∈⎨⎪ ≤⎩

Setelah kita dapatkan matriks payoff opsi P langkah selanjutnya

adalah menghitung nilai opsi menggunakan matriks tersebut.

3.4 Menghitung nilai opsi

Setelah didapat matriks payoff opsi, selanjutnya estimasi nilai opsi P∧

pada waktu t0 didapat dengan mendiskonto seluruh payoff di tiap-tiap

lintasan ke waktu t0 dan merata-ratakannya dengan pembagi M yaitu

banyaknya lintasan

, 0,1 1

1 .i

M N

j i tj i

P f BM

∧

= =

= ∑∑

Tiga langkah sekuensial yang telah dijelaskan diatas selanjutnya akan

digunakan dalam implementasi penentuan nilai opsi put Amerika yang akan

dibahas pada bab IV. Namun sebelumnya, skema metode LSM dan


58

penerapan sederhana dari metode LSM ini akan dijelaskan pada subbab-

subbab selanjutnya.

3.5 Skema Metode LSM

Berikut adalah skema metode LSM yang telah dijelaskan

Gambar 3.4. Skema LSM

3.6 Contoh Penerapan

Pada subbab ini akan diberikan contoh penerapan metode LSM yang

telah dijelaskan. Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan aset


59

induk berupa saham. Diketahui harga saat ini dari saham tersebut yaitu S0 =

$100. Saham ini memiliki volatilitas sebesar 25% dan tingkat hasil dividen

sebesar 1,5%. Opsi tersebut dapat dieksekusi pada harga $110 pada saat

t1, t2, dan t3, dimana saat t3 adalah masa berakhirnya hak opsi. Sehingga

panjang intervalnya adalah 1/3.

Diketahui pula bahwa tingkat suku bunga bebas risiko saat ini adalah

sebesar 3% ,memiliki volatilitas sebesar 3% dan kecepatan mean reversion

sebesar 2 dan reversion level 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 8 kali.

Dan koefisien korelasi antara proses Wiener harga saham dW dan short rate

dZ dipilih sebesar ρ = -0,5, dengan kata lain dWdZ = -0.5dt.

Berikut ini langkah demi langkah bagaimana metode LSM menentukan

harga opsi dari data parameter yang diketahui.

Langkah 1 : Simulasi harga saham

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham akan

menggunakan persamaan (3.1) dan short rate dengan persamaan (2.15).

Dalam hal ini, program yang digunakan adalah Matlab. Dari simulasi tersebut

kita dapatkan matriks S berikut


60

t1 t2 t3 lintasan 1 102.8710 105.2778 111.8302 lintasan 2 82.0596 89.9346 93.5451

. 94.4672 94.2806 110.6428

. 99.6356 103.1994 93.5245

. 91.3212 112.8858 109.7733

. 125.0385 112.7022 108.6328

. 91.5853 72.7356 88.1050 lintasan 8 75.0553 91.5331 96.6620

Gambar 3.5. Contoh matriks harga saham

yang terkait dengan matriks r berikut

t1 t2 t3

0.0230 0.0364 0.0453

0.0783 0.0516 0.0665

0.0236 0.0415 0.0093

0.0375 0.0436 0.0395

0.0256 0.0159 0.0341

0.0379 0.0453 0.0515

0.0613 0.0804 0.0445

0.0138 0.0241 0.0552

Gambar 3.6. Contoh matriks short rate

Nilai 0.0230 (2,3%) pada baris dan kolom pertama matriks diatas didapat dari

perhitungan berikut

( )2.2.(1/ 3)

2(1/ 3) 2(1/ 3)1 2

1( ) (3%). (5%) 1 (3%) .2.2i

er t e e ε−

− −+

−= + − + .


61

Nilai ε2 yang terambil pada perhitungan tersebut adalah -0.6502.

Selanjutnya nilai 0.0230, digunakan untuk mendapatkan nilai 102.8710

pada baris dan kolom pertama matriks harga saham. Yaitu

2

1 1(0.25)( ) 100.exp 0.0230 0.015 (1/ 3) 0.25 1/ 3 .

2iS t ε+

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Nilai ε1 yang terambil pada perhitungan tersebut adalah 0.1442.

Langkah 2 : Menghitung matriks payoff

Dari matriks S yang diperoleh, kemudian dihitung matriks payoff yang

didapat apabila opsi dieksekusi segera dimasing-masing waktu yang ada

dengan menggunakan formula ( ( ))j iF S t = ( )j iE S t− dengan E = $110 adalah

harga eksekusi.

t1 t2 t3

7.1290 4.7222 0

27.9404 20.0654 16.4549

15.5328 15.7194 0

10.3644 6.8006 16.4755

18.6788 0 0.2267

0 0 1.3672

18.4147 37.2644 21.8950

34.9447 18.4669 13.3380

Gambar 3.7. Matriks payoff jika opsi dieksekusi segera

Sebagai contoh, nilai 7.1290 pada tabel diatas didapat dari $110 - $102.8710.

Nilai 0 yang muncul pada Gambar 3.7 dikarenakan harga saham lebih besar


62

dibandingkan harga eksekusi (S E). Contohnya nilai 0 pada kolom

pertama, $125.0385 > $110. Sehingga pemegang opsi dapat menjual

sahamnya dipasar dan payoff opsi yang diterimanya sebesar 0.

Tujuan yang ingin dicapai pada langkah 2 ini adalah untuk

menemukan waktu yang optimal yang memaksimumkan payoff opsi yang kita

dapatkan di tiap masing-masing lintasan. Untuk tujuan tersebut, metode LSM

bekerja dari belakang (backward), maka perhatikan pada saat t2 dan t3. Jika

opsi put dalam kondisi in the money pada saat t2, pemegang opsi harus

memutuskan apakah mengeksekusi pada saat tersebut atau menunggu

hingga t3.

Perlu diingat bahwa pada langkah ini hanya akan digunakan lintasan

yang in the money karena membuat fungsi ekspektasi bersyarat dapat

diestimasi lebih baik pada waktu-waktu dimana keputusan eksekusi adalah

relevan, dan hal ini juga meningkatkan efisiensi algoritma LSM.

Dari Gambar 3.7 yang merujuk pada matriks harga saham pada

Gambar 3.5 dapat kita simpulkan bahwa terdapat 6 lintasan yang berada

dalam kondisi in the money pada t2. Misalkan S2 menyatakan harga saham

pada t2 dan r2 menyatakan short rate pada t2, kemudian Y2 menyatakan

payoff yang didapat pada t3 yang didiskonto ke t2 apabila opsi tidak

dieksekusi pada t2. Proses diskonto dilakukan menggunakan persamaan

(3.6) berikut

, ,1

( )i n

N

j i j n t tn i

y t f B= +

= ∑ .


63

,i nt tB merupakan faktor diskonto antara waktu tn dan ti yaitu ( )n ir t te− − dan fj,n

merupakan payoff yang diterima pada masa datang. Proses ini dilakukan

karena nilai dimasa datang dapat dibandingkan dengan nilai saat ini jika

dipandang pada waktu yang sama. S2 , r2 dan Y2 diberikan oleh tabel berikut

ini.

Tabel 3.1. Data regresi untuk mengaproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat

saat t2.

S2 r2 Y2

105.2778 0.0364 0 * exp(-0.0453*(1/3)) = 0

89.9346 0.0516 16.4549 * exp(-0.0665*(1/3)) = 16.0942

94.2806 0.0415 0 * exp(-0.0093*(1/3)) = 0

103.1994 0.0436 16.4755 * exp(-0.0395*(1/3)) = 16.2600

- - -

- - -

72.7356 0.0804 21.8950 * exp(-0.0445*(1/3)) = 21.5726

91.5331 0.0241 13.3380 * exp(-0.0552*(1/3)) = 13.0948

Untuk mengestimasi besar ekspektasi payoff | ( ), ( )j i j iE P S t r t⎡ ⎤⎣ ⎦ dimasa

datang yang bersyarat atas harga saham dan short rate pada t2, kita

regresikan data pada tabel 3.1 dengan Y2 sebagai variabel tak bebas dan S2,

r2, S22, r2

2, dan S2r2 sebagai regressor. Matriks X sesuai dengan persamaan

(3.4) pada data regresi tabel adalah


64

X

2 2

2 2

2 2

1 *

1 105.2778 0.0364 (105.2778) (0.0364) (105.2778)(0.0364)1 89.9346 0.0516 (89.9346) (0.0516) (89.9346)(0

S r S r S r

=2 2

2 2

2 2

2 2

.0516)1 94.2806 0.0415 (94.2806) (0.0415) (94.2806)(0.0415)1 103.1994 0.0436 (103.1994) (0.0436) (103.1994)(0.0436)1 72.7356 0.0804 (72.7356) (0.0804) (72.7356)(0.0804)1 91.5331 0.0241 (91.5331) (0.0241) (91.5331)(0.0241)

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dari matriks X diatas kemudian dapat dihitung koefisien fungsi ekspektasi

bersyarat persamaan (3.4) berikut

β β β β β β∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

= + + + + +2 22 0 1 2 11 22 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ig x S t r t S t r t S t r t

dengan menggunakan persamaan (3.7)

( ) 1( ) ( )' ( ) ( )' ( )

8086-152

-32195

1-61411

400

i i i i it X t X t X t y tβ∧ −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Hasilnya, kita mendapatkan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut

2 22 2 2 2 2 28086 - 152 - 32195 - 61411 400y S r S r S r

∧

= + + (3.8)

Persamaan (3.8) merupakan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat untuk

keseluruhan kemungkinan lintasan pada t2 menuju t3 dengan menggunakan

sampel data tabel 3.1 yang hanya sebanyak 6 lintasan. Oleh karena itu,

semakin banyak sampel lintasan yang diambil akan semakin akurat hasil

yang diperoleh.


65

Selanjutnya akan dibandingkan payoff yang didapat jika mengeksekusi

pada t2 (immediate exercise), yang ditunjukkan pada kolom kedua tabel 3.2,

dengan nilai ekspektasi payoff (continuation) yang diberikan pada kolom

ketiga tabel 3.2. Nilai eksekusi yang dilakukan saat t2 adalah payoff yang

didapat, yaitu 110 – S2 untuk tiap lintasan yang in the money. Sementara itu

nilai masa datang atau kelanjutan didapat dengan mensubstitusi S2 dan r2

pada persamaan (3.8).

Tabel 3.2. Perbandingan nilai immediate exercise dan continuation saat t2.

Lintasan immediate continuation keputusan

1 4.7222 0 eksekusi di t2

2 20.0654 16.0943 eksekusi di t2

3 15.7194 0 eksekusi di t2

4 6.8006 16.2601 lanjutkan hak

5 - - -

6 - - -

7 37.2644 21.5730 eksekusi di t2

8 18.4669 13.0950 eksekusi di t2

Pada lintasan pertama, nilai 4.7222 pada kolom kedua adalah hasil dari

$110-$105.2778, sedangkan nilai 0 pada kolom ketiga adalah hasil substitusi

S2 = 105.2778 dan r2 = 0.0364 kedalam persamaan (3.8). Pada lintasan

pertama, nilai ekspektasi masa datang sebesar 0, lebih kecil dibandingkan

nilai 4.7222 yang didapat apabila opsi dieksekusi pada saat t2, sehingga

mengeksekusi opsi pada t2 dilintasan pertama adalah keputusan optimal.


66

Pada lintasan keempat, nilai ekspektasi sebesar 16.2601 lebih besar

ketimbang 6.8006 yang didapat apabila opsi dieksekusi di t2, maka keputusan

menunda eksekusi dan mengharapkan payoff masa datang adalah lebih

optimal.

Dari tabel 3.2,terlihat bahwa keputusan tidak optimal pada saat t2

hanya terjadi pada lintasan ke-4 saja. Hal ini membuat kita mendapatkan

matriks pada Gambar 3.8. Pada matriks tersebut, opsi yang dieksekusi pada

saat t2, payoff pada t3 harus bernilai 0, karena opsi hanya dapat dieksekusi

satu kali sepanjang masa opsi berlaku.

t1 t2 t3

- 4.7222 0

- 20.0654 0

- 15.7194 0

- 0 16.2601

- 0 0.2267

- 0 1.3672

- 37.2644 0

- 18.4669 0

Gambar 3.8. Matriks payoff hasil perbandingan t2 dan t3.

Langkah selanjutnya, kita lakukan kembali proses metode LSM

langkah kedua yang sama diatas pada waktu t1, untuk menentukan apakah

opsi harus dieksekusi pada waktu t1.


67

Dari Gambar 3.7 yang merujuk pada matriks harga saham pada

Gambar 3.5 dapat kita simpulkan bahwa terdapat 7 lintasan yang berada

dalam kondisi in the money pada t1. Misalkan S1 menyatakan harga saham

pada t1 dan r1 menyatakan short rate pada t1, kemudian Y1 menyatakan

payoff yang didapat pada masa datang yang didiskonto ke t1 apabila opsi

tidak dieksekusi pada t1. S1 , r1 , dan Y1 diberikan oleh tabel dibawah ini.

Tabel 3.3. Data regresi untuk mengaproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat

saat t1.

S1 r1 Y1

102.8710 0.0364 4.7222 * exp(-0.0364*(1/3)) = 4.6653

82.0596 0.0516 20.0654 * exp(-0.0516*(1/3)) = 19.7232

94.4672 0.0415 15.7194 * exp(-0.0415*(1/3)) = 15.5034

99.6356 0.0436 16.2601*exp(-0.0436*(1/3)-0.0395*(1/3)) = 15.8159

91.3212 0.0159 0.2267* exp(-0.0159*(1/3)-0.0093*(1/3)) = 0.2248

- - -

91.5853 0.0804 37.2644 * exp(-0.0804*(1/3)) = 36.2790

75.0553 0.0241 18.4669 * exp(-0.0241*(1/3)) = 18.3191

Dari data pada tabel 3.3, dengan menggunakan persamaan (3.7) didapat

koefisien estimasi fungsi fungsi ekspektasi bersyarat seperti berikut.

( ) 1( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( )

-54317

-21277

080052

167

β∧ −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i i i i it X t X t X t y t


68

Hasilnya, kita mendapatkan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut

22 2 2 2 2543 +17 - 21277 80052 167y S r r S r

∧

= − + + (3.9)

Selanjutnya akan dibandingkan payoff yang didapat jika mengeksekusi

pada t1 (immediate exercise), yang ditunjukkan pada kolom kedua tabel 3.4,

dengan nilai ekspektasi payoff (continuation) yang diberikan pada kolom

ketiga tabel 3.4.

Tabel 3.4. Perbandingan nilai immediate exercise dan continuation saat t1.

Lintasan immediate continuation keputusan

1 7.1290 7.1469 lanjutkan hak

2 27.9404 19.0503 eksekusi di t1

3 15.5328 10.8694 eksekusi di t1

4 10.3644 13.2353 lanjutkan hak

5 18.6788 4.1638 eksekusi di t1

6 - - -

7 18.4147 38.0693 lanjutkan hak

8 34.9447 18.1819 eksekusi di t1

Dari tabel 3.4, terlihat bahwa, keputusan optimal terjadi pada lintasan ke 2, 3,

5, dan 8. Hal ini membuat kita mendapatkan matriks payoff berikut.


69

t1 t2 t3

lintasan 1 0 4.7222 0

lintasan 2 27.9404 0 0

. 15.5328 0 0

. 0 0 16.2601

. 18.6788 0 0

. 0 0 1.3672

. 0 37.2644 0

lintasan 8 34.9447 0 0

Gambar 3.9. Matriks payoff.

Pada Gambar 3.9, dilintasan pertama keputusan optimal untuk

mengeksekusi opsi terjadi pada t2. Sedangkan untuk lintasan kedua terjadi

pada t1. Untuk lintasan keempat dan keenam, keputusan optimal terjadi pada

saat terakhir opsi berlaku yaitu t3.

Langkah 3 : Menentukan nilai opsi

Dari matriks payoff Gambar 3.9 tersebut, kemudian nilai opsi dapat

diperoleh dengan mendiskonto semua payoff ke saat t0 dan merata-

ratakannya dengan banyaknya lintasan seperti pada tabel 3.5 berikut.


70

Tabel 3.5. Perhitungan diskonto ditiap-tiap lintasan.

lintasan Nilai diskonto 1 4.7222*exp(-0.0364*(1/3)+(-0.0230*(1/3))) = 4.6296 2 27.9404*exp(-0.0783*(1/3)) = 27.2206 3 15.5328*exp(-0.0236*(1/3)) = 15.4111 4 16.2601*exp(-0.0395*(1/3)+(-0.0436*(1/3))+(-0.0375*(1/3))) = 15.61945 18.6788 *exp(-0.0256*(1/3)) = 18.5201 6 1.3672*exp(-0.0515*(1/3)+(-0.0453*(1/3))+(-0.0379*(1/3))) = 1.3072 7 37.2644*exp(-0.0804*(1/3)+(-0.0613*(1/3))) = 35.5452 8 34.9447*exp(-0.0138*(1/3)) = 34.7843

Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t2, sehingga nilai 4.7222 dari

matriks payoff (Gambar 3.9) didiskonto ke t0 (saat ini). Diketahui dari matriks

short rate (Gambar 3.6), nilai short rate lintasan pertama pada t2 adalah

0.0364 (3,64%) dan t1 adalah 0.0230 (2.3%). Nilai saat ini dari 4.7222 adalah

0.0364.(1/ 3) ( 0.0230.(1/ 3))4.7222. 4.6296e− + − = .

Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah

4.6296+27.2206+15.4111+15.6194+18.5201+1.3072+35.5452+34.78438

153.03758

19.1297

=

=

=

Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar $19.1297.

Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan metode LSM dari sebuah opsi

dengan data parameter yang telah diberikan adalah sebesar $19.1297.


BAB III METODE LEAST-SQUARE MONTE CARLO -...

Documents

Transcript of BAB III METODE LEAST-SQUARE MONTE CARLO -...