BAB I SPL- 2013 _PDF_
-
Upload
rahmat-sigalingging -
Category
Documents
-
view
233 -
download
32
description
Transcript of BAB I SPL- 2013 _PDF_
Andiani /Feb’13/FTUI
1
B A B I
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 1.1 Pendahuluan Sistem Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh
persamaan yang berbentuk :
byaxa 21 =+
Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan y.
(karena pangkat dari x dan y masing-masing sama dengan satu)
Secara lebih umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel x1, x2,
… xn sebagai persamaan yang dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b
dimana a1, a2, … an dan b adalah konstanta-konstanta riil.
Contoh-1:
1. x + 3y = 7
2. y = ½ x + 3z + 1
3. x1 - 2x2 - 3x3 + x4 = 5
4. x1 + x2 + ..... + xn = 1
Contoh-2:
Carilah himpunan penyelesaian dari:
1. 4x – 2y = 1
2. x1 - 4x2 + 7x3 = 5
Penyelesaian-1
Untuk menyelesaikan masalah ini, tetapkan nilai sembarang ke x, misalkan x = t,
maka: y = 2t – ½
Andiani /Feb’13/FTUI
2
Penyelesaian-2
Untuk menyelesaikan masalah ini, tetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah mana
saja, misalkan x2 = s dan x3 = t, maka: x1 = 5 + 4s – 7t
Jika banyaknya persamaan linier lebih dari satu buah, maka dinamakan Sistem
Persamaan Linier (SPL).
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut
sebagai tak-konsisten, jika punya satu penyelesaian saja maka disebut konsisten.
Tinjau persamaan linier dalam peubah x dan y
a1x + b1y = c1 (a1 dan b1 ≠ 0)
a2x + b2y = c2 (a2 dan b2 ≠ 0)
Grafik persamaan-persamaan ini berbentuk garis, sebut l1 dan l2. Ada tiga
kemungkinan:
a. Garis l1 dan l2 mungkin sejajar, tidak ada perpotongan, akibatnya tidak ada
penyelesaian terhadap sistem tersebut.
b. Garis l1 dan l2 mungkin berpotongan hanya disatu titik, akibatnya sistem
tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian.
c. Garis l1 dan l2 mungkin berimpitan, ada banyak titik potong (tak
berhingga), akibatnya sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian.
2y-2x12yx1.
:Contoh
==+
24z-y2x13z-2y-2x0zyx2.
=+==++
3xxx22xx-x-1x-3x2xx3.
432
321
4321
=++=+=++
Andiani /Feb’13/FTUI
3
Secara umum SPL terbagi atas 3 jenis :
1. SPL tidak mempunyai jawab
2. SPL mempunyai satu jawab
3. SPL mempunyai banyak jawab
Contoh :
SPL tidak mempunyai jawab :
12y2x1yx
=+=+
SPL mempunyai satu jawab :
0yx1yx
=−=+
SPL mempunyai banyak jawab :
22y2x1yx
=+=+
x
y
l1
l2
(a)
y l1& l2
x
(c)
y l1
x
l2
(b)Tidak mempunyai penyelesaian
Mempunyai satu penyelesaian
Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian
Andiani /Feb’13/FTUI
4
SPL yang akan dicari jawabnya adalah :
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
L
M
L
L
dimana aij (i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n) dan bi (i = 1, 2, … m) adalah
konstanta-konstanta yang diketahui.
2 brs 21
mmnm2m1
22n2221
11n1211
mnm2m1
2n2221
1n1211
2 brs
27-11-3017-7-209211
27-11z-3y17-7z-2y92zyx
1 brs 3 - 3 brs 3 brs 05-6317-7-209211
05z-6y3x17-7z-2y92zyx
1 2brs - 2 brs 2 brs 05-6313-429211
05z6y3x13z4y2x92zyx
diperbesar yang Matriks SPL: Contoh
matrix) (augmented diperbesar yang matriksdisebut
baaa
baaabaaa
koefisien matriksdisebut
aaa
aaaaaa
maka atas, di SPL Dari
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===++
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=+==++
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=−+=−+=++
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
K
M
K
K
K
M
K
K
Andiani /Feb’13/FTUI
5
YORDAN-GAUSS ELIMINASIdisebut atas di Proses
3z 2,y 1,adalah x jawabnya Jadi
310020101001
3z2y1x
3 brs 2 brs 2 brs
3 brs - 1 brs 1 brs
3100--10
01
3z-z-y
zx
2 brs - 1 brs 1 brs 3100
--109211
3z
-z-y92zyx
3 brs (-2) 3 brs
--00-10
9211
----y92zyx
2 brs 3 - 3 brs 3 brs
27-11-30--109211
27-11z-3y--y92zyx
27
211
217
27
235
211
217
27
235
211
217
27
217
27
23
21
217
27
23
z21
217
z27
217
27
217z
27
===
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===
+→
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===+
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===++
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===++
→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
===++
−
1.2 Eliminasi Gauss - Jordan
Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi (Reduced Row –
Echelon Form)
Definisi :
Suatu matriks A berordo m x n disebut matriks Eselon Baris Tereduksi
jika :
Andiani /Feb’13/FTUI
6
1. Terdapat bilangan bulat k dimana 1 ≤ k ≤ m sehingga semua unsur
pada baris k+1, k+2, … m adalah nol.
2. Unsur tak nol pertama pada baris i adalah 1 untuk i = 1, 2, … k
(dinamakan 1 utama).
3. Jika unsur 1 utama pada baris i terjadi pada kolom ci maka c1 < c2 < c3
< … < ck.
4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di
tempat lain.
Sebuah matriks yang hanya mempunyai sifat-sifat 1, 2 dan 3 dikatakan berada
dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)
Contoh:
Matriks bentuk eselon baris tereduksi
3 c 3 c 4 c 2, c 2 c 1, c 2 c 1, c
2 k 3 k 3 k
0000
,
000000000031000102-10
, 100010001
, 1-10070104001
33
212121
========
===↓↓↓
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Matriks bentuk eselon baris
5 c 3 c 3 c 2, c 2 c 1, c 2 c 1, c
3 k 2 k 3 k
1000001-10006210
, 000010011
, 510026107341
33
212121
========
===↓↓↓
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Andiani /Feb’13/FTUI
7
Contoh : Misal bahwa matriks yang diperbesar untuk SPL telah direduksi oleh
operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi sbb:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0000002510001301002-40061
Tentukan jawab dari sistem persamaan linier yang bersesuaian, adalah:
25xx13xx2-4x6xx
54
53
521
=+=+=++
54
53
251
5x-2x3x-1x
6x-4x-2-x
: Jadi
===
Jika dipilih x5 = t (sembarang) dan x2 = s (sembarang), maka jawabnya adalah:
jawab.banyak terdapat Jadi
tx5t-2x3t-1x
sx6s-4t-2-x
5
4
3
2
1
=====
Jadi jika SPL yang dinyatakan dalam matriks yang diperbesar diubah menjadi
bentuk eselon baris tereduksi, maka jawabnya mudah dicari. Persoalannya
menjadi bagaimana mengubah matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon
baris yang tereduksi.
Contoh-1:
pat)(tukar tem 2 brs 1 brs 1-5-65-42
2812610-4212702-00
diperbesar yang Matriks
⇔⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Andiani /Feb’13/FTUI
8
1 brs 1 brs 1-5-65-42
12702-002812610-42
21→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1 brs 1 brs 1-5-65-42
12702-002812610-42
21→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 brs - 2 brs 29-17-0500
12702-0014635-21
utama 1
21→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
↑
2 brs 5 - 3 brs 3 brs 29-17-05006--0100
14635-21 2
7 →⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3 2brs 3 brs 100006--0100
14635-21
2127 →
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
a m au t 1
)( .............. 2100006--0100
14635-21 2
7
↓↓↓
∗⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Langkah-langkah di atas dinamakan ELIMINASI GAUSS (untuk mendapatkan
bentuk eselon baris). Jika proses di atas dilanjutkan untuk mendapatkan bentuk
eselon baris tereduksi, maka dinamakan ELIMINASI GAUSS-YORDAN sbb:
3 brs 6 - 1 brs 1 brs 210000100100
14635-21
: 3 brs 2 brs 2 brs : )( 27
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+→∗
Andiani /Feb’13/FTUI
9
2 brs 5 1 brs 1 brs 2100001001002035-21
+→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
. tereduksibariseselon bentuk dalamSudah 210000100100703021
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Ini berarti SPL nya adalah:
2x1x73x 2xx
5
3
421
===++
Atau
2x1x
3x-2x-7x
5
3
421
===
Jika dipilih x2 = s (sembarang) dan x4 = t (sembarang), maka jawabnya adalah
Yordan.-Gauss eliminasi dari Hasil
2xtx1xsx
3t-2s-7x
5
4
3
2
1
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=====
Contoh-2:
Pecahkan dengan menggunakan Eliminasi Gauss - Yourdan
618x4x8x6x2x515x10x5x1-3x-4x2x-5x-6x2x02x2x-3xx
65421
643
654321
5321
=++++=++=++=++
Jawab:
Matriks yang diperbesar untuk SPL tersebut adalah:
Andiani /Feb’13/FTUI
10
1 brs 2-4 brs4 brs1 brs 2-2 brs2 brs
618480625150105001-3-42-5-6200202-31
→→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 brs - 2 brs
618084005150105001-3-02-1-0000202-31
→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 brs 4-4 brs4 brs2 brs 5-3 brs3 brs
61808400515010500130210000202-31
→→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
3 brs 3 brs
4 brs3 brs
26000000000000130210000202-31
61→
⇔
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
3 brs 3-2 brs2 brsbariseselon bentuk dalamSudah
0000000100000
130210000202-31
31 →
⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 brs 2 1 brs 1 brs
0000000100000
000210000202-31
31
+→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
tereduksibariseselon bentuk dalamSudah
0000000100000
00021000024031
31
⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Baris terakhir dari matriks ini (0 semua) berarti :
0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 0
Yang pasti dipenuhi untuk sembarang harga-harga x1, x2, x3, x4, x5, x6 sehingga
baris ini dapat dibuang (dalam matriks di atas).
Andiani /Feb’13/FTUI
11
Ini berarti bahwa SPL nya adalah
x
2x -x2x-4x-3x-x
: Sehingga
x02xx02x4x3xx
31
6
43
5421
31
6
43
5421
===
==+=+++
31
6
5
4
3
2
1
5
4
2
xtxsx2s -xrx
2t-4s-3r -x
:adalah nya SPL jawab Sehinggatxsxrx
:adalah bebassecaraditentukandapat yang variabelJadi
=
=====
===
Dari contoh di atas, hal penting yang harus dijadikan pegangan adalah tetapkanlah
nilai-nilai sembarang pada setiap variabel tak utama.
1.3 Sistem Persamaan Linier Homogen Sebuah SPL dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol:
0nmn2m21m1
0n2n222121
0n1n212111
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
L
M
L
L
Setiap Spl homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,
….., xn = 0 selalu merupakan solusi. Solusi tersebut dinamakan solusi trivial
(trivial Solution).
Andiani /Feb’13/FTUI
12
Ada 2 kemungkinan untuk SPL homogen :
1. Solusinya trivial.
2. Solusinya banyak (tak terhingga).
Jika sistem persamaan homogennya memiliki lebih banyak bilangan tak
diketahui dari banyaknya persamaan, maka dipastikan mempunyai solusi tak
trivial.
Contoh :
Pecahkan sistem persamaan homogen berikut dengan menggunakan
eliminasi Gauss-Jordan :
0xx-x0x-2xx
321
321
=+=+
Jawab:
Matriks yang diperbesar adalah
1 brs-2 brs2 brs011-101-21
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2 brs -2 brs023-001-21
31→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2 2brs-1 brs1 brs01001-21
32-
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0-10001
32
31
Ini berarti:
0x-x0xx
332
2
331
1
==+
solusi) hingga(tak banyak lTak trivia Solusi 0 s Jika
Trivial Solusi 0 s Jika
s - x
s x
s x
31
1
32
2
3
→≠→=
=
=
=
Andiani /Feb’13/FTUI
13
Teorema-1:
SPL homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya
persamaan selalu mempunyai tak hingga banyaknya solusi.
1.4 Matriks Dan Operasi Matriks
Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berorde m x n
Jika A adalah sebuah matriks, maka aij adalah entri yang terdapat di dalam baris i
dan kolom j dari A. Dengan demikian matriks Amxn yang umum adalah :
aaa
aaaaaa
A
mnm2m1
2n2221
1n1211
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
K
M
K
K
Jika m = n maka matriks A disebut matriks bujursangkar, dan entri-entri a11, a22,
….., ann dikatakan berada pada diagonal utama dari a.
utama diagonaldisebut )a , ,a ,(a
aa
aaaa
A
nn2211
n2n
2n2221
1n1211
L
K
M
K
K
↓
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nna
aa
1.4.1 Definisi Penjumlahan Matriks
Jika diketahui Amxn maka entri-entri :
C = A + B di definisikan sebagai :
cij = aij + bij i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
Matriks-matriks yang ordenya berbeda tidak dapat ditambahkan.
Contoh:
Diketahui matriks-matriks berikut:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
072-44201-3012
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
54-231-0221534-
B , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2211
C
Andiani /Feb’13/FTUI
14
Maka:
A + B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
530732214542-
, sedangkan A + C dan B + C tidak didefinisikan
1.4.2 Definisi Perkalian Skalar
Jika diketahui Amxn maka entri-entri B = cA adalah :
bij = caij i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
Contoh-1:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
01-3124
A maka 02-6248
2A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= dan
013-1-2-4-
(-1)A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Contoh-2:
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
7-52-321
A dan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1-4321-0
B
maka ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
14-3-2-10
) (-B
dan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
6-15-131
14-3-2-10
7-52-321
(-B) A B -A
1.4.3 Definisi Perkalian Matriks
Jika diketahui Amxn dan Bnxr maka hasilkali dari A dan B yaitu C = AB
adalah matriks Cmxr yang unsur-unsurnya adalah :
r ..., 2, 1, j
m ..., 2, 1, iuntuk b a ... b a b a b a c njin2ji2n
1k1ji1kjikij
=
=+++== ∑=
Dengan demikian unsur cij diperoleh dari baris ke-i dari A dan kolom ke-j dari B.
Jadi:
Andiani /Feb’13/FTUI
15
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mrm1
1r11
nrn1
2r221
1r11
mnm2m1
21
1n1211
cc
cc
bb
bbbb
aaa
aaa
L
M
L
LL
M
LL
LL
L
M
L
M
L
ij
nj
j
ij
inii c
b
bb
aaa
Hasil kali C = AB mempunyai jumlah baris yang sama dengan A dan jumlah
kolom yang sama dengan B.
Contoh-1:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
1662-4
4x11x(-3)3x54x21x43x(-2)(-1)x12x(-3)1x5(-1)x2(2x4)1x(-2)
123-4
52-
413121
Contoh-2:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4-10-46
(-4)x2(-2)x(-2)(-4)x1(-2)x33x21x(-2)3x11x3
212-3
4-2-31
Syarat perkalian matriks AB adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B.
A B AB m x r r x n = m x n
Contoh-3
definisi tidak terAB 514321
B2211
A →⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Misal Amxn dan Bnxr sehingga AB terdefinisi.
Dalam memandang BA, terdapat beberapa kemungkinan :
a. BA tidak terdefinisi. Ini akan terjadi jika r ≠ m.
b. Jika BA terdefinisi, maka BA mempunyai orde nxn dan AB berorde mxm.
c. Jika BA dan AB mempunyai orde yang sama, belum tentu BA = AB.
di dalam = sama di luar
Andiani /Feb’13/FTUI
16
BA AB ,31-71
BA dan 22-32
AB maka1012
B ,31-21
A 3.
BAdan (AB) maka Bdan A Misal2..erdefinisiBA tidak tdan (AB) maka Bdan A Misal1.
: Contoh
3x32x23x22x3
2x43x42x3
≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
→→
34x-2x3x7x2x-5x4x-3x2x
: Contoh
matrix). (augmented diperbesar yang matriksdisebut
baaa
baaabaaa
: matriksdan koefisien matriksdisebut A MatriksB AX: ditulisdapat atas di (SPL)Linier Persamaan Sistem Maka
b
bb
B,
x
xx
X,
aaa
aaaaaa
A
: matriks-matriks Definisi
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
:Linier Persamaan Sistem kembali Pandang
421
31
4321
mmnm2m1
22n2221
11n1211
m
2
1
n
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
=+=+=++
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
=+++
=+++=+++
K
M
K
K
MM
K
M
K
K
L
M
L
L
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
375
xxxx
4-0230102-14-32
: ditulisdapat atas di SPL
4
3
2
1
Andiani /Feb’13/FTUI
17
1.4.4 Definisi Transpose
Jika A berorde mxn, maka transpose A dinyatakan oleh At dan
didefinisikan sebagai matriks nxm yang kolom pertamanya = baris pertama dari
A, kolom 2 = baris 2 dari A, dan seterusnya.
Dengan perkataan lain :
B = At ↔ bij = aji, i = 1, 2, 3, …, n
j = 1, 2, 3, …, m
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1-0533-2461
B 1-3403-6521
B
aaaaaaaaaaaa
A aaaaaaaaaaaa
A
:Contoh
t
342414
332313
322212
312111
t
34333231
24232221
14131211
1.5 Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks
(Aljabar Matriks dan Matriks Balikan)
Teorema-2:
1. A + B = B + A (komutatif penjumlahan)
2. A + (B+C) = (A+B) + C (assosiatif penjumlahan)
3. A (BC) = (AB) C (assosiatif perkalian)
4. A (B+C) = AB + AC (distributif)
5. (B+C) A = BA + CA (distributif)
6. A (B-C) = AB – AC
7. (B-C) A = BA – CA
8. a (B+C) = aB + aC (a=skalar)
9. a (B-C) = aB – aC
10. (a+b) C = aC + bC (a, b = skalar)
11. (a-b) C = aC – bC
12. (ab) C = a (bc)
13. a (BC) = (aB) C = B (aC)
Andiani /Feb’13/FTUI
18
0000
AB maka0053
B, 2010
A
: Contoh0 Batau 0 A tentu belum 0), (matriks 0 AB Jika
A A 0 0 A
0
000
000000
: nol unsurnya semua : nol Matriks
mxn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
====+=+
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
L
M
L
L
Teorema-3:
a) A + 0 = 0 + A = A (0 = matriks nol)
b) A – A = 0
c) 0 – A = -A
d) A0 = 0; 0A = 0
Teorema-4:
Setiap sistem persamaan linier tidak mempunyai jawab, tepat satu jawab,
atau tak hingga banyaknya jawab.
Bukti :
Anggap bahwa AX = B mempunyai lebih dari satu jawab dan misalnya
x1 dan x2 adalah 2 jawab yang berbeda.
0 ) x- A(x0 Ax -Ax
B AxB Ax
: Jadi21
21
2
1
==
→==
Jika dimisalkan x0 = x1 – x2 dan jika dimisalkan k skalar sembarang, maka:
A (x1 + kx0) = Ax1 + A (kx0)
= Ax1 + k (Ax0)
= B + k. 0
= B + 0
= B
Andiani /Feb’13/FTUI
19
Yang berarti bahwa x1 + kx0 adalah jawab dari AX = B. Karena tak terhingga
banyaknya pilihan untuk k, maka AX = B mempunyai tak terhingga banyaknya
jawab.
A aaaaaa
100010001
aaaaaa
AI
A aaaaaa
aaaaaa
1001
A I
: Maka
aaaaaa
A
: Contoh
A A I A AI: maka mxn, matriksadalah A Jika
... seterusnyadan ,
1000010000100001
I,100010001
I,1001
I
: matrix)(identity Satuan Matriks
232221
131211
232221
1312113
232221
131211
232221
1312112
232221
131211
m
n
432
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Definisi:
Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika dapat mencari matriks B
sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B
disebut invers dari A.
Notasi : B = A-1
Andiani /Feb’13/FTUI
20
2
2
I 1001
31-5-2
2153
BA
I 1001
2153
31-5-2
AB
A dari invers 2153
B,31-5-2
A
: Contoh
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Teorema-5:
Jika B dan C masing-masing invers dari A, maka B = C
Bukti :
Karena B invers A, maka BA = I → (BA)C = IC = C
Padahal (BA)C = B(AC) = BI = B
Maka B = C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≠
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ac-b-d
bc - ad
1 A maka 0, bc - ad Jika
dcba
A
: Contoh
1-
Teorema-6:
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dan ukurannya
sama, maka:
a). AB mempunyai invers
b). (AB)-1 = B-1 A-1
Bukti :
(AB) (B-1 A-1) = A (BB-1) A-1 = AI A-1 = AA-1 = I
(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1IB = B-1B = I
Ini berarti bahwa AB mempunyai invers, dan (AB)-1 = B-1 A-1
Andiani /Feb’13/FTUI
21
Perluasan:
(ABC)-1 = C-1 B-1 A-1
(ABCD)-1 = D-1 C-1 B-1 A-1
dan seterusnya
Definisi:
Jika A adalah matriks bujursangkar, maka di definisikan:
A0 = I, An = AA ….. A n>0 ↓ n faktor
A-n = (A-1)n = A-1 A-1 ….. A-1 ↓ n faktor
Teorema-7:
Jika A adalah matriks bujursangkar (kuadrat), dan r serta s adalah bilangan
bulat, maka:
a) Ar As = Ar+s
b) (Ar)s = Ars
Teorema-8:
Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka :
a) (A-1)-1 = A
b) (An)-1 = (A-1)n n = 0, 1, 2, …….
c) Untuk setiap k ≠ 0, maka (kA)-1 = k1 A-1
Bukti :
a) AA-1 = A-1A = I → A-1 mempunyai invers dan (A-1)-1 = A
b) (An)-1 = (AA ….. A)-1 = A-1 A-1 ….. A-1 A-1 = (A-1)n
↓ ↓
n n
c) (kA) (k1 A-1) =
k1 (kA) A-1 = (
k1 k) AA-1 = 1.I = I
Andiani /Feb’13/FTUI
22
Demikian juga (k1 A-1) (kA) = I sehingga kA mempunyai invers dan
(kA)-1 = k1 A-1
Teorema-9:
a) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (kA)t = kAt, dimana k sembarang skalar
d) (AB)t = Bt At 1.5 Matriks Elementer Dan Metode Untuk Mencari A-1
Definisi:
Sebuah matriks nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat
diperoleh dari matriks satuan (identitas) nxn yakni In dengan melakukan sebuah
operasi baris elementer tunggal.
1dengan I darikesatu bariskalikan 100010001
d)
kesatu baris pada I dari ketiga baris3x tambahkan 100010301
c)
I darikeempat barisdan kedua barisn pertukarka
0010010010000001
b)
3-dengan I kedua bariskalikan 3-0
01a)
: Contoh
3
3
4
2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Andiani /Feb’13/FTUI
23
Teorema-10:
Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris
tertentu pada Im dan jika A adalah matriks mxn, maka hasilkali EA adalah matriks
yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A
ketiga. baris keA darikesatu baris3x n ditambahka bila dihasilkan yang matriksmerupakan
91044631-23201
EA
: Makaketiga. baris ke I darikesatu baris3x penambahanoleh dihasilkan
103010001
E elementer Matriks
0441631-23201
A Misal
: Contoh
3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan urutan
terhingga dari operasi-operasi baris elementer, maka jelas bahwa dapat
memperoleh B kembali dari A dengan melakukan invers dari operasi baris
elementer ini dalam susunan yang sebaliknya. Matriks-matriks itu dapat diperoleh
yang satu dari yang lainnya dengan urutan terhingga dari operasi-operasi baris
elementer yang disebut ekivalen baris (row equivalent).
Teorema-11:
Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks
elementer.
E0E = I dan EE0 = I
Jadi matriks elementer E0 adalah invers dari E
Andiani /Feb’13/FTUI
24
Teorema-12:
Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen :
a) A mempunyai invers
b) AX = 0 hanya mempunyai jawab trivial.
c) A ekivalen baris terhadap In.
1-A dicariakan 801352321
A
: Invers mencariContoh
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Gandengkan matriks satuan I3 disebelah kanan A, kemudian terapkan operasi-
operasi baris pada kedua ruas hingga ruas kiri tereduksi pada I3. Maka matriks
terakhir akan mempunyai bentuk [I I A-1].
Andiani /Feb’13/FTUI
25
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→+→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1-2-53-5-13
91640-A
: Jadi
1-2-51003-5-1301091640-001
2brs2-brs1brs11-2-51003-5-130103614-021
3brs3-brs1brs13brs3brs2brs2
1-2-5100012-3-10001321
(-1)brs3brs3125-1-00012-3-10001321
2brs2brs3brs3101-52-0012-3-10001321
brs1-brs3brs32brs1-brs2brs2
100801010352001321
1-
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Akan tetapi dengan cara di atas, sebelumnya tidak bisa diketahui apakah matriks
A mempunyai invers atau tidak. Seandainya dalam proses di atas muncul baris nol
atau kolom nol disebelah kiri, maka ini berarti bahwa A tidak mempunyai invers,
dan proses tidak dapat dilanjutkan.
Andiani /Feb’13/FTUI
26
[ ]
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+→→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
111-012-001
0009-8-0461
brs2brs3brs3101980012-9-8-2001461
brs1brs3brs32brs1_brs2brs2
100521-0101-42001461
I A
521-1-42461
A
:berikut contoh pandang jelasnyaUntuk
nol baris
M
M
M
43421
M
M
M
M
M
M
Karena muncul baris nol disebelah kiri, maka A tidak mempunyai invers.
1.5.1 Sifat-Sifat Lainnya
Teorema-13:
Jika A adalah matriks nxn yang mempunyai invers, maka untuk setiap matriks
B yang berukuran nx1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu jawab,
yaitu X = A-1 B
Bukti :
Karena A(A-1 B) = B, maka X = A-1 B adalah jawab dari AX = B. Untuk
memperlihatkan bahwa ini adalah satu-satunya jawab, maka dimisalkan X0
adalah sembarang jawab, kemudian memperlihatkan bahwa X0 harus merupakan
jawab A-1 B.
Andiani /Feb’13/FTUI
27
Jika X0 suatu jawab, maka AX0 = B. Dengan mengalikan kedua ruas dengan
A-1, maka X0 = A-1 B.
2 x1,- x1, atau x
21-1
1735
1-2-53-5-13
91640- B A X
:adalah tersebut SPL jawab Sehingga
1-2-53-5-13
91640-A
:yaitu invers, mempunyaiA bahwakan diperlihat telah 1.5 bab Dalam
1735
B,xxx
X,801352321
A
: dimana B, AXbentuk dalam ditulisdapat ini SPL
178xx33x5x2x53x2xx
: SPL: Contoh
321
1-
1-
3
2
1
31
321
321
===
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=
=+=++=++
Metode tersebut akan bermanfaat ketika perlu memecahkan seluruh deret sistem :
AX = B1, AX = B2, AX = B3, ……., AX = Bk
Yang masing-masing mempunyai matriks koefisien A yang sama. Jika A
mempunyai invers, maka jawab :
X = A-1 B1, X = A-1 B2, X = A-1 B3, ……, X = A-1 Bk
Dapat diperoleh dengan menggunakan satu invers matriks dan k perkalian
matriks. Akan tetapi, metode tersebut lebih efisien terhadap bentuk matriks :
[ ] B B B A k21 L
Andiani /Feb’13/FTUI
28
Di sini matriks koefisien A “diperbesar” oleh semua k dari matriks B1, B2, … Bk.
Dengan mereduksi bentuk ini terhadap bentuk eselon baris tereduksi, dapat
memecahkan semua sistem k dengan eliminasi Gauss-Yordan.
6-8xx63x5x2x13x2xx
b)
98xx53x5x2x43x2xx
a): sistem kedua dari jawabTentukan
: Contoh
31
321
31
31
321
321
=+=++=++
=+=++=++
Jawab :
Kedua sistem mempunyai matriks koefisien yang sama. Jika memperbesar
matriks koefisien ini dengan kolom konstanta pada ruas kanan dari sistem-sistem
ini, maka diperoleh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
6-61
954
801352321
Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi akan
dihasilkan :
-13x1,2x2, 1adalah x b)
13x0,2x1, 1adalah x a) sistem jawab Jadi
1-12
101
100010001
===
===
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Teorema-14:
Misalkan A adalah matriks bujursangkar .
a) Jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi BA = I, maka B=A-1
b) Jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi AB = I, maka B=A-1
Andiani /Feb’13/FTUI
29
Teorema-15:
Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekivalen satu
sama lain:
a) A mempunyai invers.
b) AX = 0 hanya mempunyai jawab trivial.
c) A ekivalen baris dengan In
d) AX = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran nx1
Masalah:
Misalkan A adalah sebuah matriks mxn yang tetap. Carilah semua matriks B
yang berukuran mx1 sehingga sistem persamaan AX = B konsisten.
brs2-brs22b-b1-1-0b-b1-1-0
b211
brs1-brs3brs3brs1-brs2brs2
b312b101b211
:adalah tersebut sistemuntuk diperbesar yang Matriks: Jawab
?Konsisten
b3xx2xbxxb2xxx
: SPL supaya bdan b ,boleh dipenuhi harus yang apasyarat -Syarat: Contoh
13
12
1
3
2
1
3321
231
1321
321
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=++=+=++
Andiani /Feb’13/FTUI
30
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
123
21
1
13
21
1
b-b-b000b-b110
b211
2 brs 3 brs3 brs2b-b1-1-0b-b110
b211
Jadi SPL tersebut mempunyai sebuah pemecahan jika dan hanya jika b1, b2, dan b3
memenuhi kondisi :
b3 - b2 - b1 = 0 atau b3 = b1 + b2
Dengan perkataan lain, maka AX = B konsisten jika dan hanya jika B adalah
matriks yang berbentuk:
?konsisten menjadi
b8xxb3x5x2xb3x2xx
: SPLagar bdan b ,boleh dipenuhi harus yang apaSyarat : Contoh
sembarang b ,b, b b
bb
B
331
2321
1321
321
21
21
2
1
=+=++=++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
Andiani /Feb’13/FTUI
31
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
321
321
3
2
1
b-2b-5b1003b-5b-13b0109b16b40b-001
:an menghasilkakan tereduksibariseselon bentuk menjadi ini mereduksiDengan
b801b352b321
:adalah diperbesar yang Matriks: Jawab
Karena b1, b2, dan b3 dapat dipilih secara bebas (tidak ada pembahasan), maka
sistem yang diberikan oleh AX = B mempunyai jawab yang tunggal, yaitu :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
==
++=
3
2
1
3213
3212
3211
bbb
B semuaUntuk
b-2b-5bx3b-5b-13bx9b16b40b-x
Contoh :
Tentukan harga-harga a sehingga SPL berikut mempunyai :
a) Tidak mempunyai jawab.
b) Lebih dari satu jawab.
c) Jawab tunggal
23zayx3az3y2x1z-yx
=++=++=+
Andiani /Feb’13/FTUI
32
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
→⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
→→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
a-2a)-a)(2(30012a1011-11
a-2a-a-60012a1011-11
1)-(a-12)-1)(a-(a-40012a1011-11
brs2)1-(a-brs3brs3 111
41-a02a10
1-11
brs1-brs3brs32brs1-brs2brs2
:berikut sebagai bariseselon bentuk menjadidiubah Kemudian 23a13a3211-11
: diperbesar yang Matriks: Jawab
2
- Sistem persamaan mempunyai jawab tunggal jika koefisien z dalam
persamaan ketiga ≠ 0, yaitu jika a ≠ 2 dan a ≠ -3.
- Dalam hal a = 2, persamaan ketiga adalah 0x + 0y + 0z = 0 sehingga sistem
persamaan mempunyai lebih dari satu jawab.
- Dalam hal a = -3, persamaan ketiga adalah 0x + 0y + 0z = 5 sehingga sistem
tidak mempunyai jawab.
Kesimpulan:
a) a = -3 → tidak mempunyai jawab
b) a = 2 → lebih dari satu jawab
c) a ≠ 2 dan a ≠ -3 → persis satu jawab
Andiani /Feb’13/FTUI
33
1.6 Jenis-Jenis Matriks
1.6.1 Matriks Bujursangkar
Jika m = n maka matriks A disebut matriks bujursangkar, dan entri-entri
a11, a22, ….., ann dikatakan berada pada diagonal utama dari a.
utama diagonaldisebut )a , ,a ,(a
aa
aaaa
A
nn2211
n2n
2n2221
1n1211
L
K
M
K
K
↓
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nna
aa
1.6.2 Matriks Transpose
Jika A berorde mxn, maka transpose A dinyatakan oleh At dan
didefinisikan sebagai matriks nxm yang kolom pertamanya = baris pertama dari
A, kolom 2 = baris 2 dari A, dan seterusnya.
Dengan perkataan lain :
B = At ↔ bij = aji, i = 1, 2, 3, …, n
j = 1, 2, 3, …, m
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2313
2212
2111t
232221
131211
aaaaaa
A aaaaaa
A
Jadi jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
596274
A 529764
A t
Teorema :
a) (At)t = A
b) (A ± B)t = At ± Bt
c) (kA)t = kAt, dimana k sembarang skalar
d) (AB)t = Bt At
Andiani /Feb’13/FTUI
34
1.6.3 Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya
sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
200050001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000000001
1.6.4 Matriks Satuan (Identity)
Matriks satuan (identity) adalah matriks diagonal yang semua elemen
diagonal utamanya sama dengan satu. Matriks satuan dinyatakan dengan I.
Contoh :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1000010000100001
I,100010001
I,1001
I 432 , …. dan seterusnya
Jika A adalah matriks m x n , maka A.In = A
Im.A = A
Contoh :
A aaaaaa
100010001
aaaaaa
AI
A aaaaaa
aaaaaa
1001
A I
: Maka
aaaaaa
A
232221
131211
232221
1312113
232221
131211
232221
1312112
232221
131211
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1.6.5 Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti
determinannya = 0)
Andiani /Feb’13/FTUI
35
1.6.6 Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti determinannya ≠ 0)
1.6.7 Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar adalah matriks berorde m x m
Matriks bujur sangkar [aij] disebut simetrik jika aij = aji
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
495982521
A , matriks tersebut simetris dengan diagonal utamanya
Perhatikan A = At
1.6.8 Matriks Asimetris
Matriks bujur sangkar [aij] disebut anti-simetrik (asimetris) jika aij = -aji
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
09-5-902-520
B , dalam hal ini B = -Bt
1.6.9 Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar di mana berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2,
3, 4, …
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3-2-1431-4-2-2
A
A2 = A.⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3-2-1431-4-2-2
A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3-2-1431-4-2-2
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3-2-1431-4-2-2
= A
Andiani /Feb’13/FTUI
36
1.6.10 Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar di mana A3 = 0
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3-1-2-625311
A
A3 = A.A.A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3-1-2-625311
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3-1-2-625311
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3-1-2-625311
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000000000
= 0
1.6.11 Matriks Nol
Semua unsurnya nol :
mxn0
000
000000
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
L
M
L
L
Jika AB = 0 (matriks 0), belum tentu A = 0 atau B = 0
0000
AB maka0053
B, 2010
A
: Contoh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Teorema :
e) A + 0 = 0 + A = A (0 = matriks nol)
f) A – A = 0
g) 0 – A = -A
h) A0 = 0; 0A = 0
1.6.12 Matriks Segitiga (Triangular Matriks):
Terdiri dari:
Andiani /Feb’13/FTUI
37
a. Matriks Segitiga Atas
Matriks bujursangkar, apabila elemen yang terletak di bawah diagonal
utamanya sama dengan nol.
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
33
2322
131211
3x3
a00aa0aaa
A
b. Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujursangkar, apabila elemen yang terletak di atas diagonal
utamanya sama dengan nol.
Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
2221
11
3x3
bbb0bb00b
B
Andiani /Feb’13/FTUI
38
Soal:
1. Tentukan harga-harga a sehingga SPL berikut mempunyai :
a) Tidak mempunyai jawab.
b) Mempunyai satu jawab.
c) Mempunyai banyak jawab.
a)
1azyx1zayx1zyax
=++=++=++
b)
38zay2x1az2yx
=++=++
c)
1z-3y2xa2z4y3x2azyx
=+=++=++
d)
1az2yx2-z-ay2x3-3z-x
=++=+=
2. Carilah sebuah matriks K sehingga AKB = C, jika diberikan bahwa:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
19208-56-1-58
C ,1-10
102 B ,
4312-21
A
Selamat bekerja