Bab I Matematika I
-
Upload
agustina-anita -
Category
Documents
-
view
149 -
download
1
Transcript of Bab I Matematika I
BAB I
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
1. Bentuk Pangkat Positif, Negatif Dan Nol
2. Bentuk Akar Dan Pangkat Pecahan
3. Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Bentuk Akar
4. Merasionalkan Bentuk Akar
5. Mengubah Bentuk Pangkat Ke Bentuk Logaritma Dan Sebaliknya
6. Menentukan nilai logaritma dengan grafik, tabel dan kalkulator
7. Sifat- Sifat Logaritma Dan Penggunaan Dalam Perhitungan Aljabar.
1
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi pelajaran : Bentuk pangkat positif, negatif dan nolKelas/Semester : X / GasalWaktu : 3 x 45 menit___________________________________________________________
MATERI :
1. PANGKAT BULAT POSITIF
Proses perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai :
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
35 disebut bilangan berpangkat
3 disebut bilangan pokok
5 disebut pangkat
Latihan 1.
1. Tuliskan perkalian berulang dengan notasi pangkat !
a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ….
b. a x a x a x a = …..
c. 3 x 3 x y x y x y = ……
2. Tuliskan tanpa menggunakan pangkat !
a. (-1)3 = ….
b. 4 p3 = ….
c. 32 + 53 = ….
d. (2m) 3 = ….
2
Untuk aR, dan n bulat positif maka An = a x a x a x … x a Sebanyak n faktor
Sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif
1. Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat
a. 34 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3… = 3…+…
4 faktor 5 faktor
b. a4 x a 3 = a x … x a x a x….. = a x a x …… x a = a … = a …+…
… faktor …faktor …faktor
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
2. Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat :
a. 35 3 x …x…x…x…. = = 3 …
32 ….. x 3
35
= 3… = 3 …+…
32
b. p7 p x … x … x … = = p …
p5 p x ….. x p
p7
= p… = p … - …
p5
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
3. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat !
a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x … x …) x ( 2 x … x …) = 2 …
(23) 2 = 2 … = 2 …x…
3
am x an = a …+…
am
= a …-…
an
a 2 x a 2 x … x … x … (axa) x (axa) x …. x….x (axa) b. (a2)5 = =
5 faktor … faktor a x a x a x… x … x … x a = = a …
…. faktor
(a2)5 = a … = a … x …
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
4. Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan.
a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x (… x …) x (… x…) = (4 x … x … ) x (3 x … x …) = 4 … x 3…
b. (a x b)4 = (a x b) x ( … x …) x (… x …) x (a x b) = (a x … x … x … ) x (b x … x … x … ) = a… x b …
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
5. Tentukan perpangkatan dari hasil bagi dua bilangan
2 x … x … 2 …
a. (2/3)3 = (2/3) x (….) x ( …) = = 3 x…x… 3 …
a x… x… x… a …
b. (a/b) 4 = (a/b) x (….) x ( ….) x ( ….) = = b x… x…x… b…
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
a n a …
= b b …
Dari hasil nomor 2 (a – b) di atas ditemukan sifat-sifat bilangan
berpangkat bulat positif, untuk a,b bilangan real dan m,n bulat positif
maka berlaku sifat :
4
(am)n = a …x…
( a x b ) n = …. … x … …
1. am x an= …
2. am : an = …
3. (am)n = ….
4. ( a x b )n = …
5. ( a/b )n = ….
2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Perhatikan sifat am : a n = a m – n dan definisi bilangan berpangkat :
a n = a x a x a x ………. x a n faktor
Perhatikan hasil pembagian bilangan berpangkat a3 : a5
1. dengan menggunakan definisi perpangkatan :
a3 a x a x … 1 1 = = = a5 a x .. x …x…x… a x … a …
2. dengan menggunakan rumus :
a3 = (a) … - … = a …
a5 1 1
Dari 1 dan 2 didapat a –n = dan an = a… a –n
Jika m = n maka :
a. dengan menggunakan rumus a m : a n = a … - … = a …
b. dengan definisi pangkat a m a n = = …. a n …
Kesimpulan apa yang dapat diambil ?
5
a … = ….
Latihan 3.
1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.
a. 2-6
b. 3-5
c. 4/(2)-3
d. a-2. b-3
e. 1/3. a3 . b–4
f. 7. p-5. q2
g. a2 . b-3
a-1. b5
h. (2.y-2.z)-4
i. a2 -2
------ 2.b-3
2. Hitunglah :
a. 3 –2
b. 1/(5–2)
c. (1/2)-3
d. 3/(2–2)
e. 25 x 5-3
f. 3–2 x 4–2
g. (5-1)/2
h. 8 x 4–2
i. 5-4 x 2-1
j. (0,2) –4
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Bentuk akar dan pangkat pecahanKelas/Semester : X / Gasal
6
Waktu : 3 x 45 menit
MATERI :
1. PENGERTIAN BENTUK AKAR
a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1
(lihat gambar)
A Dengan menggunakan rumus phitagoras
dapat dihitung panjang sisi miring (AC)
(AC)2 = (AB) 2 + (BC) 2
= 12 + 12
B C = 2
panjang sisi AC dinyatakan dalam bentuk akar 2 =
1,414213562 ...... (dengan kalkulator)
b. Hitung nilai dari suatu pecahan 1/3.
1/3 = 0,333333….. ( dgn kalkulator)
Dari kasus kedua di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan 1/3 dan
bentuk akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berulang.
1/3 = 0,33333………. (angka 3 dibelakang koma selalu berulang)
2 = 1,414213562 …(tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal
berulang).
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal
berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan
irrasional.
Berilah contoh –contoh bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Bilangan rasional : …..
Bilangan irrasional : ….
7
Perhatikan . 3 = 1,732050808… (tak berulang dan tak terbatas)
4 = 2
4 disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan 3 bilangan
irrasional dan disebut bentuk akar.
Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil positif yang
hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.
Latihan 1.
No Bilangan Bentuk akarYa atau Tidak
Alasan
1 82 93 164 185 256 277 458 509 26910 (16/25)
2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Untuk setiap a,b bilangan bulat positif maka berlaku :
a. (axb) = a x b dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam
bentuk kuadrat
b. a 0 , b 0
Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar
maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling
sederhana.
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut !
1. 12 = (3x4) = 4 x 3 = 2x3 = 23
2. 8a2 = ( 4 x 2 x a2 x a ) = 4a2 x 2a = 2a2a
8
Latihan 2.
Sederhanakan bentuk akar berikut !
1. 24 2. 45 3. 12 4. 9a3
5. 20p2 6. 125 7. 0,48 8. a6.b2.c3
9. 10. 1/27 11. 50 a2b2 12.
3. MENYATAKAN BILANGAN PANGKAT PECAHAN DALAM BENTUK AKAR DAN SEBALIKNYA
Definisi dan sifat-sifat bentuk pangkat pecahan.
a. 2 = 2a
(2) 2 = (2a) 2 kedua ruas dipangkatkan
gunakan sifat (am)n = a mxn
2 = 22a (2 = 21)
21 = 22a 1 = 2a a = ½
jadi :
Beberapa konsep
1. a = a1/2
2. 3 = a1/3
3. 7a = a1/ 7
4. dan seterusnya dan didapat na = a1/n
dari na = a1/n maka nam = (am)1/n
= (a)mx1/ n
= (a)m / n
dengan a 0 , m , n bilangan bulat positif
9
2 = 21/2
nam = a m/n
Ingat! Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan pangkat bulat positif
berlaku juga pada bilangan pangkat pecahan.
1. am x a n = am+n
2. am : a n = am-n
3. (am) n = amn
4. (a x b) n = an . b n
5. (a/b) n = a n / b n
6. a-n = 1 / a n
Contoh :
Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya.
1. 3y2 = (y2) 1/ 3 = (y2.1/ 3 ) = y2/ 3
2. 5a.b = (a.b) … = a…x b…
3. 3a.4b = a…x b…
4. 122/3 = (12 2) … = 3 12…
5. 2. a2/ 3. b1/ 3 = 2. ….x……
Latihan 3.
I. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat !
1. 5 2. 316 3. 5p4 4. (3xy)5
5. 76. 67 6. 2 -3 7. 21/a 8. 3x .4x3
II. Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar !
1. 71/ 2 2. 122/ 3 3. a-3/ 2 4. x1/2 . y1/ 2
5. 2.a2 /3.b1/ 3 6. (m2.n2)5/ 3 7. 1/7 8. 1/a-3
III. Dengan menggunakan sifat-sifat pada pangkat pecahan sederhanakan
operasi-operasi aljabar berikut !
1. 21/3 x 21/5
2. a2/ 3 : a7/ 3
3. (32/ 3)3/ 4
10
4. (27)-2/3
5. (2 x 3)3/4
6. (0,25)0,5 + (0,04) 0,5
7. 2x16-1/ 2 + 27 4/ 3 – 3x16 0
8. (27) -2/ 3 + 5 2/ 3x 51/ 3
9. Jika p = 8 , q = 4 dan r = 9 hitung 3p-1/ 3 q2 r -3/ 2
10. Jika p = 8 dan q = 9 hitung 2p-1/ 2 + q 4/ 3 – 3p 0
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian
Bentuk AkarKelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit___________________________________________________________
11
MATERI :
1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR
Sifat ! a.b + a.c = ( b + c ) a
a.b – ac = ( b – c ) a
3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a
dan b tidak sejenis
begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangi jika sejenis.
Kedua sifat ini berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan
bentuk akar.
ac + bc = ( a + b ) c
ac - bc = ( a – b ) c
Contoh :
1. 37 + 27 = ( 3 + 2 ) 7 = 5 7
2. 43 - 3 = ( 4 - … ) 3 = …3
3. 18 - 8 = (…x 2 ) - (…x 2) = …2 - …2 = (… - …)2 = ……
4. 75 -25 + 5 = ( … - … + … ) 5 = ……
5. 2 + 3 - 52 + 23 = (2 - …2) + (3 + …3) = ….2 + …3
( tidak dapat dijumlahkan kenapa? )
Latihan 1.
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut !
a. 53 + 3
b. 35 + 55 - 25
c. 63 + 7 - 28
d. 125 - 45 + 20
e. (9/2) 3 + (1/2) 27
2. PERKALIAN BENTUK AKARPada sifat bentuk akar berlaku (a x b) = a x b , dengan a , b 0
12
Contoh :
1. 2 x 3 = (2x3) = 6
2. 32 x 53 = (3 x 5) (2x3) = 156
3. 8 x 10 = (8x10) = 80 = (16x5) = 16 x 5 = 45
Rumus- rumus aljabar seperti :
1. a ( b + c ) = a.b + a.c
2. ( a + b ) 2 = a2 + 2 ….. + b2
3. ( a – b ) 2 = … - 2 …. + ….
4. (a + b) ( a – b) = a2 - b2
5. (a + b) (c + d) = a.c + … + ….+ b.d
Contoh :
1.3 (2 + 23)=(3x2) + 3x23 = (3x2) + 2x3x3 = 6 +2.3= 6 6
2. (2 + 1) 2 = (2) 2 + 2x ….x1 +12 = … + 2 … + … +… + … ( rms. 2 )
3. (3 – 2) (3 + 2) = (3) 2 – 22 = …. – …. = …… (rms 4)
4. (5+4) (3+2) = 5 x3 +…3 + …5 + 4x2 = … +... +… + 8 (rms.5)
Latihan 2.
Sederhanakan !
1. 8 (2 + 3)
2. (3 - 5 )2
3. (32 + 1 ) 2
4. (23 + 2 ) (23 -2)
5. (2 +3) (2 – 5)
6. ( 312 –2) 2
7. (23 - 46)(22 + 36)
8. 5 (2- 32) 2
13
14
LEMBAR KERJA SISWA 4
Mata pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Merasionalkan bentuk akarKelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit__________________________________________________________
MATERI :
A. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK
2 = 1,4142….. jika dihitung dengan menggunakan kalkulator.
Bagaimana jika membagi sebuah bilangan dengan 2 ?
Contoh :
(perhitungan seperti ini sulit jika tidak menggunakan
kalkulator)
Untuk memudahkan perhitungan ada cara yang mudah yaitu dengan
merasionalkan penyebut, contohnya :
Merasionalkan bentuk , dengan b> 0 (ingat sifat a x a = a)
a a b ab a = x = = b b b b b b
Contoh : Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !
1). 1 1 3 3 = x = 3 3 3 3
2). 2 2 … 2… = x = 8 8 … ….
3. 10 10 … 10 x … ….
15
= x = = 22 22 2 …. ….
Latihan 1.
a. 8 b. 3 c. 52 d. 33 e. 4 2 53 25 12 53
c c B. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK DAN a b a b
Perlu diingat kembali bahwa ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
( a – b ) ( a + b) = a2 – b2
( a – b ) disebut kawan dari ( a + b )
( a + b ) disebut kawan dari ( a – b )
Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan bilangan
rasional.
Perhatikan perkalian dari :
( a + b ) ( a – b ) = a2 - (b) 2 = a2 – b
(a + b) (a – b ) = (a) 2 - (b) 2 = a – b
Terlihat di atas ( a + b ) sekawan dengan ( a - b )
(a + b ) sekawan dengan (a - b )
Contoh : tentukan sekawan dari
1. 1 + 5 sekawannya 1 - 5 berikan alasannya!
2. 3 – 8 sekawannya ……..
3. 4 + 7 sekawannya ……..
4. 2 - 6 sekawannya .…….
5. 23 + 1 sekawannya ……..
6. 1 - 53 sekawannya …….
7. 36 + 2 sekawannya …….
8. 25 - 3 sekawannya …….
16
Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau
selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang
dan penyebut dengan pasangan bentuk sekawan.
Contoh :
1. 10 10 4 + 6 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) = x = = = 4+ 6 4 + 6 4 + 6 (4)2 – (6) 2 16 – 6 10
2. 2 + 5 2 + 5 2 + 5 ( 2 + 5 ) 2 22+ 2x2x5 + (5) 2
= x = = = 2 - 5 2 - 5 2 +5 (2) 2 – (5) 2 4 – 5
4 + 45 + 5 9 + 45 = = -9 - 45 -1 -1
3. 5 5 …. + …. 5 ( … + ….) ( …. + ….) ….. = x = = = 6 + 7 6 + 7 6 - 7 ( … ) 2 – ( …)2 … - ….. …….
4. 3 3 3 – 2 3 ( … - ….) 3 ( … - …) = x = = = = ...
3 + 2 3 + 2 … - … ( …)2 – ( … ) 2 … - … …..
Latihan 2.
Rasionalkan bentuk akar di bawah ini.
1. 3 2. 2 3. 7 2 + 5 3 – 1 5 + 32
4. 5 5. 5 6 5 – 2 6 - 7 5 - 6 5 + 2
p q
17
7. Hitunglah p + q ; p – q ; p x q ; ; jika : q p
4 9a. p = dan q = 3 + 2 2
1 1b. p = dan q = 2 + 3 2 - 3
2 -2c. p = dan q = 2 + 2 2 + 2
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Mengubah bentuk pangkat ke bentuk
logaritma dan sebaliknya Kelas / semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit
18
___________________________________________________________
MATERI :
1. MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA DAN SEBALIKNYA.Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan nilai-nilai
bilangan berpangkat, misalnya :
22 = 4
32 = 9
3-1 = 1/3
51/2 = 5
Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan
hasil perpangkatannya diketahui ?
2 … = 165 … = 2510 … = 10016 … = 4
Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi
logaritma
2 … = 16 ditulis 2log 16 = …. 2 log 16 = 4 karena 24 = 165 … = 25 ditulis 5log 25 = … 5 log 25 = 2 karena 52 = 2516…= 4 ditulis 16log 4 = … 16log 4 = ½ karena 161/2 = 4
dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara perpangkatan
dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan.
a = bilangan pokok dengan syarat a 0 dan a 1c = numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat c 0b = hasil logaritma , syarat bias positif atau negatif atau nolContoh : tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat
dan sebaliknya.
1. 3 5 = 234 3 log 234 = 52. 42 = 16 4 log 16 = 23. 5-2 = 1/25 5 log 1/25 = -2
19
a log c = b jika dan hanya jika a b = c
4. 72 = 49 7 log … = …5. 51/2 = 5 5 log … = ….
6. 3 log 81 = 4 3 4 = 817. b. 2 log 16 = 4 2 … = 168. c. 3 log 27 = 3 3 … = ….9. log 1000 = 3 …3 = …10. 5 log 1/5 = -1 … -1 = .....
Latihan 1
Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan
sebaliknya
1. 30 = 1
2. 2 n = 8
3. a2/ 5 = 4
4. 9-1/ 2 = 1/3
5. 5 log 1/125 = -3
6. 2 log 6 = x
7. a log ¼ = -2
8.3 log 3 = ½
2. MENGHITUNG NILAI LOGARITMA
a. 3log 27 = x ubah ke bentuk pangkat 3 x = 27 maka x = 3 jadi 3 log 27 = 3
b. 5 log 5 = y ubah ke bentuk pangkat 5 y = 5 maka y = 1 jadi 5 log 5 = 1
Latihan 2
Tentukan nilai :
1. 4 log 2 = ….
2. 2 log ½ = ….
3. log 10.000 = …
4. 4 log 64 = …
20
5 . 5 log 125 = …
6. ½ log 1/8 = …
7. 3 log 81 = …
8. 3 log 1/9 = …
9. log 100 = …
10. 4 log ¼ = …
11. 3 log 3 = …
12. 7 log 49 = ….
13. 81 log 9 = ….
14. ½ log 4 = ….
15. 6 log 36 = ….
LEMBAR KERJA SISWA 6
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Menentukan nilai logaritma dengan grafik,
tabel dan kalkulator Kelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit___________________________________________________________
21
MATERI :
I. MENENTUKAN NILAI LOGARITMA
Anda telah mempelajari dan memahami LKS 5, telah dibahas beberapa
contoh dan latihan menentukan bilangan–bilangan logaritma yang bias
langsung ditentukan nilainya, karena bilangan tersebut merupakan hasil
dari perpangkatan dari bilangan pokoknya. Seperti :2log 4 = 2 sebab 4 = 22
3log81 = 4 sebab 81 = 34
Bagaimana jika kita menghitung nilai 2log 7 = x ?
Terlihat bahwa bilangan 7 tidak bias diperoleh secara langsung dari 2x.
Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x
tersebut, yaitu :
a. dengan menggunakan grafik y = a x , a 1 atau 0 a 1
b. dengan menggunakan tabel
c. dengan menggunakan kalkulator
1. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan grafik y = a x ,
dengan a 1 atau 0 a 1
Contoh : tentukan nilai 2 log 6 dengan menggunakan grafik !
Langkah-langkah :
1. Menentukan grafik yang akan digunakan
2 log 6 = x 2 x = 6 sehingga grafik yang digunakan y = 2 x
2. Membuat tabel yang menyatakan hubungan x dan y = 2 x
Tabel hubungan x dan y X 0 1 2 3 4
Y = 2 x 1 2 4 8 16( x , 2 x ) ( 0,1 ) ( 1,2 ) ( 2,4 ) ( 3,8 ) ( 4,16)
3. melukis grafik y = 2 x
4. lihat bilangan 6 pada sumbu y, tarik garis sejajar sumbu x hingga
memotong grafik.
22
5. pada titik perpotongan tarik garis sejajar sumbu y sehingga memotong
sumbu x
6. titik perpotongan dengan garis sejajar sumbu y pada sumbu x adalah
hasil dari 2 log 6 yaitu 2, …
jadi 2log 6 = 2, … ( pembulatan satu desimal)
Gambar grafik :
23
Latihan 1
1. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 2 x untuk menentukan nilai
a. 2 log 3 b. 2 log 5 c. 2 log 7 d. 2 log ½
2. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 3 x untuk menentukan nilai
a. 3 log 5 b. 3 log 7 c. 3 log 9 d. 3 log 12
2a. Menentukan nilai logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan
menggunakan tabel
Tabel logaritma menyajikan logaritma dengan bilangan pokok 10 dan
e (logaritma natural yang disingkat dengan ln )
Pada tabel kita hanya dapat menentukan nilai logaritma dengan
bilangan pokok 10, sedang untuk bilangan pokok lain dapat ditentukan
dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Logaritma dengan pokok
10 , misalnya 10 log x , dapat ditulis log x.
Pada tabel logaritma disajikan nilai-nilai logaritma untuk bilangan 1
sampai 10, dapat dilihat langsung nilai yang dimaksud.
Misalnya: log 1,03 = 0,0128 (lihat tabel )
log 2,04 = 0,3096
log 6,25 = 0,7959
Keterangan tabel :
1. kolom N memuat bilangan logaritma antara 1 sampai 10
2. Kolom 0 sampai 9 memuat mantis yaitu bagian desimal yang
menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan pokok 10
Contoh 1. log 1,03 = 0,0128
karakteristik mantis
karakteristiknya adalah 0, yaitu bilangan yang dilogaritmakan
terletak antara 1-10
24
mantisnya adalah 0128, yaitu bagian desimal hasil logaritma
dengan pokok 10
2. log 25,3 = 1,4031
karakteristiknya adalah 1, yaitu bilangan yang dilogaritmakan
terletak antara 1-100
mantisnya adalah 4031
2b. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan kalkulator.
Kalkulator yang kita butuhkan dalam menghitung nilai logaritma
adalah kalkulator yang mempunyai fasilitas log. Langkah-langkahnya
tergantung pada type kalkulatornya.
Coba anda sebutkan langkah-langkah dalam menentukan nilai
logaritma dengan kalkulator sesuai type kalkulator yang anda punya.
1. ...
2. ...
3. ...
4. ...
Latihan 2
1. Tentukan nilai logaritma berikut dengan menggunakan tabel.
a. log 7,75 b. log 5,58 c. log 8,66 d. log 3,49 e. log 9,17
f. log 20,5 g. log 75,2 h. log 62,9 i. Log 123 j. log 350
2.Tentukan nilai logaritma berikut dengan kalkulator.
a. log 1,79 b. log 4,57 c. log 8,65 d. log 12,6
e. log 80,1 f. log 325 g. log 675 h. log 930
25
II. MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN
Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Antara 0 dan 10 Dengan
Tabel.
Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma yaitu menentukan
bilangan bila diketahui nilai logaritmanya.
Contoh tentukan nilai x dari logaritma berikut :
1. log x = 0,2718
log x = 0,2718 maka x = antilog 0,2718
caranya dengan tabel logaritma ( lihat dan simak tabel log ) cari
bilangan 2718 dalam tabel log , yaitu terletak pada kolom 7,
kemudian telusuri ke kiri pada baris sampai kolom N , diperoleh
angka 1.8 maka bilangan tersebut adalah 1,87.
Jadi antilog 0,2718 = 1,87
2. log x = 0,3538
log x = 0,3538 maka x = antilog 0,3538
caranya dapat digunakan tabel antilog (lihat dan simak tabel antilog)
cari bilangan 0,35 ( pada tabel 35 ) pada kolom x tabel antilog.
Telusuri baris ke kanan sampai kolom 3, didapat angka 2254,
kemudian pada baris telusuri lagi ke kanan sampai kolom 8 (pada
kolom tambahan) kita dapatkan angka 4, selanjutnya angka pada
kolom 3 dan angka pada kolom 8 (kolom tambahan) dijumlahkan
sehingga 2254 + 4 = 2258.
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 0, maka bilangannya
terletak antara 1 sampai 10 .
Jadi antilog 0,3538 = 2,258
3. log x = 1, 2711 maka x = antilog …..
cari bilangan pada tabel (tabel antilog) . 27
telusuri baris ke kanan sampai kolom …. Didapat angka ….. ,
kemudian telusuri lagi pada baris(kolom tambahan) ke kanan sampai
kolom …. Didapat angka ….
26
Kemudian jumlahkan didapat ….. + …. = ……
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 1, maka bilangannya
terletak antara 10 sampai 100.
Jadi antilog 1,2711 = …..
Latihan 3
1. Gunakan tabel log untuk menentukan nilai x
a. log x = 0,6990 b.log x = 0,7520 c. log x = 0,8225
d. log x = 0,9350 e.log x = 1,2923 f. log x = 2,4099
2. Gunakan tabel antilog untuk menentukan nilai x
a. log x = 0,4065 b. log x = 0,4771 c. log x = 0,5670
d. log x = 0,3579 e. log x = 0,190 f. log x = 0,7615
3. Dengan menggunakan kalkulator hitung antilog bilangan berikut
a 0,190 b. 0,2711
c .0,3579 d. 0,76
27
LEMBAR KERJA SISWA 7
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Sifat-sifat logaritma dan penggunaan dalam
perhitungan aljabarKelas / Semester : X / Gasal Waktu : 3 x 45 menit___________________________________________________________
MATERI :
Sifat-sifat logaritma yang akan dipelajari banyak digunakan untuk
menentukan logaritma bilangan yang lebih dari 10 atau bilangan-bilangan
antara 0 sampai 10 serta penerapannya dalam hitungan aljabar.
Beberapa sifat-sifat logaritma
1. Sifat : alog b = b
Contoh : Sederhanakan logaritma berikut
a) 3 log 2 = 2 c) z log y = ...
b) 6 log 7 = ... d) 2 log 3 = ...
2. Sifat : jika a, b, c bilangan real positif dan a ≠ 1
Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 2
a) 2log 4 + 2log 16 = 2log 4.16 = 2log 64 = 6
b) 7log 7 + 7log 49 = 7 log (…x…) = 7log …. = …
c) log 5 + log 2 = log (…x…) = log … = ….
d) 3log 4 + 3log 2 = 3log( …x …) = 3log … = ….
3. Sifat : Jika a,b dan c bilangan real positif, a 1 maka
b alog = alog b - alog c c
Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 3
28
16a. 2log 16 - 2log 4 = 2 log = 2log 4 = 2
4
9b. 3log 9 - 3log 1/3 = 3log = 3log …. = …..
…
625c. 5log 625 - 5log 5 = 5log = ….. = …..
….
….d. log 100 - log 10 = log = log …. = …..
….
Latihan 1.
Sederhanakan dengan menggunakan sifat 1, 2 dan 3
1. 6 log 9
2. 2 log 5 + 3 log 7
3. 7 log 9 x 8 log 2
4. 5 log 7 – 6 log 3
5. log 2 + log 6 6. 2log 8 + 2log 32
7. 8 log 32 + 8log 16 + 8log 128
8. log 25 - log 32
9. 3log 7 ½ + 3log 5/6 + 3log (36/25)
10. log 16 + log 25 - log 4
11. 5log 20 + 5log 15 - 5log 12
12. 2log 144 + 2log 125 - 2log 15 - 2log 150
4. Sifat : jika b 0 , n bilangan rasional maka
29
alog bn = n . alog b
Contoh :
Sederhanakan dengan menggunakan sifat 4
a. 2log 53 = 3. 2log 5
b. log 100 = log 10… = … log 10 = … x 1 = …
c. 3 log 27 = 3log 3 … = …. 3log 3 = … x 1 = …
1 d. 1/2log 2–4 = 1/2log = 1/2 log (1/2)…. = ….x 1/2log ½ = … x …= ... 24
e. 5log 1/5 = 5log 5… = … x 5log … = …..
5. Sifat : Mengubah bilangan pokok logaritma
clog b alog b = jika a 0 , a 1 , c 0 , c 1
clog a
Pada kasus khusus jika c = b 1 alog b = blog a
Contoh : sederhanakan dengan menggunakan sifat 5
Log 5 0,699a. 2 log 5 = = = 2,322
log 2 0,301
log 23 3log 2 3(0,301)b. 3log 23 = = = = 1,893 log 3 0,477 0,477
log 125 log 5 … …log 5 c. jika 2log 5 = x maka 4log 125 = = =
log 4 log 2 … ….log2 …. …
30
(gunakan sifat 5) = 2log … = x …. …
6. Sifat : jika a>0, a1, b>0, b1, c>0
alog b . blog c = alog c
Contoh :
a. 3log7 . 7log 81 = 3log 81 = 3log 3 … = ……
b. xlog 5 . 5log y . ylog x = xlog …. = xlog x … = ….
c. 7log 1/5 . 5log 49 = 7log 5 … . 5log 49 = …. 7log 5 . 5log 49
( sifat … )
= … …log …..
= ……..
Latihan 2
sederhanakan dengan menggunakan sifat logaritma 4, 5, dan 6
log 811. log 9
2log 82. 2log 2
3. 343 log 49
4. 3log 18 - 1/2log 3
31
5. alog x . xlog b
6. alog (1/x) . xlog a
7. 1/5 log 7 . 5log 49
8. x log y2
xlog y
7. Sifat :
am log bm = a log b
Contoh :
jika 2log 3 = x , tentukan nilai logaritma di bawah dalam x.
1. 8log 27 = = 2log 3 = x
2. 4log 9 = 2``` log 3 … = …. = …..
3. ½ log 1/3 = log 3 … = ….. = ….
8. Sifat :
= m/n . a log b
Contoh :
nyatakan dalam 2 log 3 = a
1. 8log 9 = = 2/3 . 2log 3 = 2/3 a
2. 16 log 27 = = (….) 2 log 3 = …. a
3. ½ log 3 = = (….) 2log 3 = …. a
Penerapan logaritma dalam perhitungan-perhitungan
1. Penerapan logaritma untuk perkalian dan pembagian bilangan
32
Digunakan sifat logaritma
a. log (a x b ) = log a + log b
b. log ( a/b ) = log a - log b
Contoh :
1. hitung 38,3 x 82,97 = ….
misal a = 38,3 x 82,97
log a = log ( 38,3 x 82,97 )
= log 38,3 + log 82,97 (cari dalam tabel logaritma)
= ( ….. .....) + (... …….)
log a = …….
a = antilog …..
a = …… (cari dalam tabel antilogaritma)
2. hitung 2,714 : 19,83 = ….
misal a = 2,714 : 19,83
Log a = log (2,714 : 19,83)
= log 2,714 - log 19,83 ( cari dalam table logaritma)
= (……......) - ( …...…..)
log a = ………
a = antilog …….
a = ……….. (cari dalam table antilogaritma)
Latihan 3 A
Selesaikan bentuk perkalian dan pembagian bilangan dengan
menggunakan logaritma.
1. 6,74 x 2,95 4. 4,68 : 3,21
2. 0,236 x 0,042 5. 412,6 : 40,85
3. 8,65 x 94,37 6. 0,216 : 1,47
2. Penerapan logaritma untuk perpangkatan dan penarikan akar.
Gunakan sifat :
33
a. log ab = b . log a
b. log nab = log a b/n = b/n . log a
Contoh : Hitung nilai
3. ( 23,49 ) 3 = …..
Misal a = ( 23,49 ) 3
Log a = log ( 23,49 ) 3
= 3 . log 23,49
= 3 . ( ……..) ( cari dalam table log )
= ……….
a = antilog ……
= …… (cari dalam table antilog)
4. 465,7 = ….
Misal a = 465,7
log a = log 465,7
= log (465,7 )1/2
= ½ log 465,7
= ½ ( …… ) (cari dalam table log )
log a = ……….
a = antilog ……
a = ………. ( cari dalam table antilog )
Latihan 3B
Selesaikan bentuk perpangkatan dan penarikan akar dengan logaritma.
1. ( 3,18 )3 4. 17,35
2. ( 5,864 )5 5. 53
3. ( 0,875 )10 6. 0,8021
Selesaikan dengan menggunakan logaritma.
4230
34
1) 3,142 x 28
0,015 x 30,192) 20
35