Bab I Bilangan Real
-
Upload
azmi-rizki-lubis -
Category
Documents
-
view
61 -
download
11
Transcript of Bab I Bilangan Real
A. Bilangan Real1. Sistem Bilangan Real Bilangan atau angka adalah alat bantu untuk meng-hitung pada kehidupan sehari – hari. Oleh karena itupengetahuan tentang bilangan harus diketahui oleh setiap orang.
• Bilangan kompleks merupakan tingkatan bilangan yang paling tinggi. Bilangan ini terdiri dari bilangan khayal (imajiner) dan bilangan nyata (real).
• Himpunan bilangan real biasanya dilambangkan dengan R. Bilangan real dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik – titik sepanjang garis bilangan, dimana bilangan-bilangan inimengukur jarak kekanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yg disebut titik awal dan di beri label 0.
• Bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh bilangan irrasional adalah bilangan bentuk akar, , dan lain – lain.
• Himpunan bilangan rasional biasanya dilambangkan dengan huruf Q. Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.Misalnya: 6, ½, 7/9, dan sebagainya.
jawab: a. Misalnya 0,2 = 0,2222… = x 2,2222… = 10x 2+0,222… = 10x 2+x = 10x 2 = 9x x = 2/9
b.0,36= 36/99=4/1
• Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B, terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif.
• Bilangan prima adalah bilangan yg hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan yg memiliki faktor lebih dari dua.
2. Operasi pada Bilangan RealOperasi penjumlahan dan pengurangan Pada Bilangan RealSifat – sifat pada operasi penjumlahan bilangan real antara lain sebagai berikut. Untuk a, b, c € R.• Komutatif : a + b = b + a• Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)• Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0,
sehingga a + 0 = 0 + a = a.• Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah –a, sehingga a + (-a) = -a + a = 0.
Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilanganpecahan berlaku:• a/c + b/c = a+b/c atau a/c – b/c = a-b/c, dengan
a,b,c,d € B dan c ≠ 0.• a/b + c/d = ad + bc/bd atau a/b – c/d = ad-bc/bd,
dengan a,b,c,d € B dan b, d ≠ 0. Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pe-cahan – pecahan tersebut terlebih dahulu, yakni dgnmencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari pe-nyebut – penyebut tersebut.
Operasi perkalian dan pembagian pada bilangan realSifat – sifat pada operasi perkalian antara lain sebagai berikut.untuk a, b, c € R.• Komutatif : a · b = b · a• Asosiatif : (a · b) · c = a · (b · c)• Memiliki unsur identitas yaitu 1, sehingga a · 1 = 1 · a = a• Memiliki Invers perkalian
Untuk suatu a € R, a ≠ 0, a · 1/a = 1, dengan 1/a disebut invers perkalian dari a.
Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku:a · (-b) = -(ab) (-a) : b = -(a/b)a : (-b) = -(a/b) (-a) · (-b) = ab(-a) · b = -(ab) (-a) : (-b) = a/b
Untuk perkalian dan pembagian pada pecahan berla-ku:a/b · c/d = ac/bd a/b : c/d = ad/bc
Contoh:1. Tentukan invers perkalian dari: a. 4 b. 3/8 c. 7/9 Jawab:a. Invers perkalian dari 4 adalah ¼.b. Invers perkalian dari 3/8 adalah 8/3.c. Invers perkalian dari 7/9 adalah 9/7.
Selain sifat – sifat di atas, ada lagi sifat yg disebut sebagai sifatdistributif perkalian terhadap penjumlahan. Untuk a, b, c € R, a(b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bcPerhatikan contoh berikut:1. Hitunglah: A. 2(5 + 3) B. (12 – 3)4 jawab: A. 2(5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3 = 10 + 6 = 16 B. (12 – 3)4 = 12 · 4 – 3 · 4 = 48 – 12 = 36
a. Pangkat bulat positif dan negatif
1. an = a x a x a x ……………x a
Sebanyak n faktor
2. dengan a ≠ 0
B.BILANGAN BERPANGKAT
b. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat
dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
dengan a ≠ 0, b ≠ 0
a. Operasi perpangkatan
(1). a0 = 1, dengan a ≠ 0
(3). am x an= a m + n
(4). (am )n= a m x n
Menyelesaikan Operasi Pangkat Tak Sebenarnya
Contoh :
1. Sederhanakanlah masing-masing bentuk di bawah ini dan tuliskan hasilnya dalam bentuk pangkat positifa. x5 . X-1 b. (a2b3)-4 c.
Jawab : a. x5.x-1 = x5-1 = x4
b. (a2b3)-4 = (a2)-4 . (b -3)-4
= a-8 . b12
1. Sifat – sifat Perpangkatan dalam Bentuk Akar
Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku :
C.BENTUK AKAR
Mereduksi Induk Sebuah Akar Mereduksi Induk Sebuah Akar
Ingat :
Contoh 1.Contoh 1.
Sederhanakanlah :
Jawab.Jawab.
D.LOGARITMA
PENGERTIAN LOGARITMAPada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai arti bilanganberangkat, misalnyaa p =b , dan permasalahannya adalah mencaribilanganb jika a dan p diketahui. Sekarang akan dibahas mengenaipermasalahan menentukan bilangan p jika a danb diketahui.Permasalahan demikian yang merupakan permasalahan logaritma.Perhatikan definisi berikut ini. DEFINISI 1.6.1 :Untukb bilangan positif danb 1, arti dariB loga =x adalahb x =a
Berkaitan dengan pengertian logaritma pada definisi di atas, adabeberapa hal yang perlu diperhatikan.(a) Bilanganb
Disebut basis atau bilangan pokok logaritma, dan x disebut hasil logaritma.(b) Bilangan b dipilih positif. Jika b negatif dan dipangkatkan denganbilangan rasional, maka
tidak selalu menghasilkan bilangan real.(c) Karena b positif dan x real, nilai b x > 0. Karena a =b x , berarti a
Jugaharus positif.(d) Nilai b harus tidak sama dengan 1, sebab untuk sembarang x maka nilai 1 x
= 1.(e) Gantilah x pada ekspresi b x = a dengan b log a
Kita juga dapat mencari nilai log dari suatu bilangan dengan caramemfaktorkan bilangan tersebut menjadi
perkalian basis darilogaritmanya. Karena243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35, maka.c. Karena 0,25 = ¼ = 4-
1= 2-2, makaTidak semua logaritma dapat dicari hasilnya
dengan mudah seperticontoh di atas. Misalnya tidak dapat dicari menggunakan caraseperti di atas. Nilai
tersebut dapat dicari menggunakan tabel ataukalkulator. Selain itu, perhatikan bahSelain itu, perhatikan bahwa
karena b > 0, berapapun nilai x akan menghasilkan b x yang selalu positif. Dengan demikian logaritmaterdefinisi hanya untuk bilangan
positif
Dengan mengalikan dengan 22+0,3
diperoleh22+0,3+0,02
< 5 < 22+0,3+0,03
dan ini berarti = 2,32…. Untuk ketepatan tiga angka dibelakang koma, berarti 2,325.
SIFAT – SIFAT LOGARITMASebagaimana telah diuraikan pada subbab
sebelumnya, bahwa logaritmadapat diturunkan dari perpangkatan. Dengan pemahaman tersebut, sifat-
sifat perpangkatan dapat digunakan untuk mendapatkan sifat-sifatlogaritma seperti berikut ini.i.
Jika b > 0,b 1,p> 0 danp >0, maka. Jika b > 0,b 1,p > 0 dan> 0 danq >0, maka.
Jikab > 0,b 1,p > 0 dan q >0, makaiv. Jika b > 0,b 1,p real, dan q rasional,