Bab 8 Matematika
-
Upload
andika-pamungkas -
Category
Documents
-
view
237 -
download
0
Transcript of Bab 8 Matematika
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 1/14
BAB 8
SEGITIGA
A. PENGERTIAN SEGITIGA
Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus dan mempunyai
tiga titik sudut.
Gambar di samping merupakan segitiga
ABC yang dibatasi oleh garis AB = c,
BC = b, serta mempunyai titik sudut,
yaitu titik sudut A, B, dan C.
Sebuah segitiga biasanya dinotasikan dengan “ ∆ ”, sehingga segitiga ABC diatas
dapat ditulis menjadi ∆ABC.
umlah sudut!sudut suatu segitiga adalah "#$o. %ada ∆ABC diatas, ∠ A & ∠
B & ∠ C = "#$o atau ∠ p & ∠ ' & ∠ r = "#$o.
C
r
ba
' p
A Bc
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 2/14
B. JENIS-JENIS SEGITIGA
1. enis Segitiga (itinjau dari panjang sisi!sisinya
Apabila ditinjau dari panjang sisi!sisinya, segitiga dibedakan menjadi )
a. Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua buah sisinya sama panjang.
Gambar di samping merupakan segitiga
sama kaki, dengan dua sisi yang sama
panjang, yaitu AC = BC. *arena panjang
sisi AC = BC, maka ∠ CBA = ∠
ABC.
b. Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Segitiga ABC di samping adalah segitiga
sama sisi, karena ketiga sisinya sama
panjang, yaitu AB = BC = CA.
∠ CAB = ∠ ABC = ∠ BCA = +$o
c. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama
panjang.
Segitiga ABC di samping merupakan
segitiga sembarang, dengan ketiga
sisinya tidak sama panjang, yaitu AB ≠
BC ≠ CA
2. enis Segitiga (itinjau dari Sudut!sudutnya
(itinjau dari besar sudut!sudutnya, segitiga dibedakan menjadi )
a. Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip besarnya
kurang -$o
∠A,
∠B,
∠C merupakan sudut lancip.
b. Segitiga siku!siku
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 3/14
Segitiga siku!siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku!siku -$o
∠ A merupakan sudut siku!siku , sehingga
besar ∠ A = -$o.
c. Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul
besarnya lebih dari -$o dan kurang dari "#$o
∠ A merupakan sudut tumpul.
3. enis Segitiga (itinjau dari %anjang Sisi dan Besar Sudut
(itinjau dari panjang sisi dan besarnya sudutnya, segitiga dibedakan menjadi )
a. Segitiga siku!siku sama kaki
Besar ∠ B = ∠ C = /0o
b. Segitiga tumpul sama kaki
c. Segitiga lancip sama kaki
C
A B
C
A B
C
A B
A B
C
G 1
2
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 4/14
C. SIFAT-SIFAT SEGITIGA
1. Suatu segitiga dapat dilukis, bila jumlah panjang setiap dua sisi lebih dari
panjang sisi ketiganya.
a & b 3 c
a & c 3 b
a & c 3 a
2. Sudut terkecil
Sisi dihadapan sudut terkecil dari suatu segitiga merupakan sisi terpendek
pada segitiga itu.
%ada gambar diatas, ∠ y adalah sudut terkecil, maka sisi AC = b merupakan
sisi terpendek pada segitiga ABC.
3. Sudut terbesar
Sisi dihadapan sudut terbesar dari suatu segitiga merupakan sisi terpanjang
pada segitiga itu. %ada ∆ABC diatas, ∠ 4 adalah sudut terbesar, maka sisi
AB = c merupakan sisi terpanjang pada ∆ABC.
4. Si5at!si5at segitiga sama kaki
Sisi yang sama panjang yaitu AC dan BC
disebut kaki ∆ ABC dan sisi yang lain yaitu AB
disebut alas ∆ ABC .
Garis C( tegak lurus pada garis AB.
Si5at!si5at dari segitiga sama kaki adalah )
a. 6empunyai 7 buah sisi yang sama panjang AC = BC.
b. 6empunyai 7 buah sudut yang sama besar
∠ A = ∠ B atau ∠ CAB = ∠ ABC
c. 6empunyai sebuah simetri lipat dengan sumbu simetri garis C(, dan
tidak mempunyai simetri putar.
d. 6empunyai 7 cara untuk dipasngkan menempati bingkainya.
5. Si5at!si5at segitiga siku!siku
a. 6empunyai 7 buah sisi yang saling tegak
lurus, yaitu sisa CA tegak lurus AB.
b. 6empunyai sebuah sudut siku!siku, yaitu ∠
A = -$°.
C
8
a b
9 y
BA c
A B(
C
C
A B
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 5/14
c. :idak mempunyai simetri lipat dan simetri
putar.
6. Si5at!si5at segitiga sama sisi
a. 6empunyai ; buah sisi yang sama panjang
%< = < = %
b. 6empunyai ; buah sudut yang sama besar
∠ % = ∠ < = ∠ = +$°
c. 6empunyai ; buah simetri putar dan ; buah
simetri lipat dengan sumbu simetri yaitu
garis S, <:, dan %>.
d. 6empunyai + cara untuk dipasangkan
menempati bingkainya
% S <
: >
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 6/14
D. HUBUNGAN ANTARA SUDUT DALAM
• Sudut A", B" dan C" adalah sudut segitiga
• Sudut A7, B7 dan C7 adalah sudut luar
segitiga
• Sudut luar suatu segitiga adalah sudut
pelurus dari sudut dalam segitiga tersebut.
∠A7 adalah sudut pelurus dari ∠A", maka
∠A7 & ∠A" = "#$°
∠B7 adalah sudut pelurus dari ∠B", maka
∠B7 & ∠B" = "#$°
∠C7 adalah sudut pelurus dari ∠C", maka
∠C7 & ∠C" = "#$°
• Besarnya sudut luar dari salah satu sudut dalam suatu segitiga, sama dengan
jumlah dua sudut dalam lainnya.
∠A7 = ∠B" & ∠C"
∠B7 = ∠A" & ∠C"
∠C7 = ∠A" & ∠B"
C7
"
" 7
B
"7
A
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 7/14
E. KELILING DAN LUAS SEGITIGA
%erhatikan gambar segitiga di ba?ah in@
*eliling adalah jumlah panjang ketiga sisinya.
*eliling segitiga ABC = AB & BC & CA
uas segitiga adalah setengah dari hasil kali atas dengan tingginya.
uas segitiga ABC =7
" 9 alas 9 tinggi =
7
" 9 a 9 t
C
A a B
t
A a B
t
C
A Ba(
t
C
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 8/14
F. DALIL PYTHAGORAS
Gambar di samping merupakan segitiga
siku!siku ABC. Sisi AB dan AC disebut
sisi siku!siku, sedangkan sisi BC disebut
hipotenusa sisi miring
(alil %ythagoras
%ada segitiga siku!siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku!
sikunya.
(alil pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi
BC7 = AC7 & AB7 BC = ( ) ( ) 77ABAC +
dari rumus tersebut dapat diturunkan rumus!rumus berikut )
AB7 = BC7 ! AC7 AB = ( ) ( ) 77
AC!BC
AC7 = BC7 ! AB7 AB = ( ) ( ) 77AB!BC
turunan rumus tersebut digunakan untuk menghitung panjang sisi ∆ siku!siku
ABC jika panjang hipotenusa dan sisi yang lain diketahui.
1. T!"#$ P%&'()*(+
:ripel %ythagoras adalah tiga buah bilangan asli yang memenuhi sisi!sisi
segitiga siku!siku. 6isalkan segitiga siku!siku ABC seperti tampak pada
gambar di ba?ah ini.
Berdasarkan dalil %ythagoras, maka )
a7 = b7 & c7, dan triple pythagorasnya
adalah )
c b a
;
0
#
""
7$
/
"7
7/
"0
+$
7"
0
";
70
"
+"
7-
:riple ini berlaku pula untuk
kelipatannya.
C
A B
t
C
A B
b a
c
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 9/14
2. J#,!+ S#)!&!)( B#(+((, U/(, S!+!-S!+!,%(
• (alam segitiga ABC di samping, jika a7 = b7
& c7 maka sudut A adalah sudut siku!siku,
dan segitiga ABC adalah segitiga siku!siku.
• ika a7 3 b7 & c7, maka segitiga itu adalah
segitiga tumpul
• ika a7 b7 & c7, maka segitiga itu adalah
segitiga lancip
3. P#0(,!,)(, S!+!-S!+! P(( S#)!&!)( S!/-S!/ K'/+/+
a. %ada segitiga di samping, perbandingan sisi!sisinya adalah)
%ada segitiga disamping, perbandingan
sisi!sisinya adalah)
Contoh )
:entukan panjang sisi C> dan D>@
a?ab )
%erbandingan sisinya adalah )
sehingga diperoleh )CD
C>=
7
" dan
CD
D> =
7
;
#
C>=
7
"
#
D>
= 7
;
C> = / D> = ;7
#
= / ;
C
A B
ba
c
+$° +$°
7
;
+$°
# cm
D
>C
+$°
7
D
>C
;
"
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 10/14
adi panjang sisi C> adalah / cm dan panjang sisi D> adalah / ; cm.
b. %ada segitiga perbandingan sisi!sisinya adalah )
c. %ada segitiga perbandingan sisi!sisinya adalah )
4.
G. GARIS-GARIS PADA SEGITIGA
1. P#0(,!,)(,-"#0(,!,)(, T!)*,*#&!
:rigonometri berasal dari bahasa Eunani, yaitu trigonon yang berarti segitiga
dan metria yang berarti ukuran.
%ada segitiga siku!siku ABC di ba?ah, berlaku )
• Sinus sudut a° adalah perbandingan panjang
sisi siku!siku di hadapan sudut a° terhadap
panjang hipotenusa.
Atau ditulis )
sin a° =hipotenusa%anjang
asuduthadapandisiku!sikusisi%anjango
=AC
BC
+$;$°
+$;$°
;
+$7°+$"°
+$/
0°
+$°+$"
°+$/
0° +$"
°
C
AB BA
aB°
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 11/14
• *osinus sudut a° adalah perbandingan panjang sisi siku!siku di samping
sudut a° terhadap panjang hipotenusa.
Atau ditulis )
cos a° =hipotenusa%anjang
asudutsampingdisiku!sikusisi%anjango
=AC
AB
• :arget sudut a° adalah perbandingan panjang sisi siku!siku di hadapan
sudut a° terhadap panjang sisi siku!siku disamping sudut a°.
Atau ditulis )
tan a° = o
o
asudutsampingdisiku!sikusisi%anjang
asuduthadapandisiku!sikusisi%anjang
= AB
BC
Contoh )
Segitiga siku!siku ABC dengan panjang
AB = 0 dan BC = ";. :entukan )
a. sin ∠B
b. cos ∠B
c. tan ∠B
a?ab )
(engan menggunakan dalil pythagoras, maka )
AC = ( ) ( ) 77
AB!BC = 770!"; = 70"+-− = "// = "7
a. sin ∠B =BC
AC =";
"7
b. cos ∠B =BC
AB =";
0
c. tab ∠B =AB
AC =
0
"7
apabila diperhatikan, terdapat hubungan antara sin, cos dan tan yaitu )
tan a° =o
o
acos
asin
>ntuk sudut!sudut istime?a seperti $°, ;$°, /0°, +$° dan -$°, nilai
perbandingan dapat dengan tepat ditentukan.
%erhatikan tabel di ba?ah ini@
C
AB BA0B
";
B
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 12/14
Sudut $° ;$° /0° +$° -$°
Sin $
7
"7
7
";
7
" "
Cos ";
7
"7
7
"
7
" $
:an $;
;
" " ; !
2. P*%#+! S!+!-+!+! S/(&/ S#)!&!)(
%erhatikan segitiga di ba?ah ini@
C( tegak lurus pada garis AB
Garis A( adalah proyeksi garis AC padagaris AB. Sedangkan garis B( adalah
proyeksi garis BC terhadap garis BA.
>ntuk menentukan panjang proyeksi garis AC pada garis AB atau panjang
garis A(, perhatikan ∆ A(C.
cos α = b
A( A( = b cos α
%anjang proyeksi garis BC pada garis BA atau panjang garis B( adalah )
cos β =a
B( B( = a cos β
3. G(!+ T!,))!
Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga
tegak lurus dengan sisi di hadapannya.
Garis A(, garis CF dan garis B disebut garis
tinggi. *etiga garis tinggi tersebut berpotongan
pada satu titik, yang disebut titik tinggi titik H
>ntuk menentukan panjang garis tinggi, perhatikan segitiga ABC di ba?ah
ini@
Garis C( merupakan garis tinggi segitiga ABC.
%anjang garis C( = b sin α = a sin β
4. G(!+ B()!
Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga
dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar.
Garis %S, <: dan > disebut garis bagi.
α β
(
C
b a
A B
H
(
C
FA B
a
C
(A B
b
c
βα
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 13/14
*etiga garis bagi tersebut berpotongan pada
sebuah titik, yang disebut titik pusat lingkaran
dalam titik H
5. G(!+ B#(&
Garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga
yang dihubungkan dengan sisi dihadapannya.
Garis A(, B dan CF disebut garis berat.
*etiga garis berat tersebut berpotongan pada
sebuah titik, yang disebut titik berat titik H.
:itik berat membagi tiap garis berat dengan
perbandingan 7 ) ".
%anjang garis berat!garis berat segitiga ABC dirumuskan sebagai berikut )
6isalkan a = BC, b = AC, dab C = AB
A( = ( ) 777777a!c b7
7
" a
/
" !c
7
" b
7
"+=+
B = ( )777777
b!ca77
"
b/
"
!c7
"
a7
"
+=+
CF = ( ) 777777c! ba7
7
" c
/
" ! b
7
" a
7
"+=+
6. G(!+ S/0/
Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik tengah sisi
segitiga dan tegak lurus dengan sisi itu.
Garis (, FG dan 12 disebut garis
sumbu.*etiga garis sumbu tersebut berpotongan
pada sebuah titik, yang disebut titik
pusat lingkaran luar titik .
H. SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN
1. S%((& D/( S#)!&!)( S#0(,)/,
(ua buah segitiga disebut sebangun jika )
a. Sisi!sisi yang bersesuaian sebanding.
b. Sudut!sudut yang bersesuaia sama besar.
∠A = ∠%
S
<>%
:
H
C
(
BFA
H
C
1
B(A
F
H
G
C
7/23/2019 Bab 8 Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 14/14
∠C = ∠ ∆ ABC dan ∆ %<
∠B = ∠< sebangun
<=
BC
%=
AC
%<
AB==
2. S!(& D/( S#)!&!)( S#0(,)/,
a.n
m
dc
c
ba
adan
d
b
b
a=
+=
+=
b. a7 = cp
b7
= c' t7 = p'
A B % <
m
n
c
d b
a
c
'
p
at
b