Bab 6 Elemen Portal Bidang
-
Upload
alvin-hogan -
Category
Documents
-
view
31 -
download
4
description
Transcript of Bab 6 Elemen Portal Bidang
140
Bab VI :
Elemen Portal Bidang
6.1 Umum
Portal bidang didifinisikan dimana gaya batang yang terjadi adalah gaya Normal, Lintang dan
momen.
Elemen Portal Bidang (plane frame element) adalah gabungan antara elemen rangka bidang
dengan elemen balok yang sudah dihitung pada bab sebelumnya yakni pada bab IV dan bab
V. Seperti pada bab sebelumnya gaya yang bekerja pada elemen rangka bidang adalah
seperti gambar 6.1, dimana gaya batang ada dua.
Sedangkan pada elemen balok gaya yang bekerja adalah:
Selanjutnya pada gambar 6.2 adalah elemen balok dimana gaya batang ada empat
Besaran gaya masing-masing sebesar
Elemen portal bidang adalah penjumlahan dari kedua elemen yakni elemen rangka bidang
dan elemen balok seperti yang dapat dilihat di Gambar 6.3, dimana pada elemen portal
bidang terdapat Momen, Gaya Lintang dan Normal dengan jumlah dof setiap elemen ada
enam.
Sx1 Sx2
Sy1 Sy2
MZ1 MZ2
Gambar 6.1: Elemen rangka bidang
Gambar 6.2: Elemen Balok
141
6.2 Matriks kekakuan
Dalam menentukan matriks kekakuan elemen portal bidang adalah penjumlahan dari elemen
rangka bidang dari bab 3 persamaan (3.3), (3.4) dan elemen balok dari bab 5 persamaan
(5.18), (5.20), (5.21) dan (5.23) , dimana gaya batangnya adalah sbb:
222111211 .0.0.0.0 vu
L
EAvu
L
EAuu
L
EASx
222312132122131
612612)(
126
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEISy
222212212121
2646)2(
1)(
32
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEIM Z
222111212 .0.0.0.0 vuL
EAvu
L
EAuu
L
EASx
222312132122132
612612)(
126
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEISy
222112212122
4626)
426
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
L
EI
L
EIvv
L
EIM Z
Dengan demikian maka dengan cara matriks dapat dituliksan sbb:
Mz2
Sx2
Sy2
Z
Sy1
Sx1
Mz1
EA, Iz
L
y
x
Gambar 6.3 : Elemen portal bidang
142
2
2
2
1
1
1
22
22
22
22
3
2
2
2
1
1
1
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
v
u
v
u
LLLL
LL
I
AL
I
ALLLLL
LL
I
AL
I
AL
L
EI
M
S
S
M
S
S
ZZ
ZZ
Z
z
y
x
z
y
X
(6,1)
atau
dKf (6.2)
Dimana matriks kekakuan elemen portal bidang (portal bidang) K adalah
22
22
22
22
3
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
I
AL
I
ALLLLL
LL
I
AL
I
AL
L
EIK
ZZ
ZZ
Z
(6.3)
dan gaya adalah
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
X
M
S
S
M
S
S
f
(6.4)
Sedangkan perpindahan adalah
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
d
(6.5)
143
6.3 Transformasi pada system koordinat
Transformasi koordinat dilakukan dari sumbu lokal (X,Y) ke sumbu global π ,π dengan
sudut sebesar πΌπ seperti gambar 6.4. Yang ditransformasikan adalah titik 2 terlebih dahulu
yakni ππ₯2,ππ¦2 πππ ππ§2 dari sumbu (X,Y) ke sumbu π ,π .
Gambar 6.4: a) Transformasi koordinat pada elemen portal bidang b) Transformasi Gaya
terhadap sumbu global
Pada gambar 6.4 a) diperhatikan titik simpul 2, dimana ππ₯2, ππ¦2 πππ ππ§2 ditransformasikan
kearah sb (π ,π ) maka dihasilkan sebagai berikut
sin.cos, 222 SySxSx
(6.6)
cocSySySy .sin, 222
(6.7)
22 MzMz
(6.8)
Secara matriks ditulis
π 2 =
π π₯2
π π¦2
π π§2
= cosπΌ β π πππΌ 0π πππΌ πππ πΌ 0
0 0 1
ππ₯2
ππ¦2
ππ§2
(6.9)
Persamaan (6.9) dapat ditulis menjadi
π 2 = π π2 (6.10)
Dimana
Mz2
Sy2
Sx2
Y
X
Y X
SY2 . sin Ξ±
Ξ±
Z
Ξ±
SX2 . cos Ξ±
SX2 . sin Ξ±
SY2 . cos Ξ±
SY2
Sx2 Mz2
2
1 2 b) a)
144
π = cosπΌ β sin πΌ 0sin πΌ
0
cosπΌ0
01 (6.11)
Persamaan (6.11) disebut matriks transformasi.
π 2 =
π π₯2
π π¦2
π π§2
(6.12)
Sedangkan persamaan (6.12) dinamakan matriks gaya terhadap sumbu global
π2 =
ππ₯2
ππ¦2
ππ§2
(6.13)
Kemudian persamaan (6.13) disebut matriks gaya terhadap sumbu lokal.
Pada titik simpul 1 berlaku juga berlaku juga seperti simpul 2 maka untuk satu elemen
berlaku :
π = π π (6.14)
dimana π = π 00 π
Matriks transformasi dari persamaan (6.11) dan (6.14) untuk elemen portal bidang adalah
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
(6.15)
Untuk perpindahan (displacement vector) berlaku juga :
{d} = [T] {d} (6.16)
Dan dari persamaan (6.14) didapat
_1
fTf (6.17)
Dari persamaan (6.16) didapat
_1
dTd
(6.18)
Persamaan (6.17) dan persamaan (6.18) dimasukkan ke persamaan ke (6.2) menjadi
dTKfTe
1_
1
145
dTKTf
1_
dKf__
dimana : 1_
TKTK
\ (6.19)
Selanjutnya pada persamaan (6.19) π adalah matriks Transformasi seperti pada persamaan
(6.15), sedangkan πΎ adalah matriks kekakuan seperti pada persamaan (6.3). Kemudian
TTT 1
karena [T] matriks Orthogonal.
Dengan cosΞ± = c dan sinΞ± = s, maka persamaan (6.15) menjadi
(6.20)
Dari persamaan (6.3) dengan memasukkan ZI
ALk
2
maka didapat
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
TT
146
22
22
3
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EIK Z
Persamaan ke (6.20) dikali persamaan (6.21) menjadi
100000
0000
0000
000100
0000
0000
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
22
3
cs
sc
cs
sc
x
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EITK ZT
Dari perkalian kedua matriks didapat
πΎ π π =πΈπΌπ§
πΏ3
ππ ππ β12π 12π
0 βππ6πΏ 12 π
βππ 0β12 π 6πΏ
β6ππ 6πΏπβππ βππ
4πΏ2 6πΏπ 0 ππ
β6πΏπ 2πΏ2
ππ 012π β12πβ6πΏπ 6πΏπ
β6πΏ β12π2πΏ2 6πΏπ
12π β6πΏβ6πΏπ 4πΏ2
(6.22)
Dengan mengalikan matriks
π πΎ π π =πΈπΌπ§πΏ3
π βπ π π
0 00 0
0 00 0
0 00 0
1 00 π
0 0βπ 0
0 00 0
0 π 0 0
π 00 1
ππ ππ β12π 12π
0 βππ6πΏ 12 π
βππ 0β12 π 6πΏ
β6ππ 6πΏπβππ βππ
4πΏ2 6πΏπ 0 ππ
β6πΏπ 2πΏ2
ππ 012π β12πβ6πΏπ 6πΏπ
β6πΏ β12π2πΏ2 6πΏπ
12π β6πΏβ6πΏπ 4πΏ2
(6.23)
maka persamaan didapat
(6.21)
147
22
2222
2222
22
222
2222
3
_
466266
612)12(612)12(
6)12(126)12(12
266466
612)12(6)12()12(
6)12(126)12(12
LLcLsLLcLs
LcckscskLcckscsk
LscskskcLscskskc
LLcLsLLcLs
LcckscskLcckscsk
LscskskcLscskskc
L
EIK Z
(6.24)
Persamaan (6.24) adalah matriks kekakuan elemen portal bidang, dimana
sin,cos sc dan
ZI
ALk
2
(6.24a)
Jika Ξ± = 0, maka matriks kekakuannya menjadi
22
22
3
_
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EIK Z
(6.25)
6.4 Kompatibilitas, keseimbangan dan penentuan dari matriks kekakuan.
Diketahui konstruksi elemen portal bidang seperti gambar 6.5. dan yang akan dihitung adalah
untuk mencari matriks kekakuan dari konstruksi tsb, dimana ada enam simpul 1 sd 6 dan ada
elemen a s/d f. Perletakan pada simpul 1 adalah jepit dan simpul 6 sendi.
1
2
3 4
5
6
a
b
c
e
f
d
F M
Z
Y
X
Gambar 6.5: contoh elemen
portal bidang
148
Pada gambar 6.5, setiap elemen dibuat suatu ketentuan dimana setiap elemen mempunyai
simpul awal dengan nomor simpul 1 dan simpul akhir dengan nomor 2. Dengan demikian
untuk seluruh elemen a s/d f dibuat mana yang awal dengan nomor simpul satu dan mana
yang akhir dengan nomor simpul dua dan dirincikan di tabel 6.1.
Tabel 6.1: Elemen awal dan akhir
Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)
a 1 2
b 2 3
c 3 4
d 2 5
e 5 4
f 6 5
Matriks elemen a, b, e dan f adalah [Ka], [Kb], [Kc], [Kf] sesuai dengan persamaan (6.24)
dengan besar sudut transformasi sebesar a = b = e = f = 900 . Sedangkan pada elemen c
dan kekakuannya adalah [Kc], [Kd] dan sudut transformasinya adalah c = d = 0.
Untuk system koordinat global (π ,π ) untuk setiap elemen a s/d f berlaku :
{f} = [K] {d} (6.26)
Untuk titik awal/pangkal dari persamaan ini besarnya adalah
π 1 = π 11 . π 1 + π 12 . π 2 (6.26.a)
dan untuk titik akhir/ujung
π 2 = π 21 .π 1 + π 22 .π 2 (6.26.b)
Pada portal gambar 6.5 berlaku syarat kompabilitas, dimana artinya walaupun dibagi dengan
beberapa elemen, besar perpindahan masing-masing elemen adalah sama. Untuk menjamin
kompatibilitas maka harus ditetapkan seperti dibawah ini
{da1} = {d1}
{da2} = {db1} = {dd1} = {d2}
{db2} = {dc1} = {d3} (6.27)
{dc2} = {de2} = {d4}
{dd2} = {de1} = {df2} = {d5}
{df1} = {d6}
f1
f2 =
K11
K21
K12
K22
d1
d2 =
149
Pada titik simpul i berlaku :
ππ =
πΉπ₯πΉπ¦ππ§
(6.28)
Adapun definisi arah positif dari gaya-gaya dalam seperti yang dijelaskan pada gambar 6.6
Gambar 6.6: arah Gaya dalam positif dalam elemen portal bidang elemen
Sebagai contoh titik simpul 3 pada Gambar 6.5
π 3 = πΉ00 (6.29)
Selanjutnya untuk menghitung matriks kekakuan struktur maka dihitung berdasarkan
persamaan sbb:
{f1} = {fa1}
{f2} = {fa2} + {fb1} + {fd1}
{f3} = {fb2} + {fc1} (6.30)
{f4} = {fc2} + {fe2}
{f5} = {fd2} + {fe1} + {ff2}
{f6} = {ff1}
Selanjutnya dari persamaan (6.26a) dan (6.26b) dimasukkan kepersamaan (6.30) dihasilkan
{f3}
Gaya luar
{fc1}
Gaya dalam
Gaya dalam
{fb2}
c
b
150
{f1} = [Ka11] {d1} + [Ka12] {d2}
{f2} = [Ka21] {d1} + [Ka22] {d2} + [Kb11] {d2} + [Kb12] {d3} + [Kd11] {d2}
+ [Kd12] {d5}
{f3} = [Kb21] {d2} + [Kb22] {d3} + [Kc11] {d3} + [Kc12] {d4} (6.31)
{f4} = [Kc21] {d3} + [Kc22] {d4} + [Ke21] {d5} + [Ke22] {d4}
{f5} = [Kd21] {d2} + [Kd22] {d5} + [Ke11] {d5} + [Ke12] {d4} + [Ke21] {d5}
+ [Kf22] {d6}
{f6} = [Kf11] {d5} + [Kf12] {f6}
Persamaan ini dapat ditulis dengan matriks
π 1π 2π 3π 4π 5π 6
=
π π11 π π12
π π21 π π22 + π π11 + π π11
0 0π π12 0
0 0 π π12 0
0 π π21 0 0
π π22 + π π11 π π12
π π12 π π22 + π π22
0 0 π π21 0
0 π π12 0 0
0 π π12
0 0
π π22 + π π11 + π π21 π π22
π π11 π π12
π 1π 2π 3π 4π 5π 6
(6.32)
Persamaan ini dapat ditulis menjadi
π = πΎ π (6.33)
dimana :
π =
π 1π 2π 3π 4π 5π 6
(6.34)
πΎ =
π π11 π π12
π π21 π π22 + π π11 + π π11
0 0π π12 0
0 0
π π12 0
0 π π21 0 0
π π22 + π π11 π π12
π π12 π π22 + π π22
0 0 π π21 0
0 π π12 0 0
0 π π12
0 0
π π22 + π π11 + π π21 π π22
π π11 π π12
(6.35)
dan
151
π =
π 1π 2π 3π 4π 5π 6
(6.36)
Pada persamaan (6.32) berlaku syarat batas boundary condition dimana pada titik simpul 1
π 1 = 000 (6.37)
dan pada titik simpul 6 berlaku
π 6 = 00π6
(6.38)
Demikian juga pada persamaan (6,32) besar Gaya luar pada simpul 2 dan 5 adalah
π 2 = π 5 = 000 (6.39)
Sedangkan pada simpul 3 adalah
π 3 = 000 (6.40)
Pada simpul 4
\ π 4 = 00π (6.41)
Sedangkan pada simpul 6 berlaku
π 6 = π π₯6
π π¦6
0
(6.42)
dimana S6x dan S6y (reaksi pada perletakan di simpul 6) masih belum diketahui. Demikian
juga reaksi pada titik simpul 1 belum diketahui
π 1 = π1π₯
π1π
π1
(6.43)
Dari persamaan (6.32) terdapat 18 buah tidak diketahui diantaranya 13 displacement yakni
perpindahan π’2, π£2, π2, π’3, π£3,π3 , π’4, π£4,π4 , π’5, π£5, π5, dan π6. Selanjutnya 5 gaya dalam
yang belum diketahui (1,2,3,4 dan 5) lihat gambar 6.7.
;
152
Gambar 6.7: 13 displacement dan 5 gaya dalam yang belum diketahui
Dengan demikian matriks (6.32) adalah matriks 18 x 18. Matriks tersebut akan dapat
dijadikan suatu matriks 13 x 13, yang dengan kondisi batas (persamaan 6.37 dan 6.38) baris
ke 1, 2, 3, 16 dan 17 dapat dihilangkan. Selanjutnya dengan matriks Invers didapat
π = πΎ β1 π (6.44)
persamaan dapat diselesaikan, dan 13 displacement dapat diketahui.
Setelah itu maka displacement dimasukkan ke persamaan (6.32) maka 5 gaya dalam dapat
diketahui/dihitung.
6.5. Transformasi koordinat global ke lokal
Dari koordinat global ke lokal diperlukan transformasi, dimana nanti kegunaannya adalah
untuk menghitung gaya batang.
π = π π (6.45)
Dimana
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
d (6.46)
u3
v3
π3
u2
v2
π2
u4
v4
π4
u5
v5
π5
1
2
3 4
5
6
π6
5
1
2 3
4
153
displacement terhadap sumbu lokal
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
(6.47)
adalah matriks transformasi untuk displacement.
2
2
2
1
1
1
_
v
u
v
u
d (6.48)
displacement terhadap sumbu global.
6.6 Aplikasi Elemen Portal bidang
Pada aplikasi elemen portal bidang dapat pada gambar 6.8 dimana ada sebuah gaya
horizontal H. Yang akan dihitung adalah perpindahan yang terjadi, Reaksi pada perletakan,
gaya dalam yang terjadi dan gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.
h = 4 m
L = 4
m
H = 25000 N
a
b
c
1
2
3
4
Gambar 6.8: Aplikasi elemen portal bidang dengan gaya H
154
Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4, E=210.000 N/mm2, A= 78,1 cm2
Dikerjakan dengan program M-Exell. Berat sendiri diabaikan dalam perhitungan.
Tahap I: dihitung kekakuan individual elemen a, b dan c dimana diambil dari persamaan (6.3)
Matriks kekakuan individual ka=kb=kc besarnya dihitung dengan program M-Exell adalah
410,025.00 - -
(410,025.00) -
-
- 2,244.38 4,488,750.00
- (2,244.38)
4,488,750.00
- 4,488,750.00 11,970,000,000.00
- (4,488,750.00)
5,985,000,000.00
(410,025.00) - -
410,025.00 -
-
- (2,244.38) (4,488,750.00)
- 2,244.38
(4,488,750.00)
- 4,488,750.00 5,985,000,000.00
- (4,488,750.00)
11,970,000,000.00
Tahap II : Menghitung kekakuan terhadap sumbu Global diambil dari persamaan (6.24)
Pada Elemen a Matriks kekakuan terhadap sumbu global πΎ π dengan sudut Ξ± = 90o, dan
dihitung dengan M-Exell didapat
EIz/L2 k cos sin L
187.03
2,192.28 0.00 1.00 4000
Dan matriks kekakuan πΎ π besarnya adalah:
2,244.38 0.00
(4,488,750.00)
(2,244.38) 0.00
(4,488,750.00)
0.00 410,025.00
0.00 0.00
(410,025.00)
0.00
(4,488,750.00)
0.00
11,970,000,000.00
4,488,750.00
(0.00)
5,985,000,000.00
(2,244.38) 0.00
4,488,750.00
2,244.38 0.00
4,488,750.00
0.00 (410,025.00)
(0.00) 0.00
410,025.00
(0.00)
(4,488,750.00)
0.00
5,985,000,000.00
4,488,750.00
(0.00)
11,970,000,000.00
155
Elemen b πΎ π dengan sudut Ξ± = 0o
410,025.00
-
-
(410,025.00)
-
-
-
2,244.38
4,488,750.00
-
(2,244.38)
4,488,750.00
-
4,488,750.00
11,970,000,000.00
-
(4,488,750.00)
5,985,000,000.00
(410,025.00)
-
-
410,025.00
-
-
-
(2,244.38)
(4,488,750.00)
-
2,244.38
(4,488,750.00)
-
4,488,750.00
5,985,000,000.00
-
(4,488,750.00)
11,970,000,000.00
Elemen c dengan sudut Ξ± = 270o
Eiz/L2 K cos sin L
187.03 2192.28 0.00 -1.00 4000
Maka kekakuan π π adalah
Tahap III: Menghitung kekakuan struktur
Matriks kekakuan struktur didapat setelah prinsip kompatibilitas dengan masing-masing gaya
batang pada simpul sbb:
f1 = ka11. d1 + ka12.d2
f2 = ka21. d1 + ka22.d2 + kb11.d2 + kb12.d3
f3 = kb21.d2 + kb22.d3 + kc11.d3 + kc12. d4
f4 = kc21.d3 + kc22.d4
Selanjutnya dibuat dalam bentuk matriks
2,244.38 0.00
4,488,750.00
(2,244.38) 0.00
4,488,750.00
0.00
410,025.00
(0.00) 0.00
(410,025.00)
(0.00)
4,488,750.00
(0.00)
11,970,000,000.00
(4,488,750.00)
0.00
5,985,000,000.00
(2,244.38) 0.00
(4,488,750.00)
2,244.38 0.00
(4,488,750.00)
0.00
(410,025.00)
0.00 0.00
410,025.00
0.00
4,488,750.00
(0.00)
5,985,000,000.00
(4,488,750.00)
0.00
11,970,000,000.00
156
π1
π2
π3
π4
=
ππ11
ππ21
ππ12
ππ22 + ππ11
0ππ12
00
00
ππ21
0
ππ22 + ππ11
ππ21
ππ12
ππ22
π1
π2
π3
π4
Dengan boundary condition dimana pada simpul 1 dan 4 perpindahan sama dengan nol
π1 =
π’1
π£1
π1
= 000 dan π6 =
π’6
π£6
π6
= 000
Dan dengan demikian matriks kekakuan πΎ adalah sbb;
412,269.38 0.00 4,488,750.00 (410,025.00) - -
0.00 412,269.38 4,488,750.00 - (2,244.38) 4,488,750.00
4,488,750.00 4,488,750.00 23,940,000,000.00 - (4,488,750.00) 5,985,000,000.00
(410,025.00) - - 412,269.38 0.00 4,488,750.00
- (2,244.38) (4,488,750.00) 0.00 412,269.38 (4,488,750.00)
- 4,488,750.00 5,985,000,000.00 4,488,750.00 (4,488,750.00) 23,940,000,000.00
Tahap IV: menghitung displacement
Dari persamaan 6.44
π = πΎ β1 π
Sedangkan πΎ β1 adalah:
0.000319759 1.0436E-06 -4.83379E-08 0.000318542 -1.0436E-06 -4.80334E-08
1.0436E-06 2.43697E-06 -5.218E-10 1.0436E-06 1.90414E-09 -5.218E-10
-4.83379E-08 -5.218E-10 5.19783E-11 -4.80334E-08 5.218E-10 -3.79263E-12
0.000318542 1.0436E-06 -4.80334E-08 0.000319759 -1.0436E-06 -4.83379E-08
-1.0436E-06 1.90414E-09 5.218E-10 -1.0436E-06 2.43697E-06 5.218E-10
-4.80334E-08 -5.218E-10 -3.79263E-12 -4.83379E-08 5.218E-10 5.19783E-11
157
dan besar π adalah
π = π2
π3 =
25.00000000
Maka displacement π didapat dari perkalian matriks M-Exell adalah
u2 7.993984 mm
v2 0.026090 mm
C2 -0.001208 Rad
u3 7.963540 mm
V3 -0.026090 mm
c3 -0.001201 Rad
Gambar displacement ada pada gambar 6.9
Gambar 6.9 : Displacement dan Reaksi
u3 =7,96 mm u2= 7.99 mm
v2=0.026 mm v3 = - 0.026 mm
V1 = 10.697,6 N
V4 = 10.697,6 N
H1=12.517,1 N
H4=12.482,9 N
M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm
158
Tahap V: menghitung reaksi
Gaya luar yang ada berikut dengan gaya di perletakan adalah
π1
π2
π3
π4
=
π»1
π1
π1
2500000000π»4
π4
π4
Pada matriks ini yang belum diketahui adalah reaksi pada simpul 1 yakni
π1 = π»1
π1
π1
dan pada titik simpul 4 adalah
π1 = π»1
π1
π1
Untuk mendapatkan reaksi tersebut maka dilakukan perkalian matrik kekakuan struktur dan
dispalcement. Dari perkalian dengan menggunakan M-Exell diperoleh
H1
(12,517.1)
V1
(10,697.6)
M1
28,650,441.3
25,000.0
0.0
0.0
0.0
(0.0)
0.0
H4
(12,482.9)
V4
10,697.6
M4
28,559,336.7
159
Besaran Reaksi pada simpul 1 dan 4 dapat dilihat di gambar 6.9 diatas. Dari hasil reaksi ini
coba dibuat interpretasi hasil, yakni syarat keseimbangan kearah horizontal π» = 0 , kearah
vertikal π = 0 dan π = 0 baik titik simpual 1 dan simpul 2.
Dalam keseimbangan kearah horizontal H1 + H4 + 25000 = 0 dan kelihatan memenuhi
syarat, demikian juga kearah vertikal V1 + V4 = 0 juga memenuhi syarat.Terakhir dicek
Momen kearah titik 4, π4 = 0 maka 10.697,6*4000 - 25.000*4000 +28.650.441.3
+28.559.336.7 = 0.
Dengan demikian maka perhitungan dianggap sudah benar dan memenuhi syarat
keseimbangan.
Tahap VI: menghitung gaya batang
Dalam menghitung gaya batang diambil dari persamaan (6.45)
{d} = [T] {π }
Elemen a: sudut πΌ = 900, maka dengan matriks transformasi
Sedangkan displacement terhadap sumbu global
π π =
000
7,99400,0261β0,0012
Maka displacement terhadap sb lokal adalah
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
_
2
2
2
1
1
1
daT
v
u
v
u
da
160
Displacement pada batang a dihasilkan ππ
u1 0
v1 0
c1 0
u2 0.026090008
v2 -7.99398394
c2 -0.001208447
Dengan demikian maka gaya batang pada elemen a adalah
daKa
M
S
S
M
S
Sx
fa
Z
Y
X
Z
Y
2
2
2
1
1
1
Besar ππ adalah
Sx1
(10,698)
Sy1
12,517
Mz1
28,650,441
Sx2
10,698
Sy2
(12,517)
`Mz2
21,417,887
Gaya batang pada batang a digambar pada Gambar 6.10, dimana Momen pada gambar6.10
a, Gaya Lintang pada gambar 6.10 b dan Normal pada Gambar 6.10 c .
161
Selanjutnya perhitungan gaya dalam elemen b, dimana displacement π π = ππ adalah
Kemudian gaya batang ππ diperoleh dari
bb
Z
Y
X
Z
Y
dK
M
S
S
M
S
Sx
fb
2
2
2
1
1
1
u1
7.9940
v2 0.026090008
c1 -0.001208447
u2 7.963539655
v2 -0.026090008
c2 -0.001200836
Mz2 = -21,372,334.86 Nmm
Mz1: -21,417,887.12 Nmm
Sy1= 12.517 N
x
Sy2= - 12.517 N
Sy1= - 10.698 N
Sx2= 10.698 N
y
2
a) b)
Gambar 6.10: Gaya dalam pada elemen a . Pada a) Momen, b) Gaya Lintang dan c)Normal.
c)
162
Besar gaya dalam ππ adalah
Sx1
12,482.92
Sy1
(10,697.56)
Mz1
(21,417,887.12)
Sx2
(12,482.92)
Sy2
10,697.56
Mz2
(21,372,334.86)
Gaya dalam elemen b dapat dilihat di gambar 6.11
Gambar 6.11: Gaya batang elemen b
Selanjutnya perhitungan Elemen c, dimana
{dc} = [T] {ππ }
Mz1= -21,417.887 Nmm Mz2= -21.372.334,86 Nmm
Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N
Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N
x y
163
Elemen c Ξ±=270 o
Sedangkan π π adalah
7.963539655
(0.026090008)
(0.001200836)
-
-
-
Dengan perkalian {dc} = [T] {ππ } maka didapat ππ sebesar
u1 0.026090008
v1 7.963539655
c1 -0.001200836
u2 0
v2 0
c3 0
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
164
Gaya dalam batang c adalah ππ = ππ . ππ dan didapat dengan M-Exell
Sx1
10,697.555
Sy1
12,482.918
Mz1
21,372,334.863
Sx2
(10,697.555)
Sy2
(12,482.918)
Mz2
28,559,336.745
Gaya batang ππ dapat dilihat di gambar 6.12.
Tahap VII: menggambarkan Bidang Momen, Lintang dan Normal
Dalam menggambarkan bidang momen, lintang dan normal diperhatikan hasil gaya batang
pada gambar 6.9, gambar 6.10 dan gambar 6.11. Maka bidang momen dapat dilihat di gambar
6.12. Selanjutnya gambar bidang Lintang dapat dilihat digambar 6.13 dan gambar bidang
Normal dapat dilihat digambar 6.14.
Mz1= 21,372,334.863 Nmm
Mz2: 28,559,336.745 Ncm
Sy1= - 12,482.918 N
x
Sy1= 12,482.918. N
Sx2= - 10,697.555 N
Sx1= 10,697.555 N
y 1
2
Gambar 6.11: gaya batang fc
165
Mz2: 28,559,336.745 Ncm
Mz1= 21,372,334.863 Nmm
Mz2= 21.372.334,86 Nmm
Mz1= -21,417.887 Nmm
Mz1: 28,650,441 Nmm
Mz2 = 21,417,887 Nmm
Gambar 6.12: Bidang Momen
Sy1= - 12.517 N
Sy2= 12.517 N
Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N
Sy1= 12,482.918. N
Sy1= - 12,482.918 N
Gambar 6.13: Bidang Lintang
166
6.7. Portal bidang dengan beban merata
Pada beban merata maka pada titik simpul yang dimodelkan akan dikerjakan gaya sesuai
dengan Tabel 5.1, contoh adalah pada gambar 3.15, dimana pada batang b akan dimodelkan
gaya luar yang bekerja adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz yang diambil dari tabel 5.2.
h
L
a
b
c
q Fiy Fjy
Miz Mjz
Sy1= - 10.698 N
Sx2= 10.698 N
Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N
Sx1= 10,697.555 N
Sx2= - 10,697.555 N
Gambar 3.14: Bidang Normal
Gambar 5.15: Model beban terbagi rata pada elemen portal bidang
167
Selanjutnya pada saat menentukan gaya dalam gaya dalam khusus yang ada beban meratanya
adalah berdasarkan
freddkf
Dimana fred adalah kebalikan dari adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz. Sedangkan yang tidak
ada beban merata maka tidak akan dikurangi dengan fred .
Contoh aplikasi beban merata q= 250 kN/m ada elemen portal bidang pada gambar 6.16 ,
hitung displacement dan gaya dalam. Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4,
E=210000 N/mm2, A= 78,1 cm2
Fiy = F2y = - 0.5 q.L= - 0.5x 250 x 4 = -500 kN, dan Fjy= -500 kN sedangkan Miz = M2z
= β1
12ππΏ2 = β
1
12 250 42 = β333,333 πππ, sedang Mjz=M3z= 333,33 kNM, gaya
tersebut dapat dilihat di gambar 5.17.
Gambar 5.16: Portal bidang dengan beban merata
h
L
a
b
c
q =250 kN/m
168
Gambar 5.17:
Setelah dihitung dengan M-Exell maka displacement adalah
Reaksi pada perletakan
H1 83,219.5
V1 500,000.0
M1 (110,807,429.4)
0.0
(500,000.0)
(333,333,333.3)
(0.0)
(500,000.0)
333,333,333.3
H4 (83,219.5)
V4 500,000.0
M4 110,807,429.4
Gambar lendutan/defleksidan reaksi dapat dilihat di gambar 5.18
u2 0.10148095 mm
v2 -1.21943784 mm
c2 -0.01859030 rad
u3 -0.10148095 mm
V3 -1.21943784 mm
c3 0.01859030 rad
h = 4 m
L = 4
m
a
b
c
2
1
3
4
Fiy=-500
Miz=-333,33 Mjz=+333,33
Fjy=-
5000
169
Gambar 5.18
Kemudian gaya batang a:
Sx1 500,000
Sy1 (83,219)
Mz1 (110,807,429)
Sx2 (500,000)
Sy2 83,219
Mz2 (222,070,381)
Gaya batang c:
Sx1 500,000.000
Sy1 83,219.453
Mz1 222,070,381.351
Sx2 (500,000.000)
Sy2 (83,219.453)
Mz2 110,807,429.370
u2= -0.10148095 mm
v2=-1.21943784 mm
V1 = 500.000 N
V4 = 500.000 N
H1=83.219,5 N
H4=-83.219,5 N
M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm
v3=-1.21943784 mm
u2= -0.10148095 mm
170
Gaya batang b:
Sx1 83,219.45
Sy1 (0.00)
Mz1 (111,262,951.98)
Sx2 (83,219.45)
Sy2 0.00
Mz2 111,262,951.98
Khusus batang b yang direduksi
freddkf
Freduksi adalah
-
500,000.00
333,333,333.33
-
500,000.00
(333,333,333.33)
Maka f batang b menjadi
83,219.45
500,000.00
222,070,381.35
(83,219.45)
500,000.00
(222,070,381.35)
171
Gambar Bidang Momen
Gambar Lintang
Mz2: 110.807.426 Ncm
Mz1= 222.070.381 Nmm
Mz2= 21.372.334,86 Nmm
Mz1= -21,417.887
Nmm
Mz1:- 110.807.426 Nmm
Mz2 = -222,070,381 Nmm
Sy1= - 83.219 N
Sy2= 83.219 N
Sy1=500.000 N Sy2 = 500.000 N
Sy1= -83.219. N
Sy1= - 83.219 N
172
Bidang Normal
Sy1= 500.000 N
Sx2= 500.000 N
Sx1= 83.219 N Sx2 = -83.219 N
Sx1= 500.000 N
Sx2= 500.000 N