Bab 5 limit (1)
-
Upload
daud-sulaeman -
Category
Education
-
view
2.713 -
download
5
Transcript of Bab 5 limit (1)
1
1)(
2
x
xxf
2
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk
0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,
seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
3
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Dari tabel dan grafik disamping
terlihat bahwa f(x) mendekati 2
jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskan
Sebagai berikut
21
1lim
2
1 x
x
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati
1 adalah 2 1
12
x
x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
Lxfcx
)(lim
4
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.
1. limx c
A A, ,Ac R 2. limx c
x c
Jika lim ( )x c
f x dan lim ( )x c
g x keduanya ada dan k R maka berlaku
pernyataan-pernyataan berikut:
1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
2 lim ( ) lim ( )x c x c
kf x k f x
3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
4 lim ( )
( )lim
( ) lim ( )
x c
x cx c
f xf x
g x g x, asalkan lim ( ) 0
x cg x
5
Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa cara.
1. Substitusi langsung 2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar) 3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)
Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)
a. 2
lim (3 5)x
x
b. 2
2lim (2 7 6)x
x x
c. 1
lim 7 2 1x
x x
d. 1
2 3lim
5 2x
x
x
6
Jawab
a. 2
lim (3 5) 3(2) 5 6 5 1x
x
b. 2 2
2lim (2 7 6) 2(2) 7(2) 6 8 14 6 0x
x x
c. 1
lim 7 2 1 7(1) 2(1) 1 7 1 7x
x x
d. 1
2 3 2( 1) 3 2 3 1lim
5 2 5( 1) 2 5 2 3x
x
x
7
Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)
a. 2
2
4lim
2x
x
x
b. 2
22
3 2lim
4x
x x
x
Jawab
a. 2 2
2
4 2 4 4 4 0lim (tidak terdefinisi)
2 2 2 2 2 0x
x
x. Untuk
menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut. 2
2 2
( 2)4lim lim
2x x
xx
x
( 2)
2
x
x 2lim( 2) 2 2 4x
x
8
b. 2 2
2 22
3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0lim (tidak terdefinisi)
4 4 04 2 4x
x x
x. Untuk
menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.
2
22 2
( 2)3 2lim lim
4x x
xx x
x
( 1)
( 2)
x
x
2
( 2)
1 lim
2
2 1 1
2 2 4
x
x
x
x
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan
Akar
a. b.
Solusi:
a.
9
2
2 2lim
2x
x
x
2
21
2 3lim
1x
x
x
2
2 2 2 2 2 4 2 0lim (tidak terdefinisi)
2 2 2 2 2 0x
x
x
10
2 2
2 2 2 2 2 2lim lim
2 2 2 2x x
x x x
x x x
2 2
2
2 2lim
2 2 2x
x
x x2
( 2) 4lim
2 2 2x
x
x x
2
2limx
x
2x 2 2x 2
1lim
2 2x x
1 1 1 1
2 2 42 2 2 4 2
11
b. 22
2 21
2 ( 1) 32 3 2 4 0lim
1 1 01 1 ( 1)x
x
x
2 2 2
2 2 21 1
2 3 2 3 2 3lim lim
1 1 2 3x x
x x x
x x x2
2 2 2
2 2 2 21 1
2
1
2 3 4 3lim lim
1 2 3 1 2 3
1lim
x x
x
x x
x x x x
x
21 x22 1
2
1lim
2 32 3
1 1 1 1
2 2 42 42 ( 1) 3
x xx
)(lim xfcx
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
12
cx
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kiri
(dari arahbilangan yang lebih kecil dari c)
limit disebut limit kiri,
Jika x menuju c dari arah kanan
(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)
limit disebut limit kanan,
c x
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
Maka tidak ada)(lim xfcx
13
Diketahui fungsi berikut: 2
2 ; 1
( ) ; 1 2
3 ; 2
x x
f x x x
x x
. Tentukanlah:
a. 1
lim ( )x
f x b. 2
lim ( )x
f x
Jawab a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan
adalah 2x sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi
yang digunakan adalah 2x . Oleh karena itu, untuk mencari 1
lim ( )x
f x
digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)
1 1lim ( ) lim ( 2) 1 2 1
x xf x x
2 2
1 1lim ( ) lim ( 1) 1
x xf x x
11 1lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1
xx xf x f x f x
14
b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang
digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan
aturan fungsi yang digunakan adalah 3x . Oleh karena itu,
untuk mencari 2
lim ( )x
f x digunakan limit sepihak
(limit kiri dan limit kanan) 2 2
2 2lim ( ) lim 2 4
x xf x x
2 2lim ( ) lim ( 3) 2 3 1
x xf x x
12 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak ada
xx xf x f x f x
2
2 ; 1
( ) ; 1 2
3 ; 2
x x
f x x x
x x
15
)(lim1
xfx
)(lim2
xfx
1,2
10,
0,
)(2
2
xx
xx
xx
xf
)(lim0
xfx
a. Hitung
c. Hitung
b. Hitung) Jika ada
Diketahui:
0)(lim0
xfx
2
0 0lim ( ) lim 0x x
f x x
0 0lim ( ) lim 0x x
f x x
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri
dan limit kanan di x=1
2
2 2lim ( ) lim2 6x x
f x x
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x=1
1 1lim ( ) lim 1x x
f x x
2
1 1lim ( ) lim2 3x x
f x x
11lim)(limxx
xf
)(lim1
xfx
Karena maka
Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka
tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
17
2
5lim( 20)x
x
2
2lim ( 3 1)
xx x
0
2lim
3x
x
x2
2
5 6lim
2x
x x
x
2
22
2 8lim
4x
x x
x
2
4
7 12lim
2 8x
x x
x
1
1lim
1x
x
x
2
21
3 2lim
1x
x
x
2
22
4lim
3 5x
x
x
1. Diketahui: 2 ; 1
( )1 1
x xf x
x, tentukan apakah
1lim ( )x
f x
(jika ada)!
2. Diketahui:
2
2
; 0
( ) 0 1
1 1
x x
f x x x
x x
, tentukan apakah
0lim ( )x
f x dan 1
lim ( )x
f x (jika ada)!
3. Diketahui: 2
2
2; 1
( ) ; 1 1
1 ; 1
x x
f x x x
x x
, tentukan apakah
1lim ( )x
f x dan 1
lim ( )x
f x (jika ada)!
4. Diketahui: 2
3 2, 1
( ) 5, 1 3
3 1, 3
x x
f x x
x x
, tentukan apakah 1
lim ( )x
f x dan
3lim ( )x
f x (jika ada)!
5. Diketahui: 2
3 2, 1
( ) 5 ,1 3
1, 3
x x
f x x
x x
, tentukan apakah 1
lim ( )x
f x
dan 3
lim ( )x
f x (jika ada)!
Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Limit - 1
1. Nilai dari 2
1
2 1lim
1x
x x
x= ….
a. -1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 3
2. Nilai dari 2
1
4 5lim
1x
x x
x= ….
a. -1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 6
3. Nilai dari 2
2
2 3 4lim
2x
x x
x= ….
a. -1
b. 0
c. 5
d. 2
e. 6
4. Nilai dari 2
21
3 4lim
1x
x x
x= ….
a. 1
2
b. 5
2
c. 1
2
d. 5
2
e. 0
5. Nilai dari 22
3 7lim
6x
x
x x= ….
a. 1
30
b. 1
11
c. 1
11
d. 1
30
e. 1
20
6. Nilai dari 2
4
9lim ....x
x
x
a. 3/4
b. 5/4
c. 3/2
d. 0
e. 1/2
7. Nilai 2
22
4lim ....
3 5x
x
x
a. 1
b. 4
c. 6
d. 8
e. 9
8. Nilai dari 2
21
2 3lim ....
2x
x
x
a. 1
4
b. 1
6
c. 1
4
d. 1
6
e. 0
9. Nilai )(lim1
xfx
dari fungsi
, 11
( ) ,-1 1
1 , 1
xx
xf x x x
x x
adalah ....
a. 1
b. 0
c. -1
d. 2
e. Tidak ada
10. Nilai )(lim1
xfx
dari fungsi
, 11
( ) ,-1 1
1 , 1
xx
xf x x x
x x
adalah....
a. 1
b. 0
c. -1
d. 2
e. Tidak ada