Bab 5 Konsep Elemen - luk.staff.ugm.ac.idluk.staff.ugm.ac.id/fem/Bab5.pdf · Bab 5 Konsep Elemen...
Transcript of Bab 5 Konsep Elemen - luk.staff.ugm.ac.idluk.staff.ugm.ac.id/fem/Bab5.pdf · Bab 5 Konsep Elemen...
Bab5KonsepElemen
Bab5KonsepElemen
Metoda Elemen Hingga Dalam Hidraulika
Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.mailto:[email protected]
5/8/2014 [email protected] 2
Pendahuluan• Domain dibagi menjadi interval
yang disebut elemen
• 12 langkah umum akan diberlakukan pada elemen
5/8/2014 [email protected] 3
1.Kasus(hal129)
• Persamaan dasar dan domain
• Kondisi batas
212)(2
xxdx
xdUxdxd
21
2)(
2)1(
xdxxdUx
U
KB esensial (constrained)
KB natural (unconstrained)
5/8/2014 [email protected] 4
2.SolusiSatu‐ElemenPersamaanElemen(hal130)
• Langkah 1-3: lakukan seperti bab sebelumnya1. Tulis persamaan residual Galerkin2. Integration by parts3. Substitusi residual kedalam Butir 2
• Langkah 4: Pembentukan i(x)1. Dibentuk polinomial: Û(x;) = 1 + 2x2. Polinomial ini harus mempunyai sifat bahwa “Setiap
parameter ai harus merupakan nilai dari “solusi coba” di titik tertentu di dalam elemen.”
5/8/2014 [email protected] 5
2.persamaanelemen…1(hal131)
• Gambar polinomial dengan karakteristik tsb.
Û(xa;a) = a1 Û(xb;a) = a2
x
Û(x;a)
Node 1 Node 2
a1
xa
a2
xb
5/8/2014 [email protected] 6
2.persamaanelemen…2(hal131)
Dicari persamaan yang memenuhi:
1 + 2xa = a1
1 + 2xb = a2
diperoleh nilai:
abab
ab
xxaa
xxaxax
122
211 dan
5/8/2014 [email protected] 7
2.persamaanelemen…3(hal132)
Diperoleh persamaan:
Û(x;a) = a1 1(x) + a2 2(x)
dengan nilai:
Diperoleh karakteristik “fungsi coba”:
1(xa) = 1 1(xb) = 02(xa) = 0 2(xb) = 1
ab
a
ab
b
xxxxx
xxxxx
)(dan)( 21
Polinomial InterpoLasi Lagrange
5/8/2014 [email protected] 8
2.persamaanelemen…4(hal133)
Gambar Û(x;a) dan (x)
Û(x;a) = a1Ø1(x) + a2Ø2(x)
x1x1
2x2
121 1
12
12
12
21 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
Û(x1;a) = a1 Û(x2;a) = a2
1(x1) = 1 1(x2) = 0
2(x1) = 0 2(x2) = 1
a1
a2
… understand!… memorize!
j(xi) = jiji delta
Kronecker
5/8/2014 [email protected] 9
2.Langkah5:substitusiSolusi(hal135)
• Sistem persamaan s/d Langkah 4 sbb:
• Kij dihitung untuk i = 1,2 dan j = 1,2• Fi dihitung untuk i = 1,2
dxdxd
xdxdK j
x
x
iij
b
a
b
a
b
a
x
x
ii
x
x
iii
dxUdxdx
x
FBFIF
ˆ2
2
2
1
2
1
2221
1211
FF
aa
KKKK
5/8/2014 [email protected] 10
2.Langkah5:hitungKij (hal135)
• Kij dihitung untuk i = 1,2 dan j = 1,2
• K12 = K21 = -K11 dan K22 = K11
dxdxd
xdxdK j
x
x
iij
b
a
ab
ab
xxdxd
xxdxd
1
1
2
1
ab
ab
ab
x
x ab xxxxdx
xxx
xxK
b
a
2111
11
• diperoleh nilai:
5/8/2014 [email protected] 11
2.Langkah5:hitungFIi (hal135)
• FIi dihitung untuk i = 1,2
• diperoleh:
ab
ab
aba
ab
ab
abaab
bx
x
xxxx
xxxFI
xxxx
xxxdx
xxxx
xFI
b
a
ln22
ln222
2
21
ab
a
ab
bi
x
xi xx
xxxxxxxxdx
xFI
b
a
)(,)(dengan2212
5/8/2014 [email protected] 12
2.Langkah5:hitungFBi (hal135)
• FBi dihitung untuk i = 1,2
• diperoleh:
bab
aab
xa
xb
x
xa
xb
x
dxUdxx
dxUdxx
dxUdxFB
dxUdxx
dxUdxx
dxUdxFB
ˆ)(
ˆ)(
ˆ
ˆ)(
ˆ)(
ˆ
222
111
ab
a
ab
b
x
x
ii xxxxx
xxxxx
dxUdxFB
b
a
)(,)(dengan
ˆ21
5/8/2014 [email protected] 13
2.Langkah6:hitung“Flux” (hal136)
• Debit/Flux dihitung sbb:
• Pada akhir Langkah 6 diperoleh sistem persamaan:
b
a
x
x
a
b
abb
a
b
aba
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
dxUdx
dxUdx
xx
xxx
xx
xxxaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
ˆ
ˆ
ln22
ln22
21
21
21
21
2
1
)()()(ˆ)(ˆ 21
22
11 aa
xxx
dxxda
dxxdax
dxUdxx
ab
5/8/2014 [email protected] 14
2.Langkah7(hal.136)
Masukkan setiap data lapangan• Data geometrik xa = 1, xb = 2• Sifat-sifat fisik dan “applied load” “interior load” kondisi batas
5/8/2014 [email protected] 15
2.Langkah8(hal.136)• Masukkan data kedalam matrik, kecuali data kondisi
batas.
• Sistem persamaan di atas siap untuk diselesaikan, kecuali nilai kondisi batas yang belum tuntas!
2
1
2
1
ˆ
ˆ
2ln212ln22
23
23
23
23
x
x
dxUdx
dxUdx
aa
5/8/2014 [email protected] 16
2.Langkah9(hal.137)• Masukkan data kondisi batas kedalam persamaan
21)(dan2)1(
2
xdxxdUxU
21
ˆ
2ln212ln22
23
23
23
23
1
2
1x
dxUdx
aa
belum dapat dihitung
• aplikasi “debit” kedalam sistem persamaan menjadikan:
5/8/2014 [email protected] 17
2.…Langkah9…(hal.137)
• Kondisi batas U(1) = 2kondisi batas jenis ini lebih sulit diaplikasikan dibanding
kondisi batas “debit.”dalam sistem persamaan yang terakhir tidak terdapat suku
yang dapat menampung nilai kondisi batas di atas. sehingga digunakan alternatif terakhir yaitu aplikasi kondisi
batas di atas langsung kepada “fungsi coba” itu sendiri; dan akan menghasilkan persamaan konstrain
Û(1;a) = a1Ø1(1) + a2Ø2(1) = 2
5/8/2014 [email protected] 18
2.…Langkah9…(hal.137)• Kondisi batas U(1) = 2
Û(1;a) = a1Ø1(1) + a2Ø2(1) = 2Û(1;a) = a11 + a20 = 2a1 = 2
• Tampak bahwa “shape function” sangat menyederhanakan hitungan karena hanya satu parameter saja yang mempunyai nilai = kondisi batas, sehingga menjadi
ai = d
5/8/2014 [email protected] 19
2.…Langkah9…(hal.137)
• Cara menyelesaikanai = d
• dalam sistem matriks sbb:
Kalikan kolom i dengan d dan kurangilah sebesar hasil
kali tersebut dari RHS, kemudian hapus kolom i.
Hapus baris i dari persamaan tersebut.
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
FFF
aaa
KKKKKKKKK
5/8/2014 [email protected] 20
2.Langkah9dan10(hal.138)• Masukkan a1 = 2, kedalam persamaan di bawah
21
ˆ
2ln212ln22
23
23
23
23
1
2
1x
dxUdx
aa
• Langkah 10, menghasilkan:3/2 a2 = 1 – 2 ln 2 – ½ + 3/2 (a1)a2 = 1 – 2 ln 2 – ½ + 3/2 (2) = 7/3 – 4/3 ln 2 = 1.409
5/8/2014 [email protected] 21
2.Langkah10&11(hal.138)
10. Selesaikan pers. sehingga diperoleh nilai:
a1 = 2 dan a2 = 1.409 Jadi penyelesaian pendekatannya adalah:
Û(x) = 2 (2 - x) + 1.409 (x – 1)Û(x) = 2.591 - 0.591 x
11. Hitung debit:
(x) = x(a1 - a2) = 0.591 x
5/8/2014 [email protected] 22
2.Langkah12(hal.138)12. Plot penyelesaiannya dan prakirakan ketelitiannya,
lihat Gambar 5.5 (hal 138) Û(1) = 2
tepat memenuhi kondisi batas U(1) = 2 (2) = 1.182
tidak memenuhi kondisi batas (2) = 0.5Inilah karakteristik yang berbeda antara kedua kondisi batas tersebut, yang pertama dipenuhi secara tepat, yang kedua hanya didekati.
5/8/2014 [email protected] 23
3.Persamaan2Elemen(hal139)
• Domain dibagi menjadi 2 subdomain/elemen
xa < x < xc dan xc < x < xb
xxa
(xa=1)xb
(xb=2)xc
Elemen 1 Elemen 2
5/8/2014 [email protected] 24
3.1.Formulasi2Elemen(hal140)
• Karena domain dibagi menjadi 2 subdomain/elemen, timbullah pertanyaan mengenai masalah kontinuitas pada “penyelesaian pendekatan” di titik xc.
• Untuk keperluan itu dibutuhkan definisi sbb:
Suatu fungsi dikatakan termasuk klas Cn (pada domain tertentu) jika fungsi tersebut dan n buah derivatifnya kontinu (pada domain terkait).
• Contoh; Jika sebuah fungsi kontinu C0 dan turunan 1-nya kontinu, maka fungsi tersebut termasuk klas C1; jika turunan 2-nya kontinu, maka fungsi tersebut termasuk klas C2. Suatu fungsi klas Cn pasti termasuk pula klas Cn-1 , Cn-2 , …, C0 , tetapi belum tentu masuk klas Cn+1, Cn+2, Cn+3 dst.
5/8/2014 [email protected] 25
3.1.a.Formulasi2Elemen(hal140)
• Diperlukan perumusan kembali persamaan dasar pada tiap elemen
• Pada prinsipnya persamaan dasar di atas sama dengan persamaan semula, kecuali pada titik xc.
bxxcxxdxxdUxdx
d
cxxaxxdxxdUxdx
d
2
)2(
2
)1(
2)(
2)(
Elemen 1
Elemen 2
5/8/2014 [email protected] 26
3.1.a.Formulasi2Elemen(hal141)
• Pada prinsipnya yang dibutuhkan adalah pernyataan tentang kontinuitas U(1)(x) dan U(2)(x) pada titik xc.
• Dibuktikan sbb:
ppxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxdxxdUx
dxxdUx
xdxxdUx
dxx
dxdx
xdUxdxd
pp
p
p
p
p
p
p
p
p
22)()(
2)(
2)(2
5/8/2014 [email protected] 27
3.1.a.Formulasi2Elemen(hal141)
• Jika mendekati nol, maka diperoleh
• Jika xdU/dx kontinu di suatu titik xp, sedangkan itu berlaku untuk seluruh domain, maka xdU/dx kontinu untuk seluruh domain. Karena x kontinu dimana saja, maka dU/dx juga kontinu.
pp
pp
pp
xx
ppxx
ppxx
dxxdUx
dxxdUx
xxdxxdUx
dxxdUx
xxdxxdUx
dxxdUx
)()(
022)()(
22)()(
5/8/2014 [email protected] 28
3.1.a.Formulasi2Elemen(hal141)
• Integrasi dU/dx akan menunjukkan pula bahwa U kontinu di sembarang titik xp:
• Untuk suatu titik xc, dapat ditulis U(1) untuk setiap titik di sebelah kirinya dan U(2) untuk setiap titik di sebelah kanannya.
)()( pp xUxU
5/8/2014 [email protected] 29
3.1.a.KondisiBatasInternal(hal141)
• Sehingga untuk suatu titik xc, dapat ditulis kondisi kontinuitas sbb:
• Persamaan di atas terkenal dengan nama “KBI” kondisi batas internal. KBI harus dipenuhi oleh “exact solution” pada batas antara dua elemen.
• Sedangkan KB harus dipenuhi pada batas dari domain.
)()( )2()1(
)2()1(
cc
xx
xUxU
dxdUx
dxdUx
cc
5/8/2014 [email protected] 30
3.1.b.KondisiBatasLengkap(hal142)
Kondisi Batas
Kondisi Batas Internal
xxa
(xa=1)xc xb
(xb=2)
2)1()1( U )()( )2()1(
)2()1(
cc
xx
xUxU
dxdUx
dxdUx
cc
21
2
)2(
xdxdUx
Kondisi Batas
Elemen 1
22)()1(
xdxxdUxdx
d
Pers. Dasar
Elemen 2
22)()2(
xdxxdUxdx
d
Pers. Dasar
5/8/2014 [email protected] 31
3.2.a.Elemen1(hal143)
Gambar Û(1)(x;a) dan (x)
Û(1)(x;a) = a1Ø1(x) + a2Ø2(x)ac
a
ac
c
xxxxx
xxxxx
)(dan)( 21
xNode 1
xaNode 2
xc
121 1a1
a2
5/8/2014 [email protected] 32
3.2.b.Elemen1:Langkah1‐6(hal144)
• Langkah 1-6 menghasilkan matriks:
• Debit/Flux dihitung sbb:
)()()(ˆ)(ˆ 21
22
11
)1()1( aa
xxx
dxxda
dxxdax
dxUdxx
ac
)1(
2
)1(1
2
1)1(
22)1(
21
)1(12
)1(11
FF
aa
KKKK
c
a
x
x
a
c
acc
a
c
aca
ac
ac
ac
ac
ac
ac
ac
ac
dxUdx
dxUdx
xx
xxx
xx
xxxaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)1(
)1(
2
1
ˆ
ˆ
ln22
ln22
21
21
21
21
5/8/2014 [email protected] 33
3.2.c.Elemen2(hal145)
Gambar Û(2)(x;a) dan (x)
Û(2)(x;a) = a3Ø3(x) + a4Ø4(x)cb
c
cb
b
xxxxx
xxxxx
)(dan)( 43
xNode 3
xcNode 4
xb
141 3a3
a4
5/8/2014 [email protected] 34
3.2.d.Elemen2:Langkah1‐6(hal145)
• Langkah 1-6 menghasilkan matriks:
• Debit/Flux dihitung sbb:
)()()(ˆ)(ˆ 43
44
33
)2()2( aa
xxx
dxxda
dxxdax
dxUdxx
cb
)2(
4
)2(3
4
3)2(
44)2(
43
)2(34
)2(33
FF
aa
KKKK
b
c
x
x
c
b
cbb
c
b
cbc
cb
cb
cb
cb
cb
cb
cb
cb
dxUdx
dxUdx
xx
xxx
xx
xxxaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)2(
)2(
4
3
ˆ
ˆ
ln22
ln22
21
21
21
21
5/8/2014 [email protected] 35
3.2.e.Elemen1dan2:Langkah1‐6(hal146)• Elemen 1&2 digabung menghasilkan matriks:
b
c
c
a
x
x
x
x
c
b
cbb
c
b
cbc
a
c
acc
a
c
aca
cb
cb
cb
cb
cb
cb
cb
cb
ac
ac
ac
ac
ac
ac
ac
ac
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
aaaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)2(
)2(
)1(
)1(
4
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ln22
ln22
ln22
ln22
21
2100
21
2100
0021
21
0021
21
5/8/2014 [email protected] 36
3.2.f.Elemen1dan2(hal147)
• Secara simbolik dalam bentuk matrik menjadi:
• Perhatikan bahwa anggota matrik dari elemen 1 tidak ditambahkan pada elemen 2. Jadi kedua elemen tersebut masih terpisah
)2(4
)2(3
)1(2
)1(1
4
3
2
1
)2(44
)2(43
)2(34
)2(33
)1(22
)1(21
)1(12
)1(11
0000
0000
FFFF
aaaa
KKKK
KKKK
5/8/2014 [email protected] 37
3.3.Langkah7(hal.147)
• Masukkan setiap data lapangan– Data geometrik xa = 1, xb = 2– Digunakan xc = 3/2, karena tidak indikasi pemilihan nilai
yang lain.– Sifat-sifat fisik dan “applied load”
“interior load” kondisi batas
• Catatan: Proses menentukan panjang elemen dan lokasi titik biasa disebut dengan “mesh generation.”
5/8/2014 [email protected] 38
3.3.Langkah8 (hal148)
• Masukkan data lapangan ke sistem persamaan
2
)2(23
)2(23
)1(1
)1(
4
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
34ln4134ln4
34
23ln4
34
23ln42
27
2700
27
2700
0025
25
0025
25
x
x
x
x
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
aaaa
5/8/2014 [email protected] 39
3.3.a.Langkah8… (hal148)
• Pada titik xc, dapat ditulis kondisi kontinuitas sbb:
• Pada xc=3/2, maka U(1)(3/2) = U(2)(3/2), untuk “solusi coba” hal sama berlaku, maka:
Û(1)(3/2) = Û(2)(3/2)
• maka a2 = a3
)()( )2()1(
)2()1(
cc
xx
xUxU
dxdUx
dxdUx
cc
5/8/2014 [email protected] 40
3.3.b.Langkah8… (hal149)
• Syarat a2 = a3 , dapat dipandang sebagai “persamaan konstrain”, dalam matriks dilakukan dengan menambah Kolom 2+3 dan Baris 2+3 sbb:
2
)2(23
)1(
23
)2(1
)1(
4
2
1
ˆ
ˆˆ
ˆ
34ln41
34ln4
34
23ln4
34
23ln42
27
270
27
27
25
25
025
25
x
xx
x
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
aaa
5/8/2014 [email protected] 41
3.3.c.Langkah8… (hal149)
• Disederhanakan:
2
)2(23
)1(
23
)2(1
)1(
4
2
1
ˆ
ˆˆ
ˆ
34ln41
98ln4
23ln42
27
270
276
25
025
25
x
xx
x
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
aaa
5/8/2014 [email protected] 42
3.3.d.Assembling… (hal149)
• Prosedur aplikasi KBI [kontinuitas U(x)] dalam sistem persamaan disebut “assembly.”
• Assembly adalah pemenuhan kontinuitas dalam “solusi coba” pada elemen-elemen.
• Secara umum persamaan konstrain dapat dinyatakan dalam bentuk
ai = aj• Sehingga assembly terdiri atas penambahan Kolom i
dan j, dan Baris i dan j.
5/8/2014 [email protected] 43
3.3.d.Assembling… (hal150)
• Assembly lebih mudah disajikan dalam bentuk matrik:
• Matrik di atas adalah gabungan dari dua matrik ini:
)2(
4
)2(3
)1(2
)1(1
4
2
1
)2(44
)2(43
)2(34
)2(33
)1(22
)1(21
)1(12
)1(11
0
0
FFF
F
aaa
KKKKKK
KK
)2(
4
)2(3
4
3)2(
44)2(
43
)2(34
)2(33
FF
aa
KKKK
)1(
2
)1(1
2
1)1(
22)1(
21
)1(12
)1(11
FF
aa
KKKK
5/8/2014 [email protected] 44
3.3.e.Langkah9,KBI… (hal151)
• Kondisi Batas Internal diaplikasikan
2
)2(
1
)1(
4
2
1
ˆ0
ˆ
34ln41
98ln4
23ln42
27
270
276
25
025
25
x
x
dxUdx
dxUdx
aaa
0ˆˆ
ˆˆ
23
)1(
23
)2(
23
)1(
23
)2(
xx
xx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
5/8/2014 [email protected] 45
3.3.f.Langkah9,KB… (hal152)
• Tampak bahwa KBI “flux” adalah KBI unconstrained, sama dengan KB natural yang asli.
• Nanti akan terlihat bahwa “flux” tidak kontinu di antara elemen, karena hal di atas.
• Aplikasi KB natural menghasilkan:
21
0
ˆ
34ln41
98ln4
23ln42
27
270
276
25
025
25
1
)1(
4
2
1 xdxUdx
aaa
5/8/2014 [email protected] 46
3.3.g.Langkah9,KB… (hal152)
• Kondisi batas U(1) = 2
Û(1)(1;a) = a1Ø1(1) + a2Ø2(1) = 2Û(1;a) = a11 + a20 = 2a1 = 2
• Kalikan Kolom 1 dengan 2 dan kurangi RHS, kemudian delete Kolom 1 dan Baris 1, sehingga menghasilkan
21
34ln41
598ln4
27
27
276
4
2
aa
5/8/2014 [email protected] 47
3.3.h.Langkah10&11(hal.153)
10. Selesaikan pers. sehingga diperoleh nilai:a1 = 2, a2 = 1.551, a3 = 1.551, a4 = 1.365 Jadi penyelesaian pendekatannya adalah:
Û(1)(x) = 2.000 Ø1(x) + 1.551 Ø2(x)Û(2)(x) = 1.551 Ø3(x) + 1.365 Ø4(x)
11. Hitung debit:(1)(x) = 0.898 x dan (2)(x) = 0.372 x
5/8/2014 [email protected] 48
3.3.i.Langkah12(hal.154)
12. Plot penyelesaiannya dan prakirakan ketelitiannya, lihat Gambar 5.13 (hal 154) Û(1)(1) = 2
tepat memenuhi kondisi batas U(1) = 2 (2) = 0.744
tidak memenuhi kondisi batas (2) = 0.5Penyelesaian dua elemen ini sebaiknya dibandingkan dengan penyelesaian satu elemen yang disajikan dalam Gambar 4.5 (hal 117).
5/8/2014 [email protected] 49
3.4.Assembly:NotasiRasional(hal156)
• KBI esential menghasilkan persyaratan a2=a3, hal ini membuat “trial solution” harus ditulis sbb:
Û(1)(x;a) = a1Ø1(x) + a2Ø2(x)Û(2)(x;a) = a2Ø3(x) + a4Ø4(x)
• Karena Ø2(x) dan Ø3(x) dalam persamaan di atas merupakan dua buah “shape function” yang kontinu, maka notasi yang terbaik adalah sbb:
Û(1)(x;a) = a1Ø1(1)(x) + a2Ø2
(1)(x)Û(2)(x;a) = a2Ø2
(2)(x) + a3Ø3(2)(x)
5/8/2014 [email protected] 50
3.4.Assembly:NotasiRasional(hal157)Notasi Û(x;a) dan (x)
xNode 1xa=1
Node 2xc=3/2
11
(1)a1
13
(2)
12
(1) 2(2)
a2
)2(
3
)2(2
3
2)2(
33)2(
32
)2(23
)2(22
FF
aa
KKKK
)1(
2
)1(1
2
1)1(
22)1(
21
)1(12
)1(11
FF
aa
KKKK
Node 3xb=2
a3
5/8/2014 [email protected] 51
3.4.Assembly:NotasiRasional(hal157)
• Assembly dalam notasi yang lebih baik:
• Matrik di atas adalah gabungan dari dua matrik ini:
)2(
3
)2(2
)1(2
)1(1
3
2
1
)2(33
)2(32
)2(23
)2(22
)1(22
)1(21
)1(12
)1(11
0
0
FFF
F
aaa
KKKKKK
KK
)2(
3
)2(2
3
2)2(
33)2(
32
)2(23
)2(22
FF
aa
KKKK
)1(
2
)1(1
2
1)1(
22)1(
21
)1(12
)1(11
FF
aa
KKKK
Elemen 1 Elemen 2
5/8/2014 [email protected] 52
4.Persamaan4Elemen(hal158)
• Domain dibagi menjadi 4 subdomain/elemen
xx1(xa=1)
x2 x5(xb=2)
x3 x4
Û(1)
(1)
Û(2)
(2)
Û(3)
(3)
Û(4)
(4)
a1a2 a3 a4
a5
5/8/2014 [email protected] 53
4.a.ElemenPertama(hal158)Solusi coba Û(1)(x;a) dan fungsi bentuk (x)
Û(1)(x;a) = a1Ø1(1)(x) + a2Ø2
(1)(x)
12
1)1(2
12
2)1(1 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
xNode 1x1 = xa
Node 2x2
1
1
a1
a2
5/8/2014 [email protected] 54
4.b.ElemenKedua(hal158)Solusi coba Û(2)(x;a) dan fungsi bentuk (x)
Û(2)(x;a) = a2Ø2(2)(x) + a3Ø3
(2)(x)
23
2)2(3
23
3)2(2 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
xNode 2
x2
Node 3x3
1
1
a2
a3
5/8/2014 [email protected] 55
4.c.ElemenKetiga(hal158)Solusi coba Û(3)(x;a) dan fungsi bentuk (x)
Û(3)(x;a) = a3Ø3(3)(x) + a4Ø4
(3)(x)
34
3)3(4
34
4)3(3 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
xNode 3
x3
Node 4x4
1
1
a3
a4
5/8/2014 [email protected] 56
4.d.ElemenKeempat(hal158)Solusi coba Û(4)(x;a) dan fungsi bentuk (x)
Û(4)(x;a) = a4Ø4(4)(x) + a5Ø5
(4)(x)
45
4)4(5
45
5)4(4 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
xNode 4
x4
Node 5x5
1
1
a4
a5
5/8/2014 [email protected] 57
Û(3)(x;a) = a3Ø3(3)(x) + a4Ø4
(3)(x)
34
3)3(4
34
4)3(3 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
Elemen 3
4.e.ResumeEmpatElemen(hal158)
Notasi global untuk seluruh elemen
45
4)4(5
45
5)4(4 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
Û(4)(x;a) = a4Ø4(4)(x) + a5Ø5
(4)(x)Elemen 4
Û(2)(x;a) = a2Ø2(2)(x) + a3Ø3
(2)(x)
23
2)2(3
23
3)2(2 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
Elemen 2Û(1)(x;a) = a1Ø1
(1)(x) + a2Ø2(1)(x)
12
1)1(2
12
2)1(1 )(dan)(
xxxxx
xxxxx
Elemen 1
5/8/2014 [email protected] 58
4.f.NotasiElemenLokal(hal159)Solusi coba Û(e)(x;a) dan fungsi bentuk (x)
Û(e)(x;a) = a1Ø1(e)(x) + a2Ø2
(e)(x)
12
1)(2
12
2)(1 )(dan)(
xxxxx
xxxxx ee
xNode 1
x1
Node 2x2
12
(e)
1
1
(e)a1
a2
5/8/2014 [email protected] 59
4.g.NotasiLokalkeGlobal(hal160)• Setiap notasi lokal harus disesuaikan dengan notasi
global dan sebaliknya.• Untuk kasus 4 elemen linier di atas disusun tabel
koneksi koordinat lokal ke global
ElementTitik Lokal 1 menjadi Titik
Global
Titik Lokal 2 menjadi Titik
Global
(1) 1 2(2) 2 3(3) 3 4(4) 4 5
5/8/2014 [email protected] 60
4.h.4Elemen:Langkah1‐6 (hal160)
• Langkah 1-6 menghasilkan matriks, dalam notasi lokal:
• Debit/Flux dihitung sbb:
)()()(ˆ)(ˆ 21
12
)(2
2
)(1
1
)()( aa
xxx
dxxda
dxxdax
dxUdxx
eeee
)(
2
)(1
2
1)(
22)(
21
)(12
)(11
e
e
ee
ee
FF
aa
KKKK
2
1
)(
)(
1
2
122
1
2
121
2
1
12
12
12
12
12
12
12
12
ˆ
ˆ
ln22
ln22
21
21
21
21
x
ex
e
dxUdx
dxUdx
xx
xxx
xx
xxxaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5/8/2014 [email protected] 61
4.i.4Elemen:Langkah7 (hal160)
1. Pembuatan Kisi (data geometrik)a) Definisi titik: tentukan koordinat setiap titik dan berilah
nomor. Dalam contoh soal di sini, digunakan 4 elemen yang sama panjang, sehingga koordinat masing-masing titik:x1 = 1.00, x2 = 1.25, x3 = 1.50, x4 = 1.75, x5 = 2.00
b) Definisi elemen: tentukan nomor titik dalam setiap elemen. Nomor titik dan elemen didefinisikan seperti dalam Gambar 5.17 (hal 158). Dalam program komputer nomor-nomor ini akan disimpan dalam array koneksitas seperti dalam Tabel 5.1 (hal 160)
2. Data karakteristik fisik dan beban.
5/8/2014 [email protected] 62
4.j.Elemen1:Langkah8 (hal162)
• Dengan Tabel 5.1 (hal 160) untuk Elemen 1 (Ttk Lokal 1 menjadi Ttk Global 1, Ttk Lokal 2 menjadi Ttk Global 2) kita gunakan Pers. 5.80 (hal 160). Gunakan data lapangan: x1 = 1.00, x2 = 1.25, sehingga diperoleh:
• Dalam bentuk matriks:
)1(
2
)1(1
2
1)1(
22)1(
21
)1(12
)1(11
FF
aa
KKKK
25.1
)1(00.1
)1(
2
1
ˆ
ˆ
45ln8
58
45ln82
29
29
29
29
x
x
dxUdx
dxUdx
aa
5/8/2014 [email protected] 63
4.j.Elemen2:Langkah8 (hal162)
• Dengan Tabel 5.1 (hal 160) untuk Elemen 1 (Ttk Lokal 1 menjadi Ttk Global 2, Ttk Lokal 2 menjadi Ttk Global 3) kita gunakan Pers. 5.80 (hal 160). Gunakan data lapangan: x2 = 1.25, x3 = 1.50, sehingga diperoleh:
• Dalam bentuk matriks:
)2(
3
)2(2
3
2)2(
33)2(
32
)2(23
)2(22
FF
aa
KKKK
50.1
)2(25.1
)2(
3
2
ˆ
ˆ
56ln8
34
56ln8
58
211
211
211
211
x
x
dxUdx
dxUdx
aa
5/8/2014 [email protected] 64
4.j.Elemen3:Langkah8 (hal164)
• Dengan Tabel 5.1 (hal 160) untuk Elemen 1 (Ttk Lokal 1 menjadi Ttk Global 3, Ttk Lokal 2 menjadi Ttk Global 4) kita gunakan Pers. 5.80 (hal 160). Gunakan data lapangan: x3 = 1.50, x4 = 1.75, sehingga diperoleh:
• Dalam bentuk matriks:
)3(
4
)3(3
4
3)3(
43)3(
43
)3(34
)3(33
FF
aa
KKKK
75.1
)3(50.1
)3(
4
3
ˆ
ˆ
67ln8
78
67ln8
34
213
213
213
213
x
x
dxUdx
dxUdx
aa
5/8/2014 [email protected] 65
4.j.Elemen4:Langkah8 (hal165)
• Dengan Tabel 5.1 (hal 160) untuk Elemen 1 (Ttk Lokal 1 menjadi Ttk Global 3, Ttk Lokal 2 menjadi Ttk Global 4) kita gunakan Pers. 5.80 (hal 160). Gunakan data lapangan: x4 = 1.75, x5 = 2.00, sehingga diperoleh:
• Dalam bentuk matriks:
)4(
4
)4(3
5
4)4(
55)4(
54
)4(45
)4(44
FF
aa
KKKK
00.2
)4(75.1
)4(
5
4
ˆ
ˆ
78ln81
78ln8
78
215
215
215
215
x
x
dxUdx
dxUdx
aa
5/8/2014 [email protected] 66
4.j.Assembling:Langkah8 (hal166)
• Assembling semua komponen menjadi matrik global:
00.2
)4(75.1
)3(
75.1
)4(50.1
)2(
50.1
)3(25.1
)1(
25.1
)2(00.1
)1(
5
4
3
2
1
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ78ln81
78ln8
78
67ln8
78
67ln8
34
56ln8
34
56ln8
58
45ln8
58
45ln82
215
215
215
215
213
213
213
213
211
211
211
211
29
29
29
29
x
xx
xx
xx
x
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
aaaaa
5/8/2014 [email protected] 67
4.j.Assembling:Langkah8 (hal166)
• Dalam bentuk matriks:
)4(5
)4(4
)3(4
)3(3
)2(3
)2(2
)1(2
)1(1
5
4
3
2
1
)4(55
)4(54
)4(45
)4(44
)3(44
)3(43
)3(34
)3(33
)2(33
)2(32
)2(23
)2(22
)1(22
)1(21
)1(12
)1(11
00000
0000000
FFFFFFF
F
aaaaa
KKKKKK
KKKKKKKK
KK
5/8/2014 [email protected] 68
4.j.Assembling:Langkah8 (hal167)
• Matriks global disederhanakan:
00.2
)4(75.1
)3(
75.1
)4(50.1
)2(
50.1
)3(25.1
)1(
25.1
)2(00.1
)1(
5
4
3
2
1
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
78ln81
4948ln83635ln82524ln8
45ln82
215
215000
21514
21300
02
13122
110
002
111029
00029
29
x
xx
xx
xx
x
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
dxUdx
aaaaa
5/8/2014 [email protected] 69
4.k.Langkah9:AplikasiKondisiBatas (hal168‐169)
• Aplikasikan KBI dan KB natural:
21
000
ˆ
78ln81
4948ln83635ln82524ln8
45ln82
215
215000
21514
21300
02
13122
110
002
111029
00029
29
1
)1(
5
4
3
2
1x
dxUdx
aaaaa
0ˆˆ
25.1
)1(
25.1
)2(
xxdxUdx
dxUdx
21ˆ
2
)4(
xdxUdx
0ˆˆ
5.1
)2(
5.1
)3(
xxdxUdx
dxUdx 0
ˆˆ
75.1
)3(
75.1
)4(
xxdxUdx
dxUdx
5/8/2014 [email protected] 70
4.k.Langkah9:AplikasiKondisiBatas (hal169)
• Aplikasikan KB esensial U(1) = 2, menghasilkan pada Elemen 1: a1 = 2.
• Eliminasi a1 dari persamaan dengan mengalikan Kolom 1 x 2, hasilnya dikurangkan ke RHS dan Baris 1 dihilangkan dari persamaan.
78ln8
21
4948ln83635ln8
2524ln89
215
21500
21514
2130
02
13122
11
002
1110
5
4
3
2
aaaa
5/8/2014 [email protected] 71
4.k.Langkah10:PenyelesaianPersamaan(hal170)
• Dengan menggunakan eliminasi Gauss, sistem persamaan Pers. 5.105 (hal 169), diperoleha2 = 1.714, a3 = 1.540, a4 = 1.427, a5 = 1.352
• Dan dari persamaan konstrain KB, a1 = 2.000• Sehingga diperoleh solusi coba tiap elemen sbb:
75.100.275.1352.1
75.100.200.2427.1)(ˆ
50.175.150.1427.1
50.175.175.1540.1)(ˆ
25.150.125.1540.1
25.150.150.1714.1)(ˆ
00.125.100.1714.1
00.125.125.1000.2)(ˆ
)4(
)3(
)2(
)1(
xxxU
xxxU
xxxU
xxxU
5/8/2014 [email protected] 72
4.k.Langkah11‐12:HitungDebit(hal170)
• Debit/flux dihitung sbb:
• Plot solusi coba dan debit serta estimasi ketelitiannya (lihat hal 171).
• Perhatikan solusi coba kontinu namun debit tidak.
xxxxaaxxx
xxaax
xxxxaaxxx
xxaax
300.0)(ˆ452.0)(ˆ
696.0)(ˆ144.1)(ˆ
45
54)4(
34
43)3(
23
32)2(
12
21)1(
5/8/2014 [email protected] 73
5.DelapanElemen&6.Konvergensi
• Prosedure penyelesaian solusi coba dengan delapan elemen dapat dilihat dalam Buku Pegangan, hal. 173-185.
• Perbaikan kisi FEM dan kondisi konvergensi dibahas dalam Buku Pegangan, hal. 185-189
5/8/2014 [email protected] 74
7.PenomoranElemenRandom(hal189)
Notasi Û(x;a) dan (x)
xNode 2xa=1
Node 3xc=3/2
12
(2)a2
11
(1)
13
(2) 3(1)
a3
)1(
3
)1(2
1
3)1(
11)1(
13
)1(31
)1(33
FF
aa
KKKK
)2(
3
)2(2
3
2)2(
33)2(
32
)2(23
)2(22
FF
aa
KKKK
Node 1xb=2
a1
Elemen 2 Elemen 1
5/8/2014 [email protected] 75
7.…Assembly… (hal189)
• Assembly:
• Matrik di atas adalah gabungan dari dua matrik ini:
)1(
1
)1(3
)2(3
)2(2
1
3
2
)1(11
)1(13
)1(31
)1(33
)2(33
)2(32
)2(23
)2(22
0
0
FFF
F
aaa
KKKKKK
KK
Elemen 1 Elemen 2
)1(
3
)1(2
1
3)1(
11)1(
13
)1(31
)1(33
FF
aa
KKKK
)2(
3
)2(2
3
2)2(
33)2(
32
)2(23
)2(22
FF
aa
KKKK
5/8/2014 [email protected] 76
7.…Urutan… (hal189)
• Secara teoretis sistem persamaan linier di atas dapat diselesaikan pula secara mudah.
• Walaupun arraynya tidak urut tetapi
{a2, a3, a1}t
• Namun penyelesaian dengan komputer lebih mudah kalau suatu array disusun dengan urutan dari kecil ke besar yaitu
{a1, a2, a3}t
5/8/2014 [email protected] 77
7.…Pengurutan… (hal191)
• Matrik asli:
• Matrik sesudah diurutkan:
)1(
1
)1(3
)2(3
)2(2
1
3
2
)1(11
)1(13
)1(31
)1(33
)2(33
)2(32
)2(23
)2(22
0
0
FFF
F
aaa
KKKKKK
KK
)1(3
)2(3
)2(2
)1(1
3
2
1
)1(33
)2(33
)2(32
)1(31
)2(23
)2(22
)1(13
)1(11
00
FFFF
aaa
KKKKKKKK
5/8/2014 [email protected] 78
7.AssemblySecaraUmum(hal191)
• Matrik residual pada elemen e dan nomor titik global s dan r:
• Tambahkan Ksr(e) ke dalam Baris s dan Kolom r pada
matriks besar, dan tambahkan Fs(e) ke Baris s kedalam
vektor beban:
)(
)(
)()(
)()(
er
es
r
se
rre
rs
esr
ess
FF
aa
KKKK
)(
)(
)()(
)()(
er
es
r
s
err
ers
esr
ess
F
F
a
a
KK
KK
Kolom rKolom s
Baris s
Baris r
5/8/2014 [email protected] 79
7.SifatPenomoranRandom(hal.192)• Penomoran global di elemen
• Penomoran global untuk penyelesaian
x8 2 31 45 67 9(3) (6) (2) (5) (8) (1) (7) (4)
xNode s
xs
Node rxr
1s
(e)
1
s(e)
as
ar
5/8/2014 [email protected] 80
7.TabelKoneksitas8elemen(hal192)• Setiap notasi lokal harus disesuaikan dengan notasi
global dan sebaliknya.• Untuk kasus 8 elemen linier di atas disusun tabel
koneksi koordinat lokal ke globalNomorElemen
Titik Lokal 1 menjadiTitik Global
Titik Lokal 2 menjadiTitik Global
(1) 4 9(2) 5 1(3) 8 2(4) 3 6(5) 1 7(6) 2 5(7) 9 3(8) 7 4
5/8/2014 [email protected] 81
7.MatriksPersamaanElemen(hal.192)• Penomoran global
• Matriks Residual di elemenx8 2 31 45 67 9
(3) (6) (2) (5) (8) (1) (7) (4)
)3(
2
)3(8
2
8)3(
22)3(
28
)3(82
)3(88
FF
aa
KKKK
)6(
5
)6(2
5
2)6(
55)6(
52
)6(25
)6(22
FF
aa
KKKK
)5(
7
)5(1
7
1)6(
77)6(
71
)5(17
)5(11
FF
aa
KKKK
)8(
4
)8(7
4
7)8(
44)8(
47
)8(74
)8(77
FF
aa
KKKK
)1(
9
)1(4
9
4)1(
99)1(
94
)1(49
)1(44
FF
aa
KKKK
)4(
6
)4(3
6
3)4(
66)4(
63
)4(36
)4(33
FF
aa
KKKK
)7(
3
)7(9
3
9)7(
33)7(
39
)7(93
)7(99
FF
aa
KKKK
)2(
1
)2(5
1
5)2(
11)2(
15
)2(51
)2(55
FF
aa
KKKK
understand the pattern
5/8/2014 [email protected] 82
7.MatriksLengkap8Elemen(hal.193)
)7(9
)1(9
)3(8
)8(7
)5(7
)4(6
)6(5
)2(5
)8(4
)1(4
)7(3
)4(3
)6(2
)3(2
)5(1
)2(1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)7(99
)1(99
)1(94
)7(93
)3(88
)3(82
)8(77
)5(77
)8(74
)5(71
)4(66
)4(63
)6(55
)2(55
)6(52
)2(51
)1(49
)8(47
)8(44
)1(44
)7(39
)4(36
)7(33
)4(33
)3(28
)6(25
)6(22
)3(22
)5(17
)2(15
)5(11
)2(11
00000000000000000000000000000000
000000000000
000000000000
FFF
FFF
FFFFFFFFFF
aaaaaaaaa
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKK
5/8/2014 [email protected] 83
7.KarakteristikMatriks(hal.193)
• Dengan penomoran titik dan elemen secara acak, tidak mempengaruhi jumlah anggota matriks yang mempunyai nilai nol
• Namun penomoran secara acak berakibat pada lebar pita matriks yang semakin besar, sehingga mengakibatkan penyelesaian matriks lebih lama
5/8/2014 [email protected] 84
8.FungsiCobaGlobal(hal.195)
• Fungsi coba global mempunyai nilai tidak nol (kecuali di beberapa lokasi) pada seluruh (global) domain.
xx1(xa=1)
x2 x5(xb=2)
x3 x4
Û
a1a2 a3 a4
a5
5/8/2014 [email protected] 85
8.FungsiCobadalamElemen(hal.195)• Fungsi coba lokal mempunyai nilai tidak nol
(kecuali di beberapa lokasi) hanya pada bagian sempit (lokal) dari domain, dan identik dengan nol di lain tempat.
xx1(xa=1)
x2 x5(xb=2)
x3 x4
Û(2)
(2)
a2 a3
5/8/2014 [email protected] 86
8.KeuntunganFEM(hal.196)
• Matriks stiffness biasanya mempunyai sangat banyak nol, sehingga mampu untuk menampung lebih banyak persamaan.
• Bagian yang tidak nol, biasanya diperoleh dari satu jenis elemen, jadi persamaan residual elemen dapat digunakan berulang-ulang.
• Persamaan tiap elemen sangat mudah dikumpulkan dengan menggabungkan tiap suku kedalam lokasi yang tepat kedalam matriks stiffness.
• Kondisi batas dengan mudah diaplikasikan.
5/8/2014 [email protected] 87
9.12LangkahUntukElemen(hal197)A. Pengembangan Teori
1. Tulis persamaan residual Galerkin untuk suatu elemen
2. Integration by parts3. Substitusi persamaan residual
elemen kedalam Butir 2. Hasilnya berupa persamaan elemen.
4. Tentukan “fungsi bentuk”5. Substitusikan “fungsi bentuk”
kedalam “solusi coba” sehingga didapat sistem persamaan, dan ubah integral agar cocok untuk hitungan numerik
6. Siapkan formula untuk “debit” dengan “solusi coba”
B. Hitungan Numerik
7. Siapkan data lapangan8. Hitung suku-suku interior
dalam elemen, assemble ke dalam suku-suku sistem persamaan
9. Aplikasikan kondisi batas kedalam persamaan baik KB maupun KBI.
10. Selesaikan sistem persamaan linier
11. Hitung “debit”12. Tayangkan “penyelesaian
pendekatan” dan estimasi ketelitiannya