Bab 2 permutasi dan kombinasi
-
Upload
mirabela-islami -
Category
Education
-
view
862 -
download
11
Transcript of Bab 2 permutasi dan kombinasi
![Page 1: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/1.jpg)
Permutasi dan Kombinasi
![Page 2: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/2.jpg)
Permutasi Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan
yang berbeda dari urutan yang semula.
Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan
![Page 3: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/3.jpg)
Permutasi Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri
dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan
dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi.
Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy)
yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka
dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat
menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin,
yaitu:
![Page 4: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/4.jpg)
Permutasi
Bola:
m b p
Kotak:
1 2 3
Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?
![Page 5: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/5.jpg)
Lanjutan Permutasi
1 2 3 4 5 6
Kemungkinan urutan bola
![Page 6: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/6.jpg)
Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan
MB P M B
PP B M P
B
BM P B M
PP M B P
M
PM B P M
BB M P B
MJumlah kemungkian urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah (3)(2)(1) =3! = 6
![Page 7: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/7.jpg)
Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, … urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah
n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!
Definisi 1: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
![Page 8: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/8.jpg)
Penyelesaian:
Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata
Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian: P(25, 25) = 25!
![Page 9: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/9.jpg)
Permutasi r dari n elemen Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak.
Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?
Penyelesaian: kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan). Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120
1 2 3
Bola
![Page 10: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/10.jpg)
Perampatan:Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r ≤ n), maka kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan) ;kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n–1) bola (ada n–1 pilihan);kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n–2) bola (ada n–2 pilihan);… kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari {n–(r–1)} bola (ada n–r+1 pilihan)
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah:
n(n – 1)(n – 2)…{n – (r – 1)}
![Page 11: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/11.jpg)
Permutasi Contoh 3.2
Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?
Penyelesaian
Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau
Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.
![Page 12: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/12.jpg)
Permutasi Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul
bersama?
![Page 13: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/13.jpg)
Permutasi Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan
sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan,
sehingga banyaknya permutasi adalah
4.3.2.1 = 24
![Page 14: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/14.jpg)
Permutasi Definisi 3.2
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang
dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).
![Page 15: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/15.jpg)
Permutasi Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
![Page 16: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/16.jpg)
Permutasi Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :
Jika r = n, maka persamaan menjadi
![Page 17: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/17.jpg)
Permutasi Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
![Page 18: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/18.jpg)
Permutasi Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang
berbeda, misalnya ABCDE.
![Page 19: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/19.jpg)
Permutasi Penyelesaian
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
![Page 20: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/20.jpg)
Permutasi
Banyaknya permutasi n benda dari n benda yang berbeda ada n!
Contoh :
Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d adalah 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara. (peraturan general)
Contoh :
Banyaknya permutasi yang mungkin bila kita mengambil 2 huruf dari 4 huruf tersebut.
![Page 21: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/21.jpg)
Permutasi
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!
contoh :
Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d jika keempatnya disusun dalam sebuah lingkaran adalah 4-1! = 3 x 2 x 1 = 6
Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1
di antaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, nk
berjenis ke-k adalah
![Page 22: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/22.jpg)
Permutasi
Contoh :
Berapa banyak susunan berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon Natal dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru?
![Page 23: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/23.jpg)
FaktorialHasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n factorial ditulis n!Jadi n ! = 1.2.3….…..(n-2)(n-1).nCatatan:1! = 1 dan0! = 1
Contoh 1:3! = 1 x 2 x 3 = 6Atau3! = 3 x 2 x 1 = 6
Contoh 2:5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120Atau5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
![Page 24: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/24.jpg)
SoalHitunglah:1. 5! + 3!2. 7! - 3!3. 4! X 5!4. 10! : 7!
Jawab 1:5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 1203! = 3 x 2 x 1 = 65! + 3! = 120 + 6 = 126
Jawab 2:7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5.0403! = 3 x 2 x 1 = 67! – 3! = 5040 – 6 = 5.034Jawab 3:
4! = 4 x 3 x 2 x 1= 245! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1204! X 5! = 24 + 120 = 144
Jawab 4:10!7!
= 10 x 9 x 8 x 7!7!
=10 x 9 x 8 = 720
![Page 25: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/25.jpg)
Definisi 2:
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.
)}1()...{3)(2)(1(),( −−−−−= rnnnnnrnP)!(
!
rn
n
−=
)!(
!),(
rn
nrnP
−=
![Page 26: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/26.jpg)
Penyelesaian:a).Cara 1: dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 120 buah
Cara 2: dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 120 buahb).Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53 =125 buah Tidak dapat diselesaiakan dengan rumus permutasi
Contoh 7. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka
berikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika:a) Tidak boleh ada pengulangan angka;b) Boleh ada pengulangan angka
![Page 27: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/27.jpg)
Penyelesaian:Permutasi dari 26 huruf diambil 4 huruf P (26, 4) = 26!/(26-4)! = 26 x 25 x 24 x 23 = 358.800 buah
Permutasi dari 10 angka diambil 3 angka P (10, 3) = 10!/(10-3)! = 10 x 9 x 8 = 720 buah
Banyak kode buku: P(26, 4) x P(10, 3) = 258.336.000
Contoh 8. Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula?
![Page 28: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/28.jpg)
Kombinasi
Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan,
maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak?
Perhatikan ilustrasi berikut
![Page 29: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/29.jpg)
1 2
12
Kejadian yang sama
1 2
12
Kejadian yang sama
1 2
12
Kejadian yang sama
Banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak = hanya ada 3 cara
P(3, 2)2!
=
3 x 2!
2! =
= 3
3!1!
2!
![Page 30: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/30.jpg)
Misalkan sekarang ada 3 buah bola yang warnanya sama dan jumlah kotak 10 buah. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak? Penyelesaian:
P(10, 3)3!
=
10 x 9 x 8 x 7!
7! =
= 120
10!7!
3! 3 X 2 x 1
10 x 9 x 8
3 x 2 x 1 =
3 4
![Page 31: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/31.jpg)
Secara Umum:
Jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah:
!
)}1()...{3)(2)(1(
r
rnnnnn −−−−−)!(!
!
rnr
n
−=
Perhitungan semacam di atas disebut combinasi r elemen dari n obyek, yang dituliskan C(n, r)
C (n, r ) sering dibaca "n diambil r ", artinya r objek diambil dari n buah objek.
![Page 32: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/32.jpg)
Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n, r ), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
Definisi 3
),( rnC)!(!
!
rnr
n
−=
![Page 33: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/33.jpg)
Interpretasi Kombinasi
C (n, r ) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen, yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.
Misal : A={1, 2, 3}Julah Himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen:
{1, 2} = {2, 1}{1, 3} = {3, 1}{2, 3} = {3, 2}
3 buah
atau
)2,3(C)!23(!2
!3
−= 3=
![Page 34: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/34.jpg)
C (n, r ) = cara memilih r buah elemen, dari n buah elemen yang ada tetapi urutan elemen diabaikan.Contoh:Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dll) yang beranggotakan 5 orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25Penyelesaian
)5,25(C)!525(!5
!25
−=
Panitia / komite / komisi adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota didalam panitia kedudukannya sama
25 x 24 x 23 x 22 x 21 x 20!
20! =
!20!5
!25=5 x 4 x 3 x 2 x 1 x
5
= 53.130
![Page 35: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh 9. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: (a) mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; (b) mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; (c) mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; (d) mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; (e) mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; (f) setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B
termasuk di dalamnya.
![Page 36: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/36.jpg)
Penyelesaian: (a) C(9, 4) = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya.
(b) C(9, 5) = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya.
(c) C(8, 4) = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak.
(d) C(8, 4) = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak.
(e) C(8, 3) = 56 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya.
![Page 37: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/37.jpg)
(f) Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya
= jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak
+ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak
+ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya
= 70 + 70 + 56 = 196
Prinsip inklusi-eksklusi: X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X ∩ Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A
dan B, maka X = C(9, 4) = 126; Y = C(9, 4) = 126;
X ∩ Y = C(8, 3) = 56; X ∪ Y = X + Y - X ∩ Y = 126 + 126 – 56 = 196
![Page 38: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/38.jpg)
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable). n1 bola diantaranya berwarna 1, n2 bola diantaranya berwarna 2, nk bola diantaranya berwarna k, dan n1 + n2 + … + nk = n. Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?
![Page 39: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/39.jpg)
Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah:
P(n, n) = n!. Dari pengaturan n buah bola itu,
ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1 ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2
ada nk! cara memasukkan bola berwarna k Permutasi n buah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah:
!!...!
!
!!...!
),(),...,,;(
2121
21
kk
k nnn
n
nnn
nnPnnnnP ==
![Page 40: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/40.jpg)
Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah: C(n; n1, n2, …, nk) = C(n, n1) C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2 , n3)
… C(n – n1 – n2 – … – nk-1, nk)
= )!(!
!
11nnn
n
−
)!(!
)!(
212
1
nnnn
nn
−−−
)!(!
)!(
213
21
knnnnn
nnn
−−−−−
… )!...(!
)!...(
121
121
kkk
k
nnnnnn
nnnn
−−−−−−−−−
−
−
= k
nnnn
n
!...!!
!
321
![Page 41: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/41.jpg)
Kesimpulan:
!!...!
!),...,,;(),...,,;(
21
2121
k
kk nnn
nnnnnCnnnnP ==
![Page 42: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/42.jpg)
Contoh 10. Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesaian: S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I} huruf M = 1 buah (n1) huruf I = 4 buah (n2) huruf S = 4 buah (n3) huruf P = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | S |
Cara 1: Jumlah string = P(11; 1, 4, 4, 2)
= 34650)!2)(!4)(!4)(!1(
!11 = buah.
Cara 2: Jumlah string = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2)
= )!0)(!2(
!2.
)!2)(!4(
!6.
)!6)(!4(
!10.
)!10)(!1(
!11
= )!2)(!4)(!4)(!1(
!11
= 34650 buah
![Page 43: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/43.jpg)
Contoh 11. Berapa banyak cara membagikan delapan buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah mangga. Penyelesaian: n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8
Jumlah cara membagi seluruh mangga = 420)!2)(!2)(!4(
!8 = cara
![Page 44: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/44.jpg)
Contoh 12. 12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong). Berapa jumlah cara pengaturan lampu? Penyelesaian: n = 18; n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, dan n4 = 6 (socket kosong)
Jumlah cara pengaturan lampu = )!6)(!5)(!3)(!4(
!18 cara
![Page 45: Bab 2 permutasi dan kombinasi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022082200/55ae29371a28ab373c8b484d/html5/thumbnails/45.jpg)
Kombinasi Dengan Pengulangan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. (i) Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu
buah bola.
Jumlah cara memasukkan bola: C(n, r).
(ii) Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola)
Jumlah cara memasukkan bola: C(n + r – 1, r).
C(n + r – 1, r) = C(n + r –1, n – 1).