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MATEMÁTICA BÁSICA
Aula 01 – mtm B
Múltiplos e Divisores Paridade
Par: x = 2n, n∈Z
Exemplo 1: 6
6 = 2.3 n = 3
Ímpar: x = 2n+1, n∈Z
Exemplo 2: 9
9 = 2.4 +1 n = 4
Exemplo 3: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( ) 3,2 é um número sem paridade. ( ) 2,4 é um número par. ( ) Zero é um número sem paridade. ( ) - 2 é um número par. ( ) (UFPR) 0,999... é um número ímpar.
V F F
V V
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2: Números pares.
Divisibilidade por 3: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 3.
Exemplos: 4, 16, 13750.
Exemplo 1: 2759 2+7+5+9 = 23 23 não é divisível por 3, logo 2759 também não é.
Exemplo 2: 1902 1+9+0+2 = 12 12 é divisível por 3, logo 1902 também é.
Divisibilidade por 4: Número formados pelos dois últimos algarismos divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Números terminados em 0 ou 5.
Exemplo 1: 777732 32 é divisível por 4, logo 777732 também é.
Exemplo 2: 555500 0 é divisível por 4, logo 555500 também é.
Exemplos: 10, 125, 22225.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 6: Números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplo : 1902
1+9+0+2 = 12
1902 é divisível por 6.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
12 é divisível por 3, logo 1902 é divisível por 3.
É um número par, logo divisível por 2.
Divisibilidade por 7:
Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou.
Exemplo 1: 715 4 7154 x 2 = 8 - 8 707 70 7 x 2 = 14
- 14 56
56 é divisível por 7, logo 7154 também é.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 7:
Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou.
Exemplo 2: 230 3 2303 x 2 = 6 - 6 224 22 4 x 2 = 8
- 8 14
14 é divisível por 7, logo 2303 também é.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 8: Números formado pelos três últimos algarismos divisível por 8.
Exemplo 1: 3333016 16 é divisível por 8, logo 3333016 também é.
Exemplo 2: 1111000 0 é divisível por 8, logo 1111000 também é.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 9: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Números terminados em 0 (zero).
Exemplo 2: 27594 2+7+5+9+4 = 27 27 é divisível por 9, logo 27594 também é.
Exemplo 1: 1902 1+9+0+2 = 12 12 não é divisível por 9, logo 1902 também não é.
Exemplos: 30, 920, 3131310.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 11: Números cuja soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11.
8 0 é divisível por 11, logo 35431 também é. - 8 = 0
3 - 22 é divisível por 11, logo 9130825 também é. - 25 = - 22
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Exemplo 1: 3 5 4 3 1
Exemplo 2: 9 1 3 0 8 2 5
Divisibilidade por 12: Números divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Exemplo: 54012
5+4+0+1+2 = 12 12 é divisível por 3, logo 54012 é divisível por 3.
É um número que termina em 12, logo divisível por 4.
54012 é divisível por 12.
Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade
Lei – O número deve ser divisível por outros dois, tais que eles sejam primos entre si e que o produto dê o divisor.
Exemplos: 18 Deve ser divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo. 20 Deve ser divisível por 4 e 5 ao mesmo tempo.
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Menor múltiplo comum entre os números dados.
Exemplo 1: Calcule o M.M.C. de 50, 60 e 100.
50, 60, 100 2 25, 30, 50 2 25, 15, 25 3
25, 5, 25 5 5, 1, 5 5 1, 1, 1
multiplicar
M.M.C. (50, 60, 100) = 2.2.3.5.5 = 22.3.52 = 300
Múltiplos e Divisores
Resolução:
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
Maior divisor comum entre os números dados.
Exemplo 2: Calcule o M.D.C. de 60, 140 e 420.
60, 140, 420 2 30, 70, 210 2 15, 35, 105 5
3, 7, 21
multiplicar
M.D.C. (60, 140, 420) = 2.2.5 = 2².5 = 20
Múltiplos e Divisores
primos entre si
Resolução:
Exemplo 3: (FGV) Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por exemplo, imagine que, em uma avenida de um bairro temos três semáforos A, B e C. O semáforo A fica verde a cada 15 segundos; o semáforo B, a cada 20 segundos ; o semáforo C, a cada 25 segundos. Às 7h, simultaneamente os 3 semáforos, ficaram verdes ao mesmo tempo, a próxima vez que simultaneamente os 3 semáforos ficarão verdes ao mesmo tempo será à que horas:
Múltiplos e Divisores
Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC?
15, 20, 25 2 15, 10, 25 2
15, 5, 25 3 5, 5, 25 5
1, 1, 5 5 1, 1, 1
M.M.C. (15, 20, 25) = 2.2.3.5.5 = 2².3.5² = 300seg
300seg = 5min, logo às 7h e 5min.
Exemplo 4: Erivaldo possui 90 livros de geometria, 96 de trigonometria 144 de álgebra e 210 de culinária, ele deseja reparti-los pelo maior número possível de alunos, de modo que cada um receba o mesmo número de livros de cada tipo. Quantos alunos que ele conseguirá contemplar?
Múltiplos e Divisores
Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC?
90, 96, 144, 210 2 45, 48, 72, 105 3
15, 16, 24, 35
M.D.C. (90, 96, 144, 210) = 2.3 = 6 alunos
Geo Trigo Álg Culinária
Exemplo 5: (CEM – SIMULADO) Ao fazer a triagem das doações para as famílias desabrigadas de SC, um grupo de pessoas contou 200 peças de roupas, 120 cobertores e 80 brinquedos. Se esse grupo montou o maior número possível de cestas com a mesma quantidade de itens de cada tipo por cesta, então haverá quantas cestas, com quantas peças de roupa, com quantos cobertores e quantos brinquedos em cada cesta.
Múltiplos e Divisores
Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC?
200, 120, 80 2 100, 60, 40 2
50, 30, 20 2 25, 15, 10 5
5, 3, 2
M.D.C. (200, 120, 80) = 2.2.2.5 = 40 cestas
roupa cobertor brinquedo
Peças de roupa: Cobertores: Brinquedos: 5 3 2
Números Primos Todo número que assume apenas dois divisores naturais. Exemplos: 2, 3, 13.
Números Primos Entre Si Números que possuem o M.D.C. igual a 1. Exemplos: 5 e 12.
4, 9 e 35. 105 e 88.
Múltiplos e Divisores
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) 1 é um número primo. ( ) (UFSC) 2 é o único número par primo.
F V
Números Compostos Todo número que assume mais de dois divisores naturais.
Múltiplos e Divisores Epístola de Eratóstenes
Método para verificar se um número é primo. Passo 1:
Exemplo 1: Verificar se 221 é primo.
Liste os números naturais que o quadrado é menor que o número a se verificar.
Passo 2: Verificar quais são os divisores da lista, através dos critérios de divisibilidade.
13²= 169 14²= 196 15²= 225
15² > 221, então vamos verificar até 14.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
221 não é primo.
Resolução:
Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 1: Encontre quantos divisores possui o número 36.
36 2 18 2
9 3 3 3 1
36 = 2.2.3.3 = 22.32
d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9
Múltiplos e Divisores
Resolução:
Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 2: Encontre quantos divisores possui o número 540.
Múltiplos e Divisores
540 2 270 2 135 3
45 3 15 3
5 5 1
540 = 2.2.3.3.3.5 = 22.33.51
d = (2+1).(3+1).(1+1) = 3.4.2 = 24
Resolução:
Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade.
Múltiplos e Divisores
Exemplo 3: O número 9.10x possui 12 divisores. Calcule x.
As bases devem ser números primos.
x1 =
9.10x = 32.2x .5x
(2 + 1).(x + 1).(x + 1) = d - 1 3.(x + 1)2 = 12
(x + 1)2 = 4 x2 + 2x + 1 = 4 x2 + 2x - 3 = 0
2
S = {1}
Resolução:
Conhecendo os Divisores de Um Número
Exemplo 1: Encontre o conjunto dos divisores de 36.
36 2 18 2
9 3 3 3 1
1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36
36 = 2.2.3.3 = 22.32
d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9
Múltiplos e Divisores
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Conhecendo os Divisores de Um Número
Exemplo 2: Encontre o conjunto dos divisores de 180.
180 2 90 2 45 3 15 3
5 5 1
1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180
180 = 2.2.3.3.5 = 22.32.51
d = (2+1).(2+1).(1+1) = 3.3.2 = 18
Múltiplos e Divisores
D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}
M.M.C.(a, b) . M.D.C.(a, b) = a.b
Exemplo 1: Sabendo que M.M.C.(20, x) = 180 e M.D.C.(20, x) = 4, calcule x.
M.M.C.(20, x) . M.D.C.(20, x) = 20 . x
180 . 4 = 20 . x
720 = 20 . x
x = 36
Múltiplos e Divisores
S = {36}
FIM
Aula 01 – mtm B