Az analízis alkalmazásai a

modellezésben

Tejes Viktor

Matematika BSc, Matematikai elemz® szakirány

Szakdolgozat

Témavezet®:

Valkó Éva

Tanársegéd

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

Budapest, 2017.

Tartalomjegyzék

1. Modell felépítése 21.1. A modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Paraméterek a modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Modell-vizsgálat 82.1. Egyensúlyi pontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. A reprodukciós számról általánosan . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Reprodukciós szám a mi modellünkben . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1. Dekompozíciós technika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2. Következ® fert®zött generációt leíró mátrix . . . . . . . . . 192.3.3. A fert®zésmentes egyensúlyi pont stabilitásának vizsgálata

linearizálás segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. A modell paramétereinek vizsgálata 233.1. A szexuális partnerek számának (k) megváltozása . . . . . . . . . 243.2. A szexuális viselkedés (βi) megváltozása . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Összegzés 30

5. Függelék 315.1. Egyenletrendszer Jacobi-mátrixának meghatározása . . . . . . . . 315.2. FV −1 felbontás és spektrálsugár-számítás Matlab segítségével . . 325.3. Az egyenletrendszer megoldásának meghatározása ode45 segítségével 32

5.3.1. calclambda - λ meghatározása . . . . . . . . . . . . . . 335.4. Példa-megoldás fert®zésmentes esetben Matlab segítségével . . . . 33

Irodalomjegyzék 34

I

Köszönetnyilvánítás

�A kitartás az a kemény munka,amit akkor végzel, ha már belefáradtál a kemény munkába.�Newton Leroy Gingrich

Szeretném megköszönni Valkó Éva rendíthetetlen kitartását, az újra- és újramegújuló lelkesedését. Bár többször futottunk neki a dolgozati téma feldolgozá-sának, Éva mindig újult er®vel vetette bele magát a közös munkába. Köszönöm alehet®séget, hogy ebben a témában kutathattam és a segítségével mélyebb meg-értést szerezhettem benne.

Köszönöm Flaskay Zsuzsának és Busai Ágotának a szakdolgozat lektorálását.Továbbá köszönöm a szüleim támogatását és kitartását is az egyetemi éveim

alatt. Nélkülük nem sikerülhetett volna.

II

Bevezetés

A szerzett immunhiányos tünetegyüttes, az AIDS-járvány egy komoly, világszer-te növekv® közegészségügyi probléma. Az okokat és a f® átadási metódusokatismerjük, de az er®források a HIV vírussal fert®zött betegek kezelésére és a vírusterjedése ellen fordított harcra végesek. A közegészségügyi terveket akadályozzáka kulcs járványügyi-paramétereket övez® bizonytalanságok: a fert®zés átlagos le-futási ideje és intenzitása; a fert®zöttek mekkora részénél fejl®dik ki AIDS, és ezmennyi id® alatt megy végbe. Ezekb®l kifolyólag a járvány kontroll alatt tartá-sa nagymértékben függ attól, hogy mennyire sikerül a különböz® alcsoportokbatartozó (fert®zött) betegeket ösztönözni a viselkedésük, illetve szokásaik megvál-toztatására és attól, hogy hogyan sikerül optimalizálni a betegek számára elérhet®kezeléseket.

Mindkét megközelítés a járvány népességen gyakorolt számszer¶síthet®, dina-mikai ismeretét és megértését igényli. Ennek az alapja kett®s: el®ször is infor-mációt kell kinyernünk a HIV fert®zés alakulásáról és a HIV fert®z®dés, illetveátadás esélyét növel® emberi viselkedésr®l, megfelel® monitoring rendszerek ki-dolgozásával. Másodszor matematikai modelleket kell alkotnunk és fejlesztenünk,amelyek képesek a kinyert információk teljes analízisére. Ezen dolgozat célja: S.D. Hove-Musekwa és F. Nyabadza 2008-as kutatását, illetve a �The dynamics ofan HIV/AIDS model with screened disease carriers� cím¶ cikkét [1] alapul véveaz abban bemutatott egyik matematikai modell megismerése és numerikus mo-dellezése.

A fert®zés lefolyása

Az AIDS a HIV (Human Immunode�ciency Virus) által el®idézett nagyon magashalálozási rátával bíró tünetegyüttes, amelyet 1981-ben azonosítottak, de márjóval régebben jelen volt, els®sorban majmokban és kés®bb t®lük került át az em-berbe. Ennek érdekessége, hogy a majmok tünetmentesen együtt élnek a vírussalegész életükön át, míg az embernél a tünetmentesség csak átmeneti állapot. AHIV viszonylag egyszer¶ vírus, az ember komplex immunrendszerével kölcsönha-tásban mégis rettent®en bonyolult rendszert alakít ki, amit a nagy er®kkel folyókutatások ellenére máig sem sikerült teljesen megérteni. Bizonyos kérdések tisz-tázásában a matematikai modellezés is segíthet.

A HIV egy olyan vírus, amely a szervezet természetes védelmi rendszerét,az immunrendszert támadja meg. Elpusztítja a fehérvérsejtek egy fajtáját, amit

III

T sejteknek vagy CD4 sejteknek nevezünk, miel®tt azonban végezne a sejttel,önmagáról másolatokat képez a sejt belsejében, így megfert®zve és a vírus sok-szorosítására bírva azt.

Ahogy a CD4 sejtszám csökken, és a vírusszint növekszik, a szervezet elveszí-ti a természetes védekez®képességét, ami azt jelenti, hogy ha egy HIV-fert®zöttszemély nem részesül kezelésben, az id® el®rehaladtával egyre nehezebben fogjatudni leküzdeni az egyszer¶bb fert®zéseket, betegségeket. Ezért is nevezzük a ví-rus által okozott �betegséget� szerzett immunhiányos tünetegyüttesnek (AIDS =�Acquired Immune De�ciency Syndrome�).

A HIV vírussal fert®zött emberek immunrendszere kezelés nélkül megközelí-t®leg 10 � 15 évig is képes ellátni a szervezet védelmét, de ez az id®tartam egyé-nenként változhat. Nagyban függ a beteg életkorától, egészségügyi állapotától ésa szociális hátterét®l.

Mint azt már említettük, maga az AIDS nem egy konkrét vírus, hanem tü-netek együttes megjelenése, amelyet a HIV idéz el®. Azt mondjuk, hogy egyember AIDS-es, ha az immunrendszere annyira legyengült a HIV hatására, hogynem képes a fert®zések elleni harcra, és a szervezet ennek következtében bizonyosmeghatározott tüneteket és betegségeket produkál. Sokszor hivatkoznak erre úgy,mint egy kés®i HIV fert®zéses stádium [2] (kés®bb a dolgozatban mi is így fogunkrá hivatkozni).

1

1. fejezet

Modell felépítése

1.1. A modell

Matematikai modelleket már használtak a HIV és AIDS terjedésének dinamikaimodellezésére. Az elmúlt években jelent®s �gyelmet kapott a beavatkozások ha-tásának nyomonkövetése ezeken a modelleken keresztül. A járvány vizsgálata mamár jelent®sen túlmutat a vírusvizsgálaton és a fert®zésesélyek elemzésén, a mo-dellek összetettebbek és nagyobb hangsúlyt fektetnek a terjedés és továbbfert®zéselméletére, továbbá a különböz® beavatkozások népességre gyakorolt hatásánakvizsgálatára. Vizsgálhatjuk akár az egészségügy-politika hatását, például sokancsak késve vagy egyáltalán nem jutnak ellátáshoz, vagy véletlenszer¶ sz¶r®vizsgá-latok során kisz¶rik a tünetmentes fert®zötteket. Felállítottak már olyan model-leket is, amelyek �gyelembe veszik a sz¶réseket is a járvány feltérképezésénél [3].Hagyományosan a HIV fert®zést leíró sémák stádiumos bontásban vizsgálják apopulációt: a fert®zött egyének különböz® megbetegedési fázisokon mennek végig,amíg kifejl®dik bennük a klinikai AIDS betegség.

A populáció egyedei négy csoportba sorolhatók. Jelölje:

S(t) := a t. id®pillanatban az egészséges, a fert®zés szempontjából

veszélyeztetettek számát,

I(t) := a t. id®pillanatban a fert®z® és tüneteket produkáló betegek

(innent®l normál fert®zöttek) számát,

C(t) := a t. id®pillanatban a fert®z®, de tünetmentes vírushordozók számát,

A(t) := a t. id®pillanatban az AIDS-esek számát.

2

Jelölje a továbbiakban N(t) a populáció méretét a t. id®pillanatban:

N(t) := S(t) + I(t) + C(t) + A(t).

1.2. Paraméterek a modellben

A dolgozatban célunk S. D. Hove-Musekwa és F. Nyabadza cikkét reprodukálni[1], további vizsgálatokkal kiegészíteni. A paraméterkészletet a HIV, illetve AIDSkutatásban szokásos bet¶készlettel állítottuk föl, a paraméterértékeket pedig apublikált értékhatárok közé állítottuk be [1]. A modellben használt paraméterek:

Π := össznépesség-beáramlás

p := a vírus továbbadásának átlagos valószín¶sége egy intim érintkezés során

µ := általános (betegségt®l független), átlagos halálozási ráta

σ := a normál fert®zöttek stádiumváltási hányada a hordozók csoportjában

ρi := adott csoportból az AIDS-es stádiumot közvetlenül elér®k rátája

δ1 := AIDS-hez köthet® halálozási ráta

Jelölje β annak a valószín¶ségét, hogy egy HIV vírushordozó fert®z®képes személymilyen eséllyel fert®z tovább egy, a veszélyeztetettek csoportjába tartozó személyt.Ezt két komponensb®l képezzük, egyik a közeli kontaktusok esélye két ember kö-zött, amelyben vírusátadás történhet (függ a társadalom eloszlási mintájától),másik a fert®z®dés valószín¶sége közeli kontaktus alatt (függ a fert®z® organiz-mus veleszületett fert®z®képességét®l és, talán a gazda genetikai és viselkedésiérzékenységét®l). A fert®zés valószín¶sége jelent®s szerepet tölt be a fert®zés ha-tásának vizsgálatakor, egy f®re lebontva megadja, hogy a fert®zés szempontjábólveszélyeztetettek milyen rátával fert®z®dnek meg. Azonban β értékének meghatá-rozása nehéz, mivel nagy részben viselkedési faktoroktól függ, és ezért egy személyHIV-vel fert®z®désének kockázatát nagymértékben meghatározza az egyén maga-tartása és szerepe a nemi érintkezés során.

Legyen p a vírus-továbbadás átlagos valószín¶sége egy érintkezés során, ekkorannak a valószín¶sége, hogy egy veszélyeztetett egészséges személy nem kapja ela betegséget egy fert®z® személyt®l egy kontaktus során 1− p. Továbbgondolva,annak a valószín¶sége, hogy valaki n érintkezés során nem fert®z®dik meg (1−p)n,amib®l a vírusfert®zés valószín¶sége partnerenként tehát: β = 1 − (1 − p)n [4].Legyenek β1, β2 és β3 a fert®zés valószín¶ségei a különböz® csoportokra: a tünete-ket produkáló betegek, sz¶r®vizsgálaton még át nem esett hordozók, AIDS-esek.Feltesszük, hogy egy veszélyeztetett személy megfert®z®dése a legnagyobb eséllyela betegségükr®l nem tudó csoportból való egyénnel létesített kapcsolat során alegmagasabb, vagyis β1 > β3 > β2 .

3

Egy hasonlóan fontos mutatószám az egy f®re jutó átlagos szexuális partnerekszáma, jelölje ezt k. A szexuális partnerek átlaga egy kulcsparaméter az egészség-ügyi el®rejelzésekben. A szexuális partneri viszony és a vírusterjedés egyenesenarányos egymással, és fontos szerepet játszik a járványügyi küszöbszintek meg-határozásakor. A partnerek száma nagyban függ a szociális és környezeti hatá-soktól, er®forrásoktól és a társadalmi lehet®ségekt®l [5], továbbá jelent®sen befo-lyásolhatják kulturális és vallási hatások is. Például számos kultúra engedélyezi afér�aknak, hogy annyi partnerük legyen, amennyit csak szeretnének. Sok embera szegénységéb®l fakadóan az anyagi támogatás reményében vagy bosszúból azindokolatlan megfert®zésért vagy a vírusterjedés dinamikai ismeretének hiányá-ból belemegy a fert®zés szempontjából kockázatos szexuális viselkedésbe. Az újfert®zöttek számát a t. id®pillanatban az alábbi egyenlet határozza meg:

λ(I(t), C(t), A(t)) = k

(β1I(t)

N(t)+ β2

C(t)

N(t)+ β3

A(t)

N(t)

). (1.1)

A kockázatos viselkedés változását a k irányvonalainak elemzésével tudjukvizsgálni, a k értékének hanyatlásával tudjuk érzékeltetni a viselkedésben bekö-vetkezett pozitív változást.

Ezek alapján a modellünk az alábbi els®rend¶, nemlineáris di�erenciálegyenlet-rendszerrel írható le:

S(t) = Π− λ(I(t), C(t), A(t))S(t)− µS(t), S(0) = S0,

I(t) = λ(I(t), C(t), A(t))S(t)− (µ+ σ + ρ1)I(t), I(0) = I0,

C(t) = σI(t)− (µ+ ρ2)C(t), C(0) = C0,

A(t) = ρ1I(t) + ρ2C(t)− (µ+ δ1)A(t), A(0) = A0.

(1.2)

Az egyenletek összegeként megkapjuk a teljes populáció számának változását is:

N(t) = Π− µN(t)− δ1A(t),

N(0) = S0 + I0 + C0 + A0 = N0.

4

1. ábra: Az (1.2)-es di�erenciálegyenlet-rendszerrel megadott modell sematikusábrája

A modell változóiról és paramétereir®l feltesszük, hogy:

1. Minden függ® változó nemnegatív.

2. Π = konstans, és csak a veszélyeztetettek csoportján keresztül történik be-áramlás (nincs HIV rezisztens egyedszámnövekedés). Ez tartalmazza a fel-n®v® �atalkorúakat, akik szexuálisan aktív korosztályba lépnek.

3. A betegség csak heteroszexuális együttlét útján terjed, azaz nem foglalko-zunk a transzplacentális, a vérátömlesztés útján vagy a közös, fert®zött t¶használata során történ® átadásokkal.

4. Az AIDS-es betegek nem csak a fert®zés következtében halhatnak meg (nemcsak δ1 adja a halálozási rátát).

Fert®zésmentes esetben igazolható, hogy limt→∞

N(t) =Π

µ, továbbá, hogy a

Γ =

{(S, I, C,A, )|S, I, C,A ≥ 0, N ≤ Π

µ

}halmaz a di�erenciálegyenlet-rendszerre pozitívan invariáns, biztosítva ezzel, hogya modell jól illesztett és biológiailag helyes.

5

Bizonyítás. A teljes populáció számának alakulását leíró egyenlet alapján:

N(t) = Π− µN(t)− δ1A(t)

N(t) ≤ Π− µN(t)

N(t) + µN(t) ≤ Π

Mindkét oldalt megszorozva eµt -vel,

eµtN(t) + µeµtN(t) ≤ Πeµt,

majd 0-tól τ -ig integrálva[N(τ)− Π

µ

]eµτ ≤ N(0)− Π

µ≤ 0.

Ezzel beláttuk, hogy N(τ) ≤ Πµ.

A bizonyítás teljességéhez még szükségünk van arra, hogy a megoldások közülazok, amelyek Γ peremér®l indulnak Γ-n belül maradnak, ez triviális. �

Az el®z® állítás szemléltetésére nézzük az alábbi példát. A kezdeti paraméte-reink legyenek a következ®k:

β1 = 0,3 β2 = 0,09

β3 = 0,2 k = 1,5

Π = 100000 µ = 0,022

σ = 0,2 ρ1 = 0,001

ρ2 = 0,09 δ1 = 0,33

S(0) = 465000 I(0) = 0

C(0) = 0 A(0) = 0

1.1. táblázat. Fert®zésmentes eset paraméter- és kezdeti értékek

6

1.2. ábra. Fert®zésmentes eset: Az össznépesség (jelen esetben csak S),Π

µ= 4,55 · 106-höz tart.

7

2. fejezet

Modell-vizsgálat

Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a di�erenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi pont-jait és a modell tulajdonságait stabilitásvizsgálaton keresztül. Ez az elemzés le-het®séget ad arra, hogy meghatározzuk a vírus kihalási és túlélési küszöbértékeit.

2.1. Egyensúlyi pontok

Amodell egyensúlyi állapotait úgy tudjuk meghatározni, ha a di�erenciálegyenlet-rendszer jobb oldalát egyenl®vé tesszük nullával:

Π− λ∗S∗ − µS∗ = 0

λ∗S∗ − (µ+ σ + ρ1)I∗ = 0

σI∗ − (µ+ ρ2)C∗ = 0

ρ1I∗ + ρ2C

∗ − (µ+ δ1)A∗ = 0

(2.1)

ahol λ∗ = λ(I∗, C∗, A∗) = k

(β1I∗

N∗+ β2

C∗

N∗+ β3

A∗

N∗

).

A (2.1)-es egyenletrendszer 3. és 4. egyenletéb®l látható, hogy C∗ és A∗ értéke azegyensúlyi pontban az alábbi módon fejezhet® ki I∗ segítségével:

C∗ =σ

µ+ ρ2

I∗,

A∗ =

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

I∗.

8

A C∗-ra és A∗-ra kapott összefüggéseket λ∗ egyenletébe behelyettesítve, a követ-kez®t kapjuk:

λ∗ = k

β1I∗

N∗+ β2

(σ

µ+ ρ2

)I∗

N∗+ β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

I∗

N∗

.

Az egyenletb®lI∗

N∗-ot kiemelve:

λ∗ = φI∗

N∗, ahol φ = k

β1 + β2σ

µ+ ρ2

+ β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

. (2.2)

Helyettesítsük be λ∗-ot a λ∗S∗ − (µ+ σ + ρ1)I∗ = 0 egyenletbe:

φI∗

N∗S∗ − (µ+ σ + ρ1)I∗ = 0,

majd emeljünk ki I∗-ot: (φS∗

N∗− (µ+ σ + ρ1)

)I∗ = 0.

A (2.1) egyenletrendszernek tehát két megoldása létezik:

(a.) I∗ = 0.Ez azt az esetet fedi le, amikor nincs olyan fert®zött személy, aki veszélyez-tetettek csoportjából bárkivel is érintkezne. Tehát a rendszernek van egyjárványmentes egyensúlyi pontja: E0 = ((Π/µ), 0, 0, 0). Ebben az esetbenaz össznépességszám a stabil állapothoz, Π/µ -höz tart (lásd 1.1. ábra).

(b.) Az endemikus egyensúlyi állapot.

Ebben az esetben

(φS∗

N∗− (µ+ σ + ρ1)

)= 0.

Az el®z®ekben C∗-ot és A∗-ot már kifejeztük I∗ segítségével, most a célunk,hogy I∗-ot kifejezzük S∗ segítségével illetve, hogy S∗-ot meghatározzuk aparaméterek segítségével.Az össznépesség az egyensúlyi pontban:

N∗ = S∗ + I∗ + C∗ + A∗.

9

A korábbi C∗ =σ

µ+ ρ2

I∗ és A∗ =

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

I∗ összefüggéseket felhasz-

nálva,

N∗ = S∗ + I∗ +σ

µ+ ρ2

I∗ +

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

I∗.

A továbbiakban legyenω1 =

σ

µ+ ρ2

,

ω2 =ρ1 + ω1ρ2

µ+ δ1

.

Ekkor

N∗ = S∗ + I∗ + ω1I∗ + ω2I

∗,

N∗ = S∗ + ξI∗, ahol ξ = 1 + ω1 + ω2.

Az N∗ = S∗ + ξI∗ összefüggést behelyettesítve a φS∗ − (µ+ σ + ρ1)N∗ = 0egyenletbe adódik, hogy

φS∗ = (µ+ σ + ρ1)(S∗ + ξI∗)

φ

µ+ σ + ρ1

S∗ = S∗ + ξI∗(φ

µ+ σ + ρ1

− 1

)S∗ = ξI∗

φ

µ+ σ + ρ1

− 1

ξS∗ = I∗.

Az R =φ

µ+ σ + ρ1

jelölést bevezetve

(R− 1

ξ

)S∗ = I∗.

Ezzel kifejeztük I∗-ot S∗ segítségével. Most fejezzük ki S∗-ot a paramétereksegítségével!A fenti összefüggéseket behelyettesítjük a

0 = Π− λ(I∗(t), C∗(t), A∗(t))S∗(t)− µS∗(t)

10

egyenletbe, majd rendezzük azt:

S∗ =Π

λ∗ + µ

=Π

φI∗

N∗+ µ

=Π

φR− 1

ξ

S∗

N∗+ µ

=Π

φI∗

N∗+ µ

=Π

φR− 1

ξ

µ+ σ + ρ1

φ+ µ

=Πξ

(R− 1)(µ+ σ + ρ1) + µξ

S∗ =ΠξR

Rµξ + φ(R− 1).

Az endemikus egyensúlyi pont tehát el®áll E1 = (S∗, I∗, C∗, A∗) alakban,ahol

S∗ =ΠRξ

Rµξ + φ(R− 1),

I∗ =

(R− 1

ξ

)S∗,

C∗ = ω1I∗,

A∗ = ω2I∗.

(2.3)

2.1.1. Tétel. R és E1 létezésének kapcsolata

� Ha R < 1 akkor az E0 =

(Π

µ, 0, 0, 0

)egyensúlyi pont globálisan aszimpto-

tikusan stabil Γ-ban.

� Ha R > 1, akkor E0 instabilis egyensúlyi pont, és létezik egy E1 = (S∗, I∗, C∗, A∗)

egyértelm¶, nemtriviális endemikus egyensúlyi pont, amely lokálisan aszimp-

totikusan stabilis Γ-n.

E1 létezését a következ® példával szemléltetjük.A paraméterek értékét az alábbiak szerint választottuk meg:

11

β1 = 0,3 β2 = 0,09

β3 = 0,2 k = 1,5

Π = 100000 µ = 0,022

σ = 0,2 ρ1 = 0,001

ρ2 = 0,09 δ1 = 0,33

S(0) = 465000 I(0) = 10000

C(0) = 10 A(0) = 100

S∗ = 4,79 · 105 I∗ = 4,01 · 105

C∗ = 7,16 · 105 A∗ = 1,84 · 105

2.1. táblázat. Endemikus eset: paraméterértékek, kezdeti- és egyensúlyi értékek

2.2. ábra. Endemikus egyensúly

Ahogy az 2.2. ábrán látható, a veszélyeztetettek, a fert®zöttek, a hordozók ésaz AIDS-es betegek száma az endemikus egyensúlyi értékhez konvergál.

2.2. A reprodukciós számról általánosan

Bármely fert®zéses betegség esetében az egyik legnagyobb veszélyt a vírus társa-dalmon való eluralkodása jelenti. Sok epidemiológiai modellnek létezik egy fert®-zésmentes egyensúlyi pontja (FMEP), amelyben a populációt elkerüli a járvány.Ezeknek a modelleknek jellemz®en létezik egy küszöbparamétere, amelyet úgynevezünk, hogy reprodukciós szám, jelöljük ezt most R-rel. Err®l tudjuk, hogyha R < 1, akkor az FMEP lokálisan aszimptotikusan stabil, és a járvány nemképes elterjedni a populáción, de ha R > 1, akkor az FMEP instabil, és bármikorfelütheti a fejét egy egész populáción eluralkodó fert®zés. Ezt a számot meg le-het határozni az új fert®zéseket leíró mátrix spektrálsugaraként is [6], ezt kés®bb

12

tárgyaljuk.Tegyük fel, hogy egy heterogén populációt vizsgálunk, melyben az egyedek

megkülönböztethet®ek életkor, viselkedés, térbeli elhelyezkedés és/vagy a beteg-ségük státuszát �gyelmbe véve, de ezek ellenére n homogén csoportra tudjuk®ket osztani. Legyen x = (x1, . . . , xn)t, ahol minden xi ≥ 0, az i. csoportban lév®egyedszám. Az egyszer¶ség kedvéért rendezzük a csoportokat úgy, hogy az el-s® m csoportban legyenek a fert®zöttek. A fert®zött és fert®zésmentes csoportokmegkülönböztetése a modell epidemiológiai értelmezéséb®l fakad, és nem hatá-rozható meg magából az egyenletrendszer struktúrájából. A reprodukciós számnem határozható meg egyedül a modell matematikai felépítéséb®l, mert az függa fert®zött és fert®zésmentes csoportok meghatározásától is. Jelölje XS az összesfert®zésmentes állapotot, vagyis XS = {x ≥ 0 |xi = 0, i = 1, . . . ,m} .

Ahhoz, hogy meghatározhassuk R-t, fontos megkülönböztetnük az új fert®-zéseket minden egyéb változástól a modellünkben. Legyen Fi(x) az új fert®zésmegjelenése az i. csoportban, V +

i (x) a bármely egyéb módon az i. csoportba valóátkerülés és V −i (x) a csoportból való kikerülés rátája. Feltesszük, hogy mindenfüggvény folytonosan deriválható legalább kétszer bármely változójában. A be-tegségátvitelr®l alkotott modellünk kezdeti feltételei nem negatívak, továbbá azalábbi egyenlet is teljesül:

xi = fi(x) = Fi(x)− Vi(x), i = 1, . . . , n, (2.4)

ahol Vi(x) = V −i (x)− V +i (x). Továbbá feltesszük, hogy a függvényekre teljesül a

következ® öt feltétel mindegyike.Mivel minden egyes függvény egyedek direkt átvitelét reprezentálja, ezért

egyik sem lehet negatív.

(a) Ha x ≥ 0, akkor Fi(x), V +i (x), V −i (x) ≥ 0 minden i = 1, . . . , n esetén.

Ha egy csoport üres, akkor ott nincs semmiféle egyedmozgás (se halálozás,se fert®z®dés, se más egyéb okból).

(b) Ha xi = 0, akkor V −i (x) = 0, és ha x ∈ XS, akkor V−i (x) = 0 minden

i = 1, . . . ,m esetén.

A következ® feltétel abból az egyszer¶ feltevésb®l következik, hogy a fer-t®zésmentes csoportok véletlenül sem válnak fert®zötté.

(c) Fi = 0, ha i > m.

Hogy biztosítsuk a fert®zésmentes altér állandóságát, feltesszük: ha egyadott populáció fert®zésmentes volt, akkor az az is marad, vagyis nincsfert®zés-beáramlás:

(d) Ha x ∈ XS, akkor Fi(x) = 0 és V +i (x) = 0, ∀i = 1, . . . ,m esetén.

Az ötödik feltételhez f FMEP közelében vett deriváltját használjuk. Célja-inkhoz de�niáljuk (2.4) FMEP-ét úgy, hogy az (lokálisan aszimptotikusan)

13

stabil egyensúlyi megoldása legyen a fert®zésmentes modellnek (például úgy,hogy (2.4)-et csak XS-beli x-ekre értelmezzük). Megjegyezzük, hogy nemkell feltennünk, hogy az FMEP egyértelm¶.

Vegyünk egy populációt az FMEP-hez közel, jelöljük ezt x0-lal. Ha ez azFMEP közelében marad (pl.: pár fert®zött egyed megjelenése nem okozjárványt), akkor a populáció vissza fog térni az FMEP-hez. Ezt a linearizáltrendszer személelteti:

x = Df(x0)(x− x0), (2.5)

aholDf(x0) az FMEP-ben vett derivált:dfidxj

(pl.: a rendszer Jacobi-mátrixa).

Itt és a következ®ekben egyoldali deriváltak szerepelnek, hiszen x0 a tarto-mány határán mozog. Korlátozzuk a meg�gyeléseinket olyan rendszerekre,amelyekben az FMEP új fert®zések hiányában stabil. Azaz,

(e) ha F (x) nulla, akkor Df(x0) minden sajátértékének valós része negatív.

Az el®z® feltételek lehet®vé teszik, hogy a Df(x0) mátrixunkat felosszuk az alábbilemma alapján [6] :

2.2.1. Lemma. Ha x0 egy FMEP-je (2.4)-nek és fi teljesíti az (a)-(e) feltételeket,

akkor a deriváltak, DF (x0) és DV (x0), felosztahatóak az alábbi módon:

DF (x0) =

(F 0

0 0

),

DV (x0) =

(V 0

J3 J4

),

ahol F és V m×m-es mátrixokat így de�niáljuk:

F =

[dFidxj

(x0)

],

V =

[dVidxj

(x0)

].

feltéve, hogy 1 ≤ i, j ≤ m.

Továbbá, F egy nemnegatív, V pedig egy nemszinguláris M-mátrix, és J4 minden

sajátértékének valós része pozitív.

Az FMEP, x0, lokálisan aszimptotikusan stabil, ha a Df(x0) mátrix mindensajátértékének valós része negatív, és instabil, ha bármely sajátérték valós részepozitív. A 2.2.1-es lemma alapján Df(x0) sajátértékei két csoportba oszthatók,egyik csoport a fert®zött, míg a másik a fert®zésmentes csoportokhoz tartozik.Ez a két csoport megfelel F − V és −J4 sajátértékeinek. Ugyancsak a 2.2.1-eslemma alapján, −J4 minden egyes sajátértékének valós része negatív, és így azegyensúlyi pont stabilitását csak F − V sajátértékei határozzák meg.

14

A 2.2.1-es lemmát felhasználva továbbá azt is tudjuk, hogy V egy nemszin-guláris M-mátrix, ezért invertálható, továbbá minden sajátértékének valós részepozitív. Mivel F nemnegatív, és V egy nemszinguláris M-mátrix, ezért V −1 ésFV −1 is nemnegatív [6].

Most bevezetünk egy matematikai szempontból is jól értelmezhet® meghatá-rozást R-hez.

Ehhez az FV −1 mátrixot fogjuk használni. Tekintsük azon fert®zött egyedsorsát, aki a k-adik csoportba került egy fert®zésmentes populációban. A V −1

mátrix (j, k)-adik eleme az az átlagos id®, amelyet ez az egyed a j-edik csoportbantölt az élete során, feltételezve, hogy a populáció a fert®zésmentes egyensúlyiponthoz közel marad, és korlátozott az újrafert®z®dés esélye.

Az F mátrix (i, j)-edik eleme az a ráta, amellyel a j-beli fert®zött egyedek újfert®zötteket produkálnak az i. csoportba. Ezekb®l következik, hogy FV −1 (i, k)-adik eleme azt adja meg, hogy hány új fert®zést produkál az i. csoportba az azegyed, aki eredetileg k-ba tartozott.

Diekmann nyomán [7] az FV −1 mátrixot az új fert®zések mátrixának nevez-zük, a reprodukciós számot pedig az alábbi módon de�niáljuk:

R = ρ(FV −1), (2.6)

ahol ρ(A) az A mátrix spektrálsugarát jelöli.

2.2.1. Tétel. Tekintsük a (2.4) által megadott fert®zés modelljét. Feltesszük, hogy

f(x) teljesíti az (a)-(e) feltételek mindegyikét. Ha x0 a rendszer egy fert®zésmentes

egyensúlyi pontja, és R < 1, akkor x0 lokálisan aszimptotikusan stabil. Ha R > 1,

akkor az egyensúlyi pont instabil, ahol R-et (2.6) szerint határozzuk meg.

A tétel bizonyításának [6] ismertetését®l eltekintünk, de megjegyezzük, hogya bizonyítás során azt látjuk be, hogy F − V sajátértékeinek valós részének ma-ximuma akkor és csak akkor negatív, ha ρ(FV −1) < 1⇔ R < 1 [6].

2.3. Reprodukciós szám a mi modellünkben

Az el®z® fejezetben beláttuk, hogy a reprodukciós szám

1. Egy kulcsparaméter, amely az egész modell alakulására hatással van.

2. Dekompozíciós technikával meghatározható.

A technika alapgondolata az volt, hogy a reprodukciós szám önmagábóla modellb®l nem meghatározható. El®bb szét kell bontani fert®zött és fer-t®zésmentes részekre a populációt. Ekkor a képesség, hogy meg tudjuk kü-lönböztetni az új fert®zéseket más változásoktól, kulcsfontosságúvá válik.

15

3. Mátrix-elmélet segítségével beláttuk, hogy R a következ® generációt leírómátrix spektrálsugaraként is meghatározható.

4. Az így kapott mutatószám meghatározza a fert®zésmentes egyensúlyi pontstabilitását: ha R < 1, akkor az FMEP aszimptotikusan stabil, ha R > 1,akkor instabil.

Ennek az epidemiológiai jelentése, hogy R leköveti az egymás után követke-z® fert®z®képes csoportok generációit, amikor a járvány terjedésnek indul.Ha R < 1, akkor a fert®zésmentes egyensúlyi pont lokálisan aszimptotiku-san stabil, ami a betegség kipusztulásához vezet, azonban ha R > 1, akkoraz FMEP instabil, jelezve egy járvány kitörését.

2.3.1. Dekompozíciós technika

Az egyes generációkban a fert®zött egyének által okozott másodlagos esetek szá-mának hosszú távú átlaga:

R = R0I + v1R0C + v2R0A, (2.7)

ahol

R0I =kβ1

µ+ σ + ρ1

,

R0C =kβ2

µ+ ρ2

,

R0A =kβ3

µ+ δ1

,

(2.8)

ésv1 =

σ

µ+ σ + ρ1

,

v2 =ρ1

µ+ σ + ρ1

+ v1ρ2

µ+ ρ2

.(2.9)

R0I az I osztályba tartozók, R0C a hordozók (C osztály) és R0A az AIDS-esek(A) reprodukciós száma. Ezek az átlagos fert®z®dési ráták, a hozzájuk tartozókβi-vel szorozva (átlagos partnerszám · átlagos fert®z(®d)ési ráta) megkapjuk azS-re (veszélyeztetettek csoportjára) gyakorolt hatásukat. A kérdés most az, hogyaz adott csoportok milyen rátával reprodukálják önmagukat. Ehhez nézzük a kö-vetkez® hányadosokat:

1

µ+ σ + ρ1

az az átlagos id®tartam, amelyet az I ossztályban töltenek az em-

berek,

1

µ+ ρ2

az az átlagos id®tartam, amelyet az C osztályban töltenek az emberek,

16

1

µ+ δ1

az az átlagos id®tartam, amelyet az A osztályban töltenek az emberek.

A nevez®ben szerepl®, rendre (µ+ σ + ρ1), (µ+ ρ2), (µ+ σ + ρ1) összegek acsoportból kivezet® valószín¶ségek összege (Lásd 1. ábra). Ha ez egy kicsi szám, azazt jelenti, hogy az egyedek átlagosan sok ideig tartózkodnak ebben a csoportban,ha nagy, akkor nagy valószín¶séggel gyorsan átkerülnek a betegség egy másikstádiumába.

A számlálóban szerepl® kifejezések pedig azt jelzik, hogy az adott csoportbólmelyik �nyilat választva� haladnak tovább a csoportból az egyedek:

σ

µ+ σ + ρ1

az I osztályba tartozók azon hányada, akik tünetmentes hordozókká

(C) válnak a vírusfert®z®dés el®rehaladásával.

ρ1

µ+ σ + ρ1

az I osztályba tartozók azon hányada, akik egyb®l az AIDS-es

stádiumba lépnek.

ρ2

µ+ ρ2

a C osztályba tartozók azon hányada, akik onnan az AIDS-es stádi-

umba lépnek.

Érdemes megjegyezni, hogy a következ® kifejezés hasonlóképp értelmezhet®. Eztisztább képet ad v2 paraméterr®l.(

ρ2

µ+ ρ2

)(σ

µ+ σ + ρ1

)a C osztályba tartozók azon százaléka, akik erede-

tileg az I osztályba tartoztak, és innen (C-b®l) az AIDS-es stádiumba (A-ba)lépnek.

Ezeket felhasználva visszakapjuk a fent említett reprodukciós számot az aláb-biak szerint:

1. El®ször felírjuk a reprodukciós számot a különböz® csoportok reprodukciósrátájának segítségével:

R = R0I + v1R0C + v2R0A

2. (2.8) összefüggéseit felhasználva behelyettesítünk, majd (2.9) szerint felírjuk

17

a szorzatokat, és rendezzük azokat:

R =kβ1

µ+ σ + ρ1

+ v1kβ2

µ+ ρ2

+ v2kβ3

µ+ δ1

,

v1kβ2

µ+ ρ2

=σ

µ+ σ + ρ1

kβ2

µ+ ρ2

= k

β2σ

µ+ ρ2

µ+ σ + ρ1

,

v2kβ3

µ+ δ1

=

(ρ1

µ+ σ + ρ1

+ v1ρ2

µ+ ρ2

)kβ3

µ+ δ1

=

(ρ1

µ+ σ + ρ1

+σ

µ+ σ + ρ1

ρ2

µ+ ρ2

)kβ3

µ+ δ1

=

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ σ + ρ1

kβ3

µ+ δ1

= k

β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

µ+ σ + ρ1

,

R =kβ1

µ+ σ + ρ1

+ k

β2σ

µ+ ρ2

µ+ σ + ρ1

+ k

β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

µ+ σ + ρ1

.

3. Rendezzük az egyenletet k kiemelésével:

R = k

β1 + β2σ

µ+ ρ2

+ β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

µ+ σ + ρ1

4. Majd a korábbi

φ = k

β1 + β2σ

µ+ ρ2

+ β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

jelöléssel élve, visszakapjuk a korábban bevezetett reprodukciós számot:

R =φ

µ+ σ + ρ1

.

18

2.3.2. Következ® fert®zött generációt leíró mátrix

Most megmutatjuk, hogyan állíthatjuk el® a reprodukciós számot az el®z® fejezet-ben látott FV −1 mátrixos felbontás segítségével (2.3. alfejezet 4. pontja alapján).A mátrixok meghatározásához és felírásához Matlab programot használunk se-gítségül hívva a Simulink kiegészít® csomagot is (Függelék, (3.1.)).Legyen

F =

kβ1 kβ2 kβ3

0 0 00 0 0

,

V =

µ+ σ + ρ1 0 0−σ µ+ ρ2 0rho1 −rho1 µ+ δ1

.

(2.10)

Ekkor

V −1 =

1

µ+ σ + ρ1

0 0

σ

(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ)

1

µ+ ρ2

0

(µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ)

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ)

ρ2

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)

1

δ1 + µ

.

Most (2.6)-ot felhasználva felírjuk a reprodukciós számot az el®bb meghatározottF és V −1 mátrixok szorzatának spektrálsugaraként. Az FV −1 mátrix sajátértékei:

00

kβ1

µ+ ρ1 + σ+

kβ2σ

(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ)+

kβ3(µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ)

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ)

,

amib®l

R = ρ(FV −1) =kβ1

µ+ ρ1 + σ+

kβ2σ

(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ)+

kβ3(µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ)

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)(µ+ ρ1 + σ).

Ebb®l kiemelünk k-t és a törteket átrendezzük, hogy a nevez®ben csak (µ+ρ1+σ)maradjon,

k

β1

µ+ ρ1 + σ+

β2σ

µ+ ρ2

µ+ ρ1 + σ+

β3µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)

µ+ ρ1 + σ

.

Így csak azt kell belátnunk, hogy

β3µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)= β3

ρ1 +σρ2

µ+ ρ2

µ+ δ1

.

19

Egyszer¶ algebrai átalakítások során visszakapjuk a jobb oldalt:

β3µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ

(δ1 + µ)(µ+ ρ2)= β3

µρ1 + ρ1ρ2 + ρ2σ

µ+ ρ2

δ1 + µ= β3

ρ1 +ρ2σ

µ+ ρ2

δ1 + µ

Ezt felhasználva újra felírhatjuk a reprodukció számot:

R = k

β1

µ+ ρ1 + σ+

β2σ

µ+ ρ2

µ+ ρ1 + σ+

β3

ρ1 +ρ2σ

µ+ ρ2

δ1 + µ

µ+ ρ1 + σ

.

(µ+ ρ1 + σ)-t kiemelve és a (2.2)-ben szerepl® jelöléseket felhasználva:

R =

k

β1 + β2σ

µ+ ρ2

+ β3

ρ1 +ρ2σ

µ+ ρ2

δ1 + µ

µ+ ρ1 + σ

=φ

µ+ ρ1 + σ.

2.3.3. A fert®zésmentes egyensúlyi pont stabilitásának vizs-

gálata linearizálás segítségével

A nemlineáris rendszerek esetében a fáziskép osztályozásakor csak az egyensú-lyi pontok körüli lokális fáziskép vizsgálata hajtható végre. Ez megtehet® a li-nearizálás módszerével, amely a következ®képp értelmezhet®. Az y(t) = x(t)− pfüggvényre felírt di�erenciálegyenlet:

y(t) = x(t) = f(x(t)) = f(p) + f(p)y(t) + τ(y(t)) = f(p)y(t)τ(y(t)),

ahol τ a maradéktagot jelöli. Ekkor a p egyensúlyi pont környezetében a fáziské-pet az y(t) = f(p)y(t) linearizált egyenlet határozza meg, amelynek f(p) mátrixátJacobi-mátrixnak nevezzük [8]. Ennek segítségével az alábbi tétel alapján hatá-rozható meg a stabilitás.

2.3.1. Tétel. A Jacobi-mátrix és a stabilitás.

1. Ha az f(p) mátrix minden sajátértékének valós része negatív, akkor p loká-

lisan aszimptotikusan stabilis egyensúlyi pont.

2. Ha az f(p) mátrixnak van pozitív valósrész¶ sajátértéke, akkor p instabilis

egyensúlyi pont.

20

2.3.1. Állítás. Ha R ≤ 1, akkor a fert®zésmentes egyensúlyi pont aszimptotiku-

san stabil, ha R > 1, akkor instabil.

Bizonyítás. Az egyensúlyi pontok stabilitásának vizsgálatához az egyenletrend-szerünk Jacobi-mátrixát és annak sajátértékeit vizsgáljuk. Belátjuk, hogy min-den sajátérték valós része negatív, ezzel bizonyítva az aszimptotikus stabilitást. Amátrixok kiszámítását a Matlab és a Simulink programok segítségével végeztük(Függelék, (4.1.)).Az (1.2)-es di�erenciálegyenlet-rendszerhez tartozó Jacobi-mátrix:

J =

kSIβ1

N2− kIβ1

N− µ kSIβ1

N2− kSβ1

N

kSIβ1

N2

kSIβ1

N2

kIβ1

N− kSIβ1

N2

kSβ1

N− ρ1 − σ − µ−

kSIβ1

N2

kSIβ1

N2

kSIβ1

N2

0 σ −µ− ρ2 00 ρ1 ρ2 −δ1 − µ

.A Jacobi-mátrix az E0 =

(Π

µ, 0, 0, 0

), a fert®zésmentes egyensúlyi pontban kiér-

tékelve:

JE0 =

−µ −β1k 0 00 β1k − ρ1 − σ − µ 0 00 σ −µ− ρ2 00 ρ1 ρ2 −δ1 − µ

.Ennek a sajátértékei:

v1 = −µv2 = −δ1 − µv3 = −ρ2 − µv4 = β1k − ρ1 − σ − µ.

A feltevéseink szerint minden paraméterünk nemnegatív, ezért v1,v2,v3 < 0. Mégbe kell látnunk, hogy ha R < 1, akkor v4 is negatív.Ehhez nézzük a következ® egyenl®tlenséget:

v4 = β1k − ρ1 − σ − µ < 0.

Az egyenl®tlenséget átrendezve

β1k < ρ1 + σ + µ,

majd a jobb oldalon szerepl® kifejezéssel leosztva:

β1k

ρ1 + σ + µ< 1.

Vegyük észre, hogy az egyenl®tlenség bal oldalán szerepl® kifejezés épp a repro-dukciós szám, azaz a Jacobi-mátrix sajátértékeinek valós része negatív akkor és

21

csak akkor, ha R < 1:

R < 1⇐⇒ β1k

ρ1 + σ + µ< 1⇐⇒ β1k < ρ1 + σ + µ⇐⇒ v4 < 0,

azaz, ha a reprodukciós szám egynél kisebb, akkor a fert®zésmentes esetben kiszá-mított Jacobi-mátrix minden sajátértékének valós része negatív. Ebb®l követke-zik, hogy az így meghatározott egyensúlyi pont lokálisan aszimptotikusan stabilis.�

A fert®zésmentes egyensúlyi pont lokális stabilitásának vizsgálata után a glo-bális stabilitás meghatározásától eltekintünk. Most csak kimondjuk a kutatásban[1] szerepl® erre vonatkozó tételt, azonban ezt ebben a dolgozatban nem bizonyít-juk.

2.3.2. Tétel. Ha R < 1, akkor E0 globálisan aszimptotikusan stabil.

22

3. fejezet

A modell paramétereinek vizsgálata

A dolgozatban a vizsgált populációt külön csoportokra bontottuk a betegséglefolyási stádiumai szerint. Meghatároztuk a modell reprodukciós számát (R),amellyel képesek vagyunk el®re jelezni, hogy a betegség járvánnyá növi ki ma-gát, vagy megmarad egy egyszer¶, kis csoportra kiterjed® fert®zésként, és végülkipusztul. Ezek alapján két egyensúlyi állapotot határoztunk meg, egy járvány-mentes és egy endemikus esetet. El®bbi minden esetben létezik, míg az endemikusegyensúlyi pont csak akkor, ha R > 1, ebben az esetben az endemikus egyensúlyipont lokálisan stabilis. R < 1 esetén a fert®zésmentes egyensúlyi pont lokálisanés globálisan is stabil.

A vizsgálatokból jól kit¶nik, hogy a reprodukciós ráta és ezen keresztül aszexuális partnerek száma és az együttléteket befolyásoló egyéb tényez®k jelen-t®s hatással bírnak a járvány lefolyására. Ezen kulcsparaméterek változásainakmodellre gyakorolt hatásával feltérképezhetjük, hogy melyek azok a különböz®körülményeket leíró paraméterek, amelyekre érdemes hatást gyakorolni, és me-lyik az, amelyre érdemesebb esetleg nagyobb hangsúlyt fektetni.

Konklúzióként, ebben a fejezetben bemutatunk néhány példát, amelyet egész-ségügyi kampányok segítségével megvalósíthatónak tartunk. Különböz® prevenci-ós és �gyelemfelkelt® el®adások, poszterek, plakátok, ingyenes óvszerosztás, mind-mind olyan eszköz, amely az emberek szexuális viselkedésére hatással lehet.

Tegyük fel, hogy a különböz® általános tudatosságot emel® akciók az átlagosszexuális-partnerszám csökkenését eredményezik. Mivel ez egyenesen arányos areprodukciós számmal, ezért ennek megváltozása drasztikus hatással bír az egészjárvány lefolyását tekintve. Az alábbi példában bemutatjuk, mi történik az egyescsoportokkal különböz® k értékek esetében, feltételezve, hogy ez az egyetlen pa-raméter változik csak.

23

3.1. A szexuális partnerek számának (k) megválto-

zása

A kezdeti paraméterértékeink a következ®ek:

β1 = 0,19 β2 = 0,03

β3 = 0,14 Π = 100000

µ = 0,022 σ = 0,4

ρ1 = 0,001 ρ2 = 0,09

δ1 = 0,33

S(0) = 465000 I(0) = 10000

C(0) = 10 A(0) = 100

3.1. táblázat. Kezdeti paraméterértékek

Ezen értékek mellett, a különböz® csoportok egyensúlyi értékei az alábbiak szerintalakulnak:

k 0,8 1,0 1,2 1,5

S∗ 1,44 · 107 4,62 · 106 2,64 · 106 1,63 · 106

I∗ 0 0 9,93 · 104 1,51 · 105

C∗ 0 0 3,55 · 105 5,41 · 105

A∗ 0 0 9,10 · 104 1,39 · 105

3.2. táblázat. Egyensúlyi értékek

Az egyensúlyi értékeket a különböz® k és R értékeknek megfelel®en más és másdinamikával közelítik meg a csoportok:

24

S(t) megváltozása különböz® reprodukciós ráták esetén

I(t) megváltozása különböz® reprodukciós ráták esetén

25

C(t) megváltozása különböz® reprodukciós ráták esetén

A(t) megváltozása különböz® reprodukciós ráták esetén

Az ábrák jól szemléltetik, hogy egy 0,2-es eltérés a partnerszámban mekkorajelent®sséggel bír. Amint sikerül k értékét 1-re vagy alá vinni, a vírus kihalásnakindul, azonban itt is meg�gyelhet®, hogy mekkora jelent®séggel bír pár tizednyikülönbség. A normál fert®zöttek (I) esetében, k = 0,8-es érték mellett a tüneteketprodukáló HIV fert®zöttek csoportja kevesebb mint 100 év alatt majdnem 95százalékkal, míg k = 1 esetében a számuk 25 százalékkal csökken csak. Bár knövelésével jóval hamarabb megközelítjük az egyensúlyi állapotot, de az értékekI, C, A esetében sokkal magasabbak lesznek, és a járvány terjedési sebessége isdrasztikusan növekszik. Ez fordítottan igaz S-re, hiszen innen történik az egyedekátáramlása a különböz® csoportokba. A csúcspont eléréséhez szükséges id® islerövidül: k = 1,2 esetében 250 év, k = 1,5 esetében alig 100 év kell a járványkicsúcsosodásához.

26

3.2. A szexuális viselkedés (βi) megváltozása

Egy másik hatása az lehet a különböz® kampányoknak, hogy magában a kockáza-tos kapcsolat létesítésében történik változás. Az emberek oda�gyelnek a megfelel®védekezésre és higiénikus körülményekre.

Ennek a változását írják le a különböz® βi paraméterek a modellben. Mostezeken kívül rögzítünk minden paramétert, és megmutatjuk, hogy ha mindössze-sen, az adott paraméterek mellett, 10 százalékkal csökkenteni tudjuk a kockázatosegyüttlétek számát, akkor a vírus elterjedését ezzel megakadályozzuk, s®t kiha-lásnak is indul.

Legyenek a bemeneti paramétereink a következ®k:

β1 = 0,19 β2 = 0,03

β3 = 0,14 Π = 100000

µ = 0,022 σ = 0,4

ρ1 = 0,001 ρ2 = 0,09

δ1 = 0,33 k = 1,1

S(0) = 465000 I(0) = 10000

C(0) = 10 A(0) = 100

3.3. táblázat. Kezdeti paraméterértékek

Ha sikerül csökkenteni a kockázatos együttlétek számát, akkor a βi értékek azalábbiak szerint módosulnak:

β1 = 0,171,

β2 = 0,027,

β3 = 0,126.

Bár ez a csökkenés nem t¶nik jelent®snek, a járvány lefolyása szempontjából mégisaz, ahogy ezt az alábbi ábrák mutatják.

27

S(t) megváltozása különböz® β értékek esetén

I(t) megváltozása különböz® β értékek esetén

28

C(t) megváltozása különböz® β értékek esetén

A(t) megváltozása különböz® β értékek esetén

Ezen a példán jól látható a dolgozatban bemutatott korábbi állítás miszerint, hasikerül beszorítani R értékét 1 alá, akkor kihal a vírus. Ennek egy jó módja leheta viselkedés-változás ösztönzése.

Ezt elérhetjük sz¶résekkel is. F. Nyabadza egy kés®bbi kutatásában komo-lyabb hangsúlyt fektet a sz¶rések jelent®ségére és a populáció további csopor-tokkal való kiegészítésére [3]. Ennek lényege, hogy a sz¶rési vizsgálatok nagybanel®segíthetik a reprodukciós ráta értékének csökkenését, mivel egyre több em-ber értesül a betegségér®l, és annak lefolyásáról. Így nagyobb eséllyel vehetnekrészt gyógyszeres kezelésben, amely a tudomány jelenlegi állása szerint képes atovábbfert®zés esélyét szinte teljesen megakadályozni.

29

4. fejezet

Összegzés

A dolgozatban ismertettük a HIV fert®zés lefolyását és F. Nyabadza cikke alapján[1] felállítottunk egy vírusterjedési modellt. A modellben négy csoporttal (veszé-lyeztetettek, normál fert®zöttek, tünetmentes fert®zöttek, AIDS-es betegek) fog-lalkoztunk, és vizsgáltuk ezek szerepét a vírus reprodukciójában. El®ször megha-tároztuk a di�erenciálegyenlet-rendszer segítségével felírt összefüggések egyensú-lyi állapotait. Meghatároztunk egy kulcsparamétert, amelyet reprodukciós szám-nak nevezünk [6], amellyel jól tudtuk szemléltetni, hogy a vírusfert®zésb®l járványlesz-e.

A reprodukciós paraméter kiszámítására mutattunk két módszert. El®ször adekompozíciós technikát alkalmaztuk, amely külön tárgyalja minden egyes cso-port szerepét a reprodukció során. Ezután felírtuk a következ® fert®zött generációtleíró mátrixot, majd ennek segítségevel határoztuk meg a reprodukciós számotés végül beláttuk, hogy a két módszer által meghatározott reprodukciós számazonos.

A reprodukciós ráta függvényében megkülönböztettük a fert®zésmentes és azendemikus esetet. Mindkét esetben meghatároztuk a rendszer lehetséges egyen-súlyi pontjait, és vizsgáltuk ezek stabilitását.

Végül megvizsgáltuk, hogy milyen hatással bírhat egy-egy egészségügyi kam-pány a különböz® paraméterek értékeire, és ez hogyan befolyásolhatja a fert®zéslefolyását.

A mátrix-számítások és az egyenletrendszer megoldásának meghatározásáhoza MATLAB2016a verzióját használtuk.

30

5. fejezet

Függelék

5.1. Egyenletrendszer Jacobi-mátrixának meghatá-

rozása

syms k beta1 beta2 beta4 S I C A pi mu szigma ro1 ro2 delta1 kszi

phi R

%%%------------- Beta2 = Beta4 = 0 ---------------%%%

J0 = jacobian([pi-k*(beta1*I)/(S+I+C+A)*S-mu*S, k*(beta1*I)/(S+I+C

+A)*S-(mu+szigma+ro1)*I,szigma*I-(mu+ro2)*C,ro1*I+ro2*C-(mu+delta1

)*A],[S,I,C,A])

E0 = subs(J0, [S I C A],[pi/mu 0 0 0])

s_e_0 = eig(E0)

J01 = jacobian([pi-k*(beta1*I)/(S+I+C+A)*S-mu*S, k*(beta1*I)/(S+I+

C+A)*S-(mu+szigma+ro1)*I,szigma*I-(mu+ro2)*C,ro1*I+ro2*C-(mu+

delta1)*A],[S,I,C,A])

E01 = subs(J01, [S I C A],[(pi*R*kszi)/(R*mu*kszi+phi*(R-1)) ((R

-1)/kszi)*((pi*R*kszi)/(R*mu*kszi+phi*(R-1))) szigma*((R-1)/kszi)

*((pi*R*kszi)/(R*mu*kszi+phi*(R-1)))/(mu+ro2) (ro1+szigma*ro2/(mu+

ro2))*((R-1)/kszi)*((pi*R*kszi)/(R*mu*kszi+phi*(R-1)))/(mu+delta1)

31

])

s_e_1 = eig(E01)

5.2. FV −1 felbontás és spektrálsugár-számítás Mat-

lab segítségével

syms k beta1 beta2 beta3 S I C A pi mu szigma ro1 ro2 delta1 kszi

phi R

F = [k*beta1 k*beta2 k*beta3; 0 0 0; 0 0 0]

V = [ mu+szigma+ro1 0 0;-szigma mu+ro2 0 ;-ro1 -ro2 mu+delta1 ]

V_1 = inv(V)

R = eig(F*V_1)

5.3. Az egyenletrendszer megoldásának meghatá-

rozása ode45 segítségével

function Z = megoldas(start,endd,beta1,beta2,beta3,k,pi,lambda,mu,

szigma,ro1,ro2,delta1,IC)

par = [pi,lambda,mu,szigma,ro1,ro2,delta1];

Z = [];

for (i=start:endd)

options = odeset('RelTol',1e-10,'AbsTol',1e-10);

[t y] = ode45(@egy_rendszer,[i i+1],IC,options,par);

lambda = calclambda(beta1,beta2,beta3,k,y(end,:));

par(2) = lambda;

IC=y(end,:);

Z = vertcat(Z,[t y]);

end

32

5.3.1. calclambda - λ meghatározása

function lambda = calclambda(beta1,beta2,beta3,k,v)

lambda = k*(beta1*v(2)+beta2*v(3)+beta3*v(4))/sum(v);

end

5.4. Példa-megoldás fert®zésmentes esetben Mat-

lab segítségével

%-----------------paramater setup

beta1 = 0.3;

beta2 = 0.09;

beta4 = 0.2;

k = 1.5;

pi = 100000;

mu = 0.022;

szigma = 0.2;

ro1 = 0.001;

ro2 = 0.09;

delta1 = 0.33;

S = 465000;

I = 0;

C = 0;

A = 0;

IC = [S,I,C,A];

lambda = k*(beta1*I+beta2*C+beta4*A)/(S+I+C+A);

eq = pi/mu;

Z = megoldas(0,300,beta1,beta2,beta4,k,pi,lambda,mu,szigma,ro1,ro2

,delta1,IC);

figure(1);

subplot(3,2,1)

plot(Z(:,1),Z(:,2))

33

title('S')

xlabel('id t')

subplot(3,2,2)

plot(Z(:,1),Z(:,3))

title('I')

xlabel('id t')

subplot(3,2,3)

plot(Z(:,1),Z(:,4))

title('C')

xlabel('id t')

subplot(3,2,4)

plot(Z(:,1),Z(:,5))

title('A')

xlabel('id t')

K = (pi/mu)*ones(1,length(Z(:,1)));

subplot(3,2,5:6)

plot(Z(:,1),Z(:,2)+Z(:,3)+Z(:,4)+Z(:,5),Z(:,1),K(1,:))

title('N')

xlabel('id t')

print('Egy_rendsz_kulon','-djpeg')

figure(2)

plot(Z(:,1),Z(:,2),'-g',Z(:,1),K(1,:),'--k')

legend('S(t)','Pi/mu')

xlabel('id t (v)')

ylabel('F')

print('Egy_rendsz_egyutt_fertozesmentes','-djpeg')

34

Irodalomjegyzék

[1] S. D. Hove-Musekwa, F. Nyabadza: The dynamics of an HIV/AIDSmodel with screened disease carriers, Computational and MathematicalMethods in Medicine Vol. 10, No. 4, December 2009, 287�305 (http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/17486700802653917, letöltésideje: 2016.10.11., 13:09)

[2] Averting HIV and AIDS, What are HIV and AIDS? (https://www.avert.org/about-hiv-aids/what-hiv-aids, 2017.04.19 9:00)

[3] F. Nyabadza, Z. Mukundavire, S. D. Hove-Musekwa: Modelling theHIV/AIDS epidemic trends in South Africa: Insights from a simp-le mathematical model, Nonlinear Analysis: Real World Applications12 (2011) 2091�2104 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1468121810003342, letöltés ideje: 2016.08.01., 8:31)

[4] F. Nyabadza, A mathematical model for combating HIV/AIDS in SouthernAfrica, J. Biol. Syst. 14 (2006), pp. 357-372.

[5] E. Kupek, Estimation of the number of sexual partners for the nonrespon-dents to a large national survey, Arch. Sex. Behav. 28 (1999), pp. 233-242.

[6] P. van den Driessche, James Watmough: Reproduction numbers andsub-threshold endemic equilibra for compartmental models of diseasetransmission, Mathematical Biosciencess 180 (2002) 29-48 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0025556402001086, letöltésideje: 2017.01.31. 14:00)

[7] O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek, J.A.J. Metz: On the de�nition and thecomputation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious dise-ases in heterogeneous populations, J. Math. Biol. 28 (1990) 365.

[8] Borostyán Dóra: Nemlineáris járványterjedési modellek, MSc szak-dolgozat, 2016. (https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/msc_alkmat/2016/borostyan_dora.pdf, letöltés ideje: 2017.03.02., 9:50)

[9] H.R. Thieme: Persistence under relaxed point-dissipativity (with applicationsto an endemic model), SIAM J. Math. Anal. 24 (1993), pp. 407-435.

35

[10] Simon L. Péter: Közönséges Di�erenciálegyenletek Jegyzet, elektronikusjegyzet, 2007. (http://www.cs.elte.hu/~simonp/kozdiff.pdf, letöltésideje: 2016.08.28., 22:37)

36