Ayuda 6 SistemasNoLineales

Mdulo: I Unidad: III Semana:06

MTODOS NUMRICOS

SOLUCION DE SISTEMAS NO LINEALES

ORIENTACIONES

Siga cuidadosamente todas lasdefiniciones hechas.

Resuelva paso a paso los ejemplos yejercicios propuestos.

Revise los links correspondiente a estasemana.

Contenido

Newton para Sistemas.

Ejemplo de aplicacin.

Punto fijo para Sistemas.

Ejemplo de aplicacin.

4

Newton para Sistemas

5

Sea el sistema NO lineal:F(x, y) = 0

G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solucin:

(xn, yn)1

. .

( , )

y y

n n

F G G Fx x

J F G

1

. .

( , )

x xn n

G F F Gy y

J F G

(xn, yn)

x y

x y

F FF F

x y

G GG G

x y

( , ) . .x y x yJ F G F G G F

Ejemplo de Aplicacin

6

El siguiente sistema NO lineal:

( , ) ( )

( , ) cos( )0.01

F x y sen y x

G x y y x

Tiene solucin en el siguiente cuadrante de solucin segn la grfica:

Cuadrante de solucin (0, 1)x(0, 1)F(x, y)

G(x, y)

0 0( , )(0.6,0.7)x y


7

Necesitamos analizar las siguientes funciones:

( , ) ( )

( , ) cos( ) 0.01

( , ) 1

( , ) cos( )

( , ) ( )

( , ) 1

( , ) . .

x

y

x

y

x y y x

F x y sen y x

G x y y x

F x y

F x y y

G x y sen x

G x y

J F G F G F G


8

Iteracin 1:0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

( , ) ( ) (0.7) 0.6 0.04422

( , ) cos( ) 0.01 0.7 cos(0.6) 0.01 0.11534

( , ) 1

( , ) cos( ) cos(0.7) 0.76484

( , ) ( ) (0.6) 0.56464

( , ) 1

( , ) . .

x

y

x

y

x y y x

F x y sen y x sen

G x y y x

F x y

F x y y

G x y sen x sen

G x y

J F G F G F G

1.43186

1 0

1

1

. .

( , )

(0.04422 *1)( 0.11534 * 0.76484)0.6

1.43186

0.69249

y yF G G Fx x

J F G

x

x

1 0

1

1

. .

( , )

( 0.11534 * 1)(0.04422 * 0.56464)0.7

1.43186

0.76311

x xG F F Gy yJ F G

y

y


9

Iteracin 2: 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

( , ) 0.00131

( , ) 0.00345

( , ) 1

( , ) 0.72269

( , ) 0.63845

( , ) 1

( , ) . . 1.46140

x

y

x

y

x y y x

F x y

G x y

F x y

F x y

G x y

G x y

J F G F G F G

2 1

2

. .

( , )

0.68988

y yF G G Fx x

J F G

x

2 1

2

. .

( , )

0.76132

x xG F F Gy yJ F G

y

Error_x =0.003 k=2, n=2 Error _y=0.002 k=2, n=2

Ejercicio

10

Resolver el sistemas:

Para la solucin cercana a (x0, y0) = (3.4, 2.2)

Emplee el mtodo de Newton para sistemas y encuentre la solucin

con 3 dgitos correctos. Use redondeo a 6 decimales.

152),(

)ln(3),(

2

2

xxyxyxG

yxxyxF

Punto Fijo para Sistemas

11

Sea el sistema NO lineal:F(x, y) = 0

G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solucin:

Creterio de convergencia


12

Considere el Sistema no lineal:

X2 Y2 6X + 8 = 0

X2 + 9Y2 18Y - 6X + 9 = 0

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 6x) - Y2 + 8 = 0

(X 3)2 Y2 + 8 9 = 0

(X 3)2 Y2 = 1 Hiprbola

Encuentre dichas soluciones

con 2 dgitos correctos, tanto

para x como para y. Trabaje

con redondeo a 4 decimales.


13

Considere el Sistema no lineal:

X2 Y2 6X + 8 = 0

X2 +9Y2 18Y - 6X + 9 = 0

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 6x) + 9(Y2 2y + 1) = 0

(X 3)2 + 9(Y- 1)2 9 = 0

(X 3)2 + 9(Y-1)2 = 9

Elipse(X 3)2 + (Y 1)2

= 132 12


14

Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:

(X 3)2 + (Y 1)2= 1

32 12

F (x, y) = (x 3)2 y2 = 1

G (x, y) =

F

G


15

Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:

(X 3)2 + (Y 1)2= 1

32 12

F (x, y) = (x 3)2 y2 = 1

G (x, y) =

(0.5, 1.5) x (1, 2)

Sugerimos tomar

(x0, y0) = (1, 1.6)


16

Vamos ha estudiar ahora la convergencia, para ello debemos

despejar de la funcin F, la variable x, y de la funcin G, la variable y.

F (x, y) = 0, entonces x = 1 + y2 + 3

f (x, y)

G (x, y) = 0, entonces y =9 (x 3)2 + 1

3

g (x, y)


17

Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y

respectivamente:

f (x, y) = 1 + y2 + 3

fx (x, y) = 0

fy (x, y) = 2y

2 1 + y2

y

1 + y2=


18

Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y

respectivamente:

gx (x, y) =

gy (x, y) = 0

-2(x-3)

2 9 (x-3)2=

g (x, y) =9 (x 3)2

3+ 1

1

3

-(x-3)

3 9 (x-3)2


19

Ahora evaluamos en el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):

fx (x0, y0) + fy (x0, y0) = 0 +1.6

1.8868 = 0.8480 < 1

gx (x0, y0) + gy (x0, y0) = 0+2

6.7082 = 0.2981 < 1

Por lo tanto f y g, son convergentes en el punto (1, 1.6)

f (xn, yn) = - 1 + yn2 + 3

g (xn, yn) =9 (xn 3)

2

3+ 1

Xn+1 =

Yn+1 =


20

Comenzamos el proceso iterativo con el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):

Iteracin 1

f (x0, y0) = - 1 + y02 + 3

g (x0, y0) =9 (x0 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.62 + 3 = 1.1132

= 9 (1 3)2

3+ 1 = 1.7454

x = x1 x0 1.1132 1 =

y = y1 y0 1.7454 1.6 =

= 0.1132 k = 0, n = 1

= 0.1454 k = 0, n = 1

X1 =

Y1 =


21

Iteracin 2

f (x1, y1) = - 1 + y12 + 3

g (x1, y1) =9 (x1 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.74542 + 3 = 0.9884

= 9 (1.1132 3)2

3+ 1 = 1.7775

x = x2 x1 0.9884 1.1132 =

y = y2 y1 1.7775 1.7454 =

= 0.1248 k = 0, n = 0

= 0.0321 k = 1, n = 2

X2 =

Y2 =


22

Iteracin 3

f (x2, y2) = - 1 + y22 + 3

g (x2, y2) =9 (x2 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.77752 + 3 = 0.9605

= 9 (0.9884 3)2

3+ 1 = 1.7419

x = x3 x2 0.9605 0.9884 =

y = y3 y2 1.7419 1.7775 =

= 0.0279 k = 1, n = 1

= 0.0356 k = 1, n = 2

X3 =

Y3 =


23

Iteracin 5

f (x4, y4) = - 1 + y42 + 3

g (x4, y4) =9 (x4 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.73342 + 3 = 0.9988

= 9 (0.9915 3)2

3+ 1 = 1.7428

x = x5 x4 0.9988 0.9915 =

y = y5 y4 1.7428 1.7334 =

= 0.0073 k = 1, n = 1

= 0.0094 k = 1, n = 2

X5 =

Y5 =


24

Iteracin 6

f (x5, y5) = - 1 + y52 + 3

g (x5, y5) =9 (x5 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.74282 + 3 = 0.9907

= 9 (0.9988 3)2

3+ 1 = 1.7450

x = x6 x5 0.9907 0.9988 =

y = y6 y5 1.7450 1.7428 =

= 0.0082 k = 1, n = 1

= 0.0022 k = 2, n = 3

X6 =

Y6 =


25

Iteracin 7

f (x6, y6) = - 1 + y62 + 3

g (x6, y6) =9 (x6 3)

2

3+ 1

= - 1 +1.74502 + 3 = 0.9888

= 9 (0.9907 3)2

3+ 1 = 1.7426

x = x7 x6 0.9888 0.9907 =

y = y7 y6 1.7426 1.7450 =

= 0.0019 k = 2, n = 2

= 0.0024 k = 2, n = 3

X7 =

Y7 =

Podemos decir que la solucin aproximada es: X = 0.98 88 Y = 1.74 26

Ejercicio

26

Resolver el sistema:

Si (x0, y0) = (0.9, 0.85), emplee el mtodo de punto fijo para sistemas y

encuentre la solucin aproximada con 3 dgitos correctos para x e y.

Trabaje con redondeo a 6 decimales.

)cos(),(

)(),(

yxyyxG

yxsenxyxF

GRACIAS

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