ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SONLU ELEMANLAR İLE BAZI KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERİN

ÇÖZÜM ALGORİTMALARI

Aytekin Mahmood Ogor ANWAR

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA

2008

Her Hakkı Saklıdır

i

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SONLU ELEMANLAR İLE BAZI KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜM

ALGORİTMALARI

Aytekin Mahmood Ogor ANWAR

Ankara Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Nuri ÖZALP

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Sonlu eleman metodunun birçok uygulayıcısı günümüzde denklemlere yaklaştırma tesis

etmek için Galerkin metodunu kullanmaktadırlar.

Bu çalışmada önce Sonlu Eleman Metodunun neden kullanıldığını ve tarihi

verilmektedir. İkinci Bölümde ise diferensiyel denklemlerin ağırlıklı artıklar formu

oluşturularak, “zayıf” diye adlandırılan formülasyona getiren ve hemen her türlü

diferensiyel denklemin sonlu eleman yaklaştırmasını elde etmek için kullanılabilen

genel bir metot verilecektir. Daha sonra basamak biçim fonksiyonları kavramı ve

diferensiyel denklemin integral formu için Galerkin yaklaştırması ortaya koyulmaktadır.

Üçüncü bölümde, bir boyutta birinci, ikinci ve üçüncü derece elemanlar kullanılacaktır.

Dördüncü bölümde ise bir model problem olarak, L boyunda ve sabit kesitli ince

homojen metal tel üzerindeki ısı iletiminin belirlenmesi analiz edilecektir. Daha sonra

alınan model probleme bilgisayar kodu verilecektir.

Eylül 2008, 97 sayfa

Anahtar Kelimeler: Sonlu Elemanlar yöntemi, Algoritmalar, ısı akışı problemi,

Galerkin Metodu

ii

ABSTRACT

Master Thesis

FINITE ELEMENTS SOLUTION ALGORTHMS FOR SOME PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Aytekin Mahmood Ogor ANWAR

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Nuri ÖZALP

This thesis consists of four chapters.

Recently, many scientists uses Galerkin method for the approximation of the solutions

of differential equations.

In this study, first the history of finite element method and the reason of the prefereble

usage of the method is given. In the second chapter, develpoing the weighted residual

form of differential equation, a general method for the approximation of differential

equations is given in the sense of “weak” formulation. Then, the concept of shape step

function and Galerkin approximation for the integral form of differentil equations is

established. In the third chapter, first degree, quadratic and cubic element in one

dimension is used. Finaly in the fourth chapter, as an application of the method, a heat

flow problem is investigated. A computer code is also given in the Appendix.

September 2008, 97 pages

Key Words: Finite Element method, Algorithms, heat flow problem, Galerkin Method

iii

TEŞEKKÜR

Bu çalışmamda beni bugünlere getiren ve her türlü fedakârlığı benden esirgemeyen

babam ve annem basta olmak üzere aileme ve eşime minnettarlık hislerimi bildirmek

istiyorum. Çalışmalarımı yönlendiren, çalışmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve

yardımlarını esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin

fikirleriyle yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr.

Nuri ÖZALP’e teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

Aytekin Mahmood Ogor ANWAR

Ankara, Eylül 2008

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET ................................................................................................................................. i

ABSTRACT ..................................................................................................................... ii

TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iii

ŞEKİLLER DİZİNİ ........................................................................................................ v

1. GİRİŞ ........................................................................................................................ 1

1.1 Neden Sonlu Elemanlar ............................................................................................ 1

1.2 İlk Dönemlerin Tarihi .............................................................................................. 3

1.3 Matematiksel Teori .................................................................................................. 4

2. AĞIRLIKLI ARTIKLAR METODU VE GALERKİN

YAKLAŞIMALARI ................................................................................................... 6

2.1 Klasik Çözümler ........................................................................................................ 6

2.2 “Zayıf” Gösterim ....................................................................................................... 9

2.3 Uygulama ................................................................................................................. 22

3. BİR BOYUTTA SONLU ELEMAN METODU .................................................... 24

3.1 Giriş ......................................................................................................................... 24

3.2 Biçim Fonksiyonları ............................................................................................... 24

3.2.1 Lineer elemanlar ................................................................................................ 25

3.2.2 İkinci derece elemanları ..................................................................................... 29

3.2.3 Üçüncü derece elemanları .................................................................................. 35

4. KARARLI İLETİM DENKLEMİ ........................................................................... 41

4.1 Galerkin Formülasyonu ........................................................................................ 41

4.1.2 Değişken iletim ve sınır ısı yayımı ..................................................................... 51

4.2 Uygulama ................................................................................................................ 57

4.3. SONUÇ .................................................................................................................... 62

KAYNAKLAR .............................................................................................................. 63

EK 1 Sonlu Elemanlar Yöntemi FORTRAN kodu .................................................... 65

ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................... 97

v

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 L boyunda bir çubukta ısı iletimi ....................................................................... 9

Şekil 2.2 Etki alanının bir sonlu eleman ızgarası olarak bölümü .................................... 10

Şekil 2.3 Bir sıcaklık alanı için parçalı lineer yaklaşımı ................................................. 13

Şekil 2.4 Parça noktasallaştırma ..................................................................................... 15

Şekil 2.5 Bir eleman boyunca lineer biçim fonksiyon .................................................... 16

Şekil 3.1 Genel parçalı lineer elemanlar ızgarasının biçim fonksiyonları ...................... 26

Şekil 3.2 Lokal düğüm numaralandırması, sıcaklık gösterimi, ve lokal biçim

fonksiyonları .................................................................................................... 29

Şekil 3.3 Lokal ve genel numaralandırma arasındaki ilişki ............................................ 30

Şekil 3.4 Parçalı lineer yaklaşıma karşı kuadratik interpolasyon ................................... 31

Şekil 3.5 Lokal koordinat sisteminde ikinci derece elemanı ve biçim

fonksiyonları .................................................................................................... 26

Şekil 3.6 Lokal ve genel koordinat sistemi arasındaki ilişki. Üçgenler her elemanın

içindeki düğümlere işaret etmektedir. .............................................................. 34

Şekil 3.7 Üçüncü derece elemanın biçim fonksiyonları .................................................. 35

Şekil 4.1 İki elemanlı sistem için birleştirme işlemi diyagramı ...................................... 48

1

1. GİRİŞ

Sonlu elemanlar kadar belki de başka hiçbir yaklaşım yöntemi, yirminci yüzyıl boyunca

nümerik yöntemler teorisi ve uygulaması üzerinde daha büyük etki yapmamıştır. Sonlu

elemanlar metodu kısmi türevli denklemlerle nitelenen doğal modelleri kullanabilen her

makul mühendislik alanında bugün fiilen kullanılmaktadır. Detaylı incelenmesine

adanmış düzinelerce ders kitabı, monograf, el kitabı, inceleme ve bülten olup, sonlu

elemanlar metodolojisinin değişik yönleri hakkında dünya genelinde sayısız konferans,

sempozyum, ve seminer yapılmaktadır. Bugün sonlu elemanlar hakkında rahatça yüz

binin üstünde referans bulunmakta ve bu sayı metodun ortaya çıkardığı yeni güç ve çok

yönlülüklerle katlanarak büyümektedir. Bugün, sonlu eleman metodolojisi birçok

kişinin etki alanı dışında olduğunu düşündüğü sahalara önemli yollar açmaktadır;

örneğin, hesaplamalı akışkanlar dinamiği. Zamanla, sonlu eleman metotları bu alanda

konuya uzun süredir egemen olmuş olan klasik farklar şemalarına nazaran mukayese

edilebilir veya daha önemli bir pozisyonu ele geçirebilir görünmektedir.

1.1 Neden Sonlu Elemanlar

Doğallıkla sorulabilecek bir soru sonlu eleman metotlarının hem mühendislik, hem de

matematik camiasında neden bu kadar popüler olduğudur. Ayrıca bir başka soru da

sonlu eleman metotlarının fizik ve mühendislikteki zor problemlerin çözümü için onları

çekici metot seçimleri kılmaya devam edecek özelliklere sahip olup olmadıklarıdır.

Bu soruları yanıtlarken, ilk olarak sonlu eleman metotlarının zayıf, varyasyonel sınır ve

başlangıç değer problemlerini esas aldıkları gerçeğine işaret edilmelidir. Bu sadece

diferensiyel denklemlerin çok düzensiz çözümlerinin mevcudiyeti için doğru bir

ayarlama olduğundan değil (örneğin, dağılımlar), aynı zamanda çözüm bir niceliğin alan

üzerinde integralinde ortaya çıktığı için de kritik bir özelliktir. Ölçülebilir bir

fonksiyonun keyfi bir alan üzerinde integralinin, bir araya gelerek orijinal alanı

oluşturan hemen hemen kopuk alt alanların keyfi toplamı üzerindeki integraller

toplamına bölünebileceği basit gerçeği sonlu eleman teorisinde hayati bir gözlemdir.

2

Bu nedenle, bir problemin analizi, tam olarak, tipik bir alt alan üzerinde yerel olarak

yapılabilir ve alt alan yeterince küçük alınarak değişik dereceli polinom denklemlerinin

çözümün yerel davranışını temsil etmek için yeterli olduğu kanıtlanabilir. İntegrallerin

bu şekilde toplanabilmesinden her sonlu eleman programında yararlanılır. Bu, analizin

tipik bir sonlu eleman alanına odaklanmasına ve o elemanın nihai ağ içindeki son

yerinden bağımsız olarak bir yaklaşım oluşturmasına izin verir.

Sonlu elemanların bu basit özellikleri bazı çok önemli vasıflarını ortaya koyar:

(1) Keyfi geometri. Metot zorunlu olarak geometriden bağımsızdır. Esas itibariyle, sonlu

eleman metotları keyfi sınır koşullarına sahip keyfi biçimli alanlara uygulanabilir.

(2) Yapılandırılmamış ağlar. Nümerik analiz literatüründe koordinatlara bağımlı

algoritmalar ve ağ üreteçlerine karşı hala birçok önyargı bulunmakla birlikte, sonlu

eleman metodolojisinde bu tür gereçler gerektirecek hiçbir şey yoktur. Aslında, sonlu

eleman metotları doğaları gereği yapılandırılmamış ağlara yönlendirirler. Bu, esas

olarak, analiz yapanların sonlu elemanları istedikleri her hangi bir yere

yerleştirebileceği anlamına gelmektedir. Böylece karmaşık biyolojik doku kesitlerinden

uçağın dış yüzeyine ve turbo makinelerdeki iç akışlara kadar doğadaki ve fizikteki en

karmaşık geometri tipleri sabit genel koordinat sistemi fazla kullanılmadan

modellenebilir.

(3) Sağlamlık. Sonlu eleman metotlarında çeşitli elemanlar üzerindeki yerel

yaklaştırmaların katkılarının sistematik bir şekilde kısmi türevli denklemlerin çözümüne

genel yaklaştırma ile ulaşmak üzere bir araya getirildiği iyi bilinmektedir. Genel olarak,

bu, klasik fark metotlarına tam zıt olarak, uygun normlarda istikrarlı, ayrıca ağdaki

tekillik veya çarpıklıklara duyarsız düzenlemelere yol açar. Tabii, bunun kayda değer

istisnaları bulunmaktadır ve bu istisnalar sonlu eleman teorisindeki bazı çok önemli

çalışmaların konusu olmuştur. Ancak, genellikle, sonlu eleman metotlarını türetmek

üzere Galerkin veya Petrov-Galerkin metotlarının doğrudan kullanımı mekanik ve

matematiksel fizikteki birçok problem sınıfı için istikrarlı algoritmalara

yönlendirmektedir.

3

(4) Matematiksel temel. 1970 li ve 1980 li yıllarda matematiksel temel üzerinde yapılan

yoğun çalışmalar nedeniyle, sonlu elemanların şu anda zengin ve sağlam bir

matematiksel esası bulunmaktadır. Önsel ve sonsal tahminleri belirlemek için mevcut

metotlar sonlu elemanlar teorisinin hayati bir bölümünü teşkil etmekte ve önemli

mühendislik ve fizik problemlerinin analizini birçok nümerik ve deneysel çalışmadaki

yaygın geleneksel ampirizmin üzerine çıkarmayı mümkün hale getirmektedir.

Bunlar gerçek dünya problemlerini ele almak için tasarlanmış nümerik şemaların en çok

aranan özelliklerini temsil etmektedir. Ayrıca, sonlu eleman metodolojisinin ana

nitelikleri modern süper bilgisayar mimarilerin yenilikçi kullanımı, özellikle paralel

işlem yapma, için ideal bir düzenleme sağlamaktadır. Bu nedenlerle, sonlu eleman

kavramlarının kısmi türevli denklemlerin nümerik çözümleri hakkındaki araştırmalarda

ve uygulamalarda önemli rol oynamaya devam edeceği kesindir (Ciarlet 1991, Kincaid

1996).

1.2 İlk Dönemlerin Tarihi

Sonlu elemanlar ne zaman ortaya çıkmıştır? Esas problemin “sonlu eleman metodunu”

tam olarak neyin oluşturduğunun tanımlanamaması oluşu nedeniyle sonlu eleman

metotlarının izini sürmek zordur. Birçok matematikçi için, parçalı polinom

yaklaştırmadır ve bu yüzden, kökleri sıklıkla Dirichlet probleminin üçgenlerden oluşan

bir ağ üzerinde parçalı lineer yaklaştırmasının incelendiği Courant’ın bir makalesinin

ekinde (1943) izlenmektedir. Aynı zamanda, Polya (1952) tarafından “sonlu farkların

yorumunun” sonlu elemanların parçalı polinom yaklaştırma yönlerini temsil ettiği kabul

edilmektedir.

Mühendislik camiasının büyük bir dilimi için, sonlu elemanların başlangıcını temsil

eden çalışma Turner et al. (1956) öncü makalesi olup burada hem (lineer elastik kısmi

diferansiyel denklemlere ait) yerel yaklaştırma hem de sonlu eleman metodolojisinde

zorunlu olan birleştirme stratejileri için orijinal bir deneme yapılmıştır. Bu makalede

yerel eleman özelliklerinin varyasyonel ilkeler kullanılmadan türetilmesi ilginçtir.

1960’dan sonra Clough (1960) lineer düzlem elastisite problemleri analizi hakkındaki

4

dönüm noktası olan makalesinde bu teknikleri “sonlu eleman metotları” olarak dile

getirmiştir.

1.3 Matematiksel Teori

Sonlu elemanların matematiksel teorisi bu faaliyet kazanından geç çıkmıştır. Sonlu

elemanların matematiksel teorisine ait başlangıç çalışmaları anlaşılır şekilde tek boyutlu

eliptik problemlerle ilgilenmiş olup Ritz metotları, interpolasyon, ve varyasyonel

farkların aletleri ve jargonunu kullanmaktadır. Bu doğrultudaki bir erken dönem

çalışması iki noktalı sınır değer problemi için “Hermite interpolasyon tipinde Ritz

metotlarını” ele alan Varga’nın (1966) makalesidir. Bu kapsamda ayrıca “parçalı kübik

polinomlar ile Rayleigh-Ritz yaklaştırması” hakkındaki Birkhoff, et al. (1968)

makalesidir.

İki ve daha büyük boyutlu problemler için matematiksel sonlu elemanlar teorisi 1968’te

başlamış olup o yıl konu hakkında birçok makale yayınlanmıştır. Bu dönemde bir sonlu

metodun yakınsama problemine titiz bir şekilde hitap eden ve düzlem elastisite

problemine ait çift lineer yaklaştırma için önceden hata tahmini elde edilen ilk

makalelerden biri Journal of Applied Mechanics’de yayınlanan Johnson end Mclay

(1968) makalesidir. Bu makalede enerji normlarındaki hata tahminleri doğru olarak

geliştirilmiş olup hatta köşe tekillikleri nedeniyle yakınsama hızının bozulmasını

karakterize etme girişiminde bulunulmuştur.

1972’ye gelindiğinde, sonlu eleman metotları uygulamalı matematikte yeni ve önemli

bir nümerik analiz alanı olarak doğmuştur.

1970 li yıllar boyunca birçok sonlu eleman metodu, lineer eliptik sınır değer problemi,

öz değer problemi ve belirli lineer ve lineer olmayan parabolik problemlere ait hata

tahminlerinin önceden belirlenmesinde büyük adımlar atılmıştır; hatta hiperbolik

denklemlere ait sonlu elemanlar uygulamaları hakkında bazı ön çalışmalar yapılmıştır.

5

1980 lerden itibaren lineer problemler için matematiksel sonlu elemanlar teorisinin

sağlam temellerinin tesis edildiği ve lineer olmayan problemlerin hem teorisi hem

uygulamasında önemli ilerlemeler olduğunu söylemek çok yanlış olmayacaktır. Geri

kalan cevapsız sorular zor olanlardır ve bunların çözümleri metodun matematiksel

özelliklerinin iyi anlaşılmasını gerektirmektedir.

Matematiksel esasın lineer olmayan ve yapısal olmayan problemlere genişlemesi ilk kez

Galerkin (1915) tarafından 20. yüzyılın başlarında tasarlanan ağırlıklı artıklar metodu

vasıtasıyla başarılmıştır. Ağırlıklı artıklar metodunun Rayleigh-Ritz metoduna nazaran

çok daha geniş problem esasında ideal teorik temeli sağladığı bulunmuştur. Esas olarak,

metot diferensiyel denklemin önceden belirlenmiş ağırlıklar seti ile çarpılması ve elde

edilen çarpımın alan integralinin alınmasını gerektirmektedir; bu integralin sıfıra

gitmesi gerekmektedir. Teknik olarak, Galerkin metodu, değişik tip ağırlıklar

kullanılabildiğinden, genel ağırlıklı artıklar prosedürünün bir alt kümesidir; Galerkin

metodu durumunda ağırlıklar bilinmeyen değişkenleri tanımlamak için kullanılan

fonksiyonlarla aynı seçilmektedir (Pepper 2005).

6

2. AĞIRLIKLI ARTIKLAR METODU VE GALERKİN YAKLAŞIMALARI

2.1 Klasik Çözümler

Bir model problem olarak, L boyunda ve sabit kesitli ince homojen metal tel üzerindeki

ısı iletimini belirlemeyi etüt edeceğiz. Sol ucun öngörülmüş bir q ısı akışına maruz

kaldığını, sağ ucun LT T= sabit sıcaklıkta tutulduğunu ve çubuğun uzunluğu boyunca

yalıtım malzemesi ile sarıldığını düşünelim. Durum Şekil 2.1’de gösterilmiştir. Ayrıca,

telin içinden Q şiddetinde bir iç ısı kaynağı olarak görev yapacak bir elektrik akımı

geçirebildiğimizi var sayıyoruz.

Bu problem için Fourier kanunu olarak bilinen, çubuk boyunca sıcaklık dağılımını

veren diferensiyel denklemi kolayca yazabiliriz. Bu

Lx,Qdx

TdK <<=− 0

2

2 (2.1)

olup x boy koordinatı, K malzemenin ısı iletkenliği (sabit varsayılmıştır), ve Q birim

hacimde iç ısı üretimidir. Problemle ilişkili sınır şartları:

0dT

K q, ( x )dx

− = = (2.2)

LT T , ( x L )= = (2.3)

ve q>0 iken, ısı akış yönü x=0’da çubuğun içine doğru olup, Denklem (2.2)’deki eksi

işareti bu nedenledir.

(2.2) ve (2.3) sınır şartları ile Denklem (2.1)’in çözümü, Q’yu integrali alınabilen bir

denklem varsayarsak, düz integral alma ile bulunabilir ve

7

2

2

10

x

d T Q( x )Kdx K

dT Q( z )dz C

dx K

− = −

= − +∫

1 1

0

20 0 0

0 0

1

1

x

x x y

y

dT q q( ) C C

dx K K

dT q( x ) Q( z )dz

dx K K

qT ( x ) dz Q( z )dzdy C

K K =

= + = − ⇒ = −

= − −

= − − +

∫

∫ ∫ ∫

1

20 0 0

2 0 0

1( ) ( )

1( ) ( )

L y

Ly

L y

L

qT L dz Q z dzdy C T

K K

qC T L Q z dzdy

K K

== − − + =

= + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( )

x y L y

Ly y z

q qT x T x L Q z dzdy Q z dzdy

K K K K= = == − + − +∫ ∫ ∫ ∫

kabul edelim 0

( ) ( )y

Q z dz F y=∫

0 0

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

L x

Ly y

L y

Lx

qT x T L x F y dy F y dy

K K K

qT x T L x Q z dz dy

K K

= == + − + −

= + − +

∫ ∫

∫ ∫

olur.

8

Sabit Q için

0( ( ) )

L y

xQ z dz dy∫ ∫

( 0)L

xQ y dy= −∫

2

2

L

x

yQ=

olup, böylece

2 2

( )2

L xQ

−=

( )0

1( ) ( ) ( )

L y

Lx

qT x T L x Q z dz dy

K K= + − + ∫ ∫ (2.4)

eşitliği, sabit Q için

2 2( ) ( ) ( )2L

q QT x T L x L x

K K= + − + − (2.5)

eşitliğine indirgenir

.

9

Şekil 2.1 L boyunda bir çubukta ısı iletimi

Bu örnek basit olup tek bir çözümü vardır. Daha zor problemler, bir çözümleri bulunsa

bile kolay analitik çözümlere sahip olmazlar; bu yüzden, daha karmaşık problemlere

nümerik yaklaştırmaları açıklayabilmek için nümerik çözümlerin davranışlarını basit

problemlerde tam olarak anlamak çok önemli olmaktadır. Denklem (2.4)’ü sonra sonlu

eleman prosedürü ile elde edilen çözümleri karşılaştırmak için bir referans noktası

olarak kullanacağız.

2.2 “Zayıf” Gösterim

Denklem (2.1) formundaki denklemleri sonlu elemanlar kullanarak formüle etmek ve

çözmek için normal olarak kullanılan iki temel prosedür bulunmaktadır. Bunlar

Rayleigh-Ritz ve Galerkin metotları olarak bilinir. Diğer daha az kullanılan metotlar

sıralama, sabit ağırlıklar ve en küçük kareler tekniklerini esas alırlar. Bütün bu

prosedürler ağırlıklı artıklar metodunun alt kümesidir.

Hangi prosedürü kullanırsak kullanalım, birinci adım, 0 x L≤ ≤ aralığında Şekil 2.2’de

gösterildiği şekilde, bütün etki alanını kaplayan “eleman” adlı sonlu sayıda, çakışmayan

alt aralık içeren bir bölme veya ızgara tanımlamak olacaktır. Her elemanı ek ile ifade

edeceğim:

1{ : }k k ke x x x x += ≤ ≤ (2.6)

L

x

y

q T=TL

Q

10

ve her ke aralığının uç noktaları “düğüm” olarak adlandırılacağız (Hutton 2004). Bu

elemanların her birinin üzerinde, sıcaklık dağılımı, daha sonra u bağımsız değişkeninin

( )ju x olarak ifade edilen, önceden bilinen fonksiyonları ve bunlara karşılık gelen

bilinmeyen aj parametreleri kullanılarak yaklaştırılacaktır. Dolayısıyla, bir elemanı ek alt

aralığı olarak, önceden bilinen jφ fonksiyon kümesi ve aynı sayıda aj ile birlikte, o

şekilde tanımlıyoruz ki, eğer aj parametreleri biliniyorsa, T(x) sıcaklık alanının

yaklaştırması da bütün alt aralık üzerinde bilinecektir. Bütün 0 x L≤ ≤ etki alanı

üzerinde,

1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n nT x a x a x a xφ φ φ+ +≅ + + +L (2.7)

yazabiliriz. ( )i xφ fonksiyonları “biçim fonksiyonları” olarak adlandırılır. (2.7) ifadesini

toplama notasyonunda yazacak ve bir eşit işareti kullanacağız, yani,

1

1

( ) ( )n

i i

i

T x a xφ+

=

=∑ (2.8)

alacağız.

Şekil 2.2 Etki alanının bir sonlu eleman ızgarası olarak bölümü

Bir problem için (2.8) formundaki bir ifade kullanılarak çözüme yaklaştırıldığında,

genel olarak diferensiyel denklemin doğru çözümünü elde edemeyiz. Dolayısıyla,

Denklem (2.1)’in sol tarafına yaklaşık çözümümüzü koyarsak, bir özdeşlik değil, ama

nn eeeee 1321 −

∫

∫

LxxxxxxO nnn == +− 11321 L

11

yaklaştırmadaki hata ile ilişkili bir ”artık” fonksiyon elde edeceğiz (Pepper 2005). Bu

hatayı

2

2( , )

d TR T x K Q

dx≡ − − (2.9)

ile tanımlayabiliriz. Burada T, T* doğru çözümüne bir yaklaşımdır. Böylece

( *, ) 0R T x ≡ (2.10)

Bununla birlikte, her hangi bir T≠T* için, ızgarayı ne kadar küçültürsek küçültelim veya

seri açılımını ne kadar uzatırsak uzatalım, artığı her x noktasında yok olmaya

zorlayamayız. Ağırlıklı artıklar metodunun ana fikri artığı bir ağırlık fonksiyonuyla

çarpıp ağırlıklı ifadenin integralını sıfırlanmaya zorlamaktır, yani

0

( ) ( , ) 0L

W x R T x dx =∫ (2.11)

olup,

burada W(x) ağırlık fonksiyonudur. Değişik ağırlık fonksiyonları seçip bunların her biri

(2.11) içine yerleştirilerek, Denklem (2.8)’de verilen sonlu seriler formunda bir T

yaklaşımı belirleyecek ai bilinmeyen parametreli bir lineer denklem sistemi üretebiliriz.

Bu, diferensiyel denklemi “ortalama” veya “tam” anlamda sağlayacaktır. Seçilen ağırlık

fonksiyonunun tipi, seçilen ağırlıklı artık tekniğinin tipine bağlıdır. Galerkin

prosedüründe, ağırlıklar ( )xφ biçim fonksiyonuna eşit olarak seçilmiştir, yani,

( ) ( )i iW x xφ= (2.12)

ve aj bilinmeyen parametrelerinin sayısı jφ biçim fonksiyonlarının sayısına eşit olduğu

için, bilinmeyenlerle aynı sayıda denklemin bulunduğu bir lineer denklem sistemi

12

üretilmiş olacaktır. Eğer diferensiyel denklemle ilişkili sınır şartları, ileride gösterileceği

şekilde doğru olur ve düzenlenirse, böyle bir denklem sisteminin çözümünün varlığı ve

tekliği garantilenir.

Bu metot büyük boyutlu düzensiz geometrilere sahip problemler ve lineer olmayan

problemlerde özellikle avantajlı görülmektedir ve otomatik olarak bilinmeyenlerle aynı

sayıda denkleme sahip bir denklem sistemi vermektedir. ( )i xφ biçim fonksiyonlarının

nasıl tanımlanacağı sorusu sonlu eleman metodolojisinin gerçekte başladığı yerdir.

Kendimizi hemen tamamen basit (lineer, ikinci derece ve üçüncü derece) interpolasyon

ile sınırlandırıyoruz; daha yüksek seviyeli (ve transandantal) yaklaşımlar da artan

karmaşıklık, hesaplama süresi ve depolama gereksinimleri hesaba katılarak

kullanılabilir. Basit lineer ve ikinci derece fonksiyonlarının kullanımı sonlu eleman

kavramının mükemmel ölçüde basit, buna rağmen son derece güçlü olduğunu teyit

edecektir.

Şimdi Denklem (2.11)’in sol tarafındaki integralleri önermiş olduğumuz ( )xφ biçim

fonksiyonlarını W(x) ağırlıkları olarak kullanıp hesaplamak istiyoruz. Böylece, Galerkin

prosedürü

2

20( ) 0

L d Tx K Q dx

dxφ

− − =

∫ (2.13)

verir ve Denklem (2.8)’in içindeki ( )i xφ fonksiyonu için uygun bir form bulmamız

gerekir. Sıcaklık dağılımının x’in sürekli fonksiyonu olması gerektiği için, bunu

yaklaştırmak için en kolay yol her eleman üzerinde parçalı lineer polinom

interpolasyonu kullanmak olacaktır; özellikle, parça yönünde lineer yaklaşma, sürekli

bir fonksiyon için en basit yaklaşımı sağlar ve çok çekicidir (Şekil 2.3).

Ne yazık ki, bu tür fonksiyonların birinci türevleri eleman uçlarında sürekli değildir ve

bu yüzden buralarda ikinci türev bulunmaz; hatta T’nin ikinci türevi her elemanın

içerisinde sıfıra gider. Bununla birlikte, ikinci derece türevlerin her yerde bulunmasını

13

gerektirmek çok kısıtlayıcıdır. Bu bizi çubukta birim kuvvetteki nokta ısı kaynağının

varlığı gibi büyük ilgi duyulan birçok fiziksel durumla ilgilenmekten alıkoyar. Bu

durumda, Denklem (2.1)

2

2( )s

d TK x xdx

δ− = − (2.14)

şeklini alır ki burada δ Dirac delta fonksiyonu olup x=xs, belirsiz olan kaynak pozisyonu

dışında her yerde sıfırdır. Açıkça, T’nin ikinci türevi x=xs noktasında yoktur; bununla

birlikte, Denklem (2.14) iyi bilinen ve aşağıda verilen çözüme sahiptir:

[ ]

≤≤+−−−

≤≤+−+−−

=Lxx

T)Lx)(Lx(qK

xxT)Lx()Lx(qK

)x(T

sL

sLs

1

01

(2.15)

Şekil 2.3 Bir sıcaklık alanı için parçalı lineer yaklaşımı

x1 x2 x3 x4 x5=L x

14

Aslında, bu zorluk Denklem (2.13)’ün ikinci türev terimine kısmi integrasyon

uygulanarak kolayca çözülebilir, yani,

2

20 0( )

0

L L Ld T d dT dTx K dx K dx K

dx dx dx dx

φφ φ

− = −

∫ ∫ (2.16)

ve Denklem (2.13) aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

0 0

00

L L Ld dT dTK dx Qdx Kdx dx dx

φφ φ− − =∫ ∫ (2.17)

Bu problemimizin “zayıf” formudur, çünkü Denklem (2.13) ikinci türevi içerirken,

(2.17) sadece T(x) çözümünün birinci türevini ihtiva eder. T(x) fonksiyonu hakkındaki

türev alma gerekliliği zayıflatılmış olup bu nedenle “zayıf ifade” denilmektedir (Pepper

2005). Henüz bir yaklaşım yapılmadığına dikkat edilmelidir, yani, formülasyonda hiç

bir şey kaybolmamıştır. Diğer taraftan, parçalı basit lineer yaklaşım şimdi akla daha

yatkındır.

Her ( )i xφ ağırlık fonksiyonu için Denklem (2.8) kullanılarak, Denklem (2.17)’yi şu

formda yazabiliriz:

0

1

0 01

0x L

x

n L Ljij i i

j

dd dTK dx a Qdx K

dx dx dx

φφφ φ

=

=

+

=

+ − = ∑ ∫ ∫ 1, 2,..., 1i n= + (2.18)

0x = daki - K(dT/dx) akışının integral formu içine otomatik olarak yerleştirildiğine

dikkat edelim. Aynı zamanda, iφ biçim fonksiyonları bir kez seçildiğinde, (2.18)

içindeki integraller kolayca hesaplanabilir.

Zayıf ifadenin Galerkin formunun (2.18) avantajı, Denklem (2.1) veya (2.11)’in

gerektirdiği 0 x L≤ ≤ arasındaki her x noktasında T(x) değerine karşın, belirlenecek ai,

15

i=1,…, n+1 sonlu sayıda parametre bulunmasıdır. O zaman, bu noktada uygun bir

yaklaşım lehine tam çözümün dikkate alınmasından vazgeçilmiştir.

Yukarıdaki prosedürü göstermek için, aralığı her iki ucuna bir düğüm yerleştirilmiş iki

eşit uzunlukta kesime bölelim. Böylece, dilimin kalınlığı boyunca ısı alanı üç düğümle

tanımlanır; yani, Şekil 2.4’te gösterildiği gibi düğüm 1, x=x1=0, düğüm 2, x=x2=L/2,

düğüm 3, x=x3=L noktasına yerleştirilmiştir.

Şekil 2.4 Parça noktasallaştırma

Her ei elemanı boyunca düğümler arasındaki ( )xφ değişiminin lineer olduğunu

varsayarsak, T bağımlı değişkenini kolayca şu formda ifade edebiliriz:

1 1 1( ) ( ) ( )i i i i i iT x x a x a x x xφ φ + + += + ≤ ≤ (2.19)

Eğer Iφ fonksiyonları ( ) 1i ixφ = ve 1( ) 0i ixφ + = , veya tersine, 1( ) 0i ixφ + = ve

1 1( ) 1i ixφ + + = olarak seçilirse, o zaman φi fonksiyonları

1x 2x 3x

2L

L

1 e1 2 e2 3

16

1

1

1

1

( )

( )

ii

i i

ii

i i

x xx

x x

x xx

x x

φ

φ

+

+

++

−=

−

−=

−

(2.20)

ile verilir ve ai parametresi düğüm sıcaklığı olur, yani, Şekil 2.5’te çizildiği gibi

ai=T(xi)=Ti dir. Biçim fonksiyonlarının türevleri:

Şekil 2.5 Bir eleman boyunca lineer biçim fonksiyon

1

1

1

1

1

i

i i

i

i i

d

dx x x

d

dx x x

φ

φ

+

+

+

= −−

=−

(2.21)

Denklemdir. (2.19)-(2.21) daha kısa olarak matris formunda

( )T x aϕ= (2.22)

yazılabilir, burada

iT

1iT +

1ix + ix

ie

( )i xφ 1( )i xφ +

1

1ix + ix

1

17

1[ ]i iϕ φ φ += (2.23)

1

i

i

aa

a +

=

(2.24)

ve böylece

1

1

ii i

i

ad ddT da

adx dx dx dx

φ φϕ +

+

= = (2.25)

ve

1 1

1 1

i i i i

d

dx x x x xϕ

+ +

= − − −

. (2.26)

Şimdi bunu Denklemi (2.18)’deki ilk elemanımıza uygulayabiliriz.

/2

0

/2

0

2 2 21

1 10 01

2 2 22

2 20 01

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

x L

x

x L

x

L Lj

j

j

L Lj

j

j

dd dtK dx a x Qdx K x

dx dx dx

dd dtK dx a x Qdx K x

dx dx dx

φφφ φ

φφφ φ

=

=

=

=

=

=

− − =

− − =

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

(2.27)

18

ki burada bu ilişkiler kolaylık için sıfır alınmıştır. (2.27) denklemleri (2.22)-(2.26)

kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir1:

2 2

0 00

TL L

Tqd d

K dx a Q dxodx dx

ϕ ϕ ϕ − − = ∫ ∫ (2.28)

2 2

1x x

L Lϕ = −

ve

2 2d

dx L Lϕ = −

konularak ve integral alınarak, Denklem (2.28) aşağıdaki şekle dönüşür:

2 21

0 02

2 21

2 20

2 2 0

L L

x

a qL LK dx Q dx

a xL L

L L

− − − − − =

∫ ∫r

22

2 22 1

202

2 20

4 4 2

2 04 4 02

2

L /

L

xx

a qL L LK dx Q

a x

L L L

− − ⇒ − − = −

∫r

1 2 ( 2)Lφ olduğundan,

0

q vektörünün ikinci bileşeninin neden sıfır olduğu kolayca görülmemektedir.

Şimdilik, bir düğüm noktasında akış belirtilmemişse, o düğüm noktasında sıfır olduğunu kabul edebiliriz.

19

1

2

2 24

02 2 4 0

a L / qL LK Q

a L /

L L

−

⇒ − − = −

r

1

2

1 1 1 02

1 1 1 0 04

a qK QL

aL

− − − = −

(2.29)

e2 elemanı için:

3

22 22 2 22

0LL Lj

jL L

x L /j

dd dtK dx a Qdx K

dx dx dx ==

φ φ − φ + φ − =

∑ ∫ ∫

3

33 32 2 22

0LL Lj

jL L

x L /j

dd dtK dx a Qdx K

dx dx dx ==

φ φ − φ + φ − =

∑ ∫ ∫

3

222 2

2

0L Lj

L Lj

ddK aj dx Qdx

dx dx=

φφ⇒ − φ =

∑∫ ∫

2

2

2

L x

L L /

x L /

L L /

− −

φ = −

−

2 1

21

x

L

x

L

− φ =

−

20

2

2

d L

dx

L

− φ=

(2.22) uygulandığında

2

2 23

22 1

2 20

2 21

L L

L L

x

a LLK dx Q dx

aL L x

L L

−− − − = −

∫ ∫r

2

2 22

223

2 22

4 4 22

2 04 4 2

2

L

L

L

L /

xx

aL L LK dx Q

a x

L L L

− − − = −

∫

2

3

2 2

4 02 2

4

L

aL LK Q

a L

L L

− − =

−

2

3

1 1 120

1 1 24

aK QL

aL

− − = −

1

3

1 1 1 0 02

1 1 1 0 04

aK QL

aL

− − − = −

(2.30)

elde ederiz.

21

(2.29) ve (2.30) ifadeleri, bu durumda, her ikisi de aynı ağırlık fonksiyonu 2φ (x)’e ait

olduğundan, Denklem (2.29)’daki ikinci denklem ile Denklem (2.30)’daki birinci

denklemin “toplama” işlemi kullanılarak birleştirilirler.

1

2

3

1 1 0 12

1 2 1 0 04

0 1 1 0 1

a qK QL

aL

a

− − − = + −

(2.31)

a3=TL olduğunu bildiğimiz için, sistem a1 ve a2 bilinmeyenli iki denkleme indirgenir,

yani,

2

1 2

2

1 2

2 8

4 L

qL QLa a

K K

QLa a T

K

− = +

− + = +

(2.32)

ve böylece çözüm

2

1

2

2

3

2

3

2 8

L

L

L

qL QLa T

K K

qL QLa T

K K

a T

= + +

= + +

=

(2.33)

olur.

22

2.3 Uygulama

Denklem (2.7)’deki ( )i xφ biçim fonksiyonlarından hangisinin seçileceği hususunda bir

çok olasılık vardır. Diferensiyel denklemin çözümünü göz önüne alalım:

1012

2<<=− x,

dx

ud

Sınır şartları:

010 == )(u)(u

Örneğin, öngörülen sınır şartlarını sağlayan aşağıdaki formda yaklaşım deneyebiliriz:

xsina)x(u π= 1

Galerkin ağırlıklı artıklar formülasyonu

0

1

0 01

0x L

x

n L Ljij i i

j

dd dTK dx a Qdx K

dx dx dx

φφφ φ

=

=

+

=

+ − = ∑ ∫ ∫

K=1, i=j=1 ve 0 0| |x x

dT dTq K q

dx dx= == − ⇒ = −

11 1

1 11 1 10 0

0

1

1d d dT

a dx ( )dxdx dx dx

sin x

φ φ − φ + φ −

φ = π

∫ ∫

23

1 12 210 0

2

1

cos sin 0

20

2

xdx a xdx

a

π π π

ππ

− =

− =

∫ ∫

1 3

4a =

π

böylece

3

4u( x ) sin x≅ π

π

olup

10 129

2u( ) .≅

x=1/2’de tam çözüm ise u(1/2)=1/8=0.125 dir. Bu ise x= 1/2 dir, buda %3 lineer bir

yaklaşım hata demektedir.

24

3. BİR BOYUTTA SONLU ELEMAN METODU

3.1 Giriş

Sonlu eleman metodunun resmi temeli Galerkin’in ağırlıklı artık prosedürüdür. Bölüm

2’de tartışıldığı gibi, Galerkin prosedürünün bağımlı değişken için parçalı bir polinom

gösterim eşliğinde uygulaması problem etki alanını münferit hale getiren bir dizi parça

için elde edilen bir lineer ilişki kümesi verir. Yaklaştırma fonksiyonları lokal olarak

sonlu elemanlar diye adlandırılan parçalar üzerinden tanımlanır, ve her hangi bir

fonksiyon, ne kadar basit olursa olsun, hatta birinci derece polinomu bile, yaklaştırmada

kullanılabilir.

Sonlu eleman metodunda ilk adım ilgilenilen bölgeyi düğüm noktaları bulunan alt

bölgelere veya elemanlara bölmek ve bir elemanın her iki ucunda “biçim” tipini

tanımlamaktır. Bir ikinci derece elemanı elemanın orta noktasında yerleştirilmiş üçüncü

bir düğüme sahiptir; bir kübik elemansa aralıklarla yerleştirilmiş dört düğüm ihtiva

eder. Elemanların ve düğüm noktalarının toplanmasına “sonlu eleman ağı” denir.

Prosedürde kullanılan biçim fonksiyonlarının tipi, doğrudan seçilen ağın tipi ile

bağlantılıdır.

3.2 Biçim Fonksiyonları

Şimdi parçalı polinom interpolasyonu işlemini formüle edeceğiz ve münferit

elemanlarla ve sadece o özel elemana uygulanabilir lokal fonksiyonlarla çalışmanın

daha uygun olacağını göstereceğiz.

25

3.2.1 Lineer elemanlar

0 x L≤ ≤ aralığında eşit boyda olması gerekmeyen elemanlardan oluşan bir ızgara

tanımlamakla başlıyoruz. Sonra elemanların her biri üzerinde, lineer biçim fonksiyonları

tanımlıyoruz; bunlar Şekil 3.1’de tanımlandığı gibi gözükmektedirler.

Bu sonlu eleman ızgarasının ve biçim fonksiyonlarının problemimizin geometrisini tarif

etmemize izin veren bir koordinat sistemi içinde genel gösterimidir. Eğer ağ n eleman

içeriyorsa, Şekil 3.1’de gösterildiği gibi koordinatları 1 1,..., nx x + olan 1n + düğüme

sahiptir. Eleman tanım kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

1:{ } 1,2,...,i i ie x x x x i n+≤ ≤ = (3.1)

Her düğümle ilişkili biçim fonksiyonları eğer j≠i ise ( ) 1i iN x = ve ( ) 0i jN x = olacak

şekilde ( )iN x ile belirtilir ve aşağıdaki şekilde verilir (Mitchell 1977):

21 2

1

1( )

0

x xx x x

hN x

diğer

−≤ ≤

=

(3.2)

11

1

1( ) 2,3,...,

0

ii i

i

i i ii

i

x xx x x

h

N x x x x i nx x

h

diğer

−−

−

+

−≤ ≤

= ≤ ≤ =−

(3.3)

26

1

1( )

0

n

n n

n

n

x xx x x

hN x

diğer

+

+

−≤ ≤

=

(3.4)

burada:

n,...,ixxh iii 211 =−= + (3.5)

Şimdi ( )T x ’i aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz

1

1 1 2 2 1 11

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n n i i

i

T x N x T N x T N x T N x T+

+ +=

= + + + =∑ (3.6)

Şekil 3.1 Genel parçalı lineer elemanlar ızgarasının biçim fonksiyonları

Burada iT , T ’nin xi’deki, yani i düğümündeki değerini anlatır ve ( )T x ara

düğümlerde lineerdir. Bu bir elemanlı bir ağdır, yani 1n = , kolayca görülebilir. Eğer

∫

∫

∫

∫

1( )N x

( )iN x 1( )nN x+

1e 2e 1ie − ie

e

1ie + 1ne − ne

1 2 3 1i − i 1i + 2i + n 1n +

1 0x = 2x 3x 1ix − ix 1ix + 2ix + nx 1nx L+ =

27

( )T x düğümler arasında lineer ise, 1 1 2T xα α= + formunda olacaktır (Kwon 2000,

Pepper 2005, Lewis 1991, Solin 2006). Ayrıca, 1 1( )T x T= ve 2 2( )T x T= ; böylece:

1 1 2 1T xα α= + (3.7)

ve

2 1 2 2T xα α= + (3.8)

α1 ve α2 için çözerek

1 1 1

2 2 2

1

1

T x

T x

α = α

1 1 1 2 1 12 1

2 2 1 22 1 1

1 1

1 1

T T x T xx x

T T Tx x h

α −− = = α − +−−

1 22 1

1 1

T TT ( x ) ( x x ) ( x x )

h h= − + − +

2 11 2

1 1

( x x ) ( x x )T T

h h

− −= +

1 2 2 11

1

T x T x

hα

−= (3.9)

2 12

1

T T

hα

−= (3.10)

28

böylece,

1 2 2 1 2 1

1 1

( )T x T x T T

T x xh h

− −= + (3.11)

ve, yeniden düzenleyerek, n=1 olarak Denklem (3.6) olan aynı ifadeyi elde ederiz:

2 11 2

1 1

( )x x x x

T x T Th h

− −= +

(3.12)

Pratikte her elemanla söz konusu özel elemanla ilişkili bir lokal koordinat sisteminde

çalışmak uygun olacaktır. Eğer lokal koordinat sisteminde ( )eh uzunluğunda bir elemanı

izole edersek, aşağıdaki gösterimi kullanabiliriz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2( ) ( ) ( )e e e e eT x N x T N x T= + (3.13)

burada (e) bir elemana işaret eder ve Şekil 3.2’de gösterildiği gibi

( )1 ( )

( ) 1e

e

xN x

h

= − (3.14)

( )2 ( )

e

e

xN

h= (3.15)

buradan da,

( ) ( )( ) ( )( )

1 11 2( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1e ee ee

e ee e

T TdN dNdT

dx dx dx h hT T

= = − (3.16)

29

Ayrıca Şekil 3.3’te gösterildiği gibi lokal ve genel düğüm numaralandırması arasında

bir ilişkiye ihtiyaç duyacağız. Ancak çözüm işleminde daha ileri gitmeden bazı daha

yüksek dereceli elemanları tanıtacağız.

Şekil 3.2 Lokal düğüm numaralandırması, sıcaklık gösterimi, ve lokal biçim

fonksiyonları

Şekil 3.3 Lokal ve genel numaralandırma arasındaki ilişki

3.2.2 İkinci derece elemanları

Bir fonksiyonun interpolasyon yolu ile yaklaştırma açısından, Şekil 3.4’ten her eleman

üzerinde lineer parçalar yerine parabolik yaylar kullanırsak daha iyi yapacağımızı

görebiliriz. Her eleman üzerinde, ( ) ( )eT x fonksiyonları x ’te ikinci dereceden ve

dolayısıyla aşağıdaki formda olacaktır:

( )2eT

( )1eT

( ) ( )eT x

e

x

( )1 ( )eN x

( )2 ( )eN x

e

1

∫

∫

∫

∫

1e 1ie − ie

1 2 1i − i 1i + n 1n +

1 2

( )1

i

i ih x x+= −

30

( ) 21 2 3( )eT x x xα α α= + + (3.17)

Burada belirlenecek üç parametremiz bulunmaktadır; bu yüzden, elemanların uçlarında

interpolasyon gereksinimi fonksiyonu belirlemek için yeterli olmayacaktır. Üçüncü bir

ilişki elde etmek için, elemanın ortasında bir düğüm daha koyarız ve o düğümde de

fonksiyonun interpolasyonuna ihtiyaç duyarız (Pepper 2005). Şekil 3.5 lokal koordinat

sistemi için sonuç konfigürasyonunu göstermektedir.

( ) ( )e

iN x fonksiyonları aşağıdaki gereklilikten elde edilir:

( ) ( )1 1

( ) 2( )( ) ( )32

1 2

( ) ( ) ( ) 2 ( )1 2 3 3

(0)

( )( / 2)

2 4

( ) ( )

e e

eee e

e e e e

T T

hhT h T

T h h h T

α

ααα

α α α

= =

= + + =

= + + =

(3.18)

( )f x

Şekil 3.4 Parçalı lineer yaklaşıma karşı kuadratik interpolasyon

1e 2e 3e x

31

Şekil 3.5 Lokal koordinat sisteminde ikinci derece elemanı ve biçim fonksiyonları

Bu denklem sisteminin çözümü:

2

322 12 4

( e )( e )( e ) ( e )( h )h

T Tαα

+ = −

22 3 3 1

( e ) ( e ) ( e ) ( e )h ( h ) T Tα +α = −

2

2 22 1

2 3 33 1

22

2 1

3 3 1

2 4

1 41 1

2 4 2

( e ) ( e )( e ) ( e )

( e ) ( e )( e ) ( e )

( e )( e )

( e ) ( )

( e ) ( )( e )( e ) ( e )

h ( h )T T

T Th ( h )

( h )( h )

T T

T T( h )( h ) h

α α − = − = α α−

− −

− − −

l

l

2 2 3 1

2

2 1 3 1

4 41

2

( e )( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e )

( e )

( e ) ( e ) ( e ) ( e )

( h )h (T T ) (T T )

( h )(T T ) (T T )

− − −

= − − + −

N(e)1 N

(e)2 N

(e)3

1

1 2 3

1 2 3

h(e)/2 h(e)/2

T(e)3

T(e)2

T(e)1

h(e)

32

2 1 3 1

2

3 12 1

1 1

4 4 4

2 2

( e ) ( e )

( e )

h T T T T

( h ) T TT T

− − + =

− + + −

2 2 1 3 1 2 3

4 3 1 13 4

4 4( e ) ( e )(T T T ) ( T T T )

h hα = − − = − + −

( ) ( )

3 13 2 1 2 32 2

4 22

2 2( e ) ( e )

T T( T ) (T T T )

h hα = − + + = + +

( )

( )( )

( )1 1

2 1 2 3( )

3 1 2 32( )

13 4

22

e

e

e

T

T T Th

T T Th

α

α

α

=

= − + −

= − +

1α , 2α ve 3α 'i (3.17)’ye yerleştirerek ve yeniden düzenleyerek,

( ) ( ) 21 1 2 3 1 2 3( ) ( ) 2

1 2( ) ( 3 4 ) ( 2 )

( )e e

e eT x T T T T x T T T x

h h= + − + − + + +

2

( )1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 3 2 4 1 2 1e

e e e e e e

x x x x x xT x T T T

h h h h h h

= − + + − + −

33

( ) ( )2 2

21 2 32 2 2

3 2 4 4 21( e )

( e ) ( e ) ( e ) ( e )( e ) ( e )

x x x x xT ( x ) T T x T

h h h hh h

= − + + − + − +

21 2 3

21 3 2 4 1 1

x x x x x x( )x ( ) T ( )( )T ( )( )Th h h h h h

= − − + − + − +

böylece, biçim fonksiyonları,

2

( )1 ( ) ( )

( )2 ( ) ( )

( )3 ( ) ( )

( ) 1 3 2

( ) 4 1

( ) 2 1

e

e e

e

e e

e

e e

x xN x

h h

x xN x

h h

x xN x

h h

= − + = −

= −

(3.19)

Bu durumda n ikinci derece elemanından oluşan bir ağ için genel sistemi lokal sistemle

ilişkilendirmek için kullanılan nütasyon Şekil 3.6’da gösterilmiştir. Bu durumda i’nci

eleman aşağıdaki gibi tanımlanmıştır (Denklem 3.1’den):

2 1 2 1{ }i i ie x x x x− += ≤ ≤ (3.20)

ve eleman uzunluğu,

( )2 1 2 1

i

i ih x x+ −= − (3.21)

34

Şekil 3.6 Lokal ve genel koordinat sistemi arasındaki ilişki. Üçgenler her elemanın

içindeki düğümlere işaret etmektedir.

T(e)(x) fonksiyonunun türevleri şimdi aşağıdakinden elde edilebilir:

( )1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

( )3

( )

e

e e e e e e e e e e e

e

T

T x N T N T N T N N N T

T

= + + =

(3.22)

ve şöyle verilir:

( )1( )( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3

1 4 1 14 3 1 2 4 1

e

ee

e e e e e e

e

TdT x x

Tdx h h h h h h

T

= − − −

(3.23)

bunlar artık eleman boyunca sabit değildir.

∫

∫

∫

∫

1e 1ie − ie

1 2 3 4 5 32i − 22i − 22i − 2i 12i + 32n− 22n− 12n−

1 2 3

2e ne

35

3.2.3 Üçüncü derece elemanlar

Daha da yüksek dereceli yaklaştırmalara ilerleyebiliriz. Bir sonraki seviye üçüncü

derece fonksiyonlarla verilir. Bu durumda, her eleman üstünde, her biri x=0, h(e)/3,

2h(e)/3, ve h(e) noktalarında eşit aralıklı yerleştirilen dört düğümün gerektiği aşağıdaki

denklemi elde ederiz:

( ) 2 31 2 3 4( )eT x x x xα α α α= + + + (3.24)

Şekil 3.7 üçüncü derece elemanın biçim fonksiyonlar

( ) ( )e

iN x fonksiyonları aşağıdaki gereklilikten elde edilir:

36

1 1

2 3

2 1 2 3 4

2 3

3 1 2 3 4

2 34 1 2 3 4

3 9 27

2 4 8

3 9 27

T

h h hT

h h hT

T h h h

= α

= α +α +α +α

= α +α +α +α

= α +α +α +α

Bu denklem sisteminin çözümü

21 1 2 2 3 3

( e ) ( e ) ( e )T ( x ) T ,T ( x ) T ,T ( x ) T x= = = ve 4 4( e )T ( x ) T=

1 2 3 40 3 2 3( e ) ( e ) ( e ) ( e )T ( ) T , T ( h / ) T , T ( h / ) T , T ( h ) T= = = =

1 1

2 3 2 31 1

1 2 3 4 22 2

2 3 2 33 3

1 2 3 4 3

4 42 32 3

1 2 3 4 4

1 0 0 0

13 9 27 3 9 27

2 4 8 2 2 81

3 9 27 3 9 271

T

Th h h h h hT

T

Th h h h h hT

T

h h hh h h T

α = α α +α +α +α = α = = α α +α +α +α = α α +α +α +α =

1 1

1 2 3 42

2 1 2 3 42

4 1 2 3 43

11 18 9 2

2

92 5 4

2

93 3

2

T

T T T T

h

( T T T T )h

(T T T T )h

α =

− + −α =

α = − + −

α = − − + −

37

1α , 2α , 3α ve 4α 'i (3.24)’ye yerleştirerek ve yeniden düzenleyerek,

2

1 1 2 3 4 1 2 3 42

3

1 2 3 43

911 18 9 2 2 5 4

2 2

93 3

2

x xT ( x ) T ( T T T T ) ( T T T T )

h h

x(T T T T )

h

= + − + − + + − + −

− − + −

2 3 2 3 2 3

1 2 32 3 2 3 2 3

2 3

4 2 3

11 9 9 18 45 27 9 36 271 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 9 9

2 2 2

x x x x x x x x xT T T

h h h h h h h h h

x x xT

h h h

−= − + ⋅ − + − + + + −

+ + +

2 3 2 2

1 2 32 3 2 2

2

4 2

11 9 9 45 27 36 271 2 18 9

2 2 2 2 2

9 272

2

x x x x x x x x xT ( x ) T T T

h h h h h h h h h

x x xT

h h h

= − + ⋅ − + − + + − + −

+ − +

2

1 2 32

4

9 92 3 3 6 9 3 3 3 9

2 2 2

3 31 2

2

( x h ) x x x x x x x xT ( x ) T T T

h h h h h h h h h

x x xTh h h

− = − + − + − − − − −

+ − −

1 2 3

4

3 3 9 3 9 31 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

3 31 1

2

x x x x x x x x xT ( x ) T T T

h h h h h h h h h

x x xTh h h

= − − − + − − − − −

+ − −

Böylece, biçim fonksiyonları:

38

( )1 ( ) ( ) ( )

( )2 ( ) ( ) ( )

( )3 ( ) ( ) ( )

( )4 ( ) ( ) ( )

3 3( ) 1 1 1

2

9 3( ) 1 1

2

9 3( ) 1 1

2 2

3 3( ) 1 1

2

e

e e e

e

e e e

e

e e e

e

e e e

x x xN x

h h h

x x xN x

h h h

x x xN x

h h h

x x xN x

h h h

= − − −

= − − = − − = − −

(3.25)

T(e)(x) fonksiyonunun türevleri şimdi aşağıdakinden elde edilebilir:

( )1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 ( )3

( )4

( )

e

e

e e e e e e e e e e e e e

e

e

T

TT x N T N T N T N T N N N N

T

T

= + + + =

ve şöyle verilir:

( )2 2 2 2

2 3

( )1

( )2 2 2 2 2

3 3 ( )3

( )4

( ) 1 9[ ( 27 36 11 ) (9 10 2 )2 2

9 1(9 10 2 ) (27 18 2 )]

4 2

e

e

e

e

e

dT xx hx h x hx h

dx h h

T

Tx hx h x hx hx

h x T

T

= − + − − +

− + − +

39

Yukarıda tanımlanan elemanlarla ilgili olarak aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir:

1. İkinci ve üçüncü derece elemanların türevleri x bağımsız değişkeninin

fonksiyonları olsalar bile, eleman içindeki düğümlerde sürekli değillerdir.

Burada kullanılan interpolasyon tipi Lagrangian olarak bilinmektedir ve

fonksiyonun sürekliliğini sadece eleman içi sınırlarında garanti eder. Elemanlar

C0 elemanları diye bilinir ve sıfır üssü sadece sıfır dereceli türevlerin, yani

fonksiyonun, sürekli olduğu anlamına gelir.

2. Açıkça, daha yüksek dereceli elemanlar bile, yani dördüncü derece, beşinci

derece, vb., bir elemana daha fazla interpolasyon düğümü ekleyerek

oluşturulabilir. Aslında, aynı zamanda düğümlerde türevleri interpole eden

elemanlar oluşturabiliriz. Bu tür elemanların en basiti, elemanın iki ucunda yer

alan düğümlerde fonksiyonu ve ilk türevini interpole eden ikinci derece

Hermite’dir. Bunlar C1 elemanlarıdır çünkü ilk türev şimdi etki alanının her

yerinde sürekli olacaktır. Daha karmaşık elemanlar da oluşturulabilir. Gerçekte,

karmaşıklık derecesinde veya erişilen önceden belirlenmiş eleman davranışında

fiilen sınır yoktur. Bununla birlikte, eleman daha karmaşık oldukça, hesap

bakımından daha masraflı olacağı göz önünde bulundurulmalıdır. Gerçekten,

çok boyutlu hesaplamalarda üçüncü derece elemanlar zaten yüksek maliyetli

olmaktadırlar ve çok seyrek kullanılırlar (Pepper 2005).

3. Yukarıda dikkate alınan eleman interpolasyon fonksiyonları δij’nin Kronecker

delta fonksiyonu ve xj’in düğüm koordinatları olduğu Ni(e)(xj)=δij özelliğine

sahiptirler, yani

1

0ij

eğer i j

eğer i jδ

==

≠ (3.26)

Bu (3.26) ifadesi düğüm noktalarında ölçüldüğü zaman o noktadaki bağımlı

fonksiyonun değerinin elde edilmesi kolaylığını verir (Fish 2007).

40

4. Seçilen interpolasyon tipi bağımlı değişkenin bir eleman içerisinde alabileceği

“biçimi” tanımlar, yani lineer, ikinci derece, vb. Bu yüzden, elemanı tanımlayan

Ni fonksiyonlarını belirtmek için “biçim fonksiyonu” adı kullanılmıştır. Daha

yüksek dereceli fonksiyonların her zaman tam olarak daha düşük dereceli

fonksiyonlara indirgendiği dikkate alınmalıdır; yani ikinci derece elemanları tam

olarak lineer ve sabit fonksiyonları, üçüncü derece elemanları ikinci derece,

lineer ve sabit fonksiyonları temsil eder, vb. Bu gerçek eğer daha yüksek

dereceli elemanlar kullanılırsa daha iyi yaklaştırma elde edilebileceğini garanti

etmektedir (Zienkiewicz 2000).

41

4. KARARLI İLETİM DENKLEMİ

4.1 Galerkin Formülasyonu

Bir model problem olarak, L boyunda ve sabit kesitli ince homojen metal tel üzerindeki

ısı iletimini belirlemeyi etüt edeceğiz. Sol ucun öngörülmüş bir q ısı akışına maruz

kaldığını, sağ ucun LT T= sabit sıcaklıkta tutulduğunu ve çubuğun uzunluğu boyunca

yalıtım malzemesi ile sarıldığını düşünelim. Durum Şekil 3.1’de gösterilmiştir. Ayrıca,

telin içinden Q şiddetinde bir iç ısı kaynağı olarak görev yapacak bir elektrik akımı

geçirebildiğimizi var sayıyoruz.

Fourier kanununu kullanarak, çubuk boyunca sıcaklık dağılımını yöneten diferensiyel

denklemi kolayca yazabiliriz. Bu

2

20

d TK Q x Ldx

− = < < (4.1)

olup x boy koordinatı, K malzemenin ısı iletkenliği (sabit varsayılmıştır), ve Q birim

hacimde iç ısı üretimidir. Problemle ilişkili sınır şartları:

0dT

K q xdx

− = = da (4.2)

ve

LT T x L= = de (4.3)

q>0 iken, ısı akış yönü x=0’da çubuğun içine doğru olup, denklem (4.2)’deki eksi

işareti bu nedenledir.

42

Normal 0 x L≤ ≤ aralığında dahili ısı kaynağı ile sürekli bir boyutlu denklemi sağlayan

( )T T x= sıcaklık dağılımını bulma problemini düşünelim.

Eşit uzunlukta iki lineer elemandan oluşan bir ayrıştırma kullanarak, dolayısıyla 1,T 2T

ve 3T olmak üzere üç düğüm değeri ihtiva eden bir denklem sistemine götürerek temel

kavramları ortaya koyacağız. (4.2) için bir ağırlıklı artık ifadesi aşağıdakini verir:

2

02

0L d TW K Q dx

dx

− − =

∫ (4.4)

integral ve iki elemanın toplama özelliği kullanılarak, (4.4) ifadesi şöyle yazılabilir:

12 22 /2

2 201

2

2/20

i

i

x L

xi

L

L

d T d TW K Q dx W K Q dx

dx dx

d TW K Q dx

dx

+

=

− − = − −

+ − − =

∑∫ ∫

∫ (4.5)

genel sistemde T(x) fonksiyonu aşağıdaki şekilde yaklaştırılacaktır:

3

1 1 2 2 3 31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j

j

T x N x T N x T N x T N x T=

= = + +∑ (4.6)

Burada Ni(x),i=1,2,3 biçim fonksiyonları n=2 ve x1=0, x2=L/2 ve x3=L olmak üzere

sırasıyla (3.2), (3.3) ve (3.4) ifadeleri ile verilmektedir.

(4.5)’in Galerkin formu Wi(x)=Ni(x) olarak, şöyle olmaktadır:

43

/232

01 0

3

21 /2

0 1,2,3

LL ji

j i i

j

LL ji

j i iL

j L

dNdN dTK T N Q dx N Kdx dx dx

dNdN dTK T N Q dx N K idx dx dx

=

=

− + −

+ − + − = =

∑∫

∑∫ (4.7)

Denklem (4.7)’deki ilk iki terim e1, ve son iki terim e2 elemanına tekabül eder. Şimdi

bunların her birini ayrı ayrı lokal eleman koordinatları kullanarak irdeleyelim. e1

elemanı için 3( ) 0N x = ; bu nedenle i=1,2’den ortaya çıkan denklemleri matris

formunda yazarsak,

1

1 11 1

1 1

1

1

( )1

( ) ( )( ) ( )/2

1 11 2( ) ( )( )02 22

/2( )1

( )2 0

0

0

e

e ee eL

e ee

Le

e

dN

T NdN dNdxK Q dx

dx dx T NdN

dx

N dTKdxN

−

+ − =

∫

(4.8)

(3.14) ile (3.16) arasındaki denklemleri ve ( )1 2eh L= olduğunu kullanarak, denklem

(4.8) şu şekilde yazılabilir:

1

2

2 01

02

2

2 2 0102 2

2 2 0

( e )L x

( e )

x L /

dTx

dxTL LK Q dx

xL L T dTk

L L dx

=

=

− −− − − − + = −

∫

44

1

2

2 221

02

2 2 2

4 4 21

0

4 4 2 0

( e )L

( e )

x L /

x qTL L L

K Q dx dTkxTdx

L L L =

− − − + = − −

∫

1

2

22

12 2

22

0

1 14

1 1 2

L

( e )

( e )

x L /

x qxTK L L

Q dTkL T xdx

L=

− − − = − −−

1

2

2

1

22

1 12 2 41 1

4

( e )

( e )

x L /

L L qTK LQ dT

kL T Ldx =

− − − = − −−

1

2

1

22

1 1 12

1 1 14

( e )

( e )

x L /

qTK Q

dTkL Tdx =

− = + − −−

(4.9)

Burada e1 elemanındaki genel serbestlik derecesi sayısının 1T ve 2T olduğunu kullandık.

Benzer şekilde e2 elemanı için:

2

2 222

2 22

2

2

2

2 232

23 33

2

3 2

0

( e )

( e ) ( e )( e )( e )L

( e ) ( e )( e )L

L( e )

( e )

L /

dN

T NdNdNdxK Q dx

dx dx T NdN

dx

N dTkdxN

−

+ − =

∫

2

2 22

2 2

2

( e )( e ) dNL x ( L x )

N ( x )L / L dx L

− − −= = =

45

2

2 33

2 2 2

2

( e )( e ) dNx L / x L

N ( x )L / L dx L

− −= = =

2

2

21

23

2 2 02 2

02 2

0

( e )L x L /

( e )L

x L

dT( L x ) KdxTL L

K Q dxx LL L T dT

KL L dx

=

=

− − −− − − + = − − −

∫r

2

2

2

2 222

23

2 2

2

24 42

04 4 2

L

( e )x L /

( e )

x LL /

dTxKLxdxTL LL L

k QT dTx Lx K

L L dxL

=

=

− − − − ⇒ − + = − − −

r

2

2

22 2 2

22

2 23

22

2 2 31 120

1 1 10

4 2

( e )x L /

( e )

x L

L L L dT( L L / ) L K

L dxTKQ

L T dTL LKdxL

=

=

− − − − − − − + = − −− −

r

2

2

22

3

1 1 12

1 1 14

( e )x L /

( e )

x L

dTKdxTK QL

L T dTKdx

=

=

− − − − = − −

2 /2

3

1 1 12

1 1 14x L

x L

dTK

T dxK QL

TL dTKdx

=

=

− − = + − − −

(4.10)

denklemini elde ederiz.

46

Eleman denklemleri şimdi genel 3x3 matriste birleştirilmelidir. Bu, denklemlerin genel

numaralandırılması ve serbestlik dereceleri kullanılarak yapılır; işlem Şekil 4.1’de

gösterilmiş olup değişik elemanlardaki aynı ağırlık fonksiyonunda olduğu gibi

denklemleri toplamaya eşdeğerdir. Bu durumda, W2=N2’nin her eleman üzerindeki

katkısı şekilde görüldüğü gibi toplanır. Pratikte bu eleman matrislerindeki genel

serbestlik derecesi sayısı kullanılarak ve bunların katkılarını genel matrisin mütekabil

konumlarına ekleyerek elde edilir. Böylece, örneğin, 2 elemanında, (1,2) konumu genel

sistemdeki (2,3) karşılığı olup -2k/L girdisi birleştirilmiş matriste (2,3) konumuna

eklenir (Pepper 2005).

Şekil 4.1’de dahili düğümlerde akışları içeren ifadelerin birbirini götürdüğü açık şekilde

görülebilir; gerçekten, bu, akışların içeride sürekli olması gerektiğini ifade eder. Bu

nedenle, eleman denklemleri oluşturulurken, bu terimler her zaman ihmal edilir.

Bununla birlikte, terimler ihmal edildiği takdirde eleman denklemlerinde eşitlik

olmayacağı unutulmamalıdır. Bununla Beraber, akışları içeren terimi, yani Denklem

(3.6)’yı sıfıra eşitlemek adettir. Böylece

(1) 1 2

2

4

K QL(T T ) q

L− − = +

(2) 1 22

2

4 x L /

K QL dT( T T ) K

L dx =

− − + = − −

(3) 2 32

2

4 x L /

K QL dT(T T ) K

L dx =

− − = −

(4) 2 3

2

4 x L

K QL dT( T T ) K

L dx =

− − − = − −

(2) + (3)

47

1

1 2 3

4 12 2 3 2

4 4 2

22

4

K QL QL( T T T )

L

K QL( T T T )

L

− + − = = ⋅

− + − =

sonucunda

1

2

3

1 1 0 12

1 2 1 2 04

0 1 1 1

x L

T qK Ql

TL

T dTKdx =

− − − = + − − −

(4.11)

olur.

(4.11) denkleminde x=L’de ısı akışı görülmektedir. Bununla birlikte, bunu T3 için bir

denklem olarak düşünürsek, T3 bilindiğinden, bu denklem atılabilir ve sistem

1

2

1 1 1 02 2

1 2 2 0 14 L

T qK QL KT

TL L

− = + + −

(4.12)

olarak yeniden yazılabilir ve (4.12) şimdi 1T ve 2T için çözülebilir. Bu bir kez

yapıldığında, üçüncü denklem sağ sınırdaki aşağıda verilen ısı transferini hesaplamak

için kullanılabilir:

2

2( )

4L

x L

dT K QLK T Tdx L=

− = − +

(4.13)

48

Şekil 4.1 İki elemanlı sistem için birleştirme işlemi diyagramı

Şimdi (4.1) ile (4.3) denklemlerini, etki alanını münferit hale getirmek için bir ikinci

derece elemanı kullanarak yaklaştıralım. Bir önceki durumla aynı sayıda düğüm noktası,

ancak bir sonraki yüksek yaklaştırmayı kullanıyoruz. Galerkin ifadesi daha önceki ile

aynıdır. Bir eleman durumu için lokal ve genel sistemler aynı olduğundan,

3

01 0

0L

L jij i i

j

dNdN dTK T N Q dx N Kdx dx dx=

− + − = ∑∫ (4.14)

49

yazabiliriz. (3.19), (3.22) ve (3.23) denklemlerini kullanarak matris formunda aşağıdaki

denklemi elde ederiz:

1

20

3

2

1 43

4 2 1 4 4 2 1 41 3 1 1

1 41

31 2

41

1

L

x

L L

Tx x x x

K TL L L L L L L L

T

x

L L

x x

L L

x x

L L

− −

− − − − − −

− +

− −

∫

0

21

x L

q

Q dx

dTKdx

x

L L

=

=

− − −

(4.15)

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

1 4 4 4 2 1 4 43 3 1 3 1

4 2 4 16 2 4 2 41 3 1 1 1

1 4 4 4 4 2 1 41 3 1 1 1

x x x x x

L L L L L L L L

x x x x xK

L L L L L L L L

x x x x x

L L L L L L L L

− − − − −

− − − − −

− − − − −

1

2

0

3

L

T

T

T

∫

50

2 3

2

2 3

2

3 2

2

0

3 3

2 3

4 40

2 3

2

3 2

L

x L

x xx

L Lq

x xQ

L LdT

x x Kdx

L L =

− + − − = − − −

2 2 2

1

22 2 2

3

2

1 7 4 2 1

3 3 3

4 2 16 4 2

3 3 3

1 8 1 1 7

3 3 3

L L L

L L LT

L L LK T

L L LT

L

L L L

−

−

−

-

6

4 06

6 x L

L /q

LQ

dTKLdx =

= − −

1

2

3

7 3 1

3 3 3 13 16 3

4 03 3 3 6

11 3 7

3 3 3 x L

T qK QL

TL

T dTKdx =

− − − = + − − −

1

2

3

14 16 2 1

16 32 16 4 06 6

2 16 14 1

x L

q

TK QL

TL

T dTKdx =

− − − = + − − −

(4.16)

elde ederiz.

aynı şekilde, son denklem 3 LT T= kullanılarak elenebilir; son sistem

51

1

2

14 16 1 2

16 32 4 0 166 6 6 L

T qK QL KT

TL L

− − = + + −

(4.17)

olup sağ sınırdaki ısı akışı

( )2 116 2 146 6L

x L

dT K QLK T T Tdx L=

− = − − +

(4.18)

ile verilir.

4.1.2 Değişken iletim ve sınır ısı yayımı

Şimdi sonlu eleman algoritmasını sol uçta, x=0, ısı yayım yüküne maruz ve sağ uçta,

x=L, sabit sıcaklıkta tutulu, L uzunluğunda ince bir çubuktaki kararlı durum sıcaklık

dağılımının yaklaşık çözümü için ekleyelim. Aynı zamanda dahili ısı kaynakları

bulunmadığını (yani Q=0), ancak çubuğun ısı iletkenliğinin (malzeme

kompozisyonundaki değişikliklerin veya çubuğun kesit alanındaki değişimlerin sonucu

olarak) x ile değiştiğini kabul edelim, yani ( )K K x= . Bu problemi tarif eden

diferensiyel denklem

( ) 0d dT

K xdx dx

− =

(4.19)

ve

( ) 0 0dT

K h T T xdx

∞− + − = = de (4.20)

olup T∞ harici referans sıcaklığı ve h konveksiyon ısı transfer katsayısıdır ve

52

LT T x L= = da (4.21)

Ağırlıklı artık formülasyonu daha önceki gibi elde edilir:

0

0

( ) ( ) ( ) 0L

x x L

dW dT dT dTK x dx W K x W K x

dx dx dx dx= =

− − + − = ∫ (4.22)

Buradan itibaren, sıcaklığın emrettiği bir sınıra ait, burada x=L, akış terimini sonlu

eleman modellemede adet olduğu gibi atarız. Sol taraftaki sınırdaki akış için aynı

şekilde (4.20)’yı değiştirirsek,

( )00

( )L

x

dW dTK x dx W h T T

dx dx∞ =

− − − ∫

00

( ) ( ) 0L

x

dW dTK x dx Wh T T

dx dx∞ =

+ − =∫ (4.23)

elde ederiz.

Görüldüğü gibi (4.19)’ten (4.23)’a giderken hiçbir şey kaybolmamıştır; bununla birlikte,

(4.23) denklemine analitik bir sonuç değil, ancak bunun yerine tanımlanmış biçim

fonksiyonlarımız ve münferit ağımızı kullanarak hesaplanabilir bir sonlu eleman

yaklaşması arıyoruz.

Daha önceki gibi, 0 x L≤ ≤ arasında bir ağ tanımlıyoruz ve T(x)’i

1

1

( ) ( )n

i i

i

T x N x T+

=

=∑ (4.24)

yaklaştırıyoruz; burada n ağdaki elemanların sayısıdır. Eğer Ni,i=1,…,n+1 lineer biçim

fonksiyonları ise, (4.23) denkleminin Galerkin formu şöyle olur:

53

1

001

( ) ( ) 0nL ji

j i xj

dNdNK x T dx N h T T

dx dx

+

∞ ==

+ − =

∑∫ (4.25)

K(x) için özel bir form eklemektense, ( )T x için seçilen aynı biçim fonksiyonları, bu

durumda lineer, kullanılıp düğüm noktalarına dayanarak K(x) interpolasyonu yaparız.

İlk eleman için, ısı yayımı sınır şartlarını ihtiva eden eleman denklemleri

1

1 11 12

1 11

1

1

1

( )1

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 11 21 2 ( ) ( )

2 2( )2

( )1

( )2

0 1

0 0 0

e

e ee ex

x x

e exe

e

e

dN

dxK TdN dN

N N dxdx dxK T

dN

dx

h ThT

T∞

+ =

∫

verir.

Isı yayımı sınır teriminde 1( )1 (0) 1eN = ve 1( )

2 (0) 0eN = keyfiyetini kullandık, yani,

10 1 2 0

22

1 11 2 0

22 2

1 11 1 1 20

2 1 2 2 2 2

1

2

( ) [ ]

[ ]

1 0 1

0 0 0

i

i x x

i

x

x

N T TN h T T h N N

T TN

N NTh N N hT

TN N

T NN N N Nh hTN N N N T N

ThT

T

∞∞ = =

∞

∞ =

∞ =

∞

− − = −

= −

= −

= −

54

integral alarak,

1( ) 21

2 1

e x xN

x x

−=

− ve 1( ) 1

2

2 1

e x xN

x x

−=

−

1( )2 1

ex x h− =

1 112

1 1 1 11 11

1

1

1

( ) ( )( )1 12 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

( )

( )1

( )2

11 1

1

0 1

0 0 0

e eex

e e e ee ex

e

e

e

K Tx x x x hdx

h h h hK T

h

ThhT

T∞

− − − −

+ =

∫

1 12

1 1 11 11

1

1

( ) ( )1 12 1

( ) ( ) ( ) 2( ) ( )2 2

( )1

( )2

1 01

0 1( )

0 1

0 0 0

e ex

e e ee ex

e

e

K Tx x x xdx

h h hK T

ThhT

T∞

− −

+ =

∫

2 1 1

1 1 11 1

1

1

1

( ) ( )2 21 12 1

( ) ( ) ( ) 2( ) ( )2 2

( )1

( )2

1 0( ) ( ) 1

0 12 2 ( )

0 1

0 0 0

x e e

e e ee e

x

e

e

K Tx x x x

h h hK T

ThhT

T∞

− − −

+ =

1 1

1 1

1 1 1

( ) ( )1 1( ) ( )

1 2( ) ( ) ( )2 2

1 1 0 11( )

1 1 0 0 02

e e

e e

e e e

T ThK K h T

h T T∞

− + + = ⋅ −

(4.26)

elde ederiz. Bütün diğer elemanlar, e1≠e1, için denklemler:

55

1

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1

1 ( ) ( ) ( )1 1 1

0

i

i ii ii

i i

i i ii

e

ie ee e

x i ie e i ii i e e ex

i i i

dN

K TdN dNdxN N dx

dx dxK dN T

dx

+ ++

+ + +

=

∫

( ) 1

1

( )1

1

( )

( )

i

i

e ii

i i

e ii

i i

x xN x

x x

x xN x

x x

+

+

++

−=

−

−=

−

( )

1

( )1

1

( ) 1

( ) 1

i

i

e

i

i i

e

i

i i

dN x

dx x x

dN x

dx x x

+

+

+

= −−

=−

ve

( )1

ie

i ix x h+ − =

1

( ) ( )( )1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1( )

11 1

01

i iii

i i i ii ii

i

e eex i ii i

e e e ee exi i

e

K Tx x x x hdx

h h h hK T

h

+ +

+ +

− − − − =

∫r

1 ( ) ( )2 2 ( )

1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1( )

1( ) ( ) 1 1

012 2

i i ii

i i i ii i

i

i

x e eei ii i

e e e ee e

x i ie

K Tx x x x hdx

h h h hK T

h

+

+

+ +

− − − − − =

r

56

( )( )

( ) ( )1 ( ) 2 ( )

1

1 110

1 12 ( )

ii

i i

i i

eeie e

i i e e

i

ThK K

h T+

+

− ⇒ = −

r

( )

1( ) ( )1 2( ) ( )

2

1 1 01( )

1 1 02

i

i i

i i

e

e e

e e

TK K

h T

− + = −

(4.27)

dir.

Eğer 0 x L≤ ≤ bölgesi 2L eşit uzunluğunda iki eleman kullanılarak münferit hale

getirilmişse, sonuçtaki birleşik denklem sistemi aşağıdaki şekilde yazılabilir:

1 2 1 21

1 2 1 2 3 2 3 2

32 3 2 3

( ) 0

1( ) 2 ( ) 0

00 ( )

K K Lh K KT hT

K K K K K K K TL

TK K K K

∞

+ + − + − + + + − + = − + +

(4.28)

Eğer x L= ’de (4.20) formunda bir ısı yayımı sınır şartı verilmişse, son eleman için

eleman denklemleri (4.22) ağırlıklı artık formundan alınır. İlk sınır terimi ihmal edilerek

ve ikinci terim ısı yayımı şartı ile değiştirilerek,

( ) ( )

1 1( ) ( )1 2( ) ( ) ( )

2 2

1 1 0 0 01( )

1 1 0 12

n n

n n

n n n

e e

e e

e e e

T TK K hT

hh T T∞

− + + = − − −

(4.29)

elde edilir.

57

Isı yayımı sınır şartı ağın her hangi bir veya her iki sınırında da uygulanabilir; (4.26),

(4.27), ve (4.29) denklemleri her hangi bir ağda (düzgün veya değil), değişken

iletkenlik ve her hangi bir veya her iki sınırdaki ısı yayımı için geçerlidir. Ağın düğüm

koordinatları ve çeşitli h, T∞ ve K(x) problem verileri tanımlanarak özel bir çözüm elde

edilebilir.

4.2 Uygulama

Denklem (4.19)’u ( )K x ’in 40 ile 60 /W mC arasında lineer olarak

değiştiğini, x L= ’de h =100 2W m C , T∞ , ve LT =39.18ºC olduğunu kabul ederek

çözelim. Bu veriler için, problemin tam çözümü 100ºC ısı yayım yüzey sıcaklığı verir.

Önce, problemi olabilecek en kaba ızgara, yani bir lineer eleman kullanarak çözeriz.

Problem verilerini (4.26) denklemine koyarak,

1 1

2 2

1 1 100 0 40,000500

1 1 0 0 0

T T

T T

− + = −

elde ederiz. Bu da

1

2

6 5 400

5 5 0

T

T

− = −

(4.30)

şekline indirgenir. Denklemler bu noktada sağ taraftaki sınır şartı dikkate alınmadan

çözülebilir. Çözüm T1=T2=400ºC verir, yani T(x)=sabit=T∞. Bu sabit sıcaklık sağ sınır

58

şartı için elde edilebilecek çözümün tamamen aynısıdır. Denklem (2.18)’i ve Denklem

(4.11)’yi izleyen tartışmayı hatırlarsak, (4.30)’nın sağ tarafındaki ikinci eleman

aşağıdakine karşılık gelmektedir:

0x L

dTKdx

=− =

Bu o uçta bir sabit sıcaklık şarttır dır. Böylece, sabit bir sıcaklık sınır şartının

yokluğunda ki Dirichlet şartı diye adlandırılır, her hangi bir faaliyet yapılmazsa, sonlu

eleman metodu otomatik olarak sıfıra giden bir türev uygulaması yapar (kendiliğinden).

Eğer şimdi Dirichlet şartı T(L)=T2=39.18ºC uygularsak, (4.30) denklemi aşağıdaki gibi

değişir:

1

2

6 5 400

0 1 39.18

T

T

− =

(4.31)

ve çözüm T1=99.317ºC verir. Tam çözümün T1=100ºC olduğu hatırlanırsa, tek elemanlı

çözümün hatası 0.7 %’den azdır. Bu bize sonlu eleman metodunun aşağıdaki akış sınır

şartları genel formunu a, b, ve c katsayılarının keyfi değerleri için etkili olarak

oluşturduğunu göstermektedir:

0dT

aT b cdx

+ + = (4.32)

Mevcut problemde, a=h, b=-K(0), ve c=-hT∞. (4.32) formundaki şartlar a=0 iken

Neumann şartları olarak ve a≠0 ve b≠0 ise karışık şartlar olarak bilinir; eğer b=0 ise

zaten gösterdiğimiz Dirichlet şartını elde ederiz (Haberman 1987).

Şimdi lineer biçim fonksiyonları kullanan düzgün iki elemanlı ağ için sonlu eleman

çözümünü üretelim. Eleman ve problem verileri şimdi,

59

e1 elemanı için : 05,02

: )(1

1 ==L

hee

1

1

( )1

( )2

40

60

e

e

K

K

=

e2 elemanı için: 05,02

: )(2

2 ==L

hee

2

2

( )1

( )2

50

60

e

e

K

K

=

olsun. Denklem (4.26) kullanılarak, e1 elemanı

1 1

2 2

1 1 100 0 11(40 50) 100.400

1 1 0 0 02(0.5)

T T

T T

− + + = −

1 1

2 2

1 1 100 0 40,000901 1 1 0 0 02( )2

T T

T T

− + = −

1 1

2 2

1 1 100 0 40,000900

1 1 0 0 0

T T

T T

− + = −

Denklem (4.27) kullanılarak, e2 elemanı

2

2

( )1

( )2

1 11(50 60) 0

1 12(0.5)

e

e

T

T

→ − + = −

60

2

3

1 1 01100

1 1 0

T

T

− = −

verir. Denklemleri birleştirerek,

1

2

3

1000 900 40000

900 900 1100 1100 0

01100 1100

0

0

T

T

T

− − + − =

−

1

2

3

10 9 0 400

9 20 11 0

0 11 11 0

T

T

T

− − − = −

elde eder ve Dirichlet şartı T3=39.18ºC uygulayarak

1

2

3

10 9 0 400

9 20 11 0

0 0 0 39.18

T

T

T

− − − =

ve

1

2

3

99.822

66.469

39.18

T

T

T

=

çözümünü elde ederiz.

61

(4.31) çözümü ile karşılaştırarak, ısı yayım yüzey sıcaklığı 1T içindeki hata 0.7%’den

0.2%’ye gerilemiştir. Sınır değer problemlerine uygulanan lineer biçim fonksiyonları

ikinci dereceden doğru sonuçlar verir, yani düğüm sıcaklıklarındaki hata ağın düzgün

olarak mükemmelleştirilmesi ile (h(e))2 azalır. Yukarıdaki örnekte, h(e)’nin yarıya

indiğini ve sonuç hatanın yaklaşık dört kat, yani (1/2)2 azaldığı not edilmelidir.

Yöntemin uygulanmasını sağlayan Bilgisayar (FORTRAN) kodu EK1’de verilmiştir.

62

4.3 SONUÇ

Sonlu eleman metodunun altı çizilen prensibi ağırlıklı artıklar metodunda

bulunmaktadır. En çok kullanılan iki metot Rayleigh-Ritz ve Galerkin metotlarıdır.

Rayleigh-Ritz metodu varyasyonlar hesabına dayanmaktadır, bununla birlikte karmaşık

denklemlerde metodu kullanmak zordur. Galerkin metodunun kullanılması kolaydır ve

diferensiyel denkleme uygun bir yaklaşım vermesi garantilidir.

Galerkin metodunda, bağımlı değişken çözüm “biçimi” biliniyor kabul edilerek bir

sonlu eleman serisi yaklaştırması vasıtasıyla ifade edilir ve belirlenecek sonlu sayıda

parametreye dayanmaktadır. Diferensiyel denkleme yerleştirilerek, yaklaştırma ağırlık

fonksiyonları ile çarpılan ve ağırlık fonksiyonlarına tam anlamda ortogonal olması

gereken bir artık fonksiyonu meydana getirir, yani,

∫ = 0),()( dxxTRxW

Burada R(T,x) artık hata fonksiyonu, doğru çözüm (T*) tam çözümü yaklaştırması

diferensiyel denkleme konularak elde edilen fonksiyon ve W(x) ağırlıktır. Bilinmeyen

parametreleri belirlememize ve böylece çözüme bir yaklaştırmaya izin veren bu

ifadelerden bir lineer denklem takımı üretilir. Parçalı integrasyon kullanılarak ikinci

türev terimlerinin azaltılması “zayıf” ifade formülasyonunu verir. Zayıf ifade

formülasyonunun uygulanması geniş bir problem grubuna yayılabilen genel bir

algoritma üretir. Sonlu eleman metodunun resmi temeli Galerkin’in ağırlıklı artık

prosedürüdür. Sonlu eleman metoduna ait temel “araçların” çoğu bir boyutlu

problemlerin analizinden geliştirilebilmektedir.

63

KAYNAKLAR

Birkhoff, G., Schultz, M.H. and Varga, R.S. 1968, Piecewise Hermite interpolation in

one and two variables with applications to partial differential equations,

Numer. Math, 11, 232-256.

Braess, D. 2007. Finite Elements Theory, Fast Solvers, and Applications in Elasticity

Theory, Cambridge University Pres, New York.

Ciarlet, P.G. and Lions, J.L. 1991 Hand Book of Numerical Analysis Vol.2 Finite

Element Methods, Elsevier Science B.V, Netherlands.

Clough, R.W. 1960, The finite element method in plane stress analysis, in: Proceedings

2nd ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, PA.

Courant, R. 1943. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and

vibration, Bull. Amer. Math. Soc. 49, 1-23.

Dennemeyer, R. 1968. İntroduction to Partial Differential Equations and Boundary

Value Problems, McGraw-Hill.

Fish, J. and Belytschko, T. 2007. A First Course in Finite Elements, JohnWiley & Sons,

England.

Haberman, R. 1987. Elementary Applid partial Differential Equations, Prentice Hall.

Hutton, D.V. 2004. Fundamentals of Finite Element Analysis, The McGraw−Hill

Companies.

Johnson Jr, M.W. and Mclay R.W 1968. Convergence of the finite element method in

the theory of elasticity, J. Appl. Mech. E, 35, 274-278.

Kwon, Y.W. and Bang, H. 2000. The Finite Element Method Using Matlab, CRC Pres.

Kincaid, D. and Cheney, W. 1996. Numerical Analysis, Brooks/Cole.

64

Lewis, P.E. and Ward, J.P. 1991. The Finite Elemnet Method, Principle and

Applications, Addison Wesley.

Mitchell, A.R. and Wait, R. 1977. The Finite Element Method in Partial Differential

Equations, JohnWiley & Sons.

Pepper, D.W. and Heinrich, J.C. 2005. The Finite Element Method Basic Concepts and

Applications, Taylor & Francis, New York.

Polya, G. 1952. Sur une interpretation de la methode des differences finies qui peut

fournir des bornes superieures ou inferieures, C.R. Acad. Sci. Paris 235, 995-

997.

Solin, P. 2006. Partial Differential Equations and the Finite Element Method, John

Wiley and Sons, Inc, Hoboken, New Jersey.

Turner, M.J., Clough, R.W., Martın, H.C. and Topp, L.J. 1956, Stıffness And Defiction

Analysis Of complex structures, J. Aero. Sci. 23, 805-823.

Varga, R.S. 1966. Hermite interpolation-type Ritz methods for two-point boundary

value problems, J.H. Bramble, ed., Numerical Solution of Partial Differential

Equations (Academic Press, NewYork).

Vemuri, V. and Karpus, W.J. 1981. Digital Computer Treatment of Partial Differential

Equations, Prentice Hall Series in Computational Mathematics.

Zienkiewicz, O.C., CBE, FRS, Taylor, R.L. and Zhu, J.Z. 2000. The Finite Element

Method: Its Basis and Fundamentals, Elsevier Butterworth-Heinemann.

65

EK 1 Sonlu Elemanlar Yöntemi FORTRAN Kodu

C *****************************************************************

C * *

C * 1 Boyutlu 2, 3, 4 Düğümlü Eleman *

C * Ağ ve Sınır Koşullarını Oluştur *

C * *

C * *

C * *

C * *

C * g *

C ********************************************g********************

C

CALL INFILE

CALL GRID

CALL OUTPUT

CALL BANDW

STOP

END

C -----------------------------------------------------------------

SUBROUTINE GRID

C *****************************************************************

C * *

C * SUBROUTINE GRID: VERİLERİ OKU VE AĞ NOKTALARINI OLUŞTUR *

C * *

C *****************************************************************

C

COMMON/A/ X(51),QQ(51),Q(51),U(51),DX(51)

COMMON/B/ NELEM,NNODE,NUMN,NINT,NTYPE,NSTOP,KPRNT,NVEL

COMMON/C/ DT,AF,KBC1,KBC2,KBC3,TO,RHO,CP

66

COMMON/D/ NET(2),NEQ(2),NEH(2),TEMP(2),TINF(2),H(2)

COMMON/E/ XMIN,XMAX

COMMON/F/ NODE(51,4)

COMMON/G/ TITLE(18)

DIMENSION XX(51)

C

C BAŞLANGIÇ VERİSİNİ OKU

C

READ(5,100)TITLE

100 FORMAT(18A4)

READ(5,*)XMIN,XMAX

READ(5,*)NTYPE,NUMN,NINT,NSTOP,KPRNT,NVEL

READ(5,*)DT,AF,TO,RHO,CP,DXX,UX

C

IF(NUMN.LT.2.OR.NUMN.GT.4)THEN

WRITE(*,101)

101 FORMAT(10X,'ELEMAN ŞEKLİ UYGUN TANIMLANMADI')

STOP

ENDIF

C

CALL CLEAR(X,51)

CALL CLEAR(XX,51)

NELEM=NINT

XX(1)=XMIN

X(1)=XX(1)

N=NINT+1

DO 1 I=2,N

1 XX(I)=XX(I-1)+(XMAX-XMIN)/NINT

NM1=NUMN-1

GOTO(11,12,13)NM1

C

67

C LİNEER ELEMAKLAR

C

11 NNODE=N

DO 2 I=1,NNODE

2 X(I)=XX(I)

DO 3 J=1,NELEM

NODE(J,1)=J

3 NODE(J,2)=J+1

GOTO 20

C

C QUADRATİK ELEMANLAR

C

12 NNODE=2*N-1

DO 5 I=2,N

J=2*I-1

5 X(J)=XX(I)

DO 6 I=2,NNODE,2

6 X(I)=X(I-1)+(X(I+1)-X(I-1))/2.

DO 7 J=1,NELEM

K=2*J-1

NODE(J,1)=K

NODE(J,2)=K+1

7 NODE(J,3)=K+2

GOTO 20

C

C KÜBİK ELEMANLAR

C

13 NNODE=3*N-2

DO 8 I=2,N

J=3*I-2

8 X(J)=XX(I)

68

DO 9 I=2,NNODE,3

9 X(I)=X(I-1)+(X(I+2)-X(I-1))/3.

DO 10 I=3,NNODE,3

10 X(I)=X(I-2)+2.*(X(I+1)-X(I-2))/3.

DO 14 J=1,NELEM

K=3*J-2

NODE(J,1)=K

NODE(J,2)=K+1

NODE(J,3)=K+2

14 NODE(J,4)=K+3

C

20 CONTINUE

C

READ(5,*)KBC1

IF(KBC1.GE.1)THEN

DO 15 KK=1,KBC1

15 READ(5,*)NET(KK),TEMP(KK)

ENDIF

C

READ(5,*)KBC2

IF(KBC2.GE.1)THEN

DO 16 KK=1,KBC2

16 READ(5,*)NEQ(KK),Q(KK)

ENDIF

C

READ(5,*)KBC3

IF(KBC3.GE.1)THEN

DO 17 KK=1,KBC3

17 READ(5,*)NEH(KK),H(KK),TINF(KK)

ENDIF

C

69

IF(NVEL.EQ.1)THEN

READ(5,*)(I,U(I),J=1,NNODE)

ELSE

DO 18 I=1,NNODE

18 U(I)=UX

ENDIF

C

DO 55 J=1,NELEM

55 DX(J)=DXX

RETURN

END

C -----------------------------------------------------------------

SUBROUTINE OUTPUT

C *****************************************************************

C * *

C * SUBROUTINE OUTPUT: AĞ VERİSİNİ DOSYAYA YAZ *

C * *

C *****************************************************************

COMMON/A/ X(51),QQ(51),Q(51),U(51),DX(51)

COMMON/B/ NELEM,NNODE,NUMN,NINT,NTYPE,NSTOP,KPRNT,NVEL

COMMON/C/ DT,AF,KBC1,KBC2,KBC3,TO,RHO,CP

COMMON/D/ NET(2),NEQ(2),NEH(2),TEMP(2),TINF(2),H(2)

COMMON/E/ XMIN,XMAX

COMMON/F/ NODE(51,4)

COMMON/G/ TITLE(18)

CHARACTER*4 STOP(3),WORD

DATA STOP/'DIRC','FLUX','CONV'/

WRITE(*,100)

100 FORMAT('',80('*'))

C

WRITE(15,'(5X,18A4)')TITLE

70

WRITE(*,'(5X,18A4)')TITLE

C

C WRITE(15,1004)XMIN,XMAX

WRITE(*,1004)XMIN,XMAX

MTYPE=0

NUMDIM=1

IAXI=0

C

C SİSTEM DÜĞÜM VE ELEMAN SAYISINI YAZ

C

WRITE(15,1005)MTYPE,NUMDIM,NNODE,NELEM,NUMN,NSTOP,KPRNT,NVEL

WRITE(*,1005)NNODE,NELEM,NUMN,NSTOP,KPRNT,NVEL

WRITE(15,1006)NTYPE,DT,AF,TO,RHO,CP,IAXI

WRITE(*,1006)NTYPE,DT,AF,TO,RHO,CP

C

C DÜĞÜM SAYISINI VE DÜĞÜM KOORDİNATLARINI YAZ

C

DO 104 I=1,NNODE

WRITE(15,1007)I,X(I)

WRITE(*,1007)I,X(I)

104 CONTINUE

C

DO 105 J=1,NELEM

WRITE(15,1010)J,QQ(J),DX(J),(NODE(J,MM),MM=1,NUMN)

WRITE(*,1010)J,QQ(J),DX(J),(NODE(J,MM),MM=1,NUMN)

105 CONTINUE

C

C BELİRLENMİŞ DEĞERE SAHİP HER BİR DÜĞÜM İÇİN DÖNGÜ

C

DO 110 I=1,KBC1

IF(NET(I).EQ.1)THEN

71

WRITE(15,1015)NODE(1,1),TEMP(I)

WRITE(*,1015)NODE(1,1),TEMP(I)

ELSE

IF(NET(I).EQ.2)THEN

WRITE(15,1015)NODE(NELEM,NUMN),TEMP(I)

WRITE(*,1015)NODE(NELEM,NUMN),TEMP(I)

ENDIF

ENDIF

110 CONTINUE

WRITE(15,'(6X,A4)')STOP(1)

WRITE(*,'(6X,A4)')STOP(1)

C

C SINIRI TANIMLAYAN DÜĞÜM SAYISINI YAZ

C DÜĞÜMLERDE FLUX (GRADIENT) BELİRLENMİŞ

C

DO 120 I=1,KBC2

IF(NEQ(I).EQ.1)THEN

NEL=1

WRITE(15,1020)Q(I),NEL,NEL

WRITE(*,1020)Q(I),NEL,NEL

ELSE

IF(NEQ(I).EQ.2)THEN

NEL=2

WRITE(15,1020)Q(I),NELEM,NEL

WRITE(*,1020)Q(I),NELEM,NEL

ENDIF

ENDIF

120 CONTINUE

WRITE(15,'(6X,A4)')STOP(2)

WRITE(*,'(6X,A4)')STOP(2)

C

72

DO 130 I=1,KBC3

IF(NEH(I).EQ.1)THEN

NEL=1

WRITE(15,1025)H(I),TINF(I),NEL,NEL

WRITE(*,1025)H(I),TINF(I),NEL,NEL

ELSE

IF(NEH(I).EQ.2)THEN

NEL=2

WRITE(15,1025)H(I),TINF(I),NELEM,NEL

WRITE(*,1025)H(I),TINF(I),NELEM,NEL

ENDIF

ENDIF

130 CONTINUE

WRITE(15,'(6X,A4)')STOP(3)

WRITE(*,'(6X,A4)')STOP(3)

C

C FORMAT STATEMENTS

C

1004 FORMAT(2X,2F8.3)

1005 FORMAT(8I5)

1006 FORMAT(I5,5F8.4)

1007 FORMAT(4X,I6,F8.4)

1010 FORMAT(I4,1X,F7.3,2X,F7.3,2X,4I4)

1015 FORMAT(10X,I5,5X,F10.5)

1020 FORMAT(10X,F10.5,2I5)

1025 FORMAT(10X,2F10.5,2I5)

RETURN

END

C -----------------------------------------------------------------

SUBROUTINE BANDW

C *****************************************************************

73

C * *

C * SUBROUTINE BANDW: 1-BOYUTLU AĞ İÇİN ARALIK GENİŞLİĞİ *

C * ELEMAN İÇİNDEKİ YEREL NOD SAYISINA EŞİTTİR*

C * *

C *****************************************************************

COMMON/B/ NELEM,NNODE,NUMN,NINT,NTYPE,NSTOP,KPRNT,NVEL

NBANDW=NUMN

WRITE(*,100)NBANDW

100 FORMAT(2X,'ARALIK GENİŞLİĞİ : ',I2,' ')

RETURN

END

C -----------------------------------------------------------------

SUBROUTINE CLEAR(A,N)

C *****************************************************************

C * *

C * SUBROUTINE CLEAR: DİZİYİ TEMİZLE *

C * *

C *****************************************************************

DIMENSION A(N)

DO 1 I=1,N

1 A(I)=0.0

RETURN

END

C -----------------------------------------------------------------

SUBROUTINE INFILE

C *****************************************************************

C * *

C * SUBROUTINE INFILE: DOSYA ADLARINI GİR VE I/O İÇİN BİRİM *

C * NUMARALARINI GİR *

C * *

C *****************************************************************

74

COMMON/I/ NELEM,NNODE,NUMN,NINT,NTYPE,NSTOP,DT,AF,KBC1,KBC2

CHARACTER INFIL*12,OUTFIL*12

DATA INFIL/' '/,OUTFIL/' '/

WRITE(*,105)

105 FORMAT(1X,'YAZICIEKRAN ÇIKTISI İÇİN ENTER TUŞUNDAN ÖNCE CTL-PRTSC')

WRITE(*,'(/1X,A\)')' GİRDİ DOSYA ADINI YAZ (GIRDI.DAT GİBİ): '

READ(*,'(BN,A)')INFIL

WRITE(*,'(/1X,A\)')' ÇIKTI DOSYA ADINI YAZ (CIKTI.DAT GİBİ): '

READ(*,'(BN,A)')OUTFIL

OPEN(5,FILE=INFIL)

C

C ÇIKTI İÇİN BİRİM 15 İ AÇ

C

OPEN(15,FILE=OUTFIL,STATUS='NEW')

WRITE(*,104)

104 FORMAT(/,1X,'BEKLEYİNİZ, GRID OLUŞTURULUYOR',/)

RETURN

END

g

C *********************************************************************

C ** MATRİSLERİ ÇÖZMEK İÇİN GAUSS-SEIDEL ITERASYONU **

C ** VEYA GAUSS ELİMİNASYONU KULLANILMAKTADIR **

C ** **

C ** (NOT: MAKSİMUM DÜĞÜM BOYUTU 51) **

C ** **

C ** **

C *********************************************************************

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

75

IFLG=1

CALL INIT

CALL GAUSS

DO 1 L=1,NNODE

1 CNEW(L)=COLD(L)

CALL ASSEMB

KOUNT=0

NTIME=0

TIME=0

CALL BNDCON

DO 3 NSTEP=1,NSTOP

CALL MATRIX

IF(NTYPE.EQ.2)THEN

IF(KOUNT.EQ.KPRNT)THEN

CALL PRINT

KOUNT=0

ENDIF

TIME=TIME+DT

KOUNT=KOUNT+1

NTIME=NTIME+1

ENDIF

CALL RESID

DO 2 L=1,NNODE

2 COLD(L)=CNEW(L)

3 CONTINUE

WRITE(*,10)

10 FORMAT(/,1X,'ZAMAN ADIMI VEYA İTERASYON İÇİN MAKSİMUM SAYIYA ULAŞILDI')

STOP

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE INIT

76

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VM/NUMDIM,MTYPE,TO,NVEL,IAXI,RHO,CP

COMMON/VG/ISI(2),LEM(2),LME(2),ISIH(2),H(2),TINF(2)

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

DIMENSION TITLE(18)

CHARACTER*4 STOP(3),WORD

DATA STOP/'DIRC','FLUX','CONV'/

C

CALL SETPC

C

WRITE(*,100)

100 FORMAT('',80('*'))

READ(5,101)TITLE

101 FORMAT(18A4)

WRITE(*,102)TITLE

102 FORMAT(5X,18A4)

C

READ(5,*)MTYPE,NUMDIM,NNODE,NELEM,NUMN,NSTOP,KPRNT,NVEL

READ(5,*)NTYPE,DT,AF,TO,RHO,CP,IAXI

MTYPE=MTYPE+1

IF(NTYPE.EQ.1)THEN

AF=0

AFM=0

ENDIF

NGAUS=NUMN

RHOCP=RHO*CP

C

77

DO 29 I=1,2

ISI(I)=0

ISIH(I)=0

LEM(I)=0

LME(I)=0

H(I)=0.0

29 TINF(I)=0.0

C

DO 33 I=1,NNODE

CNEW(I)=0.

COLD(I)=TO

NTS(I)=0

NQS(I)=0

B(I)=0.

X(I)=0.

QQ(I)=0.

Q(I)=0.

F(I)=0.

FIXED(I)=0.

DX(I)=0.

VX(I)=0.

KNODE(I)=0

C

DO 34 K=1,4

34 NODE(I,K)=0

C

DO 33 J=1,NNODE

P(I,J)=0.

A(I,J)=0.

G(I,J)=0.

33 CONTINUE

78

C

XMIN=10.0**3

XMAX=0.0

READ(5,*)(I,X(I),J=1,NNODE)

DO 31 L=1,NNODE

IF(X(I).LT.XMIN)XMIN=X(I)

IF(X(I).GT.XMAX)XMAX=X(I)

31 CONTINUE

C

DO 105 I=1,NELEM

READ(5,*)J,QQ(J),DX(J),(NODE(J,MM),MM=1,NUMN)

105 CONTINUE

C

DO 110 I=1,NNODE

READ(5,1015)WORD,NT,CNT

IF(WORD.EQ.STOP(1))GOTO 120

NTS(I)=NT

COLD(NT)=CNT

KNODE(NT)=1

FIXED(NT)=CNT

110 CONTINUE

120 NNST=I-1

C

DO 130 I=1,NNODE

READ(5,1025)WORD,Q(I),LEM(I),ISI(I)

IF(WORD.EQ.STOP(2))GO TO 135

130 CONTINUE

135 NNQS=I-1

C

K=0

DO 20 I=1,NNODE

79

DO 21 J=1,NNST

IF(I.EQ.NTS(J))GO TO 20

21 CONTINUE

K=K+1

NQS(K)=I

20 CONTINUE

C

DO 140 I=1,1

C DO 140 I=1,NNODE

C READ(5,1026)WORD,H(I),TINF(I),LME(I),ISIH(I)

READ(5,*)H(I),TINF(I),LME(I),ISIH(I)

C IF(WORD.EQ.STOP(3))GO TO 145

140 CONTINUE

145 NNHC=1

C 145 NNHC=I-1

C

DO 32 I=1,NNODE

32 CNEW(I)=COLD(I)

IF(NVEL.EQ.1)THEN

READ(5,*)(I,VX(I),J=1,NNODE)

ENDIF

C

NODEL(1)=1

IF(NUMN.EQ.2)NODEL(2)=2

IF(NUMN.EQ.3)NODEL(2)=3

IF(NUMN.EQ.4)NODEL(2)=4

C

IF(NTYPE.EQ.1)WRITE(*,14)NTYPE

IF(NTYPE.EQ.2)WRITE(*,15)NTYPE

AFM=AF-1.0

IF(NTYPE.EQ.1)GO TO 1

80

IF(AF.EQ.1.)WRITE(*,10)DT

IF(AF.EQ.0.5)WRITE(*,11)DT

C

1 WRITE(*,12)NSTOP,KPRNT,TO,RHO,CP

WRITE(*,1035)NNODE,NELEM

WRITE(*,1040)

WRITE(*,1041)

DO 150 I=1,NNODE

WRITE(*,1045)I,X(I)

150 CONTINUE

C

WRITE(*,1050)

DO 155 I=1,NELEM

WRITE(*,1055)I,QQ(I),DX(I),(NODE(I,MM),MM=1,NUMN)

155 CONTINUE

C

WRITE(*,1060)

WRITE(*,1061)

DO 160 I=1,NNST

WRITE(*,1065)I,NTS(I),COLD(NTS(I))

160 CONTINUE

C

WRITE(*,1080)

WRITE(*,1082)

DO 170 I=1,NNQS

ISI1=ISI(I)

WRITE(*,1085)I,Q(I),NODE(LEM(I),NODEL(ISI1))

170 CONTINUE

C

WRITE(*,1081)

WRITE(*,1083)

81

DO 180 I=1,NNHC

ISI1=ISIH(I)

WRITE(*,1086)I,H(I),TINF(I),NODE(LME(I),NODEL(ISI1))

180 CONTINUE

C

IF(NVEL.EQ.0)RETURN

WRITE(*,4040)

WRITE(*,4041)

DO 450 I=1,NNODE

WRITE(*,1045)I,VX(I)

450 CONTINUE

C

10 FORMAT(10X,'TAM KAPALI ',2X,'DT=',F8.4)

11 FORMAT(10X,'CRANK NICOLSON ',2X,'DT=',F8.4)

12 FORMAT(5X,'NSTOP=',I5,2X,'KPRNT=',I5,2X,'TO=',F8.4,2X,'RHO=',F8.4,

12X,'CP=',F8.4)

14 FORMAT(/,10X,'NTYPE=',I3,2X,'KARARLI DENGE')

15 FORMAT(/,10X,'NTYPE=',I3,2X,'ZAMAN BAĞIMLI')

1015 FORMAT(6X,A4,I5,5X,F10.5)

1025 FORMAT(6X,A4,F10.5,2I5)

1026 FORMAT(6X,A4,2F10.5,2I5)

1035 FORMAT(/,10X,'NOD SAYISI=',I3,5X,'ELEMAN SAYISI=',I3)

1040 FORMAT(/,5X,'NODAL KOORDİNATLAR')

1041 FORMAT(7X,'I',12X,'X(I)')

1045 FORMAT(5X,I3,7X,F10.3)

1050 FORMAT(/,1X,'ELEMAN SAYISI',4X,'KAYNAK',5X,'DX',8X,'NOD SAYISI')

1055 FORMAT(5X,I3,5X,2F10.3,4(4X,I3))

1060 FORMAT(/,7X,'CNEW İN BELİRLENDİĞİ NODLAR')

1061 FORMAT(8X,'I',4X,'NODE',6X,'CNEW')

1065 FORMAT(2X,2(4X,I3),3X,F8.3)

1080 FORMAT(/,7X,'AKIŞIN BELRLENDİĞİ NODLAR')

82

1082 FORMAT(8X,'I',4X,'FLUX(Q)',3X,'NOD SAYSIS')

1081 FORMAT(/,7X,'TINF NİN BELRLENDİĞİ NODLAR')

1083 FORMAT(8X,'I',6X,'H',6X,'TINF',4X,'NOD SAYISI')

1085 FORMAT(6X,I3,2X,F8.2,6X,I3)

1086 FORMAT(6X,I3,2X,2F8.2,4X,I3)

4040 FORMAT(/,5X,'BELRLENMİŞ NODAL HIZLAR ')

4041 FORMAT(7X,'I',12X,'VX(I)')

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE ASSEMB

REAL NS,NX,NXSI,MASS,MASST

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

COMMON/VG/ISI(2),LEM(2),LME(2),ISIH(2),H(2),TINF(2)

C

DO 1 K=1,NELEM

CALL NODSET(K,I,J,M,N)

DO 1 KK=1,NUMN

L=NODE(K,KK)

DO 1 IQ=1,NGAUS

XSI=POS(IQ)

CALL SHAPE(XSI,I,J,M,N,DET)

F(L)=F(L)+NS(KK)*QQ(K)*DET*W1(IQ)

DO 1 KKK=1,NUMN

LL=NODE(K,KKK)

DIFF=DX(K)*NX(KKK)*NX(KK)

83

ADVEC=VX(L)*NX(KKK)*NS(KK)

MASS=NS(KKK)*NS(KK)

A(L,LL)=A(L,LL)+(DIFF+ADVEC)*DET*W1(IQ)

1 P(L,LL)=P(L,LL)+MASS*DET*W1(IQ)*RHOCP

C

IF(NNHC.EQ.0)GO TO 10

DO 2 K=1,NNHC

NEL=LME(K)

CALL NODSET(NEL,I,J,M,N)

ISI1=ISIH(K)

CALL BCSIDE(ISI1,SIDE,I,J,M,N)

KN=NODEL(ISI1)

LL=NODE(NEL,KN)

KK=KN

KL=LL

MASST=NS(KN)*NS(KK)

2 A(LL,KL)=A(LL,KL)+MASST*H(K)*SIDE

C

10 CONTINUE

C

DO 3 L=1,NNODE

DO 3 LL=1,NNODE

G(L,LL)=G(L,LL)+AF*A(L,LL)+P(L,LL)/DT

3 CONTINUE

C

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE MATRIX

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

84

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

C

DO 100 L=1,NNODE

B(L)=F(L)

DO 100 JJ=1,NNODE

RHS=(AFM*A(L,JJ)+P(L,JJ)/DT)*COLD(JJ)

IF(NTYPE.EQ.1)RHS=0

100 B(L)=B(L)+RHS

C

IF(IFLG.EQ.1)THEN

CALL SEIDEL

ELSE

DO 150 K=1,NNST

I=NTS(K)

150 B(I)=0.0

CALL GAUSSR(CNEW,NNODE)

ENDIF

C

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE BNDCON

REAL NS

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

COMMON/VG/ISI(2),LEM(2),LME(2),ISIH(2),H(2),TINF(2)

C

85

IF(NNQS.EQ.0)GO TO 2

DO 3 K=1,NNQS

NEL=LEM(K)

CALL NODSET(NEL,I,J,M,N)

ISI1=ISI(K)

CALL BCSIDE(ISI1,SIDE,I,J,M,N)

KN=NODEL(ISI1)

KK=NODE(NEL,KN)

3 F(KK)=F(KK)+NS(KN)*Q(K)*SIDE

C

2 IF(NNHC.EQ.0)RETURN

DO 4 K=1,NNHC

NEL=LME(K)

CALL NODSET(NEL,I,J,M,N)

ISI1=ISIH(K)

CALL BCSIDE(ISI1,SIDE,I,J,M,N)

KN=NODEL(ISI1)

LL=NODE(NEL,KN)

4 F(LL)=F(LL)+NS(KN)*H(K)*TINF(K)*SIDE

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE BCSIDE(ISI1,SIDE,I,J,M,N)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

C

C SIDE=1 OLDUĞUNDAN BU SUBROUTINE-E 1 BOYUTTA GEREK YOK

C

C 2-D VE 3-D PROBLEMLERİNDE GEREKSİNİM VAR

GOTO (1,2),ISI1

C

86

C SOL KENAR SINIRI

C

1 XSI= -1.0

CALL SHAPE(XSI,I,J,M,N,DET)

SIDE= 1.0

RETURN

C

C SAĞ KENAR SINIRI

C

2 XSI= 1.0

CALL SHAPE(XSI,I,J,M,N,DET)

SIDE= 1.0

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE PRINT

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

WRITE(*,120)

IF(NTYPE.EQ.1)THEN

WRITE(*,403)

ELSE

WRITE(*,402)NTIME,TIME

ENDIF

WRITE(*,400)

WRITE(*,401)(I,CNEW(I),I=1,NNODE)

120 FORMAT(/,20X,'VARIABLE VALUES')

400 FORMAT(/,5X,'NODE',6X,'CNEW')

401 FORMAT(5X,I3,5X,F8.2)

402 FORMAT(/,5X,'TIME STEPS',I4,2X,'TIME=',F8.3)

87

403 FORMAT(5X,'STEADY STATE')

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE RESID

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

MAXRES=0

ERR=0.0001

DO 1 I=1,NNODE

R=ABS(CNEW(I)-COLD(I))

IF(R.GT.ERR)MAXRES=1

1 CONTINUE

IF(MAXRES.EQ.1)RETURN

IF(MAXRES.EQ.0)THEN

WRITE(*,20)NTIME

CALL PRINT

CALL PRINTF

WRITE(*,10)

ENDIF

10 FORMAT(/,1X,'SOLUTION IS FINISHED')

20 FORMAT(/,2X,'PROGRAM HAS CONVERGED IN',I3,' STEPS')

STOP

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE PRINTF

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

88

COMMON/VM/NUMDIM,MTYPE,TO,NVEL,IAXI,RHO,CP

WRITE(7,'(8I4)')MTYPE,NUMDIM,NNODE,NELEM,NUMN,NSTOP,KPRNT,NVEL

WRITE(7,'(I4,5(F8.4,1X),2X,I4)')NTYPE,DT,AF,TO,RHO,CP,IAXI

DO 1 I=1,NNODE

1 WRITE(7,100)I,X(I)

DO 2 J=1,NELEM

2 WRITE(7,101)J,QQ(J),DX(J),(NODE(J,MM),MM=1,NUMN)

DO 3 I=1,NNODE

3 WRITE(7,100)I,CNEW(I),VX(I)

100 FORMAT(5X,I3,2X,2(F8.3,1X))

101 FORMAT(5X,I3,2X,2(F8.3,1X),2X,4I3)

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE NODSET(K,I,J,M,N)

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

IF(NUMN.EQ.2)GO TO 1

IF(NUMN.EQ.3)GO TO 2

IF(NUMN.EQ.4)GO TO 3

C

C LINEAR

C

1 I=NODE(K,1)

J=NODE(K,2)

RETURN

C

C QUADRATIC

C

2 I=NODE(K,1)

J=NODE(K,2)

89

M=NODE(K,3)

RETURN

C

C CUBIC

C

3 I=NODE(K,1)

J=NODE(K,2)

M=NODE(K,3)

N=NODE(K,4)

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE SHAPE(XSI,I,J,M,N,DET)

REAL NS,NX,NXSI

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

IF(NUMN.EQ.2)GO TO 2

IF(NUMN.EQ.3)GO TO 3

IF(NUMN.EQ.4)GO TO 4

C

C LINEER BAZ FONKSİYONU

C

2 XLEN=ABS(X(J)-X(I))

NS(1)= 0.5*(1.-XSI)

NS(2)= 0.5*(1.+XSI)

NXSI(1)=-0.5

NXSI(2)= 0.5

XXSI=NXSI(1)*X(I)+NXSI(2)*X(J)

GO TO 6

90

C

C QUADRATIK BAZ FONKSİYONU

C

3 XLEN=ABS(X(M)-X(I))

NS(1)= 0.5*XSI*(XSI-1.)

NS(2)= 1.-XSI*XSI

NS(3)= 0.5*XSI*(XSI+1.)

NXSI(1)= XSI-0.5

NXSI(2)= -2.*XSI

NXSI(3)= XSI+0.5

XXSI=NXSI(1)*X(I)+NXSI(2)*X(J)+NXSI(3)*X(M)

GO TO 6

C

C KUBIK BAZ FONKSİYONU

C

4 XLEN=ABS(X(N)-X(I))

NS(1)=0.0625*(1.-XSI)*(9.*XSI*XSI-1.)

NS(2)=0.5625*(1.-XSI*XSI)*(1.-3.*XSI)

NS(3)=0.5625*(1.-XSI*XSI)*(1.+3.*XSI)

NS(4)=0.0626*(9.*XSI*XSI-1.)*(1.+XSI)

NXSI(1)= 0.0625*(1.+18.*XSI-27.*XSI*XSI)

NXSI(2)= 0.5625*(-3.-2.*XSI+9.*XSI*XSI)

NXSI(3)= 0.5625*(3.-2.*XSI-9.*XSI*XSI)

NXSI(4)= 0.0625*(18.*XSI+27.*XSI*XSI-1.)

XXSI=NXSI(1)*X(I)+NXSI(2)*X(J)+NXSI(3)*X(M)+NXSI(4)*X(N)

C

6 DET=XXSI

IF(DET.EQ.0.0)WRITE(*,100)

DO 7 K=1,NUMN

7 NX(K)=NXSI(K)/DET

100 FORMAT(2X,' DETERMINANT = 0.0')

91

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE GAUSS

COMMON/VE/NS(4),NX(4),NXSI(4),POS(4),W1(4),NODEL(2)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

GOTO(1,2,3,4)NGAUS

C

C N=1 GAUSS NOKTASI

C

1 POS(1)=0.0

W1(1)=2.0

RETURN

C

C N=2 GAUSS NOKTALARI

C

2 POS(1)=-0.5773502692

POS(2)= 0.5773502692

W1(1)=1.0

W1(2)=1.0

RETURN

C

C N=3 GAUSS NOKTALARI

C

3 POS(1)=-0.7745966692

POS(2)= 0.

POS(3)= 0.7745966692

W1(1)= 0.55555555555

W1(2)= 0.88888888888

W1(3)= 0.55555555555

RETURN

92

C

C N=4 GAUSS NOKTALARI

C

4 POS(1)=-0.8611363116

POS(2)=-0.3399810436

POS(3)= 0.3399810436

POS(4)= 0.8611363116

W1(1)= 0.3478548451

W1(2)= 0.6521451549

W1(3)= 0.6521451549

W1(4)= 0.3478548451

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE SEIDEL

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VA/P(51,51),COLD(51),CNEW(51)

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

ER=.0001

GOTO(100,200)NTYPE

C

C ZAMAN BAĞIMLI DURUM

C

200 AMAX=0.0

DO 400 L=1,NNODE

IF(KNODE(L).EQ.1)GO TO 400

OLDVAL=CNEW(L)

SUM=0.0

DO 300 JJ=1,NNODE

93

IF(JJ.EQ.L)GO TO 300

SUM=SUM+(AF*A(L,JJ)+P(L,JJ)/DT)*CNEW(JJ)

300 CONTINUE

S=AF*A(L,L)+P(L,L)/DT

CNEW(L)=(-SUM+B(L))/S

ERR=ABS(CNEW(L)-OLDVAL)

IF(ERR.GT.AMAX)AMAX=ERR

400 CONTINUE

IF(AMAX.GT.ER)GO TO 200

RETURN

C

C KARARLI DENGE DURUMU

C

100 ITER=0

800 AMAX=0.0

DO 850 L=1,NNODE

IF(KNODE(L).EQ.1)GO TO 850

OLDVAL=CNEW(L)

SUM=0.0

DO 900 JJ=1,NNODE

IF(JJ.EQ.L)GO TO 900

SUM=SUM+A(L,JJ)*CNEW(JJ)

900 CONTINUE

IF(A(L,L).EQ.0.)GO TO 850

CNEW(L)=(-SUM+F(L))/A(L,L)

ERR=ABS(CNEW(L)-OLDVAL)

IF(ERR.GT.AMAX)AMAX=ERR

850 CONTINUE

ITER=ITER+1

IF(AMAX.GT.ER)GO TO 800

NTIME=ITER

94

RETURN

END

C ----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE SETPC

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

CHARACTER INFIL*12,OUTFIL*12

DATA INFIL/' '/,OUTFIL/' '/

WRITE(*,105)

105 FORMAT(1X,'YAZICI ÇIKTISI İÇİN, CTL-PRTSC BAS')

WRITE(*,'(/1X,A\)')' GİRDİ DOSYASI ADINI YAZ: '

READ(*,'(BN,A)')INFIL

OPEN(5,FILE=INFIL)

C

WRITE(*,'(/1X,A\)')' GRAFİK ÇIKTI DOSYASI ADINI YAZ: '

READ(*,'(BN,A)')OUTFIL

OPEN(7,FILE=OUTFIL,STATUS='NEW')

WRITE(7,'(A)')OUTFIL

C

WRITE(*,'(/1X,A\)')' ENTER 1 FOR GAUSS-SEIDEL ITERASYONU İÇİN 1

1GAUSS ELIMINASYONU İÇİN 2 YAZ: '

READ(*,'(I1)')IFLG

RETURN

END

C -----------------------------------------------------------------------

SUBROUTINE GAUSSR(D,N)

COMMON/VD/AF,AFM,DT,NNQS,NUMN,NUM,NGAUS,NNHC,NNST,NSTOP,KPRNT,IFLG

COMMON/VB/A(51,51),G(51,51),B(51),X(51),QQ(51),XMIN,XMAX

COMMON/VK/NODE(51,4),KNODE(51),NNODE,NELEM,NTYPE,RHOCP,NTIME,TIME

COMMON/VC/Q(51),F(51),FIXED(51),NTS(51),NQS(51),DX(51),VX(51)

DIMENSION S(51,51),R(51),D(51)

C

95

DO 1 I=1,N

R(I)=B(I)

DO 1 J=1,N

1 S(I,J)=G(I,J)

C

C DIRICHLET DEĞERLERİNİ KUR

C

DO 300 K=1,NNST

I=NTS(K)

DO 400 J=1,N

IF(J.EQ.I)GOTO 400

R(J)=R(J)-S(J,I)*FIXED(I)

S(J,I)=0.

400 CONTINUE

DO 401 J=1,N

IF(J.EQ.I)GOTO 401

R(I)=R(I)-S(I,J)*FIXED(I)

S(I,J)=0.

401 CONTINUE

S(I,I)=1.

R(I)=FIXED(I)

300 CONTINUE

C

C ELİMİNASYON YORDAMI

C

DO 10 K=1,N

K1=K+1

R(K)=R(K)/S(K,K)

C

IF(K.EQ.N)GOTO 100

DO 20 J=K1,N

96

IF(S(K,J).EQ.0)GOTO 20

S(K,J)=S(K,J)/S(K,K)

DO 30 I=K1,N

S(I,J)=S(I,J)-S(I,K)*S(K,J)

30 CONTINUE

R(J)=R(J)-S(J,K)*R(K)

20 CONTINUE

10 CONTINUE

C

C GERİ YERLEŞTİRME

C

100 K1=K

K=K-1

IF(K.EQ.0)GOTO 200

DO 40 J=K1,N

R(K)=R(K)-S(K,J)*R(J)

40 CONTINUE

GOTO 100

200 CONTINUE

C

DO 2 K=1,N

2 D(K)=R(K)

RETURN

END

g

97

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı :Aytekin Mahmood Ogor ANWAR

Doğum Yeri :Kerkük

Doğum Tarihi : 02.07.1979

Medeni Halı :Evli

Yabancı Diller: İngilizce, Arapça

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl):

Lise : El Risale Lisesi 1997

Lisans : Musul Üniversitesi Bilgisayar ve Matematik Fakültesi – Matematik

Bölümü 2001

Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

(Eylül 2004 – Eylül 2008)

Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl:

Global Strateji Enstitüsü (Nisan 2005-Ağustos 2007)