AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS...
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AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA
ANÁLISE DA FADIGA DE ESTRUTURAS OFFSHORE
Lucas Simaan França
Rio de Janeiro
Março 2018
AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA
ANÁLISE DA FADIGA DE ESTRUTURAS OFFSHORE
Lucas Simaan França
Rio de Janeiro
Março 2018
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Gilberto Bruno Ellwanger
Orientador: Luis Volnei Sagrilo
AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA ANÁLISE DA FADIGA DE
ESTRUTURAS OFFSHORE
Lucas Simaan França
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
______________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc. (Orientador)
_________________________________________
Prof. Luis Volnei Sagrilo, D.Sc. (Orientador)
_________________________________________
Prof. Silvia Corbani, D.Sc.
_________________________________________
Prof. Claudio Marcio Silva Dantas, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2018
IV
FRANÇA, Lucas Simaan
Avaliação de métodos probabilísticos para análise da fadiga de
Estruturas Offshore – Lucas Simaan França, - Rio de Janeiro: UFRJ
/ Escola Politécnica, 2018.
XIV, 54 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e Luis Volnei Sagrilo
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / Curso de
Engenharia Civil, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 53-54.
1. Introdução. 2. Metodologia 3. Análise de Fadiga no Domínio
da Frequência 4. Métodos Alternativos para Análise de Fadiga 5.
Estudos de Caso 6. Conclusões
I. Ellwanger, Gilberto Bruno e Sagrilo, Luis Volnei. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de
Engenharia Civil. III. Avaliação de métodos probabilísticos para
análise da fadiga de Estruturas Offshore
VI
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço aos meus pais e meus irmãos, que não apenas me
transmitiram todos os valores que carrego comigo e levarei para toda a vida, mas
também forneceram apoio e incentivo incondicional durante toda essa trajetória. Deixo
meu muito obrigado também aos meus tios, primos, avós e demais membros da família.
Sem o amor e carinho de vocês eu jamais teria chegado até aqui.
Agradeço aos docentes e funcionários do curso de Engenharia Civil da instituição
UFRJ. Muito obrigado por todos os ensinamentos transmitidos, dentro e fora de sala de
aula. Agradeço ao professor Gilberto Ellwanger, meu orientador, pelo auxílio,
prestatividade e também pela confiança depositada não somente no projeto mas
também em minha pessoa. E gostaria de agradecer em especial ao professor Luis
Sagrilo, meu coorientador, que me acompanhou e me orientou ao longo de boa parte
dessa jornada. Muito obrigado pela paciência, pelos ensinamentos e pelos conselhos,
os quais tiveram influência direta no meu desenvolvimento acadêmico.
Por fim, gostaria de agradecer a todos os meus amigos pessoais que me
acompanharam durante esse ciclo. Aos amigos de Brasília, minha cidade natal, só
posso agradecer por terem estado ao meu lado apesar da distância. Mas gostaria de
agradecer principalmente aos grandes amigos que criei no Rio de Janeiro e que
pretendo levar para a vida. A decisão de sair de casa aos 18 anos partindo para uma
cidade até então desconhecida é extremamente complicada. Serei eternamente grato
pelas ótimas companhias, risadas, estudos em grupo e conversas que vocês me
proporcionaram, não permitindo em momento algum que eu me sentisse sozinho. Sendo
assim, deixo aqui o meu muito obrigado aos amigos do grupo Helia não anda do curso
de Engenharia Civil, aos meus amigos do time de futsal e futebol de campo da
engenharia UFRJ, e também aos amigos do time de futebol society River da Tijuca.
VII
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA ANÁLISE DA FADIGA DE
ESTRUTURAS OFFSHORE
Lucas Simaan França
Março / 2018
Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e Luis Volnei Sagrilo
Curso: Engenharia Civil
Fadiga é o nome dado ao processo de degradação de estruturas por
carregamento cíclico. Tal processo é capaz de gerar trincas irreversíveis, as quais
podem trazer consequências indesejáveis a estrutura, como por exemplo a fratura do
elemento estrutural ou o seu colapso por tensões excessivas na seção remanescente.
Sendo assim, a análise de fadiga torna-se um passo fundamental na análise de
estruturas oceânicas utilizadas para exploração de petróleo no mar. No entanto, os
complexos modelos numéricos usados para o cálculo da vida útil à fadiga demandam
altos custos computacionais e operacionais. Faz-se necessário tornar o cálculo de
fadiga mais simples e prático ao mesmo tempo em que é imprescindível que não se
perca a precisão do cálculo, sendo esse um dos principais desafios atuais da indústria
offshore. Dessa forma, foram recentemente propostos 2 procedimentos matemáticos
capazes de realizar a análise de fadiga de forma mais eficiente e sem perder a precisão.
São eles os métodos da Perturbação e da Redução de Dimensão para análise de fadiga
probabilística. O objetivo deste trabalho é analisar mais detalhadamente estes métodos,
sendo feito um estudo para verificar a eficiência e precisão dos mesmos quando
comparados a outros métodos convencionais de análise. Obtidos os resultados tanto
pelos métodos convencionais quanto pelos alternativos, será feita a comparação dos
resultados de forma a se determinar a precisão dos métodos alternativos e consequente
aplicabilidade dos mesmos para esse tipo de cálculo.
Palavras-chave: Fadiga, Estruturas Offshore, Método da Perturbação, Método da
Redução da Dimensão.
VIII
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requeriments for the degree of Civil Engineer.
EVALUATION OF STATISTIC METHODS FOR FATIGUE ANALYSIS IN OFFSHORE
STRUCTURES
Lucas Simaan França
March / 2018
Advisors: Gilberto Bruno Ellwanger and Luis Volnei Sagrilo
Course: Civil Engineering
Fatigue is the process of structural degradation caused by a cyclic loading. This
process can create irreversible cracks which may cause undesirable consequences to
the structure, such as the fracture of the structural element or its collapse resulted by
excessive stresses in the remaining section. Therefore, the fatigue process must be
considered as a fundamental step in the analysis of marine structures used mainly for oil
exploration. However, the large and complex numerical models used for this type of
analysis, which includes calculating the structure life considering fatigue damage, require
high computational and operational costs. It is necessary to make the analysis easier
and more practical, but at the same time it is essencial that the accuracy of the evaluation
is mantained. This is one of the main challenges of the offshore industry nowadays.
Thus, two mathematical procedures have been recently proposed, with the purpose of
performing fatigue analysis more efficiently and without losing accuracy in its results.
These methods are: Perturbation Method and Univariate Dimension-Reduction Method.
The main purpose of this research is to investigate the performance of these methods.
To this end, a study was made to check their efficiency and accuracy when compared to
other convencional methods for fatigue life assessment. At last, the results obtained by
convencional and alternative methods are compared in order to determine the precision
of the alternative methods and when they can be applied to fatigue analysis.
Key Words: Fatigue, Offshore Structures, Perurbation Method, Univariate Dimension-
Reduction Method.
IX
SUMÁRIO
1. Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------ 1
1.1. Motivação ------------------------------------------------------------------------------------- 1
1.2. Objetivo ---------------------------------------------------------------------------------------- 1
1.3. Estrutura do trabalho ---------------------------------------------------------------------- 2
2. Metodologia: Cálculo de Fadiga ------------------------------------------------------------- 4
3. Análise de Fadiga no Domínio da Frequência ------------------------------------------- 8
3.1. Fadiga de Longo Prazo ------------------------------------------------------------------- 8
3.2. Método de Rayleigh ------------------------------------------------------------------------ 9
3.3. Método da Correção de Wirshing --------------------------------------------------- 12
3.4. Método de Dirlik --------------------------------------------------------------------------- 13
4. Métodos Alternativos para a Análise de Fadiga -------------------------------------- 15
4.1. Método da Perturbação ----------------------------------------------------------------- 15
4.2. Método da Redução da Dimensão -------------------------------------------------- 17
4.2.1. Quadraturas Gaussianas --------------------------------------------------------- 20
4.2.1.1. Quadratura de Gauss-Legendre------------------------------------------------ 21
4.2.1.2. Quadratura de Gauss-Hermite -------------------------------------------------- 23
5. Estudos de Caso -------------------------------------------------------------------------------- 26
5.1. Distribuição Conjunta de Hs e Tz ---------------------------------------------------- 26
5.2. Modelo Teórico ---------------------------------------------------------------------------- 27
5.2.1. RAO de Tensões -------------------------------------------------------------------- 27
5.2.2. Verificação do número de pontos de integração necessários para a
aplicação das Quadraturas ------------------------------------------------------------------ 28
5.2.3. Análises com o Modelo Teórico------------------------------------------------ 33
5.3. Riser Metálico Suspenso e Ancorado por Amarras (RSAA) ---------------- 40
5.3.1. Resultados do Modelo do Riser Metálico (RSAA) ------------------------ 43
6. Conclusões --------------------------------------------------------------------------------------- 51
Referências Bibliográficas ------------------------------------------------------------------------ 53
LISTA DE FIGURAS
X
Figura 1: Exemplo de gráfico de amplitude de tensões S em um tempo t ..................... 5
Figura 2: Exemplo de Curva S-N obtida a partir de amplitudes de tensão S ................. 5
Figura 3: Histograma de ciclos de tensões ................................................................... 6
Figura 4: Cruzamento do espectro do mar com o RAO ................................................. 7
Figura 5: Exemplo de um diagrama de dispersão (scatter diagram) ............................. 8
Figura 6: Distribuição conjunta de probabilidades de Hs e Tz ....................................... 9
Figura 7: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura..................... 29
Figura 8: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão
(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ........ 29
Figura 9: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)
vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ...................................... 30
Figura 10: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-
Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ....................... 31
Figura 11: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão
(Gauss-Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ........... 31
Figura 12: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite)
vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ...................................... 32
Figura 13: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Método da Perturbação vs. Integração
Direta .......................................................................................................................... 34
Figura 14: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta .................................................................................. 34
Figura 15: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Método da Perturbação
vs. Integração Direta ................................................................................................... 35
Figura 16: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão
(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta ..................................................................... 36
Figura 17: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Método da Perturbação vs. Integração
Direta .......................................................................................................................... 37
Figura 18: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)
vs. Integração Direta ................................................................................................... 37
Figura 19: Respresentação Esquemática do RSAA .................................................... 41
Figura 20: RAO de Heave do RSAA ........................................................................... 43
Figura 21: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta .................................................................................. 44
Figura 22: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Perturbação vs. Integração
Direta .......................................................................................................................... 45
XI
Figura 23: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Redução de
Dimensão (Gauss-Legendre) vs. Integração Direta .................................................... 46
Figura 24: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Perturbação
(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta ..................................................................... 46
Figura 25: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta .................................................................................. 47
Figura 26: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Perturbação vs. Integração Direta
................................................................................................................................... 48
XII
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 5, 7 e 9) ...... 22
Tabela 2: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 11, 13 e 15) 22
Tabela 3: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 5, 7 e 9) ........ 24
Tabela 4: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 11, 13 e 15) ... 24
Tabela 5: Parâmetros de integração direta da equação do dano ................................ 28
Tabela 6: Parâmetros de integração direta da equação do dano ................................ 33
Tabela 7: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Rayleigh
................................................................................................................................... 38
Tabela 8: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método da Correção
de Wirshing ................................................................................................................. 39
Tabela 9: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Dirlik .... 39
Tabela 10: Principais propriedades do Riser Vertical .................................................. 42
Tabela 11: Principais propriedades do Riser Flexível.................................................. 42
Tabela 12: Principais propriedades da Amarra ........................................................... 42
Tabela 13: Propriedades equivalentes (Conjunto amarra + flexível) ........................... 42
Tabela 14: Parâmetros de integração direta da equação do dano .............................. 43
Tabela 15: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Rayleigh .......... 49
Tabela 16: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método da Correção de
Wirshing...................................................................................................................... 49
Tabela 17: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Dirlik ................ 50
XIII
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS
𝐴 – Área da seção transversal do riser
c – Celeridade
𝐶𝑜𝑣( ) – Covariância
d ( ) – Dano por fadiga para um estado de mar
𝑑𝐷 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método de Dirlik
𝑑𝑅 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método de Rayleigh
𝑑𝑤 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método da Correção
de Wirshing
𝐷1−𝑦𝑟 – Dano total por fadiga em um intervalo de um ano
𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 - Dano total por fadiga em um intervalo de um ano pelo método da Perturbação
de 2ª ordem
𝐷𝑒 – Diâmetro externo do riser
𝐷𝑖 – Diâmetro interno do riser
𝐸( ) – Esperança
Eriser – Módulo de elasticidade do riser
EA – Coefinciente de rigidez axial
EI – Coeficiente de rigidez à flexão
𝑓𝐻𝑠( ) - Função densidade de probabilidades marginal de Hs
𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧( ) – Função densidade de probabilidade conjunta
𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠( ) - Função densidade de probabilidades condicional de Tz dado um valor de Hs
GJ – Coeficiente de rigidez à torção
Hs – Altura significativa de onda
ℎ̅𝑠 – Valor médio da altura significativa de onda
K – Parâmetro da curva S-N
Kconjunto – Coeficiente de elasticidade do conjunto riser flexível + amarra
m – Parâmetro da curva S-N
XIV
𝑚𝑛 – Momentos espectrais
mriser – Massa por unidade de comprimento do riser
Mconjunto – Massa do conjunto riser flexível + amarra
𝑛𝑖,𝑗 – Número de ocorrências de um estado de mar
𝑁𝐻𝑠 – Número de intervalos de Hs para integração direta
𝑁𝑇𝑧 – Número de intervalos de Tz para integração direta
Tz – Período de cruzamento zero
𝑡�̅� – Valor médio do período de cruzamento zero
𝑅𝐴𝑂( ) – Operador de amplitude de resposta
𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒( ) - Operador de amplitude de resposta do movimento de heave
RSAA – Riser Suspenso e Ancorado por Amarras
𝑆𝜂(𝜔) – Espectro de elevação do mar
𝑆𝑠( ) – Espectro de variação de tensões
𝑆𝜎( ) – Espectro axial de tensões
𝑣0 – Frequência de cruzamento zero
𝑉𝑎𝑟( ) – Variância
VU – Vida útil da estrutura
𝑣0 – Frequência de cruzamento zero
𝛼 – Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta
𝛾𝑎ç𝑜 – Peso específico do aço
𝛾𝑖,𝑗 – Frequência relativa de um estado de mar
𝜀 – Fator de largura de banda do espectro de tensões
𝜆 – Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta
𝜉 - Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta e cálculo do RAO
Φ ( ) - Função de distribuição acumulada de probabilidades
𝜔 – Frequência
𝜔𝑛 – Frequência natural
1
1. Introdução
Fadiga é o nome dado ao processo de degradação de estruturas por
carregamento cíclico. No caso do presente trabalho, as estruturas analisadas são
oceânicas e, portanto, um dos principais causadores do fenômeno de fadiga são as
ondas do mar. Tal processo é capaz de gerar trincas irreversíveis, as quais podem trazer
consequências indesejáveis, como por exemplo a fratura do elemento estrutural ou o
seu colapso por tensões excessivas na seção remanescente. Existem ainda falhas
funcionais, como vazamentos e perda da pressão interna, problemas esses que,
tratando-se de plataformas e dutos oceânicas, são capazes de afetar toda a
funcionalidade do sistema.
Sendo assim, a análise de fadiga torna-se um passo fundamental na análise de
estruturas oceânicas utilizadas para exploração de petróleo no mar.
1.1. Motivação
A indústria do petróleo é atualmente uma das maiores desenvolvedoras de
inovações tecnológicas na engenharia, isto porque a extração de petróleo do mar não é
uma tarefa fácil dadas as condições ambientais desfavoráveis do local onde a
plataforma será instalada, como ondas, vento, dentre outros aspectos. Sendo assim, os
complexos modelos numéricos usados para o cálculo da vida útil à fadiga demandam
altos custos computacionais e operacionais. Além disso, é importante ressaltar que nos
dias atuais essa indústria tem avançado a extração de óleo para águas cada vez mais
profundas. Consequentemente, os modelos numéricos tornam-se ainda mais extensos,
o que aumenta a complexidade e também os custos envolvidos na análise de fadiga.
Portanto, qualquer desenvolvimento que venha a facilitar a análise de fadiga
constitui-se numa ferramenta importante no projeto de estruturas oceânicas utilizadas
na exploração de petróleo no mar.
1.2. Objetivo
Atualmente, são amplamente discutidos os elevados custos computacionais
necessários para o cálculo de fadiga de alguns tipos específicos de estruturas oceânicas
e, consequentemente, a necessidade de uma economia com relação a esses custos
torna-se mais evidente. No entanto, é necessário tornar o cálculo de fadiga mais simples
2
e prático ao mesmo tempo em que é imprescindível que não se perca a precisão, sendo
esse um dos principais desafios atuais da indústria offshore.
Sendo assim, foram recentemente propostos dois procedimentos matemáticos
capazes de realizar a análise de fadiga de forma mais eficiente e sem perder a precisão.
São eles o Método da Perturbação e o Método da Redução de Dimensão (Giraldo, 2014)
para análise de fadiga probabilística no domínio da frequência. O objetivo deste projeto
é analisar mais detalhadamente estes métodos, em que será feito um estudo para
verificar a eficiência e precisão dos mesmos quando comparados a outros métodos de
análise.
1.3. Estrutura do trabalho
O capítulo I do presente trabalho é introdutório e visa expor os objetivos e
motivações do mesmo e explicar a importância do assunto estudado dentro do âmbito
da engenharia. Também explica o que é esperado ao fim de sua leitura, ou seja, a
conclusão quanto a aplicabilidade dos métodos alternativos propostos para a análise
probabilística de fadiga.
No segundo capítulo, o tema começa a ser abordado de forma mais
aprofundada, explicando-se alguns dos termos técnicos e parâmetros utilizados para
determinação do dano por fadiga em Estruturas Offshore.
Já no terceiro capítulo do estudo são explicados os métodos utilizados para
cálculo de fadiga de curto-prazo. São descritas todas as fórmulas necessárias para
aplicação dos métodos de Rayleigh, Dirlik e Correção de Wirshing a partir dos quais
torna-se possível a determinação do dano anual por fadiga e da vida útil da estrutura.
O capítulo IV trata do principal objeto de análise desse projeto, os métodos
alternativos para análise probabilística de fadiga. Sendo assim, são discriminados o
Método da Perturbação e o Método da Redução da Dimensão, os quais são explicados
conceitualmente e também explicados a partir das fórmulas matemáticas que os
compoem. Ao final do capítulo é feita um breve estudo acerca das Quadraturas
Gaussianas, utilizadas no Método da Redução da Dimensão, de forma a determinar o
número de pontos de integração necessários para garantir a precisão nesse tipo de
análise.
No capítulo V estão descritos todos os parâmetros utilizados e resultados obtidos
no projeto. Os métodos de cálculo são aplicados para um modelo teórico e para um
modelo real de um riser metálico, tornando a análise realizada ao longo do capítulo mais
3
completa. São apresentados gráficos e tabelas que permitem a comparação e
conclusão acerca dos resultados obtidos.
O último capítulo resume os principais pontos comentados ao longo do trabalho,
de modo a organizar as ideias e apresentar uma conclusão.
4
2. Metodologia: Cálculo de Fadiga
As ondas do mar num período de tempo mais longo não podem ser
representadas como um processo estacionário uma vez que seus parâmetros variam
com o tempo. No entanto, podemos considerá-los como uma sucessão de processos
pseudo-estacionários de curta duração (Short Term). Esse curto período, o qual em
ambiente marinho é normalmente representado por um intervalo da ordem de 3 horas,
é chamado de estado de mar. Para a análise de fadiga, faz-se necessária a
caracterização da variação dos parâmetros de curto prazo ao longo do tempo. Esse
período longo de tempo deve ser de 1 ano ou mais (Long Term). Sendo assim, para
cada estado de mar são considerados os seguintes parâmetros de curto-prazo:
Altura significativa de onda (Hs): altura média do terço superior das ondas
identificados na superfície oceânica.
Período de cruzamento zero (Tz): valor médio do período de todas as ondas.
Espectro de elevação do mar ou função de densidade espectral (S()):
representação da superfície oceânica no domínio da frequência através da
transformada de Fourier (Chakrabarti, 1987).
Direção de propagação (w): direção principal de propagação das ondas (para
onde vão).
Existem alguns modelos matemáticos de espectros para a representação dos
estados de mar baseados nos parâmetros Hs e Tz das ondas. No Brasil, os modelos
mais utilizados são Pierson-Moskowitz e Jonswap. Neste trabalho, o modelo utilizado
foi o de Pierson-Moskowitz (Chakrabarti, 1987) cuja expressão é dada a seguir:
𝑆𝜂(𝜔) =
4𝜋3𝐻𝑠2
𝜔5𝑇𝑧4 exp (−
16𝜋3
𝜔4𝑇𝑧4) (2.1)
onde 𝜔 é a frequência da onda.
O cálculo de fadiga é baseado na regra linear de acúmulo de danos ou Regra de
Miner. Este cálculo envolve a contagem de ciclos de tensões e a definição da curva S-
N relacionada ao ponto da estrutura cuja vida fadiga está sendo analisada. A curva S-N
é a equação que relaciona o número de ciclos necessários N de uma tensão harmônica
com altura S capaz de causar fadiga na estrutura, sendo estas curvas obtidas a partir
de testes experimentais (vide Figura 2). Matematicamente estas curvas são descritas
como:
5
𝑁(𝑆) = 𝐾𝑆−𝑚 (2.2)
em que:
N(S) → número de ciclos de tensão até a falha por fadiga;
S → altura ou amplitude da tensão (stress range)
K e m → parâmetros da curva obtidos através de experimento
Figura 1: Exemplo de gráfico de amplitude de tensões S em um tempo t
Figura 2: Exemplo de Curva S-N obtida a partir de amplitudes de tensão S
O cálculo da vida útil à fadiga é feito com auxílio da Regra de Miner. A partir
dessa regra é possível determinar-se o dano (D) causado por ‘’n’’ ciclos de tensão
atuantes durante um período de tempo ‘’T’’. Por exemplo, num período de tempo T,
detectaram-se n1 ciclos com altura (range) S1, n2 ciclos com altura S2, e assim por diante.
Estes dados podem ser representados por um histograma conforme ilustra a Figura 3.
A regra de Miner define o dano de fadiga como sendo o dano linear acumulado D por
cada ciclo de tensão através da seguinte expressão:
6
𝐷 =𝑛1
𝑁(𝑆1)+
𝑛2
𝑁(𝑆2)+. . . +
𝑛𝑘
𝑁(𝑆𝑘) (2.3)
Figura 3: Histograma de ciclos de tensões
A Regra de Miner estabelece que a falha por fadiga ocorre quando o dano total
acumulado é igual a 1. Assim, a vida útil à fadiga pode ser estimada por:
𝑉𝑈 =𝑇
𝐷 (2.4)
Deve-se ressaltar que, para a análise de fadiga em estruturas oceânicas, devem
ser levados em consideração todos os tipos de carregamentos que causam fadiga, tal
como vento, corrente, etc. No entanto, para o presente trabalho o estudo foi feito
unicamente com relação às ondas do mar.
O processo completo de análise de fadiga constitui-se da estimativa de todos os
danos associados a todos os estados de mar, com parâmetros 𝐻𝑠𝑖 e 𝑇𝑧𝑗. Em cada
estado de mar a variação de tensões é aleatória. No presente projeto assumiu-se que
as tensões são caracterizadas por um processo aleatório gaussiano e o cálculo será
estimado através do domínio da frequência. Neste contexto, caracteriza-se o espectro
de variações de tensões através da seguinte relação:
𝑆𝑠(𝜔) = 𝑅𝐴𝑂(𝜔)2𝑆𝜂(𝜔) (2.5)
em que 𝑅𝐴𝑂(𝜔) é o operador de amplitude de resposta (tensão) da estrutura, ou seja,
a capacitância do sistema estrutural, e 𝑆𝜂(𝜔) é o espectro da elevação do mar que por
7
sua vez depende dos parâmetros Hs e Tz. O 𝑅𝐴𝑂(𝜔) representa a amplitude da tensão
para uma onda regular de amplitude A unitária e frequência 𝜔, e depende unicamente
das propriedades da estrutura (que assume-se apresentar um comportamento linear).
O cruzamento do RAO com o espectro do mar é ilustrado na Figura 4.
Figura 4: Cruzamento do espectro do mar com o RAO
8
3. Análise de Fadiga no Domínio da Frequência
3.1. Fadiga de Longo Prazo
Para o cálculo do dano por fadiga causado a uma estrutura oceânica devem ser
considerados os estados de mar ao longo de um longo período, usualmente 1 ano.
Neste o processo a frequência de ocorrências dos estados de mar é baseada no
diagrama de dispersão (scatter diagram) da locação onde a estrutura irá operar. Neste
diagrama estão representadas as frequências relativas 𝛾𝑖,𝑗 dos estados de mar sendo
cada um desses representado por um par (Hs,Tz). Considerando que o período de curto
prazo de um estado de mar é de 3 horas, o dano total a fadiga em um ano é dado por:
𝐷1−𝑦𝑟 = ∑ ∑𝑛𝑖,𝑗𝑑𝑖,𝑗 = 2920∑ ∑𝑑𝑖,𝑗𝛾𝑖,𝑗
𝑁𝑇𝑧
𝑗=1
𝑁𝐻𝑠
𝑖=1
𝑁𝑇𝑧
𝑗=1
𝑁𝐻𝑠
𝑖=1
𝑛𝑖,𝑗 = (365x24/3)𝛾𝑖,𝑗 = 2920𝛾𝑖,𝑗
(3.1.1)
em que 𝑛𝑖,𝑗 é o número de estados de mar em um ano, 𝑁𝐻𝑠 e 𝑁𝑇𝑧 é o número de
discretizações para 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧, respectivamente, utilizados para representar o diagrama
de dispersão e 𝑑𝑖,𝑗 o dano causado por fadiga por um único estado de mar com 𝐻𝑠 = 𝐻𝑠𝑖
e 𝑇𝑧 = 𝑇𝑍𝑗.
Matematicamente é também possível representar a frequência relativa de
ocorrência dos estados de mar a partir da distribuição conjunta de probabilidade dos
parâmetros 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧, i.e., 𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧 (𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑍𝑗
), através da seguinte equação (vide também
Figura 4):
𝛾𝑖,𝑗 = 𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑧𝑗)∆𝐻𝑠∆𝑇𝑧 (3.1.2)
Figura 5: Exemplo de um diagrama de dispersão (scatter diagram)
9
Figura 6: Distribuição conjunta de probabilidades de Hs e Tz
Consequentemente, o dano anual pode ser representado por:
𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∑ ∑𝑑𝑖,𝑗
𝑁𝑇𝑧
𝑗=1
𝑁𝐻𝑠
𝑖=1
𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧 (𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑍𝑗
)Δ𝐻𝑠Δ𝑇𝑧 (3.1.3)
que no limite para Δ𝐻𝑠 →0 e Δ𝑇𝑧 →0 conduz a
𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∫ ∫ 𝑑(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)d𝐻𝑠d𝑇𝑧
∞
0
∞
0
(3.1.4)
onde 𝑑(𝐻𝑠, 𝑇𝑧) representa o dano causado por um único estado de mar representado
por um par genérico (𝐻𝑠, 𝑇𝑧). Os métodos descritos a seguir, os quais foram todos
utilizados no presente trabalho, permitem o cálculo desse dano, particularizados para
os casos de análise estrutural no domínio da frequência.
3.2. Método de Rayleigh
O primeiro método a ser descrito é aquele que assume que o processo aleatório
das tensões pode ser descrito por um processo Gaussiano e cujo espectro é de banda-
estreita. Um espectro é considerado de banda-estreita (narrow-banded) quando
abrange uma pequena faixa de frequências, ao passo que pode ser também classificado
como broad-banded quando representa uma extensa faixa de frequências. Tal
10
idealização é feita de forma a facilitar a identificação dos ciclos de tensão, uma vez que
em espectros de banda-estreita os picos estão bem definidos e são descritas por uma
distribuição de Rayleigh (Chakrabarti, 1987). Por estas razões este método também é
conhecido na literatura como Método de Rayleigh. A distribuição dos picos de tensão é
então definida por:
𝑓𝑠(𝑠) =𝑠
𝑚0𝑒𝑥𝑝 (−
1
2
𝑠2
𝑚0) (3.2.1)
onde 𝑚0 é o momento de ordem zero do espectro de tensão 𝑆𝑆(𝜔) obtido adotando-se
𝑛 = 0 na expressão dos momentos espectrais de ordem 𝑛 definida por:
𝑚𝑛 = ∫ 𝜔𝑛
∞
0
𝑆𝑆(𝜔)𝑑𝜔 (3.2.2)
Sabe-se que o número de ciclos de um processo gaussiano de banda-estreita
é dado por
𝑁𝑐 = 𝑣0𝑇 (3.2.3)
com 𝑇 igual ao período de um estado de mar (3h = 10800 segundos) e 𝑣0 sendo a
frequência de cruzamento zero do processo aleatório de tensões dado por
𝑣0 =1
2𝜋√
𝑚2
𝑚0 (3.2.4)
em que 𝑚2 é o momento de segunda ordem do espectro de tensão. Utilizando a curva
S-N e a regra de Miner, e assumindo-se que os ciclos de tensões tenham sido
representados por histograma tem-se que o dano acumulado por fadiga é dado por:
11
𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = ∑ 𝑛𝑖
𝑁(𝑆�̅�)
𝑁𝑖
𝑖=1
(3.2.5)
na qual 𝑁𝑖 é igual ao número de sub-divisões do histograma, 𝑛𝑖 representa o número de
ciclos de tensão em cada intervalo do histograma, 𝑆𝑖 = 2𝑆𝑖 é a variação de tensão
associada ao pico de tensão 𝑆𝑖, (𝐻𝑆, 𝑇𝑍) são parâmetros que definem o estado de mar
e por fim 𝑁(𝑆𝑖) é o número de ciclos de tensões com variação 𝑆𝑖 até a falha por fadiga.
Este último parâmetro é definido pela curva S-N relacionada ao ponto de análise, i.e.,
𝑁(𝑆𝑖) = 𝐾(𝑆𝑖)−𝑚
(3.2.6)
em que 𝐾 e 𝑚 são parâmetros da curva S-N, definidos com base em experimentos.
Observa-se que o número de picos no i-ésimo intervalo do histograma pode ser
também descrito por
𝑛𝑖 = 𝑣0𝑇𝑓𝑠(𝑠𝑖)∆𝑠 (3.2.7)
onde ∆𝑠 é a largura dos intervalos do histograma. Inserindo as equações definidas
acima nas Eqs. (3.2.6) e (3.2.7) chega-se a
𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = ∑ 𝑣0𝑇(2)𝑚(𝑠𝑖)
𝑚𝑓𝑠(𝑠𝑖)∆𝑠
𝐾
𝑁𝑖
𝑖=1
(3.2.8)
em que fazendo com que ∆𝑠 → 0, tem-se que a fórmula geral do dano a fadiga num
estado de mar pelo método de Rayleigh é igual a
𝑑𝑅(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑣0𝑇(2)𝑚
𝐾∫ 𝑠𝑚𝑓𝑆(𝑠)𝑑𝑠
∞
0
(3.2.9)
onde substituindo-se 𝑓𝑠(𝑠) pela distribuição de Rayleigh chega-se a equação final do
dano que é dada por:
12
𝑑𝑅(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑣0𝑇(2√2)
𝑚(𝑚0)
𝑚2
𝐾Γ(1 +
𝑚
2) (3.2.10)
sendo que a função gama Γ( ) é uma função tabelada em vários livros de matemática
e é representada por
Γ(z) = ∫ 𝑥𝑧−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
(3.2.11)
3.3. Método da Correção de Wirshing
O método de Rayleigh descrito acima conduz a uma equação relativamente
simples para o cálculo do dano por fadiga, porém, o mesmo se baseia na hipótese de
um processo Gaussiano e de banda-estreita para as tensões. No entanto, na prática a
grande maioria dos processos de tensões não satisfaz esta condição. Tentando
expandir o uso da metodologia anterior para processos Gaussianos e de banda
qualquer, Wirshing et all. (1987) estabeleceram um fator de correção semi-empírico,
através de várias simulações numéricas, para o cálculo de fadiga para processos
Gaussianos. O método da correção de Wirshing muito se assemelha ao método de
Rayleigh e é definido por:
𝑑𝑊(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) 𝑓(𝑚, 𝜀) (3.3.1)
onde 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) é o dano calculado pelo método de Rayleigh (hipótese de banda-estreita)
e 𝑓(𝑚, 𝜀) é um fator de correção definido por
𝑓(𝑚, 𝜀) = 𝑎(𝑚) + 1[1 − 𝑎(𝑚)](1 − 𝜀)𝑏(𝑚) (3.3.2)
sendo
𝑎(𝑚) = 0.926 − 0.33𝑚
𝑏(𝑚) = 1.587𝑚 − 2.323
13
e o fator 𝜀 de largura de banda do espectro de tensões dado por
𝜀 = √1 −𝑚2
2
𝑚0𝑚4 (3.3.3)
sendo 𝑚4 o momento de quarta ordem do espectro de tensões.
3.4. Método de Dirlik
Dirlik (1985) apresentou uma outra forma para determinar-se o dano causado
por fadiga para um processo aleatório de tensões Gaussiano e de banda qualquer. Dirlik
simulou numericamente vários espectros de tensões variando o fator de largura de
banda, e a partir destas simulações estabeleceu a distribuição de probabilidades para
as variações de tensões em função apenas de parâmetros do espectro de tensões.
A distribuição é composta por uma combinação de três distribuições, uma função
exponencial, uma função de Rayleigh e uma função de Weibull, e é dada por:
𝑓(𝑠) =
𝐷1𝑄 exp (−
𝑧(𝑠)𝑄 ) + (
𝐷2(𝑠)𝑒𝑥𝑝 (−𝑧(𝑠)2
2𝑅2 )
𝑅2 ) + 𝐷3𝑧(𝑠)𝑒𝑥𝑝 (−𝑧(𝑠)2
2 )
2√𝑚0
(3.4.1)
em que,
𝐷1 =2(𝑋−𝛽2)
1+𝛽2 𝐷2 =
(1−𝛽−𝐷1+𝐷12)
1−𝑅 𝐷3 = 1 − 𝐷1 − 𝐷2
𝑧(𝑠) =𝑠
2√𝑚0
𝑅 =𝛽 − 𝑋 − 𝐷1
2
1 − 𝛽 − 𝐷1 + 𝐷12 𝑄 =
1.25(𝛽 − 𝐷3 − 𝐷2𝑅)
𝐷1
𝛽 = √𝑚2
2
𝑚0𝑚4 𝑋 =
𝑚1
𝑚0√
𝑚2
𝑚4
sendo que 𝑚𝑖 representa o m-ésimo momento do espectro de tensão. Utilizando a
curva S-N e a regra de Miner, tem-se que o dano por estado de mar pode escrito
como:
14
𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑁
𝐾∫ 𝑠𝑚𝑓𝑠
∞
0
(𝑠)𝑑𝑠 (3.4.2)
substituindo a 𝑓𝑆(𝑠) de Dirlik na equação acima, tem-se portanto que o dano total que
é dado por
𝑑𝐷(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑁
𝐾(
1
2√𝑚0
) [𝐴 + 𝐵 + 𝐶] (3.4.3)
em que
𝑁 =𝑇
2𝜋√
𝑚2
𝑚4
𝐴 =𝐷1 Γ(m+1)
𝑄(1
2√𝑚0𝑄)𝑚+1 𝐵 =
𝐷2Γ(m+2
2)
4𝑅2√𝑚0(1
8𝑚0𝑅2)
𝑚+22
𝐶 =𝐷3Γ(
m+2
2)
4√𝑚0(1
8𝑚0)
𝑚+22
15
4. Métodos Alternativos para a Análise de Fadiga
A análise de fadiga de longo-prazo em estruturas oceânicas é resolvida
numericamente discretizando o domínio de integração da Eq. (3.1.4) num extenso
número de pontos de integração, i.e., vários estados de mar. Como a análise de cada
estado de mar pode demandar tempo e trabalho, essa análise implica em elevados
custos computacionais devido a grande quantidade de estados de mar, principalmente
quando a análise de tensões é feita no domínio do tempo.
Sendo assim, recentemente métodos alternativos e mais eficientes vêm sendo
propostos a fim de tentar contornar este problema (Giraldo, 2104). Esses métodos
propõem minimizar o número de pontos de integração, i.e., reduzir o número de análises
estruturais para o cálculo da integral, simplificando o processo sem que haja perda de
precisão. Neste trabalho foram estudados 2 métodos distintos: o Método da Perturbação
e o Método da Redução de Dimensão.
4.1. Método da Perturbação
No Método da Perturbação de segunda ordem (Low & Cheung, 2012) a ideia
básica é representar o dano por fadiga 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) através da expansão numa série de
Taylor em torno do ponto médio (𝐻𝑆 = ℎ𝑆, 𝑇𝑍 = 𝑡𝑧) até os termos de segunda ordem,
i.e.,
𝑑(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = 𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�) + (ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)𝜕𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕ℎ𝑠+ (𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕𝑡𝑧
+1
2![(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)
2∂
2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
∂ℎ𝑠2 + 2(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧
− 𝑡�̅�)𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧+ (𝑡𝑠 − 𝑡�̅�)
𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕2𝑡𝑧]
(4.1.1)
Esse dano representa o dano causado em um único estado de mar. Substituindo-
se esta expressão anterior na Eq. (3.1.4) tem-se:
16
𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 = 2920 [𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)∫ ∫ 𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧
(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑧
∞
0
∞
0
+𝜕𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕ℎ𝑠∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
+𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕𝑡𝑧∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
+1
2
∂2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
∂ℎ𝑠2 ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)
2
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
+1
2
𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕2𝑡𝑧∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
2
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
+𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
∞
0
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧]
(4.1.2)
Na expressão acima é possível identificar alguns termos dentro da equação que
podem ser substituídos por parâmetros estatísticos conhecidos, como esperança,
variância e covariância dos parâmetros de onda. As equações que representam cada
um desses parâmetros estão descritas a seguir:
𝐸(𝐻𝑠 − ℎ̅𝑠) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
= 0
𝐸(𝑇𝑧 − 𝑡�̅�) = ∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
= 0
𝑉𝑎𝑟(𝐻𝑠) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)2
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
𝑉𝑎𝑟(𝑇𝑧) = ∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)2
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
𝐶𝑜𝑣(𝐻𝑠, 𝑇𝑧) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)
∞
0
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
∞
0
(4.1.3)
Esses parâmetros estatísticos dependem unicamente da distribuição de
probabilidades conjunta de 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍. Substituindo-se os parâmetros estatísticos descritos
acima na equação geral do dano, tem-se que o dano anual por fadiga pelo Método da
Perturbação (de segunda ordem) é igual a
17
𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 = 2920
[ 𝑑(ℎ̅𝑠 , 𝑡�̅�) +
1
2
∂2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
∂ℎ𝑠2 𝑉𝑎𝑟(𝐻𝑠)
+1
2
𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕2𝑡𝑧𝑉𝑎𝑟(𝑇𝑧) +
𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)
𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧𝐶𝑜𝑣(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)]
(4.1.4)
A expansão da série de Taylor poderia também ter sido feita incluindo termos de
terceira ordem ou superiores. A algebrização é bastante similar, no entanto surgem
alguns termos que dependem dos parâmetros estatísticos de ordem superior da
distribuição conjunta (Giraldo, 2014).
Pela expressão (Eq. 4.1.4) observa-se que é necessário calcular as derivadas
de segunda ordem do dano de curto-prazo no ponto médio dos parâmetros 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍 dos
estados de mar. Isto pode ser feito através de diferenças finitas (Low & Cheung, 2012).
Assim, para se resolver a integral dupla baseado na expansão de segunda ordem, a
qual será utilizada ao longo do projeto, estudos indicam que são necessários apenas 9
estados de mar (nove análises de curto-prazo). Esses números são muito pequenos em
comparação aos necessários nos métodos convencionais, o que implica na redução dos
custos computacionais já citados anteriormente. No entanto, um ponto importante do
Método da Perturbação deve ser ressaltado: uma vez que a expansão da série de Taylor
é feita em torno dos valores centrais dos parâmetros da onda (𝐻𝑆 = ℎ𝑆, 𝑇𝑍 = 𝑡𝑧), quando
trata-se da análise de fadiga para vários pontos de uma mesma estrutura, a análise de
fadiga pode ser feita para todos os pontos da estrutura com as mesmas análises
estruturais de curto-prazo.
4.2. Método da Redução da Dimensão
O Método da Redução da Dimensão (Giraldo, 2014) é aplicável para uma
integral dupla de uma função 𝑔(𝑥, 𝑦) cujo domínio de integração é simétrico e igual
(por exemplo, o domínio é [−𝑎,+𝑎] para ambas as variáveis x e y). O método propõe
uma aproximação da função 𝑔(𝑥, 𝑦) a partir de uma decomposição aditiva em torno do
ponto 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0. Neste caso:
𝑔(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 0) + 𝑔(0, 𝑦) − 𝑔(0,0) (4.2.1)
Tendo em conta a simetria dos domínios de integração e comparando o
resultado das integrações tanto para a expansão completa da série de Taylor quanto
18
para a decomposição aditiva, percebe-se que a diferença entre eles é um termo de
quarta ordem (Rahman and Xu, 2004) , i.e.,
𝐼[𝑔(𝑥, 𝑦)] − 𝐼[𝑔(𝑥, 𝑦)] =1
4![𝜕4𝑔(0,0)
𝜕𝑥2𝜕𝑦2∫ ∫ 𝑥2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
+𝑎
−𝑎
+𝑎
−𝑎
+ ⋯] (4.2.2)
Isto mostra que a decomposição aditiva pode ser uma boa aproximação para a
função original. No caso de uma integral dupla envolvendo uma função densidade de
probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias estatisticamente independentes,
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦), tem-se
𝐼 = ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
+∞
−∞
+∞
−∞
(4.2.3)
ou
𝐼 = ∫ ∫ [𝑔(𝑥, 0) + 𝑔(0, 𝑦) − 𝑔(0,0)]𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
+∞
−∞
+∞
−∞
ou
𝐼 = ∫ 𝑔(𝑥, 0)
+∞
−∞
𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(0, 𝑦)𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑦 − 𝑔(0,0)+∞
−∞
Portanto, utilizando a decomposição aditiva e considerando as variáveis
estatisticamente independentes, a solução seria simplesmente a resolução de duas
integrais simples (unidimensionais). No entanto, isso não pode ser diretamente aplicado
para o cálculo de fadiga uma vez que os parâmetros 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍 são usualmente
estatisticamente dependentes, e seus domínios de integração são assimétricos. No
entanto, como será visto a seguir, o dano por fadiga pode ser calculado com o auxílio
de algumas transformações probabilísticas.
19
Tem-se que a função densidade de probabilidades conjunta é usualmente dada
por
𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = 𝑓𝐻𝑠
(ℎ𝑠)𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) (4.2.4)
em que 𝑓𝐻𝑠(ℎ𝑠) é a função densidade de probabilidades marginal de 𝐻𝑆 e 𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠
(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) é
a função densidade de probabilidades condicional de 𝑇𝑍 dado um valor de 𝐻𝑆. Aplicando-
se agora a chamada Transformada de Rosemblatt, é possível obter duas variáveis
normais padrão 𝑈1 e 𝑈2 equivalentes através das seguintes equações (Giraldo, 2014):
𝑢1(ℎ𝑠) = Φ−1[𝐹𝐻𝑠(ℎ𝑠)]
𝑢2(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = Φ−1[𝐹𝑇𝑧|𝐻𝑠(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)]
(4.2.5)
em que Φ−1( ) é a inversa de uma função de distribuição acumulada de probabilidades
dada uma variável aleatória gaussiana (média igual a 0 e desvio padrão igual a 1). A
distribuição de probabilidade conjunta de 𝑈1 e 𝑈2 é uma distribuição simétrica em torno
da origem e é dada por
𝑓𝑈1,𝑈2(𝑢1, 𝑢2) = 𝜙(𝑢1)𝜙(𝑢2) (4.2.6)
sendo
𝜙(𝑢) =1
√2𝜋𝑒𝑥𝑝 (−
𝑢2
2) (4.2.7)
Assim sendo, com as transformações acima é possível escrever a integral
dupla para estimativa do dano de longo-prazo no espaço das variáveis 𝑈1 e 𝑈2, i.e.,
𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∫ ∫ 𝑑(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)+∞
−∞
+∞
−∞
𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧
= ∫ ∫ 𝑑′(𝑢1
+∞
−∞
, 𝑢2)𝜙(𝑢1)𝜙(𝑢2)𝑑𝑢1
+∞
−∞
𝑑𝑢2
(4.2.8)
20
sendo
𝑑′(𝑢1, 𝑢2) = 𝑑[ℎ𝑠(𝑢1), 𝑡𝑧(𝑢1, 𝑢2)] (4.2.9)
Aplicando-se o conceito de decomposição aditiva tem-se, enfim, que o dano
anual por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão é dado por
𝐷1−𝑦𝑟 = 2920 [∫ 𝑑′(𝑢1
+∞
−∞
, 0)𝜙(𝑢1)𝑑𝑢1 + ∫ 𝑑′(0+∞
−∞
, 𝑢2)𝜙(𝑢2)𝑑𝑢2
− 𝑑′(0,0)]
(4.2.10)
Percebe-se que, como foi explicado interiormente, este método faz com que seja
necessária apenas a resolução de duas integrais unidimensionais. Neste trabalho,
foram usados dois métodos de Quadratura Gaussiana distintos para resolver
numericamente essas integrais, a Quadratura de Gauss-Legendre e a Quadratura de
Gauss-Hermite. Os mesmos serão descritos mais adiante.
Assim como no Método da Perturbação, a grande vantagem do Método da
Redução da Dimensão é a necessidade de análise de poucos estados de mar em
comparação à integração direta, o que implica na redução dos custos computacionais,
uma das motivações para a utilização desses métodos como já foi citado em outras
oportunidades. As análises estruturais são, assim como no Método da Perturbação,
válidas para vários pontos de uma mesma estrutura.
4.2.1. Quadraturas Gaussianas
Como visto anteriormente, a parte final do Método da Redução da Dimensão
para o cálculo de fadiga probabilística se dá pelo cálculo de duas integrais simples que
podem ser feitas numericamente a partir do Método da Quadratura Gaussiana.
A ideia básica de uma Quadratura baseia-se, inicialmente, na estratégia de
aproximar a função 𝑓(𝑥) a ser integrada no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 por uma outra função
𝑃(𝑥), em geral um polinômio ortogonal. A partir disso, a fórmula de uma quadratura pode
ser definida como um somatório da multiplicação dos valores encontrados para a função
aplicada em cada ponto de integração, contidos no domínio 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, por pesos 𝜔𝑖 que
são obtidos por resultados relacionados aos polinômios, simplificando assim o cálculo.
A fórmula geral está exposta a seguir:
21
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
∑𝜔𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(4.2.11)
Detalhes mais específicos sobre o método da quadratura Gaussiana podem ser
obtidos em (Vaz, 2011). Como na avaliação das integrais da Eq. (4.2.10) cada ponto de
integração significa uma análise estrutural, um ponto importante investigado é com
relação a quantidade mínima de pontos de integração necessários para a garantia da
precisão dos resultados em comparação a integração direta.
Existem vários modelos de Quadratura, e para cada um deles um polinômio
específico com sua própria fórmula de recorrência que pode vir a ser mais eficaz em
cada tipo de situação. A Quadratura mais comum e amplamente utilizada é a quadratura
de Gauss-Legendre, a qual utiliza o polinômio de Legendre. No entanto, recentemente
vem sendo utilizadas de maneira cada vez mais recorrente outras Quadraturas, como
por exemplo a de Gauss-Hermite, capazes de garantir a mesma precisão utilizando um
menor número de pontos de integração. Neste tarbalho estes dois métodos foram
investigados visando identificar a precisão em cada uma delas e, consequentemente,
em função do número de pontos de integração utilizados.
4.2.1.1. Quadratura de Gauss-Legendre
Conforme citado anteriormente, a resolução de uma integral através de uma
Quadratura-Gaussiana se dá pela aproximação da função por um polinômio ortogonal.
Uma sequência de polinômios ortogonais é definida com uma função peso 𝑤(𝑥) sobre
um intervalo real [𝑎, 𝑏], em que 𝑤(𝑥) ≥ 0 é contínua no intervalo nesse intervalo. Os
diversos modelos de Quadraturas de Gauss estão relacionados aos polinômios
utilizados em cada uma, sendo as principais diferenças entre essas os intervalos de
integração e a função peso de cada uma. Em uma Quadratura de Gauss-Legendre, o
intervalo de integração é [−1, 1] enquanto a função peso é igual a 𝑤(𝑥) = 1. Sendo
assim, a quadratura de Gauss-Legendre é representada por:
∫ 𝑓(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−1
∑𝜔𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(4.2.12)
em que 𝜔𝑖 , 𝑥𝑖 e 𝑓(𝑥𝑖) são, respectivamente, os pesos, os pontos de integração da
quadratura de Gauss-Legendre e os valores da função em cada um dos pontos de
22
integração. Os pesos e pontos de integração desta quadratura são definidos em (VAZ,
2011). Neste trabalho, foram testados n = 5, 7, 9, 11, 13 e 15 pontos de integração de
forma a se identificar quantos seriam necessários para garantir a precisão desta técnica
de integração. As Tabelas 1 e 2 abaixo apresentam os correspondentes pontos de
integração e seus pesos.
n = 5 n = 7 n = 9
𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖
-0.90618 0.23693 -0.94911 0.12948 -0.96816 0.08127
-0.53847 0.47863 -0.74153 0.27971 -0.83603 0.18065
0.00000 0.56889 -0.40585 0.38183 -0.61337 0.26061
0.53847 0.47863 0.00000 0.41796 -0.32425 0.31235
0.90618 0.23693 0.40585 0.38183 0.00000 0.33024
0.74153 0.27971 0.32425 0.31235
0.94911 0.12948 0.61337 0.26061
0.83603 0.18065
0.96816 0.08127
Tabela 1: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 5, 7 e 9)
n = 11 n = 13 n = 15
𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖
-0.97823 0.05567 -0.98418 0.04048 -0.98799 0.03075
-0.88706 0.12558 -0.91760 0.09212 -0.93727 0.07037
-0.73015 0.18629 -0.80158 0.13887 -0.84821 0.10716
-0.51910 0.23319 -0.64235 0.17815 -0.72442 0.13957
-0.26954 0.26280 -0.44849 0.20782 -0.57097 0.16627
0.00000 0.27293 -0.23046 0.22628 -0.39415 0.18616
0.26954 0.26280 0.00000 0.23255 -0.20119 0.19843
0.51910 0.23319 0.23046 0.22628 0.00000 0.20258
0.73015 0.18629 0.44849 0.20782 0.20119 0.19843
0.88706 0.12558 0.64235 0.17815 0.39415 0.18616
0.97823 0.05567 0.80158 0.13887 0.57097 0.16627
0.91760 0.09212 0.72442 0.13957
0.98418 0.04048 0.84821 0.10716
0.93727 0.07037
0.98799 0.03075
Tabela 2: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 11, 13 e 15)
É interessante observar que a (Eq. 4.2.10) está definida no intervalo de
[−∞,+∞]. Como a aplicação da quadratura de Gauss-Legendre está limitada ao
intervalo [−1,1], faz-se necessária uma tranformação de variáveis para um domínio
[𝑎, 𝑏] genérico. Supondo, genericamente, que a variável u esteja definida no intervalo
de integração [𝑎, 𝑏], tem-se as seguintes relações entre os termos u e x:
23
𝑢(𝑥) =1
2(𝑎 + 𝑏 + 𝑥𝐿) (4.2.13)
𝑥(𝑢) =2𝑢 − 𝑎 − 𝑏
𝐿 (4.2.14)
onde 𝐿 = 𝑏 − 𝑎. Desta forma a integral
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑏
𝑎
(4.2.15)
pode ser expressa por
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑏
𝑎
≈ ∑𝜔𝑖𝑓(𝑢(𝑥𝑖)) 𝐿
2
𝑛
𝑖=1
(4.2.16)
Adicionalmente, é interessante observar que apesar de a (Eq. 4.2.10) estar
definida no intervalo de [−∞,+∞], a distribuição normal padrão assume valores muito
pequenos para valores da ordem de 5 a 6 vezes o desvio padrão. Assim, no presente
projeto, o domínio [−∞,+∞] foi substituído por [−5, 5].
4.2.1.2. Quadratura de Gauss-Hermite
Como explicado anteriormente, as diferenças entre as Quadraturas existentes
estão no intervalo de integração e na função peso utilizados por cada uma delas.
Diferentemente da Quadratura de Gauss-Legendre, na Quadratura de Gauss-Hermite o
intervalo de integração é [−∞,+∞], enquanto a função peso utilizada é igual a 𝑤(𝑥) =
𝑒−𝑥2. Portanto, chega-se a seguinte expressão:
∫ 𝑓(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎
∫ 𝑒−𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∞
−∞
∑𝜔𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(4.2.17)
Em relação ao método anterior, o que varia são os pesos e as coordenadas dos
pontos de integração. Os pesos e pontos de integração desta quadratura são definidos
em (VAZ, 2011). As Tabelas 3 e 4 apresentam os pesos e as coordenadas dos pontos
24
de integração da Quadratura de Gauss-Hermite para os mesmos números de pontos
definidos para a Quadratura anterior.
n = 5 n = 7 n = 9
𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖
-2.02018 1.18149 -2.65196 1.10133 -3.19099 1.04700
-0.95857 0.98658 -1.67355 0.89718 -2.26658 0.84175
0.00000 0.94531 -0.81629 0.82869 -1.46855 0.76461
0.95857 0.98658 0.00000 0.81026 -0.72355 0.73030
2.02018 1.18149 0.81629 0.82869 0.00000 0.72024
1.67355 0.89718 0.72355 0.73030
2.65196 1.10133 1.46855 0.76461
2.26658 0.84175
3.19099 1.04700
Tabela 3: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 5, 7 e 9)
n = 11 n = 13 n = 15
𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 -3.66847 1.00653 -4.10134 0.97458 -4.49999 0.94837
-2.78329 0.80252 -3.24661 0.77258 -3.66995 0.74861
-2.02595 0.72195 -2.51974 0.69062 -2.96717 0.66617
-1.32656 0.68121 -1.85311 0.64676 -2.32573 0.62066
-0.65681 0.66096 -1.22006 0.62172 -1.71999 0.59303
0.00000 0.65476 -0.60576 0.60853 -1.13612 0.57619
0.65681 0.66096 0.00000 0.60439 -0.56507 0.56702
1.32656 0.68121 0.60576 0.60853 0.00000 0.56410
2.02595 0.72195 1.22006 0.62172 0.56507 0.56702
2.78329 0.80252 1.85311 0.64676 1.13612 0.57619
3.66847 1.00653 2.51974 0.69062 1.71999 0.59303
3.24661 0.77258 2.32573 0.62066
4.10134 0.97458 2.96717 0.66617
3.66995 0.74861
4.49999 0.94837
Tabela 4: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 11, 13 e 15)
Deve-se ressaltar que no cálculo da integral do dano os limites de integração são
justamente −∞ e +∞, os mesmos do intervalo da Quadratura de Gauss-Hermite. Dessa
forma não faz-se necessária uma mudança de variáveis, tornando portanto ainda mais
relevante a aplicação desse modelo de Quadratura.
25
Durante o cálculo dos somatórios do dano através da Quadratura de Gauss-
Hermite, repetiu-se a quantidade de pontos de integração já testados na Quadratura de
Gauss-Legendre de forma a permitir a comparação entre os resultados obtidos.
Ao longo deste trabalho, serão utilizadas ambas as Quadraturas para
determinação do dano por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão. Ao final, será
feita uma análise quanto a quantidade de pontos de integração necessários para obter-
se uma boa precisão em comparação aos resultados obtidos por integração direta.
26
5. Estudos de Caso
Os métodos para análise eficiente de fadiga descritos anteriormente foram
utilizados no estudos de 2 exemplos distintos: um caso para um RAO de tensões
acadêmico e o outro para um riser metálico do tipo RSAA (Risers Suspended and
Anchored by Moorings). Para cálculo da fadiga foram considerados os métodos de
Rayleigh, Wirshing e Dirlik descritos na Seção 3. Todos as análises foram realizadas
com o auxilio da ferramenta computacional Mathcad.
Nos dois exemplos foi utilizada a mesma distribuição conjunta dos parâmetros
ambientais Hs e Tz, descrita na próxima seção, e o espectro do mar foi sempre
modelado pelo espectro de Pierson-Moskovitz (veja Eq. (2.1)). A metodologia e
parâmetros utilizados nos estudos de caso realizados serão detalhados a seguir.
5.1. Distribuição Conjunta de Hs e Tz
Como mostrado na seção 3.1, o cálculo do dano anual por fadiga depende da
distribuição conjunta de probabilidade dos parâmetros 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧. Para os dois exemplos
analisados neste trabalho, essa distribuição conjunta, 𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ, 𝑡) = 𝑓𝐻𝑠(ℎ)𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(𝑡, ℎ), foi
assumida como sendo representada por uma distribuição lognormal para 𝐻𝑠 e uma
lognormal para 𝑇𝑧 condicionada a valores de 𝐻𝑠 conforme descritas a seguir:
Hs – Lognormal
𝜆 = 1,5 𝛼 = 2,7
𝑓𝐻𝑠(ℎ) =𝜆
𝛼(ℎ
𝛼)
𝜆−1𝑒𝑥𝑝 [− (
ℎ
𝛼)
𝜆] 𝐹𝐻𝑠(ℎ) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 [−(
ℎ
𝛼)
𝜆]
(5.1.1)
27
Tz – Lognormal condicionada à Hs
𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(𝑡, ℎ) =1
𝑡 𝜉𝑇𝑧(ℎ)√2𝜋𝑒𝑥𝑝 [
−1
2(ln(𝑡) − 𝜆𝑇𝑧(ℎ)
𝜉𝑇𝑧(ℎ))
2
]
𝐹𝑇𝑧𝐻𝑠(𝑡, ℎ) = Φ(ln(𝑡) − 𝜆𝑇𝑧(ℎ)
𝜉𝑇𝑧(ℎ))
(5.1.2)
em que
𝜆𝑇𝑧(ℎ) = 𝑎1 + 𝑎2. ℎ𝑎3 𝜉𝑇𝑧(ℎ) = 𝑏1 + 𝑏2. exp (−𝑏3. ℎ)
a1 = 0,97 a2 = 0,90 a3 = 0,25 b1 = 0,005 b2 = 0,120 b3 = 0,05
5.2. Modelo Teórico
Neste primeiro exemplo foi assumido um modelo teórico para o RAO de tensões
que será descrito mais adiante. Por ser um modelo bastante simples, porém guardando
alguma semelhança com estrututas reais, ele foi utilizado com intuito de fazer os testes
inicias e também algumas variações de parâmetros e modelos de Quadraturas
Gaussianas para verificar a versatilidade da técnica de Redução de Dimensão.
5.2.1. RAO de Tensões
O RAO de tensões utilizado neste primeiro exemplo, o qual é utilizado
juntamente ao espectro de elevação do mar conforme a Eq. (2.5) para obter-se o
espectro de tensões 𝑆𝑠(𝜔), foi definido matematicamente através da seguinte
expressão:
𝑅𝐴𝑂(𝜔) =1
√[1 − (𝜔𝜔𝑛
)2]2
+ (2𝜉𝜔𝜔𝑛
)
(5.1.3)
onde 𝜉 = 0,052 e 𝜔𝑛 é a frequência natural de uma estrutura hipotética que será variada
nas análises numéricas. Para os cálculos foram utilizados os parâmetros experimentais
𝑚 = 3,3 e 𝐾 = 15𝑥1010 para a curva S-N.
28
5.2.2. Verificação do número de pontos de integração
necessários para a aplicação das Quadraturas
Antes de verificar os resultados e a aplicabilidade dos métodos, foi necessário
determinar o número de pontos de integração a serem utilizados para cada uma das
quadraturas descritas na seção 4.2.1 para a resolução das integrais pelo Método da
Redução da Dimensão (seção 4.2) de forma a garantir sua precisão.
Para tal, estipulou-se que a frequência natural para este teste seria igual a 𝜔𝑛 =
1,2 para todos os casos cujos resultados estão expressos a seguir. Além disso, foram
utilizados os parâmetros de integração apresentados na Tabela 5 para os cálculos por
integração direta da equação do dano.
Parâmetro de Integração
𝐻𝑠𝑚𝑖𝑛 (m) 0.2
𝐻𝑠𝑚𝑎𝑥 (m) 22
𝑇𝑧𝑚𝑖𝑛 (s) 0.4
𝑇𝑧𝑚𝑎𝑥 (s) 25
𝑁ℎ𝑠 151
𝑁𝑡𝑧 151
Tabela 5: Parâmetros de integração direta da equação do dano
As Figuras 7 a 9 ilustram os resultados obtidos utilizando a Quadratura de
Gauss-Legendre. Foram testados de 5 a 15 pontos de integração para a determinação
da discrepância entre o dano total por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão e
por Integração Direta. Assim, tornou-se possível determinar a precisão do método
alternativo em função do número de pontos utilizados.
29
Figura 7: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.
Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
Figura 8: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
-25
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0
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5 7 9 11 13 15
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Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Legendre x Integração Direta
(Dano Total pelo Método de Rayleigh)
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Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Legendre x Integração Direta
(Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)
30
Figura 9: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.
Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
Segundo os resultados expostos nestas figuras (fig. 7, 8 e 9), detectou-se que o
o resultado tornou-se constante a partir de 11 pontos de integração, para qualquer um
dos 3 métodos de cálculo de vida a fadiga (Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik).
Sendo assim, conclui-se que a utilização do Método da Redução da Dimensão resolvido
com auxílio da Quadratura de Gauss-Legendre implica na necessidade de utilização de
no mínimo 11 pontos de integração para que a precisão do método esteja garantida.
Nas Figuras 10 a 12, apresentam-se os resultados obtidos quando utilizada a
quadratura de Gauss-Hermite comparando-os aos danos calculados por integração
direta. Para tal, foram realizados os mesmos cálculos e com os mesmos números de
pontos que na Quadratura de Gauss-Legendre (5 a 15 pontos de integração), porém,
com os respectivos valores para pesos e pontos de integração da quadratura de Gauss-
Hermite.
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)
Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Legendre x Integração Direta
(Dano Total pelo Método de Dirlik)
31
Figura 10: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite) vs.
Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
Figura 11: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão (Gauss-
Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
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Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Hermite x Integração Direta
(Dano Total pelo Método de Rayleigh)
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Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Hermite x Integração Direta
(Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)
32
Figura 12: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite) vs.
Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura
Pelos resultados obtidos quando utilizada a Quadratura de Gauss-Hermite, nota-
se que as discrepâncias entre os danos calculados pelo Método da Redução da
Dimensão e por Integração Direta tornam-se constantes a partir de 7 pontos de
integração utilizados. Sendo assim, pode-se concluir que a precisão do Método da
Redução da Dimensão está garantida com esse número de pontos de integração
quando calculada com auxílio de uma Quadradura de Gauss-Hermite.
Comparativamente a Quadratura de Gauss-Legendre, fez-se necessária a
utilização de 11 pontos de integração a menos para atingir a precisão, o que resulta em
um cálculo mais eficaz e rápido e fornece a economia computacional desejada.
Levando-se em conta que o cálculo se baseia na resolução de duas integrais
unidimensionais com um ponto de integração em comum, são necessárias 21 e 13
análises estruturais (estados de mar), respectivamente, para a Quadratura de Gauss-
Legendre e para a Quadratura de Gauss-Hermite.
Dessa forma, é justificado porque recentemente vem sendo cada vez mais
utilizada a Quadratura de Gauss-Hermite para resolver numericamente as integrais
necessárias no Método da Redução da Dimensão.
-25
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Número de Pontos de Integração da Quadratura
Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Hermite x Integração Direta
(Dano Total pelo Método de Dirlik)
33
5.2.3. Análises com o Modelo Teórico
Uma vez determinados os números de pontos de integração que garantem a
precisão do Método da Redução da Dimensão, pôde-se enfim realizar os cálculos para
analisar a eficiência tanto desse método quanto o da Perturbação. Para os cálculos
cujos resultados serão expostos a seguir, foi utilizada a quadratura de Gauss-Legendre
(com 11 pontos de integração) para o Método da Redução da Dimensão.
A distribuição conjunta de 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧 e o RAO de tensões utilizados estão descritos
nas seções 5.1.1 e 5.2.2. No entanto, enquanto que na verificação da quantidade de
pontos de integração necessários (seção 5.1.3) manteve-se a frequência natural
constante em 𝜔𝑛 = 1.2, para a determinação da eficiência dos métodos da Perturbação
e Redução da Dimensão a mesma foi variada em 𝜔𝑛 = 0.5, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75,
2.00 e de forma a verificar os resultados dos vários métodos investigados para várias
situações de comportamento dinâmico estrutural. Os parâmetros de integração a serem
utilizados na integração direta (força bruta) da equação do dano estão descritos na
Tabela 6.
Parâmetro de Integração
𝐻𝑠𝑚𝑖𝑛 (m) 0.2
𝐻𝑠𝑚𝑎𝑥 (m) 22
𝑇𝑧𝑚𝑖𝑛 (s) 0.4
𝑇𝑧𝑚𝑎𝑥 (s) 25
𝑁ℎ𝑠 151
𝑁𝑡𝑧 151
Tabela 6: Parâmetros de integração direta da equação do dano
As Figuras 13 e 14 mostram as diferenças percentuais relativas encontradas
para o dano anual de fadiga calculado pelo Método de Rayleigh em comparação a
integração direta com os métodos da Perturbação e da Redução de Dimensão,
respectivamente. As Figuras 15 e 16 ilustram os correspondentes resultados para o
método de Wirshing e as Figuras 17 e 18 para o método de Dirlik. Os resultados estão
apresentados em função das diferentes frequências naturais 𝜔𝑛, conforme descrito a
seguir:
34
Figura 13: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Método da Perturbação vs. Integração Direta
Figura 14: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.
Integração Direta
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0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif
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Frequência (ωn)
Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Rayleigh)
-10
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-4
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0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif
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)
Frequência (ωn)
Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Rayleigh)
35
Nas Figuras 13 e 14, pode-se visualizar os resultados comparativos com a
integração direta feita pelo método de Rayleigh. É perceptível que as discrepâncias não
são muito significativas entre os resultados obtidos pela técnica de Redução de
Dimensão e da Perturbação, com ambos os métodos produzindo resultados próximos
ao da integração direta. Apenas para a frequência natural igual a 0,5 que se obteve um
resultado superior a 10% de diferença entre os danos de obtidos por integração direta
e aquele calculado pelo método da Perturbação.
Figura 15: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Método da Perturbação vs.
Integração Direta
-10
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-6
-4
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0
2
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0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif
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Frequência (ωn)
Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)
36
Figura 16: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta
Nas Figuras 15 e 16, que indicam os resultados aplicando-se o método da
Correção de Wirshing para o cálculo do dano, é possível perceber que para a técnica
de Redução de Dimensão as discrepâncias foram muito pequenas, uma vez que seus
valores em grande parte se mantiveram abaixo da casa dos 5%.
-10
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-2
0
2
4
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0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif
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)
Frequência (ωn)
Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)
37
Figura 17: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Método da Perturbação vs. Integração Direta
Figura 18: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.
Integração Direta
Os resultados apresentados nas Figuras 17 e 18, que comparam os resultados
para o Método de Dirlik, mostram mais uma vez que tanto método da Perturbação
quanto a técnica de Redução de Dimensão apresentam resultados razoáveis com muito
menos análises de estados de mar individuais. Analisando os gráficos, percebe-se que
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
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0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif
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)
Frequência (ωn)
Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Dirlik)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞
(Mét
od
o -
Int.
Dir
eta)
/ In
t. D
iret
a (%
)
Frequência (ωn)
Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Dirlik)
38
a precisão de cada um dos métodos variou em função da frequência natural 𝜔𝑛 aplicada.
Em geral, enquanto pelo Método da Perturbação obteve-se resultados menos
discrepantes para as frequências intermediárias (𝜔𝑛 = 0,75 𝑎 2,5), o Método da
Redução da Dimensão foi quem apresentou resultados mais precisos para as
frequências extremas (𝜔𝑛 = 0,50 𝑒 ). No entanto, os resultados obtidos para ambos os
métodos foram satisfatórios, visto que a discrepância ficou abaixo dos 5% na maior parte
dos casos apesar de ter atingido cerca de 10% em alguns deles.
Os quadros expostos nas tabelas de 7 a 9 apresentam os danos totais
determinados por Integração Direta a partir dos Métodos de Rayleigh, Correção de
Wirshing e Dirlik, respectivamente, e a discrepância quando comparados com os
Métodos Alternativos. Nos quadros estão resumidos os resultados obtidos e o número
de análises estruturais necessárias para cada caso:
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dadas as frequências
(𝝎𝒏) utilizadas
Número de análises
estruturais necessárias 0,5
Disc. (%)
1,25 Disc. (%)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,0525 0,00 0,0058 0,00 0,0006 0,00 22801
Perturbação 0,0577 9,84 0,0059 2,11 0,0056 -6,74 9
Redução da dimensão
0,0566 7,84 0,0056 -3,93 0,0062 3,37 21
Tabela 7: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Rayleigh
39
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dadas as frequências
(𝝎𝒏) utilizadas
Número de análises
estruturais necessárias 0,5
Disc. (%)
1,25 Disc. (%)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,0479 0,00 0,0049 0,00 0,00050 0,00 22801
Perturbação 0,0529 10,48 0,0050 2,47 0,00046 -7,74 9
Redução da dimensão
0,0508 5,99 0,0047 -3,61 0,00051 2,20 21
Tabela 8: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método da Correção de
Wirshing
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dadas as frequências
(𝝎𝒏) utilizadas
Número de análises
estruturais necessárias 0,5
Disc. (%)
1,25 Disc. (%)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,0519 0,00 0,0053 0,00 0,00060 0,00 22801
Perturbação 0,0572 10,15 0,0051 -4,53 0,00055 -8,17 9
Redução da dimensão
0,0550 6,03 0,0054 2,08 0,00061 1,97 21
Tabela 9: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Dirlik
Como ilustrado na tabela 6 adotou-se para esse modelo 𝑁ℎ𝑠 = 𝑁𝑡𝑧 = 151,
sendo assim necessários 151 𝑥 151 = 22.801 pontos de análise para o cálculo de
Fadiga por Integração Direta. Enquanto isso, conforme já indicado nas seções 4.2 e
5.2.2, os Métodos da Perturbação e Redução da Dimensão resolvido a partir da
Quadratura de Gauss-Legendre demandam, respectivamente, 9 e 21 análises
estruturais para atingirem uma precisão satisfatória. Neste primeiro exemplo constata-
se, portanto, que o métodos alternativos (Perturbação e Redução de Dimensão) são
alternativas interessantes a serem utilizadas na análise de fadiga. Esses métodos
apresentam resultados com uma precisão razoável e demandam a análise de um
40
número muito menor de estados de mar, implicando consequentemente na redução dos
custos computacionais em comparação aos métodos tradicionais e atingindo aquele que
é um dos objetivos iniciais do projeto.
5.3. Riser Metálico Suspenso e Ancorado por
Amarras (RSAA)
Chama-se de riser o trecho suspenso do duto que conecta a unidade de
exploração e produção a um equipamento no fundo do leito marinho. O riser
desempenha um papel fundamental dentro do sistema de exploração e produção,
devendo-se garantir sua integridade e confiabilidade em suas diferentes aplicações
(SILVA, 2011).
Os risers são tidos como um dos componentes mais críticos no desenvolvimento
de uma Estrutura Offshore, tendo em vista as cargas dinâmicas e ambientais às quais
estão submetidos. Sendo assim, a análise do modelo real será feita sobre um Riser
Suspenso e Ancorado por Amarras, ou RSAA, que é um riser composto por um trecho
vertical metálico conectado ao fundo do mar por um riser flexível, como ilustra a Figura
19. O comportamento estrutural do trecho metálico pode ser obtido por uma metodologia
analítica descrita em PEREIRA (2011). Nesta referência é apresentada a formulação
que permite obter diretamente o espectro de tensões em qualquer ponto 𝑥 ao longo do
tubo metálico, sendo este cálculo dado por
𝑆𝜎(𝑥, 𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = (
𝑚𝑐𝜔
𝐴)2
{[𝐵1(𝜔)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑥
𝑐) − 𝑠𝑒𝑛 (
𝜔𝑥
𝑐)]
2
− [𝐵2(𝜔)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑥
𝑐)]
2
} [𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒(𝜔)]2𝑆𝜂(𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) (5.1.3)
em que a celeridade c é definida por
𝑐 = √𝐸𝐴
𝑚 (5.1.4)
41
com a área A sendo igual a área da seção transversal do riser, dada por
𝐴 = 𝜋
4(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2) (5.1.5)
sendo 𝐷𝑒 e 𝐷𝑖 os diâmetros externo e interno do tubo, respectivamente. Os termos
𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒(𝜔) e 𝑆𝜂(𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) correspondem ao RAO do movimento de heave da
embarcação no ponto de conexão do riser e o espectro das elevações do mar,
respectivamente. Os demais termos da equação acima, tais como os parâmetros B1 e
B2, os quais dependem das propriedades equivalentes do riser flexível e da amarra
(Tabelas 10 a 13), podem ser vistos em GIRALDO (2014).
Para o presente caso de estudo foram adotadas as propriedades físicas e
geométricas descritas nas Tabelas 10 a 13 para os diversos componentes do RSAA. O
RAO de heave da embarcação no ponto de conexão é ilustrado na Figura 20.
O dano por fadiga foi calculado para 30 pontos equidistantes ao longo do tubo
metálico, sendo que o primeiro ponto (1) corresponde ao topo do riser e o último (30) ao
ponto de conexão com o riser flexível (vide Figura 19).
ORIGINAL EQUIVALENTE
Figura 19: Respresentação Esquemática do RSAA
42
Comprimento (L) 2028m
Diâmetros (De e Di) 219mm e 161,8mm
CM, CD 3, 2
Módulo de Elasticidade (Eriser) 207 Gpa
Peso Específico (𝛾𝑎ç𝑜) 77 kN/m3
Massa por Unidade de Comprimento (mriser)
146,85 kg/m
Celeridade (c) 4910,6 m/s
Tabela 10: Principais propriedades do Riser Vertical
Comprimento (L) 346 m
Diâmetros (De e Di) 280mm e 203,2mm
CM, CD 2, 1.2
Pesos 1,049kN/m (vazio seco) e 0,439kN/m (vazio na água)
EA, EI, GJ 360000kN, 30,65kN.m2, 3200kN.m2/rad
Ângulo de Topo 7°
Azimute 90°
Tabela 11: Principais propriedades do Riser Flexível
Comprimento (L) 330
CM, CD 2, 1,2
Pesos 1,51kN/m (vazio seco) e 1,32kN/m (vazio na água)
EA 621000kN
Ângulo de Topo 3°
Azimute 270°
Tabela 12: Principais propriedades da Amarra
Mconjunto 32218,3 kg
Kconjunto 3,384 kN/m
λb(aço) 1044,1 kg/s (5%)
Tabela 13: Propriedades equivalentes (Conjunto amarra + flexível)
43
Figura 20: RAO de Heave do RSAA
5.3.1. Resultados do Modelo do Riser Metálico (RSAA)
Os métodos alternativos descritos no capítulo 4 foram utilizados para obter o
dano total por fadiga e a vida útil da estrutura, sendo esses também determinados
atrabés da integração direta de forma a permitir a comparação entre os resultados
obtidos. Deve-se ressaltar que a distribuição conjunta de 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧 utilizada para o modelo
do RSAA foi a mesma aplicada no exemplo teórico, a qual está descrita na seção 5.1.1.
Já os parâmetros de integração utilizados na integração direta (força bruta) da equação
do dano estão descritos na Tabela 14 a seguir:
Parâmetro de Integração
𝐻𝑠𝑚𝑖𝑛 (m) 0.15
𝐻𝑠𝑚𝑎𝑥 (m) 14
𝑇𝑧𝑚𝑖𝑛 (s) 0.15
𝑇𝑧𝑚𝑎𝑥 (s) 20
𝑁ℎ𝑠 50
𝑁𝑡𝑧 35
Tabela 14: Parâmetros de integração direta da equação do dano
Além disso, assim como foi feito no exemplo teórico, as integrais simples cujo
cálculo é necessário para a determinação do dano pelo Método da Redução da
Dimensão foram calculadas através da quadratura de Gauss-Legendre, para a qual fez-
44
se necessária a utilização de 11 pontos de integração de forma a se garantir a precisão,
conforme explicado no item 5.1.3.
Sendo assim, após a realização dos cálculos com auxílio da ferramenta
Mathcad aplicada para todos os métodos descritos ao longo do presente trabalho,
foram obtidos os resultados que estão representados nas figuras 21 a 26. Nesses
gráficos está representada a diferença relativa entre o dano e a vida útil calculada por
Integração Direta e pelos Métodos Alternativos em função dos 30 pontos equidistantes
analisados no riser metálico, como pode ser visto a seguir:
Figura 21: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)
Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método de Rayleigh
(Redução da Dimensão x Integração Direta)Dano Total
Vida Útil
45
Figura 22: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Perturbação vs. Integração Direta
As figuras 21 e 22 ilustram os resultados obtidos considerando o cálcluo de
fadiga pelo método de Rayleigh. Nestes gráficos percebe-se que o método da
Perturbação foi quem apresentou resultados mais precisos. Pode-se observar também
que as discrepâncias tiveram valores próximos ao longo de todos os pontos do riser. No
entanto, a principal conclusão foi a de que as diferenças percentuais encontradas foram
pequenas, não chegando em 8% em nenhum dos casos, o que representa um resultado
bastante satisfatório.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo
Método de Rayleigh (Perturbação x Integração Direta)
Dano Total
Vida Útil
46
Figura 23: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão
(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta
Figura 24: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Perturbação (Gauss-
Legendre) vs. Integração Direta
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo
Método da Correção de Wirshing (Redução da Dimensão x Integração Direta) Dano Total
Vida Útil
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)
Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método da Correção de Wirshing (Perturbação x Integração Direta)
Dano Total
Vida Útil
47
Nas Figuras 23 e 24 são apresentados os correspondentes resultados quando é
utilizado o Método da Correção de Wirshing para cálculo de fadiga. Observa-se que os
resultados obtidos foram muito similares aos obtidos pelo Método de Rayleigh.
Consequentemente, as observações feitas acima são também aplicáveis a este caso.
Figura 25: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)
vs. Integração Direta
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)
Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método de Dirlik
(Redução da Dimensão x Integração Direta)Dano Total
Vida Útil
48
Figura 26: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Perturbação vs. Integração Direta
As figuras 25 e 26 apresentam os resultados obtidos quando aplicado o Método
de Dirlik no cálculo de fadiga. Observa-se mais uma vez um comportamento muito
similar ao dos casos descritos anteriormente.
Feita a análise de todos os gráficos, foram elaborados os quadros expostos nas
tabelas de 15 a 17 a seguir, que contém os danos totais para o RSAA determinados por
Integração Direta a partir dos Métodos de Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik,
respectivamente, e a discrepância quando comparados com os Métodos Alternativos.
Os quadros resumem os resultados obtidos e o número de análises estruturais
necessárias para cada caso:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dif
eren
ça R
elat
iva
entr
e o
s M
éto
do
s (%
)Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo
Método de Dirlik(Perturbação x Integração Direta)
Dano Total
Vida Útil
49
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dados os pontos do Riser Número de análises
estruturais necessárias
Ponto superior
(i = 1)
Disc. (%)
Ponto central (i = 15)
Disc. (%)
Ponto inferior (i = 30)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,00690 0,00 0,00142 0,00 4,7x10-6 0,00 1750
Perturbação 0,00704 2,05 0,00145 1,95 4,8x10-6 2,34 9
Redução da dimensão
0,00736 6,63 0,00152 6,81 5,1x10-6 7,37 21
Tabela 15: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Rayleigh
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dados os pontos do Riser Número de análises
estruturais necessárias
Ponto superior
(i = 1)
Disc. (%)
Ponto central (i = 15)
Disc. (%)
Ponto inferior (i = 30)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,00576 0,00 0,00119 0,00 4,0x10-6 0,00 1750
Perturbação 0,00588 2,04 0,00121 1,94 4,1x10-6 2,32 9
Redução da dimensão
0,00614 6,61 0,00127 6,79 4,3x10-6 7,32 21
Tabela 16: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método da Correção de Wirshing
50
Métodos de Análise de
Fadiga
Danos e discrepâncias dados os pontos do Riser Número de análises
estruturais necessárias
Ponto superior
(i = 1)
Disc. (%)
Ponto central (i = 15)
Disc. (%)
Ponto inferior (i = 30)
Disc. (%)
Integração direta (força
bruta)
0,00653 0,00 0,00125 0,00 3,8x10-6 0,00 1750
Perturbação 0,00669 2,44 0,00128 2,16 3,9x10-6 2,83 9
Redução da dimensão
0,00696 6,63 0,00133 6,71 4,1x10-6 7,48 21
Tabela 17: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Dirlik
Como ilustrado na tabela 14 adotou-se para esse modelo 𝑁ℎ𝑠 = 35 e 𝑁𝑡𝑧 = 50,
sendo assim necessária a análise de 35 𝑥 50 = 1.750 estados de mar (análise de curto-
prazo) para o cálculo de fadiga por Integração Direta. Enquanto isso, conforme já
indicado nas seções 4.2 e 5.2.2, os Métodos da Perturbação e Redução da Dimensão
resolvido a partir da Quadratura de Gauss-Legendre demandam, respectivamente, 9 e
21 análises estruturais para atingirem uma precisão satisfatória.
Conclui-se que, pela análise e resultados obtidos deste RSAA utilizando todos o
métodos de cáculo de fadiga investigados ao longo do projeto (Rayleigh, Correção de
Wirshing e Dirlik), foi possível identificar um padrão entre os resultados obtidos uma vez
que todos apresentaram comportamento muito similar. Entre os métodos alternativos
eficientes para integração do dano de fadiga, o Método da Perturbação apresentou
menores discrepâncias com relação a integração direta quando comparadas com as
obtidas pelo Método da Redução da Dimensão. A maior discrepância para o método da
Perturbação foi de aproximadamente 3%, enquanto para a técnica de Redução de
Dimensão a diferença não ultrapassou 8%.
No entanto, mais uma vez a principal questão a ser ressaltada é a diferença no
número de análises estruturais necessárias. Assim como nos resultados do modelo
teórico apresentados na seção 5.2, os métodos alternativos foram capazes de atingir
valores de dano total por fadiga e vida útil da estrutura próximos aos obtidos a partir da
Integração Direta realizando um número muito menor de análises estruturais.
51
6. Conclusões
O avanço acelerado da indústria de extração de petóleo do mar para águas cada
vez mais profundas faz com que os modelos numéricos para cálculo de fadiga em
Estruturas Offshore tornem-se ainda mais complexos. Dito isso e sabendo das
consequências catastróficas que o fenômeno de fadiga pode trazer ao sistema
estrutural, é possível entender o desafio atual da redução dos custos computacionais e
operacionais desse tipo de análise.
No entanto, ao mesmo tempo em que deve-se tornar o cálculo mais simples e
prático, faz-se necessário que a precisão dos resultados seja garantida. O estudo
realizado ao longo deste projeto se deve ao fato de a proposta dos Métodos Alternativos
é justamente minimizar o número de pontos de integração, ou seja, reduzir o número de
análises estruturais para o cálculo do dano, simplificando o processo sem que haja
perda de precisão. Através dos exemplos analisados neste trabalho, percebe-se que os
os métodos para análise de fadiga probabilística investigados (Perturbação e Redução
de Dimensão) podem ser uma alternativa interessante para uma avaliação de fadiga de
uma estrututura marítima a um baixo custo computacional.
Como pode-se perceber a partir dos gráficos apresentados contendo os dados
das comparações feitas, a diferença relativa entre os valores obtidos pela Integração
Direta a partir dos métodos descritos (Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik) e pelos
métodos eficientes foi baixa na grande maioria dos casos. No primeiro estudo de caso
realizado, no qual utilizou-se um RAO de tensões acadêmico, a discrepância ficou
próxima a 5% em quase todas as frequências investigadas. Apesar dessa diferença ter
se aproximado a 10% em alguns poucos casos, em outros a mesma ficou muito próxima
de zero. Já no exemplo do modelo real do RSAA, as discrepâncias mais elevadas
detectadas ficaram na casa dos 7% em todos os pontos do riser, ao passo que os
melhores resultados indicaram diferenças relativas de aproximadamente 2%. Para os
dois exemplos estudados, o Método da Perturbação apresentou resultados um pouco
mais precisos. No entanto, os resultados obtidos pelo Método da Redução da Dimensão
também foram satisfatórios.
Além disso, especificamente para o Método da Redução da Dimensão, fez-se a
análise de dois distintos modelos de Quadratura Gaussiana para o cálculo das integrais
simples do dano total propostas pelo método: a Quadratura de Gauss-Legendre e a
Quadratura de Gauss-Hermite. Observou-se que para a técnica de Gauss-Legendre são
necessários 11 pontos de integração e pela técnica de Gauss-Hermite é necessária a
utilização de 7 pontos. Levando-se em conta que se trata de duas integrais
52
unidimensionais com um ponto de integração em comum, são necessárias 21 e 13
análises estruturais (estados de mar), respectivamente, para a Quadratura de Gauss-
Legendre e para a Quadratura de Gauss-Hermite. Sendo assim verificou-se a
aplicabilidade da Quadratura de Gauss-Hermite, uma vez que sua utilização no Método
da Redução da Dimensão, o qual já buscava a redução dos custos computacionais,
torna o mesmo ainda mais eficaz.
Como já foi exposto, é de vital importância para qualquer estrutura oceânica a
análise do dano por fadiga, e para uma plataforma responsável pela extração de
petróleo essa análise é ainda mais essencial, uma vez que problemas nesse tipo de
estrutura podem não apenas serem prejudiciais à população da região, mas representar
uma catástrofe ambiental. Uma vez que não se perdeu precisão e os cálculos do dano
anual por fadiga e da vida útil da estrutura foram feitos de maneiras rápidas e eficazes
em comparação ao cálculo por integração direta, pode-se afirmar que a utilização dos
métodos eficientes propostos é uma alternativa importante para uso em aplicações
práticas. Estas técnicas podem ser utilizadas por exemplo como uma forma de se ter
uma estimativa rápida e com baixo custo computacional da vida útil da estrutura em uma
fase de pré-projeto. Conclui-se portanto que a viabilidade de uso dos Métodos Eficientes
representa uma excelente opção para as Estruturas Offshore, contribuindo para a
eficácia do projeto a ser desenvolvido pela indústria do petróleo.
53
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Brasília, DF, Brasil.
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